7.3 平行线的性质（题型专练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

7.3 平行线的性质 题型一、利用两直线平行同位角相等求解 1．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，．求的度数．    3．如图，直线，，求、的度数． 根据下面的解答过程，填空（理由或数学式）． 解：∵（已知） ∴（______） ∵（______），（已知） ∴（等量代换） 又∵（平角的定义） ∴（______） 4．如图，数学实验课上，小华将一张长方形纸条（两对边与平行）沿直线折叠，为折痕． (1)判断和的数量关系，说明理由； (2)若，求的度数． 题型二、利用两直线平行内错角相等求解 5．如图，，，垂足是D，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 6．如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，，平分，平分，如果，那么 ． 8．如图，，，，是的平分线，则的度数是多少？并说明理由．    题型三、利用两直线平行同旁内角互补求解 9．如图，已知则图中与互补的角有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．如图，，那么（   ） A． B． C． D． 11．如图，，，平分交于点E．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 12．如图，在三角形中，点D，E分别在上，且．    (1)与平行吗？为什么？ (2)若平分，求的度数． 题型四、利用平行线的性质求角度 13．如果与的两边分别平行，比的4倍少，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 14．如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．如图，若，，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 16．若，的两边分别与的两边平行，则的度数为 ． 17．如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转的过程中使的的值有 个． 18．已知，点E在上，点H、F在上，点H在点F的左侧，点G在与之间． 【探究】如图①，，，．试判断与是否平行，并说明理由． 【迁移】如图②，，，的角平分线交的延长线于点M． （1）若，则的大小为________度； （2）若，则的大小为________度． 题型五、利用平行线的性质探究角度数量关系 19．如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是 ． 20．如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． 21．（多选题）如图，平面上有4条直线，其中，下列描述中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 22．如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 题型一、过拐点作平行线 23．图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ． 24．如图，分别平分，则 ． 25．如图1，已知，E，F分别是上的点，P为之间的一点，且始终在直线的左侧，连接． (1)求证：． (2)如图2，在内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧．若，，，求的度数． 26．【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 27．【感知】（1）直线，点在直线和之间，作，该角的两边分别交直线于点．如图①，当点在过点和点的直线的左侧时，求与的和． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点作． （      ） ∵（      ）， ∴（      ） （      ）． 【探究】（2）如图③，当点在过点和点的直线的右侧时，其它条件不变，求与的和． 【拓展】（3）直线，点在直线和之间，作，该角的两边分别交直线于点．若的角平分线所在的直线交直线于点，且点在点左边，请借助图①和图③，直接写出的度数． 题型二、物理背景下的平行线性质应用 28．如图，平行于主光轴的光线，经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上的一点P．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 29．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 30．如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 31．探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 32．通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点是凸透镜的焦点，，若，，求的度数． 题型三、平行线性质与判定的实际应用 33．泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终为（   ） A． B． C． D． 34．修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，水渠从C村继续沿方向修建，此时保持与的方向一致，则图中度数为 ． 35．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 36．一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 题型四、直角三角板与平行线的综合 37．已知直线，将一块含角的直角三角板（）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则∠2的度数是 ． 38．如图，将两块含角的三角板和含角的三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为 °． 39．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，）． (1)若，则______； (2)若点E在的上方，设，则______（用含的式子表示）； (3)当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合． ①当（如图2）时，直接写出______； ②当时，直接写出______； (4)在（3）的条件下，当且点E在直线的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时所有可能的角度数值为______，若不存在，请说明理由． 40．已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则 ； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 41．综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题． (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为_________；（直接写出答案） (2)善思小组的同学们将一个三角板（）放在一组直线与之间，如图，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们两块三角板的直角顶点重叠，固定，如图，将绕着点在平面内转动．其中，假设直角边．图中所有点均在一个平面内．设度数为，当等于多少时，．请画出图形并完成相应解答． 42．学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了平台，如图所示的是一副三角尺，，，． (1)将两个三角尺按如图①所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，则的度数为 度； (2)如图②，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点，重合．当点在直线的下方时，探究所在直线与三角尺一边互相垂直的情况，请直接写出所有可能的度数． 题型五、应用平行线的性质与判定求角度 43．如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 44．如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 45．探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 46．已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 47．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合．当点在直线的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数． 48．已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 49．【操作】在白纸上画一个，把一块含有角的直角三角板的直角顶点放在的顶点O上． (1)如图①，当、在的内部时，求与的度数之和； (2)如图②，把直角三角板绕点O旋转，当在的内部，在的外部时，请完成下表，判断与的数量关系，并说明理由； 的度数 的度数 (3)如图③，当、在的外部时，直接写出与的数量关系； (4)作平分，在直角三角板绕点O旋转的过程中，当所在的直线与所在的直线互相平行时，直接写出的大小． 的度数 的度数 50．【问题背景】 已知，点P为平面内一点，连接、． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线、之间时，平分，平分，过点作．若，，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在的上方时，若，，和的角平分线交于点，过点作．求的度数；（用含、的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在的上方时，点M、F分别在、的延长线上，点H为和的交点，平分，的反向延长线与的角平分线交于点E，过点E作．试说明． 51．如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点E． (1)写出的度数______； (2)试求的度数（用含n的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含n的代数式表示） 52．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 53．在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线AB的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是　　　　　；如图④，　　　　　，则与的位置关系为　　　　　 (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射，且灯P，灯Q转动的速度分别是/秒， /秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示　　　　　； ②当时，两条射线所夹的锐角为　　　　　． (3)在（2）的条件下，在灯P射线第一次到达之前，灯Q转动　　　　　秒，两灯的光束互相平行． 54．综合探究 (1)【基本感知】如图①，，，，求的度数．小乐的解题方法如下，请补全下列过程． 解：如图①，过点作， 则 ∵ (已知)， ∴______  (平行于同一直线的两条直线平行)． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． (2)【深入探究】如图②，，，，的平分线和的平分线相交于点，求的度数． (3)【拓展应用】如图③，已知直线，点，在直线上点在点的右侧，点，在直线上点在点的左侧，连接，，分别作和的平分线，两条角平分线所在的直线相交于点．设，β（β），请直接用含，的式子表示的度数． 试卷第4页，共72页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 平行线的性质（答案版） 题型一、利用两直线平行同位角相等求解 1．B． 2．【详解】解：如图，设与相交于点，    ∵， ∴． ∵， ∴． 3．【详解】解：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（对顶角相等），（已知） ∴（等量代换） 又∵（平角的定义） ∴． 4．【详解】（1）解：． 理由如下：∵， ∴． 由折叠可知， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∴． 由折叠可知， ∴． 题型二、利用两直线平行内错角相等求解 5．C． 6．B． 7．155． 8． 【详解】解：的度数是． 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数是． 题型三、利用两直线平行同旁内角互补求解 9．B． 10．D． 11．【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， （2）解：与的位置关系是：． 理由如下： 由（1）可知：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．【详解】（1）， 理由：， ，                                 ， ， ． （2）， ， ， ，                            平分， ， ， ． 题型四、利用平行线的性质求角度 13．C． 14．B． 15．C． 16．或． 17． ． 18．【详解】解：【探究】判断与平行，理由如下： ， ， 又， ， ， ， ； 解：【迁移】（1）∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 故答案为：20； （2）∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：30. 题型五、利用平行线的性质探究角度数量关系 19．． 20．． 21．AB 22．【详解】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 题型一、过拐点作平行线 23．． 24．． 25．【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 26．【详解】解：，，， ，， ， 故答案为：； 【探究】，理由如下： 如图，过点P作， ， ，， ； 【应用】（1）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （2）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （3）如图，当点P在射线上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：． 27． 【详解】解：（1）如图②，过点作． （两直线平行，内错角相等） ∵（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ． （2）如图③，过点作． ， ∵， ∴， ， ． （3）当点在过点和点的直线的左侧时，如图： 设的角平分线交于点，作，则：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在过点和点的直线的右侧时，如图： 设的角平分线交于点，作，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或． 题型二、物理背景下的平行线性质应用 28．C． 29．C． 30．C． 31．D． 32．【详解】解：∵， ∴，， ∴． 题型三、平行线性质与判定的实际应用 33．C． 34．． 35．90． 36．【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型四、直角三角板与平行线的综合 37．． 38． 15． 39． 【详解】（1）解： ∵， ∴, ． 故答案为：． （2）解： ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解： ①当时， ∵， ∴， 故答案为：； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （4）解： ①当时， ∵， ∴， ∴； ②当时， ∴； ③当时， 过点C作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：为或或． 故答案为：或或． 40．【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 41．【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）解：如图， 当和在点异侧时，延长，交于，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 如图， 当和在点的同侧时，设交于点，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 综上所述：或． 42．【详解】（1）解：过点作，如图， 依题意得：，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：，理由如下： 过点作，如图， ∵，， ∴， ∴，， ∵，且， ∴． （3）解：角度所有可能的值是或或． ①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 此时； ③当时，如图， 此时 综上，角度所有可能的值是或或． 题型五、应用平行线的性质与判定求角度 43．【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 44．【详解】（1）解：如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D作，则， ∴， ∴ ； ②如图所示，过点B作，过点D作，则，    同理可得，， ∵，， ∴， ∴ ． 45．【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示， ∵， ∴．， ∵， ∴； （4），理由如下： 过点F作， 由（1）知，， ∴， ∴． 46．【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴C，B，D共线， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）解：①如图，过点C作， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ②不改变，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即的大小不变，是． 47．【详解】（1）解：过点作，如图2所示： 依题意得：，，， ∴， ∴， 由平行线性质可知，， ∴． （2）解：，理由如下： 过点作，如图3所示， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． （3）解：角度所有可能的值是或或或或， 理由如下：依题意有以下5种情况： ①当时，如图4①所示： 则， ∴； ②当时，如图4②所示： 则， ∴； ③当时，如图4③所示： 则； ④当时，如图4④所示： 则， ∴， ∴； ⑤当时，设与交于点，如图4⑤所示： 则， ∴， ∴． 综上所述：角度所有可能的值是或或或或． 48．【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 49．【详解】（1）解：，，， ． （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 表格如下： 的度数 的度数 ，理由如下： ，， ， 即． （3）解：，， ， ， ， ， 即与的数量关系为：； （4）解：①如图，当在内部时， 平分，， ， ，， ， ， ②如图，当在内部时， 平分，， ， ，， ， ， ， 综上，或． 50．【详解】解：（1）如图1， ，， ∴， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ∴， ，， 和分别是和的角平分线， ，， ，， ． （3）如图 ，， ，， ，， ，（2小题的结论） 平分，平分， ，， 即． 51．【详解】（1）解：∵平分，， ∴ 故答案为：； （2）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （3）过点E作，点B在点A的右侧时， 若点E在和之间，如图， ∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 若点E在上方，如图， 同理，，， 则； 若点E在下方，如图， 同理，，， 则， 综上所述，度数为或． 52．【详解】（1）解：如图1，过点P作， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图1，过点P作， ， ； （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 53．【详解】（1）解：结合折叠的性质，以及图③可知，， ， 图②的折痕与直线的位置关系是垂直； 由折叠的性质，同理可得， ； 内错角相等，两直线平行， 则与的位置关系为平行； 故答案为：垂直，，平行； （2）解：①由题意知，； 故答案为：． ②如图，记两条射线相交于点，作， ， ， 当，，， ， ， ， 即当时，两条射线所夹的锐角为； 故答案为：． （3）解：，， 记灯P射线为交于点，灯Q射线， 当，且时， ，， ， ， ， ，即，解得； 当，且时， ，， ， ， ， ，即，解得； 当，且时， ，， ， ， ， ，即，解得(不合题意，舍去)； 综上所述，在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动10秒或秒，两灯的光束互相平行． 故答案为：10或． 54．【详解】（1）解：如图①，过点作， 则（两直线平行，内错角相等） ∵已知， ∴平行于同一直线的两条直线平行． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换． 故答案为：两直线平行，内错角相等，，； （2）解：是的平分线，是的平分线， ， 如图，过点作 ， ， 的度数为 （3）解：的度数为或或或 分以下情况： ①如图，当点在上方时，直线交于点，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在下方时，同理可得 ②如图，当点在和之间且点在右侧时，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在和之间且点在左侧时，同理可得 综上，的度数为或或或 试卷第4页，共72页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 平行线的性质 题型一、利用两直线平行同位角相等求解 1．如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．依题意可得，然后根据平角的定义即可解答． 【详解】解：如图， 依题意得，，， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质（同位角相等），解题关键是通过两组平行线，找到中间角作为桥梁，建立已知角和未知角的等量关系． 根据两直线平行线，同位角相等的性质，借助中间角构建与的数量关系，进而求出的度数． 【详解】解：如图，设与相交于点，    ∵， ∴． ∵， ∴． 3．如图，直线，，求、的度数． 根据下面的解答过程，填空（理由或数学式）． 解：∵（已知） ∴（______） ∵（______），（已知） ∴（等量代换） 又∵（平角的定义） ∴（______） 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的性质、对顶角相等、邻补角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 先根据平行线的性质得到，再根据对顶角相等和等量代换得到；利用邻补角定义可得的度数． 【详解】解：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（对顶角相等），（已知） ∴（等量代换） 又∵（平角的定义） ∴． 4．如图，数学实验课上，小华将一张长方形纸条（两对边与平行）沿直线折叠，为折痕． (1)判断和的数量关系，说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了长方形折叠．熟练掌握长方形对边平行的性质，折叠性质，是解题的关键． （1）根据，得，根据，得，即得． （2）根据，得，由折叠可得，． 【详解】（1）解：． 理由如下：∵， ∴． 由折叠可知， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∴． 由折叠可知， ∴． 题型二、利用两直线平行内错角相等求解 5．如图，，，垂足是D，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线和余角的知识，解题的关键是熟练掌握平行线的性质；根据题意，得，根据余角的性质得，再根据两直线平行，内错角相等的性质分析，即可得到答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．如图，，交于点．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，先求出，然后根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 7．如图，，平分，平分，如果，那么 ． 【答案】155 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及邻补角，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 利用邻补角互补，可求出的度数，由，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再利用邻补角互补，即可求出的度数． 【详解】解：∵和互补，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵和互补， ∴． 故答案为：155． 8．如图，，，，是的平分线，则的度数是多少？并说明理由．    【答案】的度数是，理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质，先根据平行线的性质得出与的度数，再由角平分线的性质即可得出结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：的度数是． 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数是． 题型三、利用两直线平行同旁内角互补求解 9．如图，已知则图中与互补的角有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和互补的概念求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴， ∴与互补， ∵， ∴， ∴与互补， ∵是平角， ∴， ∴与互补． ∴图中与互补的角有3个，分别是，和． 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质和互补的概念，解题的关键是熟记平行线的性质和互补的概念． 10．如图，，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据“两直线平行同旁内角互补”可得，，再根据，即可得解． 【详解】解：， ，． ， ． 故选：D． 11．如图，，，平分交于点E．    (1)求的度数； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质：两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补． （1）先由平行线的性质得，进而得∠ADC=110°，再根据角平分线的定义可得出答案； （2）先由平行线的性质得，再根据得，据此即可判定与的位置． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， （2）解：与的位置关系是：． 理由如下： 由（1）可知：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 12．如图，在三角形中，点D，E分别在上，且．    (1)与平行吗？为什么？ (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）只要证明即可解决问题． （2）根据平行线的性质可求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，即可得答案． 【详解】（1）， 理由：， ，                                 ， ， ． （2）， ， ， ，                            平分， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质与判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 题型四、利用平行线的性质求角度 13．如果与的两边分别平行，比的4倍少，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，难点在于熟记两边分别平行的两个角相等或互补，是易错题．根据两边分别平行的两个角相等或互补用表示出，然后列出方程求解即可． 【详解】解：与的两边分别平行， 或， ∵比的4倍少， 或， 解得或， ∴的度数是或． 故选：C． 14．如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等得到，即可求出答案． 【详解】解：如图，∵直线，，， ∴，                                                                                                                                                      ∴．                                                      故选：B． 15．如图，若，，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度计算，平行线的性质，根据可得，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 16．若，的两边分别与的两边平行，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是平行线的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据当两角的两边分别平行时，两角的关系可能相等也可能互补，即可得出答案． 【详解】解：当的两边与的两边如图所示时，； 当的两边与的两边如图所示时， ； 故答案为：或． 17．如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，在旋转的过程中使的的值有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程，平行线的性质，根据时，分类讨论角度之间的关系列方程是解此题的关键．分四种情况：，，，，，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：设旋转时间为秒后，， 如图1，， ∴， 解得：； 如图2，， 由图得：， 解得：； 如图3，， ∴， 解得：； 如图4，， ∴， 解得：； 如图5，， ∴， 解得：； 综上所述：的值有个． 故答案为：． 18．已知，点E在上，点H、F在上，点H在点F的左侧，点G在与之间． 【探究】如图①，，，．试判断与是否平行，并说明理由． 【迁移】如图②，，，的角平分线交的延长线于点M． （1）若，则的大小为________度； （2）若，则的大小为________度． 【答案】【探究】判断与平行，理由见解析；【迁移】（1）20 ；（2）30 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的相关计算，掌握平行线性质及角平分线性质是解题关键． 【探究】根据平行线性质即可求证； 【迁移】（1）根据平行可得，，利用平分，即可求解； （2）根据平行可得，则，根据等式可得，求解即可． 【详解】解：【探究】判断与平行，理由如下： ， ， 又， ， ， ， ； 解：【迁移】（1）∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ 故答案为：20； （2）∵，， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：30. 题型五、利用平行线的性质探究角度数量关系 19．如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据角平分线的定义求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 故答案为：． 20．如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 21．（多选题）如图，平面上有4条直线，其中，下列描述中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，对顶角相等．过点A作，可得，从而得到，即可解答． 【详解】解：如图，过点A作， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故A选项正确； ∵， ∴，故B选项正确； 根据题意无法得到的大小关系， ∴无法得到的大小关系，故C选项错误； ∵， ∴，故D选项错误； 故选：AB 22．如图，直线，BEC是一条折线段，BP平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系． (2)如图②，CQ平分，直线BP，CQ交于点F，探究和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 要探究和的数量关系，先延长DC交BE于点K，交BP于点T，借助的平行线性质得到角的等量关系，结合平分、的条件推导角相等，再利用平角的定义得出两者的数量关系； (2) 要探究和∠F的数量关系，设角平分线分后的角为未知数，利用的性质表示，结合角的和差关系表示，进而推导两者的数量关系． 【详解】（1）解：延长DC交BE于点K，交BP于点T，如图①． ∵，∴． ∵BP平分， ∴，∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， 即． （2）解：延长AB交FQ于点M，延长DC交BE于点N，如图②． ∵射线BP，CQ分别平分，， ∴，． 设，， ∴，，，． ∵， ∴，， ∴， ， ∴， 即． 【点睛】本题考查平行线的性质与角平分线的定义，掌握两直线平行，内错角相等、同旁内角互补；角平分线将角分为相等的两部分是解题的关键． 题型一、过拐点作平行线 23．图①是某运动员在参加男子竞技体操双杠（两杠平行）项目时的一个静止动作，图②是其俯视示意图．若与的夹角为，，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键．过点B作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，过点B作， ∵，， ， ∴，， ∴， ∵与的夹角为， ∴， ∴． 故答案为：． 24．如图，分别平分，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义等知识点，能熟练的运用定理进行推理是解此题的关键． 过点O作，利用平行线的性质以及角平分线的定义得到，，即可求解． 【详解】解：过点O作， ∴ ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 25．如图1，已知，E，F分别是上的点，P为之间的一点，且始终在直线的左侧，连接． (1)求证：． (2)如图2，在内部另作一条折线，且点Q在直线的右侧．若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可． （2）设，，则，，，根据已知，结合四边形的内角和，列式解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的和差计算，三角形内角和定理，四边形内角和，平角定义，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：设，，则，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 26．【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 【答案】【感知】；【探究】，理由见详解；【应用】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与、之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故答案为：； 【探究】，理由如下： 如图，过点P作， ， ，， ； 【应用】（1）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （2）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （3）如图，当点P在射线上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：． 27．【感知】（1）直线，点在直线和之间，作，该角的两边分别交直线于点．如图①，当点在过点和点的直线的左侧时，求与的和． 老师在黑板中写出了部分求解过程，请你完成下面的求解过程，并填空（理由或数学式）． 解：如图②，过点作． （      ） ∵（      ）， ∴（      ） （      ）． 【探究】（2）如图③，当点在过点和点的直线的右侧时，其它条件不变，求与的和． 【拓展】（3）直线，点在直线和之间，作，该角的两边分别交直线于点．若的角平分线所在的直线交直线于点，且点在点左边，请借助图①和图③，直接写出的度数． 【答案】（1）见解析；（2）（3）或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点作平行线，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，已知条件，平行公理，进行作答即可； （2）过点作，根据平行线的性质，角的和差关系进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：（1）如图②，过点作． （两直线平行，内错角相等） ∵（已知）， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ． （2）如图③，过点作． ， ∵， ∴， ， ． （3）当点在过点和点的直线的左侧时，如图： 设的角平分线交于点，作，则：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点在过点和点的直线的右侧时，如图： 设的角平分线交于点，作，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：的度数为或． 题型二、物理背景下的平行线性质应用 28．如图，平行于主光轴的光线，经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上的一点P．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角度的计算、平行线的性质，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 29．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由对顶角定义得，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 30．如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得，可求出，由可得，进而求解． 【详解】解：由题意得， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 31．探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可知，，根据平行线的性质可得，，由此即可求解出的度数． 【详解】解：由题意可知：，， 而，， ， ， ． 故选：D． 32．通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点是凸透镜的焦点，，若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角的和差等知识点，掌握两直线平行、同旁内角互补是解题的关键． 由平行线的性质可得，，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 题型三、平行线性质与判定的实际应用 33．泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质及垂线的定义是解题的关键；过点B作，则有，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：过点B作，如图所示： ∵与始终平行， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 34．修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，水渠从C村继续沿方向修建，此时保持与的方向一致，则图中度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查方向角以及平行线的性质，得出角度关系是解题的关键． 首先根据方向角得到平行线关系，再根据同位角相等得到，即可求解得到的度数． 【详解】解：如图，由题可知：，， ∴， 故答案为：． 35．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数 ． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线． 过点D作，过点E作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点D作，过点E作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：90． 36．一种躺椅及其侧面简化结构示意图如图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架和后支架分别与交于点G和点D，与交于点N．当人躺着最舒服时，测得，，求此时和的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型四、直角三角板与平行线的综合 37．已知直线，将一块含角的直角三角板（）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若，则∠2的度数是 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 38．如图，将两块含角的三角板和含角的三角板按如图所示的位置放置，若，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角板，平行线的性质，先确定各角的度数，再根据平行线的性质求出，然后根据角的关系求出． 【详解】解：根据题意可知． ， ， ， ， 故答案为：15． 39．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，，，）． (1)若，则______； (2)若点E在的上方，设，则______（用含的式子表示）； (3)当且点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合． ①当（如图2）时，直接写出______； ②当时，直接写出______； (4)在（3）的条件下，当且点E在直线的上方，（3）中的两种情况除外，这两块三角板是否还存在一组边互相平行，若存在，请直接写出此时所有可能的角度数值为______，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①② (4)或或 【分析】（1）根据两角互余，可得与的关系，根据角的和差，可得答案； （2）根据同角的余角相等可得与，可得与的关系，根据互余的两角的关系，可得与的关系； （3）①根据两直线平行，内错角相等可得答案；②根据两直线平行，内错角相等得，根据角的和差可得答案； （4）分当时，当时，当时，三种情况进行解答． 【详解】（1）解： ∵， ∴, ． 故答案为：． （2）解： ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （3）解： ①当时， ∵， ∴， 故答案为：； ②当时，如图， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （4）解： ①当时， ∵， ∴， ∴； ②当时， ∴； ③当时， 过点C作， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的是直角三角板有关计算．熟练掌握直角三角板性质，平行线的判定与性质，互为余角、互为补角的性质，角的和差计算，是解题的关键． 40．已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则 ； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【答案】(1)65 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 41．综合与实践 问题情景：综合与实践课上，数学老师让同学们以手中的三角板为主题进行研究，并设计出一些问题． (1)梦想小组的同学们将一副三角板按如图所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为_________；（直接写出答案） (2)善思小组的同学们将一个三角板（）放在一组直线与之间，如图，并使直角顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，猜想与的位置关系，并说明理由； (3)勤学小组的同学们两块三角板的直角顶点重叠，固定，如图，将绕着点在平面内转动．其中，假设直角边．图中所有点均在一个平面内．设度数为，当等于多少时，．请画出图形并完成相应解答． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）分两种情形：当和在点异侧时，延长，交于，过点作，根据，得出，从而得出；当和在点的同侧时，设交于点，过点作，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）解：如图， 当和在点异侧时，延长，交于，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 如图， 当和在点的同侧时，设交于点，过点作， ∵ ∴， ∴ ， 综上所述：或． 42．学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了平台，如图所示的是一副三角尺，，，． (1)将两个三角尺按如图①所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，则的度数为 度； (2)如图②，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点，重合．当点在直线的下方时，探究所在直线与三角尺一边互相垂直的情况，请直接写出所有可能的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)角度所有可能的值是或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）过点作，根据同旁内角互补可得，根据平行线的判定定理得出，根据平行线性质可知，，即可求解； （2）过点作，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质可得，，即可求解； （3）分为、、三种情况分别分析，即可求解． 【详解】（1）解：过点作，如图， 依题意得：，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：，理由如下： 过点作，如图， ∵，， ∴， ∴，， ∵，且， ∴． （3）解：角度所有可能的值是或或． ①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 此时； ③当时，如图， 此时 综上，角度所有可能的值是或或． 题型五、应用平行线的性质与判定求角度 43．如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 44．如图1所示，，的两边与，分别交于，两点．    (1)若，，求的度数； (2)如图2所示，直线，相交于点，且满足，： ①当时，若，求的度数； ②试探究与的数量关系． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点B作，则，由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）①如图所示，过点B作，则，由平行线的性质可推出；再求出，；过点D作，则，则，据此由角的和差关系可得答案；②仿照（2）①求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点B作，    ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 如图所示，过点D作，则， ∴， ∴ ； ②如图所示，过点B作，过点D作，则，    同理可得，， ∵，， ∴， ∴ ． 45．探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及角的计算，根据平行线的性质得出相等或互补的量是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可解决问题； （2）根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据平行线的性质即可解决问题； （4）根据平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示， ∵， ∴．， ∵， ∴； （4），理由如下： 过点F作， 由（1）知，， ∴， ∴． 46．已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)①，；②的大小不变，是 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，则有C，B，D共线，然后根据角平分线的定义可得，，进而问题可求解； （2）①过点C作，则有，由题意易得，然后可得，，进而根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解；②设，同理①可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴C，B，D共线， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）解：①如图，过点C作， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ②不改变，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即的大小不变，是． 47．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，． (1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数； (2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合．当点在直线的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)角度所有可能的值是或或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）过点作，根据同旁内角互补可得，由平行线性质可知，，代入中即可求解． （2）过点作，根据平行线的性质可得， ，，进而可得． （3）当；；；；五种情况时，分别讨论即可． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示： 依题意得：，，， ∴， ∴， 由平行线性质可知，， ∴． （2）解：，理由如下： 过点作，如图3所示， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴． （3）解：角度所有可能的值是或或或或， 理由如下：依题意有以下5种情况： ①当时，如图4①所示： 则， ∴； ②当时，如图4②所示： 则， ∴； ③当时，如图4③所示： 则； ④当时，如图4④所示： 则， ∴， ∴； ⑤当时，设与交于点，如图4⑤所示： 则， ∴， ∴． 综上所述：角度所有可能的值是或或或或． 48．已知直线，点M、N分别在直线、上． (1)如图1，点E在直线、之间，求证：； (2)如图2，若E在直线下方，与的角平分线交于点F，判断与的数量关系并证明； (3)如图3，若点E是直线上方一点，点G是直线、之间一点，连接、、、，的延长线将分为两部分，，，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质即可得证； （2）过E作，过F作，根据平行线的性质及角平分线的定义即可解答； （3）记交于点H，根据题意设，，则，，，根据平行线的性质表示出、，由列式求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过E作，过F作， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，， ∵与的角平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴； （3）解：如图，记交于点H， ∵，， 设，， 则，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 49．【操作】在白纸上画一个，把一块含有角的直角三角板的直角顶点放在的顶点O上． (1)如图①，当、在的内部时，求与的度数之和； (2)如图②，把直角三角板绕点O旋转，当在的内部，在的外部时，请完成下表，判断与的数量关系，并说明理由； 的度数 的度数 (3)如图③，当、在的外部时，直接写出与的数量关系； (4)作平分，在直角三角板绕点O旋转的过程中，当所在的直线与所在的直线互相平行时，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)，；，理由见解析 (3) (4)或 【分析】本题考查三角板的角度的计算问题，角平分线和平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用角度的和差计算即可； （2）利用角度的和差计算即可； （3）利用角度的和差计算即可； （4）分当在内部时和当在内部时，利用角平分线的定义、平行线的性质、角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）解：，，， ． （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴； 表格如下： 的度数 的度数 ，理由如下： ，， ， 即． （3）解：，， ， ， ， ， 即与的数量关系为：； （4）解：①如图，当在内部时， 平分，， ， ，， ， ， ②如图，当在内部时， 平分，， ， ，， ， ， ， 综上，或． 50．【问题背景】 已知，点P为平面内一点，连接、． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线、之间时，平分，平分，过点作．若，，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在的上方时，若，，和的角平分线交于点，过点作．求的度数；（用含、的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在的上方时，点M、F分别在、的延长线上，点H为和的交点，平分，的反向延长线与的角平分线交于点E，过点E作．试说明． 【答案】（1）；（2）（3）见解析 【分析】本题考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，角的和差，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行线的判定可知，利用平行线的性质可证，，再根据角之间的位置关系可得； （2）先推导出，得到，，继而证明，，则，即可解答． （3）先推导出，，得到， 继而推导出，，代入计算即可解答． 【详解】解：（1）如图1， ，， ∴， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ∴， ，， 和分别是和的角平分线， ，， ，， ． （3）如图 ，， ，， ，， ，（2小题的结论） 平分，平分， ，， 即． 51．如图，已知直线，点、在直线上，点、在直线上，点在点的右侧，，，平分，平分，直线、交于点E． (1)写出的度数______； (2)试求的度数（用含n的代数式表示）； (3)将线段向右平行移动，使点B在点A的右侧，其他条件不变，请直接写出的度数（用含n的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义，即可得到； （2）过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，根据角平分线的定义求出，，然后求解即可； （3）过点E作，点B在点A的右侧时，若点E在和之间时，根据角平分线的定义求出，，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后求解即可；同理，再分别求解当点E在上方或下方时的值即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴ 故答案为：； （2）如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （3）过点E作，点B在点A的右侧时， 若点E在和之间，如图， ∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴； 若点E在上方，如图， 同理，，， 则； 若点E在下方，如图， 同理，，， 则， 综上所述，度数为或． 52．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图1，过点P作， ， ； （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 53．在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点P画直线AB的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是　　　　　；如图④，　　　　　，则与的位置关系为　　　　　 (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转，两灯不停旋转交叉照射，且灯P，灯Q转动的速度分别是/秒， /秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示　　　　　； ②当时，两条射线所夹的锐角为　　　　　． (3)在（2）的条件下，在灯P射线第一次到达之前，灯Q转动　　　　　秒，两灯的光束互相平行． 【答案】(1)垂直，，平行 (2)①；② (3)10或 【分析】（1）根据折叠的性质，补角特点，以及平行线的判定定理分析求解，即可解题； （2）①根据题意列出代数式即可； ②记两条射线相交于点，作，证明，分别算出，，再结合平行线性质推出，进而求出，即可解题； （3）根据题意得到灯P射线到达时，所用时间为秒，再结合灯Q射线运动状态分情况，当，且时，当，且时，当，且时，分别表示出，，最后结合平行线性质建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：结合折叠的性质，以及图③可知，， ， 图②的折痕与直线的位置关系是垂直； 由折叠的性质，同理可得， ； 内错角相等，两直线平行， 则与的位置关系为平行； 故答案为：垂直，，平行； （2）解：①由题意知，； 故答案为：． ②如图，记两条射线相交于点，作， ， ， 当，，， ， ， ， 即当时，两条射线所夹的锐角为； 故答案为：． （3）解：，， 记灯P射线为交于点，灯Q射线， 当，且时， ，， ， ， ， ，即，解得； 当，且时， ，， ， ， ， ，即，解得； 当，且时， ，， ， ， ， ，即，解得(不合题意，舍去)； 综上所述，在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动10秒或秒，两灯的光束互相平行． 故答案为：10或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，补角特点，平行线性质和判定，列代数式，一元一次方程的实际应用，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． 54．综合探究 (1)【基本感知】如图①，，，，求的度数．小乐的解题方法如下，请补全下列过程． 解：如图①，过点作， 则 ∵ (已知)， ∴______  (平行于同一直线的两条直线平行)． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换 ． (2)【深入探究】如图②，，，，的平分线和的平分线相交于点，求的度数． (3)【拓展应用】如图③，已知直线，点，在直线上点在点的右侧，点，在直线上点在点的左侧，连接，，分别作和的平分线，两条角平分线所在的直线相交于点．设，β（β），请直接用含，的式子表示的度数． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等，， (2)的度数为 (3)的度数为或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义．熟练掌握“作平行线，利用平行线的内错角相等、同旁内角互补”的辅助线方法，以及分类讨论点的位置情况，是解题的关键． （1）通过作平行线，利用平行线的性质（内错角相等、同旁内角互补），结合已知角度计算． （2）先利用角平分线得到半角，再作平行线，结合平行线的性质（内错角相等），通过角度差计算． （3）分点的位置情况，作平行线，利用平行线的性质和角平分线的定义，推导与、β的关系． 【详解】（1）解：如图①，过点作， 则（两直线平行，内错角相等） ∵已知， ∴平行于同一直线的两条直线平行． 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 等式的性质． ，即等量代换． 故答案为：两直线平行，内错角相等，，； （2）解：是的平分线，是的平分线， ， 如图，过点作 ， ， 的度数为 （3）解：的度数为或或或 分以下情况： ①如图，当点在上方时，直线交于点，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在下方时，同理可得 ②如图，当点在和之间且点在右侧时，过点作，则 ， ，，平分，平分， ， 当点在和之间且点在左侧时，同理可得 综上，的度数为或或或 试卷第4页，共72页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $