专题02 平面向量（10大考点）（期末真题汇编，湖北专用）高一数学下学期

**基本信息** 平面向量专题汇编，覆盖10大高频考点，精选湖北多地名校24-25学年高一期末试题，注重基础巩固与综合应用，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|约30题|基础概念（如向量长度、平行方向判断）、线性运算（如三角形中线向量表示）|名校期末真题，辨析易错点（如零向量运算）| |填空|约10题|共线垂直关系（三点共线求参数）、模长（向量模的最值计算）|结合几何图形（菱形、正方形）| |解答|约14题|综合应用（如与三角函数结合解三角形、费马点问题）|注重跨知识整合（向量与函数、立体几何）|

专题02 平面向量 10大高频考点概览 考点01平面向量的基本概念 考点02平面向量的线性运算 考点03平面向量的共线关系 考点04平面向量的垂直关系 考点05投影向量 考点06夹角 考点07数量积 考点08模长 考点09平面向量在三角函数及解三角形中的应用 考点10平面向量在其他知识点中的综合应用 ( 考点01 平面向量的基本概念 ) 1．(24-25高一下·湖北部分高中协作体·期末)给出下列命题，正确的命题为（   ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量与平行，则与的方向相同或相反 C．与方向相反 D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与之一的方向相同 【答案】A 【分析】根据向量平行的概念和性质，判断选项. 【详解】对于A，向量的长度相等，方向相反，命题成立; 对于B，当或为零向量时，命题不成立； 对于C，若与方向相反时，有，反过来，若，当或为零向量时，不能推出与方向相反，命题不成立； 对于D，当时，因为零向量的方向任意，所以这时的方向不与的方向相同，命题不成立. 故选：A. 2．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)下列说法不正确的是（   ） A．零向量加一个零向量还是零向量 B．零向量减一个零向量还是零向量 C．零向量乘一个零向量还是零向量 D．零向量乘零还是零向量 【答案】C 【分析】根据向量的运算性质及零向量的性质判断各项的正误. 【详解】由向量的运算性质，零向量乘一个零向量是数量零，而两个零向量的加减、数乘（乘以0）均为零向量. 故选：C 3．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)（多选）关于平面向量，下列说法中正确的是（    ） A．若，，则存在，使得 B．向量与不共线，则与都是非零向量 C．若，则 D．若向量与同向，且，则 【答案】AB 【分析】对于A，根据向量共线的充要条件即可判断；对于B，由零向量与任何向量共线即可判断；对于C，取即可排除；对于D，根据向量有方向即可判断. 【详解】对于A，根据向量共线的充要条件即可得到A正确； 对于B，因为零向量与任何向量共线，所以由向量与不共线，可得与都是非零向量，故B正确； 对于C，当时，恒成立，但的关系不确定，故C错误； 对于D，因向量有方向，故不能比较大小，故D错误. 故选：AB. 4．(24-25高一下·山西大同常青中学校等校联考·月考)（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】由向量既有大小又有方向判断选项A；由相等向量的定义判断选项B；分析当为零向量时的情况判断选项C；根据相等向量的传递性判断选项D. 【详解】向量不能比较大小，A错误； 表示向量大小相等，方向相同，所以，B正确； 若是零向量，零向量平行于任意向量，此时即使满足、，但和也可以不平行，C错误； 由得、与同向；由得、与同向，因此、与同向，即，D正确. 5．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)向量，单位向量与向量方向相反，则向量的坐标为_______. 【答案】 【分析】由单位向量、反向向量的定义即可求解. 【详解】由题意得. 故答案为：. 6．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)与向量垂直的单位向量是（   ） A． B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，，结合平面向量数量积的坐标运算可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出结果. 【详解】设与向量垂直的单位向量是，由题意可得，， 所以，解得或，故或. 故选：C. ( 考点02 平面向量的线性运算 ) 7．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何图形和平面向量的线性定理进行求解即可. 【详解】， 故选：A． 8．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)在中，点满足，若，则_____． 【答案】 【分析】先将式子变形为，利用向量之间的运算即可求得结果. 【详解】， ，， ，． 故答案为： 9．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)如图，菱形中，，，，点在线段上，且，则______． 【答案】 【分析】由题意得出，分别是，的一个三等分点，设，然后把用，表示可得，和已知等式相比，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 所以，分别是，的一个三等分点，，， 设， 则 ， 又， 所以，解得， 所以. 故答案为：． 10．(24-25高一下·湖北孝感部分高中·期末)如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若，则（    ）    A．1 B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据已知构建合适的直角坐标系，标注相关点坐标，由向量共线的坐标表示列方程求参数值. 【详解】因为，所以， 以C为坐标原点，AC所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，    如图所示，则， 设，则，， 由，所以，可得. 故选：B ( 考点03 平面向量的共线关系 ) 11．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)若，且三点共线，则的值为（    ） A． B． C．-3 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，求得，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由点，可得向量， 因为三点共线，可得，则，所以． 故选：A. 12．(24-25高一下·湖北孝感部分高中·期末)已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．-2 【答案】B 【分析】存在实数k使（），化简得到方程组，舍去不合要求的根，求出. 【详解】与反向共线，则存在实数k使（）， 于是， 由于，不共线，所以有，整理得，解得或. 又因为，所以，故. 答案：B 13．已知向量，，与共线，则_____________. 【答案】 【分析】先通过向量加法的坐标运算求出坐标，依据向量共线的坐标表示列出方程，求得的值，利用向量减法的坐标运算求出的坐标，即可求出的模长. 【详解】，与共线，可得，解得，所以，所以. 故答案为：. 14．(24-25高一下·湖北武汉·期末)设，是两个向量， (1)若，不共线，且，求实数的值； (2)已知向量，满足，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共线向量定理列出等式求解即可; （2）由数量积为0可得，再由向量的模的计算公式求解即可. 【详解】（1）是两个不共线的向量，， ， ， ，解得. （2）， ， . 15．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)已知点，， (1)若A，B，C三点共线，求实数k的值； (2)若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得，，再根据共线向量列方程即可求解； （2）根据题意列方程求得点的坐标以及的值，进一步根据向量夹角的余弦的坐标公式即可求解. 【详解】（1）因为A，B，C三点共线，所以，共线，即， 又，，则有，所以； （2）设，因为四边形为矩形，所以，， 又，，， 得， 则，，， 则，，则， 综上，向量与夹角的余弦值为. ( 考点04 平面向量的垂直关系 ) 16．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)设，若，则实数（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算的坐标运算求得，结合向量数量积的坐标运算可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，解得. 故选：D. 17．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知向量满足，且，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据两向量垂直，其数量积为0列式求值即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：B 18．已知向量，且，则____，向量在向量上的投影向量的坐标为____. 【答案】 2 【分析】利用向量垂直的坐标表示以及投影向量的公式即可求得结果. 【详解】由题意可得所以.记， 则向量在向量上的投影向量为：， 故答案为：2 ； ( 考点05 投影向量 ) 19．(24-25高一下·湖北武汉·期末)已知，，则在上的投影向量为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】， ， ， 在上的投影向量为， 故选：C 20．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】因为，可得，所以， 则向量在上的投影向量为. 故选：D. 21．(24-25高一下·湖北部分高中协作体·期末)已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入投影向量公式，根据向量数量积运算公式，即可求解. 【详解】因为，且与的夹角为，所以在上的投影向量为 . 故选：B. 22．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A．（0，2） B．（1，0） C．（2，0） D．（0，1） 【答案】C 【分析】向量在方向上的投影向量为. 【详解】向量在方向上的投影向量为. 故选：C 23．(24-25高一下·湖北黄石·期末)已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得. 【详解】由题意可得向量在上的投影向量为， 所以， 又向量为单位向量， 所以. 故选：A. 24．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 可得，即； 因为，为单位向量，所以，所以. 故选：A． 25．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)已知中，，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析出为直角三角形，求出的值，结合投影向量的定义可求得结果. 【详解】如下图所示，因为，可知外接圆圆心是，    因为，则为的中点，故是外接圆直径，故， 设，因为，所以， ， 因为，， 解得：（因为是锐角） 因为，所以， 又因为，所以， 所以在上的投影向量为， 因此，在上的投影向量为. 故选：D. ( 考点06 夹角 ) 26．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)已知非零向量，若与的夹角为，则______． 【答案】1 【分析】根据向量夹角的余弦公式和向量数量积的坐标公式求出的值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 化简得，解得. 故答案为：1. 27．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知非零向量，满足，且，则与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据向量垂直的性质得到向量，的数量积以及模长的关系，再利用向量夹角公式求解夹角. 【详解】因为，所以①， 因为，所以②， 联立①②可得，又向量，为非零向量，所以， 设向量，的夹角为，， 则，所以. 故选：B 28．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)已知为单位向量，且向量在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量为单位向量，且向量在上的投影向量为， 可得，可得， 所以与的夹角为， 因为，所以. 故答案为：. 29．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)如图，已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，. (1)求顶点的坐标； (2)求向量与向量所成角的余弦； (3)求向量与向量上的投影向量的坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设.根据题中顶点，，的坐标可求得向量与的坐标，根据四边形是平行四边形，结合向量相等的坐标表示即可求解； （2）由（1）可知，，根据向量夹角的坐标表示即可求解； （3）根据投影向量的定义及向量数量积运算即可求解. 【详解】（1）设.∵，，，∴，. 又四边形是平行四边形，∴，∴，即，解得. ∴顶点的坐标为. （2）由（1）可知，， ∴向量与向量所成角的余弦为. （3）∵，， ∴向量与向量上的投影向量的坐标为. ( 考点07 数量积 ) 30．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)设为非零向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将等式化简即可求得结果. 【详解】因为， 所以化简得，所以， 故选：D． 31．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，若， 则λ等于（   ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】先根据平面向量的线性运算表示出，；再根据平面向量的数量积运算得出；最后结合，，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，. 又因为E为的中点， 所以. 又因为△ABC是边长为4的等边三角形， 所以，，. 则 . 又因为，， 所以，解得：或. 故选：B 32．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)如图，在平面四边形中，已知，，，若. (1)当时，求的值； (2)求取得最小值时的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知根据向量运算得，根据数量积的运算律求解即可； （2）结合已知根据向量运算得，，根据数量积的运算律得，再利用二次函数性质求解即可. 【详解】（1）当时，为线段的中点， 则，， 从而， 又因为，则有， 从而. （2）因为，则有， ，， 从而 ， 当且仅当时，最小. 33．(24-25高一下·】湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的最大值为__________. 【答案】8 【分析】根据面积公式、正弦定理、余弦定理得出是边长为的等边三角形，再结合极化恒等式可求出. 【详解】设， 则，， 则，，得， 因，则，， 利用正弦定理、余弦定理可得，，即， 则是边长为的等边三角形， 取中点， 则 因的最大值为，故的最大值为. 故答案为： ( 考点08 模长 ) 34．(24-25高一下·湖北荆门·期末)已知向量满足，且，则__________. 【答案】 【分析】根据题意求出，再对进行平方计算即可. 【详解】由题设可得，， 故，， 即，解得：， 则， 即. 故答案为：. 35．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)已知向量，，满足：，，且，则为（ ） A． B．2 C．12 D．4 【答案】A 【分析】由数量积的运算律、模的计算公式即可求解. 【详解】由题意. 故选：A. 36．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)已知向量满足．若与夹角是，则______． 【答案】/ 【分析】先由题意求，再由计算即可得解. 【详解】由题意可得， 所以即， 解得. 故答案为： 37．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)已知向量满足：.则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据条件及不等式求最大值即可. 【详解】因为 ，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B 38．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知平面内三个不同的单位向量，，，满足，，，则可能的取值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示出，求出其取值范围，再进行判断即可. 【详解】如图： 设，，因为，，，， 所以可取，，由题意点在第四象限，设，，则. 所以. 因为，所以，所以. 所以， 所以. 故选：B ( 考点09 平面向量在三角函数及解三角形中的应用 ) 39．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)已知向量，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值，结合同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式可求得结果. 【详解】因为向量，，所以， 故为锐角，则， 故. 故选：B. 40．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知，，三点不共线，，其中，为实数且不同时为0，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则，，三点共线 B．若，则点为的重心 C．若，则平分 D．若，则 【答案】D 【分析】根据向量共线、三角形重心、角平分线以及向量垂直的相关性质逐一分析选项. 【详解】对于选项A： 因为，所以， 所以. 所以. 所以点三点共线，所以A正确； 对于选项B： ，设的中点， 根据向量加法的平行四边形法则得，所以. 根据三角形重心的定义，三角形的重心是三条中线的交点，且重心分得所在线段长度为， 可知点为的重心，B正确； 对于选项C： 设，则， 分别是与同向的单位向量，以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 菱形的对角线平分内角，所以平分，所以C正确； 对于选项D： . 因为，所以， 因为不一定为0，所以与不一定垂直，所以D错误. 故选：D. 41．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)在中，为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理求得内角的值，根据圆的性质，可得向量夹角，由正弦定理求得外接圆的半径，利用向量数量积的定义式，可得答案. 【详解】由题意作图： 由余弦定理可得，解得， 由图可知， 由正弦定理可得，为外接圆的半径， 则，即， 所以. 故选：A. 42．(24-25高一下·湖北咸宁·期末)已知函数与直线相邻三个交点为A，B，C，满足．则a=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】假设坐标，令，，然后根据求得，最后计算可得结果. 【详解】设A，B，C三点所对应的横坐标分别为，令， 所以， 由，所以， 解得 所以， 故选：B 43．(24-25高一下·湖北荆州·期末)如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设，，则，则，利用数量积的定义得，利用三角恒等变换和三角函数即可求解. 【详解】设，，则，所以， 所以， 令，由有，所以， 所以，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 44．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)已知为单位圆为坐标原点）上不同的三点，且，若，则当取最大值时，为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设，得到，，则，得到时，取得最大值，进而求得的值，得到答案. 【详解】设圆O的半径为，以为原点，方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，设， 因为，所以， 所以，， 所以，其中， 当且仅当时，取得最大值， 此时1， 则． 故选：C. 45．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交与点，结合三角形面积公式得，再由已知有，最后由三角形内角性质及和角正切公式列方程求值. 【详解】∵是的垂心，延长交与点，   ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B 46．(24-25高一下·湖北部分高中协作体·期末)已知向量，，其中，且. (1)求和的值； (2)若，且，求角. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由结合与的范围，求出和，代入二倍角的正余弦公式即可计算出和的值； （2）确定范围，由的值计算出，利用和两角差的正弦公式计算出，即可得出角. 【详解】（1）因为，，且， 所以，即， 代入，得，， 因为，所以，，故， 则， 根据二倍角的正余弦公式：， . （2）因为，，所以， 又，所以，， 所以， 故 ， 因为，所以. 47．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)已知，，，若的最小正周期是． (1)求函数的解析式； (2)若将的图象向左平移个单位得到的图象，求在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二倍角的正余弦公式结合辅助角公式和正弦函数的最小正周期可得； （2）由图象平移的性质结合正弦函数的单调性可得. 【详解】（1） 由的最小正周期，又，解得， 所以. （2），     ，可得， ， 48．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积，且有． (1)求角A和角C； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由题设列式求出角A，法一：由余弦定理角化边结合题设求得，再由正弦定理即可求出角C；法二：先由正弦定理边化角结合内角和关系和两角和与差的正切公式求出的关系即可求解； （2）由（1）可得角，进而由面积公式和正弦定理可求出，再由结合和即向量运算性质即可求解. 【详解】（1）由已知得，两式相除得， 又； 又已知， 解法一：根据余弦定理有 ，化简得 由正弦定理得，， 又． 解法二：由正弦定理得， ，代入 得，化简得． 又． （2），； 又由（1）得， ，化简得，即； ， 两边同时平方有 ， 化简得. ( 考点10 平面向量在其他知识点中的综合应用 ) 49．(24-25高一下·湖北黄石·期末)已知，、、是平面内三个不同的单位向量.若，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则， 又， 所以，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 50．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为________.    【答案】3 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，将代入直线的方程，并用向量的坐标表示出，和上式联立，即可得出，最后求出等边三角形的边长. 【详解】设等边三角形边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 直线的斜率为：，方程为：， 设，因为在上，所以， 且，依题意，，所以，解得（负的舍去），即等边三角形的边长为3.    故答案为：3. 51．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于120°时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为的费马点，且 (1)求角C； (2)求； (3)已知在中，若点P为平面上任意一点，求的最小值； 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题设及三角形内角性质，应用和角正弦公式得，进而有，结合，即可得； （2）由题设、，再应用等面积法得，向量数量积的定义即可得； （3）构建合适的直角坐标系，设点，应用向量加减、模长的坐标运算及的几何意义有点为的费马点时，取最小值，即可得. 【详解】（1）因为，又， 所以，又大于0，故，所以， 又，结合三角形内角性质，所以. （2）由，知， 由费马点定义知，， 设，，，，，， 由得：，整理得， 则； （3）在中，，， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、，设点， 则，，， 所以， 则的几何意义是点到点、、的距离之和， 由题意知，当点为的费马点时，取最小值， 在等腰中，，，， 因此，的最小值为. 52．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量的“和谐函数”为．记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为． (1)已知，若函数为集合中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围； (2)已知，设（），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求； (3)已知，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，试问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析． 【分析】（1）求出函数的“和谐向量”向量，利用向量的模长公式，结合三角函数的有界性求解即可； （2）设，利用平面向量的线性运算，结合两角和的正弦公式求解即可； （3）由（1）知，当时，最小，此时，令，利用数量积的坐标运算，可得，导出矛盾即可得到答案. 【详解】（1） 所以函数的“和谐向量”向量， ， 因为，所以， 所以的取值范围为 （2）设， 则， 所以 ， 此时存在，满足，当且仅当时取等号，其中， 所以，即，所以， 所以的最大值， 所以 （3）由（1）知，当时，最小，此时， 所以， 设，令， 则， 因为， 所以，即， 所以 ，所以，即， 而，则，此时，等式不成立， 所以在的图象上不存在一点，使 53．(24-25高一下·湖北武汉·期末)（多选）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：①；②；③；④. 则下列结论正确的是（） A．若，，则 B．若，，则 C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，用定义求解即可；对于B，用，结合求解即可；对于C，用定义求出左右两边是否相等即可；对于D，左边用和定义求出，右边也求出，看是否相等即可. 【详解】对于A，因为，， 所以，故A错误； 对于B，因为因为，， 所以， 所以，故B正确； 对于C，，所以， ，所以， 所以不一定相等，故C错误； 对于D，设，则， 所以，故D正确; 故选：BD． 54．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)（1）如图1，直线l与的三边所在直线分别相交于P，Q，R三点．若，，证明：． （2）四面体ABCD中，E，F分别为棱AB，CD的中点，经过EF的平面分别与棱BC，DA相交于点G，T（不与顶点重合），证明： ①若，则（如图2）； ②平面始终平分四面体ABCD的体积.请仅就AC与平面相交于点K时（如图3）证明此结论. 【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据三点共线的推论可得，，进而列式求证即可； （2）①根据线面平行的性质，由可得，再结合E为AB的中点，可得G为BC中点，进而得到，进而求证即可；②结合（1）可得，由E，F分别为AB，CD中点可得，连接EF，ED，进而结合棱锥的体积公式求证即可. 【详解】（1），由知， 又P，Q，R三点共线，①， 由知②， 不共线， 由①②及平面向量基本定理有， ，化简得，得证； （2）①，平面ACB经过AC且与平面相交于EG， ，又E为AB的中点，G为BC中点， F为CD中点，， ，，得证； ②由已知有AC，EG，TF三线相交于点K， 由（1）有， E，F分别为AB，CD中点，， 记，四面体ABCD的体积为V，多面体的体积为， 连接EF，ED，则有， ， ， 即平面平分四面体ABCD的体积，得证. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面向量 10大高频考点概览 考点01平面向量的基本概念 考点02平面向量的线性运算 考点03平面向量的共线关系 考点04平面向量的垂直关系 考点05投影向量 考点06夹角 考点07数量积 考点08模长 考点09平面向量在三角函数及解三角形中的应用 考点10平面向量在其他知识点中的综合应用 ( 考点 01 平面向量的基本概念 ) 1．(24-25高一下·湖北部分高中协作体·期末)给出下列命题，正确的命题为（   ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．向量与平行，则与的方向相同或相反 C．与方向相反 D．若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与之一的方向相同 2．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)下列说法不正确的是（   ） A．零向量加一个零向量还是零向量 B．零向量减一个零向量还是零向量 C．零向量乘一个零向量还是零向量 D．零向量乘零还是零向量 3．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)（多选）关于平面向量，下列说法中正确的是（    ） A．若，，则存在，使得 B．向量与不共线，则与都是非零向量 C．若，则 D．若向量与同向，且，则 4．(24-25高一下·山西大同常青中学校等校联考·月考)（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)向量，单位向量与向量方向相反，则向量的坐标为_______. 6．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)与向量垂直的单位向量是（   ） A． B． C．和 D．和 ( 考点 02 平面向量的线性运算 ) 7．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)中，为的中点，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)在中，点满足，若，则_____． 9．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)如图，菱形中，，，，点在线段上，且，则______． 10．(24-25高一下·湖北孝感部分高中·期末)如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数的图形，图中四边形ABCD的对角线相交于点O，若，则（    ）    A．1 B． C． D．5 ( 考点 0 3 平面向量的共线关系 ) 11．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)若，且三点共线，则的值为（    ） A． B． C．-3 D．3 12．(24-25高一下·湖北孝感部分高中·期末)已知向量，不共线，且，，若与反向共线，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D．-2 13．已知向量，，与共线，则_____________. 14．(24-25高一下·湖北武汉·期末)设，是两个向量， (1)若，不共线，且，求实数的值； (2)已知向量，满足，，，求. 15．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)已知点，， (1)若A，B，C三点共线，求实数k的值； (2)若四边形为矩形，求向量与夹角的余弦值． ( 考点 0 4 平面向量的垂直关系 ) 16．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)设，若，则实数（   ） A． B．0 C．2 D． 17．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知向量满足，且，则（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 18．已知向量，且，则____，向量在向量上的投影向量的坐标为____. ( 考点 0 5 投影向量 ) 19．(24-25高一下·湖北武汉·期末)已知，，则在上的投影向量为（） A． B． C． D． 20．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)已知单位向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 21．(24-25高一下·湖北部分高中协作体·期末)已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 22．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知向量，，则向量在方向上的投影向量为（    ） A．（0，2） B．（1，0） C．（2，0） D．（0，1） 23．(24-25高一下·湖北黄石·期末)已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则（   ） A． B． C．0 D． 24．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 25．(24-25高一下·湖北武汉新洲区问津联盟·期末)已知中，，，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． ( 考点 0 6 夹角 ) 26．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)已知非零向量，若与的夹角为，则______． 27．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知非零向量，满足，且，则与的夹角大小为（    ） A． B． C． D． 28．(24-25高一下·湖北武汉部分重点中学·期末)已知为单位向量，且向量在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 29．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)如图，已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别是，，. (1)求顶点的坐标； (2)求向量与向量所成角的余弦； (3)求向量与向量上的投影向量的坐标. ( 考点 0 7 数量积 ) 30．(24-25高一下·湖北恩施州·期末)设为非零向量，若，则（    ） A． B． C． D． 31．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D满足，E为的中点，若， 则λ等于（   ）    A．或 B．或 C．或 D．或 32．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)如图，在平面四边形中，已知，，，若. (1)当时，求的值； (2)求取得最小值时的值. 33．(24-25高一下·】湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)在中，，，的外接圆为圆O，P为圆O上的点，则的最大值为__________. ( 考点 0 8 模长 ) 34．(24-25高一下·湖北荆门·期末)已知向量满足，且，则__________. 35．(24-25高一下·湖北宜昌长阳土家族自治县第二高级中学·期末)已知向量，，满足：，，且，则为（ ） A． B．2 C．12 D．4 36．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)已知向量满足．若与夹角是，则______． 37．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)已知向量满足：.则的最大值为（   ） A．3 B． C．4 D．5 38．(24-25高一下·湖北武汉华中师范大学第一附属中学·期末)已知平面内三个不同的单位向量，，，满足，，，则可能的取值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ( 考点 0 9 平面向量在三角函数及解三角形中的应用 ) 39．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)已知向量，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 40．(24-25高一下·湖北荆州·期末)已知，，三点不共线，，其中，为实数且不同时为0，则下列结论不正确的是（    ） A．若，则，，三点共线 B．若，则点为的重心 C．若，则平分 D．若，则 41．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)在中，为的外心，则的值为（   ） A． B． C． D． 42．(24-25高一下·湖北咸宁·期末)已知函数与直线相邻三个交点为A，B，C，满足．则a=（   ） A． B． C． D． 43．(24-25高一下·湖北荆州·期末)如图，正方形的边长为，，分别为边，上的点，且，则的取值范围为__________. 44．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)已知为单位圆为坐标原点）上不同的三点，且，若，则当取最大值时，为（    ） A． B． C． D． 45．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 46．(24-25高一下·湖北部分高中协作体·期末)已知向量，，其中，且. (1)求和的值； (2)若，且，求角. 47．(24-25高一下·湖北襄阳·期末)已知，，，若的最小正周期是． (1)求函数的解析式； (2)若将的图象向左平移个单位得到的图象，求在区间上的值域． 48．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若的面积，且有． (1)求角A和角C； (2)若，求． ( 考点 10 平面向量在其他知识点中的综合应用 ) 49．(24-25高一下·湖北黄石·期末)已知，、、是平面内三个不同的单位向量.若，则的取值范围是______. 50．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为________.    51．(24-25高一下·湖北武汉常青联合体·期末)法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下： ①当的三个内角均小于120°时，满足的点O为费马点； ②当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点. 请用以上知识解决下面的问题： 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M为的费马点，且 (1)求角C； (2)求； (3)已知在中，若点P为平面上任意一点，求的最小值； 52．(24-25高一下·湖北武汉五校联合体·期末)已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义函数的“和谐向量”为非零向量的“和谐函数”为．记平面内所有向量的“和谐函数”构成的集合为． (1)已知，若函数为集合中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围； (2)已知，设（），且的“和谐函数”为，其最大值为S，求； (3)已知，设（1）中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为，试问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 53．(24-25高一下·湖北武汉·期末)（多选）通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，则称为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于，，、、、、，我们有如下运算法则：①；②；③；④. 则下列结论正确的是（） A．若，，则 B．若，，则 C． D． 54．(24-25高一下·湖北部分重点高中·期末)（1）如图1，直线l与的三边所在直线分别相交于P，Q，R三点．若，，证明：． （2）四面体ABCD中，E，F分别为棱AB，CD的中点，经过EF的平面分别与棱BC，DA相交于点G，T（不与顶点重合），证明： ①若，则（如图2）； ②平面始终平分四面体ABCD的体积.请仅就AC与平面相交于点K时（如图3）证明此结论. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $