专题01 数列（9大考点）（期末真题汇编，湖北专用）高二数学下学期

**基本信息** 聚焦数列9大高频考点，汇编湖北、北京等地高二期末真题，涵盖等差等比基础、递推关系、三种求和方法及概率结合创新题型，适配期末复习与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约15题|等差数列前n项和（题2）、等比数列通项（题3）、周期数列（题7）|基础题注重公式应用，多选题综合等差等比性质（题16）| |填空题|4题|裂项相消求和（题11）、概率结合数列（题24局部等差数列）|简洁考查核心方法，创新设问如局部等差数列定义| |解答题|约11题|错位相减求和（题13）、递推求通项（题10）、概率与数列综合（题26传球问题）|分层设计，从单一求和到概率递推模型（题20传球概率），贴合高考综合命题趋势|

专题01 数列 9大高频考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03周期数列 考点04数列递推 考点05分组求和 考点06裂项相消求和 考点07错位相减求和 考点08多选题多考点综合 考点09与概率结合 ( 地 城 考点01 等差数列 ) 1．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)已知等差数列的公差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的定义求解即可. 【详解】因为等差数列的公差为，所以. 故选：C. 2．(24-25高二下·湖北七州·期末)已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．100 B．110 C．115 D．120 【答案】B 【分析】根据题意，结合等差数列的性质和等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为等差数列中，，可得， 由等差数列的性质，可得. 故选：B. ( 地 城 考点02 等比数列 ) 3．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)已知数列为等比数列，其前项和，则首项（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出，，，根据等比中项的性质求出答案. 【详解】当时，，当时，， 当时，，故， ， 由于为等比数列，故，故， 故选：A 4．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)若等比数列满足，，则（   ） A． B． C．16 D．32 【答案】B 【分析】根据已知条件可建立关于首项和公比的方程组，计算出首项和公比后即可计算出即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则由，， 得，，解得，， 则. 故选：B. 5．(24-25高二下·湖北七州·期末)已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设数列公比为q，由题可得，可解得，利用等比数列前项和公式计算可得答案. 【详解】设数列公比为q，因，则， 由题可得，则，则或（舍去）. 则. 故选：D. 6．(24-25高二下·北京昌平区·期末)设等差数列的公差为d，前n项和为 等比数列 的公比为q.若 (1)求数列 的通项公式； (2)求和: 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用求出可得；求出可得 ； （2）利用等比数列求和公式可得答案. 【详解】（1）若 则，解得， 所以； ，所以，则； （2）由（1）， 所以 . ( 地 城 考点0 3 周期数列 ) 7．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)记数列的前项和为，且，则________. 【答案】/ 【分析】根据数列的周期为8，计算得解. 【详解】时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，； 时，；时，， 所以数列是周期为8的周期数列， 且， 所以，. 故答案为：. ( 地 城 考点0 4 数列递推 ) 8．(24-25高二下·湖北荆州·期末)由组成允许有重复数字的自然数，将所得的自然数按照从小到大的顺序排成一列，构成无穷数列，若，则（    ） A．64 B．65 C．72 D．73 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理列式计算得解. 【详解】将1位数、2位数补成3位数，比如将6看成006，将24看成024， 由乘法原理知，由1个、2个、3个数字组成的数有个， 数列中的四位数按照从小到大的顺序排列：， 所以2026是第项. 故选：C 9．(24-25高二下·湖北八校·期末)已知数列的前n项和是，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推公式，求出数列奇数项和偶数项各自的性质，再根据等比数列求和公式，求出数列前2025项的和. 【详解】因为，所以， 又，所以数列是首项为3，公比为4的等比数列. 因为，， 所以数列是首项为24，公比为4的等比数列. 所以， 故选：C. ( 地 城 考点0 5 分组求和 ) 10．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)已知为数列的前n项和，当时，，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定的递推关系，结合及等比数列定义求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用累加法求出，再利用分组求和法及等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，即， 而，，即，则， 数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以. （2）由，得当时，， 则 ，而满足上式，因此， 所以 . ( 地 城 考点0 6 裂项相消求和 ) 11．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)已知数列既是等差数列又是等比数列，且，则数列的前项的和__________． 【答案】 【分析】根据数列既是等差数列又是等比数列的性质确定数列的特点，进而得到的表达式，再求出，最后计算前项和. 【详解】因为数列既是等差数列又是等比数列， 所以数列是非零的常数列，设（为常数）， 已知，将代入可得：，即，解得. 所以，化简可得：. 所以. 故答案为：. 12．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用和的关系可求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可求. 【详解】（1）由题可得，所以. 当时，.                                    当时，. 因为不满足上式，. （2）由（1）知，. 当时，. 当时，，            所以 .                                   又满足上式，. ( 地 城 考点0 7 错位相减求和 ) 13．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列中，设公差为，由已知可求得等差数列的通项公式，利用及，可得公比和首项，进而可得数列的通项； （2）利用，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论. 【详解】（1）等差数列中，设公差为， 则 由得：时， 时， 为公比为2的等比数列， （2）数列中，． 则 所以 故 所以 14．(24-25高二下·湖北七州·期末)已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用与的关系式，及构造法即可证明； （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）证明：①当时，， ②当时 ，， 则， 整理得： ∴，又， ∴是以2为首项，4为公比的等比数列； （2）由（1）得：， ∴， ∴，① ，② 由②①得： ， ∴. ( 地 城 考点0 8 多选题多考点综合 ) 多选题 15．(24-25高二下·湖北武汉武昌区·期末)已知数列满足，则（   ） A． B．数列是单调递增数列 C．数列不是等差数列 D．数列不是等比数列 【答案】ACD 【分析】令，可求出，然后当时，由，得，两式相减可求出，即可判断选项. 【详解】当时，，A正确； 当时，由， 得， 两式相减得，， 化简得， 因为不满足此式，所以， 由于，所以数列不是单调递增数列，B错误； CD正确. 故选：ACD 16．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)已知数列，下列命题正确的有（   ） A．若为正项等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列 B．若为正项等比数列，则为等差数列 C．满足：，则 D．已知为的前项积，若，则 【答案】ABD 【分析】分以及，结合等比数列的求和公式，即可判断A；由等比数列的定义判断B；根据特例判断C；根据等差数列的定义及通项公式判断D. 【详解】对于A，当时，， 显然，，，是以为首项，以为公比的等比数列； 当时，， ， 所以，，则，，，成等比数列，公比为，故A正确； 对于B，设等比数列的公比为，则， 则是个常数，所以为等差数列，故B正确； 对于C，依题意，，它不满足，故C错误； 对于D，，当时，，即，解得， 当时，，于是，即， 数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以，且也满足，故D正确； 故选：ABD. 17．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)已知数列共有项，且满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列是公差为或公差为的等差数列 B．的最小值是，最大值是 C．若，则满足条件的数组的组数共有组 D．符合已知条件且满足的数列的个数为个 【答案】BCD 【分析】由题意得或，对比等差数列的定义可判断A；分和两种情况求的最小值和最大值即可判断B；由知，，，，这4组的数只能为2或1，结合组合数可判断C；由知，的数只能为2或1，结合组合数可判断D. 【详解】对于A，由得：或，前后两项差为1或2，不一定是等差数列，故A不正确； 对于B，当为等差数列时，且，最小为，，最大为18，故B正确； 对于C，，，而，，，这4组的数只能为2或1，它们的和为6，故有2个1，2个2，故有种，故C正确； 对于D，由，则，每个的数只能为2或1，故有，故D正确． 故选：BCD. 18．(24-25高二下·湖北七州·期末)已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是以2 为公比的等比数列 B．若，则数列是以2为公差的等差数列 C．若，则数列是以1为公差的等差数列 D．若，则数列是以为公差的等差数列 【答案】BC 【分析】本题可根据数列的前项和与的关系、等差数列和等比数列的定义，对选项逐一分析即可. 【详解】对于选项A，已知，当时，； 当时，. 当时，，所以数列不是等比数列，A错误. 对于选项B，由，两边取倒数可得，即. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，B正确. 对于选项C，由，两边同时除以可得： ，即. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，C正确. 对于选项D，由，移项可得，两边同时除以得. 又，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，D错误. 故选：BC . ( 地 城 考点0 9 与概率结合 ) 19．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)从、、、、中按从小到大的顺序取三个不同的数组成数列，则数列是等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设取出的个不同的数分别为、、，结合等差数列的性质分析可知故、同为奇数或同为偶数，与确定后，随之而定，利用古典概型的概率公式求解可得答案. 【详解】设取出的个不同的数分别为、、，不同的取法共有种， 若、、构成等差数列，则有. 故、同为奇数或同为偶数，且与确定后，随之而定. 从而所求概率为. 故选：C. 20．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第n次球在甲手中的概率表达式，由于乙、丙地位对称，求出第n次球在甲手中的概率由对立事件即可得到经过次传球后，球恰在乙手中的概率. 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第n次球在乙手中”，“第n次球在丙手中”， 那么由题意可知可知：，又， 所以，可构造等比数列， ， 因为第一次由甲传球，可认为第0次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故，所以， 因为第一次由甲传球，之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人， 所以乙、丙地位对称，即，所以经过n次传球后， 球恰在乙手中的概率为. 故选：D. 21．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使记，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据计数原理计算出满足的事件的个数以及事件的总数，再根据古典概率公式即可求解. 【详解】投掷7次必须5次正面向上，2次反面向上，抛掷7次不同结果有种，故. 故选：A 22．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（    ） A．投掷2次骰子，最终得分的期望为 B．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 C．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 D．设最终得分为分的概率为，则 【答案】D 【分析】由离散型随机变量的分布列求解数学期望即可判断选项A；投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，求出，然后利用错位相减法求和即可判断选项B；计算出，即可判断选项C；最终得分，前一次要么是分，要么是分，所以，即可判断选项D. 【详解】对于A，投掷2次可能的取值为2，3，4，，， ，，故A错误； 对于B，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分， ， 所以， 设， 则， 所以， 所以， 则，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，投掷骰子一次要么得1分，要么得2分， ∴最终得分，前一次要么是分，要么是分， 故，故D正确； 故选：D. 23．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复次这样的操作，记A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为，则________，的数学期望________.（用表示） 【答案】 【分析】利用全概率公式，构造概率递推公式，再由数列中的递推求通项思想即可. 【详解】经过第一次操作得：，， 经过第二次操作得：；. 根据全概率公式可知：， ， 两式相加可得， 则：，时，， 所以，， 因为，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以. 故答案为：①；②. 24．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为______. 【答案】/0.2 【分析】先求出一共有的情况数，并列举出满足要求的情况数，相除可得概率. 【详解】依次抽取4个数构成一个数列，共有种情况， 依题意数列中仅连续三项等差，这三项可以为2，4，6（或6，4，2）； 4，6，8（或8，6，4）；6，8，10（或10，8，6）；2，6，10（或10，6，2）四类， 其中2，4，6（或6，4，2）有6种情况， 分别是8，2，4，6；10，2，4，6；2，4，6，10；6，4，2，8；6，4，2，10；10，6，4，2； 4，6，8（或8，6，4）有4种情况， 分别是10，4，6，8；4，6，8，2；8，6，4，10；2，8，6，4； 6，8，10（或10，8，6），有6种情况， 分别是2，6，8，10；6，8，10，2；6，8，10，4； 2，10，8，6；10，8，6，2；4，10，8，6； 2，6，10（或10，6，2）有8种情况， 分别为4，2，6，10；8，2，6，10；2，6，10，4；2，6，10，8； 4，10，6，2；8，10，6，2；10，6，2，4；10，6，2，8； 列举可得共有种情形. 则概率为. 故答案为： 25．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在丙手上的概率是 C．2026次传球后球在甲手上的概率小于 D．次传球后球在乙手上的概率是 【答案】AD 【分析】列举出经2次、3次传球后的所有可能，再利用古典概率公式计算作答可判断AB；设次传球后球在甲手上的概率为，则，再构造等比数列可求出，将代入计算可判断C；同理可求得n次传球后球在乙手上的概率，即可判断D. 【详解】第一次甲将球传出后，2次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共4个结果，它们等可能， 2次传球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，2个结果，所以概率是，故A正确； 第一次甲将球传出后，3次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8个结果，它们等可能， 3次传球后球在丙手中的事件有：甲乙甲丙，甲丙甲丙，甲丙乙丙，3个结果，所以概率为，故B错误； 设次传球后球在甲手上的概率为，则，即， 而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则， 故，当时，，故C错误； 同理，设次传球后球在乙手上的概率为，则，即， 由题意，，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则， 故，故D正确. 故选：AD. 26．(24-25高二下·湖北恩施州·期末)甲乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分；平局两人均不计分.按照规则，当一方的得分比另一方多2分时即获胜，比赛结束.已知每局中，甲获胜概率为，乙获胜概率为，平局的概率为，且每局互不影响，相互独立. (1)求甲在进行了3局后获胜的概率； (2)若进行n局后，记甲领先1分的概率为，甲乙持平的概率为，求证：存在实数，使得为等比数列； (3)记甲乙两人进行m局后恰好分出胜负的概率为，求 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，. 【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式可得答案； （2）进行第n局后，设乙领先1分的概率为，根据对称性有，从而，，根据等比数列的定义可得答案； （3）求出公比，根据，，求出可得答案. 【详解】（1）甲在第3局后胜出的得分情况为，即（甲胜，平局，甲胜）或 （平局，甲胜，甲胜）， 概率为； （2）进行第n局后，设乙领先1分的概率为，根据对称性有， 从而， ， ， 所以，解得， 所以当时，是公比为的等比数列； （3）由（2）可知，当，，公比为， 所以①， 当，，公比为， 所以②， ②①可得， 要使得m局后恰好分出胜负，那么， 则， 所以，. 27．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据： 性别 锻炼 不经常 经常 女生 40 60 男生 20 80 (1)依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； (2)为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动.在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.求第次传球后球在乙手中的概率； (3)记第次传球时，乙接到球的次数为，则服从两点分布，且，设前次传球后，乙接到球的总次数为，且总成立，求实数的最小值. 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系 (2) (3) 【分析】（1）写出零假设，相关数据代入公式求出，判断与临界值的大小得出结论； （2）设次传球后球在乙手中的概率为，根据全概率公式写出的递推公式，利用构造法求的通项公式； （3）根据两点分布的期望及期望的性质写出，然后利用等比数列的求和公式化简，分析得出恒成立，由随奇数的增大而减小知. 【详解】（1）零假设：学生性别与体育锻炼的经常性无关，则 ， 故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； （2）设次传球后球在乙手中的概率为， 则第次传球后球不在乙手中的概率为， 所以， 所以，其中， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 故， 故第次传球后球在乙手中的概率为； （3）由（2）知， 故 ， 所以， 又总成立，设，只需要， 当最大时，必定为奇数，而随奇数的增大而减小， 故当时，最大值， 所以，故实数的最小值为. 28．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)现有枚质地不同的游戏币，，，，向上抛出游戏而后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这枚游戏币玩游戏. (1)甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并求出当为何值时，最大； (2)甲将游戏币，向上抛出，用表示落下时正面朝上的游戏币的个数，求的分布列； (3)将这枚游戏币按，，，的顺序依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3)不公平，理由见解析 【分析】（1）利用二项分布求概率分布列及其期望即可； （2）利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式来计算即可得分布列； （3）利用递推思想,构造等差数列来求出，从而得到判断. 【详解】（1）依题意得，每次抛游戏币落下时正面向上的概率均为， 故，于是. ， ， 当时，，当时，， 当时，最大. （2）记事件为“第枚游戏币向上抛出后，正面朝上”， 则，，2，可取0，1，2. 由事件相互独立， 则， ， ， 故的分布列为11分 Y 0 1 2 （3）记抛第枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为，， 表示抛后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，故， 故当时， ， 即，即，. 记，则，， 故数列是首项为，公差为1的等差数列， 故，则， 故，，则，因此不公平. 29．(24-25高二下·湖北七州·期末)甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：（一）每局胜者得1分，负者得0分；（二）若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. (1)求； (2)记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望； (3)若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）第二局比赛结束时比赛停止，即甲连赢2局或连输2局，列式即可求解； （2）的可能取值为2，4，6，结合题意分析列式求出相应概率，列出分布列，再根据期望公式求解即可； （3）当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则，当为偶数时，，利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】（1）由得：或， ∵，∴； （2）的可能取值为2，4，6， 由（1）知，当时 ，， ， ， 所以的分布列如表所示： 2 4 6 的均值为； （3）由题可得， 当为奇数（）时，第局没有停，甲乙得分均为分，则， 当为偶数时，， ∴当为偶数时，数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴， 当为奇数时，为偶数， ∴，当时，也满足. 所以通项公式. 30．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)某单位食堂有两个餐厅，员工每天中午必须在其中一个餐厅就餐.员工小王第一天午餐时随机选择一个餐厅，如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.7；如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.4. (1)小王第二天选择餐厅就餐的概率； (2)若餐厅拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小王从这些菜品中随机选择3种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值； (3)设员工小王第天选择餐厅就餐的概率为，求. 【答案】(1)0.45 (2)最大值为，或4. (3) 【分析】（1）抽象为全概率公式，结合题意，代入数据，即可求解； （2）首先根据组合数公式，结合古典概型概率公式，得到，设最大，则，列式求解； （3）首先根据全概率公式，列出的递推关系式，利用构造法求通项公式. 【详解】（1）根据题意，设“第i天在餐厅就餐”为事件，设“第i天在餐厅就餐”为事件， 则 （2）可能的取值为， 大为， 令， 设最大，则 即 所以，因为为正整数， 所以当， 故的最大值为，此时或4. （3）根据题意，设， 则， 则有 ， 则有，即， 变形可得， 又由，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， 所以， 故. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数列 9大高频考点概览 考点01等差数列 考点02等比数列 考点03周期数列 考点04数列递推 考点05分组求和 考点06裂项相消求和 考点07错位相减求和 考点08多选题多考点综合 考点09与概率结合 ( 地 城 考点01 等差数列 ) 1．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)已知等差数列的公差为，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二下·湖北七州·期末)已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．100 B．110 C．115 D．120 ( 地 城 考点02 等比数列 ) 3．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)已知数列为等比数列，其前项和，则首项（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)若等比数列满足，，则（   ） A． B． C．16 D．32 5．(24-25高二下·湖北七州·期末)已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．(24-25高二下·北京昌平区·期末)设等差数列的公差为d，前n项和为 等比数列 的公比为q.若 (1)求数列 的通项公式； (2)求和: ( 地 城 考点0 3 周期数列 ) 7．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)记数列的前项和为，且，则________. ( 地 城 考点0 4 数列递推 ) 8．(24-25高二下·湖北荆州·期末)由组成允许有重复数字的自然数，将所得的自然数按照从小到大的顺序排成一列，构成无穷数列，若，则（    ） A．64 B．65 C．72 D．73 9．(24-25高二下·湖北八校·期末)已知数列的前n项和是，且满足，则（    ） A． B． C． D． ( 地 城 考点0 5 分组求和 ) 10．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)已知为数列的前n项和，当时，，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前n项和． ( 地 城 考点0 6 裂项相消求和 ) 11．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)已知数列既是等差数列又是等比数列，且，则数列的前项的和__________． 12．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)已知是数列的前项和，数列是首项为3，公比为3的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和. ( 地 城 考点0 7 错位相减求和 ) 13．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． (1)求和的通项公式； (2)若，求数列{}的前n项和为． 14．(24-25高二下·湖北七州·期末)已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和. ( 地 城 考点0 8 多选题多考点综合 ) 多选题 15．(24-25高二下·湖北武汉武昌区·期末)已知数列满足，则（   ） A． B．数列是单调递增数列 C．数列不是等差数列 D．数列不是等比数列 16．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)已知数列，下列命题正确的有（   ） A．若为正项等比数列，为其前项和，则，，，成等比数列 B．若为正项等比数列，则为等差数列 C．满足：，则 D．已知为的前项积，若，则 17．(24-25高二下·湖北武汉新洲区第一中学邾城校区·期末)已知数列共有项，且满足，，则下列说法正确的是（    ） A．数列是公差为或公差为的等差数列 B．的最小值是，最大值是 C．若，则满足条件的数组的组数共有组 D．符合已知条件且满足的数列的个数为个 18．(24-25高二下·湖北七州·期末)已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是以2 为公比的等比数列 B．若，则数列是以2为公差的等差数列 C．若，则数列是以1为公差的等差数列 D．若，则数列是以为公差的等差数列 ( 地 城 考点0 9 与概率结合 ) 19．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)从、、、、中按从小到大的顺序取三个不同的数组成数列，则数列是等差数列的概率为（   ） A． B． C． D． 20．(24-25高二下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为（   ） A． B． C． D． 21．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上和反面向上的概率都为，构造数列，使记，则的概率为（    ） A． B． C． D． 22．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（    ） A．投掷2次骰子，最终得分的期望为 B．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 C．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 D．设最终得分为分的概率为，则 23．(24-25高二下·湖北武汉五校联合体·期末)A、B两个箱子中各装有3个产品，其中A箱子中是2个正品和1个次品，B箱子中是3个次品.现从A、B两箱子中各取一个产品交换放入另一箱子中，重复次这样的操作，记A箱子中正品个数为，恰有2个正品的概率为，恰有1个正品的概率为，则________，的数学期望________.（用表示） 24．(24-25高二下·湖北黄冈·期末)若数列不是等差数列，但使得，那么称数列为“局部等差数列”.若从集合中依次抽取4个数构成一个数列，则数列为局部等差数列的概率为______. 25．(24-25高二下·湖北武汉重点中学5G联合体·期末)甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（    ） A．2次传球后球在甲手上的概率是 B．3次传球后球在丙手上的概率是 C．2026次传球后球在甲手上的概率小于 D．次传球后球在乙手上的概率是 26．(24-25高二下·湖北恩施州·期末)甲乙两人进行象棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分；平局两人均不计分.按照规则，当一方的得分比另一方多2分时即获胜，比赛结束.已知每局中，甲获胜概率为，乙获胜概率为，平局的概率为，且每局互不影响，相互独立. (1)求甲在进行了3局后获胜的概率； (2)若进行n局后，记甲领先1分的概率为，甲乙持平的概率为，求证：存在实数，使得为等比数列； (3)记甲乙两人进行m局后恰好分出胜负的概率为，求 27．(24-25高二下·湖北仙桃·期末)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据： 性别 锻炼 不经常 经常 女生 40 60 男生 20 80 (1)依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； (2)为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动.在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.求第次传球后球在乙手中的概率； (3)记第次传球时，乙接到球的次数为，则服从两点分布，且，设前次传球后，乙接到球的总次数为，且总成立，求实数的最小值. 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 28．(24-25高二下·湖北咸宁·期末)现有枚质地不同的游戏币，，，，向上抛出游戏而后，落下时正面朝上的概率为.甲、乙两人用这枚游戏币玩游戏. (1)甲将游戏币向上抛出10次，用表示落下时正面朝上的次数，求的期望，并求出当为何值时，最大； (2)甲将游戏币，向上抛出，用表示落下时正面朝上的游戏币的个数，求的分布列； (3)将这枚游戏币按，，，的顺序依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由. 29．(24-25高二下·湖北七州·期末)甲乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：（一）每局胜者得1分，负者得0分；（二）若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. (1)求； (2)记表示比赛停止时已比赛的局数，求的分布列及数学期望； (3)若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设为比赛进行局后仍未停止比赛的概率，求数列的通项公式. 30．(24-25高二下·湖北武汉部分重点中学·期末)某单位食堂有两个餐厅，员工每天中午必须在其中一个餐厅就餐.员工小王第一天午餐时随机选择一个餐厅，如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.7；如果前一天选择餐厅就餐，那么后一天选择餐厅就餐的概率为0.4. (1)小王第二天选择餐厅就餐的概率； (2)若餐厅拟提供2种品类的素菜，种品类的荤菜，员工小王从这些菜品中随机选择3种菜品，记选择素菜的种数为，求的最大值，并求此时的值； (3)设员工小王第天选择餐厅就餐的概率为，求. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $