专题05 概率及分布列期望方差（7大考点）（期末真题汇编，湖北专用）高二数学下学期

**基本信息** 湖北多地高二期末概率专题试题汇编，覆盖7大高频考点，通过投篮比赛、传球游戏等真实情境及概率与数列结合题，实现基础巩固与能力提升的分层设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约40题|古典概率、正态分布、条件概率等全考点|基础题占比60%，如“选3名教师”古典概率题| |解答题|约10题|分布列期望、全概率、跨数列综合|情境化设计，如投篮得分期望计算；综合题如概率与数列结合的传球问题|

专题05 概率及分布列期望方差 7大高频考点概览 考点01古典概率 考点02独立事件概率、互斥事件概率 考点03正态分布 考点04条件概率 考点05全概率 考点06分布列期望方差 考点07与数列结合 ( 地 城 考点01 古典概率 ) 1．(24-25高二下·湖北恩施州·期末)学校有5名男教师，3名女教师，现在要随机选择3名教师参加会议，下列事件中概率等于的是（   ） A．至少有1名女教师 B．有1名或2名女教师 C．有2名或3名女教师 D．恰有2名女教师 【答案】C 【分析】根据题意，利用古典概型的概率计算公式，结合组合数的公式，分别求得相应的概率，即可求解. 【详解】记选项A、B、C、D对应事件的概率分别为，，，， 可得，，，. 故选：C. 2．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)从、、、、中按从小到大的顺序取三个不同的数组成数列，则数列是等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设取出的个不同的数分别为、、，结合等差数列的性质分析可知故、同为奇数或同为偶数，与确定后，随之而定，利用古典概型的概率公式求解可得答案. 【详解】设取出的个不同的数分别为、、，不同的取法共有种， 若、、构成等差数列，则有. 故、同为奇数或同为偶数，且与确定后，随之而定. 从而所求概率为. 故选：C. 3．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使记，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据计数原理计算出满足的事件的个数以及事件的总数，再根据古典概率公式即可求解. 【详解】投掷7次必须5次正面向上，2次反面向上，抛掷7次不同结果有种，故. 故选：A ( 地 城 考点02 独立事件概率、互斥事件概率 ) 4．(24-25高二下·湖北荆门·期末)设A，B是两个相互独立事件，且，，则________． 【答案】 【分析】先根据独立事件的概率乘法公式求，再根据概率的加法公式求. 【详解】由题知，，，， ∴， ∴． 故答案为：. 5．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可利用独立重复试验的概率公式，通过“至少有一次击中目标”的对立事件“三次都未击中目标”来求解每次射击击中目标的概率. 【详解】设每次射击击中目标的概率为p， 因为至少有一次击中目标的概率为， 所以三次都未击中目标的概率为，即，解得. 故选：D 6．(24-25高二下·湖北七州·期末)某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在两点进行投篮，共投两次，第一次投篮点可在两处随机选择一处，若投中，则第二次投篮地点不变，若未投中，则第二次投篮点改变，在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立.已知小明在点投中的概率为0.8，在点投中的概率为0.3，记小明投篮总得分为，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要分析得分的情况，即第一次在点投中，第二次在点未投中，或者第一次在点投中，第二次在点未投中，然后根据独立事件概率公式计算即可. 【详解】要得分，包括两种情况： 情况一：第一次选投中（得分），第二次选未投中； 情况二：第一次选未投中，第二次选投中（得分）. 记A=“在A处投中”，B=“在B处投中” 则 . 故选：C. 7．(24-25高二下·湖北荆州·期末)名选手参加某项“1对1”的趣味游戏比赛，采用如下赛制：第1轮将名选手两两随机配对进行比赛并决出胜负，败者被淘汰，胜者进入第2轮；第2轮将名选手两两随机配对进行比赛并决出胜负，败者被淘汰，胜者进入第3轮；……，以此类推，直到最终决出冠亚军．假设每名选手在任何一场比赛中获胜的概率均为．甲、乙是其中2名选手． (1)当时，求甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率； (2)当时，求甲、乙在第4轮比赛中相遇的概率； (3)求甲、乙2人在比赛中相遇的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)甲、乙在第2轮比赛中相遇就是甲、乙第一轮不在一组且均晋级，第2轮甲乙同一组； (2)据题意甲乙在第4轮相遇，则甲乙需在前3轮不相遇且均晋级，求出概率； (3)根据题得出甲乙在第轮相遇的概率为：，计算即可. 【详解】（1）当时，共8人，第一轮甲共有7种配对方式， 故甲乙分在一组的概率为， 甲乙在第2轮相遇，则甲、乙第一轮不在一组且均晋级，其概率为， 同理，第2轮甲乙同一组的概率为， 故甲乙在第2轮比赛相遇的概率为． （2）当时共有人，第轮，某特定对象有种配对方式． 甲乙在第4轮相遇，则甲乙需在前3轮不相遇且均晋级． 第1轮甲乙不相遇且均晋级的概率为， 第2轮甲乙不相遇且均晋级的概率为， 第3轮甲乙不相遇且均晋级的概率为， 故甲乙在第4轮比赛中相遇的概率为． （3）共有人，甲、乙在第1轮相遇的概率为， 甲乙在第2轮相遇的概率为， 甲乙在第3轮相遇的概率为， 以此类推，甲乙在第轮相遇的概率为：， 故甲乙相遇的概率为：． 8．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第n次球在甲手中的概率表达式，由于乙、丙地位对称，求出第n次球在甲手中的概率由对立事件即可得到经过次传球后，球恰在乙手中的概率. 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第n次球在乙手中”，“第n次球在丙手中”， 那么由题意可知可知：，又， 所以，可构造等比数列， ， 因为第一次由甲传球，可认为第0次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故，所以， 因为第一次由甲传球，之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人， 所以乙、丙地位对称，即，所以经过n次传球后， 球恰在乙手中的概率为. 故选：D. 9．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（    ） A．投掷2次骰子，最终得分的期望为 B．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 C．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 D．设最终得分为分的概率为，则 【答案】D 【分析】由离散型随机变量的分布列求解数学期望即可判断选项A；投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，求出，然后利用错位相减法求和即可判断选项B；计算出，即可判断选项C；最终得分，前一次要么是分，要么是分，所以，即可判断选项D. 【详解】对于A，投掷2次可能的取值为2，3，4，，， ，，故A错误； 对于B，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分， ， 所以， 设， 则， 所以， 所以， 则，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，投掷骰子一次要么得1分，要么得2分， ∴最终得分，前一次要么是分，要么是分， 故，故D正确； 故选：D. ( 地 城 考点0 3 正态分布 ) 10．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)若随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 【答案】A 【分析】利用正态分布的性质即可求得结果. 【详解】根据正态分布的特点：, 故选：A 11．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)已知随机变量，，则（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．0.35 【答案】C 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】已知随机变量，， 则. 故选：C. 12．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（    ） A．1 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】由正态分布的对称性计算即可. 【详解】随机变量服从正态分布，其图象关于对称， 又，，解得， 故选：C. 13．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 【答案】B 【分析】由正态分布对称性结合原则直接计算即可求解. 【详解】由题得，， . 故选：B. 14．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二项分布的概率公式求出的值，再根据正态分布的性质求出即可. 【详解】已知随机变量， 根据二项分布的概率公式可得， 则. 解得，. 已知，因为，且， 所以， 又因为， 所以. 故选：B 15．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)某校高二年级有1000名同学，某次数学期中考试的成绩，则数学成绩在120分以上人数约为（    ） （参考数据：随机变量，则，） A．159 B．318 C．23 D．46 【答案】A 【分析】应用正态分布三段区间的概率及其对称性求，进而估计人数. 【详解】由题设，则， 所以数学成绩在120分以上人数约为人. 故选：A 16．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)设随机变量，函数在定义域R上是单调递减函数的概率为，则（   ） 附：若，则，． A．0.1355 B．0.1587 C．0.2718 D．0. 3413 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，若恒成立，求出的取值范围，即可得到，，再由正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 若对任意实数恒成立，则，所以， 又，所以，，，，，， 所以，， 则. 故选：A. 17．(24-25高二下·湖北七州·期末)已知随机变量，且，则_________. 【答案】6 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】，所以， 所以. 故答案为：6. 18．(24-25高二下·湖北荆州·期末)已知随机变量，且，则______． 【答案】/ 【分析】根据正态分布的性质即可求得结果. 【详解】因为，所以, 故， 故答案为： 19．(24-25高二下·湖北恩施州·期末)设随机变量，，则实数a的值为______. 【答案】 【分析】根据题意，结合正态分布曲线的对称性，得到，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为， 因为，所以，解得. 故答案为： 20．(24-25高二下·湖北武汉武昌区·期末)（多选）根据国家质量监督检验标准，保温杯的密闭性是重要的参考标准，为监控一条生产线的生产过程，检验员每天从生产线上随机抽取10个保温杯，并检测其密封性.根据长期生产经验，可认为此条生产线正常状态下生产的保温杯的密封性参数X服从正态分布.假设生产状态正常.记Y表示一天内抽取的10个保温杯中密封性参数小于的数量，则（   ） 附：若随机变量X服从正态分布，则①；②；③；参考数据： A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用正态分布计算，再利用二项分布来云计算概率与期望即可得到判断. 【详解】由题意得：， 因为Y表示一天内抽取的10个保温杯中密封性参数小于的数量， 所以， 即，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，所以，故C错误，D正确； 故选：BD. ( 地 城 考点0 4 条件概率 ) 21．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)连续掷一颗质地均匀的骰子两次，在两次骰子点数之积为偶数的条件下，两次骰子点数均为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出所有可能性，根据古典概率公式计算对应概率，再利用条件概率公式计算即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次， 样本空间 ，共有36个样本点， 记“两次骰子点数之积为偶数”为事件， 则事件 ，有27个样本点， 故事件的概率为， 记“两次骰子点数均为偶数”为事件， 则事件，有9个样本点， 故事件的概率为， 所以， 故选：C 22．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两点分布分别求得的概率，再由求出，由条件概率公式计算. 【详解】因为随机变量均服从两点分布，所以， 因为， 所以， 由条件概率公式， 故选：B. 23．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)（多选）下列命题正确的是（   ） A．若三个事件两两独立，则满足 B．若，，且，则相互独立 C．若事件满足，，，则 D．给定事件，且，则 【答案】BC 【分析】根据独立事件的定义及条件概率的性质可判断各选项正误. 【详解】对于A，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，A错误； 对于B， ，即，所以相互独立，B正确； 对于C，由，，则，， ，则0.4， 又，则， ，则 ，C正确； 对于D，当互斥时，； 当不互斥时，，D错误. 故选：BC. 24．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对立事件概率之间的关系判断A的真假；根据条件概率计算公式判断B的真假；根据判断C的真假；根据概率加法公式判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：因为，故B正确； 对C：因为，故C正确； 对D：因为，故D错误. 故选：D 25．(24-25高二下·湖北武汉武昌区·期末)有甲，乙两个不透明的盒子，甲盒子中有五个除颜色外大小完全相同的小球，其中红球有3个，黑球有2个，乙盒子中无球.某人通过投掷一枚质地均匀的骰子，进行摸球游戏，规则如下：每次先从甲盒子中随机摸出一球，随即投掷一次骰子，若骰子向上点数为质数，则将该球放入乙盒子：否则将该球放回甲盒子，当甲盒子中无球时，游戏停止. (1)求游戏进行三次后，乙盒子中球个数X的分布列和期望； (2)求游戏进行三次后，乙盒子中恰有红球，黑球各1个的概率； (3)设游戏进行到第n（，）次后停止的概率为，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)分布列见解析， (2) (3)存在，最大值为 【分析】（1）利用二项分布来研究分布列即可； （2）利用条件概率乘法公式，结合分类讨论思想来求解该事件的概率； （3）利用二项分布求解概率，利用数列递推思想来求最大值即可. 【详解】（1）投掷一次骰子，向上点数为质数的概率为，由题知，， 则，，，，则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则其期望为. （2）记“此人投掷三次骰子后，乙罐内恰有红、黑各一球”， 记“第i次摸出红球，并且投掷出质数”，，2，3， 记“第j次摸出黑球，并且投掷出质数”，，2，3， 记“第k次摸出黑球或红球，并且没有投掷出质数”，，2，3， 所以， 又，，， 所以， 同理， 所以. （3）第n次投掷后游戏停止的情况是：前次投掷出质数恰好为4次，没投掷出质数次，且第n次骰子投掷出质数时游戏停止， 所以， 即， 令，解得，令，解得，即， ，所以的最大值. 26．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)甲乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中． (1)记比赛结束时，甲赢球的次数为X，求X的分布列和数学期望； (2)记为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.求的最大值. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由题意，可得所有可能的取值为0，1，2，3，分别求出各可能值对应概率值，列出分布列即可. （2）分别计算，，然后得出，利用基本不等式求最大值即可. 【详解】（1）根据题意，则所有可能的取值为0，1，2，3， 当时，比赛共打3局结束，乙连胜3局，则， 当时，共打4局结束，前3局甲1胜2负，第4局乙胜，则， 当时，共打5局结束，前4局甲2胜2负，第5局乙胜，则， 当时，共打3局结束，甲连胜3局或共打4局结束，前3局甲2胜1负，第4局甲胜或共打5局结束，前4局甲2胜2负，第5局甲胜， 则， 故的分布列为： 0 1 2 3 所以 （2）记事件为“进行了4局比赛分出胜负”， 则， 记事件为“甲获胜”，则事件表示“进行了4局比赛以后甲获胜”， 则， 故进行了4局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为 记事件为“进行了5局比赛分出胜负”， 则， 则表示“进行了5局比赛以后甲获胜”， 则， 故进行了5局比赛分出胜负的情况下，甲获胜的概率为， 依题意，， 当且仅当，即时取“=”， 故的最大值为. 27．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)某市为了了解高三学生高考考完后平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了位高考考完后的学生，将这位学生每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为五组，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求的值，并估计该市高三学生高考考完后每天体育锻炼时间的第80百分位数； (2)假设高考考完后的学生中每天体育锻炼的时间达到60分钟及以上的为“运动达人”，若从样本中随机抽取一位学生，设事件“抽到的学生是运动达人”，“抽到的学生是男生”，且. （i）求和； （ii）假设有的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位学生. 附： 0.1 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)0.020，第80百分位数为60 (2)（i），；（ii）200位 【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1求出的值，通过计算各组得概率可判断第80百分位数在上，进而可得结果； （2）（i）利用条件概率和全概率公式求解；（ii）根据列联表计算，对照临界值表列式求解即可. 【详解】（1） 频率为，频率为，频率为，频率为， ，， 故第80百分位数在上，， 故估计第80百分位数为60. （2）依据（1）由频率分布直方图得：，， ， ， ，解得：， ， （ii）可计算得：，，，， 可得如下列联表：（其中） 合计 合计 所以， ，故有的把握认为运动达人与性别有关至少要调查180位学生． 又因为第二组抽取的人数为,所以是50的整数倍，即至少要调查200位学生 28．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)小宁连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（   ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B不相互独立 C． D． 【答案】BD 【分析】根据互斥事件的定义可判断A；根据相互独立事件的定义可判断B；求出可判断C；根据条件概率公式可判断D. 【详解】连续抛掷一枚骰子2次，，共有36种样本点， ，共有18样本点， ， 共有27个样本点， 所以，且事件与事件包含的样本点一样， 对于A，事件A与事件B不互斥，故错误；     对于B，，所以， 所以事件A与事件B不相互独立，故正确； 对于C，，故错误；     对于D，，故正确. 故选：BD. ( 地 城 考点0 5 全概率 ) 29．(24-25高二下·湖北荆州·期末)现有4道四选一的单选题，学生张君对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好随机猜一个答案．张君从这4道题中随机选择2道题作答，则2道题都答对的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用全概率公式计算求解即可. 【详解】. 故选：A. 30．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出结果. 【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为， 市民开私家车出行迟到的概率为， 市民骑行或步行出行迟到的概率为， 则这名市民迟到的概率为， 故所求的概率为. 故选：C. 31．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)某学校有A，B两家餐厅，某同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去A餐厅，那么第2天还去A餐厅的概率为；如果某天去B餐厅，那么第2天还去B餐厅的概率为．若该同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则该同学第3天去A餐厅用餐的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式求出张同学第2天去A，B餐厅的概率，继而可求第3天去A餐厅用餐的概率. 【详解】设表示事件：第i天去A餐厅，表示事件：第i天去B餐厅， 由题意可知：,， ， 所以， 根据全概率公式得： 故， , 则， 故选：B 32．(24-25高二下·湖北荆门·期末)（多选）已知袋子中有a个红球和b个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法正确的是（    ） A．每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 B．每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为 C．每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为 D．从中不放回摸n（）个球，摸到红球的个数的概率是 【答案】ABD 【分析】根据全概率公式计算判断A，根据条件概率计算判断B，应用二项分布方差公式判断C，应用超几何分布计算判断D. 【详解】对于A选项，记事件：第一次摸红球，事件：第一次摸蓝球，事件B：第二次摸红球， 则，A对； 对于B选项，每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下， 第2次摸到红球的概率为，B对； 对于C选项，由题意可知，则，C错； 对于D选项，从中不放回摸n（）个球，摸到红球的个数的概率是，D对． 故选：ABD. 33．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)（多选）甲袋中有3个黑球，2个白球，乙袋中有5个黑球，3个白球.这些球大小、形状完全相同.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，记事件为“取出的是黑球”，事件为“取出的是白球”；再从乙袋中随机不放回取出两个球，记事件B为“取出的两球都是黑球”，事件C为“取出的两球为一黑一白”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据已知写出对应概率值，再应用条件概率公式、全概率公式计算相关概率判断各项正误. 【详解】由题设，，，，，， 所以，，. 故选：ABD 34．(24-25高二下·湖北恩施州·期末)（多选）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 【答案】BCD 【分析】先得到，Y服从超几何分布，A选项，计算出，，A错误；B选项，，得到B正确；C选项，根据二项分布和超几何分布求期望公式得到C正确；D选项，方案一中，每次抽到次品的概率均为，方案二中，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”，求出每种情况下的概率，相加得到概率，得到D正确. 【详解】方案一中，有放回地抽样，则取得次品个数， ，， 方案二中，不放回地抽样，则取得次品个数Y服从超几何分布， 则，. 选项A，，，，A错误； 选项B，，由于，故或3时，最大，B正确； 选项C，由二项分布及超几何分布期望公式，，C正确； 选项D，方案一中，每次抽到次品的概率均为， 方案二，第三次抽到次品的情况有四种，“正正次”、“正次次”、“次正次”、“次次次”， 其中“正正次”的概率为，“正次次”的概率为， “次正次”的概率为，“次次次”的概率为， 故第三次抽到次品的概率为，D正确. 故选：BCD. 35．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)某4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为. (1)设4名射击手击中目标的人数为，当时，求的数学期望与方差； (2)若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据题干，可知击中目标的人数服从二项分布，利用二项分布的期望和方差即可求出结果. （2）根据题干写出的表达式，再利用导数判断其单调性即可求出最大值. 【详解】（1）四人互不影响地同时对同一目标进行射击，可以看成4次独立重复试验，且， . （2）依题意有 又.所以在区间上单调递增， 36．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据条件概率公式及全概率公式计算求解； （2）应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】（1）抽出的10件产品中，甲、乙、丙三名工人分别生产了3，4和3件， 事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”， 所以； （2）分别记事件A、B、C表示抽取的一个零件为甲、乙、丙生产的，记事件：抽取的一个零件为次品， 由题意可得，， 由全概率公式可得， 所以， 即任取一个零件，已知它是次品，这件产品是由丙生产的概率为. 37．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)甲、乙两校进行乒乓球比赛，比赛规则为：①共进行奇数局比赛，且没有平局；②全部比完后，所胜局数多者获胜．现假设每局比赛甲校胜利的概率都是，并且各局比赛之间的结果互不影响． (1)时，若两校共进行5局比赛．记事件A表示“在前3局比赛中甲胜1局”，事件B表示“甲最终胜利”，求； (2)时，若两人共进行且）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了k局”．事件B表示“甲最终获胜”．请计算 的值； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析； 【分析】（1）分析条件概率的意义，计算结果. （2）根据给定的信息直接写出结果. （3）利用由全概率公式求出及，再利用作商法并结合基本不等式推理得证. 【详解】（1） 表示在前3局比赛中甲胜1局的条件下甲最终胜利的概率， 已知共5局比赛，此种情形下，甲要取得最终胜利，必须保证最后2局均胜利， 所以 . （2）当时，共进行且）局比赛， 前局，甲胜的局数不足局，即使再胜2局，甲也不能获胜， 因此； 前局，甲已胜局，最后2局需要全胜，甲才能获胜， 因此； 前局，甲已胜局，最后2局甲至少胜1局，就能获胜， 因此； 前局，甲已胜至少局，甲必胜，因此. （3）由全概率公式得，        则， 当时，，， ， 因此，所以. ( 地 城 考点0 6 分布列期望方差 ) 38．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：C. 39．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)若随机变量满足（其中为常数），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的值，再利用方差公式可求得的值. 【详解】由题意可知，故. 故选：B. 40．(24-25高二下·湖北荆州·期末)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，若出现的点数为3的倍数得10分，否则得1分，则得分的均值（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据题意可能取值为：，分别求出概率，再根据数学期望公式计算即可. 【详解】根据题意，可能取值为：，骰子的点数为1,2,3,4,5,6, 其中3的倍数为3和6，共2个，所以， 其中不是3的倍数为1,2,4,5，所以， . 故选：B. 41．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据取出小球的所有情况写出得分的所有可能值，根据超几何公式求得各个取值对应的概率，进而得到其分布列，求出期望. 【详解】设得分为，根据题意可以取， .则，，， 则分布列为： 4 3 2 所以得分期望为. 故选：C. 42．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)设随机变量的分布列为 1 2 3 4 k 2k 3k 4k 则________． 【答案】 【分析】先由分布列的知识求出，从而可求解. 【详解】由题意可得，解得， 则. 故答案为：. 43．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定随机变量的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算. 【详解】随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则的可能取值为，，，. 表示在摸出个红球时停止摸球，没有摸到白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且只摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 期望. 故选：D 44．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，乙的卡片上分别标有数字2，4，6.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的得1分，数字小的得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则三轮比赛后，甲总得分的数学期望为__________. 【答案】1 【分析】在不考虑出牌顺序的前提下，将所有出牌情况列出，再列出分布列求期望即可. 【详解】设甲总得分为，则的可能取值为， 在不考虑出牌顺序的前提下，甲、乙两人出牌共有种， 第一行为甲出牌，其余为乙出牌，如下表， 甲得分 1 3 5 0分 2 4 6 1分 2 6 4 1分 4 2 6 1分 4 6 2 2分 6 2 4 1分 6 4 2 则， 则. 故答案为： 45．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三个年级共分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________. 【答案】/ 【分析】问题化为9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种分组，且并应用古典概型的概率求法求对应概率，进而求期望. 【详解】若三个年级人数分别为，则，又每个年级至少一个名额， 所以，相当于9个球分成3份，且每份至少有一个球，即用2个隔板插入8个空，则有种， 由题意，则，且各年级人数为， 其中的情况有一种情况，即， 的情况有、、、、、、、、九种情况，即， 所以， 综上，. 故答案为： 46．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复次这样的操作，记A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为，则________，的数学期望________.（用表示） 【答案】 【分析】利用全概率公式，构造概率递推公式，再由数列中的递推求通项思想即可. 【详解】经过第一次操作得：，， 经过第二次操作得：；. 根据全概率公式可知：， ， 两式相加可得， 则：，时，， 所以，， 因为，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以. 故答案为：①；②. 47．(24-25高二下·湖北孝感高级中学·期末)已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立 (1)求答完前两道题后两人各得1分的概率； (2)设随机变量X为比赛结束时两人的答题总个数，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）设事件为第i道题甲得1分，事件为第j道题乙得1分，由题可得，，据此可得答案； （2）由题可得随机变量X的取值为，由（1）可得，然后可得分布列及对应期望. 【详解】（1）由题意可知，每道题都要抢题与答题，每人得1分有两种情况，“本人抢到且答对”与“对方抢到且答错”. 设事件为第i道题甲得1分， 事件为第j道题乙得1分， 事件为答完前两道题后两人各得1分，则. 则事件与为对立事件，与相互独立，与与互斥， 所以，, ； （2）随机变量X的取值为. ； ； . 所以随机变量X的分布列为 X 3 5 7 P 所以. 48．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)某车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名工人进行维修． (1)若发生故障的车床数为，求的分布列； (2)车间至少安排多少名工人，才能保证每台机床在任何时刻同时出现故障时能及时维修的概率不低于？ (3)已知每名工人每月的工资为1万元，且1名工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该车间现有1名工人，求该车间每月获利的均值． 【答案】(1)答案见解析 (2)2名 (3)万元 【分析】（1）依据独立重复试验及二项分布求得概率，进而得到分布列； （2）利用（1）得到分别有名工人时机床同时出故障能及时维修的概率，从而得到要使得该概率不低于，需要的工人人数； （3）利用（1）得到有名工人时不发生故障或发生故障能及时维修的机床数，即得到产生的利润的分布列，从而得到每月获得利润的均值. 【详解】（1）可能取，且 所以，，， 故的分布列为： 0 1 2 3 （2）设车间有名工人，能同时维修机床的台数为台， 故当机床发生故障，需要维修的台数时，机床均能正常工作， 其概率如下表所示， 0 1 2 3 1 又， 所以至少要2名工人，才能保证所有机床不发生故障或发生故障后能及时维修的概率不少于. （3）设该车间每月能获利Y万元，则Y的取值可能为14，9，4， ， ，， 所以Y的分布列为： 14 9 4 则（万元） 故该车间每月获利的均值为万元． 49．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与对应坐标差的绝对值之和，即为.基本事实：①在三维空间中，以单位长度为棱长的立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中；②在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，并称其为“维立方体”，其中.请根据以上定义和基本事实回答下面问题： (1)若该“维立方体”为三维立方体，以单位长度为边长，从该立方体所有顶点中随机任取不同两点，求该两点曼哈顿距离为3的概率； (2)记随机变量为“维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离， ①时，求的最大值及此时相应的的值； ②求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)①，；②分布列见解析， 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率公式，即可求解； （2）①根据曼哈顿距离的定义可知，，代入，即可求解； ②首先确定的取值，再结合的公式，即可求解分布列，代入期望公式，利用倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）记随机变量为“维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离， 时，顶点坐标分别为，，，，，，，共8个， 其中能满足曼哈顿距离为3的有和，和，和，和，共4对， 所以. （2）①由题意得，可取， 当时，对于点与点， 其中使的i的个数为，则满足的的个数为， 此时所对应情况数为， 则， 故时，则， 所以时，则， ②由①知， 故的分布列为 1 2 数学期望， 又①， 所以②， ①+②可得，， 所以. 50．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)（ⅰ）分布列见解析，；（ⅱ），. (2) 【分析】（1）（ⅰ）根据题意可知Y服从超几何分布，根据数学期望计算即可； （ⅱ）根据题意可知，分别求出和再比较它们大小即可； （2）根据题意列出进行计算出，再根据函数的导函数求出a的取值范围. 【详解】（1）（ⅰ）对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，可取0，1，2，3，4， ， ；；； ；； 服从超几何分布，的分布列为： 0 1 2 3 4 ，所以； （ⅱ）由题意得游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下， 设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为， 对于有放回摸球，各次试验的结果互相独立，， 则；； ； 故， 由（ⅰ）可知， 因为，所以； （2）当，则，若最大，则， 即，得 又，， 故，，由题得方程有两个不相等的正实根， 两边取对数得有两个不相等的正实根， 构造函数，求导得， 令，解得； 当时，；当时，； 易知在单调递增，在单调递减，且， 可知的图象如下图所示： 由数形结合得，，所以. ( 地 城 考点0 7 与数列结合 ) 51．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为______. 【答案】/0.2 【分析】先求出一共有的情况数，并列举出满足要求的情况数，相除可得概率. 【详解】依次抽取4个数构成一个数列，共有种情况， 依题意数列中仅连续三项等差，这三项可以为2，4，6（或6，4，2）； 4，6，8（或8，6，4）；6，8，10（或10，8，6）；2，6，10（或10，6，2）四类， 其中2，4，6（或6，4，2）有6种情况， 分别是8，2，4，6；10，2，4，6；2，4，6，10；6，4，2，8；6，4，2，10；10，6，4，2； 4，6，8（或8，6，4）有4种情况， 分别是10，4，6，8；4，6，8，2；8，6，4，10；2，8，6，4； 6，8，10（或10，8，6），有6种情况， 分别是2，6，8，10；6，8，10，2；6，8，10，4； 2，10，8，6；10，8，6，2；4，10，8，6； 2，6，10（或10，6，2）有8种情况， 分别为4，2，6，10；8，2，6，10；2，6，10，4；2，6，10，8； 4，10，6，2；8，10，6，2；10，6，2，4；10，6，2，8； 列举可得共有种情形. 则概率为. 故答案为： 52．(24-25高二下·湖北荆州·期末)（多选）甲、乙、丙三名球员进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可推导得到及之间的关系，知A正确,B错误；根据题干得到递推关系可知C正确;再构造等比数列，由此可得，采用作差法可求得D正确. 【详解】对于A：因为从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以， 又接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以，A正确； 对于B：因为第次触球者是甲的概率为， 所以，故当时，， 当时，，可知，故B错误； 对于C：由选项B中等式，可得，C正确； 对于D：因为，即，又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以 所以，故； 故； 故选：ACD 53．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)（多选）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在丙手上的概率是 C．2026次传球后球在甲手上的概率小于 D．次传球后球在乙手上的概率是 【答案】AD 【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断AB；设次传球后球在甲手上的概率为，则，再构造等比数列可求出，将代入计算可判断C；同理可求得n次传球后球在乙手上的概率，即可判断D. 【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能， 2次传球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，2个结果，所以概率是，故A正确； 第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能， 3次传球后球在丙手中的事件有：甲乙甲丙，甲丙甲丙，甲丙乙丙，3个结果，所以概率为，故B错误； 设次传球后球在甲手上的概率为，则，即， 而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则， 故，当时，，故C错误； 同理，设次传球后球在乙手上的概率为，则，即， 由题意，，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则， 故，故D正确. 故选：AD. 54．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球. (1)求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； (2)停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； (3)若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）利用古典概型概率计算公式即可求出结果. （2）分别求出的概率，即可列出分布列和求出数学期望. （3）根据题干列出的递推公式，再利用构造新数列的方法即可求出结果. 【详解】（1）依题意停止时恰好取了4次，前3次为2个黑球1个红球，第4次为红球， 其概率为. （2）依题意. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 故分布列为： X 2 3 4 5 6 7 P 期望. （3）依题意有甲袋始终有4个小球，重复次这样操作后，记甲袋子中恰有2个红球的概率为，恰有0个红球的概率为，则. 令， 即数列是以为首项，公比为的等比数列， .当时满足等式. 55．(24-25高二下·湖北七州·期末)甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：（一）每局胜者得1分，负者得0分；（二）若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. (1)求； (2)记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望； (3)若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）第二局比赛结束时比赛停止，即甲连赢2局或连输2局，列式即可求解； （2）的可能取值为2，4，6，结合题意分析列式求出相应概率，列出分布列，再根据期望公式求解即可； （3）当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则，当为偶数时，，利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】（1）由得：或， ∵，∴； （2）的可能取值为2，4，6， 由（1）知，当时 ，， ， ， 所以的分布列如表所示： 2 4 6 的均值为； （3）由题可得， 当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则， 当为偶数时，， ∴当为偶数时，数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴， 当为奇数时，为偶数， ∴，当时，也满足. 所以通项公式. 56．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)某单位食堂有两个餐厅，员工每天中午必须在其中一个餐厅就餐.员工小王第一天午餐时随机选择一个餐厅，如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.7；如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.4. (1)小王第二天选择餐厅就餐的概率； (2)若餐厅拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小王从这些菜品中随机选择3种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值； (3)设员工小王第天选择餐厅就餐的概率为，求. 【答案】(1)0.45 (2)最大值为，或4. (3) 【分析】（1）抽象为全概率公式，结合题意，代入数据，即可求解； （2）首先根据组合数公式，结合古典概型概率公式，得到，设最大，则，列式求解； （3）首先根据全概率公式，列出的递推关系式，利用构造法求通项公式. 【详解】（1）根据题意，设“第i天在餐厅就餐”为事件，设“第i天在餐厅就餐”为事件， 则 （2）可能的取值为， 大为， 令， 设最大，则 即 所以，因为为正整数， 所以当， 故的最大值为，此时或4. （3）根据题意，设， 则， 则有 ， 则有，即， 变形可得， 又由，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以， 故. 57．(24-25高二下·湖北恩施州·期末)甲乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分；平局两人均不计分.按照规则，当一方的得分比另一方多2分时即获胜，比赛结束.已知每局中，甲获胜概率为，乙获胜概率为，平局的概率为，且每局互不影响，相互独立. (1)求甲在进行了3局后获胜的概率； (2)若进行n局后，记甲领先1分的概率为，甲乙持平的概率为，求证：存在实数，使得为等比数列； (3)记甲乙两人进行m局后恰好分出胜负的概率为，求 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，. 【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式可得答案； （2）进行第n局后，设乙领先1分的概率为，根据对称性有，从而，，根据等比数列的定义可得答案； （3）求出公比，根据，，求出可得答案. 【详解】（1）甲在第3局后胜出的得分情况为，即（甲胜，平局，甲胜）或 （平局，甲胜，甲胜）， 概率为； （2）进行第n局后，设乙领先1分的概率为，根据对称性有， 从而， ， ， 所以，解得， 所以当时，是公比为的等比数列； （3）由（2）可知，当，，公比为， 所以①， 当，，公比为， 所以②， ②①可得， 要使得m局后恰好分出胜负，那么， 则， 所以，. 58．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)现有枚质地不同的游戏币，，，，向上抛出游戏而后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这枚游戏币玩游戏. (1)甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并求出当为何值时，最大； (2)甲将游戏币，向上抛出，用表示落下时正面朝上的游戏币的个数，求的分布列； (3)将这枚游戏币按，，，的顺序依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3)不公平，理由见解析 【分析】（1）利用二项分布求概率分布列及其期望即可； （2）利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式来计算即可得分布列； （3）利用递推思想,构造等差数列来求出，从而得到判断. 【详解】（1）依题意得，每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为， 故，于是. ， ， 当时，，当时，， 当时，最大. （2）记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”， 则，，2，可取0，1，2. 由事件相互独立， 则， ， ， 故的分布列为11分 Y 0 1 2 （3）记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，， 表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，故， 故当时， ， 即，即，. 记，则，， 故数列是首项为，公差为1的等差数列， 故，则， 故，，则，因此不公平. 59．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据： 性别 锻炼 不经常 经常 女生 40 60 男生 20 80 (1)依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； (2)为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动.在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.求第次传球后球在乙手中的概率； (3)记第次传球时，乙接到球的次数为，则服从两点分布，且，设前次传球后，乙接到球的总次数为，且总成立，求实数的最小值. 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 (2) (3) 【分析】（1）写出零假设，相关数据代入公式求出，判断与临界值的大小得出结论； （2）设次传球后球在乙手中的概率为，根据全概率公式写出的递推公式，利用构造法求的通项公式； （3）根据两点分布的期望及期望的性质写出，然后利用等比数列的求和公式化简，分析得出恒成立，由随奇数的增大而减小知. 【详解】（1）零假设：学生性别与体育锻炼的经常性无关，则 ， 故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； （2）设次传球后球在乙手中的概率为， 则第次传球后球不在乙手中的概率为， 所以， 所以，其中， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 故， 故第次传球后球在乙手中的概率为； （3）由（2）知， 故 ， 所以， 又总成立，设，只需要， 当最大时，必定为奇数，而随奇数的增大而减小， 故当时，最大值， 所以，故实数的最小值为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 概率及分布列期望方差 7大高频考点概览 考点01古典概率 考点02独立事件概率、互斥事件概率 考点03正态分布 考点04条件概率 考点05全概率 考点06分布列期望方差 考点07与数列结合 ( 地 城 考点01 古典概率 ) 1．(24-25高二下·湖北恩施州·期末)学校有5名男教师，3名女教师，现在要随机选择3名教师参加会议，下列事件中概率等于的是（   ） A．至少有1名女教师 B．有1名或2名女教师 C．有2名或3名女教师 D．恰有2名女教师 2．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)从、、、、中按从小到大的顺序取三个不同的数组成数列，则数列是等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使记，则的概率为（    ） A． B． C． D． ( 地 城 考点02 独立事件概率、互斥事件概率 ) 4．(24-25高二下·湖北荆门·期末)设A，B是两个相互独立事件，且，，则________． 5．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为，则每次射击击中目标的概率是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高二下·湖北七州·期末)某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在两点进行投篮，共投两次，第一次投篮点可在两处随机选择一处，若投中，则第二次投篮地点不变，若未投中，则第二次投篮点改变，在点投中得2分，在点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立.已知小明在点投中的概率为0.8，在点投中的概率为0.3，记小明投篮总得分为，则=（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二下·湖北荆州·期末)名选手参加某项“1对1”的趣味游戏比赛，采用如下赛制：第1轮将名选手两两随机配对进行比赛并决出胜负，败者被淘汰，胜者进入第2轮；第2轮将名选手两两随机配对进行比赛并决出胜负，败者被淘汰，胜者进入第3轮；……，以此类推，直到最终决出冠亚军．假设每名选手在任何一场比赛中获胜的概率均为．甲、乙是其中2名选手． (1)当时，求甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率； (2)当时，求甲、乙在第4轮比赛中相遇的概率； (3)求甲、乙2人在比赛中相遇的概率． 8．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（    ） A．投掷2次骰子，最终得分的期望为 B．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 C．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 D．设最终得分为分的概率为，则 ( 地 城 考点0 3 正态分布 ) 10．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)若随机变量，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.6 11．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)已知随机变量，，则（   ） A．0.15 B．0.2 C．0.3 D．0.35 12．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)已知随机变量服从正态分布，且，则的值为（    ） A．1 B．6 C．7 D．9 13．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 14．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 15．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)某校高二年级有1000名同学，某次数学期中考试的成绩，则数学成绩在120分以上人数约为（    ） （参考数据：随机变量，则，） A．159 B．318 C．23 D．46 16．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)设随机变量，函数在定义域R上是单调递减函数的概率为，则（   ） 附：若，则，． A．0.1355 B．0.1587 C．0.2718 D．0. 3413 17．(24-25高二下·湖北七州·期末)已知随机变量，且，则_________. 18．(24-25高二下·湖北荆州·期末)已知随机变量，且，则______． 19．(24-25高二下·湖北恩施州·期末)设随机变量，，则实数a的值为______. 20．(24-25高二下·湖北武汉武昌区·期末)（多选）根据国家质量监督检验标准，保温杯的密闭性是重要的参考标准，为监控一条生产线的生产过程，检验员每天从生产线上随机抽取10个保温杯，并检测其密封性.根据长期生产经验，可认为此条生产线正常状态下生产的保温杯的密封性参数X服从正态分布.假设生产状态正常.记Y表示一天内抽取的10个保温杯中密封性参数小于的数量，则（   ） 附：若随机变量X服从正态分布，则①；②；③；参考数据： A． B． C． D． ( 地 城 考点0 4 条件概率 ) 21．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)连续掷一颗质地均匀的骰子两次，在两次骰子点数之积为偶数的条件下，两次骰子点数均为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 22．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)已知随机变量均服从两点分布，若，则（   ） A． B． C． D． 23．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)（多选）下列命题正确的是（   ） A．若三个事件两两独立，则满足 B．若，，且，则相互独立 C．若事件满足，，，则 D．给定事件，且，则 24．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，则下列错误的是（    ） A． B． C． D． 25．(24-25高二下·湖北武汉武昌区·期末)有甲，乙两个不透明的盒子，甲盒子中有五个除颜色外大小完全相同的小球，其中红球有3个，黑球有2个，乙盒子中无球.某人通过投掷一枚质地均匀的骰子，进行摸球游戏，规则如下：每次先从甲盒子中随机摸出一球，随即投掷一次骰子，若骰子向上点数为质数，则将该球放入乙盒子：否则将该球放回甲盒子，当甲盒子中无球时，游戏停止. (1)求游戏进行三次后，乙盒子中球个数X的分布列和期望； (2)求游戏进行三次后，乙盒子中恰有红球，黑球各1个的概率； (3)设游戏进行到第n（，）次后停止的概率为，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，试说明理由. 26．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)甲乙两人进行足球射门比赛.规定先赢满三局的人获胜，且不存在平局.已知每局比赛中，甲赢乙的概率为p，其中． (1)记比赛结束时，甲赢球的次数为X，求X的分布列和数学期望； (2)记为甲和乙进行了4局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率，为甲和乙进行了5局比赛分出胜负的情况下甲获胜的概率.求的最大值. 27．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)某市为了了解高三学生高考考完后平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了位高考考完后的学生，将这位学生每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为五组，得到如图所示的频率分布直方图： (1)求的值，并估计该市高三学生高考考完后每天体育锻炼时间的第80百分位数； (2)假设高考考完后的学生中每天体育锻炼的时间达到60分钟及以上的为“运动达人”，若从样本中随机抽取一位学生，设事件“抽到的学生是运动达人”，“抽到的学生是男生”，且. （i）求和； （ii）假设有的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位学生. 附： 0.1 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 28．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)小宁连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件B表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则（   ） A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件B不相互独立 C． D． ( 地 城 考点0 5 全概率 ) 29．(24-25高二下·湖北荆州·期末)现有4道四选一的单选题，学生张君对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好随机猜一个答案．张君从这4道题中随机选择2道题作答，则2道题都答对的概率为（    ） A． B． C． D． 30．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为（    ） A． B． C． D． 31．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)某学校有A，B两家餐厅，某同学连续三天午餐均在学校用餐．如果某天去A餐厅，那么第2天还去A餐厅的概率为；如果某天去B餐厅，那么第2天还去B餐厅的概率为．若该同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐，则该同学第3天去A餐厅用餐的概率为（   ） A． B． C． D． 32．(24-25高二下·湖北荆门·期末)（多选）已知袋子中有a个红球和b个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法正确的是（    ） A．每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 B．每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率为 C．每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X的方差为 D．从中不放回摸n（）个球，摸到红球的个数的概率是 33．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)（多选）甲袋中有3个黑球，2个白球，乙袋中有5个黑球，3个白球.这些球大小、形状完全相同.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，记事件为“取出的是黑球”，事件为“取出的是白球”；再从乙袋中随机不放回取出两个球，记事件B为“取出的两球都是黑球”，事件C为“取出的两球为一黑一白”，则（    ） A． B． C． D． 34．(24-25高二下·湖北恩施州·期末)（多选）已知盒子中有12个样品，6个不同的正品和6个不同的次品，现从中逐个抽取5个样品.方案一：有放回地抽样，记取得次品个数为X；方案二：不放回地抽样，记取得次品个数为Y，则（   ） A． B．当或3时，最大 C． D．两种方案中第三次抽到次品的概率均为 35．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)某4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为. (1)设4名射击手击中目标的人数为，当时，求的数学期望与方差； (2)若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值. 36．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)已知一批产品是由甲、乙、丙三名工人生产的，三人生产的产品分别占总产量的，.已知三人生产产品的次品率分别为. (1)现从这批产品中按等比例分层抽样抽出10件产品，再从这10件产品中不放回地任取两件进行检测，记事件“第一次取出的产品是乙生产的”，“第二次抽出的产品是甲生产的产品”，分别求； (2)现从这批产品中任取一件产品，已知它是次品，求这件产品是由丙生产的概率. 37．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)甲、乙两校进行乒乓球比赛，比赛规则为：①共进行奇数局比赛，且没有平局；②全部比完后，所胜局数多者获胜．现假设每局比赛甲校胜利的概率都是，并且各局比赛之间的结果互不影响． (1)时，若两校共进行5局比赛．记事件A表示“在前3局比赛中甲胜1局”，事件B表示“甲最终胜利”，求； (2)时，若两人共进行且）局比赛．记事件表示“在前局比赛中甲赢了k局”．事件B表示“甲最终获胜”．请计算 的值； (3)若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为．证明：时，． ( 地 城 考点0 6 分布列期望方差 ) 38．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 39．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)若随机变量满足（其中为常数），则（   ） A． B． C． D． 40．(24-25高二下·湖北荆州·期末)抛掷一枚质地均匀的骰子一次，若出现的点数为3的倍数得10分，否则得1分，则得分的均值（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 41．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)从装有4个白球，2个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分，按照规则从盒子中任意抽取2个球，所得分数的期望为（   ） A． B．2 C． D． 42．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)设随机变量的分布列为 1 2 3 4 k 2k 3k 4k 则________． 43．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 44．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，乙的卡片上分别标有数字2，4，6.两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的得1分，数字小的得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则三轮比赛后，甲总得分的数学期望为__________. 45．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三个年级共分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望__________. 46．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复次这样的操作，记A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为，则________，的数学期望________.（用表示） 47．(24-25高二下·湖北孝感高级中学·期末)已知甲､乙两位同学参加某知识竞赛活动，竞赛规则是：以抢答的形式进行，共有7道题，抢到并回答正确者得1分，答错则对方得1分，当其中一人得分领先另一人3分或7道题全部答完时比赛结束.甲､乙两人抢到每道题的概率都是，甲正确回答每道题的概率均为，乙正确回答每道题的概率均为，且两人每道题是否回答正确均相互独立 (1)求答完前两道题后两人各得1分的概率； (2)设随机变量X为比赛结束时两人的答题总个数，求X的分布列和数学期望. 48．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)某车间有3台大型机床，一个月内每台机床至多发生1次故障且每台机床是否发生故障相互独立，每台机床发生故障的概率为，发生故障时需1名工人进行维修． (1)若发生故障的车床数为，求的分布列； (2)车间至少安排多少名工人，才能保证每台机床在任何时刻同时出现故障时能及时维修的概率不低于？ (3)已知每名工人每月的工资为1万元，且1名工人每月至多只能维修1台机床，每台机床不发生故障或发生故障能及时维修，就能为该车间产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该车间现有1名工人，求该车间每月获利的均值． 49．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)在维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与对应坐标差的绝对值之和，即为.基本事实：①在三维空间中，以单位长度为棱长的立方体的顶点坐标可用三维坐标表示，其中；②在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，并称其为“维立方体”，其中.请根据以上定义和基本事实回答下面问题： (1)若该“维立方体”为三维立方体，以单位长度为边长，从该立方体所有顶点中随机任取不同两点，求该两点曼哈顿距离为3的概率； (2)记随机变量为“维立方体”中任意两个不同顶点间的曼哈顿距离， ①时，求的最大值及此时相应的的值； ②求的分布列和数学期望. 50．(24-25高二下·湖北襄阳·期末)有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．游戏规定：每位参与者进行次摸球，每次从袋中摸出一个球，有两种摸球方式：一是（有放回摸球）每次摸球后将球均放回袋中，再进行下一次摸球，摸到红球的次数记为X；二是（不放回摸球）每次摸球后将球均不放回袋中，直接进行下一次摸球，摸到红球的次数记为Y． (1)若， （ⅰ）求随机变量Y的分布列和数学期望； （ⅱ）游戏规定摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖，在这个规则下，设有放回摸球中奖概率为，无放回摸球中奖概率为，求和并比较它们大小． (2)若，当取得最大时的k值满足（，），若函数与有两个不同的公共点，求a的取值范围． ( 地 城 考点0 7 与数列结合 ) 51．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为______. 52．(24-25高二下·湖北荆州·期末)（多选）甲、乙、丙三名球员进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 53．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)（多选）甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在丙手上的概率是 C．2026次传球后球在甲手上的概率小于 D．次传球后球在乙手上的概率是 54．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球. (1)求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率； (2)停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望； (3)若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求. 55．(24-25高二下·湖北七州·期末)甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：（一）每局胜者得1分，负者得0分；（二）若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. (1)求； (2)记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望； (3)若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式. 56．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)某单位食堂有两个餐厅，员工每天中午必须在其中一个餐厅就餐.员工小王第一天午餐时随机选择一个餐厅，如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.7；如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.4. (1)小王第二天选择餐厅就餐的概率； (2)若餐厅拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小王从这些菜品中随机选择3种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值； (3)设员工小王第天选择餐厅就餐的概率为，求. 57．(24-25高二下·湖北恩施州·期末)甲乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分；平局两人均不计分.按照规则，当一方的得分比另一方多2分时即获胜，比赛结束.已知每局中，甲获胜概率为，乙获胜概率为，平局的概率为，且每局互不影响，相互独立. (1)求甲在进行了3局后获胜的概率； (2)若进行n局后，记甲领先1分的概率为，甲乙持平的概率为，求证：存在实数，使得为等比数列； (3)记甲乙两人进行m局后恰好分出胜负的概率为，求 58．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)现有枚质地不同的游戏币，，，，向上抛出游戏而后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这枚游戏币玩游戏. (1)甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并求出当为何值时，最大； (2)甲将游戏币，向上抛出，用表示落下时正面朝上的游戏币的个数，求的分布列； (3)将这枚游戏币按，，，的顺序依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 59．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据： 性别 锻炼 不经常 经常 女生 40 60 男生 20 80 (1)依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； (2)为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动.在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.求第次传球后球在乙手中的概率； (3)记第次传球时，乙接到球的次数为，则服从两点分布，且，设前次传球后，乙接到球的总次数为，且总成立，求实数的最小值. 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $