微专题01 平行线中的拐点模型（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

**基本信息** 以拐点模型为核心，系统梳理猪蹄、铅笔头、靴子等9类模型，通过“模型识别-辅助线构造-结论应用”三阶方法体系实现解题突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |猪蹄/锯齿模型|6题|作平行线转化角关系，提炼“内错角/同旁内角”结论|从基础模型到扩展，构建“两线夹拐点”角数量关系推导链条| |铅笔头模型|6题|利用“同旁内角互补”推导多拐点角和公式|通过“n个拐点”扩展，形成角和与边数关系的一般规律| |靴子/鹰嘴模型|6题|结合角平分线性质，深化模型结论的综合应用|整合角平分线与平行线性质，提升复杂图形的分解能力| |蛇形/骨折模型|11题|动态旋转与多拐点叠加问题的模型迁移|从静态到动态，培养几何直观与推理意识，体现数学思维的严谨性|

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01平行线中的拐点模型 猪蹄模型、锯齿模型及其扩展 铅笔模型及其扩展 平行线中的拐点模型 靴子模型、鹰嘴模型 靴子模型的扩展及蛇形模型 骨折模型 德点鱼破 题型1猪蹄模型、锯齿模型及其扩展 啸方法 模型 猪蹄模型 锯齿模型 猪蹄模型的扩展 图例 D 结论 ∠A+LC=∠E ∠B+∠F=∠E+∠C ∠A+∠F+∠C=∠E+∠G 1.(25-26七年级下·广西桂林·月考)一块直角三角板如图所示放置，a∥b,若∠1=37°，则∠2的度数是() A.37° B.53° C.43° D.47° 2.(2026甘肃模拟预测)如图，直线a∥b,将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图方式放置， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 其中顶点A和C分别落在直线a和b上.若∠1=25°，则∠2的度数为() - A A.20° B.25° C.70° D.65 3.(23-24七年级下·辽宁大连·月考)如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可 形成如图②所示的平面示意图，弹的两边可看成平行的，即AB∥CD,活动小组在探索∠APD与∠A ,∠D的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使∠A=∠D时，瞄准最准确.现测得∠A=160°， ∠APD=40°，判断此时瞄准是否 (填“准确”或“不准确”) D 图① 图② 4.(25-26七年级下·江苏南通期中)如图，AB∥CD,PE平分LPEB,PF平分∠PFD,若设LP,EB=x°， LPFD=y°，则∠P=」 度（用x,y的代数式表示）；若PE平分LP,EB,PF平分∠PFD,可 得∠P,PE平分LPEB,PF平分LPFD,可得∠P,.,依次平分下去，则∠P26= 度 E A B P P D F 5.(25-26七年级下·广西桂林·月考)点A,C为射线1上两点，且AB∥CD. 图1 图2 图3 (I)如图1，点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED: (2)如图2，点E在线段AC的延长线上运动时，过点B作BM∥ED交I于点M,试画出图形探求∠MBA 与∠CDE的数量关系并加以证明； / 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图3，若点E,F在线段AC上，且LABE=3LABF=60°，DE平分∠FDC,则2∠BED-∠BFD的 度数为 6.(25-26七年级下·四川成都月考)如图，AB∥CD,定点E,F分别在直线AB,CD上，在平行线AB, CD之间有一动点P,满足0°<LEPF<180°. A B A B D 图1 图2 B D 图3 图4 (1)试问∠AEP,∠EPF,∠PFC满足怎样的数量关系？ (2)如图3，QE,QF分别平分∠PEB和LPFD,且点P在EF左侧. ①若LEPF=60°，则LEQF= ②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由； ③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点g,∠BEQ与∠DF2,的角平分线交于点2，∠BEQ2, 与∠DFQ2的角平分线交于点C;以此类推，则∠EPF与∠EQ2o1gF满足怎样的数量关系？（直接写出结 果) 题型2铅笔头模型及其扩展 妹方法 模型 铅笔头模型 铅笔模型的扩展 A B B 图例 D C D 结论 ∠A+∠C+∠E=360° ∠A+∠E+∠F+∠G+∠C=720° 1.(25-26七年级下.安徽阜阳期中)如图，直线CE∥DF,∠CAB=127°，∠ABD=86°，则 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠ECA+∠BDF的度数为() E B A.33° B.40° C.36° D.37° 2.(25-26七年级下·山东临沂·期中)随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生 活中的重要伙伴.如图所示，仿生机器狗平稳站立时，AB∥CD,∠ABE=∠CDE=145°，此时∠BED的 度数为() D A.60 B.65 C.70° D.75 3.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，已知AB∥CD,易得∠1+∠2+∠3=360°， ∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根据以上规律求∠1+∠2+∠3+…+∠7= A B B A B P 1 903 3 Q63 4 、7 C C D C D 4.(25-26七年级下辽宁铁岭期中)如图，已知a∥b,∠1=110°，∠3=60°，则∠2=° -a b 5.(25-26七年级下·福建宁德期中)如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥EF,若 ∠FCB=165°，∠EFG=95°，则∠B的度数是· 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G E A⊙⊙ 6.(25-26七年级下·湖北孝感期中)己知，直线AB∥CD,点P为平面上一点，连接PB与PD. B B A A D 力 图1 图2 图3 (I)如图1，若PB平分∠ABD,PD平分∠BDC,求∠BPD的度数 (2)如图2，点P在直线AB,CD之间，∠ABP与∠BDP的平分线相交于点Q,∠BPD=80°， ∠PBD=48°，∠PDC=20°，求LBQD的度数. (3)如图3，点P在直线CD下方，∠ABP与LCDP的平分线相交于点E,写出∠BED与∠BPD之间的数 量关系，并说明理由. 题型3靴子模型、鹰嘴模型 啸方法 模型 靴子模型 鹰嘴模型 图例 D C 结论 LE=∠A-∠C ∠E=∠C-∠A 1.(25-26七年级下·河北保定·期中)图，直线PQ∥MN,线段AB与MN交于点C,MN平分LBCD,点 E在直线P9上，BE平分∠PED,DE交MN于点F.若∠DEQ=100°，∠D=20°，则∠B=() 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.120° B.1109 C.100° D.80° 2.(25-26七年级下广东茂名·期中)【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何 图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系。 B 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，过点P作PE∥CD(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 【方法应用】 (2)如图2，若AB∥CD,∠BEP=150°，∠PFD=128°，则∠EPF= 【变式探究】 (3)如图3，AB∥CD,点P在AB的上方，间∠PEA,LPFC,∠EPF之间有什么数量关系？请说明理 由 【拓展延伸】 (4)如图4，若∠EPF=98°，∠PEA的平分线和LPFC的平分线交于点Q,则∠Q= 3.(25-26七年级下·浙江温州·期中)己知直线AB∥CD,E为平面内一点，点P、Q分别在直线AB、CD 上，连接PE,EO P F.------E 图1 图2 图3 (I)如图1，若点E在直线AB、CD之间，过点E作EF∥AB,∠PEQ=100°，LDQE=70°时，求∠BPE 的度数 (2)如图2，若点E在直线AB、CD之间，PF平分∠APE,QF平分∠CQE,当∠PFQ=135°时，求 ∠PEQ的度数 (3)如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE,PH平分∠APE,PH的反向延长线交QF于点 F,当∠PEQ=60°时，请直接写出∠PFQ的度数为· 4.(25-26七年级下·广东广州期中)己知：AB∥CD,E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，满足 EF∥GH. 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 GB G G B 10 2 CF H D M M 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠1=∠2. (2)如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M,作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N,EN交 GH于点P,求LENF的度数 (3)如图3，在(2)的条件下，当∠FEN=2∠HFM时，请间是否存在GL为定值，使得QG平分 ∠GPW ∠4GM?若存在，请求出G0的值；若不存在，请说明理由。 ∠GPN 5.(25-26七年级下黑龙江哈尔滨期中)在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB, CD和一副直角三角尺”开展数学活动. Q G C D O 图1 图2 图3 (1)如图1，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E,G分别放在直线AB,CD上，∠EFG=90°， 若∠FGC=25°，则∠AEF= (2)如图2，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PQF=90°，∠PFQ=60°，∠P=30°，FM平 分∠EFP交直线AB于点M,FN平分LQFG交直线CD于点N.将含60°角的三角尺绕着点F转动，且 使FG始终在∠PFQ的内部，请问LAMF+LCNF的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化， 说明理由、 (3)已知：直线AB∥CD,三角板EFH中∠EFH=90°，∠EHF=60°，∠FEH=30°.三角板EFH如图3 位置放置，在线段EH上取点P,连接FP并延长交直线CD于点T,在线段EF上取点K,连接PK并延 长交LCEH的角平分线于点Q,若PQ∥FH,且∠EFT=∠ETF,探究∠Q与∠HFT之间的数量关系并 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 说明理由， 6.(25-26七年级下·辽宁沈阳·期中)己知，AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,点H为AB上 一点，点M在直线EF右侧，且在直线AB和CD之间，连接MF、MH,FE平分∠CFM. 图1 图2 图3 (I)如图1，LBEF=70°，连接EM并延长交CD于点G,若LEGC=30°，HM‖EF,求∠EMH的度数： (2)如图2，∠BHM的角平分线HK所在直线交EF于点N,探究∠HMF与∠HNF之间的数量关系为 (3)如图3，在(2)的条件下，连接HF,若LHMF-∠HNF=45°，∠EFH+45°=3LNHE,判断HM是 否平分∠FHB？请说明理由. 题型4靴子模型的扩展及蛇形模型 方法 模型 靴子模型的扩展A 靴子模型的扩展B 蛇形模型 B 图例 B B D C D 结论 ∠E=∠A+∠C-180° ∠E=∠A+∠C-180 ∠E=180°+∠D-∠A 1.(25-26七年级下·浙江金华·期中)如图是一盏可调节台灯，固定底座A0⊥0E于点O,BA与CB是分别 可绕点A和B旋转的调节杆.在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE,且台灯最外侧光线 DM,DN组成的∠MDN始终保持60，调节台灯使LBAO=130°，且光线MD⊥AB,则此时∠PDN的 度数为 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E 2.(25-26七年级下·四川成都阶段检测)如图，AB∥CD,点E在直线BC左侧，BE⊥CE,∠ABE=60° ，射线BM从射线BE出发，绕点B以每秒3°的速度按顺时针方向旋转，同时射线CN从射线CE出发， 绕点C以每秒1°的速度按顺时针方向旋转，当射线BM旋转240°时两条射线都停止旋转.射线BM与射 线CN交于点P,若∠BPC=42°，则射线BM旋转了秒. A B E 3.(25-26六年级下·山东烟台·期中)2026年马年春晚舞台上，一群身手矫健的人形机器人着实火出了圈， 它们能流畅地耍武术、盘核桃、演小品，甚至跟着音乐跳街舞，技术进步肉眼可见，机器人在我国的日 常应用也越来越广泛.如图1是一个应用于生产的机械臂，可抽象出如图2的数学模型，若AB∥CD, AB⊥BE,LBEF=LDCF=I20°，则∠EFC的度数为 D 图1 图2 4.(25-26七年级下·陕西西安期中)如图，在一次无人机航拍任务中，无人机沿一条直线飞行至湖泊区域 时，为避开湖面障碍，需在B,C,D三个观测点依次调整航向，经过三次航向调整后，无人机的最终 飞行方向与第一次调整前的方向平行(AB∥DE).若LC=150°，LD=100°，则∠B的度数是 5.(25-26八年级下山东烟台·期中)如图，已知AB∥EF,∠B=40°，∠E=15°，则∠C-∠D的度数为 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型5骨折模型 媒方法 模型 骨折模型 B 图例 结论 LE=∠C-LA 1.(25-26七年级下·内蒙古乌兰察布期中)【课题学习】平行线的“等角转化” 如图①，己知点A是BC外一点，连接AB,AC.求∠BAC+∠B+∠C的度数， E B 图① 解：过点A作ED∥BC, ∠B= ,∠C= 又∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°， 、LB+∠BAC+LC= 【问题解决】 (1)阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B,“凑”在一起，得出角 之间的数量关系，使问题得以解决 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【拓广延伸】 (2)如图②，已知AB∥CD,BM,CM交于点M,∠BMC=80°，请探索∠B和∠C之间的数量关系： A D 图② (3)如图③，若AB∥CD,点P不在AB与CD之间，请直接写出∠B,∠D,∠BPD之间的数量关系. A B 图③ 2.(25-26七年级下·河北保定·期中)【课题学习】研究两条平行线间的拐点问题 //IN ▣入 图1 图2 图3 (1)【模型研究】如图1，AB∥CD,BE,CE交于点E,∠BEC=80°，∠C=20°，则∠B的度数是 (2)【深化拓展】如图2，若AB∥CD,点P在AB,CD的外部，请写出∠B,∠D,∠BPD之间的关系 并说明理由. (3)【实际应用】爱动脑的小菲发现书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图3所示，EF与桌 面MN垂直.当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行，即AC‖MN时，若∠DEF=126°，∠BCD=104°， 求∠CDE的度数。 3.(22-23七年级下·广西南宁·阶段检测)学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一 道题“如图1，AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,∠1+∠2=90°.判断AB,CD是否平行，并说明理由”， 试着“玩”起数学来： 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B A 图1 图2 图3 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,AB∥CD,则∠1+∠2=90°.” 小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由. 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“∠1+∠2=90°”这个结论不成立.请帮小明完成 探究： 如图2，AB∥CD,AP平分∠BAC,CP⊥AC,∠I是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角，若 ∠2=22°，求∠1的度数. 【拓展提高】 (3)如图3，若AB∥CD,AP⊥AC,CP平分∠ACD,试说明∠1+2∠2=90°. 4.(25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测)如图，己知AB∥CD,直线MN交AB,CD于G,H. 图1 图2 图3 (I)如图1，点I在直线AB与直线CD之间，请找出∠AG1、∠GH、∠IHC之间的关系，并说明理由； (2)如图2，点E在直线AB上，E位于G点右侧，点F在直线MN上，且在直线AB上方，点I在直线 AB与直线CD之间，∠FEA=2∠AE1,IP∥MN,若∠I-∠EFH=75°，求∠IEB (3)如图3，∠CHG=70°，点E在直线CD上(E在H点左侧)，点I在直线AB与直线CD之间，∠HG1 与∠HEI的角平分线交于点Q,请直接写出LEIG与LEQG的数量关系. 5.(25-26七年级下·湖北武汉·期中)【题目背景】在平面内，对于∠α和∠B,给出如下定义：若存在一个 常数k(k>0),使得∠a+k∠B=180°，则称∠B是∠a的k倍互补角” 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例如：∠a=100°，∠B=20°，有∠a+4∠B=180°，则∠B是∠a的4倍互补角” 备用图 图1 (1)【概念理解】 若∠a=75°，在∠1=35°，∠2=25°，∠3=15°中：是La的“3倍互补角”；是La的7 倍互补角”.（填“∠1”、“∠2”或者“∠3”）； (2)【初步应用】如图1，在平面内，AB∥CD,点E是直线AB上一点，点F是直线CD上一点，点G 为AB和CD两平行线间一点，连接GE、GF.已知EM平分∠AEG,FN平分∠DFG且交EM的反向延 长线于点N.请问∠FNE是∠EGF的“k倍互补角”吗？若是求出k的值，若不是请说明理由： (3)【问题解决】如图2，在平面内，AB∥CD,点E是直线AB上一点，点F是直线CD上一点，连接 EF,若H为直线EF右侧一动点（点H不在直线AB、CD上），∠EHF与LCFH的角平分线交于点S.已 知LBEH=m°，∠0是∠HSF的2倍互补角”，请直接写出∠0大小的所有可能值 (用含m代数 式表示) 6.(25-26七年级下·北京海淀·期中)如图1，AB∥CD,点E在直线AB上，点G在直线CD上， EF⊥FG. B D 图1 图3 (1)当0°<∠AEF<90°时， ①求证：LAEF+LFGC=90°. ②如图2，若直线PM平分∠FGC,直线EP平分∠BEF交PM于点P,求∠EPM的度数. (2)当90°<∠AEF<180°时，如图3，直线EP平分∠BEF.直线PM过点G交EP于点P,且满足 LFGC=nZPGC,请直接写出∠EPM与∠AEF的数量关系. 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01平行线中的拐点模型 猪蹄模型、锯齿模型及其扩展 铅笔模型及其扩展 平行线中的拐点模型 靴子模型、鹰嘴模型 靴子模型的扩展及蛇形模型 骨折模型 德点至破 题型1猪蹄模型、锯齿模型及其扩展 啸方法 模型 猪蹄模型 锯齿模型 猪蹄模型的扩展 B B 图例 D 结论 ∠A+∠C=∠E ∠B+∠F=∠E+∠C ∠A+∠F+∠C=E+∠G 1.(25-26七年级下，广西桂林·月考)一块直角三角板如图所示放置，a∥b,若1=37°，则∠2的度数是 () A.370 B.53° C.43° D.47° 1/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 【答案】B 【分析】过点A作AB∥α，根据平行线的性质，求得∠3=37°，进一步得到∠4=53°，再根据平行线 的传递性证明AB∥b,最后根据平行线的性质，即可得到答案， 【详解】解：过点A作AB∥a, .∠3=∠1=37°， ∴.∠4=90°-∠3=90°-37°=53°， .allb, .AB∥b, .∠2=∠4=53°. -B b 2.(2026甘肃·模拟预测)如图，直线a∥b,将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图方式放 置，其中顶点A和C分别落在直线a和b上，若∠1=25°，则∠2的度数为() A.20° B.25 C.70° D.659 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，过点B作BE∥直线a,结合a∥b,得BE∥a∥b,得出 ∠1=∠3，∠2=∠4，得A+∠2=45°，又因为∠1=25°，得出∠2的度数，即可作答. 【详解】解：依题意，∠ABC=45 过点B作BE∥直线a, E 4 B a 2/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 ,直线a∥b, BE∥a∥b, ∠1=∠3，∠2=∠4， 则∠1+∠2=∠3+∠4=∠ABC=45°， ×∠1=25°， ∠2=45°-∠1=45°-25°=20°， 故选：A. 3.(23-24七年级下·辽宁大连·月考)如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋 可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即AB∥CD,活动小组在探索∠APD与 ∠A,∠D的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使∠A=∠D时，瞄准最准确.现测得∠A=160°， ∠APD=40°，判断此时瞄准是否 （填“准确”或“不准确”) D 图① 图② 【答案】准确 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键， 过点P作PQ∥AB,利用两直线平行，同旁内角互补求出∠D=160°，即有∠A=∠D=160°，问题得 解。 【详解】解：如图，过点P作PQ∥AB, B A D 则∠APQ=180°-∠A=180°-160°=20° .∠QPD=∠APD-∠APQ=40°-20°=20°. AB∥CD,PQ∥AB, .CD∥P2. ∠D=180°-∠QPD=180°-20°=160°. ∠A=∠D=160°. 此时瞄准最准确。 3/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 故答案为：准确， 4.(25-26七年级下·江苏南通期中)如图，AB∥CD,PE平分∠PEB,PF平分∠PFD,若设 ∠REB=x°，∠RFD=y°，则∠P= 度（用x,y的代数式表示）；若PE平分∠PEB,PF平 分∠PFD,可得∠P,PE平分∠REB,PF平分∠PFD,可得∠P,,依次平分下去，则∠Po26 度 E B >P2 D F 12025 【答案】 1 (x+y) 2 (x+y) 【分析】本题考查平行线的拐点模型与角平分线的递推规律，解题核心是过拐点作平行线，利用平行 线的内错角相等，求出∠P，再归纳出∠P的通用公式，进而求出∠P26· 【详解】解：过点P作HP‖AB, A B H--- P P3:AB II HP,AB∥CD, D ∴.∠BER=∠EPH=x°，HP CD, ∴.∠DFP=∠FPH=y°， ∴.∠EPF=∠EPH+∠FPH=(x+y)°， 同理过R作平行线可得Rx+)。 同理过P作平行线可得 e小 依此类推， 可两g+列小， 4/53 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 5,(25-26七年级下·广西桂林·月考)点A,C为射线1上两点，且AB∥CD, D 图1 图2 图3 (I)如图1，点E在线段AC上，求证：∠B+∠D=∠BED; (2)如图2，点E在线段AC的延长线上运动时，过点B作BM∥ED交1于点M,试画出图形探求 MBA与∠CDE的数量关系并加以证明； (3)如图3，若点E,F在线段AC上，且∠ABE=3∠ABF=60°，DE平分∠FDC,则2∠BED-∠BFD 的度数为 【答案】()证明见解析 (2)画图见解析，∠MBA=∠CDE,证明见解析 (3)100° 【分析】(1)过点E作EG∥AB,根据平行线的判定可得∠BEG=∠B,根据平行线的传递性得到 EG∥CD,可得∠DEG=∠D,即可证明结论； (2)根据题意画出图形；延长BM,DC相交于点P,根据平行线的判定可得∠MBA=∠P, ∠CDE=∠P，,即可得到答案； (3)设∠CDE=x,由(1)的结论可得∠BED=60°+x,∠BFD=20°+2x,再代入2∠BED-∠BFD 计算即可， 【详解】(1)证明：过点E作EG∥AB, B .∠BEG=∠B C :AB‖CD ∴.EG∥CD .∠DEG=∠D ∴.∠B+∠D=∠BEG+∠DEG=∠BED; (2)解：图形如下，∠MBA=∠CDE; 5/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 证明：延长BM,DC相交于点P, B D M C 1.AB II CD, E ∴.∠MBA=∠P, :BM∥ED, ∴.∠CDE=∠P, ∴.∠MBA=∠CDE; (3)解：设∠CDE=x, :DE平分∠FDC, ∴，∠FDE=∠CDE=x, ∴.∠CDF=2x, :∠ABE=3∠ABF=60°， .∠ABF=20°， 由(1)知，∠BED=∠ABE+∠CDE=60°+x,∠BFD=∠ABF+∠CDF=20°+2x, .2∠BED-∠BFD=2(60°+x)-(2x+20)=120°+2x-2x-20°=100°. 6.(25-26七年级下·四川成都月考)如图，AB∥CD,定点E,F分别在直线AB,CD上，在平行线 AB,CD之间有一动点P,满足0°<∠EPF<180°， E B B F D D 图1 图2 E B A B Q>0>2>2o18 F D D 图3 图4 (I)试问∠AEP,∠EPF,∠PFC满足怎样的数量关系？ 6/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 (2)如图3，QE,QF分别平分PEB和∠PFD,且点P在EF左侧. ①若∠EPF=60°，则∠EQF= ②猜想∠EP℉与∠EQF的数量关系，并说明理由； ③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点O,∠BEQ与∠DF2的角平分线交于点Q2, ∠BEQ,与∠DFQ的角平分线交于点2；以此类推，则∠EPF与∠EQ1sF满足怎样的数量关系？ (直接写出结果) 【答案】(I)∠AEP+∠PFC=∠EPF或∠AEP+∠PFC+∠FPE=360° (2)①150°；②∠EPF+2∠E0F=360°；③∠EPF+2019∠E01sF=360° 【分析】(1)对于图1，过点P作PN∥AB,根据平行线的判定与性质，可得∠AEP=∠EPN, ∠PFC=∠FPN,两式相加即可得到答案；对于图2，过点P作PM∥AB,根据平行线的判定与性 质，可得∠AEP=180°-∠EPM,∠PFC=180°-∠FPM,两式相加，即可求得答案； (2)①根据(1)可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，逐步求出∠BEP+∠DFP=300°， ∠BEQ+∠DFQ=150°，再根据(1)的结论，即可求得答案； ②根据(2)①可逐步推得∠BEP+∠DP=360°-∠BPF,结合∠BEQ+∠DPQ∠BEP+∠DFP), 可推得∠BEQ+∠DFQ=(360°-∠EPF),再由(1)知∠BOP=∠B80+∠DPO,可得 ∠E0F=(60-∠EPF),即得答案： ③根据(1)，可逐步求得∠EQF=2∠EQF,∠EQF=2∠EQ,F,以此类推，可得 ∠EQF=2”∠EQnF,再由②知，∠EPF+2∠EQF=360°，可得∠EPF+2×2”∠EQ,F=360°，即得答 案。 【详解】(1)解：如图①，当点P在EF左侧（图1位置） 过点P作PN∥AB, .∴∠AEP=∠EPN, 'AB∥CD, ..PN∥CD, ∴.∠PFC=∠FPN, .∴.∠AEP+∠PFC=∠EPN+∠FPN=∠EPF; 7/53 可学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 E B F D 图1 如图②，当点P在EF右侧（图2位置） 过点P作PM∥AB, .∠AEP=180°-∠EPM, 'AB∥CD, ..PM CD, .∠PFC=180°-∠FPM, ∴∠AEP+∠PFC=180°-∠EPM+180°-∠FPM =360°-（∠EPM+∠FPM) =360°-∠EPF, 即∠AEP+∠PFC+∠FPE=360°； A B D 图2 (2)解：①当∠EPF=60°时，如图3， 由(1)可知∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°， ∴.∠BEP+∠DFP=180°-∠AEP+180°-∠PFC =360°-（∠AEP+∠PFC) =360°-60°， =300°， :QE,QF分别平分PEB和∠PFD, ∠BEO=}∠BEP,∠DFO=∠DFP, 2 ∠BEQ+DFO= ∠BEP+∠DFP=(∠BBP+∠DFP)=,×30°=150°， 2 2 同(1)得，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=150°； 8/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 ②由(2)①知，∠AEP+∠PFC=∠EPF, ∴.∠BEP+∠DFP=180°-∠AEP+180°-∠PFC=360°-（∠AEP+∠PFC)=360°-∠EPF, 由(2)①知∠BQ+∠DrQ=∠BEP+∠DP), ∠BEQ+∠DP0-(360-∠EPF), 由(1)知∠EOF=∠BEQ+∠DF9, ∠B0r=(860-∠EPr, 整理得∠EPF+2∠EQF=360°； ③由(1)知，∠E0F=∠BEQ+∠DFQ, :∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q, ∠B0,5BEQ,Dr0-DrQ. 同DRer=/BRQ+DrC-号e*号nrQ=ag+nrQ-5RQr. RQ,F=0+Dre-号2+5Drg-Ag+D0)-号R0r, ∴.∠EQF=2∠EQF,∠EQF=2∠EQ,F, 以此类推，可得∠EQF=2”∠EQ,F, 由②知，∠EPF+2∠EQF=360°， .∠EPF+2×2”∠E2nF=360°， ∴.∠EPF+2+1∠EQnF=360°， 当n=2018时，∠EPF+22019∠EQ218F=360°. 【点晴】对于平行线的问题，通常添加平行线，根据平行线的性质与判定解题，本题还需根据(1)中 的计算结论以及角平分线的定义，探求∠EQF与∠EQF存在的规律，是本题的难点. 题型2铅笔头模型及其扩展 9/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 啸方法 模型 铅笔头模型 铅笔模型的扩展 A B 中 图例 D 结论 ∠A+∠C+∠E=360° ∠A+∠E+∠F+∠G+∠C=720° 1.(25-26七年级下·安徽阜阳·期中)如图，直线CE∥DF,∠CAB=127°，∠ABD=86°，则 ∠ECA+∠BDF的度数为() C E D A.33° B.40° C.36° D.37° 【答案】A 【分析】根据“拐点”模型作AG∥CE,BH∥DF,得到∠ECA=∠CAG,∠BDF=∠HBD,结合 CE∥DF得到BH∥AG则∠GAB+∠HBA=180°，最后根据 ∠CAB+∠ABD=∠CAG+∠GAB+∠HBA+∠DBH求解即可. 【详解】解：作AG∥CE,BH∥DF, C E G B D ∠ECA=∠CAG,∠BDF=∠HBD, CE∥DF, BH∥AG, ∠GAB+∠HBA=180°， ∠CAB=127°，∠ABD=86°， ·∠CAB+∠ABD=∠CAG+∠GAB+∠HBA+∠DBH=86°+127°， ∠ECA+∠BDF+180°=127°+86°， 10/53 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 .∠ECA+∠BDF=33° 2.(25-26七年级下·山东临祈·期中)随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生 活中的重要伙伴.如图所示，仿生机器狗平稳站立时，AB∥CD,∠ABE=∠CDE=145°，此时∠BED 的度数为() D A.60° B.65 C.70° D.75 【答案】C 【分析】过点E作EF∥AB,由平行线的判定与性质，数形结合求角度即可， 【详解】解：过点E作EF∥AB,如图所示： E .'AB‖CD, .AB∥EF∥CD .'∠ABE=∠CDE=145°， .∠FEB=180°-∠ABE=35°，∠FED=180°-∠CDE=35°， 则∠BED=∠FEB+∠FED=35°+35°=70°. 3.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期中)如图，已知AB∥CD,易得A+∠2+∠3=360°， ∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根据以上规律求A+∠2+∠3++∠7= B B B Q03 Q63 【答案】1080°/1080度 【分析】通过作辅助线，利用平行线的性质找出角度和的变化规律 11/53 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：当有3个角∠1，∠2，∠3时，和为360°=2×180°； 当有4个角∠1，∠2，∠3，∠4时，和为540°=3×180°； 从图形可以看出，每增加一个“折点”（即增加一个角），角度和就增加180°， 对于n个角，角度和的公式为：∠1+∠2+..+∠n=(n-1)×180°， ∴.∠1+∠2+.+∠7=(7-1)×180°=6×180°=1080°. 4.（25-26七年级下·辽宁铁岭期中)如图，己知a∥b,∠1=110°，∠3=60°，则∠2=° -a b 【答案】130 【分析】设点A为∠3的顶点，过点A作AB∥a,则AB∥a∥b,由平行线的性质得到 ∠I+∠BAC=180°，∠2+∠BAD=180°，则可求出∠BAC的度数，再根据平角的定义求出∠BAD的度 数即可得到答案， 【详解】解：如图所示，设点A为∠3的顶点，过点A作AB∥a, --B D 6 a∥b, ∴AB∥a∥b, ∠1+∠BAC=180°，∠2+∠BAD=180°， 4=110°， ∴.∠BAC=70°， .∠3=60°， ∴∠BAC+∠BAD=180°-∠3=120°， .∠BAD=50°， ∠2=130°. 12/53 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26七年级下·福建宁德期中)如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥EF.若 ∠FCB=165°，∠EFG=95°，则∠B的度数是 G A D B 【答案】80° 【分析】过点C作CH∥AB,利用平行线的判定和性质以及角的和差进行求解. 【详解】解：如图所示，过点C作CH∥AB, G F ------H AB∥EF, AB∥CH∥EF, ∴∠FCH=∠EFC=180°-∠EFG=180°-95°=85°， ∠B=∠BCH=∠FCB-∠FCH=165°-85°=80°. 6.(25-26七年级下·湖北孝感期中)己知，直线AB∥CD,点P为平面上一点，连接PB与PD. B D 图1 图2 图3 (I)如图1，若PB平分∠ABD,PD平分∠BDC,求∠BPD的度数， (2)如图2，点P在直线AB,CD之间，∠ABP与∠BDP的平分线相交于点Q,∠BPD=80°， ∠PBD=48°，∠PDC=20°，求∠BQD的度数， (3)如图3，点P在直线CD下方，∠ABP与∠CDP的平分线相交于点E,写出∠BED与∠BPD之间的 数量关系，并说明理由， 【答案】(1)90 13/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 (2)76° (③)∠BED= 2∠BPD,见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质、角平分线的性质和角度的和差关系等知识点， (I)过P作PF∥AB,则PF∥AB∥CD,得到∠ABP=∠BPF、∠PDC=∠FPD和 ☑BD+BDCI80P,结合角平分的性质得到ZABP)ABD和∠PDC专 ∠BDC,利用 ∠BPD=∠BPF+∠FPD=∠ABP+∠PDC即可； (2)过P作PF∥AB,由(1)可知∠BPD=∠ABP+∠PDC,过Q作QH∥AB,同理可得， ∠BQD=∠ABQ+∠QDC,即可求得∠ABP=∠BPD-∠PDC和∠ABD=∠ABP+∠PBD,进一步求得 BDC180P-ABD和ZBDP=RDC-PDC,结合角平分线得乙ABO-ABP和PDO-BDP 利用∠BQD=∠ABQ+∠QDC求解即可： (3)过P作PM∥AB,过E作EN∥AB,则∠ABP=∠BPM和∠CDP=∠DPM,得到 ∠BPD=∠BPM-∠DPM=∠ABP-∠CDP,同理可得∠BED=∠BEN-∠DEN=∠ABE-∠CDE,结合 平分线得∠ABE=∠AaP和∠CDE=)CDP,利用∠BEBD=∠ABE-∠CDE--ABP-)∠CDP求解 即可 【详解】(1)解：如图，过P作PF∥AB, B AB∥CD, ∴PF∥AB∥CD, .∠ABP=∠BPF,∠PDC=∠FPD,∠ABD+∠BDC=18O°， PB平分∠ABD,PD平分∠BDC, ∠ABP= 2∠ABD,PDC=}∠BDC, .∠BPD=∠BPF+∠FPD=∠ABP+∠PDC 4DB0c-方1s0=0: (2)解：如图，过P作PF∥AB, 14/53 可学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 B -F 由(1)可知∠BPD=∠ABP+∠PDC, 过Q作QH∥AB, 同理可得，∠BQD=∠ABQ+∠QDC, ∠BPD=80°，∠PDC=20°， ∴∠ABP=∠BPD-∠PDC=60°， ∠PBD=48°， .∠ABD=∠ABP+∠PBD=60°+48°=108°， AB∥CD, ∠ABD+∠BDC=180°， ∠BDC=180°-∠ABD=72°， ∠PDC=20°， .∠BDP=∠BDC-∠PDC=52°， ~∠ABP与∠BDP的平分线相交于点Q, 2AB0-2∠ABP=30,PD0= ∠BDP=26, ·∠BQD=∠ABQ+∠QDC=∠ABQ+∠QDP+∠PDC=76°， (3)解：∠BED=∠BPD,理由如下： 2 如图，过P作PM∥AB,过E作EN∥AB, ·-M AB∥CD, PMI‖AB ICD, .∠ABP=∠BPM,∠CDP=∠DPM, 15/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 .∠BPD=∠BPM-∠DPM=∠ABP-∠CDP, 同理可得：∠BED=∠BEN-∠DEN=∠ABE-∠CDE, ~∠ABP与∠CDP的平分线相交于点E, ∴BE平分∠ABP,DE平分∠CDP, ∠ABE-∠ABP,CDE-<CDP, 2 A∠BED=∠ABE-∠CDE=}∠ABP-3∠CDP 2 (∠ABP-∠CDP)=)∠BPD 题型3靴子模型、鹰嘴模型 啸方法 模型 靴子模型 鹰嘴模型 图例 D 结论 ∠E=∠A-∠C ∠E=∠C-∠A 1.(25-26七年级下·河北保定期中)图，直线PQ∥MN,线段AB与MN交于点C,MN平分∠BCD, 点E在直线PQ上，BE平分∠PED,DE交MN于点F,若∠DEQ=100°，∠D=20°，则∠B=() M B A.120° B.110° C.100° D.80° 【答案】C 【分析】过点B作BG∥PQ,过点D作DH∥PQ,则PQ∥MN∥BG∥DH,由平行线的性质得到 ∠DCM=∠HDC,∠CBG=∠BCM,∠EBG=∠BEP, ∠HDE=180°-∠DEQ=8O°，据此求出∠MCD的度数，由角平分线的定义求出∠BCM,∠BEP的度 数即可得到答案。 16/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 【详解】解：如图所示，过点B作BG∥PQ,过点D作DH∥PQ, --H M B G E 0 PQ∥N, PQ∥MN∥BG∥DH, ·∠DCM=∠HDC,∠CBG=∠BCM,∠EBG=∠BEP, ∠HDE=180°-∠DEQ=80°， .∠DCM=∠HDC=∠HDE-∠CDE=60°， MN平分∠BCD, ∠BCM=∠DCM=60°， .∠CBG=60°， ∠PED=180°-∠DEQ=80°，BE平分∠PED, ·∠EBG=∠BEP= 2<PBD=40, .∠CBE=∠CBG+∠EBG=100°. 2.(25-26七年级下·广东茂名·期中)【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几 何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，过点P作PE∥CD（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 【方法应用】 (2)如图2，若AB∥CD,∠BEP=150°，∠PFD=128°，则∠EPF= 【变式探究】 (3)如图3，AB∥CD,点P在AB的上方，问∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有什么数量关系？请说明理 由 【拓展延伸】 17/53 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 (4)如图4，若∠EPF=98°，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点Q,则∠Q= 【答案】(1)见解析 (2)∠EPF=82° (3)∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系是：∠PFC-∠PEA=∠EPF;理由见解析 (4)131 【分析】(1)作∠DPE=∠D,即可解答； (2)过点P作PN∥AB(点N在点P的右侧)，则∠EPN+∠BEP=180°，由此得∠EPN=30°，证明 PN∥CD得∠FPN+∠PFD=180°，由此得∠FPN=52°，然后根据∠EPF=∠BEP+∠PFD即可得出答 案 (3)过点P作PH∥AB(点H在点P的右侧)，则∠HPE=∠PEA,证明PH∥CD得 ∠HPF=∠PFC,然后根据∠EPF=∠HPF-∠HPE即可得出∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系； (4)由角平分线定义设∠AEQ=∠PEQ=x,∠CF2=∠PFQ=B,则∠AEP=2a,∠CFP=2B,进而 得∠BEP=180°-2，∠DFP=180°-2B,由(1)的结论得∠Q=∠AEQ+∠CFQ=ax+B, ∠EPF=∠BEP+∠DFP=360°-2(ax+B),再根据∠EPF=98°得98°=360°-2(a+B),进而得 +B=131°，据此即可得出∠Q的度数. 【详解】(1)解：如图，PE即为所求： B C (2)解：过点P作PN∥AB(点N在点P的右侧)，如图2所示： A EB F D 图2 ∴.∠EPN+∠BEP=180°， ∠BEP=150°， .∠EPN=180°-∠BEP=30°， AB∥CD, PN∥CD, 18/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 .∠FPN+∠PFD=180°， ∠PFD=128°， ∠FPN=180°-∠PFD=52°， ∠EPF=∠EPN+∠FPN=30°+52°=82°； (3)解：∠PEA,∠PFC,∠EPF之间的数量关系是：∠PFC-∠PEA=∠EPF；理由如下： 过点P作PH∥AB(点H在点P的右侧)，如图3所示： B 图3 ∠HPE=∠PEA, AB∥CD, PH∥CD, ∠HPF=∠PFC, .∠EPF=∠HPF-∠HPE=∠PFC-∠PEA, 即∠PEA,∠PFC，∠EPF之间的数量关系是：∠PFC-∠PEA=∠EPF; (4)解：~∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点Q, ∴设∠AEQ=∠PEQ=ax,∠CFQ=∠PFQ=B, ∠AEP=2a,∠CFP=2B, .∠BEP=180°-∠AEP=180°-2a,∠DFP=180°-∠CFP=180°-2B, 由(1)的结论得：∠Q=∠AEQ+∠CFQ=+B, ∠EPF=∠BEP+∠DFP=360°-2(ax+B), ∠EPF=98°， .98°=360°-2(ax+B), 解得：x+B=131°， ∠Q=x+B=131°. 3.(25-26七年级下·浙江温州·期中)己知直线AB∥CD,E为平面内一点，点P、Q分别在直线AB、 CD上，连接PE,EQ. 19/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 B E 图1 图2 图3 (1)如图1，若点E在直线AB、CD之间，过点E作EF∥AB,∠PEQ=100°，∠DQE=70°时，求 ∠BPE的度数， (2)如图2，若点E在直线AB、CD之间，PF平分∠APE,QF平分∠CQE,当∠PFQ=135°时，求 ∠PEQ的度数， (3)如图3，若点E在直线AB的上方，QF平分∠CQE,PH平分∠APE,PH的反向延长线交QF于点 F,当∠PEQ=60°时，请直接写出∠PFQ的度数为 【答案】(1)30 (2)90° (3)150° 【分析】(1)通过平行线的性质结合∠PEQ=∠PEF+∠QEF即可求解； (2)同理(1)得∠PEQ=∠BPE+∠DQE,∠PFQ=∠APF+∠CQF,由已知得到 ∠APF+∠CQF=135°，根据PF平分∠APE,QF平分∠CQE,求出∠APE+∠CQE=270°，再根据 ∠BPE=180°-∠APE,∠DQE=180°-∠CQE,即可求解： (3)过点E作EG‖AB,可得EG‖AB‖CD,通过平行线的性质结合∠PEQ=∠QEG-∠PEG等量代 换可得∠DQE-∠BPE=6O°；过点F作FN‖AB，,可得FNI‖AB‖CD,由平行线的性质结合角平分线 的性质可得∠COF=90-】∠DOE,∠APH=90°-】∠BPE,∠PFQ=∠PFN+∠QFN等量代换即可得 2 2 解。 【详解】(1)解：：AB IICD,EFAB, .EF AB‖CD, .∠BPE=∠PEF,∠DOE=∠QEF; :∠PEQ=∠PEF+∠QEF, ∴.∠PEQ=∠BPE+DQE, ×∠PEQ=100°，∠DQE=70 ∴.∠BPE=∠PEQ-∠DQE=100°-70°=30°； (2)解：同理(1)得：∠PEQ=∠BPE+∠DQE,∠PFQ=∠APF+∠CQF, 20/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠☑PF2=135°， ∠APF+∠CQF=135°， :PF平分∠APE,QF平分∠CQE, .2∠APF=∠APE,2∠COF=∠CQE, .∠APE+∠CQE=2∠APF+2∠CQF=2(∠APF+∠CQF)=270°， ×∠BPE=180°-∠APE,∠DQE=180°-∠CQE, .∠PEQ=∠BPE+∠DQE=180°-∠APE+180°-∠CQE=360°-（∠APE+∠CQE)=90°； (3)解：如图，过点E作EG IIAB, HG B AB IICD, 图3 .EGI ABII CD, ∴∠BPE=∠PEG,∠DQE=∠QEG, ∴.∠PEQ=∠QEG-∠PEG=∠DQE-∠BPE=60°； 过点F作FN‖AB, AB IICD, .FN II AB IICD .∠PFN+∠BPF=180°，∠QFN=∠CQF, .∠PFN=180°-∠BPF=180°-∠APH; :QF平分∠CQE,PH平分∠APE, coF-COF-(0-DOE)-D 2 ∠APH-APE-0so-∠BPE)=9w-BnE, ∴.∠PFO=∠PFN+∠QFN =180°-∠APH+∠CQF =180° (o-BPE =180°-90°+1∠BPE+90°-1∠DQE 21/53 可学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 =180-D0E-∠BPE) =180° 1 ×609 =150°， 4.(25-26七年级下·广东广州期中)已知：AB∥CD,E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，满足 EF∥GH. E G B G B G B 2 H M 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠1=∠2. (2)如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M,作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N,EN 交GH于点P,求∠ENF的度数. ∠GQH (3)如图3，在(2)的条件下，当∠FEN=2∠HFM时，请问是否存在 为定值，使得QG平分 ∠GPN ∠AG1？若存在，请求出∠GO1 ∠GPN 的值；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)见详解 (2)45° ()GOH_1 ∠GPN4 【分析】(1)根据平行线的性质，结合等量代换进行证明即可； (2)过点N作NK∥CD,设∠GEN=∠FEN=X,∠DFN=∠MN=y进而得到∠EFD=180°-2x,结合 垂线的性质得到∠EFM=90°，进而得到x-y=45°，从而问题可求解； (3)由∠FEN=2∠HFM结合(2)中的结论，得y=15°、x=60°，进而得到 ∠BEF=120°，∠EGH=60°及∠FEP=∠GPE=60°，由角平分线的性质及平行线的性质得到 ∠00H=∠BoQ=30,进而得到<GPN=12,从而计算8的值。 【详解】(1)证明：~AB∥CD; .∠A=∠GHD EF∥GH; 22/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 .∠2=∠GHD」 ∴∠1=∠2； (2)解：由题意，过点N作NK∥CD, A E H C F D M AB∥CD, .AB∥CD∥KN, ∠NE=∠GEN,∠NF=∠DFN, EN,FN分别平分∠BEF,∠DFM, :∠GEN=☑FEN,∠DN=∠MN, 设∠GEN=∠FEN=x,∠DFN=∠MN=y, ·∠ENK=∠FEN=∠GEN=x,∠NF=∠DFN=∠MN=y, AB∥CD, ∠EFD=180°-2x, ~FM⊥GH, .∠FMH=90°， EF∥GH, .∠FMH+∠EFM=180°， ∴∠EFM=90°， ∠EFM=∠EFD+∠DM=180°-2x+2y=90°， x-y=45°， .∠ENF=∠ENK-∠FNK=x-y=45°； (3)解：设∠GN=∠FN=x∠DN=∠MN=y, :∠HFM=∠DFN+∠MN=2y '∠FEN=2∠HFM, x=2×2y 23/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 x=4y, x-y=45°， y=15°，x=60°， ∠BEF=60°+60°=120°， EF∥GH, ∠EGH=180°-∠FEG=60°，∠FEP=∠GPE=60°， QG是∠AGM的平分线， 1 ∠BG0-2∠EGH=30, AB∥CD, ∠GQH=∠EG0=30°， ∠GPN=180°-∠EPG=180°-60°=120°， ,∠GQH30°1 ∠GPN120°4 5.(25-26七年级下·黑龙江哈尔滨期中)在数学综合与实践课上，老师让同学们借助“两条平行线AB, CD和一副直角三角尺”开展数学活动. Q B EM B B G D 9 图1 图2 图3 (I)如图1，小颖把等腰直角三角尺的两个锐角的顶点E,G分别放在直线AB,CD上，∠EFG=90°， 若∠FGC=25°，则∠AEF=· (2)如图2，小亮把三角尺60°角的顶点放在点F处，即∠PQF=90°，∠PFQ=60°，∠P=30°，FM平 分∠EFP交直线AB于点M,FN平分∠QFG交直线CD于点N,将含60°角的三角尺绕着点F转动，且 使FG始终在∠PFQ的内部，请问∠AMF+∠CNF的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化， 说明理由、 (3)已知：直线AB∥CD,三角板EFH中∠EFH=90°，∠EHF=60°，∠FEH=30°，三角板EFH如图 24/53 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 3位置放置，在线段EH上取点P,连接FP并延长交直线CD于点T,在线段EF上取点K,连接PK并 延长交∠CEH的角平分线于点O,若PQ∥FH,且∠EFT=∠ETF.探究∠Q与∠HFT之间的数量关系 并说明理由. 【答案】(1)65° (2)不变，∠AMF+∠CNF=75 (3)∠Q-∠HFT=15° 【分析】(1)过F作FH∥CD,根据平行线的性质求解即可； (2)过F作FW∥CD,设∠3=∠4=，由角平分线的定义可得∠MN=75°，再根据平行线的性质 即可得解， (3)过Q作OM∥CD,PN∥DE,设∠AFE=x,则∠BFH=90°-x,∠EFB=180°-x,根据平行 线的性质分别求出∠HT=号，AM0P=90-x,△MOE=10s-x,进而求出∠PQE=159+, 2 即可得解， 【详解】(1)解：过F作FH∥CD, E B ∴.∠HFG=∠FGC=25°， ---.H G D .'∠EFG=90°， ∴.∠EFH=90°-25°=65°， .CD∥AB,FH∥CD, AB∥FH, .∠AEF=∠EFH=65°. (2)解：不变，∠AMF+∠CNF=75°， 如图，过F作FW∥CD, E M 25/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 ~FN、FM分别平分∠QFG、∠EFP, ∠QFG=2∠3=2∠4，∠EFP=2∠1=2∠2， 设∠3=∠4=x, ∠QFP=60°， ∴∠PFN=60°-ax,∠PFG=60°-2a. ∠EFG=90°， .∠EFP=2∠1=∠EFG-∠PFG=90°-(60°-2Cx)=30°+2x. .∠1=∠2=15°+a, ·∠MFN=∠PFN+∠2=(60°-x)+(15°+x)=75°. FW∥CD, ∴∠CNF=∠NFW, AB∥CD, FW∥AB, .∠AMF=∠MFW, :∠MFN=∠WFM+∠NFW=∠AMF+∠FNC, ∴∠AMF+∠PFNC=∠MFN=75°. 即∠AMF+∠CNF=75°. (3)解：过Q作QM∥CD,PN∥CD, --M A N---- H CE D 设∠AFE=x,则∠BFH=90°-x,∠EFB=180°-x, AB∥CD, ∴.∠ETF=∠BFT,∠FET=∠AFE=x, .∠PET=x-30°， 26/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠CEH=180°-(x-30)=210°-x, ~EQ平分∠CEH, ÷∠QEC=1∠CEH=105°-1x 2, QM∥CD, ·∠M0E=∠QEC=105°-1 , PN∥CD, ∴.∠NPE=∠PET=x-30°， '∠EFT=∠ETF, ∠BT=∠B7=080到=90-， ·∠HFT=∠BFT-∠BFH=90°- 2x-(90°-)= x, 2 PQ∥FH, ∠QPE=∠H=60°， .∠QPN=∠QPE-∠NPE=60°-(x-30)=90°-x, PN∥CD,QM∥CD, PN∥QM, ∴.∠MQP=∠QPN=90°-x, ∠PQE=AM0E-M0P=-105-(o0--153, r0E-T=15+x=15,即0-7-15 6.(25-26七年级下·辽宁沈阳·期中)已知，AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点E、F,点H为AB上 一点，点M在直线EF右侧，且在直线AB和CD之间，连接MF、MH,FE平分∠CFM. B A 图1 图2 图3 (1)如图1，∠BEF=70°，连接EM并延长交CD于点G,若∠EGC=30°，M‖EF,求∠EMH的度 27/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 数； (2)如图2，∠BM的角平分线HK所在直线交EF于点N,探究∠HMF与∠HNF之间的数量关系为 (3)如图3，在(2)的条件下，连接HF,若∠HMF-∠HNF=45°，∠EFH+45°=3∠NHE,判断HM 是否平分∠FHB？请说明理由. 【答案】(1)40 (2)∠HMF+2∠HNF=180° (3)HM平分∠FHB,理由见解析 【分析】(1)根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； (2)作MG∥AB,NI∥AB,根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可； (3)根据已知条件，求出∠HNF=45°，进而得到∠CFN-∠BHK=45°，结合 ∠EFH+45°=3∠NHE=3∠BHK,推出∠CFH=2∠BHM,平行线的性质，得到∠BHF=∠CFH,进 而得到∠BHF=2∠BHM,即可得证， 【详解】(1)解：~AB∥CD, .∠BEM=∠CGE=30°， ∠BEF=70°， :.∠FEG=∠BEF-∠BEM=40°， HM‖EF, ∴∠EMH=∠FEG=40°； (2)解：作MG∥AB,NI∥AB, AB∥CD, ..MGII AB II CD II NI, :∠HMG=∠BHM,∠FMG=18O°-∠CFM,∠ENI=∠CFN,∠HNI=∠BHK, ∠HMF=∠BHM+18O°-∠CFM,∠HNF=∠CFN-∠BHK, .2∠HNF=2∠CFN-2∠BHK, 28/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 FE平分∠CFM,HK平分∠BM, ∠CFM=2∠CFN,∠BHM=2∠BHK, .2∠HNF=∠CFM-∠BHM, .∠HMF+2∠HNF=∠BHM+180°-∠CFM+∠CFM-∠BHM=180°； (3)解：HM平分∠FHB,理由如下： 由(2)知：∠HMF+2∠HNF=180°， ∠HMF-∠HNF=45°， ∠HNF=∠HMF-45°， ·.∠HMF+2∠HNF=∠HMF+2(∠HMF-45)=180°， ∴∠HMF=90°， ∠HNF=∠HMF-45°=45°， 由(2)可知：∠HNF=∠CFN-∠BHK, .∠CFN-∠BHK=45°， ∠EFH+45°=3∠NHE=3∠BHK, .3∠BHK-∠EFH=45°， ·∠CFN-∠BHK=3∠BHK-∠EFH, .∠CFN+∠EFH=4∠BHK=2∠BHM, .∠CFH=2∠BM, AB∥CD, ∠BHF=∠CFH, ∠BHF=2∠BHM, HM平分∠FHB. 题型4靴子模型的扩展及蛇形模型 啸方法 模型 靴子模型的扩展A 靴子模型的扩展B 蛇形模型 29/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 B 图例 B D B D 结论 ∠E=∠A+∠C-180° ∠E=∠A+∠C-180° ∠E=180°+∠D-∠A 1,(25-26七年级下·浙江金华期中)如图是一盏可调节台灯，固定底座AO⊥OE于点O,B4与CB是分别 可绕点A和B旋转的调节杆.在调节过程中，灯体CD始终保持平行于OE,且台灯最外侧光线 DM,DN组成的∠MDN始终保持60°，调节台灯使∠BAO=130°，且光线MD⊥AB,则此时∠PDN的 度数为 E 【答案】10°/10度 【分析】延长MD交AB于点F,分别过点F、A作FH∥OE,AQ∥OE,由题意易得 ∠AOB=∠AFM=90°，CD∥FH∥AQ∥OE,则有 ∠QAO=∠AOE=90°，∠QAF=∠HFA,MDP=∠MFH,然后可得 ∠QAF=∠BAO-∠QAO=40°=∠HFA,进而问题可求解. 【详解】解：延长MD交AB于点F,分别过点F、A作FH∥OE,AQ∥OE,如图所示： M D⊥AB,AO⊥OE, ∠AOE=∠AFM=90°， .CD IOE, .CD∥FH∥AQ∥OE, .∠QAO=∠AOE=90°，∠QAF=∠HFA,MDP=∠MFH, 30/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 ∠BA0=130°， ∠QAF=∠BAO-∠QAO=40°=∠HFA, ∠MFH=∠AFM-∠AFH=50°=∠MDP, MDN=60°， .∠PDN=∠MDN-∠MDP=10°. 2.(25-26七年级下·四川成都阶段检测)如图，AB∥CD,点E在直线BC左侧，BE⊥CE, ∠ABE=60°，射线BM从射线BE出发，绕点B以每秒3°的速度按顺时针方向旋转，同时射线CN从射 线CE出发，绕点C以每秒1°的速度按顺时针方向旋转，当射线BM旋转240°时两条射线都停止旋 转，射线BM与射线CN交于点P,若∠BPC=42°，则射线BM旋转了秒. A B E D 【答案】24或66/66或24 【分析】分点P在直线BC左侧和点P在直线BC右侧两种情况，利用平行线的性质及角的和差关系分 别列方程求解即可 【详解】解：如图，当点P在直线BC左侧时，设BE与PC交于点F,运动时间为t,过点F作 FG∥PB,FH∥CE, G H C D ~BM绕点B以每秒3°的速度按顺时针方向旋转，CN绕点C以每秒1°的速度按顺时针方向旋转， ∠ECP=t,∠EBP=3t, FG∥PB,FH∥CE, ∴∠BPC=∠GFC,∠PBE=∠BFG,∠BFH=∠E,∠ECP=∠CFH, ∠BFC=∠BFG+∠GFC=∠BFH+∠CFH ∴.∠BPC+∠EBP=∠BEC+∠ECP 31/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 BE⊥CE,∠BPC=42°， ∠E=90° 42°+3t=90°+t, 解得：t=24; 如图，当点P在直线BC右侧时，过点P作PQ‖AB,过点E作EK CD, N M --B D AB∥CD, .POll ABII EK IICD, ·∠BEK=∠ABE=60°，∠QPC=∠PCD,∠QPB=180°-∠ABP, .∠CEK=30°，∠ECD=180°-∠CEK=150°， :BM绕点B以每秒3°的速度按顺时针方向旋转，CN绕点C以每秒1°的速度按顺时针方向旋转， ∠ABP=3t-60°，∠ECP=t, ∠QPB=180°-(3t-60°)=240°-3t,∠PCD=150°-t, ∠BPC=42°， .240°-3t+42°=150°-t, 解得：t=66; 综上所述：射线BM旋转了24或66秒. 3.(25-26六年级下·山东烟台期中)2026年马年春晚舞台上，一群身手矫健的人形机器人着实火出了 圈，它们能流畅地耍武术、盘核桃、演小品，甚至跟着音乐跳街舞，技术进步肉眼可见，机器人在我 国的日常应用也越来越广泛，如图1是一个应用于生产的机械臂，可抽象出如图2的数学模型，若 AB∥CD,AB⊥BE,∠BEF=∠DCF=120°，则∠EFC的度数为 32/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 【答案】90° 【分析】作EM∥AB,FN∥CD,则EM∥FN,根据平行线的性质得到∠ABE+∠BEM=180°，进而 得到∠BEM=90°，可知∠MEF=30°，根据平行线的性质得到∠EFN=∠MEF=30°， ∠DCF+∠CFN=180°，可知∠CFN=60°，即可求出∠EFC的度数， 【详解】解：如图，作EM∥AB,FN∥CD, B D ,AB∥CD EM∥FN, AB⊥BE, ∴.∠ABE=90°， :EM∥AB, .∠ABE+∠BEM=180°， .∠BEM=90°， .·∠BEF=120°， .∴.∠MEF=120°-∠BEM=30°， :EM∥FN, .∴.∠EFN=∠MEF=30°， :FN∥CD, ∴.∠DCF+∠CFN=180°， :∠DCF=120°， .∠CFN=180°-∠DCF=60°， 33/53 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 .∴.∠EFC=∠CFN+∠EFN=60°+30°=90°， 4.(25-26七年级下·陕西西安·期中)如图，在一次无人机航拍任务中，无人机沿一条直线飞行至湖泊区域 时，为避开湖面障碍，需在B,C,D三个观测点依次调整航向，经过三次航向调整后，无人机的最终 飞行方向与第一次调整前的方向平行(AB∥DE).若∠C=150°，∠D=100°，则∠B的度数是 【答案】130° 【分析】过点C作CG∥AB,根据平行线的判定和性质求解. 【详解】解：如图所示，过点C作CG∥AB, A G B AB∥DE, AB‖CG‖DE, ∠DCG=∠D=100°，∠B=180°-∠BCG, ∴.∠BCG=∠BCD-∠DCG=150°-100°=50°， .∠B=180°-50°=130°， 5.(25-26八年级下山东烟台期中)如图，已知AB∥EF,∠B=40°，∠E=15°，则∠C-∠D的度数为 【答案】25°/25度 【分析】过C作CM∥AB,过D作DP∥EF,根据平行线的判定与性质可得出∠BCM=∠B=4O°， ∠DCM=∠CDP,∠PDE=∠DEF=l5°，然后根据角的和差关系求解即可， 【详解】解：过C作CM∥AB,过D作DP∥EF, 34/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 B C≤-- ----…M P--->D E H AB∥EF, .AB∥CM∥DP∥EF, ∠BCM=∠B=40°，∠DCM=∠CDP,∠PDE=∠DEF=15°， .∠BCD-∠CDE =∠BCM+∠DCM-(∠CDP+∠PDE) =∠BCM+∠DCM-∠CDP-∠PDE =∠BCM-∠PDE =25°. 6,(25-26六年级下山东淄博·期中)在数学探究课上，某兴趣小组发现：当两条直线平行时，角之间 常常可以“转移”或“转化”，从而帮助解决一些看似复杂的角度问题.他们决定围绕平行线的“等角转化” 这一现象，展开一次由浅入深的探究活动. 图1 图2 图3 ()探索尝试：阅读并补充推理过程. 如图1，某同学在纸上画出线段BC,在BC外作一点A,连接AB,AC,这位同学没用量角器测量，而 是尝试借助平行线来“搬动”这些角，计算出了BAC+∠B+∠C的度数，请将推理过程补充完整. 解：过点A作ED∥BC,，所以∠B=，∠C=· 又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°， 所以∠BAC+∠B+∠C=180°. (②)类比迁移：从上面的推理过程中，兴趣小组的同学发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC, ∠B,∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决，现在他们进一步思考，在图2中， AB∥CD,∠BEC=80°，请求出∠B-∠C的度数. (3)拓展应用：如图3，AB∥CD,BF,CG分别平分∠ABE,∠DCE,且它们所在直线交于点F,若 ∠E=80°，请求出∠F的度数. 35/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 【答案】(1)∠EAB,∠DAC (2)100° (3)50° 【分析】(1)过点A作ED∥BC,如图1，根据平行线的性质得到∠B=∠EAB,∠C=∠DAC,然后利 用平角的定义得到∠B+∠BAC+∠C=180°； (2)过点E作HE∥AB的平行线，如图，利用平行线的性质得到HE∥CD,则∠B+∠BEH=180°， ∠HEC=∠C,然后把两式相加可得∠B-∠C=100°； (3)过E点作EM∥AB,过F点作FN∥CD,如图，根据平行线的性质得到AB∥ME∥CD∥FN, 根据角平分线的定义得到∠ABF=∠EBF,∠ECG=∠DCG,设∠ABF=∠EBF=x, ∠ECG=∠DCG=B,利用平行线的性质得到∠BFN=∠ABF=,∠CFN=∠GCD=B, ∠BEM=180°-2C,∠MEC=∠ECD=2B,则利用∠BEC=80°，可得x-B=50°，然后利用 BFC=∠BFN-∠CFN求解. 【详解】(1)解：过点A作ED∥BC, .∠B=∠EAB,∠C=∠DAC, 又：∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°， ∠B+∠BAC+∠C=180°； (2)解：过点E作HE∥AB,如图， F AB∥CD, H E D .HE∥CD, ∴∠B+∠BEH=180°，∠HEC=∠C, ∠B+∠BEH+∠HEC=180°+∠C, ∠B-∠C=180°-∠BEC=180°-80°=100°； (3)解：过E点作EM∥AB,过F点作FN∥CD,如图， AB∥CD, AB∥ME∥CD∥FN, 36/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 BF平分∠ABE,CG平分∠ECD, ∴∠ABF=∠EBF,∠ECG=∠DCG, 设∠ABF=∠EBF=x,∠ECG=∠DCG=B, AB∥N,DMFN, ∴∠BFN=∠ABF=,∠CFN=∠GCD=B, ,ME∥AB∥CD, ∠BEM=180°-∠ABE=180°-2x,∠MEC=∠ECD=2B, ∠BEM+∠MEC=∠BEC=80°， .180°-2m+2B=80°， x-B=50°， ÷∠BFC=∠BFN-∠CFN=x-B=50°. 题型5骨折模型 啸方法 模型 骨折模型 图例 D 结论 E=∠C-∠A 1.(25-26七年级下，内蒙古乌兰察布期中)【课题学习】平行线的“等角转化”. 如图①，已知点A是BC外一点，连接AB,AC.求∠BAC+∠B+∠C的度数， E.只 图① 解：过点A作ED∥BC, 37/53 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 ∠B= ,∠C= 又∠EAB+∠BAC+∠DAC=18O°， .∴∠B+∠BAC+∠C= 【问题解决】 ()阅读并补全上述推理过程； 【解题反思】 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC,∠B,“凑”在一起，得出 角之间的数量关系，使问题得以解决. 【拓广延伸】 (2)如图②，已知AB∥CD,BM,CM交于点M,∠BMC=80°，请探索∠B和∠C之间的数量关系； A C D 图② (3)如图③，若AB∥CD,点P不在AB与CD之间，请直接写出∠B,∠D,∠BPD之间的数量关 系。 图③ 【答案】(1)∠EAB;∠DAC;180° (2)∠B-∠C=100° (3)∠BPD=∠B-∠D 【分析】(I)过点A作ED∥BC,从而利用平行线的性质可得∠B=∠EAB,∠C=∠DAC,再根据平 角定义可得∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，然后利用等量代换可得∠B+∠BAC+∠C=180°，即可解 答； (2)过点M作MF‖AB,从而利用平行线的性质可得∠BMF=180°-∠B,再利用平行于同一条直线 的两条直线平行可得MF ICD,然后利用平行线的性质可得∠FMC=∠C,从而利用角的和差关系进行 38/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 计算，即可解答： (3)过点P作PE∥CD,从而利用平行线的性质可得∠D=∠DPE,再利用平行于同一条直线的两条 直线平行可得AB∥PE,然后利用平行线的性质可得∠B=∠BPE,从而利用角的和差关系进行计算， 即可解答。 【详解】(1)解：过点A作ED∥BC, ∴∠B=∠EAB,∠C=∠DAC, 又~∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°， .∠B+∠BAC+∠C=180°； (2)解：∠B和∠C之间的数量关系为∠B-∠C=100°，理由： 过点M作MF‖AB, A B ∠B+∠BMF=180°， .∠BMF=180°-∠B, AB∥CD, ..MF CD, ∠FMC=∠C, ,∠BMC=80°， .∠BMF+∠FMC=80°， .180°-∠B+∠C=80°， B-∠C=100°； (3)解：∠BPD=∠B-∠D, 理由：过点P作PE∥CD, ∠D=∠DPE, D E AB∥CD, AB∥PE, 39/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 ∠B=∠BPE, ,∠BPD=∠BPE-∠DPE, ∴.∠BPD=∠B-∠D. 2.(25-26七年级下·河北保定·期中)【课题学习】研究两条平行线间的拐点问题， A //IN ▣W 图1 图2 图3 (1)【模型研究】如图1，AB∥CD,BE,CE交于点E,∠BEC=80°，∠C=20°，则∠B的度数是 (2)【深化拓展】如图2，若AB∥CD,点P在AB,CD的外部，请写出∠B,∠D,∠BPD之间的关 系并说明理由， (3)【实际应用】爱动脑的小菲发现书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图3所示，EF与 桌面MN垂直.当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行，即AC IMN时，若∠DEF=I26°， ∠BCD=104°，求∠CDE的度数 【答案】(1)120 (2)∠BPD=∠B-∠D,理由见解析 (3)∠CDE=112 【分析】(1)过点E作EO IICD,由平行线的性质可得∠B+∠BEQ=180°，∠C=∠CEQ,求出 ∠BEQ=60°，即可解答； (2)过点P作PE∥CD,由平行线的性质可得∠D=∠DPE,∠B=∠BPE,根据 ∠BPD=∠BPE-∠DPE,即可得出结论： (3)过点D作DG∥AC,过点E作EH‖AC,由平行线的性质同理(1)(2)即可解答. 【详解】(1)解：如图，过点E作EQ‖CD, .AB‖CD, 0------ E D .AB I CD ∴.∠B+∠BEQ=180°，∠C=∠CEQ, 40/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 ∠BEC=80°，∠C=20°， ∠CEQ=20°， .∠BEQ=∠BEC-∠CEQ=60°， ÷∠B=180°-∠BE0=120°； (2)解：∠BPD=∠B-∠D,理由如下： 如图，过点P作PE∥CD, O ..∠D=∠DPE. D -----E AB II CD, .ABI PE, .∠B=∠BPE, ∠BPD=∠BPE-∠DPE, ∴.∠BPD=∠B-∠D. (3)解：如图，过点D作DG∥AC,过点E作EH‖AC, AB C /I1\X G----D .EF⊥MN, “H ▣N ∴.∠MFE=90°， :AC∥MN, .∴AC∥DG∥EH∥N, .∠ACD+∠CDG=180°，∠GDE=∠DEH,∠HEF=∠MFE=90°. ∠DEF=126°，∠BCD=104°， ∴.∠GDE=∠DEH=126°-90°=36°，∠CDG=180°-104°=76°， .∠CDE=∠CDG+∠GDE=112°. 3.(22-23七年级下·广西南宁·阶段检测)学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一 道题“如图1，AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,A+∠2=90°，判断AB,CD是否平行，并说明理 由”，试着“玩”起数学来： 41/53 而学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，AP平分∠BAC,CP平分∠ACD,AB∥CD,则 A+∠2=90°，”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由. 【尝试探究】 (②)小明发现：若将其中一条角平分线改成AC的垂线，则“A+∠2=90°”这个结论不成立，请帮小明完 成探究： 如图2，AB∥CD,AP平分∠BAC,CP⊥AC,∠I是AP与AB的夹角，∠2是CP与CD的夹角，若 ∠2=22°，求∠1的度数. 【拓展提高】 (3)如图3，若AB∥CD,AP⊥AC,CP平分∠ACD,试说明A+2∠2=90°， 【答案】(1)认同，理由见解析； (2)56°； (3)见解析. 【分析】(1)根据两直线平行，同旁内角互补可得∠BAC+∠ACD=180°，结合根据角平分线的定义得 到的∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2，即可证明A+∠2=90°； (2)先求出∠ACD，再由两直线平行，同旁内角互补，求出∠BAC,再根据角平分线的定义求出∠I 的度数即可； (3)先证明∠ACD=2∠2，∠BAC=∠CAP+∠I=90°+∠1，再结合∠B.AC+∠ACD=180°，即可证明 4+2∠2=90°. 【详解】(1)解：认同，理由如下： AB∥CD, .∠BAC+∠ACD=180°， ,AP平分∠BAC,CP平分∠ACD, .∠BAC=2∠1，∠ACD=2∠2， 42/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 .2∠1+2∠2=180°， .1+∠2=90°」 (2)解：CP⊥AC, ∴∠2+∠ACD=90°， ∠2=22°， ∠ACD=90°-∠2=68°， AB∥CD, ∠BAC+∠ACD=180°， ∴∠BAC=180°-∠ACD=112°， AP平分∠BAC, ∠A=1∠BAC, 2 ∠1=56°. (3)解：CP平分∠ACD, .∠ACD=2∠2， AP⊥AC, ∠CAP=90°， AB∥CD, ∠BAC+∠ACD=180°， 又∠BAC=∠CAP+∠1=90°+∠1， .90°+∠1+2∠2=180°， .1+2∠2=90°. 4.(25-26七年级下·湖北武汉·阶段检测)如图，已知AB∥CD,直线MN交AB,CD于G,H. M M M \G G H 图1 图2 图3 (1)如图1，点I在直线AB与直线CD之间，请找出∠AGH、∠GIH、∠IHC之间的关系，并说明理由； 43/53 品学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，点E在直线AB上，E位于G点右侧，点F在直线MN上，且在直线AB上方，点I在直线 AB与直线CD之间，∠FEA=2∠AEI,IP∥MN,若I-∠EFH=75°，求∠IEB (3)如图3，∠CHG=7O°，点E在直线CD上(E在H点左侧)，点I在直线AB与直线CD之间， ∠HGH与∠HEI的角平分线交于点Q,请直接写出∠EIG与∠EQG的数量关系， 【答案】(I)∠GHH=∠AGH+∠IHC,理由见解析 (2)155° (3)2∠E0G-∠E1G=70° 【分析】(1)先过点I作LI∥AB,可得∠AGI=∠G亚，再证明LI∥CD,可得∠IHC=∠HL,然后根 据∠GIH=∠GL+∠HIL得出答案； (2)作FT∥AB,设∠AEI=,可得∠FEA=2a,再设∠FHC=B,根据平行线的性质得 ∠TFE=∠FEA=2x,∠TFH=∠FHC=B,进而得出∠EFH=∠TFH-∠FEA=B-2a,然后得出 ∠IPC=∠FHC=B,接下来由(1)可得∠EIP=x+B,最后结合I-∠EFH=75°，可得 ax+B-(B-2)=75°求出a=25°，则此题可解； (3)根据平行线的性质得∠AGH=110°，∠BGH=∠CHG=70°，再设∠BGH=∠3，∠CE1=∠4，同时设 ∠IGQ=∠HGQ=,∠IEQ=∠HEQ=B,进而得出∠3=70°-2，∠4=180°-2B,再结合由(1)可 得∠EIG=∠3+2p,∠E0G=∠3+x+B,然后得出2∠EQG-∠EIG=2(∠3+x+)-(∠3+2β)，则此题可 解。 【详解】(1)解：∠GH=∠AGI+∠IHC,理由如下： 如图所示，过点I作LI∥AB, G B ∴.∠AGI=∠GIL. CD∥AB, LI∥CD, .∠IHC=∠HIL, .∠GIH=∠GIL+∠HL=∠AGH+∠IHC; 44/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 (2)解：如图所示，过点F作FT∥AB, 设∠AEI=ax, ∠PFEA=2∠AEI, ∴∠FEA=2x, 设∠FHC=B, AB∥CD, .FT∥CD, .∠TFE=∠FEA=2x,∠TFH=∠FHC=B, ∠EFH=∠TFH-∠FEA=B-2C. IP∥MN, .IPC=∠FHC=B. 由(1)可得∠EIP=∠AEI+∠IPC=ax+B, ∠I-∠EFH=75°， a+B-(B-2ax)=75° .a=25°， .∠IEB=180°-∠AEI=180°-25°=155°； M F GE B H (3)解：∠CHG=70°，AB∥CD, ∠AGH=110°，∠BGH=∠CHG=70°， 设∠BGH=∠3，∠CEI=∠4， ~∠HGH与∠HEI的角平分线交于点Q, 设∠IG0=∠HGQ=,∠IEQ=∠HEQ=B, 如图所示，∠3=70°-2a,∠4=180°-2B, 由(1)可得∠EIG=∠3+2B,∠EQG=∠3+x+B, .2∠EQG-∠EIG 45/53 可学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 =2(∠3+x+B)-(∠3+2B) =∠3+2 =70°-20x+2Cx =70°， 综上所述，2∠EQG-∠EIG=70°. M G D 5.(25-26七年级下·湖北武汉·期中)【题目背景】在平面内，对于∠“和∠B,给出如下定义：若存在一个 常数k(k>0),使得∠a+k∠B=180°，则称∠B是∠au的k倍互补角” 例如：∠x=100°，∠B=20°，有∠w+4∠B=180°，则∠B是∠au的4倍互补角” 备用图 图1 图2 (1)【概念理解】 若∠ax=75°，在∠1=35°，∠2=25°，∠3=15°中：是∠a的3倍互补角”；是∠a的“7 倍互补角”，（填“∠1”、“∠2”或者“∠3”）； (②)【初步应用】如图1，在平面内，AB∥CD,点E是直线AB上一点，点F是直线CD上一点，点 G为AB和CD两平行线间一点，连接GE、GF,己知EM平分∠AEG,FN平分∠DFG且交EM的反 向延长线于点N.请问∠FWE是∠EGF的k倍互补角吗？若是求出k的值，若不是请说明理由； (3)【问题解决】如图2，在平面内，AB∥CD,点E是直线AB上一点，点F是直线CD上一点，连接 EF,若H为直线EF右侧一动点（点H不在直线AB、CD上），∠EHF与∠CFH的角平分线交于点 S.己知∠BEH=m°，∠O是∠HSF的“2倍互补角”，请直接写出∠O大小的所有可能值 (用含 m代数式表示)， 【答案】(1)∠1，∠3； 46/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 (2)是，k=2; ③∠0=180+m或∠0=180-m 4 4 【分析】(1)根据“k倍互补角”定义，将已知角度代入∠a+k∠B=180°，求出k值即可判断 (2)设∠AEM=∠MEG=x,∠DFN=∠NFG=y,利用平行线拐点模型可得∠EGF=2x+2y,分析 ∠FE的构成，发现其大小与EF的位置有关，而∠EGF仅与x、y有关，两者不存在固定的k倍关 系 (3)过点H作HL∥AB,利用平行线拐点模型分情况讨论∠EHF与m、∠CFH的关系，结合角平分 线性质求出∠HSF,再根据“2倍互补角”定义求∠O. 【详解】(1)解：~∠x=75°，∠1=35°，∠2=25°，∠3=15°， ∠x+3∠1=75°+3×35°=180°， ∠1是∠a的3倍互补角”， 又~∠x+7∠3=75°+7×15°=180°， ∠3是∠u的“7倍互补角”. (2)解：∠FNE是∠EGF的k倍互补角”， 设∠AEG=2x,∠DFG=2y, EM平分∠AEG,FN平分∠DFG, .∠AEM=∠MEG=x,∠DFN=∠NFG=y, 过点G作GH∥AB, .AB∥CD, GH∥CD ∠EGH=∠AEG=2x,∠FGH=180°-∠DFG=180°-2y, .∠EGF=∠EG+∠FGH=180°+2(x-y), EN是EM的反向延长线， ∠BEN=∠AEM=x, 过点N作K‖AB, 同理，CD∥N ∠ENK=∠BEN=x,∠FNK=∠DFN=y, ∠FNE=∠FNK-∠ENK=y-x, 47/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EGF+k∠FNE=180°+2(x-y)+k(y-x)=180°+(2-k)(x-y), 当k=2时，∠EGF+k∠FNE=180°，∠FNE是∠EGF的“k倍互补角”. K N E H D (3)解：设∠EHF=2a,∠CFH=2B, HS平分∠EHF,FS平分∠CFH, ∠EHS=∠SHF=ax,∠CFS=∠SFH=B, 当点H在AB、CD之间时： 过点H作HL∥AB, AB∥CD, ∴HL∥CD, ∠EHL=∠BEH=m°，∠FHL=180°-∠CFH=180°-2B, ∠EHF=∠EHL+∠FHL=m°+180°-2B=2C, 则m°+180 -=0x+B 2 过点S作SK∥AB, 同理，∴SK∥CD, ∠LHE=∠BEH=m°， 同理可证， ∠HSF=∠LHS+∠CFS=ax-m°+B=x+B-m°， ∠O是∠HSF的“2倍互补角”， 即2∠O+∠HSF=180°， .2∠0+(ax+B-m)=180° 48/53 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2∠0+ m°+180° -m =180°， 2 ∴∠0=180°+m0 4 B 当点H在AB上方时： 过点H作HL∥AB, ∠EHL=∠BEH=m°， ∠FHL=180°-∠CFH=180°-2B=2a+m°， 180°-m°=a+B 2 过点S作SK∥AB, 同理，可得 ∠HSF=∠LHS+∠CFS=ax+m°+B=x+B+m° ∠H1SF=180°-m° +m°=180°+m 2 2 ∠O是∠HSF的2倍互补角”， 即2∠O+∠HSF=180°， ∴2∠0+180°+m =180°， 2 ∴<0=180-m 4， H 当点H在CD下方时： 49/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 E ∠EHF与∠CFH的角平分线不能相交，情况不成立. D H 6.(25-26七年级下·北京海淀·期中)如图1，AB∥CD,点E在直线AB上，点G在直线CD上， EF⊥FG, A E B F M G G 图1 图2 图3 (1)当0°<∠AEF<90°时， ①求证：∠AEF+∠FGC=90°. ②如图2，若直线PM平分∠FGC,直线EP平分∠BEF交PM于点P,求∠EPM的度数、 (2)当90°<∠AEF<180°时，如图3，直线EP平分∠BEF,直线PM过点G交EP于点P,且满足 ∠FGC=n∠PGC,请直接写出∠EPM与∠AEF的数量关系 【答案】(1)①见解析，②45 (②)∠AEF=180°×n-3+2n ∠EPM n-2n-2 【分析】(1)①根据平行线的性质可以得到内错角相等，再结合角度的垂直得到90°即可. ②作AB∥PQ∥CD,结合平行线的性质可得∠BEP=∠QPE,∠QPM=∠CGM,根据角平分线的定 义可得∠CGM=∠MGF=x,∠BEP=∠FEP=y,结合∠AEF+∠FGC=90°代入即可求得. (2)同理(1)可证∠BEF+∠FGD=90°，得到∠AEF+∠CGF=270°，再把∠FGC=n∠PGC,以及 角平分线得到的相等的角代入即可. 【详解】(1)解：①如图，过F作M∥AB, 50/53 可学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 A E B G D 图1 :AB∥CD .FM∥AB∥CD ·∠AEF=∠EFM,∠MFG=∠FGC, ,'∠EFG=∠EFM+∠MFG. ∠EFG=∠AEF+∠FGC, EF⊥FG, ∴∠EFG=90°， .∠AEF+∠FGC=90°； ②过P作PO∥AB, B AB∥CD, AB∥PQ∥CD, .∠BEP=∠QPE,∠QPM=∠CGM, ~直线PM平分∠FGC,直线EP平分∠BEF ∴设∠CGM=∠MGF=x,∠BEP=∠FEP=y,则∠AEF=180°-2y, 由(1)知∠AEF+∠FGC=90°， .180°-2y+2x=90°， y-x=45°， ·∠EPM=∠QPE-∠QPM=∠QPE-∠CGM=y-x=45°」 (2)解：如图所示，设AB交PM于H,作FN∥AB交PM于N,在PE的延长线上取一点Q, 51/53 可学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 E H G M :AB∥CD FNI‖AB‖CD ·∠BEF=∠EFH,∠NFG=∠FGD, ,'∠EFG=∠EFN+∠NFG ∴.∠EFG=∠BEF+∠FGD. ,EF⊥FG, ∴∠EFG=90°， ∠BEF+∠FGD=90°； 直线EP平分∠BEF, .∠BEF=2∠BEQ, ∠PEA=∠BEQ, ∴∠BEF=2∠PEA, ∠AEF+∠BEF+∠CGF+∠FGD=360°，∠BEF+∠FGD=90° ∠AEF+∠CGF=270°， ∠FGC=n∠PGC, ∠AEF+n∠PGC=270°， AB∥CD, ∠PGC=∠AHP, 如图，过点P作PS‖AB, 52/53 学科网·上好课 www.zxxk com 上好每一堂课 S E 夕F G D M 图3 ∠AHP=∠HPS,∠AEP=∠SPE, ·∠AHP=∠HPS=∠AEP+∠EPG, .∠AEF+n(∠AEP+∠EPG)=270°， ∠AEF+n180°-AEF +∠EPG)=270°， 2 ∠AEF=180°xn-3+2n∠EPM. n-2n-2 【点睛】本题考查平行线的性质以及角平分线的性质，熟熱练掌握相关的知识点是解决本题的关键 53/53