精品解析：湖北省武汉市新洲区第一中学邾城校区2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

新洲一中2026届高二第二学期期末考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列为等比数列，其前项和，则首项（ ） A. B. C. D. 2. 某班从包括甲乙在内的名学生中，选择人参加植树活动，则甲乙两人至多一人参加的方法数有（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题 ：“，”，则命题是假命题充要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线是曲线的切线，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（ ） A. B. C. D. 6. 随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数是定义域为的偶函数， 且，恒有，若，则不等式的解集为（ ） A B. C. D. 8. 袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若展开式所有二项式系数之和为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 展开式中所有项系数和为 C. 展开式中的常数项为 D. 展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项 10. 已知在区间上单调递减，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知数列共有项，且满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是公差为或公差为的等差数列 B. 的最小值是，最大值是 C. 若，则满足条件的数组的组数共有组 D. 符合已知条件且满足的数列的个数为个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图像过点，若函数为奇函数，则实数__________． 13. 已知数列既是等差数列又是等比数列，且，则数列的前项的和__________． 14. 已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数a的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知数列为等差数列，，，数列的前n项和为，且满足． （1）求和的通项公式； （2）若，求数列{}的前n项和为． 17. 已知函数在上的最大值为，集合. （1）求的值，并用区间的形式表示集合； （2）若，对，都，使得，求实数的取值范围. 18. 某市为了了解高三学生高考考完后平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了位高考考完后的学生，将这位学生每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为五组，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求的值，并估计该市高三学生高考考完后每天体育锻炼时间的第80百分位数； （2）假设高考考完后学生中每天体育锻炼的时间达到60分钟及以上的为“运动达人”，若从样本中随机抽取一位学生，设事件“抽到的学生是运动达人”，“抽到的学生是男生”，且. （i）求和； （ii）假设有的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位学生. 附： 0.1 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 19. 已知函数，. （1）求的极值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新洲一中2026届高二第二学期期末考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列为等比数列，其前项和，则首项（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，，，根据等比中项的性质求出答案. 【详解】当时，，当时，， 当时，，故， ， 由于为等比数列，故，故， 故选：A 2. 某班从包括甲乙在内的名学生中，选择人参加植树活动，则甲乙两人至多一人参加的方法数有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】甲乙两人至多一人参加的对立事件为甲乙都参加，利用事件的对立面求方法数即可. 【详解】根据题意，名学生中，选择人参加植树活动共有种方法， 而甲乙都参加的情况有种方法， 则甲乙两人至多一人参加的方法数有种. 故选：C. 3. 已知命题 ：“，”，则命题是假命题的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】命题的否定“，”为真命题，即在上恒成立，则，然后求解即可. 【详解】因为命题是假命题，所以其否定“，”为真命题， 即在上恒成立，令，则， ，因为，所以令，得 ，令，得 ，所以在单调递减，在上单调递增， 又，所以，所以. 故选：A 4. 若直线是曲线的切线，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数几何意义，求导且导数值为2，从而得到切点，代入到曲线中，即可求参数. 【详解】根据题意，， 所以切点为，所以. 故选：C. 5. 已知两个线性相关变量与的统计数据如下表： 其回归直线方程是，据此计算，则样本点在处的残差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据样本中心点在回归直线方程上，可得的值，然后计算样本估计值，从而得到残差. 【详解】根据题意，， 又在回归直线方程上，所以， 所以回归直线方程为， 时，得到预估值为3.15， 所以样本点在处的残差为. 故选：B. 6. 随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二项分布概率公式求出的值，再根据正态分布的性质求出即可. 【详解】已知随机变量， 根据二项分布的概率公式可得， 则. 解得，. 已知，因为，且， 所以， 又因为， 所以. 故选：B 7. 函数是定义域为的偶函数， 且，恒有，若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，设，可判断函数的单调性及奇偶性，再利用单调性及奇偶性解不等式即可. 【详解】， ， 又，且，则，， 设，则， 所以在单调递增， 又函数是定义域为的偶函数，所以也是上的偶函数， 又，所以，即， 则，解得. 故选：C. 8. 袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定随机变量的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算. 【详解】随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则的可能取值为，，，. 表示在摸出个红球时停止摸球，没有摸到白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且只摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 期望. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若展开式的所有二项式系数之和为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 展开式中所有项的系数和为 C. 展开式中的常数项为 D. 展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项 【答案】AC 【解析】 【分析】由二项式系数和为64计算可判断A；令，代入计算可判断B；求得通项公式，令，解得，代入计算可判断C；根据二项式系数的性质即可判断D. 【详解】对于A，由二项式系数和为64得，解得，故A正确； 对于B，令得，故B 错误； 对于C，展开式通项为， 令，得，即常数项为，故C正确； 对于D，所有项的二项式系数为，最大的为， 对应的是第4项，故D错误. 故选：AC 10. 已知在区间上单调递减，则实数的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意结合对数函数的性质和复合函数的单调性求解实数的取值范围即可. 【详解】令，则, 令得，或. 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. , 的图像如图 由题意得，在区间上单调递减，且，恒成立. 若，则在区间上单调递减， 则，解得. 若，则在区间和上单调递减， 则或，解得. 故选：ABD. 11. 已知数列共有项，且满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是公差为或公差为的等差数列 B. 的最小值是，最大值是 C. 若，则满足条件的数组的组数共有组 D. 符合已知条件且满足的数列的个数为个 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意得或，对比等差数列的定义可判断A；分和两种情况求的最小值和最大值即可判断B；由知，，，，这4组的数只能为2或1，结合组合数可判断C；由知，的数只能为2或1，结合组合数可判断D. 【详解】对于A，由得：或，前后两项差为1或2，不一定是等差数列，故A不正确； 对于B，当为等差数列时，且，最小为，，最大为18，故B正确； 对于C，，，而，，，这4组的数只能为2或1，它们的和为6，故有2个1，2个2，故有种，故C正确； 对于D，由，则，每个的数只能为2或1，故有，故D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图像过点，若函数为奇函数，则实数__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据幂函数定义确定参数值，再结合对数型复合函数是奇函数计算求参. 【详解】由幂函数过点， 即，解得，所以为偶函数， 因为为奇函数，所以为奇函数， 所以， ，， 所以，，所以，则实数. 当时，定义域为关于原点对称， ，所以函数为奇函数， 故答案为：1. 13. 已知数列既是等差数列又是等比数列，且，则数列的前项的和__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列既是等差数列又是等比数列的性质确定数列的特点，进而得到的表达式，再求出，最后计算前项和. 【详解】因为数列既是等差数列又是等比数列， 所以数列是非零的常数列，设（为常数）， 已知，将代入可得：，即，解得. 所以，化简可得：. 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】令，则可得，结合的图象，即可得答案. 【详解】解：令， 则有， ∴， 如图，当或，，满足题意． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）时，根据题意可解集合，然后根据集合的交并补运算即可； （2）由，可得，讨论参数和的情况，根据列出不等式，再解不等式即可. 【小问1详解】 ,， 所以或， 当时，， 所以 【小问2详解】 由，则， 当时，，满足要求； 当时，，； 由，则， 综上，的取值范围是或. 16. 已知数列为等差数列，，，数列前n项和为，且满足． （1）求和的通项公式； （2）若，求数列{}的前n项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列中，设公差为，由已知可求得等差数列的通项公式，利用及，可得公比和首项，进而可得数列的通项； （2）利用，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论. 【小问1详解】 等差数列中，设公差为， 则 由得：时， 时， 为公比为2的等比数列， 【小问2详解】 数列中，． 则 所以 故 所以 17. 已知函数在上的最大值为，集合. （1）求的值，并用区间的形式表示集合； （2）若，对，都，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）通过换元，先求得的范围，通过对和讨论确定的值，再代入，利用对数函数的单调性求值域即可得解； （2）通过换元，，构造，将问题转化为，在有解，通过参变分类结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 令，则， 当时，，，（舍） 当时，，，满足， 故． ，，， 故集合 【小问2详解】 由集合，， 设，，则 故， 设 由题意得，，在有解， 故在有解， 所以，当且仅当时取等号. 18. 某市为了了解高三学生高考考完后平均每天体育锻炼的时间，在该市随机调查了位高考考完后的学生，将这位学生每天体育锻炼的时间（单位：分钟）分为五组，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求的值，并估计该市高三学生高考考完后每天体育锻炼时间的第80百分位数； （2）假设高考考完后的学生中每天体育锻炼的时间达到60分钟及以上的为“运动达人”，若从样本中随机抽取一位学生，设事件“抽到的学生是运动达人”，“抽到的学生是男生”，且. （i）求和； （ii）假设有的把握认为运动达人与性别有关，求这次至少调查了多少位学生. 附： 0.1 0.05 001 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）0.020，第80百分位数为60 （2）（i），；（ii）200位 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积和为1求出值，通过计算各组得概率可判断第80百分位数在上，进而可得结果； （2）（i）利用条件概率和全概率公式求解；（ii）根据列联表计算，对照临界值表列式求解即可. 【小问1详解】 频率为，频率为，频率为，频率为， ，， 故第80百分位数在上，， 故估计第80百分位数为60. 【小问2详解】 依据（1）由频率分布直方图得：，， ， ， ，解得：， ， （ii）可计算得：，，，， 可得如下列联表：（其中） 合计 合计 所以， ，故有的把握认为运动达人与性别有关至少要调查180位学生． 又因为第二组抽取的人数为,所以是50的整数倍，即至少要调查200位学生 19. 已知函数，. （1）求的极值； （2）若对于恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程有两个不等实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值为，无极小值； （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出极值情况； （2）求导，得到的单调性和最小值，得到，求出； （3）同构得到，设函数，则上式为，由单调性得到，令，，由（1）知函数的单调性和极值情况，从而得到，求出答案. 【小问1详解】 ，，则， 当时，；当时，； 故在上递增，在上递减， 所以的极大值为，无极小值； 【小问2详解】 由有意义可得， 因为，令得，令得， 故在递减，在上递增， 故对于恒成立， 则； 小问3详解】 由关于的方程有两个实根，得有两个不等实根， 整理得，则， 即， 设函数，则上式为， 因为在上单调递增，所以，即， 令，， 由（1）可知在上递增，在上递减， 的最大值为， 又因为，，，， 所以要想有两个根，只需要， 解得，所以的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $