专题07 统计与概率（7大考点）（期末真题汇编，湖北专用）高一数学下学期

**基本信息** 汇编湖北多地高一下期末真题，聚焦统计与概率7大高频考点，通过分层抽样、频率分布直方图、数字特征计算等真实情境问题，考查数据处理与综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|42题|随机抽样、百分位数、平均数、方差、事件判断、概率|结合食堂满意度调查考查分层抽样与百分位数计算；以体育测试频率分布直方图考查平均数与方差综合应用；通过汽车性能打分数据融合频率分布与方差公式推导|

专题07 统计与概率 7大高频考点概览 考点01随机抽样 考点02百分位数 考点03平均数 考点04方差及样本方差 考点05样本数字特征综合 考点06事件的判断 考点07概率 ( 地 城 考点01 随机抽样 ) 1．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)我市某所高中共有学生1800人，其中一、二、三年级的人数比为，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为______． 2．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)学校运动会志愿者服务协会共有“检录组”“计分组”“宣传组”三个组别，其中“检录组”比“宣传组”多8人，现采用比例分配的分层随机抽样方法从中选出部分志愿者参加田径比赛的志愿服务，如果选出的人中有3人来自“检录组”，4人来自“计分组”，1人来自“宣传组”，那么学校运动会志愿者服务协会“计分组”的人数为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 3．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数）不低于0.90，则“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成]五组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中t的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过按比例分配分层随机抽样抽取45人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． ( 地 城 考点02 百分位数 ) 4．(24-25高一下·湖北咸宁·期末)一组数据5，3，2，4，5，8，7，7，9，9的中位数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．6.5 5．(24-25高一下·湖北荆门·期末)样本数据的上四分位数为（    ） A．30 B．31 C．33 D．34 6．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)一组数据78，70，72，79，80，84，86，88，81，94的第70百分位数是（   ） A．81 B．84 C．85 D．86 7．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)一组数据5，9，7，3，10，12，20，8，18，15，21，23的上四分位数（即第75百分位数）为（   ） A．7 B．7.5 C．18 D．19 ( 地 城 考点0 3 平均数 ) 8．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（   ） A．5，8 B．6，8 C．5，7 D．6，7 9．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)立德中学某次课外定点投篮比赛中，登记的9个数据的平均数为8，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据15，则修正后的10个数据的平均数为______． 10．(24-25高一下·湖北荆州·期末)某中学举办学生数学素养知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计全校答卷成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 11．(24-25高一下·湖北黄石·期末)为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)请根据样本数据估计，全校学生一周内的校志愿者活动平均时长为多少？ (3)学校现在准备对志愿者活动时长排在前10%的学生授予“志愿活动模范之星”的荣誉称号，根据样本数据估计，志愿者活动时长最少为多少分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”？ ( 地 城 考点0 4 方差及样本方差 ) 12．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)下列各组数据中方差最大的一组是（   ） A．3，3，3，3，3 B．2，2，3，4，4 C．1，2，3，4，5 D．1，1，3，5，5 13．(24-25高一下·湖北咸宁·期末)在一次全班52人均参考的数学考试中，平均分为100，方差为100，去掉一个最高分140，去掉一个最低分80，则剩下50名学生成绩的方差为（   ） A． B． C． D．101 14．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知一组数据分别是1，4，2，3，，它们的平均数是3，则对于以下数据：的方差是________ 15．(24-25高一下·湖北黄石·期末)在对某校高三学生体质健康状况的调查中，按照性别比例进行分层随机抽样.已知抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差的最小值为（   ） A．10 B．12 C．13 D．15 16．(24-25高一下·湖北荆州·期末)为了解某高中学校学生每周阅读课外书籍的数量，按年级分层，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取学生进行统计.现抽取高一学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为3.2；抽取高二学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为2本，方差为2.3.则该校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总样本的方差是__________. 17．(24-25高一下·】湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为22.5，已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的学均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是__________. 18．(24-25高一下·湖北宜昌葛洲坝中学·期末)汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势.某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在内，将这些数据分成6组：，，，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示. (1)求样本中打分在内的客户人数，估计样本的中位数，并求出样本的平均数； (2)已知打分在内的样本数据的平均值为63，方差为5，打分在内的样本数据的平均值为78，方差为2，求打分在内的样本数据的平均值与方差. 19．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市教育局举办了“青春筑国防”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数分成六组： ，……，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本数据的第47百分位数； (3)已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： 和，记总体的样本平均数为，样本方差为，则 20．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)七彩联盟组织学生参加数学知识竞赛活动，现从中抽取500名学生的竞赛成绩为样本，按照分成6组，制作出如图所示数据不完整的频率分布直方图，并计算出：成绩在内的学生的平均成绩为分，方差为；成绩在内的学生的平均成绩为分，方差为；样本的学生的平均成绩为分． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)成绩位列前60%的学生将获得优胜奖，以样本估计总体，估计获得优胜奖的成绩为多少分？（取整数分） (3)求样本的方差． 21．(24-25高一下·湖北荆门·期末)为了解游客五一假期来漳河旅游的体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）； (2)已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差. 22．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本平均数； (2)试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 23．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)某校高一年级学生参加了一学期内平均每周球类运动时长（单位：小时）的调研，现随机抽取40名学生的平均每周球类运动时长进行数据整理，按进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)若将平均每周球类运动时长大于或等于10小时的学生视为“球类运动爱好者”，已知该校高一年级有1200名学生，试估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数； (2)若小明的平均每周球类运动时长为10.5小时，试估计其是否超过该年级的学生； (3)若甲，乙，丙三位同学的平均每周球类运动时长分别为，当其方差最小时，求的值． 24．(24-25高一下·湖北武汉·期末)某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)估计此次测试分数的平均值； (2)公司计划按照分数从高到低选拔前50名的应聘者进入面试环节，试估计这50名应聘者的最低分数； (3)试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 25．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数，样本方差为. (1)证明：； (2)证明：； (3)现已知某高中共有学生1400人，其中男生800人，体重平均数66kg，方差为180，女生600人，体重平均数为52kg，方差为90，求出该校所有学生体重的平均数和方差. 26．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． (1)求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）． (3)已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，则． 27．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)统计学中，协方差用来描述两组数据和之间的总体的误差．定义：协方差．已知甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表： 甲 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 1 2 3 4 5 物理成绩 1 3 3 3 5 2 5 6 7 10 乙 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 3 3 4 5 5 物理成绩 1 3 3 4 4 4 6 7 9 9 (1)依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差； (2)分别求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，并计算他们数学物理总成绩的方差．根据计算结果，猜想一般情况下和之间的等量关系式（不需要证明）； (3)在一般情况下，证明：． ( 地 城 考点0 5 样本数字特征综合 ) 28．(24-25高一下·湖北部分高中协作体·期末)（多选）某校随机抽取了100名学生测量体重.经统计，这些学生的体重数据（单位:kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（   ） A．频率分布直方图中a的值为0.07 B．这100名学生中体重低于60 kg的人数为60 C．据此可以估计该校学生体重的第78百分位数为62 D．据此可以估计该校学生体重的平均数为62.5 29．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（   ） A．若，则方差不变 B．若极差不变，则 C．若，则中位数变大 D．若平均数不变，则 30．(24-25高一下·湖北黄石·期末)有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，.其中，，则（   ） A．新样本数据的平均数变小 B．新样本数据的标准差变大 C．两组数据中位数不变 D．两组数据极差不变 31．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)已知100个数据的上四分位数是93，则下列说法正确的是（    ） A．将这100个数据从小到大排列后，第25个数据是93 B．将这100个数据从小到大排列后，第75个数据是93 C．将这100个数据从小到大排列后，第25个数据和第26个数据的平均数是93 D．将这100个数据从小到大排列后，第75个数据和第76个数据的平均数是93 32．(24-25高一下·湖北荆州·期末)（多选）下列命题正确的是（    ） A．数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6 B．数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 C．若数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为2 D．若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数 33．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)（多选）一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（   ） A．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C．去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 D．去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 34．(24-25高一下·湖北武汉·期末)（多选）某新能源汽车公司对600辆量产车进行电池续航测试，其中360辆为SUV车型，240辆为轿车车型.质检部门采用分层抽样（按车型分层）抽取60辆车，实测满电续航里程.经计算：SUV车型样本均值为475公里，方差为20；轿车车型样本均值为465公里；所有60辆样本车的总方差为48.下列说法正确的是（   ） A．SUV车型的样本容量为36 B．每辆轿车被抽入到样本的概率为 C．所有样本车的平均续航里程为471公里 D．轿车续航里程的样本方差为30 ( 地 城 考点0 6 事件的判断 ) 35．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“两次掷出的点数相同”，事件“第一次掷出的点数是偶数”，则（   ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 36．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)（多选）设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（   ） A．事件与C相互独立 B．事件A，B，C两两独立 C． D． 37．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)（多选）已知事件满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若互斥，则 C．若互斥，则 D．若相互独立，则 ( 地 城 考点0 7 概率 ) 38．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 39．(24-25高一下·湖北黄石·期末)用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为______. 40．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)某工厂生产的零件需要经过两道质量检测工序合格后方可认定零件合格，第一道检测工序检测合格的概率为0.8，第二道工序检测合格的概率为0.7，则一个零件不合格的概率___________． 41．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为_______. 42．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)当前中学生体质呈现“整体改善、局部恶化”的复杂态势.教育部明确将体育纳入初高中学业水平考试，并作为招生录取计分科目，学生的体育素质越来越受到关注，某高校招生拟引入体育素质评价结果，随机抽取了500名学生进行了体能素质测试，并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值并估计这500名学生成绩的平均数和中位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)体能素质测试分数不低于90分才能评定为体能优秀，现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，再从这7人中随机选出两人，求这两人恰有1人体能优秀的概率. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 统计与概率 7大高频考点概览 考点01随机抽样 考点02百分位数 考点03平均数 考点04方差及样本方差 考点05样本数字特征综合 考点06事件的判断 考点07概率 ( 地 城 考点01 随机抽样 ) 1．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)我市某所高中共有学生1800人，其中一、二、三年级的人数比为，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为______． 【答案】100 【分析】根据抽样比即可求解. 【详解】由题意可得应抽取一年级的人数为. 故答案为：100 2．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)学校运动会志愿者服务协会共有“检录组”“计分组”“宣传组”三个组别，其中“检录组”比“宣传组”多8人，现采用比例分配的分层随机抽样方法从中选出部分志愿者参加田径比赛的志愿服务，如果选出的人中有3人来自“检录组”，4人来自“计分组”，1人来自“宣传组”，那么学校运动会志愿者服务协会“计分组”的人数为（    ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】A 【分析】根据分层抽样的抽样比和已知条件列出等式求得总人数，进而可求得计分组人数. 【详解】不妨设总人数为，则， 所以，所以计分组人数为， 故选：A． 3．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数（认可系数）不低于0.90，则“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成]五组，得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中t的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过按比例分配分层随机抽样抽取45人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 【答案】(1)，88.33 (2)20 (3)需要进一步整改，理由见解析 【分析】（1）由面积之和为1求，由百分位数定义求第70百分位数即可； （2）由分层抽样的定义计算即可； （3）计算认可系数并和0.9比较大小即可作出结论. 【详解】（1）由图可知：，所以， 评分在内的频率为， 内的频率为， 则第70百分位数位，且， 所以第70百分位数为88.33． （2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为， 则应选取评分在的学生人数为：（人）； （3）由图可知，认可程度平均分为：， 显然认可系数低于0.90，所以“美食”工作需要进一步整改． ( 地 城 考点02 百分位数 ) 4．(24-25高一下·湖北咸宁·期末)一组数据5，3，2，4，5，8，7，7，9，9的中位数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．6.5 【答案】C 【分析】将数据从小到大排序，再利用中位数的定义进行求解. 【详解】数据从小到大排序为2，3，4，5，5，7，7，8，9，9， 中位数为第5个和第6个数的平均数，即. 故选：C 5．(24-25高一下·湖北荆门·期末)样本数据的上四分位数为（    ） A．30 B．31 C．33 D．34 【答案】D 【分析】利用上四分位数的定义，计算数据即可判断． 【详解】样本数据的上四分位数为从小到大排列：， 因为，，所以上四分位数是第8个数为34. 故选：D. 6．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)一组数据78，70，72，79，80，84，86，88，81，94的第70百分位数是（   ） A．81 B．84 C．85 D．86 【答案】C 【分析】根据题意，利用数据的百分位数的概念与计算方法，即可求解. 【详解】将这组数据从小到大排列为：70，72，78，79，80，81，84，86，88，94共10个数， 所以,则其第70百分位数为：，则C项正确. 故选：C. 7．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)一组数据5，9，7，3，10，12，20，8，18，15，21，23的上四分位数（即第75百分位数）为（   ） A．7 B．7.5 C．18 D．19 【答案】D 【分析】应用百分数的求法求上四分位数即可. 【详解】把数据按从小到大的顺序排列得：3，5，7，8，9，10，12，15，18，20，21，23， 因为，所以第75百分位数是第9，10两个数的平均数，为19. 故选：D ( 地 城 考点0 3 平均数 ) 8．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)在高一下学期期中考试后，数学老师随机抽取了6名同学第19题的得分情况如下：3，9，5，8，4，1，则这组数据的平均数和极差分别为（   ） A．5，8 B．6，8 C．5，7 D．6，7 【答案】A 【分析】分别计算数据的平均数和极差进行判断即可. 【详解】这6个数据的平均数为：； 这6个数中，最大值为9，最小值为1，所以这组数据的极差为：. 故选：A 9．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)立德中学某次课外定点投篮比赛中，登记的9个数据的平均数为8，其中．后来发现应该为10，并且漏登记了一个数据15，则修正后的10个数据的平均数为______． 【答案】9 【分析】求出修正后的10个数据的和，进而求出平均数. 【详解】修正后的10个数据的和为， 修正后的10个数据的平均数为. 故答案为：9 10．(24-25高一下·湖北荆州·期末)某中学举办学生数学素养知识竞赛.现从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计全校答卷成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 【答案】(1) (2)40百分位数为72.9，平均数为76.2 【分析】（1）由频率之和为1列方程求解； （2）根据累计频率判断第40百分位数所在区间，然后代入百分位数求解公式计算，区间中点值与对应区间频率的乘积之和即为平均数. 【详解】（1）由频率分布直方图，可知，则. （2）前三个小矩形的面积和为， 前四个小矩形的面积和为，则第40百分位数位于内， 由，得第40百分位数为72.9， 平均数为 . 11．(24-25高一下·湖北黄石·期末)为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，. (1)求，的值； (2)请根据样本数据估计，全校学生一周内的校志愿者活动平均时长为多少？ (3)学校现在准备对志愿者活动时长排在前10%的学生授予“志愿活动模范之星”的荣誉称号，根据样本数据估计，志愿者活动时长最少为多少分钟才可能被评为“志愿活动模范之星”？ 【答案】(1)， (2) (3)325分钟 【分析】（1）由频率分布直方图的面积特征结合题意计算可得； （2）由频率分布直方图中平均数的计算可得； （3）由频率分布直方图计算第90百分位数可得. 【详解】（1）由图知：，， ， ，，， 由于，则； （2）平均时长为 分钟； （3）由题目可知即求样本数据的第90百分位数，由（1）可知 ，， 故第90百分位数落在第六组，由， 可算出第六组小长方形的高为， 假设第90百分位数为x，则有， 解得，故最少需要325分钟. ( 地 城 考点0 4 方差及样本方差 ) 12．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)下列各组数据中方差最大的一组是（   ） A．3，3，3，3，3 B．2，2，3，4，4 C．1，2，3，4，5 D．1，1，3，5，5 【答案】D 【分析】由方差的意义和计算公式可得. 【详解】由题意可得各组的， 由方差的意义可得， ， ， ，   . 故选：D. 13．(24-25高一下·湖北咸宁·期末)在一次全班52人均参考的数学考试中，平均分为100，方差为100，去掉一个最高分140，去掉一个最低分80，则剩下50名学生成绩的方差为（   ） A． B． C． D．101 【答案】B 【分析】解法一：去除后余下50名学生的成绩看作另一个层，求出平均分、方差，代入分层抽样方差公式可得答案；解法二：去除最高分和最低分后，求出剩余学生的新均值、新方差可得答案. 【详解】解法一：一个班级有52名学生，设数学考试的平均分为，方差为． 去除的最高分140和最低分80看作一个层，平均分为， 方差为． 去除后余下50名学生的成绩看作另一个层， 平均分为，方差为． 由分层抽样方差公式， 带入数据得，； 解法二：一个班级有52名学生，数学考试的平均分为100，方差为100． 则方差， 其中，，， 由方差公式：， 解得，． 去除最高分140和最低分80后，剩余学生， 新总和：， 新平方和：， 新均值， 新方差， 由得． 故选：B. 14．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)已知一组数据分别是1，4，2，3，，它们的平均数是3，则对于以下数据：的方差是________ 【答案】8 【分析】根据平均数求法列方程得，方差公式及性质求新数据的方差. 【详解】由题意，故， 所以，，，，的方差为， 数据，，，，的方差是. 故答案为：8 15．(24-25高一下·湖北黄石·期末)在对某校高三学生体质健康状况的调查中，按照性别比例进行分层随机抽样.已知抽取了男生80人，女生120人，其方差分别为15，10，由此估计样本的方差的最小值为（   ） A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】根据题意，设男生体质健康状况的平均数为，女生的平均数为，总体的平均数为，方差为，结合方差的公式，分析选项，即可求解. 【详解】设男生体质健康状况的平均数为，女生的平均数为，总体的平均数为，方差为， 则， ， . 故选：B. 16．(24-25高一下·湖北荆州·期末)为了解某高中学校学生每周阅读课外书籍的数量，按年级分层，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽取学生进行统计.现抽取高一学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为3本，方差为3.2；抽取高二学生25人，其每周阅读课外书籍数量的均值为2本，方差为2.3.则该校高一、高二学生每周阅读课外书籍数量的总样本的方差是__________. 【答案】3 【分析】根据分层随机抽样中总样本方差的计算公式来求解. 【详解】因为高一抽取学生25人，样本均值为3；高二抽取学生25人，样本均值为2， 根据分层随机抽样总样本均值公式. 根据分层随机抽样总样本方差公式可得： . 故答案为：3. 17．(24-25高一下·】湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)湖州地区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为，三所学校共有数学强基学生48人，在一次统一考试中，所有学生的成绩平均分为117，方差为22.5，已知甲、乙两所学校的数学强基小组学生的学均分分别为118和114，方差分别为15和21，则丙学校的学生成绩的方差是__________. 【答案】18 【分析】计算各校人数，标记平均值和方差，确定，，计算得到答案. 【详解】甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数之比为， 三所学校共有数学强基学生48人， 甲校的数学强基小组人数24； 乙校的数学强基小组人数为16； 丙校的数学强基小组人数8， 把甲校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把乙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把丙校的数学强基小组学生的平均分记为，方差记为； 把所有学生的平均分记为，方差记为． 根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得，即，解得， ， 即，解得. 故答案为：18. 18．(24-25高一下·湖北宜昌葛洲坝中学·期末)汽车智能化——无人驾驶汽车成为汽车行业发展趋势.某汽车研发部门为了解客户对无人驾驶汽车的性能满意情况，随机抽取200名客户对无人驾驶汽车的性能进行打分，发现打分均在内，将这些数据分成6组：，，，，，，并绘制出样本的频率分布直方图，因不慎，使得图形残缺，如图所示. (1)求样本中打分在内的客户人数，估计样本的中位数，并求出样本的平均数； (2)已知打分在内的样本数据的平均值为63，方差为5，打分在内的样本数据的平均值为78，方差为2，求打分在内的样本数据的平均值与方差. 【答案】(1)60人，中位数为75，平均数为 (2)平均值为，方差为 【分析】（1）根据频率分布直方图的特点及中位数和平均数的定义求解即可； （2）根据加权平均数公式和方差的性质计算样本得分的平均数和方差. 【详解】（1）由题可知，打分在内的频率为， 所以样本中打分在内的客户人数为人. 由图可知，打分在内的频率为0.35，在内的频率为0.30， 设样本的中位数为，则，则，解得， 故样本的中位数为75. . （2）根据频率分布直方图可知，打分在，内的样本数据的频数分别为30，60， 所以打分在内的样本数据的平均值为. 打分在内的样本数据的方差为. 19．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市教育局举办了“青春筑国防”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取200份作为样本数据，将样本答卷中分数分成六组： ，……，，并作出如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)求样本数据的第47百分位数； (3)已知落在内样本数据的平均数是55，方差是6；落在内样本数据的平均数是64，方差是，且这两组数据的总方差是22，求落在内样本数据的方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： 和，记总体的样本平均数为，样本方差为，则 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，列出方程，即可求解； （2）根据题意，利用百分数数的定义与计算方法，即可求解； （3）根据题意，得到据在区间和的个数，结合分层抽样方差的计算公式，即可解. 【详解】（1）解：根据频率分布直方图的性质，可得， 解得. （2）解：由频率分布直方图得，前3组数的频率为， 前4组数的频率为， 因此第47百分位数在第4组即区间上， 设第47百分位数为m，则满足，解得. （3）解：样本数据在区间的个数为， 在区间上的个数为，所以， 又由，解得． 20．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)七彩联盟组织学生参加数学知识竞赛活动，现从中抽取500名学生的竞赛成绩为样本，按照分成6组，制作出如图所示数据不完整的频率分布直方图，并计算出：成绩在内的学生的平均成绩为分，方差为；成绩在内的学生的平均成绩为分，方差为；样本的学生的平均成绩为分． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)成绩位列前60%的学生将获得优胜奖，以样本估计总体，估计获得优胜奖的成绩为多少分？（取整数分） (3)求样本的方差． 【答案】(1) (2)93 (3)792 【分析】（1）有两种方法计算a的值，方法一是根据总体均值和加权平均数计算公式，直接计算出在之间的频率，进而求出a的值，方法二也是根据加权平均数计算公式，计算之间每一组的频率，求出a的值. （2）根据频率分布直方图计算总体百分位数的方法，计算第60百分位数，求出优胜成绩. （3）根据方差的计算公式，根据已有的两组样本方差和各组的频率，计算出总体的方差. 【详解】（1）解法一：设成绩在[90，150]的频率为p，则成绩在的频率为，根据题目，平均成绩， 有，解得； 则根据频率分布直方图有， 解得 解法二：根据频率分布直方图以及， 得， 解得． （2）设获得优胜奖的成绩为Y分，易计算得频率分布直方图成绩在的频率分别为0.28、0.24、0.12； 则优胜奖成绩Y位于中， 由此有，解得， 故以样本估计总体，估计获得优胜奖的成绩为93分． （3）样本方差， 代入有， 则样本的方差． 21．(24-25高一下·湖北荆门·期末)为了解游客五一假期来漳河旅游的体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）； (2)已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差. 【答案】(1)，众数为85，中位数为82 (2)81；30 【分析】（1）由频率分布直方图可得，众数为85，分别求满意度分值在的频率和在的频率，根据题意求中位数即可. （2）由频率分布直方图计算得，分值在平均数，方差，在平均数，方差，在的平均数，根据方差的定义计算即可 【详解】（1）由频率分布直方图可得，， 解得， 由频率分布直方图可估计众数为85. 满意度分值在的频率为， 在的频率为， 所以中位数落在区间内， 所以中位数为. （2）由频率分布直方图得，满意度分值在的频率为， 人数为20；在的频率为，人数为30， 把满意度分值在记为，其平均数，方差， 在记为，其平均数，方差， 所以满意度分值在的平均数 ， 根据方差的定义，满意度分值在的方差为 . 22．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本平均数； (2)试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 【答案】(1)，平均数为74分 (2)60分的同学的成绩没有进入到范围，80分的同学的成绩进入到范围了． 【分析】（1）由面积和为1可计算的值，由每组长方形中点值乘以频率可得平均数； （2）由方差的计算公式计算方差，再判断即可. 【详解】（1）由题意知，解得；     所以该次测试分数的平均数的为： (分)． （2）由频率分布直方图知 ， (分)，       (分)，(分)    ， 故得分为60分的同学的成绩没有进入到内，得分为80分的同学的成绩进入到了内． 即：得分为60分的同学的成绩没有进入到范围，得分为80分的同学的成绩进入到范围了. 23．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)某校高一年级学生参加了一学期内平均每周球类运动时长（单位：小时）的调研，现随机抽取40名学生的平均每周球类运动时长进行数据整理，按进行分组，绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)若将平均每周球类运动时长大于或等于10小时的学生视为“球类运动爱好者”，已知该校高一年级有1200名学生，试估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数； (2)若小明的平均每周球类运动时长为10.5小时，试估计其是否超过该年级的学生； (3)若甲，乙，丙三位同学的平均每周球类运动时长分别为，当其方差最小时，求的值． 【答案】(1)360人； (2)没有超过； (3). 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率之和为1求出的值，然后求出平均每周球类运动时长大于或等于10小时的概率，进而可求得人数. （2）先求出80%百分位数，然后进行比较、确定其是否超过该年级80%的学生. （3）先求出平均值和方差，然后利用二次函数的性质求出的值. 【详解】（1）由，解得． 平均每周球类运动时长大于或等于10小时的人数为人． 估计该校高一年级学生中“球类运动爱好者”人数为人． （2）由题意，需要确定平均每周球类运动时长的分位数，因为 ， ，故分位数位于内． 所以，即为分位数． 因为，所以没有超过该年级的学生． （3）由题意，甲，乙，丙三位同学球类运动时长平均数为． ．所以当时，最小． 24．(24-25高一下·湖北武汉·期末)某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. (1)估计此次测试分数的平均值； (2)公司计划按照分数从高到低选拔前50名的应聘者进入面试环节，试估计这50名应聘者的最低分数； (3)试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 【答案】(1) (2)65 (3)，分的应聘者的成绩进入到了的范围内，分的应聘者的成绩没有进入到了的范围内. 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可； （2）依题意可知求第三四分位数所对应的分数； （3）根据频率分布直方图中方差的计算公式求解即可，然后求出即可判断. 【详解】（1）1－5组的频率分别为， . （2）， 这50名应骋者的最低分数为第三四分位数所对应的分数， 前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 第三四分位数落在内，设为m， 则，解得 这50名店骋者的量低分数力65分. （3）依题意， ， ，， ， 分的应聘者的成绩进入到了的范围内， 分的应聘者的成绩没有进入到了的范围内. 25．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：.记总的样本平均数，样本方差为. (1)证明：； (2)证明：； (3)现已知某高中共有学生1400人，其中男生800人，体重平均数66kg，方差为180，女生600人，体重平均数为52kg，方差为90，求出该校所有学生体重的平均数和方差. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)60kg， 【分析】（1）利用定义求出总体平均数即可； （2）利用定义求出总体方差即可； （3）代入（1）、（2）公式可得答案. 【详解】（1）设第一层有个数，分别为，平均数为，， 第二层有个数，分别为，平均数为，方差为， 则， 所以总体平均数； （2） ， 由可得 ， 同理， ∴ ； （3）由（1）可知，， 即该校所有学生体重的平均数为， 由（2）可知 . 26．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)某高校体检随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165]，[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示． (1)求和频率分布直方图中身高在175cm及以下的学生人数； (2)估计该校100名学生身高的下四分位数（结果保留到个位数）． (3)已知落在区间[170，175）的样本平均数是173，方差是8，落在区间[175，180）的样本平均数是178，方差是6，求两组样本成绩合并后的平均数和方差． 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：记总的样本平均数为，样本方差为，则． 【答案】(1)；人 (2) (3)； 【分析】（1）利用频率分布直方图中长方形面积之和为1，易求出，进而利用频率分布直方图可求身高在175cm及以下的学生人数； （2）根据下四分位数概念结合频率分布直方图计算即可； （3）根据平均数公式计算可得，根据题中给的参考公式代入数据计算可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得， 身高在175cm及以下的学生人数（人）. （2）的人数占比为，的人数占比为， 所以该校100名学生身高的下四分位数即分位数落在， 设该校100名学生身高的分位数为， 则，解得， 故该校100名生学身高的下四分位数约为168. （3）由频率分布直方图知， 这100名学生的身高在的有， 身高在的有人， 所以， ， 所以两组样本成绩合并后的平均数为，方差为． 27．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)统计学中，协方差用来描述两组数据和之间的总体的误差．定义：协方差．已知甲、乙两位同学五次考试（满分5分）数学和物理成绩如下表： 甲 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 1 2 3 4 5 物理成绩 1 3 3 3 5 2 5 6 7 10 乙 ① ② ③ ④ ⑤ 数学成绩 3 3 4 5 5 物理成绩 1 3 3 4 4 4 6 7 9 9 (1)依据表格数据分别求出甲、乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差； (2)分别求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，并计算他们数学物理总成绩的方差．根据计算结果，猜想一般情况下和之间的等量关系式（不需要证明）； (3)在一般情况下，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先根据平均数的计算公式分别求出甲乙两同学的数学平均成绩和物理成绩，再根据协方差公式分别代入计算即可； （2）根据方差的计算公式分别计算即可求出甲、乙两同学数学成绩的方差，以及物理成绩的方差，根据平均数的计算公式即可求出甲、乙的数学与物理总成绩，再根据方差的计算公式即可求出他们数学物理总成绩的方差，即可猜想出一般情况下和之间的等量关系式； （3）把证明转化成证明，然后分等于0和不等于0两种情况讨论，在这种情况中，利用均值不等式放缩，再用累加法即可得证. 【详解】（1） 甲的数学成绩x与物理成绩y的协方差： 乙的数学成绩x与物理成绩y的协方差： （2）解甲的数学成绩x与物理成绩y的方差为： 乙的数学成绩x与物理成绩y的方差为：                      甲的数学与物理总成绩： 乙的数学与物理总成绩：                  由甲、乙同学成绩数据可知： （3）欲证， 只需证 即证 以下证明（※）式： ①当时，（※）式显然成立 ②当时，由均值不等式     …… 则上述n个不等式相加可得： 所以则（※）式成立， 所以成立 ( 地 城 考点0 5 样本数字特征综合 ) 28．(24-25高一下·湖北部分高中协作体·期末)（多选）某校随机抽取了100名学生测量体重.经统计，这些学生的体重数据（单位:kg）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（   ） A．频率分布直方图中a的值为0.07 B．这100名学生中体重低于60 kg的人数为60 C．据此可以估计该校学生体重的第78百分位数为62 D．据此可以估计该校学生体重的平均数为62.5 【答案】AC 【分析】根据给定的频率分布直方图，结合百分位数的意义逐项求解判断即可. 【详解】对于A，由频率分布直方图中各小矩形面积和为1，得，解得，A正确； 对于B，这100名学生中体重不低于60 kg的频率为0.2+0.1=0.3， 则这100名学生中体重低于60 kg的人数为，B错误； 对于C，前3个小矩形的面积和为0.7，前4个小矩形的面积和为0.9， 第78百分位数，则，解得，C正确； 对于D，，D错误. 故选：AC 29．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)把某班五名学生在一周内阅读数学竞赛书籍的时间1，2，3，4，5（单位：小时）作为一组样本数据，现增加统计两位学生，他们一周内阅读数学竞赛书籍的时间分别为正整数m、n（单位：小时），与原有样本数据一起构成一组新样本数据，与原组样本数据比较，下列说法正确的是（   ） A．若，则方差不变 B．若极差不变，则 C．若，则中位数变大 D．若平均数不变，则 【答案】D 【分析】举例说明，ABC错误，求出原数据与新数据的平均数，可判断D是否正确. 【详解】原数据的平均数为：， 原数据的方差为：. 对A：若，则满足， 此时所得新数据的平均数为：， 方差为：，方差变小，故A错误； 对B：若极差不变，由可能是，，……，不一定要，故B错误； 对C：若，如，则新数据的中位数是3， 因为原数据的中位数也是3，没变，故C错误； 对D：新数据的平均数为：， 由，故D正确. 故选：D. 30．(24-25高一下·湖北黄石·期末)有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，.其中，，则（   ） A．新样本数据的平均数变小 B．新样本数据的标准差变大 C．两组数据中位数不变 D．两组数据极差不变 【答案】D 【分析】由平均数，方差，极差，中位数的计算逐一判断可得. 【详解】对于选项A，因为原样本数据的样本平 均数， 新样本数据的样本平均数， 所以新样本的平均数变大，故A错误； 对于选项B，新样本数据的样本标准差 ，所以B选项错误； 对于选项C：设样本数据，，…，的中位数为， 则样本数据，，…，的中位数为， 所以两组样本数据的样本中位数不相同，故C错误 ； 对于选项D：设样本数据，，…，中，最大，最小， 因为，所以样本，，…，中，最大，最小， 极差，故D正确. 故选：D. 31．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)已知100个数据的上四分位数是93，则下列说法正确的是（    ） A．将这100个数据从小到大排列后，第25个数据是93 B．将这100个数据从小到大排列后，第75个数据是93 C．将这100个数据从小到大排列后，第25个数据和第26个数据的平均数是93 D．将这100个数据从小到大排列后，第75个数据和第76个数据的平均数是93 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义即可求解. 【详解】上四分位数即分位数，根据百分数计算，， 所以第75个数据和第76个数据的平均数为分位数. 故选：D. 32．(24-25高一下·湖北荆州·期末)（多选）下列命题正确的是（    ） A．数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差与众数之和为6 B．数据11，13，5，6，8，1，3，9的下四分位数是3 C．若数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为2 D．若样本数据的频率分布直方图的形状为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数 【答案】ACD 【分析】对于A利用极差和众数的定义即可判断，对于B利用百分位数的定义即可判断，对于C利用方差的性质即可判断，对于D利用中位数和平均数的性质，结合图形分析即可判断. 【详解】对于A：数据0，1，1，2，2，2，3，4的极差为：，众数为：2，所以极差与众数之和为,故A正确； 对于B：由，所以数据11，13，5，6，8，1，3，9按从小到大排列为， 下四分位数是，故B错误； 对于C：若数据的标准差为1，则数据，，，的标准差为，故C正确； 对于D：右拖尾特征：分布右侧有少数极端大值，左侧数据较集中. 平均数 vs 中位数： 平均数受极端值影响显著，向右偏移. 中位数仅取决于数据中间位置，对极端值不敏感. 结论：右拖尾时，平均数通常大于中位数，故D正确. 故选：ACD. 33．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)（多选）一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为，方差记为，下列说法错误的是（   ） A．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于 B．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于 C．去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于 D．去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于 【答案】ACD 【分析】AC选项，可举出实例；B选项，由方差的意义可得；D选项，当平均数和中位数相等时，掉样本数据中的中位数后，其方差为，D错误. 【详解】对于 A，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 去掉最大值和最小值后，新数据为，其平均数为， 一般情况下， 例如数据，其平均数为， 去掉1和10后，新数据的平均数为，不相等，故A选项错误； 对于B，方差反映数据的离散程度，原数据中最大值和最小值会使数据的离散程度较大， 去掉最大值和最小值后，数据相对更加集中，根据方差的意义，新数据的方差会小于原方差，故B选项正确； 对于C，去掉最小值后，新数据的方差不一定小于原方差，故C选项错误， 下面举出例子，设这5个互不相等的数据为0,0.1,0.2,0.3,4， 则它们的平均数为， 方差为， 去掉最小值0后，新数据为0.1,0.2,0.3,4，其平均数为， 其方差为， ，C错误； 对于 D，设这5个互不相等的数据为， 则它们的平均数为， 方差为， 中位数是将数据排序后位于中间位置的数，当去掉中位数后， 剩下的4个数其平均数为， 所以当时，其方差为， 其方差会大于原方差，故D错误. 故选：ACD 34．(24-25高一下·湖北武汉·期末)（多选）某新能源汽车公司对600辆量产车进行电池续航测试，其中360辆为SUV车型，240辆为轿车车型.质检部门采用分层抽样（按车型分层）抽取60辆车，实测满电续航里程.经计算：SUV车型样本均值为475公里，方差为20；轿车车型样本均值为465公里；所有60辆样本车的总方差为48.下列说法正确的是（   ） A．SUV车型的样本容量为36 B．每辆轿车被抽入到样本的概率为 C．所有样本车的平均续航里程为471公里 D．轿车续航里程的样本方差为30 【答案】ACD 【分析】根据分层抽样的抽样比公式，以及均值和方差公式，即可求解. 【详解】由题意可知，SUV车型应抽取辆车，故A正确； 轿车车型应抽取辆车， 每辆轿车被抽入到样本的概率为，故B错误； 所有样本车的平均续航里程为公里，故C正确； 设轿车续航里程的样本方差为， 由题意，， 解得，故D正确. 故选：ACD. ( 地 城 考点0 6 事件的判断 ) 35．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“两次掷出的点数相同”，事件“第一次掷出的点数是偶数”，则（   ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率计算公式和相互独立的公式即可求解. 【详解】对A：掷两次骰子，基本事件有个，事件“两次掷出的点数之和是6”包含：，，，，共5个基本事件，所以，故A错误； 对B：事件都包含基本事件有：，，，，，共6个，所以；事件包含的基本事件有：，所以, 因为，故与不相互独立，故B错误； 对C：事件：“第一次掷出的点数是偶数”，所以,事件包含的基本事件有：，，，所以，因为，所以事件，相互独立，故C正确； 对D：因为事件包含：，共2个基本事件，所以，因为，故事件与不相互独立，故D错误. 故选：C 36．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)（多选）设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是（   ） A．事件与C相互独立 B．事件A，B，C两两独立 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，得到且和，结合概率的计算公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，可得， 对于A中，事件，可得，且， 所以，所以事件与不相互独立，所以A错误； 对于B中，由， 所以事件两两相互独立，所以B正确； 对于C中，事件，所以，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 37．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)（多选）已知事件满足，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若互斥，则 C．若互斥，则 D．若相互独立，则 【答案】BD 【分析】利用事件的关系结合概率求解可判断A的真假；根据互斥事件的概率加法公式可判断B的真假；根据互斥事件的概念可判断C的真假，根据独立事件的概率公式结合概率的加法公式可判断D的真假. 【详解】对A：因为，所以发生，则一定发生，所以，所以，故A错误； 对B：若互斥，则，故B正确； 对C：若互斥，则事件不可能同时发生，所以，故C错误； 对D：若相互独立，则， 所以，故D正确. 故选：BD ( 地 城 考点0 7 概率 ) 38．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)某汽车调查研究机构从4辆燃油车和2辆新能源车中随机选出3辆去参加一项智能驾驶测试大赛，则选出的3辆中至少有1辆新能源车的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率计算公式，结合对立事件概率之间的关系求解. 【详解】设“选出的3辆车都是燃油车”为事件，则. 设“选出的3辆中至少有1辆新能源车”为事件，则事件、为对立事件， 所以. 故选：C 39．(24-25高一下·湖北黄石·期末)用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为______. 【答案】0.1 【分析】由简单随机抽样中每个个体被抽到的概率相同可得. 【详解】由题意可得用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率为. 故答案为：0.1. 40．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)某工厂生产的零件需要经过两道质量检测工序合格后方可认定零件合格，第一道检测工序检测合格的概率为0.8，第二道工序检测合格的概率为0.7，则一个零件不合格的概率___________． 【答案】/ 【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解. 【详解】由第一道检测工序检测合格的概率为0.8，第二道工序检测合格的概率为0.7， 且第一道检测工序和第二道检测工序之间相互独立， 则一个零件不合格的概率. 故答案为：. 41．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为．在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为_______. 【答案】 【分析】每轮中甲投中为事件，每轮中乙投中为事件，根据概率乘法公式求解即可. 【详解】每轮中甲投中为事件，每轮中乙投中为事件，则，， 因为甲和乙投中与否互不影响， 则每轮比赛中，共投中一球的概率； 均未投中一球的概率； 所以“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为：. 故答案为： 42．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)当前中学生体质呈现“整体改善、局部恶化”的复杂态势.教育部明确将体育纳入初高中学业水平考试，并作为招生录取计分科目，学生的体育素质越来越受到关注，某高校招生拟引入体育素质评价结果，随机抽取了500名学生进行了体能素质测试，并记录得分（满分：100分），将学生的成绩整理后分成五组，从左到右依次记为，，，，，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值并估计这500名学生成绩的平均数和中位数（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）； (2)体能素质测试分数不低于90分才能评定为体能优秀，现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，再从这7人中随机选出两人，求这两人恰有1人体能优秀的概率. 【答案】(1)，平均数，中位数 (2) 【分析】（1）根据直方图小长方形的面积之和为可求出，由题设要求求平均数，先判断中位数所在区间，然后根据直方图中小长方形面积位于面积处的数值得到中位数； （2）先确定分别需抽取的人数，然后根据列举法结合古典概型求解. 【详解】（1）由题意，，解得， 平均数为：， 由图可知的频率为，的频率为， 故中位数位于，设中位数为， 由，解得，即中位数是， 综上，，平均数，中位数. （2）由图可知，的频率之比是， 根据分层抽样可知，需在分别抽取人和人， 抽取的人记作，抽取的人记作， 所有情况是，共种， 这两人恰有1人体能优秀的情况有，共种， 根据古典概型的计算公式，这两人恰有1人体能优秀的概率是. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $