8.3乘法公式重难点训练2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册

8.3乘法公式重难点训练 一、单选题 1．小明利用完全平方公式进行因式分解“”时，墨迹将“”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 3．下列各式中，可以用乘法公式计算的是（　　） A． B． C． D． 4．若，，则的值为（      ） A． B．7 C．14 D．50 5．如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是（    ） A． B． C． D． 6．若，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 7．下列选项与不一定相等的是（   ） A． B． C． D． 8．下列式子中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 9．已知是完全平方式，则a的值为（　　） A． B． C．3 D．6 10．如图，有正方形，，现将放在的内部得图1，将，并列放置后构造新的正方形得图2，若图1、图2中阴影部分的面积分别为9，80．下列说法正确的个数是（    ） ①正方形和的面积和是84；②图2中新的正方形的面积是225；③正方形和的面积差是39；④正方形的边长是8． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．已知，，则__________． 12．有两个正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为5与16，则正方形B的面积为________． 13．已知，则b的值为______． 14．在本学期第六章《整式的运算》的学习中，我们用如图中面积的割补来解释某个乘法公式几何意义，这个乘法公式是_________________（用图中的字母表示）．    15．如果关于x的二次三项式是完全平方式，那么常数k的值是_________． 三、解答题 16．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 17．如图1有三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，老师用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2的面积关系，写出一个数学公式______； (2)根据数学公式，解决问题：已知，，求的值． 18．先化简，再求值：，其中，． 19．已知，，求下列各式的值： (1) ； (2)． 20．我们在学习整式的乘法时，曾借助几何图形直观的解释了平方差公式和完全平方公式，比如，可以用图①解释完全平方公式． (1)请完成下面的填空，并画出几何图形对乘法算式进行解释． ①_____； ②_____； (2)如图②，由中间一个正方形和周围4个大小相同的长方形组成一个大正方形，则这个图形可以直观解释的乘法算式为_____． 21．计算与化简： (1)计算：； (2)化简求值：，其中，． 22．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， 墨迹覆盖的这一项是， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 两式相减得：， ∴． 故选：A 3．B 【分析】本题考查乘法公式的应用，包括完全平方公式和平方差公式．通过观察各选项的形式，判断是否可以直接应用公式． 【详解】A. 不符合乘法公式的形式； B. ，可以用完全平方公式； C. 不符合乘法公式的形式； D. 不符合乘法公式的形式． 故选：B． 4．B 【分析】利用完全平方公式可得：，，两式相加即可得出答案． 【详解】解：， ①，②， ，得， ． 5．C 【分析】通过分析图形中各部分的边长，分别用两种方式表示阴影部分的面积，从而推导出对应的乘法公式．本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的形式以及通过图形面积验证公式的方法是解题的关键． 【详解】解：表示阴影部分面积的第一种方式：阴影部分是边长为的正方形，其面积为． 表示阴影部分面积的第二种方式： 大正方形边长为，面积为；两个长方形的长为、宽为，面积和为；小正方形边长为，面积为． ∴阴影部分面积还可以表示为． 所以，该图可验证的乘法公式是， 故选：C ． 6．B 【分析】本题考查的知识点是同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握相关运算． 通过同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、平方差公式简化表达式，将原式化为与相关的形式． 【详解】解：， ， ， ， 又， 原式． 故选：． 7．D 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，掌握完全平方公式是解题的关键．通过对每个选项进行变形，比较与的关系，逐项判断即可． 【详解】解：A、，相等，不符合题意； B、，相等，不符合题意； C、，相等，不符合题意； D、，与不一定相等，符合题意； 故选：D． 8．B 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式的形式为． 判断各选项是否符合的形式即可． 【详解】解：A．，不符合的形式； B．，符合的形式； C．，不符合的形式； D．，不符合的形式； 故选：B． 9．B 【分析】根据完全平方式的结构特征，对应原式系数求解a，需考虑完全平方式的两种不同符号情况． 【详解】解：∵=，=，是完全平方式， ∴ 原式可写成的形式， 展开得， ∴ ． 10．B 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式在几何图形中的应用，数形结合，灵活应用平方差公式和完全平方公式进行变形是解决问题的关键．设正方形的边长为，正方形的边长为，分别表示出图和图中阴影部分的面积，结合完全平方公式得到，，然后逐个说法利用完全平方公式和平方差公式进行变形计算即可． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，图中阴影部分是边长为的正方形， ， ， ， 则， 图中阴影部分的面积为， ， 正方形和的面积和是，故不正确； 图中新的正方形的面积是，故不正确； 由知，，则正方形和的面积差是，故正确； 联立，解得，则正方形的边长是8，故正确； 综上所述，正确的有③④，共2个． 故选：B． 11． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记公式结构是解题的关键． 利用完全平方公式，即可求出的值． 【详解】解：由完全平方公式得，， ， 将两式相减得， ， 即， ∴， 故答案为：． 12．3 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，用代数式表示图甲、图乙中阴影的面积，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由题意得：图甲中阴影的面积为， ； 图乙中阴影的面积为， ， ， ， 正方形B的面积为， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式把所给等式左边展开，进而得到，求出a的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了平方差公式几何意义的理解，将整式运算与几何图形结合，注意各个量的变化．分别表示出两种情况下的阴影部分的面积，而面积是相等的，故可得到结果． 【详解】解：在图(1)中，大正方形面积为，小正方形面积为，所以阴影部分的面积为， 在图(2)中，阴影部分为一长方形，长为，宽为，则面积为， 由于两个阴影部分面积相等， 所以有． 故答案为2． 15． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解决本题的关键在于明确完全平方公式的形式，并根据给定的二次三项式与完全平方公式进行对应． 完全平方公式为，对于二次三项式，可变形为，由此对应求解即可． 【详解】解：对于二次三项式，可变形为， 在完全平方公式中，，， 那么， 即， 则，解得或． 故答案为：． 16．(1)4a8 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式乘法的混合运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解决此题的关键． （1）利用同底数幂的乘方，幂的乘方，积的乘方计算，再合并同类项即可得解； （2）利用平方差公式计算即可得解； （3）利用完全平方公式计算即可得解； （4）利用多项式乘多项式的运算法则和平方差公式计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．(1) (2)9 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的结合，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键． （1）由图形面积的两种不同计算方法得出完全平方公式即可； （2）根据完全平方公式计算出的值，再进行求解即可． 【详解】（1）解：由图2可知，， 故答案为：； （2）， ， ， ， ． 18．， 【分析】本题考查整式的化简求值．先根据完全平方公式和平方差公式将式子进行化简，再将，代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 19．(1) (2) 【分析】本题考查完全平方公式及其变形，熟练掌握该公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行作答，即可求解． （2）由（1）得：，然后利用完全平方公式再求得，即可求解． 【详解】（1） 解：∵，， ∴①，②， ①②得：， 则； （2） 解：由（1）得①②得：， 则， 那么 ． 20．(1)①，作图见解析；②，作图见解析 (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式在几何中的应用，正确作图是解题的关键． （1）利用多项式乘以多项式法则，完全平方公式进行计算即可，然后再作图； （2）由图可得大正方形的面积为：，而大正方形由一个边长为为的小正方形和四个长宽为的长方形组成，即可求解． 【详解】（1）解：① ， 如图，可得大正方形的面积为，而大正方形面积等于三个边长分别为的小正方形面积以及2个长宽为的小矩形，以及2个长宽为的小矩形，2个长宽为的小矩形的面积和， ∴； ， 如图，可得大正方形的面积为，而大正方形面积等于4个边长为的正方形面积加9个边长为的正方形面积加个长宽为的长方形面积． ∴ 故答案为：；② （2）解：由图可得大正方形的面积为：，而大正方形由一个边长为为的小正方形和四个长宽为的长方形组成， ∴， 故答案为：． 21．(1) (2)， 【分析】本题考查了整式的混合运算，整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将所求式子变形为，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可得解； （2）先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当，时， 原式． 22．(1)B (2)①，②，③ 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $