精品解析：河南省信阳市信阳高级中学北湖校区2024-2025学年高一下学期7月期末测试数学试题

河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高一下期期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，是虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念，可求得，的值，再根据复数模长公式即可求解. 【详解】∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：B. 2. 已知向量，满足，，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据向量的垂直关系求出向量夹角的余弦值，然后结合向量的数量积求出模即可. 【详解】因为， 所以， 解得， 所以. 故选：B. 3. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 10 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由斜二测画法可知原四边形且，，利用勾股定理可求得，由此可求得平行四边形的周长. 【详解】由斜二测画法可知原四边形中且， 所以原四边形为平行四边形， 而，则原四边形中，故， 综上，四边形的周长为. 故选：C 4. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理确定三角形解的情况，可得不等式，即可得解. 【详解】由题意得， 即， 故选：D. 5. 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球､白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题不正确的是（    ） A. 事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先画出树状图，由，不可能同时发生可判断A；求得， ，的值，可判断C、D；利用可判断B． 【详解】根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数，    不可能同时发生，故彼此互斥，故A正确； ，故C正确，D正确； 因为，，则，则事件与事件不独立，故B错误， 故选：B． 6. 下列选项中，正确的个数是（ ） ①数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12， ②若且，则，为实数； ③若直线的方向向量，平面的法向量，则 ④若样本数据的方差为2，则的标准差为8 ⑤如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据百分位数的求法确定①的真假；根据复数的有关运算法则判断②的真假；根据直线的方向向量与平面法向量的位置关系判断③的真假；根据新数据的方差的求法，结合标准差的概念判断④的真假；根据空间向量基底的特点判断⑤的真假. 【详解】对①：因为，所以该组数据的第80百分位数是第6个数据，为11，故①错误； 对②：如，，则，，但，不为实数，故②错误； 对③：因为，所以，所以或，故③错误； 对④：根据方差的性质，新数据的方差为，所以新数据的标准差为，故④错误； 对⑤：因为空间向量的基底是由3个不共面的向量组成，而向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，所以一定共线.故⑤正确. 综上，只有⑤正确. 故选：A 7. 在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 8. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（ ） A. 直方图中的值为 B. 在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C. 如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D. 根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由诸频率和为1可求，故可判断正误，对于B，由频率求出人数后可判断正误，对于C，由直方图可得90分以上的频率，故可估计相应人数后判断正误，对于D，求出前四组的频率之和后可得上四分位数. 【详解】对于A，由频率分布直方图可得， 解得，故A正确； 对于B，成绩在内的人数为人，B正确； 对于C，90分以上的频率为，故估计有的学生获一等奖，故C错误； 对于D，上四分位数即为第百分位数， 而前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 故名学生成绩的上四分位数为分， 故选：ABD. 10. 对于，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 命题＂若，则＂是真命题 D. ＂为锐角三角形＂是＂＂的充分不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形角平分线的向量表示，判断A的真假；根据条件，判断三角形的形状，判断B的真假，举反例可以判断CD的真假. 【详解】对A：如图： 设为的角平分线，则存在，使得，且. 因为，所以， 即，所以为等腰三角形，且.故A正确； 对B：若，则或，即或， 所以为等腰或直角三角形，故B错误； 对C：若，，此时，但不成立，故C错误； 对D：当是等边三角形时，则“是锐角三角形”，但不能推出“”， 即＂为锐角三角形＂是＂＂的充分不必要条件说法错误，故D错误. 故选：A 11. 如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 周长的最小值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 平面与平面的夹角正弦值的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质即可判断A；如图，确定三点共线时取得最小值，进而判断B；如图，确定球心和半径即可判断C；利用空间向量法求解面面角即可判断D. 【详解】A：由题意知，，又平面， 所以平面，由平面，得； 当为的中点时，又四边形为正方形，为的中点， 所以，由平面，所以平面，故A正确； B：将平面和平面沿铺成一个平面，如图，连接，交于， 此时三点共线，取得最小值，即的周长取得最小值， 又， 所以的周长的最小值为，故B错误； C：易知中，，取的中点，过作平面，如图 ， 则三棱锥的外接球的球心必在上，且， 所以球的半径为，其体积为，故C正确； D：易知两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则，设， 所以， 易知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，设平面与平面所成角为， 则，所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与平行，则实数的取值是_____. 【答案】或2 【解析】 【分析】由直线平行的条件可求. 【详解】因为直线与平行 所以，解得或， 当和时，两直线都不重合，符合题意. 故答案为：或2. 13. 如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距________________． 【答案】 【解析】 【分析】首先构造二面角的平面角，如图，再分别在和中求解. 【详解】作，且，连结，， ，，平面且， 四边形时平行四边形，，平面，平面， 中，, 中，. 故答案为： 14. 已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为______. 【答案】 【解析】 【分析】确定正方体对角线与的交点E，求出确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答. 【详解】在正方体中，如图， 平面，平面，则，而， ，，平面，于是平面，又平面， 则，同理，而，，平面， 因此平面，令交平面于点， 由，得， 即，解得， 而，于是， 因为点在内，满足，则， 因此点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆在内的圆弧， 而为正三角形，则三棱锥必为正三棱锥，为正的中心， 于是正的内切圆半径， 则，即，， 所以圆在内的圆弧为圆周长的， 即点的轨迹长度为 故答案为： 【点睛】方法点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，． （1）用，，表示，，； （2）求异面直线AC与所成角的正切值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解即可； （2）利用空间向量的数量积定义计算，再根据空间向量数量积的运算分别求，，，根据向量夹角余弦公式求解，即可异面直线AC与所成角的余弦值，根据同角三角函数关系求正切值即可. 【小问1详解】 ， ， ； 【小问2详解】 因为， ， 又，， 所以， ， ， 设异面直线AC与所成角为， 则， 所以，故， 所以异面直线AC与所成角的正切值为. 16. 已知直线． （1）求直线所过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【小问1详解】 由，即， 则，解得，所以直线过定点. 【小问2详解】 因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则， 由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 17. 为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示： （1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1） （2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率. 【答案】（1）0.008；平均数为，中位数； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的频率分布直方图，利用小矩形面积和为1求出，再估算平均数和中位数. （2）利用分层抽样求出落在两个区间内的人数，再利用列举法求出古典概率. 【小问1详解】 依题意，，解得， 数学成绩的平均数为 由频率分布直方图知，分数在区间、内的频率分别为0.34，0.62， 所以该校数学成绩的中位数，则，解得； 【小问2详解】 抽取的5人中，分数在内的有（人），在内的有1人， 记在内的4人为a，b，c，d，在内的1人为A， 从5人中任取3人，，共10个， 选出的3人中恰有一人成绩在中，有，共6种， 所以选出的3人中恰有一人成绩在中的概率是. 18. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在图1中，由，，得，则， 所以，由，得，即， 在图2中，，取的中点，连接，由为的中点， 得，则，由，得，而， 平面，则平面，又平面，所以. （2） （3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且 【解析】 【分析】（1）在平面图形中证得，，取的中点，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. （3）由（2）中信息，利用点到平面的距离的向量公式计算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由已知及（1）得平面平面，平面平面，， 于是平面，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 则， 由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为， 在中，，所以， 因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为， 所以，所以，所以点到平面的距离为， 令，由（2）得，， 又平面的法向量为， 则点到平面的距离为，解得， 线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且. 19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，. （1）求A； （2）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O. （i）证明：. （ii）记和的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）对用平方差公式展开，再整理得到，把它代入公式（余弦定理形式）求，结合的范围得出的值. （2）（i）将写成，展开.利用外心性质得到和的值.再根据已知条件和类似公式（余弦定理）求出关于的式子，进而得出.   （ii）由正弦定理相关式子得出外接圆半径.根据角度关系和面积公式求出和，得到表达式.根据三角形是锐角三角形确定范围，换元后得到关于的二次函数，根据二次函数性质求范围. 【小问1详解】 由题意得，即， 由余弦定理得，又，所以. 【小问2详解】 （i）由， 因为O为外接圆圆心，即外心，所以，， 由余弦定理得，， 所以 （ii）设外接圆半径为R，则，且，即， 因为，，所以， ， 所以， 由为锐角三角形知，，令， 则， ，，即为所求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2024-2025学年高一下期期末测试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，是虚数单位，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，且，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 10 D. 8 4. 已知的内角，，的对边分别为，，，且，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球､白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题不正确的是（    ） A. 事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. D. 6. 下列选项中，正确的个数是（ ） ①数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12， ②若且，则，为实数； ③若直线的方向向量，平面的法向量，则 ④若样本数据的方差为2，则的标准差为8 ⑤如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（ ） A. 直方图中的值为 B. 在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C. 如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D. 根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 10. 对于，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的有（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 命题＂若，则＂是真命题 D. ＂为锐角三角形＂是＂＂的充分不必要条件 11. 如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 周长的最小值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 平面与平面的夹角正弦值的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线与平行，则实数的取值是_____. 13. 如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处，已知库底与水坝斜面所成的二面角为，测得从，到库底与水坝斜面的交线的距离分别为，，若，则甲，乙两人相距________________． 14. 已知正方体的棱长为3，动点在内，满足，则点的轨迹长度为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，． （1）用，，表示，，； （2）求异面直线AC与所成角的正切值． 16. 已知直线． （1）求直线所过定点； （2）若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 17. 为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在内），将所得成绩分成7组：，，，，，，，整理得到样本频率分布直方图如图所示： （1）求的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1） （2）从样本内数学分数在，的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在中的概率. 18. 如图1，在四边形中，，，，如图2，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点. （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，. （1）求A； （2）若为锐角三角形，其外接圆圆心为O. （i）证明：. （ii）记和的面积分别为，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $