微专题03 相交线与平行线中的思想方法（专项训练）数学新教材鲁教版五四制六年级下册

**基本信息** 以方程、转化、分类讨论等五大数学思想为统领，系统构建相交线与平行线问题的解题方法体系，实现知识逻辑与思想方法的深度融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方程思想|6题|设未知数→找等量关系→列解方程|依托角平分线、平行线性质建立角的数量关系| |转化思想|6题|分析目标→作辅助线→转化角关系|通过辅助线将复杂角转化为内错角、同旁内角| |分类讨论思想|6题|确定标准→逐类分析→总结结论|针对旋转、位置不确定问题分类探究角关系| |整体思想|6题|识别整体→用整体性质→推导未知量|利用平角、同旁内角互补等整体性质求角| |建模思想|6题|抽象模型→应用几何性质→解决问题|将实际情境（如躺椅、光反射）转化为平行线模型|

微专题03 相交线与平行线中的思想方法 题型1 方程思想 方程思想：通过设未知数建立方程求解角度或线段长度​ 1. 设未知数：选择与问题相关的角为变量； 2. 找等量关系：利用角平分线、对顶角、平行线性质等，将已知角与未知角关联； 3. 列方程：根据周角、平角或角的和差关系建立方程； 4. 解方程：求出未知数，进而得到所求角的度数。 1．（25-26七年级下·江西南昌·期中）如图，现有一张长方形纸条，将纸条沿折叠，点C落在处，点D落在处．再将纸条沿继续折叠，点A落在处，点B落在处．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠得，，，设，根据平行线的性质推出，则，根据，可得，通过列方程求出的值即可． 【详解】解：由折叠得，，， 设， ∵ ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）如图所示，已知直线，直线分别交、于点、，直线经过点，使得平分，若，则___________；点在上，点在上，的角平分线交于点，且满足，，则___________． 【答案】 【分析】由角平分线和对顶角相等即可得到； 设，由角平分线的定义，可得，由平行线的性质，结合已知可得，可得，，作，由平行线的性质，可得，，结合已知列方程求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴ ∴； 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 如图，作， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手．如图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图．其中，，，．则的度数为________． 【答案】100 【分析】由平行线的性质得到，设，则，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·云南昆明·期中）如图，是生活中常见的一种躺椅，躺椅的靠背侧面有滑槽，扶手可以沿着滑槽上下移动，调节位置，前、后支撑腿之间的夹角可以调节．某数学小组对其结构进行了简单探究，过程如下： 【作图】：据实物画出躺椅的侧面结构示意图，如图所示，为躺椅的扶手，为底座，为靠背，、为前、后支撑腿． 【测量】：扶手与底座平行，与靠背相交于点M，与前、后支撑腿、相交于点O．前、后支撑腿、与底座CD分别相交于点G、D． 【探究】： (1)如图1，若底座与靠背的夹角（即）为，前、后支撑腿的夹角（即）为，平分，通过计算说明：； (2)通过多次调节躺椅的前、后支撑腿之间的夹角和扶手的高度，同学们发现，当前支撑腿与靠背平行，前、后支撑腿互相垂直，且后支撑腿与底座的夹角（即）为时（如图2），人躺上去非常舒适，求此时的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先由角平分线求出，然后由平行线求出，然后求出，即可证明； （2）首先求出，然后得到，然后结合平行线的性质求解． 【详解】（1）解：由题知，，平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：由题意知，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·广西钦州·期中）综合与实践． 【问题初探】如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此时，． (1)已知，求的度数； (2)证明：； 【类比探究】 (3)如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度击打白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞入袋中，此时，并且；如果黑球与洞口的连线和台球桌面边缘的夹角，那么_____°才能保证黑球准确入袋； 【学科融合】 (4)小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似．光线反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角）等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图1，为一镜面，为入射光线，入射点为点O，为法线（过入射点O且垂直于镜面的直线），为反射光线，此时反射角等于入射角．现有一激光反光装置，如图2，是两块可以分别绕A，B两点转动的镜面，O点是激光发射装置，由O点发出的激光照射在点A和点B处，是两束反射光线．A，B处于同一水平高度，已知入射光线和与水平线的夹角分别是和，镜面与立杆的夹角，则反射光线与水平面夹角____°；通过调节的角度，当______时，反射光线和平行． 【答案】(1) (2)见解析 (3)40 (4)80，50 【分析】（1）根据互余的定义解答； （2）根据等角的补角相等解答； （3）先根据互余求出，即可得出，再根据互余求出，则此题可解； （4）作，作，根据反射角等于入射角得，依题意可得，再根据求出，然后根据得出答案；设则，结合可得然后根据，可得，进而得，求出，则此题可解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴； （3）解： ∵ ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴，才能保证黑球能直接入袋； （4）解：过点A作，过点B作，如图所示， 根据反射角等于入射角得， 依题意，得， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， 解得， ∴ ∴， ∴． 设则， ∵ ∴， ∴, ∴． 当时，， ∴， 解得， 即． 6．（25-26七年级下·广西百色·期中）【问题情境】如图1，已知直线分别与直线，相交于点，，．      (1)【尝试探究】求证：； (2)【拓展探究】如图2，点在直线，之间，连接，． ①若，，求的大小； ②如图3，若，分别是，的平分线，点在的延长线上，连接，若，，请直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2)①，② 【分析】（1）先由 得出同位角相等，再利用邻补角的定义进行等量代换，即可推出 与 互补． （2）①先过点 作平行于 的辅助线，利用平行线的传递性得到三条直线互相平行，将 拆分为两个内错角之和；再结合 得出同旁内角互补，根据角的比例关系列式计算，求出 的度数； ②设 ，利用角平分线定义和平行线性质表示出相关角度，再过点 作平行线，把 用含 的式子表示，结合已知 列方程求出 ，最后根据角的关系算出 的度数． 【详解】（1）证明：， （两直线平行，同位角相等）， 又（邻补角定义）， ． （2）①过点作， ， ， ；， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， 即． ②设，则， 平分， ， ， ， 平分， ， ， 过点作， ， ， ；， ， ，即， 解得， ． 综上，的度数为． 题型2 转化思想 转化思想：将复杂问题转化为简单或熟悉的问题​ 1. 分析目标：明确需要证明的结论； 2. 寻找桥梁：通过作辅助线，将已知角与未知角关联； 3. 转化关系：利用平行线性质（如内错角相等、同旁内角互补）将角转化，逐步推导结论。 1．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）学习了平行线后，李明过直线外一点P画这条直线的平行线，画法如图1所示：     王芳对李明画的图继续探究，如图2，在射线上取点O，点E，F分别是射线，上的动点，连接，，使得，，且，作的角平分线交直线于点G．下列说法正确的有（   ） ①李明画平行线的依据是“平行于同一直线的两直线平行”； ②已知，则当时，且； ③当时，与的和为定值； A．① B．② C．③ D．②③ 【答案】D 【分析】根据平行的判定判断①错误；根据题意得到，，根据角平分线的定义证明，即可证明，延长交于点，再求出，即可证明；根据角的和差关系得到，，即可得到结论． 【详解】解：李明画平行线的依据是“同位角相等，两直线平行”，故①错误； 当，， ， ，， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， 延长交于点， ， ， ， ， ，②正确； ， ，， ， ， ， ， ， ，③正确． 2．（13-14八年级上·山东枣庄·期末）如图，，，则的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作，过点D作，得到，根据平行线的性质，角的和，等量代换思想，求解即可． 【详解】解：过点C作，过点D作， ， ， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·山西吕梁·期中）图1是北斗七星在某一时刻的观察图片，图2是其对应的示意图．将北斗七星分别标记为A，B，C，D，E，F，G，其中B，C，D三点在同一条直线上，且，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】过点D作的平行线，利用平行线的性质来建立角度关系．因为，所以． 因为两直线平行，同旁内角互补，内错角相等，所以可以分别结合和的度数，推导出与相关的两个角的度数，再通过角的和差得到的度数． 【详解】过点D作， ， ． ， ， ， ， ， ． 4．（25-26七年级下·湖北荆门·期中）如图1，，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图1，点，在，之间，且在的左侧，若，求∠的度数； (3)如图2，点在，之间，点在上，直线平分交的延长线于点，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得，再由对顶角相等，可得，这样即可证明； （2）过点分别作的平行线，由可得再根据可计算出，然后再根据两直线平行，内错角相等，即可求出； （3）过点作的平行线，过点作作的平行线，首先利用平行线的内错角相等，将转化为，并将转化为，从而得出与、的关系，接着利用得到与、的关系。最后结合题目给出的条件以及角平分线的定义，通过代数运算和等量代换，最终推导出，从而证明平分． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：如图，过点分别作的平行线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：过点作的平行线，过点作的平行线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 平分， ， ， ， ， ， 平分． 5．（25-26七年级下·贵州黔南·期中）综合与探究 如图，在中，，平分，交的边于点，为直线上一点，过点向直线的右边作射线，使，作的平分线交射线于点． (1)如图1，，点与点重合，求的度数； (2)如图2，若，点在的延长线上，求的度数．（用含有的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作交于点，则可得，那么可得，，然后根据角平分线的定义以及求解即可； （2）过点作交于点，解法同（1）． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点． ， ． ，． 平分，， ， ∴， ， ． 平分， ∴， ； （2）解：如图2，过点作交于点． ， ． ，， ． 平分，平分， ， ． 6．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·期中）【问题背景】如图，，直线交于点，交于点，点在线段上，过点作射线分别交直线于点，． 【观察发现】 (1)如图，求的度数； 【知识应用】 (2)如图，在延长线上，若和的角平分线交于点，与交于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）过点作，可得，，即得，即得到，即可求解； （）由角平分线的定义得，，设，，则，，即得到得，进而根据平行线的性质即可求解； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵和的角平分线交于点， ∴，， 设，，则，， 由（）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型3 分类讨论思想 分类讨论思想：对不确定的位置关系进行分类分析​ 1. 确定分类标准：根据点的位置（如在线段上、延长线上）、射线的方向（如顺时针、逆时针）等分类； 2. 逐一分析：对每一种情况分别推导，利用平行线性质或角的关系求解； 3. 总结结论：综合所有情况，得出最终答案。 1．（25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，在一副三角尺和中，，，，，将三角尺的顶点E落在边上．若三角尺不动，将三角尺绕点E顺时针旋转一周．在转动过程中，当与三角尺的直角边垂直时，的度数可能为______． 【答案】或或或 【分析】根据题意，分，两种情况讨论，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：当，而， ∴时， 则， ∵， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴， 当时，而， ∴， 则， ∵， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴； 综上，当与三角尺的直角边垂直时，的度数为或或或． 2．（25-26七年级下·河南许昌·期中）如图，将两个直角三角尺的一个顶点重合，其中，，．三角尺固定不动，三角尺可绕点C转动．当时，的度数为_______． 【答案】或． 【分析】由三角形内角和定理得出，再分两种情况，利用平行线的性质分别求解即可． 【详解】解：，，， ， ①如图， ， ， ； ②如图， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 3．（25-26七年级下·河北沧州·期中）综合与实践 【情境】在综合与实践课上，同学们利用一副直角三角板和两条平行线，探究变化过程中相关角度的变化．已知直线，在直角三角板中，，，，在直角三角板中，，． 【操作】操作一：如图1，将两块三角板的一条直角边重合，直角三角板的斜边与重合，直角三角板的顶点F在直线上． (1)在图1中，______，______； (2)利用图1，求的度数； 【探究】操作二：在操作一的基础上，直角三角板固定不动，让直角三角板绕着点G按逆时针方向旋转，旋转的度数小于．设边（或的延长线）与交于点Q． (3)如图2，当点F恰好落在上时，试判断与存在的数量关系，并说明理由； (4)当斜边与直角三角板的某一边平行时，直接写出的度数． 【答案】(1)90；135 (2) (3)，理由见解析 (4)或 【分析】（1）由题意得；由可求得的度数； （2）过点H作，由平行线的性质、，进而得，即可求解； （3）过点G作，由平行线的性质得及 ，由即可得两角的关系； （4）分三种情况讨论，分别画出图形，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵将两块三角板的一条直角边重合，， ∴； ∵，， ∴； （2）解：如图，过点H作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （3）解：，理由如下： 如图，过点G作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：当时，如图3， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，如图4， ∴， 延长交于点T，过点H作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图5， 此时旋转角度大于，不符合题意； 综上，的大小为或． 4．（25-26七年级下·山东烟台·期中）探照灯常用于夜间照明、安防警戒、舞台灯光等场景，它可绕固定点转动并自由调整照射角度，探照灯发出的光线可看作以发光点为端点的射线．如图1，某剧场舞台两侧各安装了一盏高度相同的探照灯，它们发出的光线在同一平面内，侧的灯发出的射线从开始，逆时针旋转至射线便立即回转；侧的灯发出的射线从开始，逆时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．已知灯转动的速度是秒，灯转动的速度是秒，． (1)的度数为___________； (2)若灯从开始，先转动15秒后，灯才从开始转动，在灯发出的射线到达前，当两灯发出的光线恰好互相平行时，求灯转动的时间； (3)如图2，若两灯同时从各自起始位置转动，在灯发出的射线到达前，两灯发出的射线交于点为侧的动点，且满足．在此过程中，的度数是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)转动的时间为15秒或55秒 (3)的度数为定值， 【分析】（1）由角的和差关系得出，由平行线的性质得出． （2）分两种情况，当灯发出的射线到达前和当灯发出的射线到达后回转，根据平行线的性质得出角相等，解关于t的方程求解即可得出答案． （3）设两灯转动的时间为秒，则．则，由（1），则，得出，过点作交于点．由平行线的性质进一步得出 ，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∵， ∴ ． （2）解：设灯转动的时间为秒． 如图1，当灯发出的射线到达前， 设灯发出的射线交于点，灯发出的射线交于点， 则． 由题意，得． ． ， ． ．即． 解得 如图2，当灯发出的射线到达后回转， 设灯发出的射线交于点，灯发出的射线交于点， 则． 由题意，得． ． ， ． ． 即． 解得 所以，转动的时间为15秒或55秒． （3）解：的度数为定值． 设两灯转动的时间为秒，则． 则． 由（1），则． ， ． 如图3，过点作交于点H． ． ， ． ． ． ． 5．（25-26七年级下·广东广州·期中）数学活动： 在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸得出了过点P画直线的平行线的方法，折纸过程如下．①-②-③-④． 张华在任务1的条件下继续探究．他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P，灯Q转动的速度分别是/秒，/秒，若灯P射线转动20秒后，灯射线开始转动．在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图的位置． 张华按照上面要求转动灯、灯过程中，发现当取某个值时，两灯的光束可以互相平行． 问题解决： (1)任务1： 通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是_．如图．_．则与的位置关系为_． (2)任务2： ①用含的式子表示_， ②当时，两条射线的夹角为_． (3)任务3： 灯射线第一次到达之前，求满足条件的的所有值并说明理由． 【答案】(1)垂直，， (2)①    ；② (3)10秒或85秒或130秒 【分析】（1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，灯转动秒时，此时灯P又转过的角度为， 继而得出本题答案； ②先计算，灯Q转过的角度为，故，利用平行线的性质，三角形内角和，即可求出两条射线的夹角． （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分情况讨论即可得到本题答案． 【详解】（1）解：根据折叠的性质，，且， 故， 故折痕与直线的位置关系是垂直； 因为， 故， 根据折叠的性质，得，且， 故， 故， 故； （2）①解：灯P射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P，灯Q转动的速度分别是/秒，/秒，且灯P射线转动20秒后，灯射线开始转动． 此时灯P转过的角度为，当灯转动秒时，灯射线转动到如图的位置， 此时灯P又转过的角度为， 故； ②当时，，灯Q转过的角度为， 故， ， ， ， 设两条射线的夹角为， 则． （3）解：根据题意，灯射线第一次到达之前，两个灯线互相平行， 故， 当时，如图，此时，， ， ， ， ， ， 解得； 当时，如图，此时，， ， ， ， ， ， 解得； 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， 解得； 综上所述，当t为10秒或85秒或130秒时，两灯的光束互相平行； 6．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）将两块形状、大小完全相同的直角三角板和（含的角）按不同方式放置在一条直线上，会产生不同的问题． (1)将它们如图1放置，点A，C，E在直线上，三角板位置不动，将三角板绕点C顺时针旋转一周； ①当三角板绕点C顺时针旋转时，_°，_°； ②在旋转过程中，与有怎样的数量关系？并说明理由． (2)在图1基础上，三角板和同时绕点C顺时针旋转，若三角板的边从处开始绕点C旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点C旋转，转速为秒，当旋转一周再落到上时，两个三角板都停止转动．设旋转时间为t秒，当时间t为多少秒时，三角板和重合？并说明理由． (3)将它们如图3放置，点B、D重合，点F在上，与交于点G．现将图中的绕点F按每秒的速度沿逆时针方向旋转，在旋转的过程中，恰有一边与平行的时间为多少秒？并说明理由． 【答案】(1)①45，135；②，理由见解析 (2)当时间t为18秒时，三角板和重合； (3)旋转或或时，恰有一边与平行 【分析】 （1）①根据旋转的性质可得，由，求解，再利用角的和差可得答案 ②分两种情况：当三角板和都在直线同侧时，当三角板和都在直线异侧时，结合三角板的角度可得答案； （2）根据三角板和重合，与重合，列方程解答； （3）分三种情况讨论，根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）解：①∵三角板绕点顺时针旋转 ∴ ∴ ∴， 故答案为：，． ②数量关系为：，理由如下： 当三角板和都在直线同侧时， ， ， ， ． 当三角板和在直线异侧时， ∵，， ∴； （2）∵三角板和重合， ∴与重合， ， 解得， ∴当时间t为18秒时，三角板和重合； （3）①当时， ∴， ∴（s）； ②当时，， ∴， ∴（s）； ③当时，过点F作，则， ∴，， ∴， ∴（s） 综上，旋转或或时，恰有一边与平行 题型4 整体思想 整体思想：将局部问题转化为整体问题求解​ 1. 识别整体：找出包含未知角的整体； 2. 利用整体性质：利用平行线的同旁内角和为180°、平角为180°等性质； 3. 推导未知量：通过整体的数量关系，间接求出未知角的度数。 1．（25-26七年级下·北京·期中）学习了平行线的相关知识后，小明尝试将角平分线的内容与平行线知识相结合，自主创编了一道练习题：题目如下：如图1，任意摆放含角的直角三角板，，，分别过三角板的三个顶点作3条直线使得． (1)如图2，和的角平分线相交于点，则的度数为_____． (2)如图3，与的角平分线相交于点． ①的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由：若是定值，请求出的大小． ②已知个是含有角的直角三角板，且其顶点与点重合，另一直角顶点在直线上时（假设三角板的边长可以随时调整长度），记为，为，请直接写出与满足的所有数量关系（用等式表示）． 【答案】(1)； (2)①，是定值；②或或或或或 【分析】（1）根据平行线的性质，先求出，再结合角平分线的定义求解即可； （2）①先求出，然后同（1）的方法求解即可； ②分别画出两种情况的图形，根据角的和差关系写出答案即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 同理：， ∵和的角平分线相交于点， ∴，即 （2）解：①，是定值，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ ∵与的角平分线相交于点， ∴， 同（1）可知：； ②情况一、如图所示： ，即； ，即； ，即； ，即； 情况二、如图所示： ，即 ，即 ，即 2．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）已知：，点E在直线，外，连接，．探究，，之间的数量关系． (1)如图1，过点E作，∵，∴，∴，，则，，之间的数量关系为______； (2)如图2，过点E作，猜想，，之间的数量关系，并证明； (3)如图3，过点E作，直接写出，，之间的数量关系为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据图形的性质找角之间的关系． （1）利用两直线平行，内错角相等即可解答； （2）同理（1）利用两直线平行，内错角相等可得，再利用周角的定义即可解答； （3）利用两直线平行，内错角相等可得，，再根据，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，证明如下： 同理（1）可得，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴． 3．（24-25七年级下·河北沧州·月考）已知：如图1，，点E，F分别为上一点． (1)在之间有一点M（点M不在线段上），连接，试探究之间有怎样的数量关系．请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明． (2)如图2，在之间有两点M，N，连接，请选择一个图形写出存在的数量关系（不需证明）． 【答案】(1)图形见解析，．．证明见解析 (2)，． 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． （1）①根据题意画出图形即可；②过点作，过点作，根据平行线的性质即可得出结论； （2）根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：①如图， ，； ，； ②证明：如图，过点作， ， 则， ， ， ， ， ； 如图，过点作， ， 则， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，过点作， ， 则， ， ， ，， ，， ； 如图，过点作，过点作， 则， ， ， ，， ，， ， ． 4．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）综合与探究 问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级（1）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C，D． 探索发现： “快乐小组”经过探索后发现： (1)当时，．这个结论正确吗？如果正确请说明理由． (2)不断改变的度数，与却始终存在某种数量关系，请写出这个数量关系并说明理由． (3)“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点P在射线上运动时，无论点P在上的什么位置，和之间的数量关系都保持不变，请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，有关角平分线的计算： （1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，即可求证； （2）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可求解； （3）根据角平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，即可． 【详解】（1）解：正确，理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴． ∵分别平分和， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵分别平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（23-24七年级下·山东菏泽·期中）已知：如图（1），如果．那么． 老师要求学生在完成这道教材上的题目后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ (1)小华首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小华用到的平行线性质可能是______________． (2)接下来，小华用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点，连接，后，用鼠标拖动点，分别得到了图（）（）（），小华发现图（）正是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图（）和（）中的，与之间也可能存在着某种数量关系．然后，她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数量关系． 请你在小华操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想：图（）中，与之间的数量关系：． ②直接写出图（）中，与之间的数量关系：______． (3)小华继续探究：如图（5），若直线与直线不平行，点，分别在直线、直线上，点在两直线之间，连接，，，且同时平分和，请探索，与之间的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补； (2)①；②， (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质； （1）根据两直线平行同旁内角互补即可解决问题； （2）①猜想．过点作．利用平行线的性质即可解决问题； ②∠，与之间的数量关系是．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题； （3）同时平分和，则，，根据得出． 【详解】（1）解：如图， ，(两直线平行，同旁内角互补) ，(两直线平行，同旁内角互补) ． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补． （2）解：①图（2）中，与之间的数量关系：． 证明：过点作，如图， ， ， ， ， ，即． ②连接，交于点，如图4， ， ， ． （3）解：， ∵同时平分和， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴， ，与之间的数量关系：． 6．（23-24七年级下·贵州毕节·期中）已知直线，点E在直线，之间，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，过点E作，探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，F为直线，之间一点，连接，，，，求出与之间的数量关系； (3)当点E，F，G在直线，之间的位置如图3所示时，直接写出，，，，之间的数量关系：_________． 【答案】(1)，理由见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的性质和平角的性质， （1）根据题意得，则，．结合，得． （2）由（1）得和 ．结合题意得，．利用平角可得，，则即可； （3）过点E，F，G分别作的平行线，，，则，有，，，．则有，即． 【详解】（1）解： ． 理由：∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． （2）解：由（1）得， 同理可得． ∵，， ∴，． ∵，， ∴，， ∴ ， 则． （3）解：． 如图，过点E，F，G分别作的平行线，，， 则， ∴，，，． ∵，，， ∴， ∴，即． 题型5 建模思想 建模思想：将实际问题转化为数学模型 1. 抽象模型：将实际问题转化为几何图形； 2. 应用性质：利用对顶角相等、邻补角互补等性质； 3. 求解问题：通过模型的性质，间接求出实际问题的答案。 1．（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知直线，且，在直角三角尺中，，三角尺的顶点在直线上．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，和分别与直线交于两点，探究和之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，为直线上一点，绕点旋转直角三角尺，点始终在直线的上方，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由平行线的判定与性质，数形结合求解即可； （2）由平行线的判定与性质，数形结合求解即可； （3）根据题意，分两种情况，作出图形，数形结合，由平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：过作，如图所示：   ， ， ， ， ， ； （2）解：， 理由如下： 过作，如图所示：   ， 又， ， ， ， ， ，即； （3）解：①当在直线的上方时，如图③所示：    设，则， ， ， 解得，则， ， ， ； ②当在直线的下方时，如图④所示：    设，则，， ， ， 解得，则， ， ， ； 综上所述：当时，的度数为或． 2．（25-26七年级下·山东济宁·期中）为了深入探究平行线的性质，某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现： 【模型发现】图中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【问题情境】如图1，已知：，是，之间的一点，连接，，试探究，，之间的数量关系．兴趣小组进行了下面的操作： 过点作． ， ， ， ， ， ． (1)【方法应用】如图，，是，之间的一点，分别为，上的点，若，，类比【问题情境】中的推理过程求的度数； (2)【变式探究】如图，，点在的上方，猜想，，之间有什么数量关系？请说明理由； (3)【拓展延伸】如图，，是，之间的一点，若，的平分线和的平分线交于点，则_°． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）类比题中解法步骤求解即可得到答案； （2）类比题中解法步骤求证即； （3）类比运用两次题中解法步骤求解即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ； （2）解：， 理由如下： 过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， 过点作，如图所示： ， ， ， ， ， 的平分线和的平分线交于点， ， ． 3．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）在综合与实践课上，老师让同学们以“两把直角三角尺和（，，，）”为主题开展数学活动，已知． 【操作发现】 如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． (1)若，求的度数； 【拓展探究】 (2)如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【结论应用】 (3)如图③，在（2）的条件下，继续将三角尺逆时针旋转，当恰好经过点时停止转动，连接，此时测得，请你猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）先由邻补角的定义求出，由平行线的性质可得，由此计算即可得出结果； （2）作，则，，从而可得，进而得出，再结合，计算即可得出结果； （3）先求出，再结合题意即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26七年级下·四川德阳·期中）在一次综合与实践课上，李老师以“潜望镜里的数学”为主题开展数学探究活动． 【初识反射】物理学中光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线（过入射点垂直于反射面的直线）都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律 (1)【理解运用】光的反射是生活中常见的现象，图1展示了光的反射定律（为法线，为反射面，m，n分别为入射光线和反射光线，和分别为入射角和反射角），其中，入射角等于反射角（即），则_______；（填“”“”或“”） (2)【潜望探秘】了解光的反射定律后，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图2，，是平行放置的两面平面镜（即），入射光线经过两次反射后，得到反射光线．已知，，请证明：； (3)【拓展探究】把两个平面镜，按如图3所示位置放置，入射光线经过两次反射后，反射光线与入射光线平行但方向相反（即）．已知，，求的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据等角的余角相等分析求解，即可解题； （2）根据平行线性质，以及平角的相关计算，推出，再结合平行线判定定理即可证明； （3）过点作，利用平行线性质推出，再结合平角定义与平行线性质求解，即可解题． 熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）证明：， ， ，， ， ， ， ； （3）解：过点作， ， ， ，，， ， ， ， ， . ，， ． 5．（25-26七年级下·北京·期中）已知定点，点在点的左侧，直线在直线的下方，，点是这两条直线之间的一个动点，，点在直线上，满足．    (1)如图1，当点在点的左侧，时，是线段与直线的夹角，求的大小； (2)过点作的角平分线， ①若，直接写出的大小； ②若射线与直线相交于点，当时，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)①当直线时，的大小为或； ②当时，的大小为或． 【分析】本题考查了平行线的判定及性质； （1）过作，由平行的判定方法得，由平行线的性质得，，即可求解； （2）①直线时，分两种情况讨论：当在的左侧时，由平行的判定方法得，由平行线的性质即可求解；当在的右侧时，同理可求解； ②当时，分两种情况讨论：当在的左侧时，过作，同理可求解；当在的右侧时，同理可求解． 【详解】（1）解：如图，过作，   ， ， ， ， ， ； （2）解：①直线时， 如图，当在的左侧时，   直线平分， ， ，， ， ； 如图，当在的右侧时，    同理可得：， ， ， ； 故的大小为或； ②当时， 如图，当在的左侧时，    过作， 同理可得：， ， ， ， ； 如图，当在的右侧时，    同理可求：， ， ， ； 故的大小为或． 6．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在直角三角尺中，，点E在直线上，过点F作直线，使． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的角平分线与的角平分线交于点K，求的度数； (3)如图3，作的平分线交于点M，点P是角平分线上位于直线下方的动点，点H是射线上的动点（不与点M重合），请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）作，如图，根据平行线的判定和性质证明，即可得出答案； （2）同（1）题的方法可得，再结合角平分线的定义和（1）题的结论即可得解； （3）分两种情况，作，利用平行线的判定和性质解答即可. 【详解】（1）解：作，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：同（1）的方法可得， ∵的角平分线与的角平分线交于点K， ∴， ∵ ∴； （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 当点H在线段上时，如图，作， ∴，， ∵， ∴ ∴； 当点H在射线上时，如图，作， ∴，， ∵， ∴ ∴； 综上，或. / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题03相交线与平行线中的思想方法 方程思想 转化思想 相交线与平行线中的思想方法 分类讨论思想 整体思想 建模思想 德点量破 题型1方程思想 嫦方法 方程思想：通过设未知数建立方程求解角度或线段长度 1. 设未知数：选择与问题相关的角为变量： 2. 找等量关系：利用角平分线、对顶角、平行线性质等，将已知角与未知角关联： 3. 列方程：根据周角、平角或角的和差关系建立方程； 4. 解方程：求出未知数，进而得到所求角的度数。 1.(25-26七年级下·江西南昌·期中)如图，现有一张长方形纸条ABCD,将纸条沿EF折叠，点C落在C处， 点D落在D'处.再将纸条沿MN继续折叠，点A落在A处，点B落在B处.若EF MA',MN‖D'E, 则∠CFC'的度数为() A A.105° B.110° C.1150 D.120° 2.(25-26七年级下·重庆期中)如图所示，已知直线AB∥CD,直线KH分别交AB、CD于点F、H,直 线M经过点F,使得FB平分∠KFM，,若∠KFM=134°，则∠AFH= ;点G在CD上，点 E在AB上，∠EGD的角平分线交KH于点R,且满足∠AEG+∠FHD=I80°，∠GRF-∠BFM=45°， 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则∠AFK= M D GH 3.(25-26七年级下，陕西咸阳期中)2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器 人火炬手.如图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图.其中，∠GHN:∠FGE=2:1, ∠HGF=140°，GE∥MN,则∠GHM的度数为 G B 4.(25-26七年级下·云南昆明·期中)如图，是生活中常见的一种躺椅，躺椅的靠背侧面有滑槽，扶手可以 沿着滑槽上下移动，调节位置，前、后支撑腿之间的夹角可以调节.某数学小组对其结构进行了简单探 究，过程如下： 【作图】：据实物画出躺椅的侧面结构示意图，如图所示，AB为躺椅的扶手，CD为底座，DN为靠背， OE、OF为前、后支撑腿 【测量】：扶手AB与底座CD平行，与靠背DN相交于点M,与前、后支撑腿OE、OF相交于点O.前、 后支撑腿OE、OF与底座CD分别相交于点G、D. M 图1 图2 【探究】： (1)如图1，若底座与靠背的夹角（即∠CDN)为120°，前、后支撑腿的夹角（即∠E0F)为60°，D0 平分∠CDN,通过计算说明：∠AOE=∠BOF; (2)通过多次调节躺椅的前、后支撑腿之间的夹角和扶手的高度，同学们发现，当前支撑腿与靠背平行， 前、后支撑腿互相垂直，且后支撑腿与底座的夹角（即∠ODC)为30°时（如图2），人躺上去非常舒适， 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 求此时∠BMN的度数. 5.(25-26七年级下广西钦州期中)综合与实践， 【问题初探】如图，打台球时，选择适当的方向击打白球，白球反弹后击打红球，红球会直接入袋，此 时，∠2+∠3=90°，∠1=∠2. 白球 红球 (1)已知∠1=60°，求∠3的度数； (2)证明：LADF=LBDE; 【类比探究】 (3)如图，在长方形的台球桌面上，选择适当的角度击打白球，可以使白球经过两次反弹后将黑球直接撞 入袋中，此时∠1=∠2，∠3=∠4，并且∠2+∠3=90°，L4+∠5=90°；如果黑球与洞口的连线和台球桌面 边缘的夹角L5=40°，那么∠1=°才能保证黑球准确入袋； B -N 白球 人● 黑球 D 5 图1 图2 【学科融合】 (④小明提出新的问题情境，在物理学中，光的反射跟台球的运动轨迹相似.光线反射时，反射光线、入 射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射光线与法线的夹角（反射角） 等于入射光线与法线的夹角（入射角）；如图1，EF为一镜面，A0为入射光线，入射点为点O,ON为 法线（过入射点O且垂直于镜面EF的直线），OB为反射光线，此时反射角∠BON等于入射角∠AON.现 有一激光反光装置，如图2，AE,BF是两块可以分别绕A,B两点转动的镜面，O点是激光发射装置， 由O点发出的激光照射在点A和点B处，AG,BH是两束反射光线.A,B处于同一水平高度，已知入 射光线OA和OB与水平线MN的夹角分别是10°和20°，镜面AE与立杆的夹角∠EAC=45°，则反射光 线AG与水平面夹角∠GAN=°；通过调节BF的角度，当∠FBD=时，反射光线AG和BH平 行 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(25-26七年级下广西百色期中)【问题情境】如图1，已知直线EF分别与直线AB,CD相交于点M, N,AB∥CD. 图1 图2 图3 (I)【尝试探究】求证：∠AME+∠CNF=180°； (2)【拓展探究】如图2，点P在直线AB,CD之间，连接MP,NP. ①若∠AMP=3∠AMN,∠CNP=3∠CNM,求LMPN的大小； ②如图3，若NM,MP分别是∠PND,∠AMN的平分线，点Q在PM的延长线上，连接NQ,若 ∠0=)∠AMP,∠P=84,请直接写出∠Q的度数. 题型2转化思想 煤方法 转化思想：将复杂问题转化为简单或熟悉的问题 1. 分析目标：明确需要证明的结论； 2. 寻找桥梁：通过作辅助线，将已知角与未知角关联： 3. 转化关系：利用平行线性质（如内错角相等、同旁内角互补）将角转化，逐步推导结论。 1.(25-26七年级下·四川绵阳·期中)学习了平行线后，李明过直线CD外一点P画这条直线的平行线，画 法如图1所示： N G P A B P P D D D 图1 M 图2 王芳对李明画的图继续探究，如图2，在射线PA上取点O,点E,F分别是射线PN,PM上的动点， 连接OE,OF,使得∠EOP=k∠DQP,LFOP=1-k)LCQP,且0<k<1,作LCQP的角平分线交直 线AB于点G.下列说法正确的有() 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①李明画平行线的依据是“平行于同一直线的两直线平行”； ②已知∠D0P=50°，则当k=二时，G0∥0F且G0⊥OE; 2 ③当k=二时，∠NE0与∠QFO的和为定值270°； 2 A.① B.② C.③ D.②③ 2.(13-14八年级上山东枣庄·期末)如图，AB∥EF,∠C=90°，则α，B,y的关系是() A E A.B+y-a=90 B.a+B+y=180 C.B=a+y D.a+B-y=90° 3.(25-26七年级下山西吕梁期中)图1是北斗七星在某一时刻的观察图片，图2是其对应的示意图.将 北斗七星分别标记为A,B,C,D,E,F,G,其中B,C,D三点在同一条直线上，且AB∥EF, ∠B=142°，∠E=108°，则∠D的度数为 G 图1 图2 4.(25-26七年级下.湖北荆门期中)如图1，AB∥CD,直线EF交AB于点E,交CD于点F. A -B G D 2F D 图1 图2 (1)求证：∠1=∠2； (2)如图1，点G,H在AB,CD之间，且在EF的左侧，若∠EGH+∠FHG=230°，求LAEG+∠CFH 的度数： (3)如图2，点M在AB,CD之间，点P在CD上，直线PQ平分∠CPM交EF的延长线于点N,若 ∠PME+2∠PNE=180°，求证：EF平分∠BEM. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5.(25-26七年级下，贵州黔南期中)综合与探究 如图，在ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC,交ABC的边AC于点D,E为直线AC上一点， 过点E向直线AC的右边作射线EF,使EF∥BC,作∠CEF的平分线EG交射线BD于点G. A(E) F D 图1 图2 (1)如图1，ABC=40°，点E与点A重合，求∠G的度数； (2)如图2，若∠ABC=,点E在DC的延长线上，求LG的度数.（用含有a的式子表示） 6.(25-26七年级下黑龙江牡丹江期中)【问题背景】如图，MN∥PQ,直线AB交MN于点A,交PQ于 点B,点C在线段AB上，过点C作射线CE,CF分别交直线MW,PQ于点E,F,∠ECF=90°. 1F 图1 图2 【观察发现】 (I)如图1，求LAEC+LBFC的度数； 【知识应用】 (2)如图2，T在CF延长线上，若∠MEC和∠PFT的角平分线交于点G,EG与PQ交于点D,求 ∠PDG-∠PFG的度数 题型3分类讨论思想 ©妹方法 分类讨论思想：对不确定的位置关系进行分类分析 1.确定分类标准：根据点的位置（如在线段上、延长线上）、射线的方向（如顺时针、逆时针）等分类； 2.逐一分析：对每一种情况分别推导，利用平行线性质或角的关系求解； 3.总结结论：综合所有情况，得出最终答案。 1.(25-26六年级下山东淄博期中)如图，在一副三角尺ABC和DEF中，∠B=∠D=90°，∠A=30°， 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠C=60°，∠DEF=∠F=45°，将三角尺DEF的顶点E落在边AC上.若三角尺ABC不动，将三角尺 DEF绕点E顺时针旋转一周.在转动过程中，当EF与三角尺ABC的直角边垂直时，∠AEF的度数可 能为 D 2.(25-26七年级下·河南许昌·期中)如图，将两个直角三角尺的一个顶点重合，其中∠ACB=∠CDE=90° ,∠ABC=30°，∠DCE=45°，三角尺ABC固定不动，三角尺DCE可绕点C转动.当AB∥EC时， ∠DCA的度数为 3.(25-26七年级下·河北沧州期中)综合与实践 【情境】在综合与实践课上，同学们利用一副直角三角板和两条平行线，探究变化过程中相关角度的变 化.已知直线AB∥CD,在直角三角板ERK中，∠ERK=90°，∠KER=30°，∠EKR=60°，在直角三 角板FGH中，∠FGH=90°，∠GFH=∠GHF=45°. HO B A- B H(R) 【操作】操作一：如图1，将两块三角板的 图1 图2 一条直角边重合，直角三角板ERK的斜边EK与CD重合，直角三角板FGH的顶点F在直线AB上. (I)在图1中，LEGF=°，∠FHK=°； (2)利用图1，求∠BFH的度数： 【探究】操作二：在操作一的基础上，直角三角板ERK固定不动，让直角三角板FGH绕着点G按逆时 针方向旋转，旋转的度数小于90°.设边GH(或GH的延长线)与AB交于点Q (3)如图2，当点F恰好落在CD上时，试判断∠BQG与∠EGF存在的数量关系，并说明理由； 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)当斜边FH与直角三角板ERK的某一边平行时，直接写出∠BQG的度数. 4.(25-26七年级下·山东烟台期中)探照灯常用于夜间照明、安防警戒、舞台灯光等场景，它可绕固定点 转动并自由调整照射角度，探照灯发出的光线可看作以发光点为端点的射线.如图1，某剧场舞台两侧 AB,CD各安装了一盏高度相同的探照灯，它们发出的光线在同一平面内，AB侧的灯P发出的射线从 PA开始，逆时针旋转至射线PB便立即回转；CD侧的灯Q发出的射线从QD开始，逆时针旋转至QC便 立即回转，两灯不停交叉照射.己知灯P转动的速度是2°/秒，灯Q转动的速度是4°/秒， AB∥CD,∠APQ=2∠BPQ P B B O 图1 图2 (1)∠DOP的度数为 (2)若灯P从PA开始，先转动15秒后，灯Q才从QD开始转动，在灯P发出的射线到达PB前，当两灯 P,Q发出的光线恰好互相平行时，求灯Q转动的时间； (3)如图2，若两灯P,Q同时从各自起始位置转动，在灯Q发出的射线到达QC前，两灯发出的射线交于 点E,F为AB侧的动点，且满足∠PQE=2∠PEF,在此过程中，∠FEQ的度数是否为定值？若是，请 求出这个定值；若不是，请说明理由， 5.(25-26七年级下·广东广州期中)数学活动： 在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸得出了过点P画直线AB的 平行线的方法，折纸过程如下.①-②-③-④. P。 B A A 图① 图② 图③ 图④ 张华在任务1的条件下继续探究.他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从PD开始绕点 P顺时针旋转至PC后立即回转，灯Q射线从QA开始绕点Q顺时针旋转至QB后立即回转两灯不停 旋转交叉照射，且灯P,灯Q转动的速度分别是1°/秒，3°秒，若灯P射线转动20秒后，灯？射线 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 开始转动.在灯P射线第一次到达PC之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线PN转动到如图的位置， HD ON 张华按照上面要求转动灯P、灯Q过程中，发现当取某个值时，两灯的光束可以互相平行. D D D A B A B 9 9 备用图① 备用图② 问题解决： (1)任务1： 通过上述的折纸过程，图②的折痕PQ与直线AB的位置关系是_·如图.∠1=∠2=_·则AB与CD的位 置关系为· (2)任务2： ①用含t的式子表示∠DPN=_, ②当t=45s时，两条射线的夹角为_· (3)任务3： 灯P射线第一次到达PC之前，求满足条件的t的所有值并说明理由. 6.(25-26七年级下·江苏连云港·期中)将两块形状、大小完全相同的直角三角板ABC和DEF(含 30°60°90°的角)按不同方式放置在一条直线MN上，会产生不同的问题. B D M A C(F) M F B(D)N 图1 图2（备用图） 图3 (I)将它们如图1放置，点A,C,E在直线MN上，三角板CDE位置不动，将三角板ABC绕点C顺时针 旋转一周； ①当三角板ABC绕点C顺时针旋转45时，LBCD=_°，∠ACE=_°； 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②在旋转过程中，∠BCD与∠ACE有怎样的数量关系？并说明理由， (2)在图1基础上，三角板ABC和DEF同时绕点C顺时针旋转，若三角板ABC的边CA从CM处开始绕 点C旋转，转速为6°/秒，同时三角板DEF的边CE从CN处开始绕点C旋转，转速为1°/秒，当CA旋 转一周再落到CM上时，两个三角板都停止转动.设旋转时间为t秒，当时间t为多少秒时，三角板 ABC和DEF重合？并说明理由. (3)将它们如图3放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G.现将图中的△ABC绕点F按 每秒15°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为多少秒？ 并说明理由. 题型4整体思想 妹方法 整体思想：将局部问题转化为整体问题求解 1. 识别整体：找出包含未知角的整体； 2. 利用整体性质：利用平行线的同旁内角和为180°、平角为180°等性质； 3. 推导未知量：通过整体的数量关系，间接求出未知角的度数。 1.(25-26七年级下·北京·期中)学习了平行线的相关知识后，小明尝试将角平分线的内容与平行线知识相 结合，自主创编了一道练习题：题目如下：如图1，任意摆放含30°角的直角三角板ABC,∠ACB=90° ,∠BAC=30°，分别过三角板的三个顶点作3条直线使得DE∥FG∥H1. D L B 图1 图2 图3 备用图 (I)如图2，∠BCH和∠DAB的角平分线相交于点P,则∠P的度数为 (2)如图3，∠EAC与LABG的角平分线相交于点Q. ①∠AQB的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由：若是定值，请求出∠AQB的大小， ②己知△MNT个是含有45角的直角三角板，且其顶点T与点Q重合，另一直角顶点M在直线HⅢ上时 (假设三角板的边长可以随时调整长度)，记∠AOM为∠α，∠BQN为∠B,请直接写出La与∠B满足 的所有数量关系（用等式表示） 2.(24-25七年级下·辽宁铁岭·期中)已知：AB‖CD,点E在直线AB,CD外，连接AE,CE.探究∠A ,∠C,∠AEC之间的数量关系， 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A F D 图1 图2 图3 (I)如图1，过点E作EF∥AB,:AB‖CD,.EFCD,.∠A=∠AEF,LC=LCEF,则∠A,∠C, ∠AEC之间的数量关系为； (2)如图2，过点E作EF∥AB,猜想∠A,∠C,∠AEC之间的数量关系，并证明； (3)如图3，过点E作EF∥AB,直接写出∠A,∠C,∠AEC之间的数量关系为 3.(24-25七年级下·河北沧州·月考)已知：如图1，AB∥CD,点E,F分别为AB,CD上一点. E E A -B D D 图1 图2 (I)在AB,CD之间有一点M（点M不在线段EF上)，连接ME,MF,试探究LAEM,LEMF,∠MFC之间 有怎样的数量关系.请补全图形，并在图形下面写出相应的数量关系，选其中一个进行证明. (2)如图2，在AB,CD之间有两点M,N,连接ME,MN,NF,请选择一个图形写出 ∠AEM,∠EMN,∠MWF,∠NFC存在的数量关系（不需证明）. 4.（23-24七年级下.宁夏银川期中)综合与探究 问题情境：在综合实践课上，老师组织七年级(1)班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动， 如图，已知射线AM∥BN,连接AB,点P是射线AM上的一个动点（与点A不重合），BC,BD分别平 分∠ABP和LPBN,分别交射线AM于点C,D. B D 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 探索发现： “快乐小组经过探索后发现： (I)当LA=60°时，LCBD=∠A.这个结论正确吗？如果正确请说明理由. (2)不断改变∠A的度数，∠CBD与∠A却始终存在某种数量关系，请写出这个数量关系并说明理由， (3)智慧小组”利用量角器量出∠APB和∠ADB的度数后，探究二者之间的数量关系，他们惊奇地发现， 当点P在射线AM上运动时，无论点P在AM上的什么位置，∠APB和∠ADB之间的数量关系都保持 不变，请写出它们的关系，并说明理由 5.(23-24七年级下·山东菏泽·期中)已知：如图(1)，如果AB∥CD∥EF.那么 ∠BAC+∠ACE+∠CEF=360° 老师要求学生在完成这道教材上的题目后，尝试对图形进行变式，继续做拓展探究，看看有什么新发现？ B 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 图5) (1)小华首先完成了对这道题的证明，在证明过程中她用到了平行线的一条性质，小华用到的平行线性质 可能是 (2)接下来，小华用《几何画板》对图形进行了变式，她先画了两条平行线AB,EF,然后在平行线间 画了一点C,连接AC,EC后，用鼠标拖动点C,分别得到了图(2)(3)(4)，小华发现图(3)正 是上面题目的原型，于是她由上题的结论猜想到图(2)和(4)中的∠BAC,∠ACE与∠CEF之间 也可能存在着某种数量关系.然后，她利用《几何画板》的度量与计算功能，找到了这三个角之间的数 量关系 请你在小华操作探究的基础上，继续完成下面的问题： ①猜想：图(2)中∠BAC，,∠ACE与∠CEF之间的数量关系： ②直接写出图(4)中∠BAC,∠ACE与∠CEF之间的数量关系： (3)小华继续探究：如图(5)，若直线AB与直线EF不平行，点G,H分别在直线AB、直线EF上，点 C在两直线之间，连接CG,CH,GH,且GH同时平分∠BGC和LFHC,请探索LAGC,∠GCH与 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠CHE之间的数量关系？并说明理由 6.(23-24七年级下·贵州毕节期中)已知直线AB∥CD,点E在直线AB,CD之间，点P,Q分别在直线 AB,CD上，连接PE,EQ. B A D 图1 图2 图3 (I)如图1，过点E作EH∥AB,探究LPEQ与∠APE+∠CQE之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，F为直线AB,CD之间一点，连接PF,QF,∠EPF=3LBPF,∠EQF=3∠DQF,求出 ∠F与∠E之间的数量关系： (3)当点E,F,G在直线AB,CD之间的位置如图3所示时，直接写出∠1，∠2，∠E,∠F,LG之 间的数量关系： 题型5建模思想 嫦方法 建模思想：将实际问题转化为数学模型 1. 抽象模型：将实际问题转化为几何图形； 2. 应用性质：利用对顶角相等、邻补角互补等性质： 3. 求解问题：通过模型的性质，间接求出实际问题的答案。 1.(25-26七年级下山东临沂期中)已知直线a,b,且a∥b,在直角三角尺ABC中， ∠ACB=90°，∠BAC=30°，三角尺的顶点B在直线b上. B B 图① 图② 图③ (1)如图①，若∠2=42°，求∠1的度数； (2)如图②，BC和AC分别与直线Q交于D,E两点，探究∠1和∠2之间的数量关系，并说明理由： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图③，F为直线b上一点，绕点B旋转直角三角尺ABC,点A始终在直线Q的上方，当 ∠1=4∠CBF时，求∠2的度数 2.(25-26七年级下山东济宁期中)为了深入探究平行线的性质，某学校数学兴趣小组的学生在活动中发 现： 【模型发现】图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含 着角的数量关系. B 图1 图2 图3 图4 【问题情境】如图1，已知：AB∥CD,P是AB,CD之间的一点，连接BP,DP,试探究∠BPD, ∠B,∠D之间的数量关系.兴趣小组进行了下面的操作： 过点P作EF∥AB. .∠B=∠BPF, AB CD ..CDEF, ∠D=∠DPF, .∠B+∠D=∠BPF+∠DPF, ∠BPD=∠B+∠D. (I)【方法应用】如图2，AB∥CD,P是AB,CD之间的一点，E,F分别为AB,CD上的点，若 ∠AEP=30°，∠CFP=52°，类比【问题情境】中的推理过程求∠EPF的度数； (2)【变式探究】如图3，AB∥CD,点P在AB的上方，猜想∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有什么数量关 系？请说明理由； (3)【拓展延伸】如图4，AB∥CD,P是AB,CD之间的一点，若LEPF=98°，∠PEA的平分线和 LPFC的平分线交于点Q,则LQ=°. 3.(25-26七年级下·内蒙古呼和浩特期中)在综合与实践课上，老师让同学们以“两把直角三角尺EFG和 HMN（∠GEF=∠MHN=90°，∠MNH=60°，∠HMN=30°，∠EGF=∠EFG=45°)”为主题开展数学活 动，己知AB∥CD. 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【操作发现】 如图①，把三角尺EFG的直角顶点E放在直线CD上，把三角尺HMN的直角顶点H放在直线AB上， HM经过点E. (I)若∠MED=126°，求∠AHN的度数； 【拓展探究】 (2)如图②，绕点H逆时针旋转三角尺HMN,恰好可以使得点G与点N重合，此时测得LFGM=19°， 请你说明∠AHG与∠DEF之间的数量关系； 【结论应用】 (3)如图③，在(2)的条件下，继续将三角尺HMN逆时针旋转，当HN恰好经过点F时停止转动，连接 GH,此时测得LGFH=79°，请你猜想∠GHF与∠MNH的数量关系，并说明理由. 4.(25-26七年级下·四川德阳·期中)在一次综合与实践课上，李老师以“潜望镜里的数学”为主题开展数学 探究活动。 E E->----1F m C 3 —B D 图1 图2 图3 【初识反射】物理学中光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线（过入射点垂直于反射面的直线） 都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律 (I)【理解运用】光的反射是生活中常见的现象，图1展示了光的反射定律(EF为法线，AB为反射面， m,n分别为入射光线和反射光线，日，和O2分别为入射角和反射角)，其中EF⊥AB,入射角等于反射角 (即6=02)，则∠1∠2；（填“>”“<”或“=”） (2)【潜望探秘】了解光的反射定律后，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易 潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，如图2，AB,CD是平行放置的两面平面镜（即AB∥CD), 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 入射光线EF经过两次反射后，得到反射光线GH.己知∠1=∠2，∠3=∠4，请证明：EF∥GH; (3)【拓展探究】把两个平面镜AB,BC按如图3所示位置放置，入射光线EF经过两次反射后，反射光 线GH与入射光线EF平行但方向相反（即EF∥GH).已知∠1=∠2，∠3=∠4，求∠ABC的度数 5.(25-26七年级下·北京·期中)己知定点A,点M在点A的左侧，直线1在直线AM的下方，1∥AM,点 P是这两条直线之间的一个动点，∠MAP=a,点B在直线I上，满足∠APB=60°. M 图1 备用图 (I)如图1，当点P在点A的左侧，a=10°时，∠1是线段PB与直线1的夹角，求∠1的大小： (2)过点P作∠APB的角平分线m, ①若m∥1，直接写出α的大小： ②若射线m与直线1相交于点Q,当∠PQB=15°时，直接写出的大小. 6.(25-26七年级下·重庆期中)如图，在直角三角尺EFG中，∠GEF=30°，∠EGF=90°，点E在直线 AB上，过点F作直线CD,使AB∥CD, -D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠BEG=20°，求∠DFG的度数； (2)如图2，若∠BEG的角平分线EK与∠DFG的角平分线FK交于点K,求∠K的度数； (3)如图3，作∠AEF的平分线交CD于点M,点P是角平分线上位于直线CD下方的动点，点H是射线 FC上的动点（不与点M重合），请直接写出∠BEG,∠EPH与∠PHC之间的数量关系.