专题06 成对数据的统计分析（独立性检验与线性回归直线方程）（2大考点）（期末真题汇编，湖北专用）高二数学下学期

**基本信息** 高二下期末统计专题汇编，聚焦独立性检验与线性回归，精选湖北多地期末真题，情境涵盖新能源汽车、旅游消费等现实问题，梯度覆盖基础计算与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10题|χ²检验判断、回归方程参数计算|第12题残差分析，第17题相关系数概念辨析| |填空|4题|列联表数据补全、χ²值计算|第4题新药疗效性别关联检验| |解答|11题|独立性检验完整流程、线性回归方程求解与应用|第21题新能源汽车科研经费与销售量回归（时代情境），第5题网购商品性别关联检验（生活应用），融合概率、期望综合考查|

专题06 成对数据的统计分析（独立性检验与线性回归直线方程） 2大高频考点概览 考点01独立性检验 考点02线性回归直线方程 ( 地 城 考点01 独立性检验 ) 1．(24-25高二下·湖北孝感部分高中联考·期末)根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可推断（    ） A．变量X与Y不独立 B．变量X与Y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01 C．无法判断变量X与Y是否独立 D．变量X与Y独立 【答案】D 【分析】由独立性检验的意义判断可得. 【详解】零假设为:变量X与Y独立. 因为，所以依据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为变量X与Y独立. 故选：D. 2．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表： 去年体检人数 去年未体检人数 合计 高中教师 70 m 100 初中教师 n 20 100 合计 e f d 根据列联表可求得（   ） （附：，） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表中数据完成列联表，再代入公式可得答案. 【详解】列联表： 去年体检人数 去年未体检人数 合计 高中教师 70 30 100 初中教师 80 20 100 合计 150 50 200 . 故选：C. 3．(24-25高二下·湖北襄阳随州部分高中·期末)（多选）炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的某市成为众多游客旅游的热门选择.为了解来某市旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100名游客，得到如下表格.零假设H0旅行方式与年龄没有关联，则下列说法中，正确的有（     ） 小于40岁 不小于40岁 自由行 38 19 跟团游 20 23 附:χ2=，其中. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 A．在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40岁的概率为 B．在选择自由行的游客中按年龄分层随机抽样抽取6人，再从中随机选取2人做进一步的访谈，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为 C．根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄没有关联，且犯错误概率不超过0.01 D．根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05 【答案】BD 【分析】对A，根据古典概型运算判断；对B，先根据分层抽样求出各层所抽取的人数，再根据古典概型结合对立事件运算判断；对于CD，根据题中数据求，并与临界值对比分析. 【详解】对于A，选择自由行的游客人数为，其小于40岁的概率是，故A错误； 对于B，选择自由行中小于40岁和不小于40岁的人数比为2：1， 则按年龄分层抽样抽取的6人中，有4人小于40岁，有2人不小于40岁， 设事件为“2人均小于40岁”，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为，故B正确； 对于C，因为， 所以可推断旅行方式与年龄没有关联，但对零假设犯错误的概率是不可知的，故C错误； 对于D，因为，所以推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05，故D正确. 故选：BD. 4．(24-25高二下·湖北孝感部分高中联考·期末)为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据: 单位:名　　　　 性别 疗效 合计 无效 有效 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 合计 21 79 100 α 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 设:服用此药的效果与患者的性别无关，（小数点后保留3位有效数字），从而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于___________. 【答案】0.05 【分析】计算卡方，再由独立性检验比较可得. 【详解】由公式计算得，根据小概率值的独立性检验，认为服用此药的效果与患者的性别有关，判断出错的概率不大于0.05. 故答案为：0.05. 5．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)网购已成为现代生活的一种重要购买方式.某销售网站调查一款商品在某区域受欢迎的程度，随机发放调查问卷后回收200份有效问卷，经统计发现有的人购买该商品，在这些购买者中女性占，而在未购买者中男性与女性各占. (1)完成下表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买该款商品与性别有关； 男性 女性 合计 已购买 40 60 未购买 合计 200 附：参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 (2)若此款商品有A，B，C三种型号，为了回馈该区域网购者，此网站在该区域内随机抽取4人实行买一赠一活动，任意赠送其中某一种型号的商品，求这4人中有且仅有2人获赠同一型号商品的概率. 【答案】(1)列联表见解析，有关 (2) 【分析】（1）根据题干列出列联表，利用，即可计算结果，再利用零假设检验即可得到结果. （2）利用排列组合即可计算结果. 【详解】（1）依题意有 人数 男性 女性 合计 已购买 20 40 60 未购买 70 70 140 合计 90 110 200 零假设为：购买该款商品与性别无关 则依据小概率的独立性检验可以推断不成立，即购买该款商品与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.05. （2）4人当中有且仅有2人获赠同一型号商品则其他2人必须另两件商品， 其概率为. 6．(24-25高二下·湖北七州·期末)从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 160 100 260 优秀 40 100 140 合计 200 200 400 (1)在这400人中随机抽一人，语文和数学都优秀和都不优秀的概率各是多少？ (2)依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)； (2)认为数学成绩和语文成绩有关联 【分析】（1）根据表中数据计算相应概率即可； （2）根据公式求出，与临界值比较判断即可. 【详解】（1）记=“语文和数学都优秀”，=“语文和数学都不优秀” 则，； （2）零假设为：数学成绩与语文成绩无关联， 根据列联表中的数据，计算得： ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为数学成绩和语文成绩有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 7．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 55 20 75 物理成绩不优秀 30 45 75 合计 85 65 150 (1)依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？ (2)从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能； (2)分布列见解析，数学期望为. 【分析】（1）求出的观测值，与临界值比对得解; （2）先通过采用分层抽样得抽取的成绩优秀与不优秀的人数，求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【详解】（1）由题意可知， 由查表可得，由于， 所以能有的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关． （2）由于物理成绩不优秀的学生中，数学成绩优秀与数学成绩不优秀的人数比为， 所以采用分层抽样的方法抽取的15人中，数学成绩优秀的有6人，数学成绩不优秀的有9人， 可知可取0,1,2，                           ， 所以的分布列为 X 0 1 2 P 从而． 8．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了90名观影人员，得到下表： 是否成年 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 40 50 成年人 10 40 合计 90 (1)求的值； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年有关？ 参考公式： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)可以认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年无关 【分析】（1）根据的列联表中的数据，列出算式，即可求解； （2）根据的列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到答案. 【详解】（1）解：由的列联表，可得，可得， 又由， 所以. （2）解：零假设为 ：喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年无关． 根据列联表中数据，可得 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年无关． 9．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)某大型学校有初中学生2400人，高中学生1600人．学校为了解学生的体育锻炼习惯，采用按比例分配的分层抽样方式从中抽取100人进行问卷调查． 将每天体育锻炼时长小时视为锻炼达标，整理出如下列联表： 是否达标 学段 合计 初中 高中 达标 28 不达标 24 合计 60 40 100 (1)请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联．（结果保留小数点后三位） (2)如果将上面列联表中的所有数据都扩大为原来的10倍，依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联．（结果保留小数点后三位） 附：，其中：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)表格见解析，认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关 (2)认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）有关联． 【分析】（1）根据题意完成列联表，根据卡方公式计算卡方，对比临界值即可作出结论； （2）将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，根据卡方公式计算卡方，对比临界值即可作出结论. 【详解】（1）依题意，列联表如下： 是否达标 学段 初中 高中 达标 36 28 64 不达标 24 12 36 合计 60 40 100 零假设为：学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关． 根据列联表，=， 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）无关． （2）将表格中的所有数据都扩大为原来的10倍， 则，=， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生体育锻炼达标情况与学段（初中、高中）有关联． 10．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550（或等于550分）为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表： 班级 成绩 合计 优秀 非优秀 一班 35 15 二班 15 25 合计 (1)请完成列联表； (2)根据列联表中的数据，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系？ 参考数据： 0.10 0.05 0.01 00.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ． 【答案】(1)答案见解析； (2)能． 【分析】（1）利用已知数据求和即可得到列联表； （2）利用卡方公式计算，再与参考数据对照，即可得出判断． 【详解】（1） 班级 成绩 合计 优秀 非优秀 一班 35 15 5 二班 15 25 40 合计 50 40 90 （2）零假设为：推广新课改与总成绩是否优秀无关． 根据列联表中的数据，得到 故根据的独立性检验，可以认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系． 11．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)2025年1月1日起，在全国实施渐进式延迟法定退休年龄政策，通过延长劳动者的工作年限，相应缩短领取养老金的年限，从而在一定程度上减轻养老金的支付压力，有助于养老制度的可持续发展.为了了解民众对这一政策的支持态度，某社保部门随机抽取了100位市民进行问卷调查.调查后，结果统计如下表： 支持 不支持 合计 男性 30 20 50 女性 40 10 50 合计 70 30 100 (1)请根据列联表，并根据小概率值为的独立性检验，能否认为民众对延迟退休政策的支持态度与性别有关联？ (2)现从上述样本支持的市民中，按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人作进一步的详细调查，设抽取的3人中女性的人数为，求的分布列和数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】(1)认为市民是否支持延迟退休的态度与性别有关联 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据的列联表中的数据，求得，结合附表，即可得到结论； （2）根据题意，得到的所有可能取值为，结合超几何分布的概率，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的计算公式，即可求解. 【详解】（1）解：零假设：市民是否支持延迟退休的态度与性别无关联 可得， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为市民是否支持延迟退休的态度与性别有关联，此推断犯错的概率不大于. （2）解：由题意知从支持的70位市民中分层抽样取得7人中，男性有3人，女性有4人， 所以的所有可能取值为， 则， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以. ( 地 城 考点02 线性回归直线方程 ) 12．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据样本中心点在回归直线方程上，可得的值，然后计算样本估计值，从而得到残差. 【详解】根据题意，， 又在回归直线方程上，所以， 所以回归直线方程为， 时，得到预估值为3.15， 所以样本点在处的残差为. 故选：B. 13．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 8 a 12 b 23 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，则等于（   ） A．28 B．30 C．33 D．35 【答案】C 【分析】求出、，根据回归直线方程必过样本中心点，代入计算可得. 【详解】依题意，， 又回归直线方程过点，所以， 解得. 故选：C. 14．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且.发现有两对数据与误差较大，去掉这两对数据后重新求得经验回归方程为，则（    ） A．2 B．1.6 C．7.4 D．0.8 【答案】C 【分析】依据回归方程必过样本中心点，代入计算即可得结果. 【详解】根据可知，因此经验回归方程必过， 易知去掉与的两组数据的平均值为，则剩余数据均值不变， 因此新求得经验回归方程也过， 即可得，解得. 故选：C 15．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)根据下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（   ） x 1 2 3 4 5 y 2 2 2 3 3 A． B． C．1 D．1.5 【答案】D 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心点，将其代入回归直线方程，求得的值，即可得到答案. 【详解】由表格中的数据，可得，， 又样本中心点必在线性回归直线上，将代入回归直线方程， 可得，解得. 故选：D. 16．(24-25高二下·湖北荆门·期末)如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（    ） A．12亿元 B．12.5亿元 C．10亿元 D．10.5亿元 【答案】B 【分析】写出回归方程，求出时的表达式，再利用不等式性质得解. 【详解】依题意，，而，则当时，， 所以年支出预计不会超过12.5亿元. 故选：B. 17．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)下列说法正确的是（   ） A．两个变量x，y的相关系数为，则|r|越大，与之间的线性相关性越弱 B．在回归分析中，为0.99的模型比为0.98的模型拟合的效果更好 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据线性相关系数的概念判断A；根据决定系数的概念判断B；正态分布的对称性判断C、D. 【详解】|r|越接近于1，与之间的线性相关性越强，|r|越接近于0，与之间的线性相关性越弱，A错误； 越大模型拟合效果越好，B正确； 由正态分布的对称性知若，则，C正确； 若，则，D错误. 故选：BC 18．(24-25高二下·湖北荆州·期末)下列说法正确的有（    ） A．利用残差图分析模型的刻画效果，若残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明该模型刻画数据的效果较好 B．可以用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大模型拟合效果越好 C．已知样本数据的方差为4，则数据的标准差是4 D．设两个变量的样本相关系数为，则越大其线性相关程度越强 【答案】ABC 【分析】应用线性相关系数、残差图的意义，决定系数、方差的性质等一一检验即可. 【详解】对于A：在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，故A正确； 对于B：决定指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好，故B正确； 对于C：样本数据的方差为4，则数据的方差为，故标准差为4，故C正确； 对于D：相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，因此D选项错误； 故选：ABC 19．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)下列说法错误的是（   ） A．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1 B．甲、乙两个模型的决定系数分别为0.98和0.82，则模型甲的拟合效果更好 C．对于经验回归方程，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加2个单位 D．在回归分析模型中，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好 【答案】ACD 【分析】根据线性相关系数，决定系数，回归直线及残差平方和等知识依次判断即可. 【详解】对于A，两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1，故A错误； 对于B，若决定系数的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好， 因为，所以模型甲的拟合效果更好，故B正确； 对于C，在经验回归方程中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均减少3个单位，故C错误； 对于D，在回归分析模型中，若残差平方和越小，则模型的拟合效果越好，故D错误. 故选：ACD. 20．(24-25高二下·湖北荆州·期末)某商店为调查某种商品销售单价对销售量的影响，统计了5天的销售单价（元／千克）和销售量（千克）之间的一组数据如下表所示： 第天 1 2 3 4 5 销售单价 18 19 20 21 22 销售量 22 18 16 14 10 (1)试根据这5天的销售数据，建立关于的回归直线方程； (2)若该商品进货单价为15元／千克，试确定销售单价，使每天销售该商品的利润最大．（精确到0.1元／千克） 参考公式：经验回归直线方程，其中． 【答案】(1) (2)当销售单价为20.4元／千克时，销售该商品有最大利润 【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线方程； （2）由（1）所得回归直线求出利润的表达式，即可利用二次函数的性质求出最大利润时的销售单价. 【详解】（1）由， 代入公式，． 则，故回归直线方程为． （2）由（1）知，利润， 由二次函数的性质知，当时最大， 所以当销售单价为20.4元／千克时，销售该商品有最大利润． 21．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)新能源汽车发展非常迅速，某地区2017年至2024年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8）某品牌新能源汽车的科研经费投入和销售量统计如下： 年份代码i 1 2 3 4 5 6 7 8 科研经费（单位：百亿元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销售量（单位：百万辆） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数．， (1)根据样本数据，计算科研经费x与销售量y之间的样本相关系数，并推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01）； (2)根据样本数据，求销售量y关于科研经费x的线性回归方程（，用分数表达）． 【答案】(1)0.98，两个变量线性相关且线性相关程度很强； (2) 【分析】（1）计算出，并对相关系数的公式变形，代入求值，得到，得到结论； （2）代入公式计算出，，得到线性回归方程. 【详解】（1）， ， 其中， 将，，代入可得： . ，将，代入可得： ， ，将，代入可得： . 故， 由于接近，所以两个变量线性相关且线性相关程度很强； （2）， 由，代入可得：， 所以关于的回归直线方程为 22．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)为了刺激消费，拉动经济增长，便于家庭团聚和旅游出行，2025年五一黄金周假期调休时间为5月1日至5日.假期期间，某地游客较平时出现了大幅增长，该地旅游部门统计了五天假期游客的数量如下表： （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 (1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程. 参考公式： 参考数据：. 【答案】(1)0.98，可以认为两者的相关性很强. (2) 【分析】（1）首先求和，再根据相关系数公式，计算数据，即可求解； （2）根据（1）的结果，求解参考公式的数据，即可求解. 【详解】（1）因为， 所以 ， ， ， 所以， 由此可以认为两者的相关性很强. （2）由（1）知. 所以. 因为， 所以回归方程为. 23．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长x（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量y（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得：，， (1)根据表格中数据知变量y与x之间可用一元线性回归模型来刻画，请用相关系数说明其相关性强弱； (2)求经验回归方程（结果精确到0.01）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2.5个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了1.0千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. （参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．参考值：，） 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）求出，求出可得答案； （2）求出，打入公式可得答案； （3）由（2）可知：根据线性回归方程预测可得答案. 【详解】（1）由表可知：， 所以 ， 因为与的相关系数接近1，所以与具有较强的线性相关性， 可用线性回归模型拟合与的关系． （2）由题可知： ， 所以； （3）由（2）可知：根据线性回归方程预测，会员平均每周锻炼时长增加2.5个小时， 则． 预测平均体重减少量增加1.05千克，与实际增加值1．0千克较为接近， 因此实际结果与预测结果基本一致，说明该回归模型具有参考价值； 造成一定差异的原因可能是由于样本数据过少，或者造成体重减少的原因还受其他因素影响， 比如睡眠，饮食、锻炼强度以及效果等. 24．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)2025年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截至3月20日，该电影已进入全球票房榜前五.经权威电影机构调查，得到其前5周的票房数据如下表： 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 周次代码 1 2 3 4 5 票房总额/亿元 40 35 25 37 7 (1)求关于的线性回归方程； (2)该机构随机调查了某电影院2月15日200位观影人的购票情况，其中购买《哪吒之魔童闹海》的男性有90人，女性有70人，购买其他电影的男性有30人，女性有10人，完成列联表，并判断是否有99%的把握认为是否购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关. 购买《哪吒》 购买其他电影 合计 男性 女性 合计 附：①，，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，，； ②，其中. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】(1) (2)表格见解析，没有99%的把握认为购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关 【分析】（1）由前5周的票房数据，分别求得，，利用回归系数的公式和样本点的坐标，求得，以及，即可得到所求的线性回归方程； （2）根据题意，得出的列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论. 【详解】（1）由前5周的票房数据，可得， ， 所以，则， 故所求的经验回归方程为. （2）由题意，可得列联表如下. 购买《哪吒》 购买其他电影 男性 90 30 120 女性 70 10 80 合计 160 40 200 可得， 故没有99%的把握认为购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关. 25．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中、分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中.通过计算得到与的相关系数. (1)求与的线性回归方程； (2)已知同学甲的此次数学成绩为分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过80分？ 参考公式：，；相关系数. 【答案】(1) (2)同学甲物理成绩不会超过分. 【分析】（1）求出、的值，结合题干中的数据求出、的值，即可得出回归直线的方程； （2）将代入回归直线方程，即可得出结论. 【详解】（1）由题中数据可得，，， 由得， ， 所以， 所以线性回归方程为. （2）当时，，即同学甲物理成绩不会超过分. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 成对数据的统计分析（独立性检验与线性回归直线方程） 2大高频考点概览 考点01独立性检验 考点02线性回归直线方程 ( 地 城 考点01 独立性检验 ) 1．(24-25高二下·湖北孝感部分高中联考·期末)根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可推断（    ） A．变量X与Y不独立 B．变量X与Y不独立，此推断犯错误的概率不超过0.01 C．无法判断变量X与Y是否独立 D．变量X与Y独立 2．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)某市准备安排该市所有中学教师进行体检，同时调查去年该市教师体检情况，并随机抽取100名高中教师与100名初中教师，经过统计得到如下列联表： 去年体检人数 去年未体检人数 合计 高中教师 70 m 100 初中教师 n 20 100 合计 e f d 根据列联表可求得（   ） （附：，） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·湖北襄阳随州部分高中·期末)（多选）炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的某市成为众多游客旅游的热门选择.为了解来某市旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100名游客，得到如下表格.零假设H0旅行方式与年龄没有关联，则下列说法中，正确的有（     ） 小于40岁 不小于40岁 自由行 38 19 跟团游 20 23 附:χ2=，其中. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 A．在选择自由行的游客中随机抽取一名，其小于40岁的概率为 B．在选择自由行的游客中按年龄分层随机抽样抽取6人，再从中随机选取2人做进一步的访谈，则2人中至少有1人不小于40岁的概率为 C．根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄没有关联，且犯错误概率不超过0.01 D．根据的独立性检验，推断旅行方式与年龄有关联，且犯错误概率不超过0.05 4．(24-25高二下·湖北孝感部分高中联考·期末)为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据: 单位:名　　　　 性别 疗效 合计 无效 有效 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 合计 21 79 100 α 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 设:服用此药的效果与患者的性别无关，（小数点后保留3位有效数字），从而得出结论:服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于___________. 5．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)网购已成为现代生活的一种重要购买方式.某销售网站调查一款商品在某区域受欢迎的程度，随机发放调查问卷后回收200份有效问卷，经统计发现有的人购买该商品，在这些购买者中女性占，而在未购买者中男性与女性各占. (1)完成下表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为购买该款商品与性别有关； 男性 女性 合计 已购买 40 60 未购买 合计 200 附：参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 (2)若此款商品有A，B，C三种型号，为了回馈该区域网购者，此网站在该区域内随机抽取4人实行买一赠一活动，任意赠送其中某一种型号的商品，求这4人中有且仅有2人获赠同一型号商品的概率. 6．(24-25高二下·湖北七州·期末)从某学校获取了容量为400的有放回简单随机样本，将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理如下：单位：人 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 不优秀 160 100 260 优秀 40 100 140 合计 200 200 400 (1)在这400人中随机抽一人，语文和数学都优秀和都不优秀的概率各是多少？ (2)依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 7．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了150名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下． 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 55 20 75 物理成绩不优秀 30 45 75 合计 85 65 150 (1)依据列联表判断，能否有99.9%的把握认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关？ (2)从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取15人．若从这15人中随机抽取2人，记X为数学成绩优秀的人数，求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 8．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了90名观影人员，得到下表： 是否成年 是否喜欢 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 40 50 成年人 10 40 合计 90 (1)求的值； (2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》和是否成年有关？ 参考公式： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 9．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)某大型学校有初中学生2400人，高中学生1600人．学校为了解学生的体育锻炼习惯，采用按比例分配的分层抽样方式从中抽取100人进行问卷调查． 将每天体育锻炼时长小时视为锻炼达标，整理出如下列联表： 是否达标 学段 合计 初中 高中 达标 28 不达标 24 合计 60 40 100 (1)请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联．（结果保留小数点后三位） (2)如果将上面列联表中的所有数据都扩大为原来的10倍，依据小概率值的独立性检验，分析学生体育锻炼达标情况是否与学段（初中、高中）有关联．（结果保留小数点后三位） 附：，其中：． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 10．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550（或等于550分）为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表： 班级 成绩 合计 优秀 非优秀 一班 35 15 二班 15 25 合计 (1)请完成列联表； (2)根据列联表中的数据，并根据小概率值的独立性检验，能否认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系？ 参考数据： 0.10 0.05 0.01 00.005 2.706 3.841 6.635 7.879 ． 11．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)2025年1月1日起，在全国实施渐进式延迟法定退休年龄政策，通过延长劳动者的工作年限，相应缩短领取养老金的年限，从而在一定程度上减轻养老金的支付压力，有助于养老制度的可持续发展.为了了解民众对这一政策的支持态度，某社保部门随机抽取了100位市民进行问卷调查.调查后，结果统计如下表： 支持 不支持 合计 男性 30 20 50 女性 40 10 50 合计 70 30 100 (1)请根据列联表，并根据小概率值为的独立性检验，能否认为民众对延迟退休政策的支持态度与性别有关联？ (2)现从上述样本支持的市民中，按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人作进一步的详细调查，设抽取的3人中女性的人数为，求的分布列和数学期望. 附：. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 ( 地 城 考点02 线性回归直线方程 ) 12．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)近年来，我国电动汽车产业发展迅猛，某品牌汽车市场也异常火爆，销售量逐年上升．现统计某汽车专卖店5月份前5天每天电动汽车的实际销量，结果如下表所示． 日期编号 1 2 3 4 5 销量/部 8 a 12 b 23 与有较强的线性相关关系，且线性回归方程为，则等于（   ） A．28 B．30 C．33 D．35 14．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且.发现有两对数据与误差较大，去掉这两对数据后重新求得经验回归方程为，则（    ） A．2 B．1.6 C．7.4 D．0.8 15．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)根据下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则的值为（   ） x 1 2 3 4 5 y 2 2 2 3 3 A． B． C．1 D．1.5 16．(24-25高二下·湖北荆门·期末)如果某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程（单位：亿元），其中，，，．若今年该地区财政收入为10亿元，则年支出预计不会超过（    ） A．12亿元 B．12.5亿元 C．10亿元 D．10.5亿元 17．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)下列说法正确的是（   ） A．两个变量x，y的相关系数为，则|r|越大，与之间的线性相关性越弱 B．在回归分析中，为0.99的模型比为0.98的模型拟合的效果更好 C．若，则 D．若，则 18．(24-25高二下·湖北荆州·期末)下列说法正确的有（    ） A．利用残差图分析模型的刻画效果，若残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则说明该模型刻画数据的效果较好 B．可以用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大模型拟合效果越好 C．已知样本数据的方差为4，则数据的标准差是4 D．设两个变量的样本相关系数为，则越大其线性相关程度越强 19．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)下列说法错误的是（   ） A．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r越接近于1 B．甲、乙两个模型的决定系数分别为0.98和0.82，则模型甲的拟合效果更好 C．对于经验回归方程，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量平均增加2个单位 D．在回归分析模型中，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越好 20．(24-25高二下·湖北荆州·期末)某商店为调查某种商品销售单价对销售量的影响，统计了5天的销售单价（元／千克）和销售量（千克）之间的一组数据如下表所示： 第天 1 2 3 4 5 销售单价 18 19 20 21 22 销售量 22 18 16 14 10 (1)试根据这5天的销售数据，建立关于的回归直线方程； (2)若该商品进货单价为15元／千克，试确定销售单价，使每天销售该商品的利润最大．（精确到0.1元／千克） 参考公式：经验回归直线方程，其中． 21．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)新能源汽车发展非常迅速，某地区2017年至2024年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8）某品牌新能源汽车的科研经费投入和销售量统计如下： 年份代码i 1 2 3 4 5 6 7 8 科研经费（单位：百亿元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销售量（单位：百万辆） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数．， (1)根据样本数据，计算科研经费x与销售量y之间的样本相关系数，并推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01）； (2)根据样本数据，求销售量y关于科研经费x的线性回归方程（，用分数表达）． 22．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)为了刺激消费，拉动经济增长，便于家庭团聚和旅游出行，2025年五一黄金周假期调休时间为5月1日至5日.假期期间，某地游客较平时出现了大幅增长，该地旅游部门统计了五天假期游客的数量如下表： （日） 1 2 3 4 5 （万人） 45 50 60 65 80 (1)计算的相关系数（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为日期与游客人数的相关性很强； (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程. 参考公式： 参考数据：. 23．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)某健身俱乐部研究会员每周锻炼时长与体重减少量的关系，随机抽取10名会员的数据如下： 会员序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 锻炼时长x（小时） 3 4 2 5 6 4 5 3 4 4 40 体重减少量y（千克） 1.0 1.5 1.0 2.0 2.5 1.8 2.0 1.0 1.6 2.0 16.4 并计算得：，， (1)根据表格中数据知变量y与x之间可用一元线性回归模型来刻画，请用相关系数说明其相关性强弱； (2)求经验回归方程（结果精确到0.01）； (3)该俱乐部推广了一项激励措施后，发现会员平均每周锻炼时长增加2.5个小时，实际观测到的平均体重减少量增加了1.0千克.请结合回归分析结果，判断该回归模型是否具有参考价值，并给出合理的解释. （参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，．参考值：，） 24．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)2025年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截至3月20日，该电影已进入全球票房榜前五.经权威电影机构调查，得到其前5周的票房数据如下表： 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 周次代码 1 2 3 4 5 票房总额/亿元 40 35 25 37 7 (1)求关于的线性回归方程； (2)该机构随机调查了某电影院2月15日200位观影人的购票情况，其中购买《哪吒之魔童闹海》的男性有90人，女性有70人，购买其他电影的男性有30人，女性有10人，完成列联表，并判断是否有99%的把握认为是否购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关. 购买《哪吒》 购买其他电影 合计 男性 女性 合计 附：①，，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中，，； ②，其中. 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 25．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中、分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中.通过计算得到与的相关系数. (1)求与的线性回归方程； (2)已知同学甲的此次数学成绩为分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过80分？ 参考公式：，；相关系数. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $