专题03 导数大题综合（8大考点）（期末真题汇编，湖北专用）高二数学下学期

**基本信息** 导数大题综合汇编，覆盖切线问题、单调性等8大高频考点，精选湖北多地高二下期末真题，注重分层训练与跨知识应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约20题|切线问题、单调性、极值最值、恒成立问题、有解问题、零点与方程的根、极值点偏移、导数综合应用|考点07第15题设置极值点偏移证明，考点08第20题结合曲率概念考查导数几何意义，体现高考命题趋势；每题设多问，梯度从基础计算到综合证明，适配期末复习需求。|

专题03 导数大题综合 8大高频考点概览 考点01切线问题 考点02利用导数研究函数的单调性 考点03函数的极值与最值 考点04恒成立问题 考点05有解问题 考点06零点与方程的根 考点07极值点偏移 考点08导数在其他知识点的应用 ( 地 城 考点01 切线问题 ) 1．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)（1）求曲线在处的切线； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）设出切点，根据导数的几何意义求出切线方程，再根据切线所过的点求出切点，即可得解. 【详解】（1），，，， 切线方程为，即. （2）设切点为， 则，切线斜率， 切线方程为， 切线过点，即， ， ， ， 或， 切线方程为或. 2．(24-25高二下·湖北武汉武昌区·期末)已知函数，. (1)若既是曲线的切线，也是的切线，求实数a和m的值 (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义，先由的切线可得，则可得在上的切点为，所以，则可解； （2）根据题意可得恒成立，设，利用导数得函数单调性，则恒成立，令，再利用导数求最值. 【详解】（1）因为，则， 所以在上的切点为，即； 又因为，则， 所以在上的切点为； 所以，则. （2）因为， 即. 设，，故单调递增. 所以恒成立. 令，，则. 当，，单增； 当，，单减； 所以. ( 地 城 考点02 利用导数研究函数的单调性 ) 3．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求的导数，再利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可. （2）对分类讨论，确定导数符号，得出单调性. 【详解】（1）当时，，求导得， 则，又，所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，有恒成立，函数在单调递减； 当时，由，得，函数在上单调递减； 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 4．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）求得，分类讨论，即可求得函数的单调区间； （2）由题意，转化为对任恒成立，记，求得，令，求得，得到在上单调递增，且，，得到存在，使得，的得到得到单调性和，求得，再令，得到函数单调递增，进呢人得到，即可求解. 【详解】（1）由函数，可得， ①若时，此时，当时，在上单调递增，当，即在上单调递减； ②若时，令，可得或， 函数在，单调递增； 令，可得，函数在单调递减； ③若时，，函数在上单调递增； ④若时，令，可得或， 函数在，单调递增； 令，可得，函数在单调递减. （2）不等式在上恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 记，则， 记，则， 可得在上恒成立，所以在上单调递增， 且，， 存在，使得，且当时，即， 所以函数在上单调递减； 当时，即，故在上单调递增， 所以，即， 又因为，故，即， 令，因为在上恒成立， 所以函数在上单调递增，且值域为， 因为，所以， 综上，实数的取值范围是. ( 地 城 考点0 3 函数的极值与最值 ) 5．(24-25高二下·湖北七州·期末)已知函数. (1)若，求的极值； (2)若，且，成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) 【分析】（1）利用导数分析函数单调性，再根据极值定义求解即可； （2）由题意得，令，则问题等价于，利用导数求出函数的最小值即可求解. 【详解】（1）当时，， ， 当时，；时，， 所以在区间上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有极大值，无极小值； （2）当时，，则， 由得，， 设，则， 由， 当时，， 所以的取值范围为. 6．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)已知函数， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求函数的极值； (3)函数的图象上存在多少组关于点对称的点？说明你的结论和理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在唯一的一组点，理由见解析 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式方程求解即可. （2）求出导函数，求出函数的单调区间，然后利用极值的概念求解即可. （3）结合导函数与单调性的关系，根据零点存在定理即可求解. 【详解】（1）由题意：，，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2），则. 令，得或， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 当时，单调递减； ，． （3）存在唯一的一组点对关于对称，证明如下： 假设存在，不妨设， 于是，即，也即， 设，则，令，则， 在上单调递减，即在上单调递减， 显然，即存在唯一的，使得， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 又，，， 故存在唯一的实数使得， 即存在唯一的一组点对A，B满足题意. 7．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形面积为，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求，由导数的单调性即可求其单调性； （2）求，即可得出切线方程，进而得到与轴交点，由面积公式列式计算即可求的值. 【详解】（1）当时，， ， ，， ，故在单调递增， 又， 上的值域为. （2）， ， 又， 曲线在点处切线方程为， 切线与轴交点为， 切线与坐标轴围成的图形面积为， ，解得或. ( 地 城 考点0 4 恒成立问题 ) 8．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)已知函数，， (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，对分类讨论即可得对应的单调性； （2）由题意恒成立，构造函数，只需利用导数求导的最小值即可得解. 【详解】（1）由已知， 当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增； 当时，由，得或， 当即时，在上单调递增， 当时，时，在上单调递减， 和时，在单调递增； 当时，时，在上单调递减， 和时，在上单调递增. 综上可得：①时，在单调递减，在上单调递增； ②时，在上单调递增； ③时，在上单调递减，在上单调递增； ④时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，若恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，又， 所以存在唯一的，使得， 当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 则. 又因 设，则，易知在上单调递增， 所以，得故， 因此，故b的取值范围为. 9．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)函数，若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数，讨论导数正负，即可求得答案； （2）求出函数导数，分类讨论，判断函数单调性，结合题意，即可求得答案； （3）结合（2）的结论，令，得，累加即可证明结论. 【详解】（1）， 当即时，在单调递增； 当即时，当时，单调递增； 当时，单调递减； 综上：当时，在单调递增； 当时，在单调递减；在上单调递增； （2），且， ， 当时，在上单调递减， ，符合题目要求； 当时，令， 则时在上单调递增， 即当时，不符合要求， 综上：； （3）由（2）知，当时，， 令， 得， 累加得，证毕. ( 地 城 考点0 5 有解问题 ) 10．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)已知函数在上的最大值为，集合. (1)求的值，并用区间的形式表示集合； (2)若，对，都，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）通过换元，先求得的范围，通过对和讨论确定的值，再代入，利用对数函数的单调性求值域即可得解； （2）通过换元，，构造，将问题转化为，在有解，通过参变分类结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）令，则， 当时，，，（舍） 当时，，，满足， 故． ，，， 故集合 （2）由集合，， 设，，则 故， 设 由题意得，，在有解， 故在有解， 所以，当且仅当时取等号. ( 地 城 考点0 6 零点 与方程的根 ) 11．(24-25高二下·湖北荆门·期末)已知函数，． (1)若有2个零点，求a的取值范围； (2)当时，证明：在上恒成立． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数的零点个数，列式构造函数求出导函数，根据导函数正负得出函数值域即可列式得出参数范围； （2）将代入构造函数，再根据导函数得出函数单调性进而得出最小值即可证明. 【详解】（1）由有2个零点，故，令， 则与的图象有2个交点， ，时，，当时， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，且当时，， 当趋向于正无穷时，趋向于于0， 当时，与的图象有2个交点， 故的取值范围是． （2）当时，， 要证在上恒成立，即证在上恒成立 设，，，， 和在均单调递增，故在单调递增 ，， 故存在使得，且 在单调递减，在单调递增， ， 又因为，所以，所以在上恒成立． 12．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)已知函数，． (1)当时，求函数在区间上的值域 (2)若，试判断函数是否存在极值，若存在，请确定极值点；若不存在，请说明理由； (3)若函数有三个不同的零点，，）．求a的取值范围； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用函数导函数求出单调性，进一步求出值域. （2）求出函数导函数，讨论在不同取值范围内的单调性. （3）根据题意，当时，不符合题意，故只需讨论时的取值情况. 【详解】（1）当时，，其定义域为（0,+∞）. 对求导得，当且仅当时取等号． 所以在区间[1,3]上单调递增. 又. 所以在区间上的值域为. （2）由题意，，且， ∴． 令， 1°当时，， 则恒成立，在上单调递增，此时不存在极值； 2°当时，，存在两个零点和，且， 当和时，；当时， 所以，在和上单调递增，在上单调递减 此时存在极值，其中，极大值点，极小值点 综上所述，当时，不存在极值； 当时，存在极值，极大值点，极小值点. （3）易得，故1是的零点之一． 1° 当时，，当，恒成立， 在上单调递增，此时只有一个零点，不符合条件； 2° 当时，由（1）知，在上单调递增，此时只有一个零点，不符合条件； 3° 当时，由（1）知，在和上单调递增，在上单调递减， 其中，所以，， 又， 存在的值，使得， 所以，时，，时，， ，使得， 有三个零点，且， 综上，． 13．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间与极值； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围； (3)若函数有2个不同的零点，，求实数a的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为0，无极大值 (2) (3) 【分析】（1）当时，利用导数求出极值即可； （2）法一：转化为，令，利用导数求出最值可得答案；法二：令，则，令，利用导数求出最值可得答案； （3）令，利用导数结合零点个数可得答案. 【详解】（1）当时，，其定义域为， ， 当时，，此时单调递减；当时，， 此时单调递增；所以有极小值，无极大值. 综上所述，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 极小值为0，无极大值； （2）法一：由在上恒成立得到，即， 令，则 令，则， 再令，则 在上恒成立， 所以在上递增，所以， 于是在上递增，， 即在上递增， ，故，即实数的取值范围为； 法二：同构法，，令， 则，令，， 所以在上单调递增，可得，所以； （3），令， 因为，所以在单调递增，则， 令，即在有2个零点，且， 又因为，当时，在单调递增， 不存在2个零点，所以， 当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增， 则， 令， 当时，单调递减；当时， 单调递增， 则，所以恒成立，即恒成立 因此即， 又因为当时，，当时，， 且 所以当，即时， 函数有2个不同的零点. 综上知函数有2个不同的零点时实数的取值范围为. 14．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)已知函数，. (1)求的极值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值； (2) (3)． 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出极值情况； （2）求导，得到的单调性和最小值，得到，求出； （3）同构得到，设函数，则上式为，由单调性得到，令，，由（1）知函数的单调性和极值情况，从而得到，求出答案. 【详解】（1），，则， 当时，；当时，； 故在上递增，在上递减， 所以的极大值为，无极小值； （2）由有意义可得， 因为，令得，令得， 故在递减，在上递增， 故对于恒成立， 则； （3）由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根， 整理得，则， 即， 设函数，则上式为， 因为在上单调递增，所以，即， 令，， 由（1）可知在上递增，在上递减， 的最大值为， 又因为，，，， 所以要想有两个根，只需要， 解得，所以的取值范围为． ( 地 城 考点0 7 极值点偏移 ) 15．(24-25高二下·湖北恩施州·期末)已知函数，其中，e为自然对数的底数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在极小值点，且，求实数a的取值范围； (3)若函数有两个零点，，求证：. 【答案】(1)答案见详解 (2) (3)证明见详解 【分析】（1）求导可得，利用导数判断原函数的单调性； （2）求导构建，可知在存在零点，结合题意整理可得，构建，求导，利用导数分析单调性和符号，即可得结果； （3）整理可得，构建，，，利用导数结合单调性可得，，结合单调性分析证明. 【详解】（1）当时，， 可知的定义域为，且， 设，则， 可知在单调递增，且， 当时，，即；当时，，即； 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由题意可知：的定义域为，且， 设，则，可知在单调递增， 因为函数存在极小值点，所以在存在零点， 即，可得. 则，可得， 设，且， 当，，则； 当，，则. 可得，， 所以实数a的取值范围为. （3）令，可得， 由题意可得：， 构建，则， 不妨设，可得， 令，解得；令，解得； 可知函数在上单调递增，在上单调递减，且， 可得， 构建，， 则， 可知函数在上单调递增，则，即， 则，且， 又因为在上单调递减，所以，即. ( 地 城 考点0 8 导数在其他知识点的应用 ) 16．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)已知.求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）利用赋值法，即可求得答案； （3）对二项式两边求导，再赋值即可求得答案. 【详解】（1）令，得.① 令，得，② 由①-②，得， . （2）， 时，，时，， ， 令，得. （3）因为， 两边分别求导，得， 令，得. 17．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)设，求下面各式的值． (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)-4050 (2) (3) 【分析】（1）由二项式定理即可求解； （2）由赋值法即可求解； （3）先求导，然后结合赋值法即可求解. 【详解】（1）； （2）令， 则， 两式相减得，； （3）因为， 两边分别求导，得2025， 令，得． 18．(24-25高二下·湖北恩施州·期末)已知曲线，曲线，直线与曲线，分别交于两点，曲线在点A处的切线为，曲线在点B处的切线为，设直线与的交点为P. (1)若为直角，求实数a的值； (2)求点P到直线的距离. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据题意，求得和，得到，，根据，列出方程，即可求解； （2）由（1）知，，求得切线方程，联立方程组，求得点的坐标，进而求得点P到直线的距离. 【详解】（1）解：由函数和， 可得和，则，， 由是直角，则，即， 解得，则. （2）解：由（1）知，， 由，知，所以直线与必相交， 又由， 联立方程组，解得，即， 故点P到直线的距离为. 19．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ），. (2) 【分析】（1）（ⅰ）根据题意可知Y服从超几何分布，根据数学期望计算即可； （ⅱ）根据题意可知，分别求出和再比较它们大小即可； （2）根据题意列出进行计算出，再根据函数的导函数求出a的取值范围. 【详解】（1）（ⅰ）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，可取0，1，2，3，4， ， ；；； ；； 服从超几何分布，的分布列为： 0 1 2 3 4 ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下， 设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则；； ； 故， 由（ⅰ）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得 又，， 故，，由题得方程有两个不相等的正实根， 两边取对数得有两个不相等的正实根， 构造函数，求导得， 令，解得； 当时，；当时，； 易知在单调递增，在单调递减，且， 可知的图象如下图所示： 由数形结合得，，所以. 20．(24-25高二下·湖北荆州·期末)圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度．设函数的定义域为，其导数为的导数为，将称为曲线在处的曲率，曲率越大弯曲程度越大． (1)求在处的曲率； (2)用半圆的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理； (3)设，若存在，使在处的曲率为0，求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，分别求得和，结合曲率的定义，即可求解； （2）根据题意，求得和，结合曲率的计算公式，求得，即可得到结论； （3）求得和，根据，得到，，令，得到和，转化为证明（注意），构造函数，利用导数求得函数的单调性，结合，即可得证. 【详解】（1）解：由函数，可得，则， 所以． （2）解：由半圆，可得，则， 所以曲率， 即曲率是半径的倒数，由反比例函数的性质知，圆的半径越小曲率越大． （3）解：由函数， 可得，则， 由已知得，所以， 所以，， 两式相除，令， 则，，， 所以，同理可得：， 由， 所以即证，只需证（注意）， 设， 可得， 所以在递增，所以，所以成立， 所以成立． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数大题综合 8大高频考点概览 考点01切线问题 考点02利用导数研究函数的单调性 考点03函数的极值与最值 考点04恒成立问题 考点05有解问题 考点06零点与方程的根 考点07极值点偏移 考点08导数在其他知识点的应用 ( 地 城 考点01 切线问题 ) 1．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)（1）求曲线在处的切线； （2）求过点且与曲线相切的直线方程. 2．(24-25高二下·湖北武汉武昌区·期末)已知函数，. (1)若既是曲线的切线，也是的切线，求实数a和m的值 (2)若恒成立，求实数m的取值范围. ( 地 城 考点02 利用导数研究函数的单调性 ) 3．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 4．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. ( 地 城 考点0 3 函数的极值与最值 ) 5．(24-25高二下·湖北七州·期末)已知函数. (1)若，求的极值； (2)若，且，成立，求实数的取值范围. 6．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)已知函数， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)已知函数，求函数的极值； (3)函数的图象上存在多少组关于点对称的点？说明你的结论和理由． 7．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)已知函数. (1)当时，求在上的值域； (2)若曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形面积为，求的值. ( 地 城 考点0 4 恒成立问题 ) 8．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)已知函数，， (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求b的取值范围． 9．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)已知函数. (1)讨论的单调性； (2)函数，若对恒成立，求的取值范围； (3)证明：. ( 地 城 考点0 5 有解问题 ) 10．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)已知函数在上的最大值为，集合. (1)求的值，并用区间的形式表示集合； (2)若，对，都，使得，求实数的取值范围. ( 地 城 考点0 6 零点 与方程的根 ) 11．(24-25高二下·湖北荆门·期末)已知函数，． (1)若有2个零点，求a的取值范围； (2)当时，证明：在上恒成立． 12．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)已知函数，． (1)当时，求函数在区间上的值域 (2)若，试判断函数是否存在极值，若存在，请确定极值点；若不存在，请说明理由； (3)若函数有三个不同的零点，，）．求a的取值范围； 13．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)已知函数，． (1)当时，求函数的单调区间与极值； (2)若在上恒成立，求实数a的取值范围； (3)若函数有2个不同的零点，，求实数a的取值范围. 14．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)已知函数，. (1)求的极值； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. ( 地 城 考点0 7 极值点偏移 ) 15．(24-25高二下·湖北恩施州·期末)已知函数，其中，e为自然对数的底数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数存在极小值点，且，求实数a的取值范围； (3)若函数有两个零点，，求证：. ( 地 城 考点0 8 导数在其他知识点的应用 ) 16．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)已知.求： (1)； (2)； (3). 17．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)设，求下面各式的值． (1)求； (2)求； (3)求． 18．(24-25高二下·湖北恩施州·期末)已知曲线，曲线，直线与曲线，分别交于两点，曲线在点A处的切线为，曲线在点B处的切线为，设直线与的交点为P. (1)若为直角，求实数a的值； (2)求点P到直线的距离. 19．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． 20．(24-25高二下·湖北荆州·期末)圆给人以“半径越小越弯曲”“同一个圆在各处的弯曲程度都相同”的直观印象，我们通常用“曲率”来刻画曲线在某处的弯曲程度．设函数的定义域为，其导数为的导数为，将称为曲线在处的曲率，曲率越大弯曲程度越大． (1)求在处的曲率； (2)用半圆的曲率，说明圆“半径越小越弯曲”的原理； (3)设，若存在，使在处的曲率为0，求证：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $