专题03 平行线中的拐点模型问题（5大题型）（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

专题03 平行线中的拐点模型问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1 题型二、铅笔头模型 7 题型三、牛角模型 12 题型四、羊角模型 18 题型五、蛇形模型（“5”字模型） 23 B综合攻坚・能力跃升 题型一、猪蹄模型（M型）与锯齿模型 1．（25-26七年级上·河南周口·期末）在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 过点作，得到，推出， 即可求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，，，，求的度数． 小明的思路是：过作，通过平行线性质来求． （1）按小明的思路，求的度数； （问题迁移） （2）如图2，，点在射线上运动，记，，当点在两点之间运动时，问与之间有何数量关系？请说明理由； （问题应用） （3）在（2）的条件下，如果点在两点外侧运动时（点与点三点不重合），请直接写出与之间的数量关系（并画出相应的图形）． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或者，画图见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用． （1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可； （2）过点作，得，得到，，进而得到； （3）分点在的延长线上和在线段上两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）， 理由如下：如图2，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）如图3所示，当在线段的延长线时，由（2）可知，， ， 如图4所示，当在线段上时，由（2）可知，， ． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）根据图象完成题目：          (1)如图①，，E，F分别是AB，CD上任意一点，EO和FO交于点O，则，，的数量关系是__________________． (2)如图②，，则图中，，，，…，，之间的数量关系是______________________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图①，过点作，结合，得到，推出，，即可得到三个角之间的关系； （2）如图②，取有限个角，并过点作，则．过点作，则，．由（1）的结论得到，于是得到图中，，，，…，，之间的数量关系. 【详解】（1）解：如图①，过点作． ∵， ∴， ∴，， ∴， 即． （2）解：如图②，取有限个角，并过点作，则． 过点作，则，． ∵， ∴， ∴， ∴， 由此推得． 4．（25-26七年级上·海南海口·期末）综合与探究 如图，，点P，Q为直线，上两定点，． (1)如图1，当N点在左侧时，，，满足数量关系为 ； (2)若平分，平分，． ①如图2，点N在左侧时，求的角度； ②如图3，点N在右侧，求的角度； (3)如图4，平分，平分，，点N在右侧，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；依次类推，则 ．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)①55°；②125°； (3) 【分析】（1）根据平行线的性质与判定即可求解； （2）①根据（1）的结论，结合角平分线的定义可得；②点在右侧时，过点作，则，可得； （3）根据（2）的结论，分别写出前几个角的度数，找到规律即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①当点在左侧时，由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， ； ②如图，点在右侧时，过点作，则， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ； （3）解：依题意由（2）②可知，，， ， 由（2）①可知， ； 同理可得， ……， ∴， 故答案为：． 题型二、铅笔头模型 5．（25-26七年级上·吉林长春·期末）机器狗(四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景．如图所示，机器狗平稳站立时，，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，求出，得到，求出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．（24-25七年级下·四川成都·月考）已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质． （1）首先作，，，利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可求的度数； （2）先由已知得到，，由（1）得，，等量代换即可求解． 【详解】（1）解：作，，，如图所示． ， ， ， ， ． ， ． 和的角平分线相交于点F， ， ． 分别是和的角平分线， ，， ， ． （2）解：，， ，． 与两个角的角平分线相交于点F， ，， ． ， ， ． 7．（25-26七年级下·广东揭阳·期中）如图，，点为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，试说明，； (3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点，判断与的数量关系，并说明理由； ②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①，理由见详解；② 【分析】本题考查了平行线的性质,角平分线的定义．作辅助线来构造平行关系是解题的关键． （1）过点作，利用推出，根据“两直线平行，内错角相等”，得到，，那么，代入角度值计算即可； （2）过点作，由得，根据“两直线平行，同旁内角互补”，分别得出，，将这两个等式相加，即可推出． （3）①由（1）可得，又因为平分，平分，所以，，再结合中，就能推出； ②根据前面的结论，结合已知的角的比例关系，，，推导出，然后代入到，通过等式变形求出的表达式． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， 故答案为：． （2）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ，即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得，， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． ②由①可知， ，，， ， ， ， ， ， ． 8．（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 题型三、牛角模型 9．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，点在上方，连接，．． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），与互相垂直，垂足为，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质，周角，掌握知识点是解题的关键． （1）过点作，求出，推导出，得到，则，即可解答； （2）过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图（1），过点作， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图（2），过点作， ， ， ， ， ，， ， ． 10．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【知识背景】我们经常过某一点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． (1)如图1，已知，，，求的度数； (2)如图2，已知，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质求角度问题，数形结合，熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）过点作，如图所示，由平行线的性质得到，再由平行线的判定与性质即可得到答案； （2）过点作，如图所示，由平行线的性质得到，再由平行线的判定与性质即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， ， ， ． 11．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知直线，点P为直线所在的平面内的一点．       (1)如图1，直接写出之间的数量关系：__________ (2)如图2，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，，结合（1）中的结论，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）作，易得，根据两直线平行，内错角相等，即可证得； （2）由（2）知，，先证、，，根据可得答案． 【详解】（1）解：， 如图2，作， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 12．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且． （1）若，则的度数为 ． （2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ． 【答案】 或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，而，可得，证明，，再进一步解答即可； （2）分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得． 【详解】解：（1）过点作，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）①当为锐角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ，即， ，， ，， ，即， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， ②当为钝角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， 综上所述或 故答案案为：或． 题型四、羊角模型 13．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）如图，，，，则的度数为 . 【答案】 【分析】通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（平行于同一直线的两直线平行、两直线平行内错角相等），结合角的和差关系求出的度数． 【详解】解：如图，过点作． ，且 ． ，， ． ，， ． 由图可知， 将、代入， 可得， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为 °． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °． 【答案】 40 150 【分析】本题主要考查平行线的性质，利用平行线的性质求解即可． （1）过点作的平行线，则，利用平行线的性质求得，结合，求得，进一步利用求得即可； （2）过点作，则，有．可求得和，即可求得． 【详解】解：（1）过点作的平行线，如图， 由题意易知，， 因为， 所以， 所以， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：40． （2）如图，过点作． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：150． 15．（24-25七年级下·云南楚雄·期中）已知， P为平面内一点（不在、上）， 探索，，之间的数量关系． (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作， ∴（                             ） ∵， ∴（                              ） ∴ ∴ ∴． (2)如图2，若，，则的度数为 ． (3)如图3，求，，之间的数量关系． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）过点P作，首先求出，得到，然后证明出，进而根据平行线的性质求解即可； （3）如图，过点P作，证明出，然后得到，即可得出． 【详解】（1）证明：如图1，过点P作， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∴， ∴． 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行； （2）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其中． (1)如图1，若、，则___________； (2)如图2，若、，则___________（用含的式子表示）； (3)如图3，若、，那么与、之间有什么数量关系？请加以证明． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查的是平行线的性质，解题的关键是由平行线性质得出角相等从而求出答案； （1）先过作，由平行线的性质得，，所以求得的度数． （2）首先过作，根据平行线的性质可得：，，，从而表示出． （3）由平行线的性质得，再根据三角形的外角性质，表示出与、之间的关系． 【详解】（1）解：过作，，， ， 故答案为：． （2）解：过作，，， ， ， ． 故答案为：． （3）证明： 证明：， 又， ． 题型五、蛇形模型（“5”字模型） 17．（24-25七年级下·广东肇庆·月考）如图，，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，作，根据平行线的性质分别得，根据，即可求解． 【详解】如图，过点作 ， ． 故选：C． 18．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，． (1)若，，求的度数． (2)探究，，三者之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)   见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，熟记平行线的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． （1）首先过点向左作，可求出的度数，由，可得，利用平行线的性质，即可求得的度数，继而根据角度的和差关系求得答案； （2）由（1）得，，再由即可求得，，三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点向左作， 则． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 由（1）得，． 又∵， ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起舞．数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图所示的样子． (1)如图，，，，求的度数； (2)聪明的小明在图的基础上，将图变为图，其中，，，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过点作，则有，又因为，所以，则，然后通过角度和差即可求解； （）过点作，过点作，所以，所以，，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， 因为， 所以， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：如图，过点作，过点作， 因为， 所以， 所以，，， 因为，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以． 20．（24-25七年级下·广东汕头·月考）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 一、单选题 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过点作，得到，根据平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故选C． 2．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过．如果第一次拐的角A是，第二次拐的角B是，而第三次拐的角是C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，先过点作，再用两直线平行，内错角相等，同旁内角互补等知识点，根据作这条平行线后，将有三条平行线，根据平行线的性质，角之间的关系即可解答． 【详解】解：过点作， ， ； ， ， ， 又∵， ． 故选：D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平行线的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．（2025·陕西汉中·模拟预测）如图，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过点作，得到，再根据平行线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 5．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）如图，，若，，则的度数是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查平行线的性质，关键在于作辅助线平行已知直线，再根据平行线的性质即可求解．先过点作的平行线，然后根据平行线的性质即可求出结果． 【详解】解：如图：过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线的反向延长线交于点，，则 ． 【答案】 【分析】分别过、作的平行线和，根据平行线的性质和角平分线的性质可用和分别表示出和，从而可找到和的关系，结合条件可求得． 本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，分别过、作的平行线和， ， ， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知直线，，，的角平分线与的角平分线交于点，则 ． 【答案】142 【分析】本题考查平行线的判定及性质，角平分线，掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 过点B作，过点C作，得到，因此，，，根据角的和差可得，从而有，根据角平分线的定义得到．过点E作，则，因此． 【详解】解：过点B作，过点C作， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：142． 8．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，分别平分．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，平行线的性质，作，推出，同理可得，再根据，进行求解即可． 【详解】解：∵分别平分， ∴，， 作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）已知，点是平面内一点． (1)如图1，点在直线，之间，请你求出，，之间的数量关系； (2)如图2，点在直线，的下方，请你求出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）过点作，可知，根据两直线平行内错角相等可知，，即可得到，，之间的数量关系； （2）过点作，可知根据平行线的性质可知，，即可得到，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图1，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以； （2）解：如图2，过点作， 因为， 所以， 所以，， 所以， 所以． 10．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线，为的平分线，和相交于点． 【探究问题】 （1）如图1，请直接写出之间的数量关系． （2）如图1，请写出之间的数量关系，并说明理由． 【知识迁移】 （3）如图2，若，求大小． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质的综合，理解图示，作辅助线，掌握平行线的性质的综合运用是解题的关键． （1）如图所示，过点作，根据两直线平行内错角相等即可求解，，之间的数量的关系； （2）根据角平分线的定义可求出，，之间的数量关系； （3）如图所示，过点作，过点作，设，，根据平行线的性质，角平分线的定义可得，，，由此可得，所以根据，由即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，过点作， ， ， ，， ， ； （2）由（1）证明可知，， 为的平分线，为的平分线， ，， ， ； 故答案为：． （3），理由如下： 如图所示，过点作，过点作， 设，， ， ， ，， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， 为的平分线，为的平分线， ，， ， ， ， ， ． 11．（24-25七年级下·贵州毕节·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)，如图1，点E在内部时，试证：； (2)，在图2中，若，求出的度数 (3)，如图3，点E在外部时（1）中结论是否成立？如不成立，请直接写出之间有何数量关系？ (4)如图4，请直接表示，，，，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)不成立， (4) 【分析】本题主要考查了平行线的性质求角度，探究角度之间的关系，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则可得，则，再由角的和差运算即可证明； （2）过点作，，则根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，即可求解； （3）过点作，则，那么，由于，则，即可求解； （4）过点作，过点作，过点作，则，那么，再根据（1）的结论，以及角度的和差计算即可求解． 【详解】（1）证明：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：过点作， ∵ ∴， ∴， ∴； （3）解：不成立，理由如下： 过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （4）解：过点作，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴, ∴同（1）可得：， ∴ ∵， ∴， ∴， 即：． 12．（24-25七年级下·四川南充·月考）小明遇到了一些问题，请你帮他解决一下 (1)如图①，已知，则成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点B在点A的左侧，，平分，平分，若，，求的度数； (3)如图③，点B在点A的右侧，点C在点D的右侧，若，，，平分，平分，请你求出的度数(用含m，n的式子表示)． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题的关键是过拐点构造平行线． （1）过点作，利用平行线的性质和角的和差关系即可得出结论； （2）利用平行线的性质以及角平分线的定义得到，，同理（1）中的方法可得，即可求解； （3）过点作，利用平行线的性质、角平分线的定义、角的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：成立，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 同理（1）中的方法可得，， ∴； （3）解：如图，过点作， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题． 例如：如图1，，点在直线，之间，请说明． 解：如图2，过点作，所以． 因为，，所以，所以， 所以． 可以运用以上方法解答下列问题： 【类比应用】 （1）如图3，，点在直线，之间，平分，平分． （i）若，求的度数． （ii）若，求的度数．（用含的式子表示） 【拓展探索】 （2）如图4，，点在的上方，的平分线与的平分线所在的直线交于点，求的度数． 【答案】（1）（i），（ii）；（2） 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，添加辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）（i）过点作，可得，进而可得．由，即可得出结论； （ii）过点作，可得，则,，所以，由，， ，进而 可得． （2）过点作，则，， 继而可得，再根据，结合，进行计算即可得出结论． 【详解】解：（1）（i）如图1，过点作，则． 因为，所以，所以，所以． 因为， 所以． （ii）如图2，过点作，则． 因为，所以，所以，所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以． 由（1）可得． 因为，所以，所以， 所以． （2）如图3，过点作，则，即． 因为，所以，所以，即， 所以， 同理（1）可得：． 因为平分，平分， 所以，． 因为， 所以， 所以． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03平行线中的拐点模型问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、猪蹄模型(M型)与锯齿模型 题型二、铅笔头模型… .7 题型三、牛角模型 题型四、羊角模型 .12 18 题型五、蛇形模型(“5”字模型) ..23 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、猪蹄模型(M型)与锯齿模型 1.(25-26七年级上·河南周口期末)在2025年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优 异的成绩，图1为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图2所示的图形，己知滑雪杖AB和滑雪板DE平行，滑雪 杖AB与大腿BC的夹角为40°，小腿CE与滑雪板DE的夹角为65°，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为() A 40>B D 65公E 图1 图2 A.105° B.100 C.90° D.75° 2.(25-26八年级上广东深圳期末)如图1，AB∥CD,∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数. B -M 图1 路用图 小明的思路是：过P作PE∥CD,通过平行线性质来求∠APC, (1)按小明的思路，求∠APC的度数； (问题迁移) (2)如图2，AB∥CD,点P在射线OM上运动，记∠PAB=Q,LPCD=B,当点P在B,D两点之间运动 时，问∠APC与，B之间有何数量关系？请说明理由； (问题应用) (3)在(2)的条件下，如果点P在B,D两点外侧运动时（点P与点O,B,D三点不重合），请直接写出 ∠APC与o,B之间的数量关系（并画出相应的图形） 1/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2026七年级下·全国.专题练习)根据图象完成题目： A E B A 02 3入 2n-1 2n F D 图① 图② (I)如图①，AB∥CD,E,F分别是AB,CD上任意一点，EO和FO交于点O,则∠1，∠2，∠3的数量关 系是 (②)如图②，AB∥CD,则图中∠1，∠2，∠3，∠4，，∠2n-1,∠2n之间的数量关系是 4.(25-26七年级上·海南海口期末)综合与探究 如图，AB∥CD,点P,Q为直线CD,AB上两定点，O°<∠PWQ<180°. D D C D 3 —B -B 图1 图2 P D R 4 B 图3 图4 (1)如图1，当N点在PQ左侧时，∠1，∠2，∠3满足数量关系为-： (2)若PM平分∠CPN,QM平分∠AQN,∠PNQ=110°. ①如图2，点N在PQ左侧时，求∠PMQ的角度； ②如图3，点N在PQ右侧，求∠PMQ的角度： (3)如图4，PM平分∠CPN,QM平分∠AQN,∠PNQ=120°，点N在PQ右侧，若∠CPM与∠AQM的角 平分线交于点M1,∠CPM,与∠AQM,的角平分线交于点M2;依次类推，则∠PMo26Q=_·(直接写出结 果) 题型二、铅笔头模型 5.(25-26七年级上·吉林长春·期末)机器狗（四足机器人）是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越 的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景.如图所示，机器狗平稳站立时， AB∥CD,∠ABE=125°，∠CDE=145°，此时∠BED的度数为() 2/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A.809 B.85° C.90 D.95° 6.(24-25七年级下·四川成都月考)已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE的角平分线相交于点F. A B A B (1)如图①，若BM、DM分别是∠ABF和∠CDF的角平分线，且∠BED=100°，求∠M的度数； ②如图②，若∠ABM=写∠ABF,∠CDM=∠CDR,∠BED=&,求∠M的度数. 3 7.(25-26七年级下广东揭阳期中)如图，AB∥CD,点E为两直线之间的一点. B 图1 图2 图3 图4 (1)如图1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，则∠AEC= (②)如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°； (3)①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F,判断∠AEC与∠AFC的数量关系，并说明 理由； ②如图4，若设∠E=m,∠BAF=I∠FAE,∠DCF=L∠FCE,请直接用含m、的代数式表示∠F的度 数 8.(1)如图1，AB∥CD,求∠A+∠AEC+∠C的度数. 解：过点E作EF∥AB. :EF∥AB(己作)， ∴.∠A+∠AEF=180°(). 又：ABCD(已知)， (平行关系的传递性)， ∴.∠CEF+∠ =180°（两直线平行，同旁内角互补）， :∠A+LAEF+∠CEF+LC=360°（等式性质）， 即∠A+LAEC+∠C=-； 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB∥EF，则LB+LC+LD+∠E= (3)根据(1)和(2)的规律，图3中AB川GF,猜想：∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= (4)如图4，AB∥CD,在B,D两点的同一侧有MM,MM.共n个折点，则 ∠B+∠M,+∠M2+.+∠Mn+∠D的度数为 (用含n的代数式表示) B A B D M. 一D F C- 图1 图2 图3 图4 D 题型三、牛角模型 9.(25-26八年级上·内蒙古包头期末)如图，已知AB∥DE,点C在AB上方，连接BC,CD ∠ABC=145°. B B 0 D 图(1) 图(2) (1)如图(1)，若∠EDC=116°，求∠BCD的度数； (2)如图(2)，CB与DF互相垂直，垂足为F,求∠EDF的度数， 10.(24-25七年级下·陕西咸阳·期末)【知识背景】我们经常过某一点作己知直线的平行线，以便利用平行 线的性质来解决问题， F B E CG 图1 图2 (1)如图1，已知AB∥CD,∠BFE=45°，LEGD=32°，求∠FEG的度数； (2)如图2，已知AB∥CD,LB=120°，∠CDE=62°，求∠BED的度数. 11.(24-25七年级下·河南驻马店期末)已知直线AB∥CD,点P为直线AB、CD所在的平面内的一点. 4/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)如图1，直接写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系： (②)如图2，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC,作∠PEG=∠PEF,点G在直线CD上，作LBEG的 平分线EH交PC于点H,∠APC=30°，∠PAB=140°，结合(1)中的结论，求∠PEH的度数 12.(24-25七年级上河南新乡期末)如图，∠AEC=80°，在∠AEC的两边上分别过点A和点C向同方向 作射线AB和CD,且AB∥CD. (1)若∠A=60°，则∠DCE的度数为 (2)若∠EAB和∠ECD的平分线所在的直线交于点P(P与C不重合)，则∠APC的度数为」 E D B 题型四、羊角模型 13.(2026新疆阿克苏模拟预测)如图，AB∥CD,∠A=45°，∠C=20°，则∠E的度数为」 D C 14.(25-26八年级上全国·课后作业)(1)如图①，已知AB∥DE,∠ABC=75°，∠CDE=145°，则 ∠BCD的度数为 (2)如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A=120°，第二次拐角∠B=150°，第 三次拐的角是∠C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C=°。 A B B 图① 图② 15.(24-25七年级下·云南楚雄期中)已知AB∥CD,P为平面内一点（不在AB、CD上）， 5/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 探索∠APC,∠A,∠C之间的数量关系。 B B D 图1 图2 图3 (1)请补全以下证明过程中括号里的推理依据： 证明：如图1，过点P作PE∥AB, .∠APE=∠A( :AB∥CD,PE∥AB .PE∥CD( .LCPE=∠C .LAPE+LCPE=∠A+∠C .LAPC=LA+∠C. (2)如图2，若LA=150°，∠P=75°，则∠C的度数为_ (3)如图3，求∠APC,∠A,∠C之间的数量关系 16.(25-26八年级上黑龙江绥化·开学考试)下列图形是用钉子把橡皮筋紧钉在墙壁上而成的，其中 AB∥CD. E A30 A Am B 509 no D D D 图1 图2 图3 (I)如图1，若LA=30°、∠C=50°，则∠AEC= (2)如图2，若LA=x°、∠C=y°，则∠AEC= (用含x°、y°的式子表示)： (3)如图3，若∠A=m°、∠C=n°，那么∠AEC与m°、n°之间有什么数量关系？请加以证明. 题型五、蛇形模型（“5”字模型) 17.(24-25七年级下·广东肇庆月考)如图，AB∥CD,∠BAE=120°，∠DCE=30°，则∠AEC=(). D A.70° B.150° C.90° D.100 18.(2026七年级下·全国.专题练习)如图，AB∥CD. 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A C (1)若∠B=130°，∠C=30°，求∠BEC的度数. (2)探究∠B,∠C,∠BEC三者之间有怎样的数量关系，并说明理由. 19.(24-25七年级下·贵州黔东南月考)如图①，蜿蜒曲折的盘山公路仿佛一条长龙，在郁郁葱葱的山间起 舞.数学活动课上，老师把盘山公路抽象成图②所示的样子 图① 图② 图③ (I)如图②，AB∥CD,LB=125°，∠C=25°，求∠BPC的度数； (2)聪明的小明在图②的基础上，将图②变为图③，其中AB∥CD,∠B=125°，∠PQC=65°， ∠C=145°，求∠BPQ的度数. 20.(24-25七年级下·广东汕头月考)如图1，己知∠ACB=90°，MA∥BN· M M M 图1 图2 备用图 (I)设∠MAC=a,∠CBN=B,直接写出a、B之间的数量关系： (2)如图2，已知∠MAC、∠CBN的平分线交于点P,当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发生 变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数； (3)在(2)的条件下，若∠MAC=50°，E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点F, 连接EP,已知∠FEP=I0°，求∠BPE的度数. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中)如图，AB∥CD,∠A=35°，∠C=75°，则∠M为() 7/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.30° B.35 C.40° D.45 2.(24-25七年级下，安徽合肥·期末)如图，某市二环路修到长虹家电城区时，需拐弯绕城区而过.如果第 次拐的角A是130°，第二次拐的角B是150°，而第三次拐的角是C,这时的道路恰好和第一次拐弯之前 的道路平行，则∠C等于() A.130° B.140 C.150 D.160° 3.(24-25七年级下·全国.单元测试)如图，AB∥CD,CD∥EF,则∠BCE等于() A C D F A.∠2-∠1 B.∠1+∠2 C.180°+∠1-∠2D.180°-∠1+∠2 4.(2025陕西汉中模拟预测)如图，AB∥CD∥EF,GF∥DH,∠a=52°，∠0=87°，则∠B的度数 为() A E H G B F A.35° B.52° C.139° D.87° 二、填空题 5.(24-25七年级下湖南张家界·期末)如图，AB∥DE,若∠B=30°，∠D=140°，则∠C的度数是」 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A B D E 6.(24-25七年级下·湖北武汉·月考)如图，AB∥CD,∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角 平分线CF的反向延长线交于点H,∠K-∠H=24°，则∠H=一 H 7.(25-26七年级上重庆期末)如图，己知直线MN∥P9,∠1=142°，∠2=114°，∠MAB的角平分线与 ∠PDC的角平分线交于点E,则∠AED=°. M N B E 2 P 0 8.(25-26七年级上江苏南京·期末)如图，AB∥CD,ME、NF分别平分∠AEN、∠CFM.若 ∠M=2∠N-57°，则∠AEN= B a M W 三、解答题 9.(24-25七年级下陕西成阳期末)己知AB∥CD,点E是平面内一点. A B B D 图1 图2 (1I)如图1，点E在直线AB,CD之间，请你求出∠BED,∠B,∠D之间的数量关系； (②)如图2，点E在直线AB,CD的下方，请你求出∠AED,∠A,∠D之间的数量关系. 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 10.（24-25七年级下·湖南邵阳期末)综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为 主题开展数学活动.已知AB∥CD,BF为∠ABE的平分线，DF为∠CDE的平分线，BF和DF相交于点 F. 【探究问题】 (1)如图1，请直接写出LBFD,LABF,LCDF之间的数量关系. (2)如图1，请写出∠BFD,∠ABE,∠CDE之间的数量关系，并说明理由、 【知识迁移】 (3)如图2，若∠E+8∠M=360°，∠ABM=三∠EBF,∠CDM=20°，求∠MDF大小. 4 B B A D 图1 图2 11.(24-25七年级下·贵州毕节期中)平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系. 〉 图1 图2 图3 图4 (I)AB∥CD,如图1，点E在AB,CD内部时，试证：∠E=∠B+∠D: (2)AB∥CD,在图2中，若∠B=120°，∠D=140°，求出∠BED的度数 (3)AB∥CD,如图3，点E在AB,CD外部时(1)中结论是否成立？如不成立，请直接写出∠E,∠B,∠D之 间有何数量关系？ (4AB∥CD如图4，请直接表示∠A,∠C,∠E,∠E2,∠E,之间的数量关系， 12.(24-25七年级下·四川南充月考)小明遇到了一些问题，请你帮他解决一下 B 图① 图② 图③ (I)如图①，已知AB∥CD,则∠AEC=∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由； (2)如图②，已知点B在点A的左侧，AB∥CD,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,若∠FAD=50°， ∠ABC=40°，求∠BED的度数： 10/11