专题01 平面向量、复数（5大题型45题）（期末真题汇编，河南专用）高一数学下学期

**基本信息** 平面向量与复数专题期末试题汇编，整合河南多地期末真题，覆盖5大核心题型，注重基础运算与综合应用能力梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约18题|向量线性运算（如D为中点的向量表示）、复数概念（纯虚数虚部求解）|含多选，结合图形情境（平行四边形对角线）| |填空|约12题|数量积（单位向量夹角求模）、参数问题（向量共线求k）|融入文化素材（赵爽弦图改编）| |解答|约8题|最值范围（正方形中向量数量积最小值）、复数综合（方程根求参数）|多问设计，梯度提升（如向量夹角与模综合计算）|

专题01 平面向量、复数 5大题型概览 题型01向量的线性运算及基本定理简单应用 题型02数量积三大基本题型：求数量积、模、夹角 题型03利用两向量的关系求解参数问题 题型04平面向量中的最值与范围问题 题型05复数的概念与运算 ( 题型 01 向量的线性运算 及基本定理的简单应用 ) 1 2 3 4 5 6 B A D A B BCD 7.12 8. ( 题型 0 2 数量积三大基本题型：求数量积 、模、夹角 ) 1. A 2. 3. 1 4. 5. 3 6. 1 7.【解析】（1）因为,所以,所以, 所以,可得. （2）因为,所以, 即,解得或. 8.【解析】（1）由均为单位向量,则, 由,即,得, 故； （2）, 由（1）知,,且, 故与的夹角为. ( 题型 0 3 利用两向量的关系求解参数问题 ) 1 2 3 4 C D ABD AD 5. 6. 7.【解析】（1）因为,, 又,所以； （2）因为,在上的投影向量的长度为, 根据投影的定义及（1）中解答,所以,又, 所以,解之得. 8.【解析】（1）∵,, ∴,, 又∵, ∴, ∴； （2）因为, 所以,解得,, 所以, 所以, 即向量与夹角的余弦值为． ( 题型 0 4 平面向量中的最值与范围问题 ) 1 2 3 C C D 4. 5. 6. 13 7. 5 8.【解析】（1）因为, 所以解得． （2）若,则,解得, 所以,,. （3）因为与的夹角为锐角,所以且不同向,即 解得且,即的取值范围是． 9.【解析】（1）,, ,； （2）,, 同理：． 又, ∴,,； （3）在仿射坐标系中,设,, ∵,∴． 又∵E,F分别为,中点, ∴, ∴, , 即, 又,∴中,,, 有正弦定理可得：, ∴,． 又,∴, ∴ （其中） 所以的最大值为． ( 题型 0 5 复数的概念与运算 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C A A B AC ABC 9.3 10. 11.【解析】（1）由已知得, 为纯虚数,, 解得. （2）设,则, 又, 由,夹角为锐角得：,且与不共线, , 解得且, 故的取值范围为. 12.【解析】（1）由题意知, 又为纯虚数,所以,解得或． （2）因为复数是关于的方程的一个根, 所以,整理得, 所以,解得,或, 所以,或． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量、复数 5大题型概览 题型01向量的线性运算及基本定理简单应用 题型02数量积三大基本题型：求数量积、模、夹角 题型03利用两向量的关系求解参数问题 题型04平面向量中的最值与范围问题 题型05复数的概念与运算 ( 题型 01 向量的线性运算 及基本定理的简单应用 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·河南省三门峡市·期末）若D为的边的中点,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为D为的边的中点,所以.因为,, 所以,即,故选B. 2．（24-25高一下·河南省驻马店市·期末）如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,则与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为四边形为平行四边形,且对角,对于A中,由,所以与共线,所以A符合题意；对于B中,由,向量与不共线,所以B不符合题意；对于C中,由,向量与不共线,所以C不符合题意； 对于D中,由向量与不共线,所以D不符合题意.故选A. 3．（24-25高一下·河南省郑州市实验中学·期末）如图,在△ABC中, E是AD的中点,则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中, E是的中点, 则.故选D. 4．（24-25高一下·河南省开封市·期末）如图,在平行四边形中,为的中点,与对角线相交于点,记,,则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得,∽,所以,所以,所以.故选A. 5．（24-25高一下·河南省安阳市滑县·期末）在中,,,若,则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】 根据向量的运算法则,可得 ,所以． 6．（多选）（24-25高一下·河南省濮阳市·期末）如图,在中,D为边上的一个三等分点（靠近点B）, ,则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．是在上的投影向量 【答案】BCD 【解析】对于A,由已知, 所以,A错误；对于B,因为,所以, 所以,B正确； 对于C,,C正确； 对于D,在上的投影向量为,D正确；故选BCD. 二、填空题 7.（24-25高一下·河南省新未来·期末）设和是两个不共线的向量,若,,,且A,B,D三点共线,则实数k的值等于________． 【答案】12 【解析】由题意有,,因为A,B,D三点共线,所以存在实数,使得,即,所以,所以． 8.（24-25高一下·河南省新乡市·期末）赵爽弦图是中国古代数学的图腾,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图,某人仿照赵爽弦图,用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形,其中G,H,J,K,L,M分别是AM,BG,CH,DJ,EK,FL的中点,O是正六边形ABCDEF的中心．若,则______． 【答案】 【解析】连接CF,则O为线段CF的中点．连接OB,易证四边形ABOF,ABCO均为平行四边形,则．连接EM,则A,M,E三点共线,且, 所以．由正六边形的性质可得,则． 因为,结合平面向量基本定理,所以,则． ( 题型 0 2 数量积三大基本题型：求数量积 、模、夹角 ) 一、选择题 1.（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）已知单位向量的夹角为,则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】则,因为,所以,即与的夹角为.故选A. 二、填空题 2.（24-25高一下·河南省许昌市·期末）已知,为平面内不相等的两个单位向量,,且,则______． 【答案】 【解析】依题意,,由于,所以,同理可得,由于,不相等,所以,的夹角为,所以. 3.（24-25高一下·河南省南阳市淅川县·期末）已知单位向量满足,则__________. 【答案】1 【解析】依题意,,解得,因此,即. 4.（24-25高一下·河南省商丘市百师联盟·期末）已知向量的夹角为,,则＝______． 【答案】 【解析】因为向量的夹角为,,所以． 5.（24-25高一下·河南省三门峡市·期末）已知向量,,在网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1,则______． 【答案】3 【解析】可以看出在方向上的投影向量为,在方向上的投影向量为,故. 6.（24-25高一下·河南省新未来·期末）已知向量满足,且,则__________． 【答案】1 【解析】因为,所以,展开得, 将代入,整理得,所以,即． 三、解答题 7.（24-25高一下·河南省鹤壁市·期末）已知平面向量,满足,,. (1)求,； (2)若,求实数t的值. 【解析】（1）因为,所以,所以, 所以,可得. （2）因为,所以, 即,解得或. 8.（24-25高一下·驻马店市·期末）已知均为单位向量,且． (1)求； (2)求向量与的夹角. 【解析】（1）由均为单位向量,则, 由,即,得, 故； （2）, 由（1）知,,且, 故与的夹角为. ( 题型 0 3 利用两向量的关系求解参数问题 ) 一、选择题 1.（24-25高一下·河南省洛阳市·期末）已知向量,,且,则（   ） A． B．1 C． D．4 【答案】C 【解析】因为,,且,所以,解得.故选C. 2．（24-25高一下·河南省鹤壁市·期末）已知向量,,,,若,则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】由题意得,, 由,得,解得,故.故选D. 3．（多选）（24-25高一下·河南省郑州市实验中学·期末）已知是平面内的两个单位向量,且它们的夹角为,若,且,,则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A,由,得,解得,A正确；对于B,,由,得,解得,B正确；对于C,,则,C错误；对于D,,,D正确.故选ABD 4．（多选）（24-25高一下·河南省郑州市中牟县·期末）已知向量,则下列说法正确的是（   ） A．若,则 B．若,则 C．若单位向量满足,则 D．若在上的投影向量为,则 【答案】AD 【解析】对于A：因为向量,所以,所以,则,正确；对于B：向量,由,得,解得,错误；对于C：设单位向量,因为,向量,所以,解得或,所以或,错误；对于D：因为在上的投影向量为,所以,解得,所以,正确.故选AD 二、填空题 5.（24-25高一下·河南省平顶山市·期末）已知向量,,若,则实数__________. 【答案】 【解析】∵,,∴.由得, ∴,解得. 6.（24-25高一下·河南省漯河市·期末）已知平面向量,若向量与共线,则__________. 【答案】 【解析】平面向量,若向量与共线,则,解得. 三、解答题 7.（24-25高一下·河南省开封市·期末）已知点,,,,且. (1)求x,y之间的关系式； (2)若在上的投影向量的长度为,求x的值. 【解析】（1）因为,, 又,所以； （2）因为,在上的投影向量的长度为, 根据投影的定义及（1）中解答,所以,又, 所以,解之得. 8.（24-25高一下·河南新未来·期末）已知向量,． (1)若,求x的值； (2)若,求向量与夹角的余弦值． 【解析】（1）∵,, ∴,, 又∵, ∴, ∴； （2）因为, 所以,解得,, 所以, 所以, 即向量与夹角的余弦值为． ( 题型 0 4 平面向量中的最值与范围问题 ) 一、选择题 1.（24-25高一下·河南省南阳市·期末）已知向量,,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得,所以,故当时,取得最小值. 故选C 2.（24-25高一下·河南省商丘市百师联盟·期末）已知正方形ABCD的边长为3,点E是边BC上的一点,且,点P是边DC上的一点,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以A为坐标原点,AB,AD所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系, 则,设,则,,当且仅当时等号成立,所以的最小值为．故选C． 3.（24-25高一下·河南省驻马店市·期末）已知向量,,满足,,,则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】,则可设、、, 由,则, 又,则,则,故,则,即的最大值为. 故选D. 二、填空题 4.（24-25高一下·河南省洛阳市·期末）已知向量,,满足,,,且,则的最小值为________. 【答案】 【解析】由,可得,又,所以, 所以,又,,所以, 所以,所以 ,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为. 5.（24-25高一下·河南省漯河市·期末）如图,在中,,过点的直线分别交直线于不同的两点,设,,则的最小值为______． 【答案】 【解析】因为三点共线,则,且,且,,即,,可得,又因为,则,可得,则,可得,显然,则, 当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为. 6.（24-25高一下·河南省濮阳市·期末）在平面四边形中,E,F分别是边和的中点,．四边形所在平面内一点P满足,则的最大值为______． 【答案】13 【解析】如图所示： 因为,,又点是的中点,所以,所以, ,又,所以,又点是的中点,所以,所以在以为圆心,2为半径的圆上,又, 故,即,所以的最大值为5,即三点共线,且在两点之间取得最大值,所以. 7.（24-25高一下·河南省鹤壁市·期末）．已知在平行四边形ABCD中,,,,点E,F分别在边BC,CD上,,则的最大值为__________. 【答案】5 【解析】以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,则,,,则,设,,其中,,则,,由,可得,即, 所以,所以当时,取得最大值5. 三、解答题 8.（24-25高一下·河南省商丘市百师联盟·期末）已知平面向量． (1)若,且,求和的值； (2)若,求的值； (3)若与的夹角为锐角,求的取值范围． 【解析】（1）因为, 所以解得． （2）若,则,解得, 所以,,. （3）因为与的夹角为锐角,所以且不同向,即 解得且,即的取值范围是． 9.（24-25高一下·河南省郑州市·期末）如图,设,是平面内相交成的两条射线,,分别是与,同向的单位向量,定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中,若,则记． (1)若,,求； (2)若,,且,求； (3)如图所示,在仿射坐标系中,B,C分别在x轴、y轴正半轴上,,,E,F分别为,中点,求的最大值． 【解析】（1）,, ,； （2）,, 同理：． 又, ∴,,； （3）在仿射坐标系中,设,, ∵,∴． 又∵E,F分别为,中点, ∴, ∴, , 即, 又,∴中,,, 有正弦定理可得：, ∴,． 又,∴, ∴ （其中） 所以的最大值为． ( 题型 0 5 复数的概念与运算 ) 一、选择题 1.（24-25高一下·河南省许昌市·期末）已知复数z满足,则复数z的虚部为（    ） A．i B．1 C． D． 【答案】B 【解析】依题意,,虚部为.故选B 2.（24-25高一下·河南省濮阳市·期末）已知复数z满足（i为虚数单位）,则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】,则.故选C. 3.（24-25高一下·河南省安阳市滑县·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】复数,所以复数在复平面内对应的点为,位于第三象限．故选C 4.（24-25高一下·河南省郑州市实验中学·期末）已知,复数 在复平面内对应的点位于第一象限,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由,则在复平面内对应的点为,且位于第一象限,所以,解得,所以的取值范围为．故选A． 5.（24-25高一下·河南省许昌市·期末）已知复数z满足,则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】设,对应点, 依题意,,表示与的距离为,所以的轨迹是以为圆心,半径为的圆,如下图所示,,表示到原点的距离的平方,由图可知,其最小值为.故选A 6.（24-25高一下·河南省开封市·期末）若,且,则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由,则.故选B. 7.（多选）（24-25高一下·河南省信阳市·期末）已知复数,,则下列说法正确的是（    ） A．若在复平面对应的点位于第二象限,则 B．若为纯虚数,则 C．的最小值为2 D．存在,使与互为共轭复数 【答案】AC 【解析】对于A,,若在复平面对应的点位于第二象限,则解得,选项A正确；对于B,若为纯虚数,则解得,选项B错误； 对于C,,当时取等号,选项C正确；对于D,若与互为共轭复数,则无解,选项D错误．故选AC． 8.（多选）（24-25高一下·河南省郑州市·期末）设,在复平面内z对应的点为Z,则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（    ）． A．若,则点Z的集合是圆 B．若,则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界） C．若,则点Z的集合是y轴所在的直线 D．若,则点Z的集合是一、三象限角平分线 【答案】ABC 【解析】A：表示以原点为圆心,1为半径的圆,对；B：表示以原点为圆心,半径分别为1、2的两个圆所成圆环（含边界）,对；C：表示到两点距离相等的点,即为轴所在直线,对；D：表示到两点距离相等的点,即为二、四象限的角平分线,错.故选ABC 二、填空题 9.（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）已知,且,则的最大值是______. 【答案】3 【解析】设,由,可得, 因为,所以,解得,所以的最大值是3. 10.（24-25高一下·河南省新未来联考·期末）已知复数为纯虚数,则实数的值为_____. 【答案】 【解析】由题可得解得. 三、解答题 11.（24-25高一下·河南省洛阳市·期末）在复平面内,复数对应的点为. (1)若为纯虚数,求的值； (2)设为坐标原点,为虚轴负半轴上任意一点,若向量与的夹角为锐角,求的取值范围. 【解析】（1）由已知得, 为纯虚数,, 解得. （2）设,则, 又, 由,夹角为锐角得：,且与不共线, , 解得且, 故的取值范围为. 12.（24-25高一下·河南省商丘市百师联盟·期末）设,复数． (1)若为纯虚数,求实数a的值； (2)若复数是关于x的方程的一个根,求的值． 【解析】（1）由题意知, 又为纯虚数,所以,解得或． （2）因为复数是关于的方程的一个根, 所以,整理得, 所以,解得,或, 所以,或． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量、复数 5大题型概览 题型01向量的线性运算及基本定理简单应用 题型02数量积三大基本题型：求数量积、模、夹角 题型03利用两向量的关系求解参数问题 题型04平面向量中的最值与范围问题 题型05复数的概念与运算 ( 题型 01 向量的线性运算 及基本定理的简单应用 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·河南省三门峡市·期末）若D为的边的中点,则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南省驻马店市·期末）如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,则与共线的向量是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南省郑州市实验中学·期末）如图,在△ABC中, E是AD的中点,则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·河南省开封市·期末）如图,在平行四边形中,为的中点,与对角线相交于点,记,,则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南省安阳市滑县·期末）在中,,,若,则（    ） A． B． C． D．2 6．（多选）（24-25高一下·河南省濮阳市·期末）如图,在中,D为边上的一个三等分点（靠近点B）, ,则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．是在上的投影向量 二、填空题 7.（24-25高一下·河南省新未来·期末）设和是两个不共线的向量,若,,,且A,B,D三点共线,则实数k的值等于________． 8.（24-25高一下·河南省新乡市·期末）赵爽弦图是中国古代数学的图腾,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图,某人仿照赵爽弦图,用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼成一个大正六边形,其中G,H,J,K,L,M分别是AM,BG,CH,DJ,EK,FL的中点,O是正六边形ABCDEF的中心．若,则______． ( 题型 0 2 数量积三大基本题型：求数量积 、模、夹角 ) 一、选择题 1.（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）已知单位向量的夹角为,则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2.（24-25高一下·河南省许昌市·期末）已知,为平面内不相等的两个单位向量,,且,则______． 3.（24-25高一下·河南省南阳市淅川县·期末）已知单位向量满足,则__________. 4.（24-25高一下·河南省商丘市百师联盟·期末）已知向量的夹角为,,则＝ 5.（24-25高一下·河南省三门峡市·期末）已知向量,,在网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1,则______． 6.（24-25高一下·河南省新未来·期末）已知向量满足,且,则__________． 三、解答题 7.（24-25高一下·河南省鹤壁市·期末）已知平面向量,满足,,. (1)求,； (2)若,求实数t的值. 8.（24-25高一下·驻马店市·期末）已知均为单位向量,且． (1)求； (2)求向量与的夹角. ( 题型 0 3 利用两向量的关系求解参数问题 ) 一、选择题 1.（24-25高一下·河南省洛阳市·期末）已知向量,,且,则（   ） A． B．1 C． D．4 2．（24-25高一下·河南省鹤壁市·期末）已知向量,,,,若,则（   ） A．4 B．2 C． D． 3．（多选）（24-25高一下·河南省郑州市实验中学·期末）已知是平面内的两个单位向量,且它们的夹角为,若,且,,则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（24-25高一下·河南省郑州市中牟县·期末）已知向量,则下列说法正确的是（   ） A．若,则 B．若,则 C．若单位向量满足,则 D．若在上的投影向量为,则 二、填空题 5.（24-25高一下·河南省平顶山市·期末）已知向量,,若,则实数__________. 6.（24-25高一下·河南省漯河市·期末）已知平面向量,若向量与共线,则__________. 三、解答题 7.（24-25高一下·河南省开封市·期末）已知点,,,,且. (1)求x,y之间的关系式； (2)若在上的投影向量的长度为,求x的值. 8.（24-25高一下·河南新未来·期末）已知向量,． (1)若,求x的值； (2)若,求向量与夹角的余弦值． ( 题型 0 4 平面向量中的最值与范围问题 ) 一、选择题 1.（24-25高一下·河南省南阳市·期末）已知向量,,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高一下·河南省商丘市百师联盟·期末）已知正方形ABCD的边长为3,点E是边BC上的一点,且,点P是边DC上的一点,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·河南省驻马店市·期末）已知向量,,满足,,,则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 4.（24-25高一下·河南省洛阳市·期末）已知向量,,满足,,,且,则的最小值为________. 5.（24-25高一下·河南省漯河市·期末）如图,在中,,过点的直线分别交直线于不同的两点,设,,则的最小值为______． 6.（24-25高一下·河南省濮阳市·期末）在平面四边形中,E,F分别是边和的中点,．四边形所在平面内一点P满足,则的最大值为______． 7.（24-25高一下·河南省鹤壁市·期末）．已知在平行四边形ABCD中,,,,点E,F分别在边BC,CD上,,则的最大值为__________. 三、解答题 8.（24-25高一下·河南省商丘市百师联盟·期末）已知平面向量． (1)若,且,求和的值； (2)若,求的值； (3)若与的夹角为锐角,求的取值范围． 9.（24-25高一下·河南省郑州市·期末）如图,设,是平面内相交成的两条射线,,分别是与,同向的单位向量,定义平面坐标系为仿射坐标系．在仿射坐标系中,若,则记． (1)若,,求； (2)若,,且,求； (3)如图所示,在仿射坐标系中,B,C分别在x轴、y轴正半轴上,,,E,F分别为,中点,求的最大值． ( 题型 0 5 复数的概念与运算 ) 一、选择题 1.（24-25高一下·河南省许昌市·期末）已知复数z满足,则复数z的虚部为（    ） A．i B．1 C． D． 2.（24-25高一下·河南省濮阳市·期末）已知复数z满足（i为虚数单位）,则（   ） A． B． C．1 D． 3.（24-25高一下·河南省安阳市滑县·期末）复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（24-25高一下·河南省郑州市实验中学·期末）已知,复数 在复平面内对应的点位于第一象限,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5.（24-25高一下·河南省许昌市·期末）已知复数z满足,则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.（24-25高一下·河南省开封市·期末）若,且,则（   ） A． B． C． D． 7.（多选）（24-25高一下·河南省信阳市·期末）已知复数,,则下列说法正确的是（    ） A．若在复平面对应的点位于第二象限,则 B．若为纯虚数,则 C．的最小值为2 D．存在,使与互为共轭复数 8.（多选）（24-25高一下·河南省郑州市·期末）设,在复平面内z对应的点为Z,则下列结论中满足条件的点Z的集合对应的图形正确的是（    ）． A．若,则点Z的集合是圆 B．若,则点Z的集合是两个圆所夹的圆环（包括边界） C．若,则点Z的集合是y轴所在的直线 D．若,则点Z的集合是一、三象限角平分线 二、填空题 9.（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）已知,且,则的最大值是______. 10.（24-25高一下·河南省新未来联考·期末）已知复数为纯虚数,则实数的值为_____. 三、解答题 11.（24-25高一下·河南省洛阳市·期末）在复平面内,复数对应的点为. (1)若为纯虚数,求的值； (2)设为坐标原点,为虚轴负半轴上任意一点,若向量与的夹角为锐角,求的取值范围. 12.（24-25高一下·河南省商丘市百师联盟·期末）设,复数． (1)若为纯虚数,求实数a的值； (2)若复数是关于x的方程的一个根,求的值． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $