微专题02 乘法公式的简单应用（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

**基本信息** 以乘法公式为核心，通过“基础应用-参数分析-变形拓展-化简求值-几何验证”五阶训练，系统构建“公式记忆-结构识别-灵活变形-数形结合”的方法体系，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接应用公式计算|5-6题|平方差、完全平方等公式直接应用|从公式概念出发，强化结构特征识别| |含参数的公式应用|5-6题|展开算式-对比系数求参数|深化公式结构理解，培养推理意识| |公式的变形应用|5-6题|“知二推二”变形公式（如a²+b²=(a+b)²-2ab）|实现公式灵活转换，发展运算能力| |利用公式化简求值|5-6题|化简多项式-整体代换求值|综合应用公式，提升代数变形能力| |乘法公式的几何应用|5-6题|构造图形-面积等价验证公式|渗透数形结合思想，强化几何直观|

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02乘法公式的简单应用 直接应用公式进行计算 含参数的公式应用 乘法公式的简单应用 公式的变形应用 利用公式进行化简求值 乘法公式的几何应用 德点量破 题型1直接应用公式进行计算 嫦方法 乘法公式： 1. 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2: 2.完全平方公式：（a±b2=a2±2ab+b2; 3. 【扩展】立方和公式：a3+b3=(a+ba2-ab+b2】 【扩展】立方差公式：a3+b3=(a-ba2+ab+b2） 1.(2026广东深圳二模)下列计算正确的是() A.(ab)s=abs B.(a+1(a-1=a2-1 C.a2+a3=a3D.a5÷a2=a 2.(25-26七年级下.福建宁德期中)下列各式中能用平方差公式进行计算的是() A.(a+b)(a-2b) B.（2m+n(-2m-n C.(a+2)(a-2 D.(a+c)(-a-c) 3.(2026四川成都二模)下列计算正确的是() A.m2.m=m2 B.m2+m2=2m 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.(m-22=m2-4m+4 D.(1-m(m-1=m2-1 4.(2026四川成都二模)下列计算正确的是() A.a2+a5=a'B.a2.a3=a5 C.(ab)=ab D.(a+b)2=a2+b2 5.(2026江苏宿迁.一模)下列运算中正确的是() A.x2+x2=2x4 B.3x2.2x3=6x6 C.x6÷x3=x3 D.(x-1)2=x2-1 6.(2026江苏南京一模)计算(5-1的结果是 题型2含参数的公式应用 啸方法 算式中含有参数，需通过公式的结构特征求参数的值或取值范围： 1.展开算式：将含参数的多项式展开为标准形式 2. 对比系数：根据公式的结构特征，对比展开后的系数列方程求解。 1.(25-26七年级下·重庆期中)若关于x的二次三项式x2+2(k-2)x+9是一个完全平方式，则常数k的值 是() A.5或-1 B.5 C.-1 D.-5或1 2.(25-26七年级下.宁夏银川期中)已知x2+8x+m2是完全平方公式，则m的值为() A.4 B.4或-4 C.16 D.-4 3.(25-26七年级下江苏常州期中)如果x2+(m+1)x+1是关于x的完全平方式，则常数m的值为() A.-1 B.1 C.1或-1 D.1或-3 4.(25-26七年级下·广东深圳期中)若代数式x2-(k-1)x+9是一个完全平方式，则实数k= 5.(25-26七年级下广东茂名期中)如果关于x的多项式4x2+(m+2)x+9是一个完全平方式，那么m的 值为 a b 6.(25-26七年级下·山东青岛期中)规定一种新运算为： =ad+b2+c2,例如： c d 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12 34 =1×4+2+32=17.根据此规定，解决下列问题： -3 (1) 1-1 (2)若 kx y 的结果是一个关于x,y的完全平方式，则k的值为 x y m-n m (3)若 的值为2，则4m2-1的值为 -n m+n 题型3公式的变形应用 妹方法 已知a+b、a-b、ab、a2+b2中的两个量，求另外两个量（即“知二推二”）： 1.a2+b2=a+b)2-2ab=(a-b12+2ab; (a+b)-(a-b)=4ab; ab-il(a+b)-(a-b)]. 1.(25-26七年级下·广东深圳·期中)【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面 积，可以得到一个恒等式 a 6 b 6 ←n> D A G a E 6 b a B 图1 图2 图3 ()如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形.把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长 方形.由于两图中阴影部分面积是相同的，我们可以得到恒等式： (2)如图2，四个长为a,宽为b的长方形拼成一个中间镂空的正方形，用不同的方式计算阴影部分面积， 我们可以得到恒等式：一 【知识迁移】 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同#第：2+22+小-号 (4)若m+n=10,mn=9,求m-n. 【拓展探究】 (⑤)如图3.将边长分别为m,n的两个正方形纸片叠放在一起，己知阴影部分面积为6，长方形AEHD的 面积为4，求两个正方形纸片的面积和. 2.(25-26七年级下·重庆期中)利用若干个长与宽分别为a,b的小长方形（或边所在的直线）可画出如 图1,2所示的大正方形，用两种方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式 图1 图2 (1)由图1得到的等式是 ；由图2得到的等式是 (2)根据(1)中的结论，若(2027-x)x-2021=8,则4(2024-x)2= (3)将正方形ABCD和正方形EFGH如图所示方式摆放，点B,F,G,C在同一条直线上，点M,F分 别是FG,BC中点，连接BD,BE,ED,EG,EM,BM=I0,S△BFE=9,根据(1)中的结论求 △BED与△EMG的面积差. FMG 3.(25-26七年级下·重庆期中)某返乡创业电商团队采用“双品联动、组合带货的直播运营模式，每场直 播同时售卖永川秀芽、涪陵榨菜两款助农产品.经团队前期调研，双品联动模式下两款产品的运营数据 如下： A.永川秀芽：其有效订单量为m（m≥0，单位：十单，即m=1代表本场成交10单)，每10单销售收 入为(220-4m+n)元，每10单的变动运营成本为(40+2m)元. B.涪陵榨菜：其有效订单量为n(n>0,单位：十单，即n=1代表本场成交10单)，每10单销售收 入为(190+3n)元，每10单的变动运营成本为(30+7n+m)元. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.每场双品联动直播的固定运营成本为1200元. 请结合上述材料，完成下列问题： (1)请用含m,的代数式表示本场直播的总净利润W,并将结果化为最简形式； (2)当本场直播总净利润为1750元时，求出此时m,的值. 4.(25-26七年级下·浙江金华期中)对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式： 如图1可得等式(a+b2=a2+2ab+b2;现用四个长与宽分别为a,b的小长方形拼成如图2所示的正方 形，请认真观察图形，解答下列问题： D a a 图1 图2 图3 (1)【探索发现】观察图2，写出(a+b),(a-b)2,ab这三个代数式之间的一个等式 (2)【解决问题】①若x+y=6,y= 1 4,则x-y= ②当(x-2)(8-x)=6时，求(2x-10)的值. (3)【拓展提升】如图4，将边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形CEFG叠放在一起，B,C,G三 点在同一条直线上，连结AE和GE.若这两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20,请求出阴影部分的 面积. 5.(25-26七年级下·安微蚌埠期中)如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分，请认真观察图形， 解答下列问题： b a (1)若图中a、b满足a2+b2=31,ab=3,求a-b的值； (2)若(5+3x)2+(3x-2=51,求5+3x)3x-2)的值. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(25-26七年级下，安徽合肥期中)为落实国家关于“中学劳动教育”的要求，学校计划开辟两块正方形的 种植区域.大区域边长为a米，小区域边长为b米(a>b且b>二a),按图①规划，未叠合部分（阴影） 面积为S;按图②规划，两个小种植区重叠的部分（阴影）面积为S. 一b ←一b S2 S ←一b ① ② 请根据上述情境解答以下问题： (1)用含a,b的代数式表示：S=平方米，S2=平方米： (2)若a+b=8米，ab=15平方米，求3S,+2S2的值. (3)请直接写出下列问题答案： (2025-m(n-2026)=-3,(2025-n)2+(n-2026)2= 题型4利用公式进行化简求值 妹方法 通过乘法公式将复杂多项式化简，再代入求值（常涉及整体代换，避免繁琐计算）： 1. 化简多项式：利用平方差或完全平方公式将多项式化简为最简形式： 2. 整体代换：将已知条件中的整体代入化简后的式子，计算结果。 1.(25-26七年级下.浙江温州期中)先化简，再求值：（2a+1)(a-2)-2a(a+1),其中a=-2. 2.(2026九年级下.青海西宁.学业考试)先化简，再求值：(2a-5)-(a-2)(a-3)+3(a-4),其中 a2-4a+1=0. 3.(25-26七年级下江苏扬州期中)先化简，再求值：(x-1(2x+1-2(x+3(x-2的值，其中x= 4.(25-26七年级下·安微合肥期中)先化简，再求值：(2x-3y)(x-y)-x(x+y),其中x=3,y=-1. 5.(25-26七年级下四川期中)若关于x的多项式2x+a与x2-bx-2的乘积展开式中不含x2项，且常数项 为8， (1)求a与b的值： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)化简(a+b)a2-ab+b2),并求值. 6.(25-26七年级下.北京房山期中)先化简，再求值：（a+1)(3a+2)-aa-3),其中a=-3. 题型5乘法公式的几何应用 啸方法 通过图形的面积验证乘法公式（如用正方形、长方形的面积表示平方差或完全平方公式），体现“数形结合 思想： 1. 构造图形：用已知线段构造正方形或长方形，使其面积对应乘法公式的左边或右边。 2.面积等价：通过图形的割补、拼接，证明面积相等，从而验证乘法公式。 1.(25-26七年级下·广东深圳期中)如图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽 象出来的几何模型：两块半径分别为5的圆形，其中重叠部分P为花圃，对应阴影部分SS2分别表 示两个班级的基地面积.若1+5=8,52=12，则S,-S2= S 图1 图2 2.(25-26七年级下·北京通州期中)通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式.观察图形，请直 接用一个等式表示图中阴影部分图形的面积： b个 3.(25-26七年级下·浙江杭州·期中)两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴 影)面积为S,；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形 叠合部分（阴影）面积为S2· / 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B b b S2 b a b 图1 图2 图3 (I)用含a,b的代数式分别表示S、S (2)若a+b=12,ab=20,求S+S的值； (3)若图1中的AB=x,图3中CD=y,则S的值为.（用含x,y的代数式表示） 4.(25-26七年级下江苏镇江期中)如图1，从边长为α的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将 剩余部分拼成图2长方形， ② ① ② ① a 图1 图2 (I)上述操作能验证的等式是 (填字母)； A.（a-b)2=a2-2ab+b2;B.a2-b2=a+b)(a-b) (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①20252-2024×2026； ②1002-992+982-972+…+22-12. 5.(25-26七年级下·重庆期中)有两类正方形A,B,其边长分别为a,b.现将B放在A的内部得图1， 将A,B并列放置后构造新的正方形得图2.若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： B B 图1 图2 图3 (1)根据图1和图2，得到(a-b)=,ab= (2)小明想要拼一个两边长分别为2a+b)和(a+3b)的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A,B外， 还需要以a,b为边的长方形 个 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积. 6.(25-26七年级下·北京通州期中)通常用“作差法”比较代数式的大小，即通过计算A-B的值，就可以比 较代数式A,B的大小. a a 4 a a a 图1 图2 图3 (1)图1是边长为的正方形，将正方形一组对边不变，另一组对边增加4，得到如图2所示的新长方形， 此长方形的面积为S；将图1中的正方形一组邻边长均增加2得到如图3所示的新正方形，此正方形的面 积为S2.请直接写出S与S2的大小关系是，并说明理由； (2)已知A=2025×2027,B=20262,请说明A与B的大小关系. 微专题02 乘法公式的简单应用 题型1 直接应用公式进行计算 乘法公式： 1. 平方差公式：； 2. 完全平方公式：； 3. 【扩展】立方和公式： 4. 【扩展】立方差公式： 1．（2026·广东深圳·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，∴A错误； 选项B：∵，∴B正确； 选项C：与不是同类项，不能合并，∴，C错误； 选项D：∵，∴D错误． 2．（25-26七年级下·福建宁德·期中）下列各式中能用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平方差公式为，即两个因式相乘时，需有一项完全相同，另一项互为相反数，符合该特征才能用平方差公式计算。 【详解】∵ 平方差公式要求相乘的两个多项式满足：有一项完全相同，另一项互为相反数 ∴ 对各选项逐一判断： A选项 ，相同项为，但与不是互为相反数，不能用平方差公式计算； B选项 ，两项均互为相反数，没有相同项，不能用平方差公式计算； C选项 ，相同项为，与互为相反数，符合平方差公式结构，可以用平方差公式计算； D选项 ，两项均互为相反数，没有相同项，不能用平方差公式计算； 3．（2026·四川成都·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同底数幂乘法运算法则，合并同类项法则，完全平方公式，平方差公式，逐项进行计算即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，故B错误； C．，故C正确； D．，故D错误． 4．（2026·四川成都·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并，∴A错误； ∵，∴B正确； ∵，∴C错误； ∵，∴D错误． 5．（2026·江苏宿迁·一模）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则、单项式乘法法则、同底数幂的除法法则、完全平方公式，逐一计算各选项即可判断． 【详解】解：A：，选项计算错误； B：，选项计算错误； C：，选项计算正确； D：，选项计算错误． 6．（2026·江苏南京·一模）计算的结果是____________． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 题型2 含参数的公式应用 算式中含有参数，需通过公式的结构特征求参数的值或取值范围： 1. 展开算式：将含参数的多项式展开为标准形式； 2. 对比系数：根据公式的结构特征，对比展开后的系数列方程求解。 1．（25-26七年级下·重庆·期中）若关于的二次三项式是一个完全平方式，则常数的值是（     ） A．5或 B．5 C． D．或1 【答案】A 【分析】完全平方式满足，根据对应系数相等列方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次三项式是完全平方式，且， 根据完全平方式的结构，可得一次项系数满足， 当时，化简得，解得； 当时，化简得，解得； ∴常数的值是或． 2．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）已知是完全平方公式，则的值为（    ） A．4 B．4或 C．16 D． 【答案】B 【分析】利用完全平方式的结构特征求解即可． 【详解】解：∵是完全平方公式， ∴， 解得或． 3．（25-26七年级下·江苏常州·期中）如果是关于的完全平方式，则常数的值为（   ） A． B．1 C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】根据题意可确定两平方项为，则一次项为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴一次项为， ∴， ∴或． 4．（25-26七年级下·广东深圳·期中）若代数式是一个完全平方式，则实数______． 【答案】7或 【详解】解：代数式是一个完全平方式， ， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 综上，实数或． 5．（25-26七年级下·广东茂名·期中）如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值为_______． 【答案】10或 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，掌握完全平方公式的形式是解题关键，根据完全平方公式的结构，对比多项式系数即可求解m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴中间项系数满足，即或， 解得或． 6．（25-26七年级下·山东青岛·期中）规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若的值为2，则的值为__________． 【答案】(1)8 (2) (3)3 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）先根据新定义化简，再由完全平方公式的结构特征求解即可； （3）先根据新定义得到，再化简得到，然后进行整体代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得，， ∵结果是一个关于，的完全平方式， ∴； （3）解：∵的值为2， ∴ ∴， ∴． 题型3 公式的变形应用 已知中的两个量，求另外两个量（即“知二推二”）： 1. ； 2. ； 3. 。 1．（25-26七年级下·广东深圳·期中）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形．由于两图中阴影部分面积是相同的，我们可以得到恒等式：_____． (2)如图2，四个长为，宽为的长方形拼成一个中间镂空的正方形，用不同的方式计算阴影部分面积，我们可以得到恒等式：_____． 【知识迁移】 (3)计算：； (4)若，，求． 【拓展探究】 (5)如图3．将边长分别为的两个正方形纸片叠放在一起，已知阴影部分面积为6，长方形的面积为4，求两个正方形纸片的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 (5)10 【分析】（1）利用面积得出等式； （2）利用面积得出等式； （3）利用平方差公式求解； （4）根据（2）的结论求解； （5）根据面积表示出相关等式，然后利用完全平方公式求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： ； （4）解：由（2）的结论可得， ， ∵， ∴或； （5）解：根据题意得，，则， ∴， ∴， 令， 则， ∴， ∵， ∴或（舍去）， ∴， 即， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）利用若干个长与宽分别为，的小长方形（或边所在的直线）可画出如图1，2所示的大正方形，用两种方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式． (1)由图1得到的等式是____________________；由图2得到的等式是____________________． (2)根据（1）中的结论，若，则__________． (3)将正方形和正方形如图所示方式摆放，点，，，在同一条直线上，点，分别是，中点，连接，，，，，，，根据（1）中的结论求与的面积差． 【答案】(1)； (2)4 (3)62 【分析】（1）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和加上2个长方形的面积求解第一个公式；根据阴影部分的面积等于四个长方形的面积，也等于边长为的正方形的面积减去边长为的正方形的面积，求解第二个公式； （2）设，，可得，，再进一步求解即可. （3）连接，设，，可得，，可得，表示，，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：根据题意，图1得到的等式是；由图2得到的等式是. （2）解：∵， 设，， ∴，， 由（1）知： ∴， ． （3）解：连接， 设，， M是的中点，F是的中点， ，，，， 正方形，正方形， ，， ， ， ， ，， ，， ， ∵， ∴ ∵ ， 或， ， ， ， ， 答：与的面积差为62． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）某返乡创业电商团队采用“双品联动、组合带货”的直播运营模式，每场直播同时售卖永川秀芽、涪陵榨菜两款助农产品．经团队前期调研，双品联动模式下两款产品的运营数据如下： A．永川秀芽：其有效订单量为（，单位：十单，即代表本场成交10单），每10单销售收入为（）元，每10单的变动运营成本为（）元． B．涪陵榨菜：其有效订单量为（，单位：十单，即代表本场成交10单），每10单销售收入为（）元，每10单的变动运营成本为（）元． C．每场双品联动直播的固定运营成本为1200元． 请结合上述材料，完成下列问题： (1)请用含，的代数式表示本场直播的总净利润，并将结果化为最简形式； (2)当本场直播总净利润为1750元时，求出此时，的值． 【答案】(1) (2)m的值为15，n的值为20 【分析】（1）根据总利润等于两种方式的利润之和可得表示总利润的代数式； （2）由，再结合完全平方公式可得答案. 【详解】（1）解： . （2）解：由题意可知， ， ， 即， ， ， 答：当本场直播总净利润为1750元时，m的值为15，n的值为20． 4．（25-26七年级下·浙江金华·期中）对于一个图形，用不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可得等式；现用四个长与宽分别为的小长方形拼成如图2所示的正方形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)【探索发现】观察图2，写出这三个代数式之间的一个等式___________． (2)【解决问题】①若，则___________． ②当时，求的值． (3)【拓展提升】如图4，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)① ② (3) 【分析】（1）可通过整体面积等于各部分面积之和来得到等式； （2）①根据（1）中等式变形得出结论；②根据，，可得，即可求解； （3）根据等式变形可得，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示：，， ∴； （2）①解：∵，， ∴， ∴； ②解：∵，， ∴， 即：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴. 5．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若图中、满足，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式得出，根据，求出的值即可； （2）设，，可得，，利用完全平方公式可求出，即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：设，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）为落实国家关于“中学劳动教育”的要求，学校计划开辟两块正方形的种植区域．大区域边长为米，小区域边长为米（且），按图①规划，未叠合部分（阴影）面积为；按图②规划，两个小种植区重叠的部分（阴影）面积为． 请根据上述情境解答以下问题： (1)用含，的代数式表示：____平方米，___平方米； (2)若米，平方米，求的值． (3)请直接写出下列问题答案： ，______． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）用正方形的面积差和边长差分别表示阴影面积； （2）先利用完全平方公式变形求出，再将化简，然后整体代入计算； （3）令，，对完全平方公式进行变形，然后整体代入计算． 【详解】（1）解：根据题图可知， 图①中，， 图②中，重合区域为正方形，且边长为，故． （2）解：，， ， ． （3）解：令，， 则，， ， 故． 题型4 利用公式进行化简求值 通过乘法公式将复杂多项式化简，再代入求值（常涉及整体代换，避免繁琐计算）： 1. 化简多项式：利用平方差或完全平方公式将多项式化简为最简形式； 2. 整体代换：将已知条件中的整体代入化简后的式子，计算结果。 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】；8 【分析】利用多项式与多项式的乘法、单项式与多项式的乘法运算法则进行化简，将代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 2．（2026九年级下·青海西宁·学业考试）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据完全平方公式、多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式 ． 3．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）先化简，再求值：的值，其中． 【答案】； 【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先利用多项式乘以多项式及单项式乘以多项式法则将原式展开，合并后得到最简结果，再代入计算即可求出值．熟练掌握运算法则及公式是解题的关键． 【详解】解：原式 当，时， 原式． 5．（25-26七年级下·四川·期中）若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， (1)求与的值； (2)化简，并求值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，令含项的系数为0，常数项为8，从而建立关于a、b的方程，解方程即可得到答案； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∵关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴原式． 6．（25-26七年级下·北京房山·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 题型5 乘法公式的几何应用 通过图形的面积验证乘法公式（如用正方形、长方形的面积表示平方差或完全平方公式），体现“数形结合”思想： 1. 构造图形：用已知线段构造正方形或长方形，使其面积对应乘法公式的左边或右边。 2. 面积等价：通过图形的割补、拼接，证明面积相等，从而验证乘法公式。 1．（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图1为某校七年级两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块半径分别为的圆形，其中重叠部分为花圃，对应阴影部分分别表示两个班级的基地面积．若，则_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知，，， ， ， （负值舍去） ． 2．（25-26七年级下·北京通州·期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．观察图形，请直接用一个等式表示图中阴影部分图形的面积：_______． 【答案】 【详解】解：由第一个图形知，阴影部分图形的面积为， 由第二个图形知，阴影部分图形的面积为， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． (1)用含a，b的代数式分别表示、 (2)若，，求的值； (3)若图1中的，图3中，则的值为_．（用含x，y的代数式表示） 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含a、b的代数式分别表示、； （2）根据，再变形为：，将，代入进行计算即可； （3）由图1中的，图3中，可得，，再把的右边分解因式，最后代入即可． 【详解】（1）解：由图1可得， ； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵图1中的，图3中， ∴，， ∴． 4．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1)B (2)①1；②5050 【分析】（1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式； （2）利用平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为， 因此验证的等式是． （2）解：① ； ② ． 5．（25-26七年级下·重庆·期中）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，将A，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求： (1)根据图1和图2，得到______， ______． (2)小明想要拼一个两边长分别为和的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，B外，还需要以a，b为边的长方形______个． (3)三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据图①和图②，表示出阴影部分的面积，即可得出结果； （2）先利用多项式乘以多项式的运算法则计算得出两边长分别为和的长方形的面积，比较即可得出结果； （3）先求出，再结合完全平方公式的变形得出，表示出阴影部分的面积为，化简后整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由图①可得：， 由图②可得：， ∴； （2）解： ， ∴还需要以a，b为边的长方形个； （3）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 6．（25-26七年级下·北京通州·期中）通常用“作差法”比较代数式的大小，即通过计算的值，就可以比较代数式，的大小． (1)图是边长为的正方形，将正方形一组对边不变，另一组对边增加，得到如图所示的新长方形，此长方形的面积为；将图中的正方形一组邻边长均增加得到如图所示的新正方形，此正方形的面积为．请直接写出与的大小关系是_，并说明理由； (2)已知，，请说明与的大小关系． 【答案】(1)；理由见解析 (2) 【分析】（1）根据图形表示出新长方形的面积和新正方形的面积，再利用作差法比较即可； （2）先求出的值，再比较大小即可． 【详解】（1）解：；理由如下： ， ， ， ； （2）解：，， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $