微专题02 平行线中的角平分线模型（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

**基本信息** 以模型化构建平行线角平分线问题的解题体系，从基础模型到扩展模型再到复杂计算，逻辑递进，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行线中的角平分线|6题|基础角平分线模型构建，结论推导|平行线性质与角平分线定义结合，基础应用| |猪蹄/靴子/骨折模型扩展|6题|拐点模型角平分线扩展结论，多模型对比|从基础模型到拐点模型，角关系进阶| |铅笔头/靴子AB模型扩展|6题|复杂拐点模型角平分线结论，变量代换|模型变式拓展，角平分线与多拐点结合| |复杂角度计算|6题|标角法（变量设定、平行性质转化、方程建立）|综合应用前序模型，代数化解决复杂角问题|

微专题02 平行线中的角平分线模型 题型1 平行线中的角平分线 模型 平行线中的角平分线 图例 平分，平分 结论 1．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．①④ C．①② D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和④． 【详解】解：∵，， ， ， ， ， ， ， ， 解得，则结论①正确； ∵， ， ，则结论②正确； ，，， ，， 但不一定等于，也不一定等于， 所以平分，平分都不一定正确，则结论③和④都错误； 综上，正确的是①②． 故选：C． 2．（25-26七年级下·北京·期中）已知直线，直线分别与、相交于E、F．          (1)如图1，、分别平分和，请直接写出的度数； (2)如图2，点G在射线上，点H在射线上，、分别平分和，若，，求和的度数； (3)如图3，点G在线段上，点H是直线上的动点（不与F重合），、分别平分和，设，请直接用含m的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案； （2）先由外角的性质得，由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，由外角的性质得，最后由角平分线的定义得； （3）分两种情况讨论：当点在点的右边时；当点在点的左边时，画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：（1）、分别平分和， 可设，（角平分线的定义）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 又， ， ． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； （3）解：分以下两种情况： 当点在点的右边时，如图3所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在点的左边时，如图所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 3．（23-24七年级下·贵州贵阳·月考）完成下面的证明过程． 已知：如图， ，平分，平分． 求证：． 证明：∵（已知）， ∴（ _________________________ ）． ∵（已知）， ∴________（ ___________________________ ）． 又∵平分，平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∴，即． 【答案】两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；； 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据平行线的性质，角平分线的定义结合已给推理过程证明即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵平分，平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴， ∴， ∴，即． 4．（24-25七年级下·四川成都·期末）已知，连接． (1)如图1，若与的平分线交于点，求证：； (2)如图2，点在射线上，点在上，与的角平分线交于点．若，，求的度数； (3)若点、分别为射线、上的两个动点，与的角平分线所在直线交于点．设，在点运动的过程中，的度数是否发生变化？如果不变，请证明：如果变化，请分别求出它的度数（用含，的式子表示）． 【答案】(1)见详解 (2) (3)不发生变化，的度数为 【分析】本题考查了角平分线的运算、三角形的内角和性质以及平行线探究角的关系以及角的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先过点作，运用平行线的性质得，因为角平分线的定义得出，运用三角形的内角和性质列式计算，即可作答． （2）先得出，则，．结合角平分线的定义得出，，即可作答． （3）依题意由，可知点M和点N的位置关系，过点E作则，有和，结合角平分线得和，即可得． 【详解】（1）解：如图：过点作， ∵， ∴ ∴， ∵与的平分线交于点E， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：如图1，过点E作． ∵， ∴， ∴，． ∵分别平分，，，， ∴，， ∴． （3）解：依题意，，如图2，过点E作． ∵， ∴， ∴，． ∵，与的角平分线所在直线交于点， ∴，， ∴，， 则； 综上所述，的度数为． 5．（24-25七年级下·广西桂林·期末）综合与探究 已知点 E，F 分别在直线上， (1)如图 1， 平分，平分，若，求证：． (2)如图2，平分，平分，延长到点P，连接使得平分，且， 若，求的度数． (3)如图 3，若 ，过点 E，F 任意作一个，使（直角顶点G 在直线与之间、的右侧），在 上取一点 Q，当满足 时，请判断 与 的大小关系，并说明理由 ． 【答案】(1)理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】题目主要考查角平分线的计算，平行线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键． （1）根据角平分线得出，，结合题意及平行线的判定即可证明； （2）根据角平分线得出，，，设，则，根据题意列出方程求解即可； （3）过点 G 作，根据平行线的判定和性质求解证明即可． 【详解】（1）解：因为平分， 所以 因为 平分 所以 因为 所以                                            所以                                                                                                  所以； （2）因为 平分，平分， 所以， 因为 平分， 所以 设，则， 因为， 所以， 因为 所以 所以； （3） 过点 G 作 因为 所以                                                                          所以 因为     所以        因为 所以 所以 因为 所以 ． 6．（21-22七年级下·四川成都·期中）如图，已知．点G为之间一点． (1)如图1，当平分，平分，求证； (2)如图2，若 ，且的延长线交的角平分线于点M，的延长线交的角平分线于点N，求的度数； (3)如图3，若点 H 是射线上一动点，平分， 平分，过点G作于点Q，请猜想与的关系；并证明你的结论．（注：三角形内角和等于） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，根据题意，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，再利用三角形内角和定理，即可求出，即可得到答案； （2）过点作，过点作，利用平行线的性质和角平分线的定义，得到，，进而得到，，相加即可得到答案； （3）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，再利用垂线的定义和三角形内角和定理，得到，即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 故答案为： （2）解：，证明如下： 如图，过点作，过点作， ， ， ，，，， ，平分，平分， ，， ，， ； （3）解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型2 猪蹄模型、靴子模型与骨折模型的角平分线扩展 模型 猪蹄模型的角平分线扩展 靴子模型的角平分线扩展 图例 平分，平分 平分，平分 结论 模型 骨折模型的角平分线扩展 图例 平分，平分 结论 1．（20-21七年级下·浙江杭州·期中）如图，，平分平分，若设，则_______度（用的代数式表示），若平分平分，可得平分平分，可得，依次平分下去，则_______度． 【答案】 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；         （2）过点作直线，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想解决本题． 【详解】（1） 过点作,则 而          ∴满足的数量关系是 故答案为： （2） 过点作直线， 所以． 又因为， 所以， 所以， 所以； 因为平分平分， 所以 ． 只同理可证． 以此类推：． 故答案为： 【点睛】此题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，添加辅助线是解题的关键，利用归纳推理的思想解决． 2．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点，分别在直线，上，点是直线与外一点， 连接，． (1)【问题初探】若，， 则的度数为_____． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数（用含x，y的式子表示）． ②在①的条件下，如图3，若平分，平分,平分，平分，可得……依次平分下去， 则的度数是______． (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）本题考查平行线拐点模型（M模型），拐点模型的解题特点是：遇到拐点画平行线．作，然后根据平行线的性质即可求解． （2）①利用第一问的模型可求出，再利用角平分线性质即可求出．②利用模型继续求，…，观察可发现规律． （3）本题主要考查的拐点模型的生活应用，利用模型（1），按照平行线性质即可求出． 【详解】（1）解：如图，作， ， ， ， ， ， ， ． （2）①由（1）的模型可得， ， 平分，平分， ，， ， 设，， ． ②由①得， ， 同理，， … ． （3）作和，使, 由第（1）问模型可知， ，， 【点睛】本题目主要考查平行线拐点模型-M模型，牢记遇到拐点作平行线，利用平行线的性质即可解出． 3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，点是直线上一点，点是平行线、之间一点，连接、． 【问题提出】 （1）如图1，过点作，若，，求的度数； 【问题初探】 （2）如图2，平分，平分，与相交于点，若，求的度数； 【衍生拓展】 （3）如图3，平分，平分，与相交于点，平分，过点作，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可； （2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论； （3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， ， 的度数为； （2）解：由（1）得：， 同理：， 平分，平分， ，， ， ； ， ； （3）解：，理由如下， ∵平分， ， 平分， ， ，即， ，即， ， ，即， ， 由（2）得：， ． 4．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）已知直线，A，C分别是，上的点，P是直线，之间的一点、连接，． (1)已知点P在直线的右侧． ①如图1，，与之间的数量关系为__________； ②如图2，若平分，平分，判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P在直线的左侧，平分，平分． ①如图3，若，，求的度数； ②试判断与之间的数量关系与（1）②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)①；②不一致， 【分析】本题考查了平行线的性质的综合应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点P作，先证明，再根据“两直线平行，内错角相等”，证得，，根据“等式的基本性质”，得到 ，从而证得； ②过点P作，过点E作，先证，再根据“两直线平行，内错角相等”，证得，，从而证得 ，根据“角平分线的定义”，证得 ，最后结合①的结论，证得； （2）①先由，求得，根据平分，求得；同理可求，由（1）②可知，，从而求得 ； ②与之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，，过点P作，过点E作， 先证，再证，根据“角平分线的定义”与“补角的定义”证得． 【详解】（1）解：①如图，过点P作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ②，理由如下： 如图，过点P作，过点E作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由①可知，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过点E作， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ②与之间的数量关系与（1）②中的关系不一致，，证明如下： 如图，过点P作，过点E作， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为_； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则_ ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①；②； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 6．（22-23七年级下·重庆江津·期中）如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． (1)当，平分，平分时： ①如图1，若，求的度数； ②如图2，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； (2)如图3，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系．（用含的式子表示） 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义， （1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解； （2）过点作，则，设，，，根据平行线的性质求得，从而求解． 掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图，分别过点，作，， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， 平分，平分， ，， ， 故答案为：； ②如图，过点作， ， 恰好平分，恰好平分， ，， 设， ，， ， ， ， ， ， ， 由①可知， ； （2）结论：； 理由：在的上方有一点，若平分，线段的延长线平分，设为线段的延长线上一点， ，， 设，， 如图，过点作，则， ，， ， ，， 由（1）可知， ， ， ， ， ． 题型3 铅笔头模型、靴子模型扩展AB的角平分线扩展 模型 铅笔头模型的角平分线扩展 靴子模型扩展A的角平分线扩展 图例 平分，平分 平分，平分 结论 模型 靴子模型扩展B的角平分线扩展 图例 平分，平分 结论 1．（25-26七年级下·河南安阳·阶段检测）综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现 如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移 （Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)拓展应用 如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)（Ⅰ），理由见解析，（Ⅱ） (3) 【分析】（1）过点作直线，由平行线的性质容易得到； （2）（Ⅰ）过点作直线，利用平行线的性质可得，，由可得； （Ⅱ）由（1）可得，则，结合角平分线的性质可得，由（1）可得； （3）过点作直线，由平行线的性质可得，．设，则，，由角平分线的性质可得，，结合（2）的模型可知，将条件代入并化简即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ），理由如下： 如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）如图， 由（1）可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 化简，得． 2．（24-25七年级下·吉林白城·月考）【猜想】如图①，，点在直线、之间，连结、．若，，则的大小为__________度． 【探究】如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系．并说明理由． 【拓展】如图③，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数＝__________． 【延伸】如图④，若点在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数=__________．（用含的式子表示） 【答案】猜想：；探究：，理由见详解；拓展：；延伸： 【分析】猜想：如图（1），过E点作直线，根据平行线的性质可得，，从而可得的度数； 探究：如图（2），过E点作直线，根据平行线的性质可得，，进而可得； 拓展：运用图（1）的结论可得，，则可得，进而可得，，由此可得． 延伸：如图4，过E点作直线，则可得，．设，则，．进而可得，，利用图（2）的结论即可得的度数． 【详解】解：猜想：如图1，过E点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴． 探究：，理由如下： 如图2，过E点作直线， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 拓展：如图3，， 由图（1）得，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 延伸：如图4，过E点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由图（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角的和差的计算．熟练掌握平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，已知，，且交于点K，交于点H． (1)求证：； (2)如图2，连接，且平分，平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，平分，平分，经过点G，且，点E到的距离为2，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质，点到直线的距离，垂线的定义，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，得出，，根据，得，即可得证； （2）过点作，设，，，，同（1）可得，得出，即可得证； （3）先证明，过点作于点，进而根据，结合三角形的面积，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图所示，过点作， 设， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ∴，， ∴， 同（1）可得， ∴ ∴ ∴； （3）解：设 ∵平分， ∴， ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ 如图，过点作于点， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵点E到的距离为2， ∴． 4．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，点是直线上一点，点是平行线、内部一点，连接、．    (1)如图1，当，，求的度数； (2)如图2，平分，平分，与相交于点，求证：； (3)如图3，平分，平分，过点作，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）过点作，由平行线的性质得出，，根据，计算求解即可； （2）根据（1）中的结论先得到：，，再由角平分线的定义即可得出结论； （3）作的角平分线交于点，由邻补角的角平分线互相垂直得到，由根据两直线平行，同旁内角互补得到与的关系，再由（2）题的结论即可得出与的数量关系即可． 【详解】（1）解：如图1所示，过点作，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的度数为； （2）证明：由（1）得：， 同理：， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图3，作的角平分线交于点，    ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴， 由（2）得：， ． 5．（24-25七年级上·四川遂宁·期末）已知． (1)如图1，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，平分，平分，，请利用（1）的结论求的大小； (3)如图3，平分，平分，两角平分线交于点，结合（1）的结论求与的关系． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． （1）如图：过点G作， 易得，由平行线的性质可得，然后根据角的和差即可解答； （2）由角平分线定义可得，设，则、；结合（1）的结论可得、，再结合可得，同理可得，然后代入数据即可解答； （3）由角平分线定义可得，设，则、；结合（1）的结论可得、，进而得到、，然后观察即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过点G作， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （2）解：∵平分，平分， ∴， 设，则， 由（1）的结论可得：，， ∵ ∴，解得：， ∴． （3）解：∵平分，平分， ∴， 设，则， 由（1）的结论可得：，， ∴，， ∴ ． 6．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，分别在上，点在之间，连接． (1)如图1，若，，则______； (2)如图2，点是之间另外一点，且平分，平分： ①若，求的度数； ②如图3，在的下方有一点平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）作，根据平行线的性质与判定，以及角平分线的定义，即可求解； （2）①作，，根据平行线的性质与判定，以及角平分线的定义，可得，根据垂直的定义可得，进而即可求解； ②过点Q作，设，根据平行线的性质以及角平分线的定义，可得，由（1）可知，，即可求解． 【详解】（1）解：作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：①如图，分别过点G，P作，， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； ②如图，分别过点G，P作，，过点Q作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵，平分，平分， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型4 平行线中的复杂角度计算 标角法：标角法是通过设定未知角为变量（如α、β），结合平行线与角平分线的性质简化推导过程的核心方法。在角平分线条件下，具体步骤如下： （1）基本角度设定： a. 设定较小角为变量：将角平分线分出的较小角设为α或β，通过变量表示角度关系 b. 标记已知与未知角：用同一字母标记相等或有倍数关系的角，例如将角平分线分出的两母角设为或 （2） 利用平行线性质推导 a. 同位角、内错角转化：通过平行（线构造辅助线）性质将分散的角转移到同一位置 b. 互补/互余关系：结合平角、周角等特性建立方程，进行化简 （3） 代数方程简化 a. 建立变量间的关系：通过平行线截取的角关系列出方程，用α和β表示其他角 b. 整体代换消元：观察代数式之间的关联，对已知表达式进行代换转化消元运算 1．（2025七年级上·重庆·专题练习）如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论，其中正确的说法有（   ） ①与互余    ② ③与互补    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角和补角的性质，解题的关键是根据角平分线的定义，结合已知条件，分别分析每个结论是否成立即可． 【详解】解：①：∵平分，平分， ∴，， ∵A、C、B在同一条直线上， ∴， ∴， ∴与互余，故①正确； ②：∵，平分，平分， ∴，故②正确； ③：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴与互补，故③正确； ④：∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确， 综上所述，正确的说法有4个， 故选：D． 2．（24-25七年级上·吉林长春·期末）点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)若射线平分，如图1，若，求的度数． 请把下列解题过程补充完整： ，（已知）， ____________． 平分（已知）， ____________（角平分线定义）． （已知）， ____________． (2)在（1）的前提下，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图2，反向延长，得到直线，若，平分，现将三角板以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒，当平分时，请直接写出t的值． 【答案】(1)（或），，，，， (2) (3)或 【分析】（1）由邻补角互补可得，由角平分线的定义可得，由和互余可得，由此即可求出的度数； （2）按照（1）的推导方法进行推导即可：由邻补角互补可得，由角平分线的定义可得，由和互余可得，由此即可求出的度数； （3）由角平分线的定义可得，当平分时，分两种情况讨论：①平分；②平分；分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将解题过程补充完整如下： ，（已知）， ， 平分（已知）， （角平分线定义）， （已知）， ， 故答案为：（或），，，，，； （2）解：，， ， 平分， ， ， ； （3）解：，平分， ， 当平分时，分两种情况讨论： ①平分， 此时，， 由题意可得：， 解得：； ②平分， 此时，， ， 由题意可得：， 解得：； 综上，当平分时，或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用（几何问题），几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，求一个角的余角，利用邻补角互补求角度等知识点，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·月考）如图，，交、于点、平分交于点，且平分并交于点平分． (1)当时，则______度． (2)求证：． (3)求与的数量关系． 【答案】(1)80 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及角度的计算与推导，解题的关键是利用平行线的性质结合角平分线的定义，逐步分析各角之间的数量关系． （1）利用平行线同位角相等的性质，结合与的关系求解； （2）通过角平分线定义表示角，再结合平行线性质证明与相等； （3）利用角平分线性质及角度的计算与推导，推导与的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 故答案为：80； （2）证明：∵， ∵平分平分， ， ， ∵平分，且， ， ； （3）解：，，且， ， ， ． 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知，如图，点在、两线之间，且在所在直线的左侧． (1)如图1，当，时， ①若平分，平分，则________； ②若，，则________； ③若，，则________． (2)如图2，当与相交，点、点重合时，猜想、、与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图3，直接运用（2）的结论探究下列问题： ①若平分，平分，当，时，求的度数； ②若，，当，时，求的度数． 【答案】(1)①；②； (2) (3)①；② 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义． （1）①分别过点作，根据平行线的性质结合角平分线的定义即可得出结论；②同理①，即可求解；③同理①，即可求解； （2）如图，作射线，分别过点作，根据平行线的性质结合角平分线的定义即可得出结论； （3）①结合（2）中结论，再利用角平分线的定义即可求解；②同理①，即可求解． 【详解】（1）解：①分别过点作， ， ， ， ， ， 平分，平分， ， ； ②同理①得：， ，， ； ③同理①得：， ，，， ； （2）解：，理由如下： 如图，作射线，分别过点作， 则， ， ， ， ， 即原图中：， （3）解： 由（2）可得：，， 平分，平分， ， ， 即， ， ； ②，， ，， ， 同理①的：， ，即， ． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知直线，点M、N分别是直线和上的两点，点G为直线和之间的一点，连接、 (1)如图1，若，，试说明； (2)如图2，在（1）的结论下，点P是直线下方一点，满足平分，平分若，求的度数； (3)如图3，点P是直线上方一点，连结，若点G为线段上一点，的延长线为的平分线，平分，，则______． 【答案】(1)证明见解答过程 (2) (3) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 过点G作点H在点G的左侧，证明得，，则，由此即可得出结论； 过点P作点E在点P的左侧，先求出，根据平分设，证明得，，则，由的结论得，由此即可得出的度数； 过P作，过G作，得到，，设，，得到，然后由代入求解即可． 【详解】（1）证明：过点G作点H在点G的左侧，如图1所示： ， ， ，， ， ， ∵，， ； （2）解：过点P作点E在点P的左侧，如图2所示： 平分，， ， 平分， 设， ， ， ，， ， 由的结论得：， ； （3）解：如图，过P作，过G作， ， ，， 平分，平分， 设，， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）如图，直线，点，分别在直线，上，平分，设． (1)如图1，过作于，平分，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，在（1）的条件下，过作交于点，求的度数； (3)点在射线上，点在线段上，连接，平分，交于． ①如图3，当点在线段上时，猜想与的数量关系，并加以证明； ②如图4，当点在线段的延长线上时，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①，证明见解析；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． （1）由角平分线可知，结合，，得，可知，再由角平分线可求得结果； （2）由平行线的性质可知．进而可知．由，得，进而可得．可知．结合即可求解； （3）①如图1，过作，过作，可知，．由题意设，进而求得，，，，即可求解； ②如图2，过作，过作，同①即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵平分， ∴； （2）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴； （3）①猜想：． 证明：如图1，过作，过作， ∵， ∴，． ∵平分， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 同理：，， ∴， ∴； ②．13分 证明：如图2，过作，过作， ∴，， ∵平分， ∴设，则，， ∴． 同理：，， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02平行线中的角平分线模型 平行线中的角平分线 猪蹄模型、靴子模型与骨折模型的角平分线扩展 平行线中的角平分线模型 铅笔头模型、靴子模型扩展AB的角平分线扩展 平行线中的复杂角度计算 柔 常点型破 题型1平行线中的角平分线 妹方法 模型 平行线中的角平分线 图例 AE平分∠BAC,EC平分∠ACD 结论 ∠E=90° 1.(24-25七年级下·贵州贵阳·期中)如图，AB∥CD,F为AB上一点，FD∥EH,且FE平分LAFG，,过 点F作FG⊥EH于点G,且∠AFG=2LD,则下列结论：①LD=30°；②2∠D+LEHC=90°；③FD 平分∠HFB;④FH平分∠GFD.其中正确的结论是() A B E G D H A.①③ B.①④ C.①② D.①②③ 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(25-26七年级下，北京期中)己知直线AB∥CD,直线EF分别与AB、CD相交于E、F. 图1 图2 图3 (I)如图1，PE、PF分别平分∠BEF和∠EFD,请直接写出∠EPF的度数； (2)如图2，点G在射线EA上，点H在射线FD上，GP、FP分别平分∠BGH和∠EFH,若∠P=50°， ∠GQF=7O°，求LEGH和∠EFH的度数： (3)如图3，点G在线段EF上，点H是直线CD上的动点（不与F重合），FP、HP分别平分∠EFH和 ∠GHD,设∠EGH=m°，请直接用含m的代数式表示∠FPH的度数 3.(23-24七年级下·贵州贵阳·月考)完成下面的证明过程. 已知：如图，AB∥CD∥GH,EG平分LBEF,FG平分∠EFD. 求证：LEGF=90°. 证明：：HG∥AB,HG∥CD(己知)， .∠1=∠3，∠2=∠4( :AB∥CD(已知)， .∠BEF+ =180°( 又：EG平分∠BEF,FG平分∠EFD(已知)， ·I=∠BER,2=EFD(角平分线的定义)。 A*2= +）, .∠1+∠2=90°， .∠3+L4=90,即∠EGF=90°. 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25七年级下.四川成都期末)己知AB∥CD,连接AC. M -B B 。 D 图1 图2 备用图 (I)如图1，若∠CAB与∠ACD的平分线交于点E,求证：∠AEC=90°； (2)如图2，点M在射线BA上，点N在CD上，∠BMN与LACD的角平分线交于点E.若∠BMN=42°， ∠ACD=72°，求∠MEC的度数； (3)若点M、N分别为射线AB、CD上的两个动点，LAMN与LACN的角平分线所在直线交于点E.设 ∠AMN=,∠ACN=B(a>B),在点M、N运动的过程中，∠MEC的度数是否发生变化？如果不变， 请证明：如果变化，请分别求出它的度数（用含，阝的式子表示）. 5.(24-25七年级下·广西桂林·期末)综合与探究 已知点E,F分别在直线AB,CD上， A B 图1 图2 图3 (I)如图1，EG平分∠AEF,FG平分∠CFE,若LGEF+LGFE=90°，求证：AB∥CD. (②)如图2，EG平分∠BEF,FG平分∠EFD,延长EG到点P,连接FP使得FP平分∠GFD,且 LEFP=3LBEP,若AB∥CD,求∠GFP的度数. (3)如图3，若AB∥CD,过点E,F任意作一个LEGF,使LEGF=90°（直角顶点G在直线AB与 CD之间、EF的右侧)，在EG上取一点Q,当满足2∠BEG+∠DFQ=180°时，请判断LDFG与 ∠QFG的大小关系，并说明理由· 6.(21-22七年级下四川成都期中)如图，已知AB∥CD.点G为AB、CD之间一点， B G D -D 图1 图2 图3 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)如图1，当GE平分∠AEF,GF平分∠EFC,求证EG⊥FG: (②)如图2，若∠AEP三∠AEE,∠CFP=号之EFC,且FP的延长线交LAEP的角平分线于点M,EP的 延长线交∠CFP的角平分线于点N,求∠M+∠N的度数； (3)如图3，若点H是射线EB上一动点，FG平分∠EFH,MF平分∠EFC,过点G作GQ⊥FM于点 Q,请猜想∠EHF与∠FGQ的关系；并证明你的结论.（注：三角形内角和等于180°） 题型2猪蹄模型、靴子模型与骨折模型的角平分线扩展 妹方法 模型 猪蹄模型的角平分线扩展 靴子模型的角平分线扩展 中 图例 D PA平分∠BAE,PC平分∠ECD FA平分∠BAE,GC平分∠ECD 结论 2p- ∠P=∠E 2 模型 骨折模型的角平分线扩展 E B 图例 D PA平分∠BAE,PC平分∠ECD 结论 1.(20-21七年级下浙江杭州·期中)中考新趋势·一题多问如图，AB∥CD,PE平分∠PEB,PF平分 ∠PFD,若设∠PEB=x,∠PFD=y°，则∠P=度（用x,y的代数式表示），若PE平分 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠PEB,PF平分∠PFD,可得∠P,PE平分∠PEB,PF平分LPFD,可得∠P,依次平分下去，则 ∠Pn=度. B P D 2.(25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔期中)综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验，对“平行线的拐点问题” 进行研究。 如图I,直线AB∥CD,点M,N分别在直线AB,CD上，点H是直线AB与CD外一点，连接HM, HN· 2 C -D 图1 图2 图3 图4 (I)【问题初探】若LHMB=60°，∠HND=50°，则∠MHN的度数为 (2)【问题拓展】①如图2，作MH1平分∠HMB,NH1平分∠HND,若设∠HMB=x°，∠HND=y°，求 出∠H的度数（用含x,y的式子表示）. ②在①的条件下，如图3，若MH2平分∠HMB,NH2平分∠HWD,NH3平分∠H2MB,NH3平分 ∠HND,可得∠H3..…依次平分下去，则∠Hn的度数是· (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现∠HAC=38°，∠HBC=22°，试 探究∠AHB与∠C之间有怎样的数量关系，并说明理由. 3.(24-25七年级下·陕西渭南期中)如图，AB∥CD,点E是直线CD上一点，点P是平行线AB、CD之 间一点，连接AP、EP. M >M E 图1 图2 图3 【问题提出】 (1)如图1，过点P作FP∥AB,若∠BAP=37°，∠DEP=18°，求∠APE的度数； 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【问题初探】 (2)如图2，AM平分∠BAP,EM平分∠DEP,AM与EM相交于点M,若LP=80°，求∠M的度数： 【衍生拓展】 (3)如图3，AM平分∠BAP,EM平分∠DEP,AM与EM相交于点M,EO平分∠CEP,过点E作 EN∥AM,请探究∠NEQ与∠P之间的数量关系，并说明理由， 4.(24-25七年级下·河北邯郸·月考)己知直线MB∥ND,A,C分别是MB,ND上的点，P是直线MB, ND之间的一点、连接AP,CP 图1 图2 图 备用图 (1)已知点P在直线AC的右侧. ①如图1，∠BAP,∠APC与∠DCP之间的数量关系为 ②如图2，若AE平分∠BAP,CE平分∠DCP,判断∠AEC与∠APC之间的数量关系，并说明理由； (2)若点P在直线AC的左侧，AE平分∠BAP,CE平分LDCP. ①如图3，若LMAP=40°，∠NCP=80°，求∠AEC的度数； ②试判断∠AEC与∠APC之间的数量关系与(1)②中的关系一致吗？若一致，请证明；若不一致，请 直接写出∠AEC与∠APC之间的数量关系. 5.(25-26七年级上海南海口·期末)综合与探究 如图，AB∥CD,点P,Q为直线CD,AB上两定点，O°<∠PNQ<180°. P C 1y D D M 3 -B -B 图1 图2 P D MM2< B B 图3 图4 (1)如图1，当N点在PQ左侧时，∠1，∠2，∠3满足数量关系为_； (2)若PM平分LCPN,QM平分∠AQN,∠PNQ=110°. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①如图2，点N在P2左侧时，求∠PMQ的角度： ②如图3，点N在PQ右侧，求∠PMQ的角度； (3)如图4，PM平分LCPN,QM平分∠AQN,∠PNQ=120°，点N在P9右侧，若LCPM与∠AQM的 角平分线交于点M1,∠CPM,与∠AQM,的角平分线交于点M2;依次类推，则∠PMo26Q=·(直接写 出结果) 6.(22-23七年级下·重庆江津·期中)如图，己知AB∥CD,E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD 之间，连接GE、GF. A E 图1 图2 图3 (I)当LBEG=50°，EP平分LBEG,FP平分∠DFG时： ①如图1，若EG⊥FG,求∠P的度数： ②如图2，在CD的下方有一点Q,EG平分∠BEQ,FD平分∠GFQ,求∠Q+2∠P的度数； (2)如图3，在AB的上方有一点O,若FO平分∠GFC.线段GE的延长线平分L0EA,则当 ∠E0F+∠EGF=a时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系.（用含a的式子表示） 题型3铅笔头模型、靴子模型扩展AB的角平分线扩展 味方法 模型 铅笔头模型的角平分线扩展 靴子模型扩展A的角平分线扩展 B G 图例 D C D PA平分∠BAE,PC平分∠ECD FA平分∠BAE,GC平分∠ECD 结论 1 ∠APC=90°+÷∠E 2 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 模型 靴子模型扩展B的角平分线扩展 图例 FA平分∠BAE,GC平分∠ECD 结论 2P90-2 1.(25-26七年级下·河南安阳·阶段检测)综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开 展数学活动. A 图① 图② 图③ 图④ (1)观察发现 如图①，AB∥CD,点E在直线AB、CD之间，连接EB、ED.若∠B=28°，∠D=50°，则∠BED的 大小为 度 (2)探究迁移 (I)如图②，AB∥CD,BE,CE交于点E,探究∠BEC,∠B,∠C之间的数量关系，并说明理 由. (IⅡ)如图③，AB∥CD,若点E在直线AB,CD之间，PF平分∠APE,QF平分∠COE,当 ∠PEQ=98°时，直接写出∠PFQ的度数是 (3)拓展应用 如图④，AB∥CD,若E在直线AB的上方，QF平分∠CQE,PH平分∠APE,PH的反向延长线交 QF于点F,当LPEQ=a时，直接写出∠PFQ的度数= ,(用含a的式子表示) 2.(24-25七年级下·吉林白城月考)【猜想】如图①，AB∥CD,点E在直线AB、CD之间，连结EB、 ED,若∠B=25°，∠D=38°，则∠BED的大小为 度 【探究】如图②，AB∥CD,BE,CE交于点E,探究∠E,∠B,∠C之间的数量关系.并说明理由. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 O 图① 图② 图③ 图④ 【拓展】如图③，若点E在直线AB,CD之间，PF平分∠APE,QF平分∠CQE,当∠PEQ=98°时， 直接写出∠PFQ的度数= 【延伸】如图④，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE,PH平分∠APE,PH的反向延长线交 QF于点F,当∠PEQ=a时，直接写出∠PFQ的度数= °.（用含a的式子表示） 3.(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考)如图，已知AB∥CD,MN⊥LN,且LN交CD于点K,MN交 AB于点H. M M H H B B 图1 图2 A B D 图3 (I)求证：∠BHN+∠DKN=90°； (2)如图2，连接HK,且GH平分∠MHK,GK平分∠LKH,求证：LKGH=45°； (3)如图3，在(2)的条件下，GK平分∠FGE,GH平分∠PGE,PR经过点G,且RE=EF,点E到 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 FG的距离为2，求GR的长度， 4.(2024七年级下，全国.专题练习)如图，AB∥CD,点E是直线CD上一点，点P是平行线AB、CD内部 一点，连接AP、EP。 图1 图2 图3 (1)如图1，当∠BAP=37°，∠DEP=18°，求∠APE的度数； (2)如图2，AM平分∠BAP,EM平分∠DEP,AM与EM相交于点M,求证：∠P=2∠M; (3)如图3，AM平分∠BAP,EO平分∠CEP,过点E作EN∥AM,请直接写出∠OEN与∠P的数量关 系 5.(24-25七年级上·四川遂宁.期末)已知AB∥CD. A A B A EB G D D F D 图1 图2 图3 (I)如图1，试探究LG,∠AEG,∠CFG之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，FH平分∠GFD,HE平分LABG,∠G=90°，请利用(1)的结论求∠H的大小： (3)如图3，FH平分∠GFD,HE平分∠ABG,两角平分线交于点H,结合(1)的结论求∠G与∠H的 关系 6.(23-24七年级下·陕西西安·期中)如图，已知AB∥CD,E、F分别在AB、CD上，点P在AB、CD之间， 连接PE、PF. 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠AEP=50°，∠CFP=20°，则∠EPF= (2)如图2，点G是AB、CD之间另外一点，∠BEG=40°且EP平分∠BEG,FP平分∠DFG: 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①若GE⊥GF,求∠P的度数； ②如图3，在CD的下方有一点Q,EG平分∠BEQ,FD平分∠GFQ,求∠Q+2∠P的度数. 题型4平行线中的复杂角度计算 煤方法 标角法：标角法是通过设定未知角为变量（如α、B),结合平行线与角平分线的性质简化推导过程的核心方 法。在角平分线条件下，具体步骤如下： (1)基本角度设定： a. 设定较小角为变量：将角平分线分出的较小角设为α或B,通过变量表示角度关系 b. 标记已知与未知角：用同一字母标记相等或有倍数关系的角，例如将角平分线分出的两母角设为2或 2B (2)利用平行线性质推导 a.同位角、内错角转化：通过平行（线构造辅助线）性质将分散的角转移到同一位置 b.互补互余关系：结合平角、周角等特性建立方程，进行化简 (3)代数方程简化 a. 建立变量间的关系：通过平行线截取的角关系列出方程，用α和B表示其他角 b. 整体代换消元：观察代数式之间的关联，对已知表达式进行代换转化消元运算 1.(2025七年级上重庆.专题练习)如图，C为直线AB上一点，∠DCE为直角，CF平分∠ACD,CH平 分∠BCD,CG平分BCE,各学习小组经过讨论后得到以下结论，其中正确的说法有() ①LACF与∠DCH互余②LHCG=45 ③∠ECF与∠BCH互补④LACF=∠BCG+45 B G E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(24-25七年级上·吉林长春期末)点O为直线AB上一点，将一直角三角板0DC的直角顶点放在点O处. 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)若射线OE平分∠B0C,如图1，若∠A0C=40°，求∠D0E的度数. 请把下列解题过程补充完整： :∠A0B=∠A0C+∠B0C=180°，∠A0C=40°（己知）， :∠B0C=180°-L=°. :OE平分∠BOC(已知)， ∠C0E=号L=。(角平分线定义). 2 :∠C0D=∠C0E+∠D0E=90°（己知）， ∠D0E=90°-L_=°. (2)在(1)的前提下，若LA0C=,求∠DOE的度数（用含a的代数式表示）. (3)如图2，反向延长OE,得到直线EF,若∠A0E=60°，OC平分∠AOE,现将三角板ODC以每秒 3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒 (0≤1≤40)，当EF平分∠C0D时，请直接写出t的值. 3.(23-24七年级下·湖北武汉·月考)如图，AB∥CD,EF交AB、CD于点M、N,∠AME=180°-a,NH 平分∠END,MG交CD于点Q,且3∠FMG=∠FMB,QH平分∠MQD并交NG于点P,NG平分∠FND. E M (1)当a=80°时，则∠CNF=度. (2)求证：∠H=LG. (3)求∠NPQ与∠NMQ的数量关系. / 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4.(23-24七年级下·江苏宿迁期末)己知，如图，点P在AB、CD两线之间，且在BC所在直线的左侧. 图1 图2 图3 (I)如图1，当AB∥CD,∠BPC=a时， ①若BO平分∠ABP,CO平分∠DCP,则∠BOC= ②若∠AB0背448P,∠Dc0写DCP,则∠B0C:: ③若∠AB0=L∠ABP,∠DC0=L∠DCP,则∠BOC= n 1 (2)如图2，当AB与CD相交，点A、点D重合时，猜想∠BPC、∠B、∠C与∠A之间的数量关系，并 说明理由； (3)如图3，直接运用(2)的结论探究下列问题： ①若B0平分∠ABP,CO平分LACP,当∠BPC=120°，∠B0C=95°时，求∠A的度数； ②若∠AB0=L∠ABP,∠ACO=上∠ACP,当∠BPC=a,∠BOC=B时，求∠A的度数. 5.(24-25七年级下·安徽合肥期末)已知直线AB∥CD,点M、N分别是直线AB和CD上的两点，点G为 直线AB和CD之间的一点，连接MG、NG. >G 图1 图2 图3 (I)如图1，若LBMG=a,LDNG=B,试说明∠G=u+B: (2)如图2，在(1)的结论下，点P是直线CD下方一点，满足MG平分∠BMP,ND平分LGNP.若 ∠BMG=30°，求LG+∠P的度数； (③)如图3，点P是直线AB上方一点，连结PM、PN,若点G为线段NQ上一点，GM的延长线为 ∠AMP的平分线，NP平分LCNG,∠MGN=108°-2∠P,则∠AMP= 6.(24-25七年级下·辽宁大连月考)如图，直线AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上，EG平分 ∠AEF,设LAEG=. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C G HM FDC G HM FD (图1) (图2) (图3) (图4) (I)如图1，过E作EH⊥CD于H,EM平分∠HEF,求∠MEF的度数（用含a的代数式表示）： (2)如图2，在(1)的条件下，过M作MN∥EG交EF于点N,求∠EMN的度数： (3)点P在射线FG上，点Q在线段EF上，连接PQ,PR平分LQPG,交EG于R, ①如图3，当点P在线段FG上时，猜想∠PQE与LPRG的数量关系，并加以证明； ②如图4，当点P在线段FG的延长线上时，直接写出∠PQE与∠PRG的数量关系.