专题05 立体几何小题综合（7大考点）（期末真题汇编，湖北专用）高一数学下学期

**基本信息** 湖北多地高一下期末立体几何小题汇编，覆盖斜二测画法、空间位置关系等7大高频考点，基础题与综合题梯度分布，适配期末复习与能力检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|约40题|空间位置关系判断、球体、空间角等|湖北多地期末真题，多考点综合题（如正方体中异面直线与二面角结合）| |填空|约12题|表面积体积计算、空间距离等|基础计算与情境应用（如《九章算术》“堑堵”体积）结合|

专题05 立体几何小题综合 7大高频考点概览 考点01斜二测画法中有关量的计算 考点02空间中点线面位置关系的判断 考点03侧面积、表面积、体积的计算 考点04球体 考点05空间角的计算 考点06空间距离的计算 考点07多选题多考点综合 ( 考点01 斜二测画法中有关量的计算 ) 1．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，．则平面四边形的面积为（   ） A．8 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】将直观图还原，求出底和高即可得到结果. 【详解】将直观图还原得平行四边形，设高为，如下图， 因为，由勾股定理得：,故原图形中, 所以，，所以平面四边形的面积为． 故选：B． 2．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)如图所示为水平位置的正方形，在平面直角坐标系中，点的坐标为，用斜二测画法画出它的直观图，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出直观图，由图计算点到轴的距离即可. 【详解】画出直观图， 对应，且，, 故顶点到的距离为． 故答案为：. 3．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（   ）    A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用斜二测画法的性质即可求解原图性质. 【详解】结合直观图的画法，画出原如下图：    其中，, 所以，. 所以为等腰三角形，且腰和底边不相等. 故选：B ( 考点02 空间中点线面位置关系的判断 ) 4．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)若表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，在空间中垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面，所以A错误； 对于B中，由线面垂直的性质定理，垂直于同一平面的两条直线平行，所以B正确； 对于C中，由线面垂直的性质，垂直于同一直线的两个平面平行，所以C错误； 对于D中，在空间中垂直于同一平面的两个平面可能平行、相交，所以D错误． 故选：B. 5．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知，，是互不重合的三条直线，，，是互不重合的三个平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若与是异面直线，，，则 D．若，，，，则 【答案】D 【分析】根据空间中点线面的位置关系即可判断ABC，利用线面平行的性质定理即可判断D. 【详解】对于A：若，，则或，故A错误； 对于B：若，，，，则或与相交，或，故B错误； 对于C：若与是异面直线，，，则或与相交，故C错误； 对于D：若，，，，所以，，所以，故D正确. 故选：D. 6．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由线线，线面，面面间位置关系逐项判断可得. 【详解】对于A，若，，则或，A错误； 对于B，若，，则与可能平行、相交或异面； 对于C，若，，则或．例如，当在平面内时，也能满足且，C错误； 对于D，若，，两个平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面， 即，D正确． 故选：D． 7．(24-25高一下·湖北咸宁·期末)已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】ABC可举出反例；D选项，先得到线面平行，进而得到面面平行. 【详解】A选项，若，，则或，A错误； B选项，若，，则或相交，B错误； C选项，若，，则或或与相交，C错误； D选项，若，，在内分别存在相交直线和相交直线， 使得，，且， 因为，所以，同理可得， 因为为相交直线，故，D正确. 故选：D 8．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，， 则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】对于A，由面面垂直、线面垂直的性质即可判断；对于B，由面面平行的性质即可得证；对于C，由答案不完备即可判断；对于D，由线面平行的判定定理即可判断. 【详解】对于A，若，，，则，故A正确； 对于B，若，，所以，因为，所以，故B正确； 对于C，若，，，则平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，则，又，，则，故D正确. 故选：C. 9．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)设a，b表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若a，b是两条平行直线，且，则 B．若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 C．若，则 D．若a，b是两条异面直线，且，则 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理，结合举例，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对A：若a，b是两条平行直线，且，则或，故A错误； 对B：若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线可能相交，如a，b是异面直线，在直线上取一点，在直线上取两点、，连接，，则与相交于点，并非异面直线，故B错误； 对C：若，则与平面的关系不能确定，故C错误； 对D：如图： 过直线作平面，且，因为，所以， 又因为，，所以， 因为，是异面直线，所以直线、不平行，又， 所以，为相交直线，设交点为， 又，所以，故D正确. 故选：D 10．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（   ） A．存在两条不同直线a，b，使，，， B．存在两条不同直线a，b，使，，， C．存在两条异面直线a，b，使，，， D．存在两条平行直线a，b，使，，， 【答案】C 【分析】对于A、B、D，结合各项前提，举反例说明，对于C，应用反证思想说明，即可得. 【详解】对于A，若交于直线，空间存在直线都平行于，满足前提，但不成立，故不是充分条件； 对于B，若交于直线，在内取两条直线都平行于直线，则，，满足前提，但不成立，故不是充分条件； 对于C，若交于直线，，，则（否则相交），同理，，则，故不可能异面，与前提矛盾，此时，是充分条件； 对于D：若交于直线，在内取，在内取，满足前提，但不成立，故不是充分条件； 故选：C 11．(24-25高一下·湖北武汉·期末)下列命题正确的个数是（） ①空间中三条不同的直线，，满足，，，则，，共面 ②已知直线，和平面，且，，则 ③如果平面平面，平面平面，那么平面平面 ④已知平面，，，且，，，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】对于①，由异面垂直可判断①；对于②，也成立；对于③，结合正方体判断不正确；对于④，由面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理可证明. 【详解】对于①，当与异面垂直时，此时不共面，故①错误； 对于②，，或，故②错误； 对于③，垂直于同一平面的两个平面不一定垂直，如正方体左侧面和右侧面都垂直于上下底面，但左侧面和右侧面不垂直，故③错误； 对于④，，设， 在平面内存在直线，使得 ，， ，， ，，， ，， ，， 和相交，且 ，故④正确.    故选：B 12．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据线面的位置关系逐一判断每个选项. 【详解】若，则，A选项正确. 若，则，也可能相交，B选项错误； 若，则，也可能，C选项错误； 若，则，还可能，，和相交但不垂直，D选项错误. 故选：A. 13．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列图形中与是异面直线，且所成的角为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用异面直线的定义结合异面直线所成角的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，连接、、，如下图所示： 在正方体中，因为、分别为、的中点，所以， 同理可证，由图可知，、为异面直线， 因为，，故四边形为平行四边形， 故，则， 因为四边形为正方形，所以，故，A不满足要求； 对于B选项，连接、、、，如下图所示： 由图可知，直线、为异面直线， 因为、分别为、的中点，所以，同理可得， 因为，，故四边形为平行四边形，故， 所以，异面直线、所成角等于或其补角， 在正方体中，易知为等边三角形，故， 故异面直线、所成角为，B满足要求； 对于C选项，连接、、，如下图所示： 在正方体中，，， 因为、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为、分别为、的中点，所以，故， 所以，、共面，C不满足要求； 对于D选项，在正方体中，取棱的中点，连接、、， 由图可知，直线、为异面直线， 因为、分别为、的中点，所以，同理可证，故， 故异面直线、所成角为或其补角， 因为，，、分别为、的中点， 所以，，故四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，故平面， 因为平面，故， 不妨设正方体的棱长为，则，， 所以，故，D不满足要求. 故选：B. 14．(24-25高一下·湖北武汉·期末)（多选）在正四棱柱中，，分别是，的中点，则（） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BC 【分析】根据线线垂直、线面平行、线线平行的判定定理、性质定理逐一证明即可. 【详解】对于A，为正四棱柱， 在底面的射影为， 平面，与不重直， 与不垂直，故A错误； 对于B，连接，取的中点，连接， 易知， 四边形为平行四边形， ， 同理可知也为平行四边形， ， 又， ， 四边形为平行四边形， ， ， 平面平而， 平面，故B正确； 对于C，取的中点，连接， 易知， 四边形平行四边形， ，同理可证平行四边形， ， 又，， ， 四边动为平行四边形， ，， ， 四边形为平行四边行， ，故C正确； 对于D，连接则 平面平面， ， ， 平面， 平面， ，， 与不垂直，故与平面不可能垂直，故D错误， 故选：BC ( 考点03 侧面积、表面积、体积的计算 ) 15．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)已知圆锥的母线长为2，高为，则圆锥的全面积为（   ） A．5π B．4π C．3π D．2π 【答案】C 【分析】由勾股定理得出底面半径，进而由圆的面积公式以及圆锥的侧面积公式得出圆锥的全面积. 【详解】因为圆锥的母线长为2，高为， 所以该圆锥的底面半径为， 则圆锥的全面积为. 故选：C. 16．(24-25高一下·湖北荆门·期末)若底面半径为圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则该圆锥的体积为__________. 【答案】 【分析】由侧面积公式和半圆面积公式可计算母线长，再计算高，即可求体积. 【详解】 设圆锥的高为，母线长为，根据侧面积公式与半圆的面积公式可得：， 因为，所以， 由勾股定理得：， 所以圆锥的体积为， 故答案为： 17．(24-25高一下·湖北武汉·期末)已知圆台的上底面直径为1，下底面直径为2，母线长为1，则该圆台的体积为__________. 【答案】 【分析】利用圆台的轴截面求出圆台的高，再根据圆台的体积公式求解即可. 【详解】如图所示，作圆台的轴截面，依题意， 则，过点作，则 在中，，即圆台的高为 圆台的体积， 故答案为： 18．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知圆锥的母线长为，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为__________. 【答案】 【分析】设母线长为，底面半径为，由轴截面为等腰直角三角形，即可求，根据圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】设母线长为，底面半径为，由题意有：， 因为轴截面为等腰直角三角形，所以， 所以圆锥的表面积为， 故答案为：. 19．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为（   ） A．2π B．6π C．9π D．11π 【答案】B 【分析】根据圆台的侧面积公式直接求值即可. 【详解】由题意，圆台的侧面积为： . 故选：B 20．(24-25高一下·湖北咸宁·期末)如图，在三棱锥中，，，BC=4，异面直线AD与BC所成角的正弦值为，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【分析】作出图形，根据长度得到，，，然后得到平面ACM，计算得到，判断为正三角形，然后根据计算即可. 【详解】如图，分别过点C和点D作BD，BC的平行线交于点M，连接AM， ∵BC=4，BD=3，DC=5，所以 ∴，，， 同理，则，，平面， ∴平面，又平面， ∴， 因为，所以异面直线AD与BC所成角为， 由已知，所以， ∵，为直角三角形， ∴，， ∴，即为正三角形， 故的面积， ∵， ∴． 故答案为： 21．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)已知圆台上下底面半径分别为1，2，圆台的母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由线面角求出母线长，再由圆台的侧面积公式计算可得. 【详解】，，， ． 故选：C. 22．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)已知正四棱台，，其侧面积为，则该棱台的体积为（    ） A．18 B．27 C． D． 【答案】C 【分析】过作于，过作交于，连接，过作于，可证平面，利用棱台的体积公式求解即可. 【详解】过作于，过作交于，连接， 过作于， 因为，所以确定唯一平面， 因为四棱台是正四棱台，所以，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 由正四棱台的侧面积为，所以， 所以，又因为，所以， 又，所以， 所以该棱台的体积为. 故选：C. 23．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】由题意先计算出母线长，再求出底面半径，从而可求出圆锥的高，进而可求出轴截面的面积. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形， 所以，解得， 因为，所以，得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面的面积是. 故选：A. 24．(24-25高一下·湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的四等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用棱柱与棱台的体积公式求解体积即可得到体积比. 【详解】因为、分别为，靠近点的四等分点， 所以且， 因为，，，， 所以几何体为三棱台， 设三棱柱的高为，底面的面积为，体积为，则， 因为、分别为靠近点的四等分点，所以， 则，所以， 所以. 故选：A. ( 考点04 球体 ) 25．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为_______ 【答案】/ 【分析】根据圆锥的轴截面为正三角形，可求轴截面的外接圆半径，即为圆锥外接球半径，进而可求圆锥外接球表面积. 【详解】如图： 作圆锥的轴截面，因为等腰的内切圆与外接圆圆心相同，为，所以为等边三角形. 又. 所以，即为圆锥外接球半径. 所以圆锥外接球表面积为：. 故答案为： 26．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)设、、、是同一个半径为的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为，则三棱锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得外接圆半径，进而可得球心到平面的距离，结合球的性质可知三棱锥的高的最大值，即可得结果． 【详解】不妨设，设，则，所以， 设的外接圆的圆心为，半径为，则， 则球心到平面的距离， 当、、共线且在线段上时，三棱锥的高最大为， 此时三棱锥的体积也最大，最大值为. 故选：D． 27．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为____________. 【答案】 【分析】当平面，三棱锥的体积最大，据此计算即可. 【详解】当平面时，三棱锥的体积最大， 即， 解得，所以球的表面积为.. 故答案为：. 28．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)如图，三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．    【答案】 【分析】依题意可得的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径，则三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接，利用勾股定理求出，再由球的表面积公式计算可得结论. 【详解】因为，，，所以， 所以的外心为斜边的中点，且的外接圆的半径， 因为点在底面的投影为的外心，所以平面， 所以三棱锥外接球的球心在上，设球心为，外接球的半径为，连接， 则，所以，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为：. 29．(24-25高一下·】湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用直三棱柱的性质平面，进而可得，设，，结合条件，利用基本不等式求得，再利用直角三角形的性质，求得球的半径，即可求解. 【详解】由堑堵的定义可知，为直角三角形，故， 由已知可得，平面平面ABC，且平面平面， 又，平面ABC， 平面，而平面， ，又，，AC，平面APC， 平面APC，又平面APC，则， 设，，则， ，， ， 由，得，整理得， ， 则， 当且仅当，即时，的面积取得最小值为18， 此时， 设三棱锥的外接球的半径为R， 因为，都是以AP为斜边的直角三角形， 故线段为外接球的直径，故所求外接球的体积为.    故选：B. 30．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)正四棱台的体积为，上底面，下底面的边长分别为4，6，记交于点交于点，则______，若四棱台的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】根据台体的体积公式可得，即可根据勾股定理求解第一空，根据外接球的性质，结合勾股定理可求解半径，由表面积公式求解第二空. 【详解】如图，连接，则底面， 由题意可得，，该正四棱台的体积，， 连接，故； 设， 则，， 由，解得， ，即球的半径， 球的表面积为． 故答案为：，. ( 考点05 空间角的计算 ) 31．(24-25高一下·湖北黄石·期末)如图，AB，CD是正方体展开图中的两条线段，则原正方体中AB与CD所成角为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的展开图，画出正方体，根据异面直线所成角的解法求解即可. 【详解】    如图，画出正方体，因为， 所以为与所成角或其补角， 因为都为正方体的面对角线， 所以， 所以为等边三角形，所以与所成角为. 故选：. 32．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)如图，已知正四棱柱中，，设直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用线面垂直即面，求出；然后再求出，再结合余弦定理求出，从而可求解. 【详解】由题意及图可得四边形为正方形，则， 又因为面，且面，则， 又因为，面，所以面， 所以即为直线与平面所成的角为， 由，可设，则， 所以， 所以； 由题及图可知，则即为直线与直线所成的角为， 在中，，则为等腰三角形， 所以， 所以，故B项正确. 故选：B. 33．(24-25高一下·湖北武汉青山区·期末)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的大小为________． 【答案】 【分析】利用作平行线作出异面直线CE与PB所成角，解三角形，即可求得答案. 【详解】在四棱锥中，设F为的中点，连接， 由题意知四边形为正方形，设， 由于E为的中点，故，则即为异面直线CE与PB所成角或其补角， 底面ABCD，底面ABCD，则, 结合，则， 又， 则在中，， 结合，则， 即异面直线CE与PB所成角的大小为， 故答案为： 34．(24-25高一下·湖北武汉·期末)在三棱锥中，，，，，为的中点，三棱锥的外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直角三角形性质可得为的外心，结合球体性质可知平面，由等腰三角形性质可知的外心在上且，进而可得直线与平面所成角与互余，结合球的表面积可得，结合勾股定理可得，结合正弦定理可得，由勾股定理可得，进而结合余弦定理计算即可． 【详解】如图，设球心为的外接圆圆心为，连接， 因为为的中点，，所以为的外心， 由为的外心，得三点共线，且． 由题意得平面平面，则， 故直线与平面所成角为的余角， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 设三棱锥的外接球的半径为R，则，解得R=3，即， 因为，所以， 因为，所以由正弦定理可得，解得， 所以， 在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 故选：B ( 考点06 空间距离的计算 ) 35．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)正方体中，是AB的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等体积法，利用棱锥的体积公式可求出点到平面的距离. 【详解】因为， 所以， 所以 ， 从而， 故选：C． 36．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.则该几何体的表面积为______；一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为_______. 【答案】 12 【分析】根据题意得到旋转后的圆台后可求出其表面积，然后将圆台的展开、由平面图形得到最短路程. 【详解】如图所示，满足题意的直角梯形，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周， 形成一个上底面半径为，下底面半径，母线长的圆台， 其表面积为. 将圆台的侧面沿母线展开，得到如图所示的一个扇环，因为圆台上下底面半径的关系为，所以，， 又∵，∴， ∴，设，则的弧长， 解得，连接，为等边三角形， ∴所以蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周，回到点A的最短路径即为线段，所以蚂蚁爬行的最短路程为12. 故答案为：；12. 37．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)已知三棱锥，侧棱，底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥体积为___________；D为内切圆（含圆内）上一动点，设D到平面的距离为m，D到平面距离为n，则的最大值为___________． 【答案】 96 / 【分析】第一空，可由三棱锥的边长关系得出全等，从而得出为三棱锥的高，得出三棱锥的体积；第二空，建立空间直角坐标系，根据题意条件设出点坐标，利用空间点面距公式分别用表示，可得，进而利用函数单调性求最小值. 【详解】如图所示，取中点， 在等腰中，， 则， 等腰直角中，， 又，又，为公共边， 所以全等， 故，又，平面， 故平面. 因此三棱锥的体积 ； 设的内切圆半径为，其面积， 周长， 由，则，解得. 如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则,,,，， 内切圆圆心， 则，，； 在平面内，直线，即； 直线，即， 设，由D为内切圆（含圆内）上一动点， 则，可得， 且，， 且. 设平面的法向量， 则，令，则， 故D到平面的距离； 设平面的法向量， 则，令，则， 故D到平面的距离； 所以. 设，则在上单调递减； 故，即时,等号成立， 故当且仅当点与中点重合时，取最大值，最大值为. 故答案为：96；.    38．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)类比思想是学习数学的一种重要的思想方法，是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的一种思维方法.在平面几何中，有如下命题“正三角形的高为，是内任意一点，到三边的距离分别为，，，则为定值”.证明如下：设正三角形边长为，高，到三边的距离分别，，，则：，即：，化简得，，∴（定值）.类比此命题及证明方法，在立体几何中如图，正四棱锥中，，侧面与底面的夹角为.若点是正四棱锥内任意一点，点到平面，平面，平面，平面，平面的距离分别为，，，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，取的中点，连接，根据已知及面面角的定义有即为面与底面所成角的平面角，再应用棱锥体积公式及等体积法即可求解. 【详解】连接交于点，取的中点，连接， 由正四棱锥的几何特征可得为的中点，且底面， ，，， 因为为的中点，所以，， 所以即为面与底面所成角的平面角，即， ，则，，所以， ，， 由， 所以. 故选：A.    ( 考点07 多选题多考点综合 ) 39．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)已知空间四边形中，且，设，设与平面所成角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据题意，分别在和中，利用余弦定理，求得的长，可得判定A正确；作平面于点，设，得到，作于点，得到为二面角的平面角，求得，可判定 C正确；根据直线与平面所成角的定义和最小角定理，可判定B错误；由，且，结合三角函数的基本关系式，可判定D正确. 【详解】在空间四边形中，且， 在中，可得， 在中，可得， 所以，所以A正确； 过点作平面于点，设， 则为直线与平面所成的角，则， 过点作于点，因为平面，且平面， 所以，因为，且平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，即， 在直角中，可得， 所以，所以C正确； 由，其中为直线与平面所成的角， 根据直线与平面所成角的定义和最小角定理，可得，即，所以B错误； 因为，可得，且，则 则，即， 即的最小值为，所以 D正确. 故选：ACD.    40．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)已知圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，其母线长为2，底面圆周上有，两点，下列说法正确的有（   ） A． B．若，则直线与平面夹角的正弦值为 C．截面三角形的最大面积为2 D．若一只小蚂蚁从点出发绕圆锥侧面一周回到点，则最短路程为 【答案】ABC 【分析】由线面垂直的性质可得A正确；取线段的中点，连接，，由线面垂直的判定定理证明平面可得B正确；由三角形的面积公式可得C正确；由侧面展开图的性质可得D错误. 【详解】对于A，平面，平面，，A正确； 对于B，设为圆锥底面圆的直径． 由，得， 则． 如图，取线段的中点，连接，． 由可知为等边三角形，即， 又平面，平面，， 因为平面，所以平面． 所以点到平面的距离为， 所以直线与平面夹角的正弦值为，B正确． 对于C，设圆锥的母线长为，则截面的面积为， 当时，截面的面积最大，所以面积最大值为2，C正确． 对于D，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为． 又因为，所以最短路程为，D错误． 故选：ABC． 41．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)如图所示，在正方体中，O为的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ） A．O、M、三点共线 B．平面 C．直线与直线是相交关系 D．二面角的平面角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】对于A，由点线面的位置关系说明即可；对于B，说明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证；对于C，由异面直线的定义说明即可；对于D，由二面角的定义说明二面角的平面角为，再结合余弦定理验算即可. 【详解】对于A，如图所示，因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面与平面的交线为， 又平面，平面， 所以，故A正确； 对于B，因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 而平面，从而， 不妨设正方体棱长为1，则， 又因为，所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以，， 所以，所以， 又因为，平面，， 所以平面，故B正确； 对于C，因为是相交的关系，是平行关系，所以直线与直线是异面关系，故C错误； 对于D，如图所示， 设正方体棱长为1，则三角形是边长为的等边三角形，三角形是腰长为1的等腰直角三角形， 取中点，所以平面，平面， 所以二面角的平面角为， 过点作，又因为面面，面， 所以面， 又因为面，所以， 而， 从而， 所以二面角的平面角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 42．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)四面体的体积为，则下列说法正确的有（   ） A．若该四面体有5条棱的长为2，则 B．若，，则 C．若，则 D．若该四面体有1条棱的长为6，其余5条棱的长为4，则 【答案】ABD 【分析】利用体积分割法求解体积判断AD，利用三棱锥体积判断B，举反例判断C. 【详解】 对于A选项，如图1，， 取的中点，连接， 则，且， 所以为二面角的平面角， 当时，，A正确； 对于B选项，如图2，在中，，， 所以的高，则的面积为， 故当平面时，，B正确； 对于C选项，如图3，当，平面时，，C错误； 对于D选项，如图4，， 分别取的中点，连接， 则，且，， 平面，所以平面， 在中，，， 所以，D正确. 故选：ABD. 43．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．过点，，的平面截正方体所得截面多边形为正五边形 B．若三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 C．从顶点出发沿正方体的表面运动到点的最短路线长为 D．若用一张正方形的纸把正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需正方形纸的面积的最小值为8 【答案】BCD 【分析】对于A作出过点，，的平面截正方体所得截面计算截面边长即可判断，对于B：取棱、的中点，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，求半径即可判断，对于C正方体部分展开分别求出即可判断，对于D由正方体的侧面展开图.结合图④可以看出五个边长为2的正方形及上下左右四个等腰直角三角形组成一个正方形，可知要想把正方体完全包住，正方形 即为所求最小正方形，计算其面积即可判断. 【详解】对于A：如图①，延长交的延长线于点，易得，所以，连接交于点，由，得，所以是上靠近的三等分点，在棱上取点，使得，连接，则，在棱上取点，使得，连接，则，得，取的中点，连接，则，得，则是上靠近的三等分点，连接，则五边形即为所求截面. ，， ，， ，故五边形不是正五边形，故A错误； 对于B：如图②，取棱、的中点，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，直径长为，则球的表面积为，故B正确 对于C：正方体部分展开图如图③所示，按不同的展开方式，分三种情况：， ，，则的最小值为，故C正确. 对于D：由正方体的侧面展开图.结合图④可以看出五个边长为2的正方形及上下左右四个等腰直角三角形组成一个正方形，可知要想把正方体完全包住，正方形 即为所求最小正方形，其对角线长为，所以面积为，故D正确. 44．(24-25高一下·湖北咸宁·期末)如图，正方体的棱长为1，P是线段上的一个动点，下列结论正确的是（   ） A．存在点P，使得 B． C．当点P在上运动时，三棱锥的体积不变 D．以点B为球心，为半径的球的球面与该正方体表面的交线长为 【答案】BCD 【分析】对A，利用展开图，三点共线可以判断；对B根据平面判断即可；对C，利用计算即可；对D，利用图形，计算得到，然后利用弧长公式计算即可. 【详解】A选项，如图，将与四边形展开到同一平面，当A，P，C三点共线时，取到最小值为，故A错误． B选项，∵平面，平面，∴，故B正确． C选项，为定值，故C正确． D选项，∵，∴以点B为球心，为半径的球与棱，，分别相交，如图，交点设为E，F，G，∴， 由对称性，我们先计算球与平面的交线的长度． 在中，，，∴， 同理，∴， 的长为，则交线长共为，故D正确． 故选：BCD 45．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知三棱锥中，，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是上靠近点的四等分点，设，，，下列说法正确的是（   ） A．是平面的一个法向量 B． C．直线与直线所成角为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】A选项，由于是空间的一组基底，设平面的一个法向量，利用即可求解；B选项，用基底表示，计算是否成立；C选项，用基底表示，根据夹角公式求解；D选项，结合A求出的法向量，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】 由题知，，，， A选项，显然是空间的一组基底， 故可设平面的一个法向量，于是， 即，即, 取，则，于是是平面的一个法向量， A选项正确； B选项， ，， 于是， 即不成立，B选项错误； C选项，，，则， 由于，，则是等边三角形，则， 于是，则向量的夹角是， 则直线与直线所成角为，C选项正确； D选项，根据点到平面的距离公式，点到平面的距离为， 而， ， 于是点到平面的距离为，D选项正确. 故选：ACD 46．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则下列结论中正确的是（    ）    A．平面 B． C．直线与直线所成角的大小为90° D．设平面底面，则二面角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】连接，利用线线平行可判断A；利用勾股定理的逆定理可判断B；可得，进而得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，求解即可判断C；可证平面平面，进而二面角与二面角相等，求解可判断D. 【详解】连接，因为为底面正方形的中心，所以是的中点，又为侧棱的中点， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以， 又，所以，故B正确. 由于分别为侧棱的中点，所以. 又四边形为正方形，所以，所以， 所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即. 又为等边三角形，所以，故C错误. 又平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 二面角与二面角相等， 连接，取的中点，连接，    因为，所以， 因为四棱锥是正四棱锥，为底面正方形的中心，所以平面， 又平面，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 设正四棱锥的棱长为2，则，， 所以， 所以二面角的余弦值为，故D正确. 故选：ABD. 47．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知棱长为的正四面体（棱长都相等的三棱锥）的高为，外接球的半径为，内切球的半径为，现有棱长为的正四面体的内切球的表面积为，且表面密封，下列说法正确的是（   ） A．侧棱与平面所成的角的正切为 B．正四面体的外接球的体积为 C．若有一个小正四面体在正四面体的内部，且可以任意旋转，则小正四面体的棱长的最大值为 D．若有一个小正方体在正四面体的内部，且可以任意旋转，则小正方体的棱长的最大值为 【答案】BC 【分析】设点在平面内的射影为点，则平面，即为侧棱与平面所成的角. 在中，利用勾股定理求出，即可判断选项A；由正四面体的内切球的表面积及求得表面积公式可求得正四面体的内切球的半径，由题中公式可知正四面体的外接球的半径，利用球的体积公式即可判断选项B；当小正四面体的外接球为正四面体的内切球时，小正四面体的棱长取得最大值，根据题中公式即可判断选项C；当小正方体的外接球为正四面体的内切球时，小正方体的棱长取得最大值，根据题中公式即可判断选项D. 【详解】    如图所示，设点在平面内的射影为点，则平面，即为侧棱与平面所成的角. ∵平面，∴. 由题知，，， ∴在中，，， ∴侧棱与平面所成的角的正弦值为，正切值为，故选项A错误； ∵棱长为的正四面体的内切球的表面积为， ∴由题可知，解得，即正四面体的内切球的半径. ∴正四面体的外接球的半径，体积为，故选项B正确； 当小正四面体的外接球为正四面体的内切球时，小正四面体的棱长取得最大值，∴，即，故选项C正确； 当小正方体的外接球为正四面体的内切球时，小正方体的棱长取得最大值，∴，即，故选项D错误. 故选：BC. 48．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使得直线平面 B．过三点的平面截正方体所得的截面的面积为 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据正方体的性质，结合线面平行、面面平行的判定定理和性质定理逐项判定可判断ABC的正误，利用展开法，结合余弦定理计算可求得的最小值，进而判定D. 【详解】对于A，过点与平面平行的直线都在过点与平面平行的平面内， 易知过与平面平行的平面截正方体的截面为如图 所示的六边形，其各顶点都是正方体的相应棱的中点， 由于，平面，平面， ∴平面与直线平行，∴平面与线段没有公共点， 即点在平面外，点在平面内，所以不存在点， 使得平面平面，故A错误； 对于B，∵正方体的对面互相平行，∴过三点的平面截正方体的 对面所得的截线互相平行，又∵点为线段的中点， ∴截面交于其中点，连接，则四边形即为所求截面， 显然为等腰梯形，且， 梯形的高， 面积为，故B正确； 对于C，∵，平面，， ∴平面，又∵，∴点到平面的距离为定值， 又∵的面积为定值，∴当点在线段上运动时， 三棱锥的体积不变，当点与点重合时， ， 故C正确； 对于D，将矩形展开到与等腰直角三角形在同一平面内，如图所示， ， 当共线时取等号，故D错误. 故选：BC. 49．(24-25高一下·湖北黄石·期末)如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E为该球与母线BC的切点，CD，AB分别为铁桶上，下底面的直径，且，，F为的中点，则（   ） A．铁桶的母线长为3 B．铁桶的侧面积为 C．直线EF与圆台下底面所成角的正切值为 D．桶中另一个球的半径的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A选项，研究轴截面，设内切圆半径为，利用等面积法求出腰长，即为母线长；对于B选项,利用侧面积公式直接计算铁桶侧面积即可；对于C选项，过点作于点，说明所求为，结合解三角形知识即可验算；对于D选项，在轴截面ABCD中，通过相似三角形求得另一个球半径最大值. 【详解】对于选项A，如图所示， 由题，铁桶的轴截面是上底为4,下底为2的等腰梯形且有内切圆，如上图， 设内切圆半径为，则梯形两腰长为， 梯形面积公式可以用两种方式表示为 ， 故铁桶的母线长为3，A正确； 对于选项B，侧面积公式为，故B正确； 对于选项C，如图所示，过点作于点， 由图可知，其中， 而母线长为3，所以点为线段的靠近点的三等分点， 由A可知，，所以，， 由于垂直底面圆， 所以垂直底面圆， 如图所示， 所以直线EF与圆台下底面所成角为， 因为，，所以 所以，故C错误； 对于选项D，当球与球、桶盖、桶壁均相切时，球的半径最大，设为， 如下图，在轴截面ABCD中，由， 则， 可求得另一个球半径的最大值为. 故选：ABD. 50．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)在中，，点是的中点，点满足，将沿直线向上翻折至，得到四棱锥，下列说法正确的是（   ） A．，//平面 B． C．若，则翻折过程中线段扫过的曲面面积为 D．若点在平面上的射影恰好落在线段上，则与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据线面平行的判定定理判断A的真假；根据线面垂直的判定定理得到平面，再根据线面垂直的概念可得线线垂直，可判断B的真假；先确定线段扫过的曲面的形状，再求其面积，可判断C的真假；找出直线与平面所成的角，分析何时所成角的正弦值最大，并求最大值，可判断D的真假. 【详解】在中，由余弦定理可得： ，所以. 所以是等腰三角形，腰长为2，底角为，顶角为. 对A：如图： 当时，为中点，又为中点，所以， 平面，平面，所以平面.故A正确； 对B，如图： 过作，垂直为，连接，，根据翻折的性质可知， 又平面，，所以平面. 又平面，所以.故B正确； 对C：当时，. 在中，由余弦定理可得： ， 因为， 所以时以为直角顶点的直角三角形. 所以所扫过的曲面是圆锥的一部分. 在中，，，由余弦定理可得： ， 所以. 所以所扫过的曲面面积为：，故C错误； 对D：如图： 因为点在平面的射影恰好落在线段上，设为，则平面. 设与平面所成的角就是，记为，则. 而当时，有最小值，为， 所以， 所以.故D正确. 故选：ABD 51．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)如图，四面体ABCD中，M是棱AB上的动点，N是棱CD上的动点（M、N不与四面体的顶点重合）.记BN与DM所成的角为与平面MCD的所成的角为，平面MCD与平面BCD的夹角为，则的大小关系不可能是（   ） （注：平面与平面相交形成的四个二面角中，不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先证明最小角定理与最大角定理，从而得，由此判断AC；再举例建系求解，说明BD项大小关系可能成立. 【详解】①证明：（最小角定理）线面角是平面内的一条斜线与该平面内的直线所成角中的最小角. 如图，是平面的一条斜线，点在平面内的射影为，直线是平面过点除外的任意一条直线. 下面先证明. 过作，垂足为，由平面，平面， 则，又，且平面， 故平面，平面，则， 故都是直角三角形， 则， 从而，又， 故，而即为与平面所成的角. 又由直线所成角定义可知，直线经过平移后不改变所成角， 故最小角定理得证. 由最小角定理，本题中可得，故C大小关系不可能成立； ②证明：（最大角定理）两平面的夹角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大角. 如图，为锐二面角的棱，为棱上一点，，且，是上异于点的任一点. 下面先证明. 由题意可知，是锐二面角的平面角，即平面的夹角. 由，，则， 则都是直角三角形， 则. 从而，由题意又， 则，即最大角定理得证. 由最大角定理，在本题中可得，故A大小关系不可能成立； B项，举例如下：如图，在四面体ABCD中，及都是等腰直角三角形，且平面平面， 其中，M是棱上的中点，N是棱上的中点（不与四面体的顶点重合）. 如图，取中点，由可得，且. 平面平面， 又平面平面，平面， 则平面，同理，平面. 由得， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由此可得，，， 则； 设平面的一个法向量， 则， 令，则， 取， 则， 则， 取平面的一个法向量， 则， 由，即，则； 故B项大小关系可能成立； D项，举例如下： 如图，在四面体中，与都是等腰直角三角形，且平面平面， 其中，M是棱上靠近的五等分点（）， N是棱上的靠近的四等分点（），（不与四面体的顶点重合）. 由题意可知，又平面平面， 且平面平面，平面， 则平面. 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由此可得，，， 则； 设平面的一个法向量， 则， 令，则， 取， 则， 则， 取平面的一个法向量， 则， 由，即，则； 故D项大小关系可能成立； 综上，大小关系不成立的是AC. 故选：AC. 52．(24-25高一下·湖北荆门·期末)阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则（    ） A．直四棱柱是正方体，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为 B．若，则三棱锥在顶点处的离散曲率为 C．若四面体在点处的离散曲率为，则平面 D．若直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则与平面所成角的正切值为 【答案】BCD 【分析】根据多面体M在点P处的离散率的定义，由各选项的条件分析几何体的结构特征，判断垂直关系及计算直线与平面所成的角，判断选项的正误. 【详解】A.直四棱柱是正方体，则直四棱柱在顶点A处的 离散曲率为，故A错误； B.若，则三棱锥在顶点处的离散曲率为 ，故B正确； C.若四面体在点处的离散曲率为， 即， 则，故为正三角形，， 所以，所以四边形为正方形， 所以直四棱柱是正方体，因为平面， 平面，所以，因为，平面， 平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 同理可得，又平面，平面， ，则有平面，故C正确； D.若直四棱柱在顶点A处的离散曲率为： ，则，如图，设， ，则，，由C可知， 因为四边形为菱形，所以，又平面， 平面，，所以平面， 所以即与平面所成角， ，， 故，故D正确. 故选：BCD. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 立体几何小题综合 7大高频考点概览 考点01斜二测画法中有关量的计算 考点02空间中点线面位置关系的判断 考点03侧面积、表面积、体积的计算 考点04球体 考点05空间角的计算 考点06空间距离的计算 考点07多选题多考点综合 ( 考点 01 斜二测画法中有关量的计算 ) 1．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，．则平面四边形的面积为（   ） A．8 B．16 C． D． 2．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)如图所示为水平位置的正方形，在平面直角坐标系中，点的坐标为，用斜二测画法画出它的直观图，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（   ）    A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 ( 考点 02 空间中点线面位置关系的判断 ) 4．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)若表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知，，是互不重合的三条直线，，，是互不重合的三个平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若与是异面直线，，，则 D．若，，，，则 6．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．(24-25高一下·湖北咸宁·期末)已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，， 则 C．若，，，则 D．若，，，则 9．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)设a，b表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若a，b是两条平行直线，且，则 B．若a，b是两条异面直线，与a，b都相交的两条直线是异面直线 C．若，则 D．若a，b是两条异面直线，且，则 10．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知，是两个不同的平面，则的一个充分条件是（   ） A．存在两条不同直线a，b，使，，， B．存在两条不同直线a，b，使，，， C．存在两条异面直线a，b，使，，， D．存在两条平行直线a，b，使，，， 11．(24-25高一下·湖北武汉·期末)下列命题正确的个数是（） ①空间中三条不同的直线，，满足，，，则，，共面 ②已知直线，和平面，且，，则 ③如果平面平面，平面平面，那么平面平面 ④已知平面，，，且，，，则 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)正方体中，、、、分别是所在棱的中点，则下列图形中与是异面直线，且所成的角为的是（   ） A． B． C． D． 14．(24-25高一下·湖北武汉·期末)（多选）在正四棱柱中，，分别是，的中点，则（） A． B．平面 C． D．平面 ( 考点 0 3 侧面积、表面积、体积的计算 ) 15．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)已知圆锥的母线长为2，高为，则圆锥的全面积为（   ） A．5π B．4π C．3π D．2π 16．(24-25高一下·湖北荆门·期末)若底面半径为圆锥的侧面展开图为一个半圆面，则该圆锥的体积为__________. 17．(24-25高一下·湖北武汉·期末)已知圆台的上底面直径为1，下底面直径为2，母线长为1，则该圆台的体积为__________. 18．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知圆锥的母线长为，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为__________. 19．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，则该圆台的侧面积为（   ） A．2π B．6π C．9π D．11π 20．(24-25高一下·湖北咸宁·期末)如图，在三棱锥中，，，BC=4，异面直线AD与BC所成角的正弦值为，则三棱锥的体积为______． 21．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)已知圆台上下底面半径分别为1，2，圆台的母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 22．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)已知正四棱台，，其侧面积为，则该棱台的体积为（    ） A．18 B．27 C． D． 23．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（   ） A． B．3 C．4 D． 24．(24-25高一下·湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的四等分点，平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，那么（   ） A． B． C． D． ( 考点 0 4 球体 ) 25．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知圆锥的底面半径为2，且内切球球心与外接球球心重合，则圆锥外接球表面积为_______ 26．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)设、、、是同一个半径为的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为，则三棱锥体积的最大值为（   ） A． B． C． D． 27．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为6，则球的表面积为____________. 28．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)如图，三棱锥中，，点在底面的投影为的外心，若，，，则三棱锥的外接球的表面积为______．    29．(24-25高一下·】湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球体积为（   ）    A． B． C． D． 30．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)正四棱台的体积为，上底面，下底面的边长分别为4，6，记交于点交于点，则______，若四棱台的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为______． ( 考点 0 5 空间角的计算 ) 31．(24-25高一下·湖北黄石·期末)如图，AB，CD是正方体展开图中的两条线段，则原正方体中AB与CD所成角为（   ）    A． B． C． D． 32．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)如图，已知正四棱柱中，，设直线与平面所成的角为，直线与直线所成的角为，则（   ） A． B． C． D． 33．(24-25高一下·湖北武汉青山区·期末)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的大小为________． 34．(24-25高一下·湖北武汉·期末)在三棱锥中，，，，，为的中点，三棱锥的外接球的表面积为，则直线与平面所成角的正弦值为（） A． B． C． D． ( 考点 0 6 空间距离的计算 ) 35．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)正方体中，是AB的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 36．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)如图，在直角梯形中，，，，，以边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形成的面围成一个几何体.则该几何体的表面积为______；一只蚂蚁在形成的几何体上从点A绕着几何体的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短路程为_______. 37．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)已知三棱锥，侧棱，底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，则该三棱锥体积为___________；D为内切圆（含圆内）上一动点，设D到平面的距离为m，D到平面距离为n，则的最大值为___________． 38．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)类比思想是学习数学的一种重要的思想方法，是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的一种思维方法.在平面几何中，有如下命题“正三角形的高为，是内任意一点，到三边的距离分别为，，，则为定值”.证明如下：设正三角形边长为，高，到三边的距离分别，，，则：，即：，化简得，，∴（定值）.类比此命题及证明方法，在立体几何中如图，正四棱锥中，，侧面与底面的夹角为.若点是正四棱锥内任意一点，点到平面，平面，平面，平面，平面的距离分别为，，，，，则（   ）    A． B． C． D． ( 考点 0 7 多选题多考点综合 ) 39．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)已知空间四边形中，且，设，设与平面所成角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D．的最小值为 40．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)已知圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，其母线长为2，底面圆周上有，两点，下列说法正确的有（   ） A． B．若，则直线与平面夹角的正弦值为 C．截面三角形的最大面积为2 D．若一只小蚂蚁从点出发绕圆锥侧面一周回到点，则最短路程为 41．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)如图所示，在正方体中，O为的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（ ） A．O、M、三点共线 B．平面 C．直线与直线是相交关系 D．二面角的平面角的余弦值为 42．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)四面体的体积为，则下列说法正确的有（   ） A．若该四面体有5条棱的长为2，则 B．若，，则 C．若，则 D．若该四面体有1条棱的长为6，其余5条棱的长为4，则 43．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．过点，，的平面截正方体所得截面多边形为正五边形 B．若三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 C．从顶点出发沿正方体的表面运动到点的最短路线长为 D．若用一张正方形的纸把正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需正方形纸的面积的最小值为8 44．(24-25高一下·湖北咸宁·期末)如图，正方体的棱长为1，P是线段上的一个动点，下列结论正确的是（   ） A．存在点P，使得 B． C．当点P在上运动时，三棱锥的体积不变 D．以点B为球心，为半径的球的球面与该正方体表面的交线长为 45．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知三棱锥中，，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是上靠近点的四等分点，设，，，下列说法正确的是（   ） A．是平面的一个法向量 B． C．直线与直线所成角为 D．点到平面的距离为 46．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则下列结论中正确的是（    ）    A．平面 B． C．直线与直线所成角的大小为90° D．设平面底面，则二面角的余弦值为 47．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知棱长为的正四面体（棱长都相等的三棱锥）的高为，外接球的半径为，内切球的半径为，现有棱长为的正四面体的内切球的表面积为，且表面密封，下列说法正确的是（   ） A．侧棱与平面所成的角的正切为 B．正四面体的外接球的体积为 C．若有一个小正四面体在正四面体的内部，且可以任意旋转，则小正四面体的棱长的最大值为 D．若有一个小正方体在正四面体的内部，且可以任意旋转，则小正方体的棱长的最大值为 48．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（   ） A．存在点，使得直线平面 B．过三点的平面截正方体所得的截面的面积为 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为 D．的最小值为 49．(24-25高一下·湖北黄石·期末)如图，一个带有盖子的密闭圆台形铁桶中装有两个实心球（桶壁的厚度忽略不计），其中一个球恰为铁桶的内切球（与圆台的上，下底面及每条母线都相切的球），E为该球与母线BC的切点，CD，AB分别为铁桶上，下底面的直径，且，，F为的中点，则（   ） A．铁桶的母线长为3 B．铁桶的侧面积为 C．直线EF与圆台下底面所成角的正切值为 D．桶中另一个球的半径的最大值为 50．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)在中，，点是的中点，点满足，将沿直线向上翻折至，得到四棱锥，下列说法正确的是（   ） A．，//平面 B． C．若，则翻折过程中线段扫过的曲面面积为 D．若点在平面上的射影恰好落在线段上，则与平面所成角的正弦值的最大值为 51．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)如图，四面体ABCD中，M是棱AB上的动点，N是棱CD上的动点（M、N不与四面体的顶点重合）.记BN与DM所成的角为与平面MCD的所成的角为，平面MCD与平面BCD的夹角为，则的大小关系不可能是（   ） （注：平面与平面相交形成的四个二面角中，不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角） A． B． C． D． 52．(24-25高一下·湖北荆门·期末)阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.”解答问题：已知在直四棱柱中，底面为菱形，，则（    ） A．直四棱柱是正方体，则直四棱柱在顶点A处的离散曲率为 B．若，则三棱锥在顶点处的离散曲率为 C．若四面体在点处的离散曲率为，则平面 D．若直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则与平面所成角的正切值为 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $