第二讲 方程与不等式的解法 讲义 —2026年中考数学总复习知识点满分练

该初中数学中考复习讲义聚焦方程与不等式核心考点，涵盖一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程及不等式（组），按“概念-解法-应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、解题策略指导、题型归纳（经典例题+变式训练）及分层巩固训练，系统突破运算求解与实际应用难点。 亮点在于“问题驱动-模型建构”教学策略，如分式方程增根讨论培养逻辑推理能力，一元二次方程利润问题发展模型意识，设置“基础-提升-挑战”三级练习，配合真题限时训练，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师提供精准复习节奏把控依据。

第2讲 方程与不等式的解法 目 录 思维导图 3 中考分析 3 学习目标 4 知识要点 4 一、一元一次方程 4 1.方程和方程的解 4 2.等式的基本性质 4 3.解一元一次方程 5 4.一元一次方程的应用 5 二、二元一次方程组 6 1.二元一次方程（组）的有关概念 6 2.解二元一次方程组 6 3.二元一次方程组的应用 7 三、分式方程 7 1.分式方程 7 2.分式方程的解法 8 3.分式方程的应用 8 四、一元二次方程 8 1.一元二次方程的定义 8 2.一元二次方程的解法 8 3.一元二次方程的判别式 10 4.一元二次方程的根与系数的关系 10 5.一元二次方程的应用 10 五、不等式与不等式组 11 1.不等式 11 2.不等式的基本性质 12 3.解一元一次不等式 12 4.解一元一次不等组 12 5.一元一次不等式的应用 13 解题策略 13 题型归纳 14 题型一：一元一次方程的常考题型 14 题型三：分式方程 19 题型四：一元二次方程 22 题型五：不等式与不等式组 25 巩固提升 28 方程与不等式是中考数学的主干知识，通常呈现“基础+应用+综合”的考查层次。考查综合运用能力。命题趋势上，阅读量增大，与函数结合更紧密。 1.理解等式的基本性质，掌握一元一次方程的解法和基本步骤，会用一元一次方程解决实际问题 2.理解二元一次方程（组）的有关定义，能用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组；能用二元一次方程组解决实际生活问题 c，能解可化为一元一次方程的分式方程，会检验方程方程的解，并会用分式方程解决实际问题 3.理解分式方程的定义，能解可化为一元一次方程的分式方程，会检验方程方程的解，并会用分式方程解决实际问题 4.理解一元二次方程的概念，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根，了解一元二次方程的根与系数的关系；能针对具体问题列出一元二次方程并求解； 5.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集;会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式,解决简单的实际问题. 运算求解能力：准确解各类方程、不等式，特别是含参运算。 建模能力： 从实际问题中抽象出数学模型，找出等量或不等关系。 逻辑推理能力：涉及增根讨论、方案选择、分类讨论时的逻辑严密性。 几何直观与数形结合能力：将几何图形中的数量关系用代数式表示，或将代数问题转化为图形分析。 一、一元一次方程 1.方程和方程的解 ①方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。 ②方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。 ③方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 ④一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。 ⑤一元一次方程的标准形式：。 2.等式的基本性质 ①等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。 ②等式的性质：性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果，那么（为一个数或式子））。 性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等（如果，那么；如果，那么） 3.解一元一次方程 ①去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数（去分母时，若分子是多项式，要添括号）； ②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要漏乘括号里的项，不要弄错符号）； ③移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）； ④系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得方程的解为。 4.一元一次方程的应用 一元一次方程解应用题的常见类型有： ①．和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分关系和多少关系等； ②．增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）； ③．等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积=； ④．行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。 ⑤．航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； ⑥．调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系； ⑦．比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和； ⑧．年龄问题：大小两个年龄的差不会变； ⑨．工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1. ⑩．利润问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=； ⑪.数字问题：设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为； ⑫.储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）； 二、二元一次方程组 1.二元一次方程（组）的有关概念 ①二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． ②二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。 ③二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；组成方程组的两 个方程不必同时含有两个未知数， ④二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。 2.解二元一次方程组 ①代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. ②加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 3.二元一次方程组的应用 用一次方程（组）解决实际问题的一般步骤： ①审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； ②设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ③列：根据题中相等关系，列出方程（组）； ④解：解所列出的方程（组）； ⑤验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义 ⑥答：写出答案，包括单位. 三、分式方程 1.分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式； ②方程里含有分母； ③分母中含有未知数. 2.分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： ①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； ②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；要验根． ③解这个整式方程，求出整式方程的解； ④检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 3.分式方程的应用 ①列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． ②要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 四、一元二次方程 1.一元二次方程的定义 ①一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ②一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 2.一元二次方程的解法 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. ①直接开平方法（基础） 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. ②配方法（基础） 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. ③公式法 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： ④因式分解法 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤： 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 求解. 3.一元二次方程的判别式 ①根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. ②根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 方程有两个不相等的实根:； 方程有两个相等的实根：； 方程无实根. 4.一元二次方程的根与系数的关系 ①根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ ②要点诠释 一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝. 以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 5.一元二次方程的应用 ①列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． ②列一元二次方程解应用题中常见问题： 数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． 增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． 形积问题：1.利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． 2.利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程． 3.利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． ③列一元二次方程解应用题的“六字诀” 审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 解：准确求出方程的解． 验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 答：写出答案． 五、不等式与不等式组 1.不等式 ①不等式的定义：一般地，用符号“<”、“>”、“≥”、“≤”表示大小关系的式子叫作不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。 ②不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解； ③不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集； ④不等式解集的表示方法： 用最简的不等式表示，一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围； 用数轴表示，不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，形象的表明不等式的无限个解（注意：边界点和方向）。 2.不等式的基本性质 ①不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 若a＞b，则a±c＞b±c ②不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） ③不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 3.解一元一次不等式 ①一元一次不等式的概念：一般地，只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。 ②解一元一次不等式的一般步骤： 去分母：防止漏乘不含分母的项，乘以（或除以）负数时，不等号要改变方向，分子是多项式时，须加括号； 去括号：防止漏乘括号内的项和出现符号错误； 移项：过了不等号的项要变号； 合并同类项：防指计算错误； 系数化为1：除以负数时要改变不等号的方向。 4.解一元一次不等组 ①一元一次不等式组的概念：一般地关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组 ②.解一元一次不等式组： 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫作这个一元一次不等式组的解集。 由2个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况：同小取小；同大取大；大小小大取中间，大大小小取不到。 一元一次不等式组的解法： 第一步：分别求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集。 5.一元一次不等式的应用 ①用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. ②一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 1. 解方程（组）与不等式（组）：主要考查基本解法及数形结合思想。通常以选择题、填空题形式出现，考查等式基本性质、解法步骤及不等式解集的数轴表示，一般不单独考查，常融合于应用题中。 2.与方程、不等式的解有关的问题：考查逆向思维与分类讨论思想。常见题型包括：已知分式方程有增根或无解求参数；已知方程组解满足的关系（如互为相反数）求参数；二元一次方程组整数 3. 与一元二次方程的根有关的问题：重点考查判别式（△）和韦达定理（根与系数关系）的深层应用。如：判断根的情况、求参数取值范围、求与根有关的代数式值（如两根平方和）、构造一元二次方程等。 4. 用方程、不等式的知识解决营销问题：命题趋势贴近生活，考查模型观念与应用意识。常结合利润、折扣、进货范围等热点，通常为第一问列方程求价格，第二问列不等式（组）求进货方案 5.用方程、不等式的知识解决几何图形问题：重点考查数形结合与几何直观。通常以三角形、长方形为背景，利用边长关系、周长面积公式建立方程，或通过动点形成特殊图形（如等腰三角形）求时间或线段长。 6. 用方程、不等式的知识解决方案选择：命题强调应用意识与决策能力。常见类型包括“哪种购票方式更划算”、“选择哪家商场优惠”、“租车方案”等，通常需要列出两种方案的费用表达式进行比较。 7.用方程、不等式的知识解决行程问题：重点考查相遇、追及及水流问题。通常结合分式方程考查“提速前后时间差”问题，或结合不等式考查“速度至少为多少才能按时到达”，需要理解速度、时间、路程三量关系。 8. 用方程、不等式的知识解决动点问题：这是代数与几何的综合压轴点，考查动态思维与分类讨论。通常在几何图形中，点在线段或折线上运动，设运动时间t，用含t代数式表示线段，求面积关系或特殊位置时t的值。 题型一：一元一次方程的常考题型 经典例题 【例题1】若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形三边关系得出底边长，然后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴等腰三角形的腰长为2， 由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2， ∴这个等腰三角形的周长为． 故答案为：6． 【例题2】某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【答案】应分配名工人生产电压表． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，依题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表， 依题意得， 解得， 答：应分配名工人生产电压表． 【例题3】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号，移项合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】解：． ． ． ． 【变式训练1】汉服是汉民族的传统服饰，是中国“衣冠上国”、“礼仪之邦”、“锦绣中华”的体现，深受小朋友们喜爱．某汉服店老板购进了一批儿童汉服，若每件儿童汉服按标价的九折出售，则每件可赚10元；若按标价的六折出售，则每件亏损20元．求每件儿童汉服的进价． 【变式训练2】已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练3】下面是小畅解方程的解答过程． 解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 题型二：二元一次方程组 经典例题 【例题1】解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 【例题2】为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但剩余15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则空余出三辆车，且其余客车恰好坐满．求参加此次研学活动的师生共有多少人？ 【答案】参加此次研学活动的师生共有600人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设参加此次研学活动的师生共有x人，原计划租用甲种45座客车y辆，则租用乙种60座客车辆，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设参加此次研学活动的师生共有x人，原计划租用甲种45座客车y辆，则租用乙种60座客车辆， 根据题意得， 解得， 答：参加此次研学活动的师生共有600人． 【例题3】我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 【变式训练1】若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 【变式训练2】下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】解方程组：． 题型三：分式方程 经典例题 【例题1】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 【例题2】2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 【答案】实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天生产零件x个，由需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设原计划每天生产零件x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴（个）， 则实际完成任务的天数为：（天）， 答：实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天． 【例题3】解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以得： 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 原方程无解． 【变式训练1】解分式方程：． 【变式训练2】随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 【变式训练3】分式方程的解为 （    ） A． B． C． D． 题型四：一元二次方程 经典例题 【例题1】若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 【例题2】学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 【例题3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)当时，直接写出该方程的根． 【答案】(1)见解析； (2),． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）计算该一元二次方程根的判别式，并结合完全平方公式进行整理，即可解题； （2）将代入一元二次方程进行整理，再结合因式分解法解整理后的一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：由题知， ， 该方程总有两个实数根； （2）解：当时，关于x的一元二次方程为， 整理得， 则或， 解得，． 【变式训练1】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【变式训练2】湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？ 【变式训练3】关于方程，下列说法不正确的是（   ） A．该方程是一元二次方程 B．解方程时，两边同时除以即可 C．该方程适合用因式分解法求解 D．该方程有两个不等的实数根 题型五：不等式与不等式组 经典例题 【例题1】解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 【例题2】阅读下面的材料，回答问题： 在学习不等式的过程中，创新组李岚同学遇到了这样的一个难题：如果，求x的取值范围．组长张鑫同学这样思考：根据“两数相乘，同号为正，异号为负”的有理数乘法法则，将原不等式化为两个一次不等式去解：根据题意，得或，分别解这两个不等式组． 【答案】前不等式组无解，后不等式组解得 【分析】本题考查了解一元一次不等式组；分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组无解； ， 解不等式③得：， 解不等式④得：， 则不等式组的解集为． 【例题3】解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解为． 在数轴上表示为： 【变式训练1】不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】解不等式组并写出它的所有整数解． 【变式训练3】不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 1.《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A. B. C. D. 2.若是方程的解，则（　　） A．1 B．3 C． D． 3.把方程配方，得（    ） A． B． C． D． 4.根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材2 考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，且扫把簸箕套装不少于50套 素材3 商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 5.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马追上慢马的天数是x天，可列方程为（   ） A． B． C． D． 6.若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（   ） A． B．且 C． D．且 7.若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 8.某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季清货，商场决定将这批服装按标价的五折销售，若打折后每件服装仍能获利，则该服装标价是（   ） A．600元 B．580元 C．500元 D．480元 9.如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律， (1)则第5个图案中有______个六边形； (2)用含n的代数式表示第n个图案中六边形的个数； (3)若第n个图案中有601个六边形，求n的值． 10.方程的解为（   ） A． B． C． D． 11.一元一次方程的解为 ． 12.甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则_____99_______． 13.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 14.方程的解是 ． 15.下图是用相同的木棒拼成的图形，其中第1个图形用了9根木棒，第2个图形用了13根木棒，第3个图形用了17根木棒……． (1)拼第5个图形需要用______根木棒． (2)按上面的规律继续拼，是否存在某个图形，共用了根木棒?若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 16.为落实国家关于中学生信息素养提升的若干要求，提升学生的信息素养，南湖未来学校举行了中学生信息素养提升实践活动．据统计，七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个，求七年级创作的作品有多少个． 17.若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是______． 18.学习情境·阅读理解  阅读下列材料：设，则，则由，即．所以．根据上述提供的方法把列两个数化成分数____________，___________． 19.解方程组：． 20.（1）解方程：．      （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 21.如图所示的是由若干个大小相同的黑色小正方形和白色小正方形组成的一组有规律的图案．图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，以此类推． 【规律总结】 （1）图中黑色正方形的个数是__________． （2）图中黑色正方形的个数是__________（用含的代数式表示）． 【问题解决】 （3）现有块黑色小正方形，若按此规律，可以拼得第几个图形？请说明理由． 22.如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    23.解方程：． 24.赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给赋不同的值，可得的值为__________． 25.人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么． (1)在校两名中学生的对话：甲同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次”，乙同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数才136次”．请你判断甲乙两名同学谁的说法是错误的?并说明理由． (2)若一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12，用列方程的方法确定． 26.已知关于的方程． (1)求证：无论常数取何值，方程总有实数根； (2)当整数取何值时，方程有两个整数根？ 27.某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 28.赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元． (1)求精品果和普通果每箱的价格； (2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱． 29.对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值． 30.为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．求甲乙两公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装间教室，请根据题意列出方程________________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 方程与不等式的解法 目 录 思维导图 3 中考分析 3 学习目标 4 知识要点 4 一、一元一次方程 4 1.方程和方程的解 4 2.等式的基本性质 4 3.解一元一次方程 5 4.一元一次方程的应用 5 二、二元一次方程组 6 1.二元一次方程（组）的有关概念 6 2.解二元一次方程组 6 3.二元一次方程组的应用 7 三、分式方程 7 1.分式方程 7 2.分式方程的解法 8 3.分式方程的应用 8 四、一元二次方程 8 1.一元二次方程的定义 8 2.一元二次方程的解法 8 3.一元二次方程的判别式 10 4.一元二次方程的根与系数的关系 10 5.一元二次方程的应用 10 五、不等式与不等式组 11 1.不等式 11 2.不等式的基本性质 12 3.解一元一次不等式 12 4.解一元一次不等组 12 5.一元一次不等式的应用 13 解题策略 13 题型归纳 14 题型一：一元一次方程的常考题型 14 题型三：分式方程 19 题型四：一元二次方程 22 题型五：不等式与不等式组 25 巩固提升 28 方程与不等式是中考数学的主干知识，通常呈现“基础+应用+综合”的考查层次。考查综合运用能力。命题趋势上，阅读量增大，与函数结合更紧密。 1.理解等式的基本性质，掌握一元一次方程的解法和基本步骤，会用一元一次方程解决实际问题 2.理解二元一次方程（组）的有关定义，能用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组；能用二元一次方程组解决实际生活问题 c，能解可化为一元一次方程的分式方程，会检验方程方程的解，并会用分式方程解决实际问题 3.理解分式方程的定义，能解可化为一元一次方程的分式方程，会检验方程方程的解，并会用分式方程解决实际问题 4.理解一元二次方程的概念，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程； 会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根，了解一元二次方程的根与系数的关系；能针对具体问题列出一元二次方程并求解； 5.结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质；能解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集;会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集.能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式,解决简单的实际问题. 运算求解能力：准确解各类方程、不等式，特别是含参运算。 建模能力： 从实际问题中抽象出数学模型，找出等量或不等关系。 逻辑推理能力：涉及增根讨论、方案选择、分类讨论时的逻辑严密性。 几何直观与数形结合能力：将几何图形中的数量关系用代数式表示，或将代数问题转化为图形分析。 一、一元一次方程 1.方程和方程的解 ①方程的概念：含有未知数的等式叫作方程。 ②方程与等式的区别：方程是等式，但等式中不一定含有未知数，即等式不一定是方程。 ③方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 ④一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。 ⑤一元一次方程的标准形式：。 2.等式的基本性质 ①等式：用“=”来表示相等关系的式子叫作等式。 ②等式的性质：性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等（如果，那么（为一个数或式子））。 性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等（如果，那么；如果，那么） 3.解一元一次方程 ①去分母：把方程两边都乘以各分母的最小公倍数（去分母时，若分子是多项式，要添括号）； ②去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（不要漏乘括号里的项，不要弄错符号）； ③移项：把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边（注意移项要变号）； ④系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得方程的解为。 4.一元一次方程的应用 一元一次方程解应用题的常见类型有： ①．和、差、倍、分问题：和、差、倍、分对应两个量之间的加、减、乘、除，解题时要注意弄清倍、分关系和多少关系等； ②．增长（减少）率问题：增长后的量=原有量×（1+增长率）；降低后的量=原有量×（1-降低率）； ③．等积变形问题：长方形体积=长×宽×高；圆柱体积=； ④．行程问题：路程=速度×时间；快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离（相向而行）；快车行驶路程-慢车行驶路程=原距离（同向而行）。 ⑤．航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度； ⑥．调配问题：从调配后的数量关系中找等量关系； ⑦．比例分配问题：全部数量=各种成分的数量之和； ⑧．年龄问题：大小两个年龄的差不会变； ⑨．工程问题：工作量=工作效率×工作时间；两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量；一般情况下，把总工作量设为1. ⑩．利润问题：商品的售价=商品的标价×折扣；商品的利润=商品售价-商品进价；商品的利润率=； ⑪.数字问题：设分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为； ⑫.储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×（1+利率×期数）； 二、二元一次方程组 1.二元一次方程（组）的有关概念 ①二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程． ②二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解。 ③二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；组成方程组的两 个方程不必同时含有两个未知数， ④二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。 2.解二元一次方程组 ①代入消元法 定义：把二元一次方程组中的一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤： 变形.从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来； 代入.将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程； 解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 求值.将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解. ②加减消元法 定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤： 变形.先观察系数特点，将同一个未知数的系数化成互为相反数或相等的数； 加减.把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 解元.解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； 求值.将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解． 3.二元一次方程组的应用 用一次方程（组）解决实际问题的一般步骤： ①审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； ②设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ③列：根据题中相等关系，列出方程（组）； ④解：解所列出的方程（组）； ⑤验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义 ⑥答：写出答案，包括单位. 三、分式方程 1.分式方程 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 分式方程的重要特征：①等式； ②方程里含有分母； ③分母中含有未知数. 2.分式方程的解法 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程. 解分式方程的一般步骤： ①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式； ②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；要验根． ③解这个整式方程，求出整式方程的解； ④检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 3.分式方程的应用 ①列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． ②要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 四、一元二次方程 1.一元二次方程的定义 ①一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． ②一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 2.一元二次方程的解法 基本思路：通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解. ①直接开平方法（基础） 例：形如（a≠0）的一元二次方程： 当＞0时，则x1=，x2= -，此时方程有两个不相等的实数根； 当＝0时，则，此时方程有两个相等的实数根； 当＜0时，则方程无实数根. ②配方法（基础） 配方的实质：将方程化为的形式，当m≥0时，直接用直接开平方法求解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤： 移项：将常数项移到等号右边,含未知数的项移到等号左边； 二次项系数化为1：如果二次项系数不是1，将方程两边同时除以二次项系数； 配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 求解：若q≥0时，直接用直接开平方法求解. ③公式法 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算)； 求出的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 如果, 将a、b、c的值代入求根公式：； 最后求出. 【补充说明】求根公式的使用条件： ④因式分解法 依据：如果两个一次因式的积为0，那么这两个因式中至少一个为0，即若ab=0，则a=0或b=0. 步骤： 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 求解. 3.一元二次方程的判别式 ①根的判别式的定义：一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即. ②根的情况与判别式的关系：在实数范围内，一元二次方程的根的情况由其系数a，b，c，即确定. 方程有两个不相等的实根:； 方程有两个相等的实根：； 方程无实根. 4.一元二次方程的根与系数的关系 ①根与系数的关系 若一元二次方程的两个根是，则与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+＝，＝ ②要点诠释 一元二次方程根与系数关系的使用条件：. 当一元二次方程的二次项系数为1时，如，其两根关系为+＝， ＝. 以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 运用根与系数的关系和运用根的判别式一样,都必须先把方程化为一般形式，以便正确确定a、b、c的值. 5.一元二次方程的应用 ①列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． ②列一元二次方程解应用题中常见问题： 数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． 增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． 形积问题：1.利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长． 2.利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程． 3.利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． ③列一元二次方程解应用题的“六字诀” 审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 解：准确求出方程的解． 验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 答：写出答案． 五、不等式与不等式组 1.不等式 ①不等式的定义：一般地，用符号“<”、“>”、“≥”、“≤”表示大小关系的式子叫作不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。 ②不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解； ③不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集； ④不等式解集的表示方法： 用最简的不等式表示，一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围； 用数轴表示，不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，形象的表明不等式的无限个解（注意：边界点和方向）。 2.不等式的基本性质 ①不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 若a＞b，则a±c＞b±c ②不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） ③不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 3.解一元一次不等式 ①一元一次不等式的概念：一般地，只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。 ②解一元一次不等式的一般步骤： 去分母：防止漏乘不含分母的项，乘以（或除以）负数时，不等号要改变方向，分子是多项式时，须加括号； 去括号：防止漏乘括号内的项和出现符号错误； 移项：过了不等号的项要变号； 合并同类项：防指计算错误； 系数化为1：除以负数时要改变不等号的方向。 4.解一元一次不等组 ①一元一次不等式组的概念：一般地关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组 ②.解一元一次不等式组： 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫作这个一元一次不等式组的解集。 由2个一元一次不等式组成的不等式组的解集的情况：同小取小；同大取大；大小小大取中间，大大小小取不到。 一元一次不等式组的解法： 第一步：分别求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式的解集的公共部分，这个公共部分就是这个不等式组的解集。 5.一元一次不等式的应用 ①用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. ②一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 1. 解方程（组）与不等式（组）：主要考查基本解法及数形结合思想。通常以选择题、填空题形式出现，考查等式基本性质、解法步骤及不等式解集的数轴表示，一般不单独考查，常融合于应用题中。 2.与方程、不等式的解有关的问题：考查逆向思维与分类讨论思想。常见题型包括：已知分式方程有增根或无解求参数；已知方程组解满足的关系（如互为相反数）求参数；二元一次方程组整数 3. 与一元二次方程的根有关的问题：重点考查判别式（△）和韦达定理（根与系数关系）的深层应用。如：判断根的情况、求参数取值范围、求与根有关的代数式值（如两根平方和）、构造一元二次方程等。 4. 用方程、不等式的知识解决营销问题：命题趋势贴近生活，考查模型观念与应用意识。常结合利润、折扣、进货范围等热点，通常为第一问列方程求价格，第二问列不等式（组）求进货方案 5.用方程、不等式的知识解决几何图形问题：重点考查数形结合与几何直观。通常以三角形、长方形为背景，利用边长关系、周长面积公式建立方程，或通过动点形成特殊图形（如等腰三角形）求时间或线段长。 6. 用方程、不等式的知识解决方案选择：命题强调应用意识与决策能力。常见类型包括“哪种购票方式更划算”、“选择哪家商场优惠”、“租车方案”等，通常需要列出两种方案的费用表达式进行比较。 7.用方程、不等式的知识解决行程问题：重点考查相遇、追及及水流问题。通常结合分式方程考查“提速前后时间差”问题，或结合不等式考查“速度至少为多少才能按时到达”，需要理解速度、时间、路程三量关系。 8. 用方程、不等式的知识解决动点问题：这是代数与几何的综合压轴点，考查动态思维与分类讨论。通常在几何图形中，点在线段或折线上运动，设运动时间t，用含t代数式表示线段，求面积关系或特殊位置时t的值。 题型一：一元一次方程的常考题型 经典例题 【例题1】若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键． 先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形三边关系得出底边长，然后根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴等腰三角形的腰长为2， 由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2， ∴这个等腰三角形的周长为． 故答案为：6． 【例题2】某生产线共有名工人，每名工人每天可生产个电压表或个电流表，套物理电学实验器材包中要配有个电压表和个电流表，要使该生产线每天生产的电压表和电流表恰好能配套装入物理电学实验器材包，应分配多少名工人生产电压表？ 【答案】应分配名工人生产电压表． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表，依题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设应分配名工人生产电压表，则分配名工人生产电流表， 依题意得， 解得， 答：应分配名工人生产电压表． 【例题3】解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号，移项合并同类项，系数化为1求解即可． 【详解】解：． ． ． ． 【变式训练1】汉服是汉民族的传统服饰，是中国“衣冠上国”、“礼仪之邦”、“锦绣中华”的体现，深受小朋友们喜爱．某汉服店老板购进了一批儿童汉服，若每件儿童汉服按标价的九折出售，则每件可赚10元；若按标价的六折出售，则每件亏损20元．求每件儿童汉服的进价． 【答案】每件儿童汉服的进价为80元． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设每件儿童汉服的标价为元，根据题意列方程求出，进而即可求出进价． 【详解】解：设每件儿童汉服的标价为元， 根据题意得， 解得， （元）， 每件儿童汉服的进价为80元． 【变式训练2】已知是关于的方程的解，则的值为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 【变式训练3】下面是小畅解方程的解答过程． 解：去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 小畅的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】有错误，见解析 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键．依次去分母。去括号、移项合并、系数化1求解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得． 两边同除以，得． 解题技巧：去分母、去括号、移项变号、合并同类项、系数化为1，每步依据等式性质，最后代入检验根的正确性。 题型二：二元一次方程组 经典例题 【例题1】解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 【例题2】为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，现有甲、乙两种客车，原计划租用甲种45座客车若干辆，但剩余15人没有座位；若租用同样数量的乙种60座客车，则空余出三辆车，且其余客车恰好坐满．求参加此次研学活动的师生共有多少人？ 【答案】参加此次研学活动的师生共有600人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设参加此次研学活动的师生共有x人，原计划租用甲种45座客车y辆，则租用乙种60座客车辆，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设参加此次研学活动的师生共有x人，原计划租用甲种45座客车y辆，则租用乙种60座客车辆， 根据题意得， 解得， 答：参加此次研学活动的师生共有600人． 【例题3】我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（   ） A．7组 B．21组 C．28组 D．42组 【答案】B 【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【详解】解：令， 则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13 ∴的正整数解有组， 又∵的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； 的正整数解有组； ∴方程的正整数解组数为：． 故选：B． 【变式训练1】若关于x，y的二元一次方程组的解是，则 ， ． 【答案】 3 1 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题的关键． 将代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解是， ∴，， ∴，， 故答案为：3；1． 【变式训练2】下列属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； B：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组； C；两个方程均为二元一次方程，故该方程组是二元一次方程组； D：第一个方程是分式方程，故该方程组不是二元一次方程组． 故选：C． 【变式训练3】解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．先化简，再利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】解：原方程组可化为， 即， 得，， 解得：． 得，， 解得：． 所以原方程组的解为． 题型三：分式方程 经典例题 【例题1】解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 【例题2】2024年1月上旬，太原市城市轨道交通1号线一期工程首列车在中车大连公司正式下线．为保障轨道交通1号线的顺利通车，某工厂加急生产一批零件，需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务．求实际每天生产的零件个数和实际完成任务的天数． 【答案】实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天 【分析】 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设原计划每天生产零件x个，由需要在规定时间内生产4800个零件，若每天比原计划多生产，则提前4天完成任务列出方程，解方程即可． 【详解】 解：设原计划每天生产零件x个， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴（个）， 则实际完成任务的天数为：（天）， 答：实际每天生产的零件个数为200个，实际完成任务的天数为20天． 【例题3】解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键，去分母，将分式方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘以得： 解得：， 经检验，是分式方程的增根， 原方程无解． 【变式训练1】解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤．根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】解： 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 检验：当时，， 故原分式方程的解是． 【变式训练2】随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 【答案】该班同学改进前每小时整理千克废品 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品，进行列分式方程，再解得，即可作答． 【详解】解：依题意，设该班同学改进前每小时整理千克废品， ∵改进后每小时比改进前多整理15千克废品． ∴改进后每小时整理千克废品， 依题意，得 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴该班同学改进前每小时整理千克废品． 【变式训练3】分式方程的解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的求解，通过去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，检验分母是否为零求出最后结果即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验当时，分母且， 故方程解为， 故选：C． 题型四：一元二次方程 经典例题 【例题1】若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 【例题2】学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 【例题3】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)当时，直接写出该方程的根． 【答案】(1)见解析； (2),． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）计算该一元二次方程根的判别式，并结合完全平方公式进行整理，即可解题； （2）将代入一元二次方程进行整理，再结合因式分解法解整理后的一元二次方程即可． 【详解】（1）证明：由题知， ， 该方程总有两个实数根； （2）解：当时，关于x的一元二次方程为， 整理得， 则或， 解得，． 【变式训练1】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？ 【答案】每件玩具应降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．每件玩具应降价元，则单价为元，销量为个，根据单价销量销售额（批发额）列方程求解即可． 【详解】解：设每件玩具应降价元． 根据题意得，， 整理得，，即， 解得． 答：每件玩具应降价元． 【变式训练3】关于方程，下列说法不正确的是（   ） A．该方程是一元二次方程 B．解方程时，两边同时除以即可 C．该方程适合用因式分解法求解 D．该方程有两个不等的实数根 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键． 根据一元二次方程的定义、解法及根的判别式逐一判断即可求解． 【详解】解：A、方程整理得，故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意； B、解方程时，方程两边先同时除以，会漏解，故该说法错误，符合题意； C、， 移项得 ， 提取公因式得 ， 即 ， ∴ 方程根为 或 . 用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意； D、由得： ， 故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意； 故选：． 题型五：不等式与不等式组 经典例题 【例题1】解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 【例题2】阅读下面的材料，回答问题： 在学习不等式的过程中，创新组李岚同学遇到了这样的一个难题：如果，求x的取值范围．组长张鑫同学这样思考：根据“两数相乘，同号为正，异号为负”的有理数乘法法则，将原不等式化为两个一次不等式去解：根据题意，得或，分别解这两个不等式组． 【答案】前不等式组无解，后不等式组解得 【分析】本题考查了解一元一次不等式组；分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组无解； ， 解不等式③得：， 解不等式④得：， 则不等式组的解集为． 【例题3】解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次不等式． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解为． 在数轴上表示为： 【变式训练1】不等式的解在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及在数轴上表示解集，关键是熟练应用； 先移项再合并同类项，系数化为，即可算出解集. 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【变式训练2】解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：，0，1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 【变式训练3】不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，把不等式组的解集在数轴上表示出来；分别求出每个不等式的解集，再求出其公共部分，最后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 则不等式组的解集为：，在数轴上表示如下： ； 故选：A． 1.《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，快马几天可以追上慢马？设快马天可以追上慢马，则可以列出的方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查一元一次方程的应用，属于行程问题中的追及问题．解题的关键是找到两马路程相等的等量关系． 设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意，列出方程即可． 【解答】解：设快马用天追上慢马，快马的总路程为里，慢马的总路程为里，根据题意得： ． 故选： 2.若是方程的解，则（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解的概念和一元一次方程的求解，正确计算是关键； 把代入方程可得关于m的方程，再解方程即可. 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即； 故选：D 3.把方程配方，得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的方法是关键；使用配方法将方程左边转化为完全平方形式，右边为常数． 【详解】解：方程两边加上，得， 即， 故选：B． 4.根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材2 考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，且扫把簸箕套装不少于50套 素材3 商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】任务1：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元；任务2：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解此题的关键． 任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，计算即可得解． 【详解】解：任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元． 根据题意得：， 解得， 答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元． 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条， ∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元） 方案一：， 解得， 由题意得， ∴， ∴ 方案二：， 解得， ∴方案二不符题意，舍去． 答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条． 5.元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？设快马追上慢马的天数是x天，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设快马x天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设快马x天可追上慢马， 由题意得：． 故选：A． 6.若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，需满足判别式大于零且二次项系数不为零，需注意二次项系数不为零的条件． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得：， ∴k的取值范围且， 故选：B． 7.若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 8.某商场购进一批服装，每件进价为200元，由于换季清货，商场决定将这批服装按标价的五折销售，若打折后每件服装仍能获利，则该服装标价是（   ） A．600元 B．580元 C．500元 D．480元 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 设该服装的标价为x元，用x表示出五折出售的价钱，每件服装的进价乘求出获利的价钱，再用五折出售的价钱减去标价等于获利的价钱，列方程求解． 【详解】解：设该服装的标价为x元， 由题意得， 解得； 即该服装标价是元． 故选：D． 9.如图是一组有规律的图案．第1个图案中有7个六边形，第2个图案中有13个六边形，第3个图案中有19个六边形，…，按此规律， (1)则第5个图案中有______个六边形； (2)用含n的代数式表示第n个图案中六边形的个数； (3)若第n个图案中有601个六边形，求n的值． 【答案】(1)31 (2)第n个图案中六边形的个数为； (3)n的值为100． 【分析】本题考查了图形规律探究和一元一次方程的应用，结合题意确定图形变化规律是解题关键． （1）根据题意数出前几个图案的数量； （2）根据规律得出第个图案的基本图形数量； （3）根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：第1个图案中六边形的个数为， 第2个图案中六边形的个数为， 第3个图案中六边形的个数为， …… 第5个图案中六边形的个数为， 故第5个图案中有31个六边形； 故答案为：31； （2）解：由题意可得：第1个图案中六边形的个数为； 第2个图案中六边形的个数为； 第3个图案中六边形的个数为； …… 所以第n个图案中六边形的个数为； （3）解：由（2）可知， 解得， 所以n的值为100． 10.方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，然后求解并验证分母不为零． 【详解】∵ ， 去分母得，， ， 解得， 检验：当时，，满足条件． 故方程的解为． 故选：B． 11.一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，移项，合并，进行求解即可．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴； 故答案为：． 12.甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为的纸条，则_____99_______． 【答案】 【解析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设叠部分的长度为，则，，根据重叠后的总长度为为等量关系列出关于的一元一次方程，求解即可得出答案． 【解答】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ，， ， 故答案为：99 13.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母若能构成一个广义的三阶幻方，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程．由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为，第三行中间数字为，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可． 【详解】解：如图，根据题意，可得 第二行的数字之和为：， 可知第三行左边的数字为：， 第一行中间的数字为：， 第三行中间数字为， 第三行右边数字为：， 再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为： 解得， 故答案为：6 14.方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 检验：当时，分母 ， 所以原方程的解为， 故答案为：． 15.下图是用相同的木棒拼成的图形，其中第1个图形用了9根木棒，第2个图形用了13根木棒，第3个图形用了17根木棒……． (1)拼第5个图形需要用______根木棒． (2)按上面的规律继续拼，是否存在某个图形，共用了根木棒?若存在，请求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查图形的数字规律，根据图形，数出木棒数，数形结合找到规律即可． （1）根据图形的规律进行推导即可得到答案； （2）由（1）得到第n个图形用的木棒根数是，根据和为正整数即可得到结论． 【详解】（1）解：由图可知：第1个图形用了根木棒， 第2个图形用了根木棒， 第3个图形用了根木棒， 第4个图形用了根木棒， 第5个图形用了根木棒， 故答案为： （2）不存在，理由如下： 由（1）可知，第n个图形用的木棒根数是， 由解得， ， 与为正整数矛盾， 即不存在某个图形，共用了根木棒． 16.为落实国家关于中学生信息素养提升的若干要求，提升学生的信息素养，南湖未来学校举行了中学生信息素养提升实践活动．据统计，七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个，求七年级创作的作品有多少个． 【答案】60个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设七年级创作的作品有x个，八年级创作的作品有y个，根据“七年级和八年级共创作作品159个，且七年级创作的作品数量是八年级创作的作品数量的还少6个”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设七年级创作的作品有x个，八年级创作的作品有y个， 根据题意得：， 解得：． 答：七年级创作的作品有60个． 17.若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，依据口诀“大大小小找不到”结合不等式组的解集可得的范围，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 故答案为：． 18.学习情境·阅读理解  阅读下列材料：设，则，则由，即．所以．根据上述提供的方法把列两个数化成分数____________，___________． 【答案】, 【解析】本题主要考查一元一次方程的应用．掌握题干中给定的无限循环小数化为分数的方法是解题的关键． 分别根据题中给定方法解答即可． 【解答】解：设，则：， 则由②-①得：， ，即； 设，则：， 则由②-①得：， ，即． 故答案为：，．  19.解方程组：． 【答案】 【分析】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式． 利用加减消元法，即可解方程组． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 方程组的解． 20.（1）解方程：．      （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式组的求解，注意计算的准确性即可； （1）方程两边都乘，将分式方程化为整式方程即可求解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）原方程可化为：， 解得：； 检验：当时，； ∴是原方程的解； （2）， 解①得：； 解②得：； ∴原不等式的解集为， 21.如图所示的是由若干个大小相同的黑色小正方形和白色小正方形组成的一组有规律的图案．图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，图中有个黑色正方形，以此类推． 【规律总结】 （1）图中黑色正方形的个数是__________． （2）图中黑色正方形的个数是__________（用含的代数式表示）． 【问题解决】 （3）现有块黑色小正方形，若按此规律，可以拼得第几个图形？请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）可以拼得第个图形．理由见解析 【分析】本题主要考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现黑色正方形个数的变化规律是解题的关键． （1）根据所给图，依次求出图形中黑色正方形的个数，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）令，求解的值即可． 【详解】解：（1）由所给图形可知： 图中黑色正方形的个数为：； 图中黑色正方形的个数为：； 图中黑色正方形的个数为：； 图中黑色正方形的个数为：； 所以图中黑色正方形的个数为个， 当时，（个）， 即图中黑色正方形的个数为个． 故答案为：． （2）由（1）知， 图中黑色正方形的个数为个， 故答案为：． （3）可以拼得第个图形，理由如下： 令， 解得， 所以可以拼得第个图形． 22.如图,用长为25米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为14米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在上开了宽为1米的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为60平方米,求此时花圃的边的长．    【答案】此时花圃的边的长为米 【分析】本题考查一元二次方程与图形面积有关的应用，先理解题意，设花圃的边的长为米，结合花圃的面积刚好为60平方米,得，解得或，即可作答． 【详解】解：设花圃的边的长为米， 依题意，得， ∵花圃的面积刚好为60平方米， ∴， 解得或， 当时，则（舍去）； 当时，则， ∴此时花圃的边的长为米． 23.解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：原方程移项得， 配方得， 由此可得， 解得． 24.赋值法是给代数式中的字母赋予某个特殊值，从而解决问题的一种方法，已知，若赋值．得到，尝试给赋不同的值，可得的值为__________． 【答案】 【解析】本题考查代数式求值，解方程组，当时，得到①，当时，得到②，然后求解即可． 【解答】解：当时，， ， ①， 当时，， ②， ，得：， ． 故答案为：． 25.人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么． (1)在校两名中学生的对话：甲同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次”，乙同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数才136次”．请你判断甲乙两名同学谁的说法是错误的?并说明理由． (2)若一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12，用列方程的方法确定． 【答案】(1)甲同学说法是正确的；乙同学的说法是错误的；见详解 (2) 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，分别算出甲同学和乙同学所说的对应年龄，再结合甲同学和乙同学都是初中生，进行分析，即可作答． （2）理解题意，由，且结合一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12，进行列方程，再计算，即可作答． 【详解】（1）解：甲同学说法是正确的；乙同学的说法是错误的；理由如下： 依题意，甲同学： ∴ 解得； 乙同学： ∴ 解得； ∵甲同学和乙同学都是初中生 ∴甲同学说法是正确的；乙同学的说法是错误的； （2）解：∵一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12， ∴， 解得， 即的值为15． 26.已知关于的方程． (1)求证：无论常数取何值，方程总有实数根； (2)当整数取何值时，方程有两个整数根？ 【答案】(1)见解析 (2)或或或 【分析】本题考查根据方程的根的情况，求参数的值．熟练掌握一元二次方程判别式和根的个数关系，以及根与系数的关系，是解题的关键． （1）根据二次项系数为零和不为零两种情况进行分类讨论，利用判别式的取值进行证明即可； （2）根据方程的两个根都是整数，说明方程为一元二次方程，利用根与系数的关系，结合两个根都是整数，进行计算即可． 【详解】（1）证明：当，即：时， 方程变为：， 解得：，方程有实数根； 当，即：时，方程为一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根； ∴无论m为何值，方程总有实数根． （2）解：依题意，方程有两个整数根，则该方程为一元二次方程，故，即， 设方程的两个根为：， 则：， ， ∵方程的两个根都为整数， ∴和为整数，即为整数， ∴或， 解得：或或或， ∴当或或或时，该方程的两个根都为整数． 27.某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题． (1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形． (2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？ 【答案】(1)65； (2)该图形中共有325个黑色小正方形 【分析】本题考查规律型：图形的变化类，一元一次方程，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有个黑色小正方形． （1）根据题干找到规律即可解答； （2）根据题意列出方程解答即可． 【详解】（1）解：图1中共有个黑色小正方形， 图2中共有个黑色小正方形， 图3中共有个黑色小正方形， 图4中共有个黑色小正方形， 图5中共有个黑色小正方形， 故图n（n为正整数）中共有个黑色小正方形． 故答案为：65；． （2）解：由题意，得图n中共有个小正方形， 则， 解得， ． 答：该图形中共有325个黑色小正方形． 28.赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．临近春节，某水果商店老板想购进一批赣南脐橙进行销售，已知用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，每箱精品果比普通果的价格贵15元． (1)求精品果和普通果每箱的价格； (2)若该老板想要购进精品果与普通果共100箱，且花费不超过5000元，求最少要购进普通果多少箱． 【答案】(1)精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元 (2)最少要购进普通果67 箱 【分析】本题考查了分式方程的实际应用与一元一次不等式的实际应用，理解题意，正确列出方程与不等式是关键； （1）设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元，根据等量关系：用1200元购买的精品果箱数与用900元购买的普通果箱数相同，列出分式方程并求解，最后检验即可． （2）设购进普通果m箱，则购进精品果箱，根据不等关系：购进精品果与普通果共花费不超过5000元，列出不等式，解不等式，求出最小整数解即可． 【详解】（1）解：设精品果每箱的价格为x元，则普通果每箱的价格为元． 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：精品果每箱的价格为60元，普通果每箱的价格为45元； （2）解：设购进普通果m箱，则购进精品果箱． 根据题意得，， 解得 ∴符合题意的m的最小值为67， 答：最少要购进普通果67 箱． 29.对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值． 【答案】或1或2 【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元二次方程根的判别式，准确分析计算是解题的关键． 先将分式方程去分母化成整式方程，通过二次方程的判别式判断根的个数，再根据分式有意义的条件进行判断即可． 【详解】原方程是分式方程， 且， 两边同时乘以得：， ， 方程只有一个实数解， 若原分式方程有解， ， 解得：， ， 解得：，符合题意； 若原分式方程有增根，则或， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述：的值为或1或2． 30.为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工作效率是乙公司安装工作效率的倍，乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．求甲乙两公司每天各安装多少间教室？设乙公司每天安装间教室，请根据题意列出方程________________． 【答案】 【解析】本题考查利用分式方程解决实际应用问题，解题的关键是找到等量关系式．设乙公司每天安装间教室，根据乙公司安装间教室比甲公司安装同样数量的教室多用天．列式即可得到答案． 【解答】解：设乙公司每天安装间教室，由题意可得， ， 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $