专题08 概率5大题型分类专训（期末真题汇编，四川专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 汇集四川多地期末真题，聚焦概率5大高频考点，情境融合文化与生活，梯度覆盖基础与综合 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约10题|互斥/独立事件判断（电路元件、硬币抛掷）、古典概型（骰子、社团活动）|结合电路、比赛等真实情境，考查概念辨析| |填空|约5题|独立事件乘法公式（两次掷骰子）、概率计算（质数和）|简洁考查公式应用，衔接基础与综合| |解答|约10题|古典概型（古诗版本争议、节水定额）、互斥/独立事件综合（文明城市宣传、购物券抽奖）|融合统计图表（频率分布直方图）、分层抽样，体现“用数学语言表达现实世界”|

专题08 概率 5大高频考点概览 考点01 判断所给事件是否为互斥关系 考点04利用互斥事件的概率公式求概率（重点题型） 考点02计算古典概型问题的概率（重点题型） 考点05独立事件的判断（重点题型） 考点03独立事件的乘法公式（重点题型） 地 城 考点01 判断所给事件是否为互斥关系 1．（24-25高一下·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 2．（24-25高一下·四川达州·期末）某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件“决赛两人来自同一个班”，事件“决赛两人来自不同班”，事件“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件“后进行半决赛两人来自不同班”．则（    ）． A． B．A与B互斥但不对立 C．C与D对立 D． 地 城 考点02 计算古典概型问题的概率 1．（24-25高一下·四川内江·期末）暑假即将来临，某校为开展学生的社会实践活动，从甲､乙､丙､丁､戊人中随机选人去参加“敬老院志愿服务”活动，则乙和丙两人中只有人入选的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和Ⅱ号），观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如．已知，且均为质数，若从中任选2个数，则这两个数之和小于10的概率为_______． 4．（24-25高一下·四川达州·期末）唐代大诗人刘禹锡《望洞庭》诗云：“湖光秋月两相和，潭面无风镜未磨.遥望洞庭山水翠，白银盘里一青螺.”有人认为诗首句的“秋月”应为“秋色”.有以下事实：A.《望洞庭》是经典名作，历朝历代众口传诵，难免出现不同的版本；B.一般不对原文作修改的宋清两朝的诸多类书中，诗首句“秋月”皆为“秋色”；C.月光下很难分辨出水的不同色彩，翠色､白银盘､青螺皆是白天的景观；D.洞庭秋色是历代文人所关注的美景，该诗强调秋色之美在常理之中；E.该诗是对洞庭湖实景描写.这些事实能否支持该诗首句的“秋月”应为“秋色”？从一次公务员考试答卷中调随机选出100份，统计结果（支持的用√表示，考生答卷上选这一项，不支持的用×表示，考生答卷上不选这一项）如下表： 人数 A B C D E 10 √ × × × √ 20 × × √ √ × 30 × √ × √ × 40 × √ √ × × 只针对本问题. (1)在这次公务员考试答卷中随机取一份，求这份答卷答案有B或C的概率； (2)已知只有事实BC支持该诗首句的“秋月”为“秋色”，有其他选项的为错选，在这100份答卷中，不放回地先后随机抽取两份，求这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率. 5．（24-25高一下·四川达州·期末）某市2024年5月举办了“用普通话讲好中国故事”的活动，有20名选手进入决赛，他们的决赛得分（单位：分，满分100分）情况如下表： 得分 频数 2 7 8 3 (1)同组数据由该组区间中点值代替，求这20名选手决赛的平均成绩； (2)从决赛得分在上和在上的选手中随机抽取2人，求至少一个人得分不低于90分的概率. 6．（24-25高一下·四川达州·期末）某校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级男生需要不同规格校服的频数如下表所示. 校服规格 合计 频数 (1)请用平均数、中位数、众数中的一个量来代表该校高一年级男生所需校服的规格，并讨论用上表中的数据估计全国高一年级男生校服规格的合理性； (2)现有套不同规格的校服，将件上衣（分别用、、表示），件裤子（分别用、、表示，其中、、分别表示一套），分别装入只大小材质相同的黑色袋子.如果从中随机地取出只袋子，记事件“取出袋子里面一件是上衣，一件是裤子，但不是一套”，求． 7．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或红球的概率是. (1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 8．（24-25高一下·四川内江·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，满分100分（95分及以上为“文明之星”），结果获得“文明之星”的有100人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求这100人年龄的众数和平均数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“创文”宣传使者.若从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求第四､第五组各有一人被选上的概率. 9．（24-25高一下·四川宜宾·期末）2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”．某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（单位：吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，且该市政府希望有的居民月用水量不超过标准x吨．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了200户居民某年的月均用水量（单位：吨），并将数据制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中m的值，并估计月用水量标准x的值； (2)若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取6户，再从这6户中任意选取两户，求这两户来自同一组的概率． 10．（24-25高一下·四川达州·期末）为提高国民法律意识，某地开通了网上学法考试平台，方便广大群众网上学习法律知识，并且可以通过考试检测自己学习情况．为了解广大群众学习法律知识的情况，在参与考试的男性参考者和女性参考者中各随机抽取10名参考者的考试成绩（满分100分），得分如下： 男性参考者考试成绩：70，74，85，84，82，81，92，89，98，95． 女性参考者考试成绩：69，71，82，84，75，88，89，87，95，97． (1)求抽取的男性参考者考试成绩的平均数、极差和方差； (2)若规定得分在90分及以上的为成绩优秀，从上述成绩优秀的人员中任取2人，求这2人性别相同的概率． 11．（24-25高一下·四川乐山·期末）为了丰富校园文化生活，培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素质，某中学举办了学校社团活动，开设的项目有4个运动类社团（篮球社､足球社､乒乓球社､羽毛球社）和2个艺术类社团（音乐社､美术社），一名学生从中随机抽取2个项目来参加活动. (1)求抽取的2个项目都是运动类社团的概率； (2)若从运动类社团和艺术类社团中各抽取1个，求这2个社团不包括篮球社但包括音乐社的概率. 12．（24-25高一下·四川自贡·期末）一个口袋中装有5个大小完全相同的球，其中3个红色，2个白色，若从中任取2个球． (1)求事件“恰有1个红色球”的概率； (2)求事件“两个都是红色球”的概率． 地 城 考点03 独立事件的乘法公式 1．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（    ） A．0.4 B．0.58 C．0.7 D．0.72 2．（24-25高一下·四川成都·期末）设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则A，B相互独立 C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则 3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是（    ） A．与互斥 B． C． D．与相互独立 4．（24-25高一下·四川达州·期末）由均匀材质制成的一个正12面体，每个面上分别印有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，√，×投掷这个正12面体2次，把朝上一面的数字或符号作为投掷结果．则（    ） A．第一次结果为数字和第一次结果为符号互斥 B．第一次结果为数字与第二次结果为符号不独立 C．第一次结果为奇数的概率等于第一次结果为偶数的概率 D．两次结果都为数字，且数字之和为6的概率为 5．（24-25高一下·四川宜宾·期末）已知事件与事件相互独立，且，，则_______． 6．（24-25高一下·四川南充·期末）某公司招聘新员工组织了笔试和面试两场考核，两场考核均通过即被录用，现有甲、乙两名应聘者都参加了笔试和面试两场考核，已知甲笔试和面试通过的概率都为，乙笔试和面试通过的概率都为，在每场考核中，甲和乙通过与否互不影响，各场结果也互不影响． (1)求在笔试考核中，甲、乙两名应聘者恰有1名通过的概率； (2)求甲，乙两名应聘者至多有1名被录用的概率． 7．（24-25高一下·四川乐山·期末）为了庆祝“五四”青年节，某班组织了一次学生爱国主义知识竞赛，由甲乙两队参与竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答正确与否相互之间没有影响． (1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率． 8．（24-25高一下·四川达州·期末）某超市将若干个问题印在质地、大小相同的小球上，顾客每次随机抽出个小球并回答上面的问题．若顾客第一次答对，则获得购物券并结束活动：若顾客第一次答错，就再抽一次，答对获得购物券并结束活动，答错结束活动．顾客对不同题目的回答是独立的． (1)顾客乙答对每道题目的概率为，若无放回的抽取，求乙获得购物券的概率： (2)顾客丙首次答对每道题目的概率为，对相同题目答对的概率为．若有放回的抽取，顾客丙第二次抽到相同题目的概率为，求丙第二次获得购物券的概率． 地 城 考点04 利用互斥事件的概率公式求概率 1．（24-25高一下·四川达州·期末）已知甲、乙两机床生产同一种零件，甲机床生产优等品的概率为0.4，乙机床生产优等品的概率为0.5，假定两机床是否生产优等品相互没有影响．现从这两台机床生产的零件中各随机抽取一件，则这两件零件中，至少有一件是优等品的概率为（   ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2 2．（24-25高一下·四川乐山·期末）小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（   ） A．0.16 B．0.64 C．0.8 D．0.96 3．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为___________. 4．（24-25高一下·四川乐山·期末）甲､乙两人进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为0.5，乙投篮命中的概率为0.6，且两人投篮是否命中相互没有影响，则两人各投篮一次，至多一人命中的概率是__________. 5．（24-25高一下·四川南充·期末）为有效落实家校共育，某校派出教师进行家访，了解家庭对孩子的教育情况．一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示： 派出人数 3 4 5 概率 0.1 0.36 0.3 0.2 0.04 则该校本月至少派出4名教师进行家访的概率为______． 6．（24-25高一下·四川自贡·期末）某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，小李答对每道题目的概率为0.6，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是相互独立的． (1)用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求小李最后通过面试的概率． 地 城 考点05 独立事件的判断 1．（24-25高一下·四川达州·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第1枚硬币正面朝上”，“第2枚硬币反面朝上”，则（   ） A．与相互独立 B．与相等 C．与互斥 D．与对立 2．（24-25高一下·四川南充·期末）从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，设事件A为“取出的数至少有一个是奇数”，事件B为“取出的数至少有一个是偶数”，则事件A与事件B是（    ） A．互斥且对立事件 B．互斥但不对立事件 C．不互斥事件 D．独立事件 3．（24-25高一下·四川乐山·期末）某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现的点数为奇数”，“出现的点数不大于3”，事件“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（    ） A．与互为对立事件 B． C． D． 4．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“两枚均正面朝上”，下列说法正确的是（    ） A． B． C．与相互独立 D．与互斥 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 概率 5大高频考点概览 考点01 判断所给事件是否为互斥关系 考点04利用互斥事件的概率公式求概率（重点题型） 考点02计算古典概型问题的概率（重点题型） 考点05独立事件的判断（重点题型） 考点03独立事件的乘法公式（重点题型） 地 城 考点01 判断所给事件是否为互斥关系 1．（24-25高一下·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 【答案】BC 【分析】分析各事件的含义，结合事件的互斥性和对立性判断选项A，B；分析的关联，判断选项C；分析的关联判断选项D． 【详解】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立； 全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误； 选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常， ，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含 “四个元件都正常”，故不对立，故B正确； 选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生， ，故C正确； 选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常， 若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故发生时不一定发生，故D错误． 故选：BC． 2．（24-25高一下·四川达州·期末）某校举办羽毛球比赛，有4名同学进入半决赛，这4名同学恰好来自两个不同的班，每班两名同学，现通过摸球决定半决赛分组情况．袋子里有大小、质地完全相同的2个黄球、2个白球，共4个球．这4名同学每人不放回地摸出一个球，摸到同色球的两人对战，且摸到黄色球两人先进行比赛，胜者进入决赛．记事件“决赛两人来自同一个班”，事件“决赛两人来自不同班”，事件“先进行半决赛两人来自同一个班”，事件“后进行半决赛两人来自不同班”．则（    ）． A． B．A与B互斥但不对立 C．C与D对立 D． 【答案】ACD 【分析】本题依据互斥事件、对立事件的概念以及概率计算即可判断. 【详解】对A、B，由于摸到同色球的两人对战且摸到黄球的两人先战， 故决赛的两人要么来自同一个班级，要么来自不同的班级，故事件A和事件B不可能同时发生， 故事件A和事件B互斥且对立，故，故A正确，B不正确. 对C，由于摸到同色球的两人对战且摸到黄球的两人先战， 先进行半决赛的两人如果来自同一班级，则后进行半决赛的两人也来自同一班级， 故事件C和事件D互斥且对立，故C正确. 由上述可知，事件A和事件B互斥且对立，事件C和事件D互斥且对立， 故，故D正确. 故选：ACD. 地 城 考点02 计算古典概型问题的概率 1．（24-25高一下·四川内江·期末）暑假即将来临，某校为开展学生的社会实践活动，从甲､乙､丙､丁､戊人中随机选人去参加“敬老院志愿服务”活动，则乙和丙两人中只有人入选的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型的概率公式可得解. 【详解】甲､乙､丙､丁､戊人中随机选人去参加“敬老院志愿服务”活动， 所有可能的情况有甲乙丙、甲乙丁、甲乙戊、甲丙丁、甲丙戊、甲丁戊、乙丙丁、乙丙戊、乙丁戊、丙丁戊，共种， 其中，满足乙和丙两人中只有人入选的有甲乙丁、甲乙戊、甲丙丁、甲丙戊、乙丁戊、丙丁戊，共种， 所以乙和丙两人中只有人入选的概率为， 故选：D. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和Ⅱ号），观察两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】解：抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为I号和Ⅱ号）一共36种结果， 两枚骰子出现“两个点数相等”的有，一共6种， 所以两枚骰子出现“两个点数相等”的概率为， 故选：C 3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）著名数学家欧几里得《原本》中曾谈到：任何一个大于1的整数要么是质数，要么可以写成一系列质数的积，例如．已知，且均为质数，若从中任选2个数，则这两个数之和小于10的概率为_______． 【答案】/ 【分析】根据题意，得，利用古典概型概率公式计算可得答案. 【详解】根据题意，， 可得， 若从中任选2个数： 共10种， 两个数之和小于10：，有4种， 所以这两个数之和小于10的概率为. 故答案为： 4．（24-25高一下·四川达州·期末）唐代大诗人刘禹锡《望洞庭》诗云：“湖光秋月两相和，潭面无风镜未磨.遥望洞庭山水翠，白银盘里一青螺.”有人认为诗首句的“秋月”应为“秋色”.有以下事实：A.《望洞庭》是经典名作，历朝历代众口传诵，难免出现不同的版本；B.一般不对原文作修改的宋清两朝的诸多类书中，诗首句“秋月”皆为“秋色”；C.月光下很难分辨出水的不同色彩，翠色､白银盘､青螺皆是白天的景观；D.洞庭秋色是历代文人所关注的美景，该诗强调秋色之美在常理之中；E.该诗是对洞庭湖实景描写.这些事实能否支持该诗首句的“秋月”应为“秋色”？从一次公务员考试答卷中调随机选出100份，统计结果（支持的用√表示，考生答卷上选这一项，不支持的用×表示，考生答卷上不选这一项）如下表： 人数 A B C D E 10 √ × × × √ 20 × × √ √ × 30 × √ × √ × 40 × √ √ × × 只针对本问题. (1)在这次公务员考试答卷中随机取一份，求这份答卷答案有B或C的概率； (2)已知只有事实BC支持该诗首句的“秋月”为“秋色”，有其他选项的为错选，在这100份答卷中，不放回地先后随机抽取两份，求这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，只有10份答卷答案既没有B，也没有C，再由古典概型求概率即可； （2）设“第次抽到的那份答卷答案是正确的”“两份答卷答案恰一个有错选答案”，再根据乘法公式计算即可． 【详解】（1）解：由表可知，这100份答卷每份答案都含有A，B，C，D，E中的两个， 其中只有10份答卷答案既没有B，也没有C， 设“在这100份答卷中随机抽取一份，这份答卷答案有B或C”， 则， . 在这次公务员考试答卷中随机取一份，这份答卷答案有B或C的概率为； （2）根据题意，由表可知，这100份答卷只有40份的答案是正确的，其余60份的答案均为错选， 设“第次抽到的那份答卷答案是正确的”“两份答卷答案恰一个有错选答案”，则， ， 所以这两份答卷答案恰一个有错选答案的概率为. 5．（24-25高一下·四川达州·期末）某市2024年5月举办了“用普通话讲好中国故事”的活动，有20名选手进入决赛，他们的决赛得分（单位：分，满分100分）情况如下表： 得分 频数 2 7 8 3 (1)同组数据由该组区间中点值代替，求这20名选手决赛的平均成绩； (2)从决赛得分在上和在上的选手中随机抽取2人，求至少一个人得分不低于90分的概率. 【答案】(1)81 (2) 【分析】（1）根据频数表，直接计算平均成绩即可； （2）设决赛得分在上的两人分别为，得分在上的三人分别为，，再列出所有情况，根据古典概型求概率即可． 【详解】（1）解：由表可得（分）. （2）由题可知，决赛得分在上有2人，得分在上的有3人， 设决赛得分在上的两人分别为，得分在上的三人分别为，， 则从得分在这两区间的选手中随机抽取2人， 所有可能结果为，，共10个样本点， 其中只有一个结果中两人得分都低于90分， 设“两人中至少一个得分不低于90分”， 则. 所以至少一个人得分不低于90分的概率为． 6．（24-25高一下·四川达州·期末）某校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级男生需要不同规格校服的频数如下表所示. 校服规格 合计 频数 (1)请用平均数、中位数、众数中的一个量来代表该校高一年级男生所需校服的规格，并讨论用上表中的数据估计全国高一年级男生校服规格的合理性； (2)现有套不同规格的校服，将件上衣（分别用、、表示），件裤子（分别用、、表示，其中、、分别表示一套），分别装入只大小材质相同的黑色袋子.如果从中随机地取出只袋子，记事件“取出袋子里面一件是上衣，一件是裤子，但不是一套”，求． 【答案】(1)平均数、中位数、众数都为，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平均数公式、中位数和众数的定义可得结果，再根据全国各地的高一年级男生的身高存在的差异性可得出结论； （2）列举出样本空间以及事件所包含的基本事件，结合古典概型的概率公式可求得的值. 【详解】（1）由表格中的数据可知，平均数为， ， 故中位数为第个数据和第个数据的平均数，即为，众数为， 由于全国各地的高一年级男生的身高存在一定的差异， 所以用一个学校的数据估计全国高一年级男生的校服规格不合理. （2）样本空间为，共个基本事件， 其中，事件包含的基本事件为：、、、、、，共个基本事件， 故. 7．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）袋中有6个大小和质地相同的小球，分别为黑球、黄球、红球，从中任意取一个球，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或红球的概率是. (1)从中任取一个球，得到黑球、黄球、红球的概率各是多少？ (2)从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、红球为事件，，，由于，，为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、红球的概率． （2）黑球、黄球、红球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个红球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率． 【详解】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、红球为事件，，， 由于，，为互斥事件， 根据已知得， 解得， 从中任取一球，得到黑球、黄球、红球的概率分别是； （2）由（1）知黑球、黄球、红球个数分别为2，1，3， 得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个红球共3种情况， 而从6个球中取出2个球的情况共有15种， 所以所求概率为， 则得到的两个球颜色不相同的概率是． 8．（24-25高一下·四川内江·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者，我市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，满分100分（95分及以上为“文明之星”），结果获得“文明之星”的有100人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，求这100人年龄的众数和平均数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“创文”宣传使者.若从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求第四､第五组各有一人被选上的概率. 【答案】(1)众数27.5（岁），平均数（岁）； (2). 【分析】（1）根据频率分布直方图结合众数和平均数的定义求解； （2）根据分层抽样的定义结合频率分面上直方图求出第四组和第五组抽取的人数，然后利用列举法求解即可. 【详解】（1）众数27.5（岁）； 平均数：（岁） （2）由频率分布直方图可知各组的频率之比为， 则第四组抽取4人，记为，第五组抽取2人，记为 对应的样本空间为， ，共15个样本点. 分设事件“第四､五小组各一人被选上”，则， ，共有8个样本点， 所以 9．（24-25高一下·四川宜宾·期末）2024年全国城市节约用水宣传主题为“推进城市节水，建设美丽城市”．某市为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在全市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（单位：吨），月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费，且该市政府希望有的居民月用水量不超过标准x吨．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了200户居民某年的月均用水量（单位：吨），并将数据制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中m的值，并估计月用水量标准x的值； (2)若从月平均用水量在第一组和第二组的样本居民中按比例分配的分层抽样随机抽取6户，再从这6户中任意选取两户，求这两户来自同一组的概率． 【答案】(1)，19.2（吨）． (2)． 【分析】（1）先根据频率分布直方图概率和为1求出m,再根据百分位数求解即可； （2）列举法应用古典概型求解. 【详解】（1）由 解得． ， （吨）． （2）根据题意得，月平均用水量在第一组居民有户， 月平均用水量在第二组居民有户， 分层抽样随机抽取6户，第一组抽取了2户，第二组抽取了4户 记第一组抽取的两户分别为a，b，第二组抽取的四户分别为A，B，C，D，从这6户中任意选取两户， 样本点有， ，共15个 记两户来自同一组为事件M，事件M包含的样本点为： 共7个． 根据古典概型可得，． 10．（24-25高一下·四川达州·期末）为提高国民法律意识，某地开通了网上学法考试平台，方便广大群众网上学习法律知识，并且可以通过考试检测自己学习情况．为了解广大群众学习法律知识的情况，在参与考试的男性参考者和女性参考者中各随机抽取10名参考者的考试成绩（满分100分），得分如下： 男性参考者考试成绩：70，74，85，84，82，81，92，89，98，95． 女性参考者考试成绩：69，71，82，84，75，88，89，87，95，97． (1)求抽取的男性参考者考试成绩的平均数、极差和方差； (2)若规定得分在90分及以上的为成绩优秀，从上述成绩优秀的人员中任取2人，求这2人性别相同的概率． 【答案】(1)85；28；70.6 (2) 【分析】（1）根据平均数、极差和方差得概念求解即可； （2）先确定两组不同性别参考者中成绩优秀者得人数，再根据古典概率模型，先求出从优秀者中抽取2人的基本事件总数，再求出2人性别相同的基本事件数，从而求得2人性别相同的概率. 【详解】（1）平均数为：； 极差为：； 方差为：70.6. （2）男性参考者考试成绩优秀的有3人，女性参考者考试成绩优秀的有2人，共5人， 现将3名男性优秀者编号为A，B，C，2名女性优秀者编号为D，E， 从中任取2人的基本事件有，共10个， 其中两人性别相同基本事件有，共4个， 记事件M=“两人性别相同”，则. 11．（24-25高一下·四川乐山·期末）为了丰富校园文化生活，培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素质，某中学举办了学校社团活动，开设的项目有4个运动类社团（篮球社､足球社､乒乓球社､羽毛球社）和2个艺术类社团（音乐社､美术社），一名学生从中随机抽取2个项目来参加活动. (1)求抽取的2个项目都是运动类社团的概率； (2)若从运动类社团和艺术类社团中各抽取1个，求这2个社团不包括篮球社但包括音乐社的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）列举所有的基本事件，从中挑选符合条件的事件，即可由古典概型概率公式求解. 【详解】（1）从6个社团任意抽取2个，所有的基本事件有 （篮球，足球），（篮球，兵兵），（篮球，羽毛），（篮球，音乐），（篮球，美术）， （足球，兵兵），（足球，羽毛），（足球，音乐），（足球，美术）， （兵兵，羽毛），（兵兵，美术），（兵兵，音乐）， （羽毛，音乐），（羽毛，美术），（音乐，美术）共计15种情况， 抽取的2个项目都是运动类社团有（篮球，足球），（篮球，兵兵），（篮球，羽毛）， （足球，兵兵），（足球，羽毛），（兵兵，羽毛）共有6种情况， 故抽取的2个项目都是运动类社团的概率为. （2）从运动类社团和艺术类社团中各抽取1个，（篮球，音乐），（篮球，美术）， （足球，音乐），（足球，美术），（兵兵，美术），（兵兵，音乐）， （羽毛，音乐），（羽毛，美术）共计8种情况， 这2个社团不包括篮球社但包括音乐社有（足球，音乐）（兵兵，音乐），（羽毛，音乐），共计3种情况， 故所求概率为. 12．（24-25高一下·四川自贡·期末）一个口袋中装有5个大小完全相同的球，其中3个红色，2个白色，若从中任取2个球． (1)求事件“恰有1个红色球”的概率； (2)求事件“两个都是红色球”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】根据古典概型公式求解即可. 【详解】（1）设3个红球分别是，两个白球分别为， 从中任取2个球，基本事件为： ，共10个． 事件“恰有1个红色球” 的基本事件为：，共6个． 所以． （2）事件“两个都是红色球”的基本事件为：，共3个． 所以． 地 城 考点03 独立事件的乘法公式 1．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（    ） A．0.4 B．0.58 C．0.7 D．0.72 【答案】B 【分析】由公式可知只需求出即可，结合对立减法公式以及独立乘法公式即可求解. 【详解】，， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）设A，B为两个随机事件，若，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则A，B相互独立 C．若A与B相互独立，则 D．若A与B相互独立，则 【答案】BD 【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C. 【详解】A，若，则，A错误； B ，因为，则，B正确； C，因为A与B相互独立，则也相互独立， 则，C错误； D，若A与B相互独立，则也相互独立， 则，D正确. 故选：BD 3．（24-25高一下·四川宜宾·期末）先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则下列结论正确的是（    ） A．与互斥 B． C． D．与相互独立 【答案】BCD 【分析】根据互斥事件的定义判断A，根据古典概型的概率计算公式计算与，从而判断B与C，根据相互独立事件的定义判断D. 【详解】先后两次掷一枚质地均匀的骰子， 样本空间为，， 事件“两次掷出的点数之和是5”，， 事件“第一次掷出的点数是奇数”，， 事件“两次掷出的点数相同”，， 对于A，因为，所以事件与事件能同时发生， 即事件与事件不互斥，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以 又因为， 所以， 所以事件与事件相互独立，故D正确. 故选：BCD. 4．（24-25高一下·四川达州·期末）由均匀材质制成的一个正12面体，每个面上分别印有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，√，×投掷这个正12面体2次，把朝上一面的数字或符号作为投掷结果．则（    ） A．第一次结果为数字和第一次结果为符号互斥 B．第一次结果为数字与第二次结果为符号不独立 C．第一次结果为奇数的概率等于第一次结果为偶数的概率 D．两次结果都为数字，且数字之和为6的概率为 【答案】AC 【分析】A选项，得到，故A正确；B选项，计算出，B错误；C选项，第一次结果为奇数和第一次结果为偶数的概率均为；D选项，列举出两次结果都为数字，且数字之和为6的基本事件，从而求出概率. 【详解】投掷这个正12面体2次的样本空间为，则样本空间包含的基本事件数为个， A选项，设第一次结果为数字为事件，第一次结果为符号为事件，则， 故第一次结果为数字和第一次结果为符合互斥，A正确； B选项，设第一次结果为数字为事件，第二次结果为符号为事件， 则 ， 则 其中，， 所以，则第一次结果为数字与第二次结果为符号独立，B错误； C选项，第一次结果为奇数和第一次结果为偶数的概率相等，均为，C正确； D选项，两次结果都为数字，且数字之和为6的基本事件有， 故概率为，D错误. 故选：AC 5．（24-25高一下·四川宜宾·期末）已知事件与事件相互独立，且，，则_______． 【答案】0.6/ 【分析】利用任意两个事件的和事件的概率计算公式以及相互独立事件的概率乘法公式即可求解. 【详解】因为事件与事件相互独立，，， 所以， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高一下·四川南充·期末）某公司招聘新员工组织了笔试和面试两场考核，两场考核均通过即被录用，现有甲、乙两名应聘者都参加了笔试和面试两场考核，已知甲笔试和面试通过的概率都为，乙笔试和面试通过的概率都为，在每场考核中，甲和乙通过与否互不影响，各场结果也互不影响． (1)求在笔试考核中，甲、乙两名应聘者恰有1名通过的概率； (2)求甲，乙两名应聘者至多有1名被录用的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得； （2）首先求出甲、乙被录用的概率，在根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）记“甲通过笔试考核”， “甲通过面试考核”， “乙通过笔试考核”， “乙通过面试考核”， 所以，， 且事件、、、相互独立， 所以在笔试考核中，甲、乙两名应聘者恰有1名通过的概率： . （2）甲应聘者被录用的概率， 乙应聘者被录用的概率， 则甲、乙应聘者均被录用的概率为， 所以甲、乙两名应聘者至多有1名被录用的概率为. 7．（24-25高一下·四川乐山·期末）为了庆祝“五四”青年节，某班组织了一次学生爱国主义知识竞赛，由甲乙两队参与竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答正确与否相互之间没有影响． (1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式及互斥事件的概率公式计算可得； （2）记“甲队总得分为2分”为事件，“乙队总得分为1分”为事件，根据独立事件与互斥事件的概率公式求出、，再根据独立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）记“甲队总得分为3分”为事件，“甲队总得分为1分”为事件， 甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为． 甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人回答错误， 其概率为． 故甲队总得分为3分与1分的概率分别为，． （2）记“甲队总得分为2分”为事件，“乙队总得分为1分”为事件， 事件即甲队有2人答对，其余1人答错， 则． 事件即乙队只有1人答对，其余2人答错， 则． 由题得事件与事件相互独立， 所以甲队总得分2分且乙队总得分1分的概率为：． 8．（24-25高一下·四川达州·期末）某超市将若干个问题印在质地、大小相同的小球上，顾客每次随机抽出个小球并回答上面的问题．若顾客第一次答对，则获得购物券并结束活动：若顾客第一次答错，就再抽一次，答对获得购物券并结束活动，答错结束活动．顾客对不同题目的回答是独立的． (1)顾客乙答对每道题目的概率为，若无放回的抽取，求乙获得购物券的概率： (2)顾客丙首次答对每道题目的概率为，对相同题目答对的概率为．若有放回的抽取，顾客丙第二次抽到相同题目的概率为，求丙第二次获得购物券的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）乙获得购物券有两种情况，根据独立事件的概率公式，即可求解. （2）丙第二次获得购物券，则第一次必然答错，第二次答对有两种情况，分别求解概率即可. 【详解】（1）设乙获得购物券的概率， 顾客乙答对每道题目的概率为，则答错每道题目的概率为，若无放回的抽取，则乙获得购物券的概率 . （2）设丙第二次获得购物券的概率， 若有放回的抽取，顾客丙第二次抽到相同题目的概率为， 则顾客丙第二次抽到不同题目的概率为， 所以求丙第二次获得购物券的概率 . 地 城 考点04 利用互斥事件的概率公式求概率 1．（24-25高一下·四川达州·期末）已知甲、乙两机床生产同一种零件，甲机床生产优等品的概率为0.4，乙机床生产优等品的概率为0.5，假定两机床是否生产优等品相互没有影响．现从这两台机床生产的零件中各随机抽取一件，则这两件零件中，至少有一件是优等品的概率为（   ） A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2 【答案】C 【分析】根据对立事件的概率计算公式即可求解． 【详解】由题可知，这两件零件中，至少有一件是优等品的概率为， 故选：C． 2．（24-25高一下·四川乐山·期末）小王参加射击比赛考核，每次射击命中目标的概率为0.8，规定若第一次命中，才能进入第二次射击，且这两次射击相互独立．第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分，那么小王此次考核得分不低于10分的概率是（   ） A．0.16 B．0.64 C．0.8 D．0.96 【答案】C 【分析】根据已知条件结合对立事件概率公式计算求解. 【详解】第一次未命中得0分，仅第一次命中得10分，两次都命中可得20分， 那么小王此次考核得分低于10分的概率是， 则小王此次考核得分不低于10分的概率是. 故选：C. 3．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）甲、乙、丙三名同学参加某项技能测试，已知甲、乙、丙通过测试的概率分别为，，，且三人是否通过测试彼此独立，则甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为___________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】依题意，甲、乙、丙三人中恰有两人通过测试的概率为. 故答案为： 4．（24-25高一下·四川乐山·期末）甲､乙两人进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为0.5，乙投篮命中的概率为0.6，且两人投篮是否命中相互没有影响，则两人各投篮一次，至多一人命中的概率是__________. 【答案】0.7 【分析】根据独立事件概率公式以及对立事件的概率性质即可求解. 【详解】两人各投篮一次,两人均投中的概率为， 因此至多一人命中的概率是， 故答案为：0.7 5．（24-25高一下·四川南充·期末）为有效落实家校共育，某校派出教师进行家访，了解家庭对孩子的教育情况．一个月内派出的教师人数及其概率如下表所示： 派出人数 3 4 5 概率 0.1 0.36 0.3 0.2 0.04 则该校本月至少派出4名教师进行家访的概率为______． 【答案】0.54 【分析】利用互斥事件的概率求解. 【详解】解：由表得：该校本月至少派出4名教师进行家访的概率为， 故答案为：0.54 6．（24-25高一下·四川自贡·期末）某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，小李答对每道题目的概率为0.6，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是相互独立的． (1)用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； (2)求小李最后通过面试的概率． 【答案】(1) (2)0.936 【分析】（1）先阅读题意，然后一一列出样本空间即可； （2）先求出未通过面试的概率，结合对立事件的概率求法，即可求解. 【详解】（1）用Y表示答对题目，用N表示没有答对题目， 样本点依次为，故样本空间 （2）由题意，李明未通过的概率为， 所以李明通过面试的概率为. 地 城 考点05 独立事件的判断 1．（24-25高一下·四川达州·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第1枚硬币正面朝上”，“第2枚硬币反面朝上”，则（   ） A．与相互独立 B．与相等 C．与互斥 D．与对立 【答案】A 【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义即可判断. 【详解】显然事件和事件不相等，故B错误； 由于事件和事件能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故C、D错误； 因为事件是否发生与事件无关，事件是否发生也与事件无关，故事件和事件相互独立，故A正确. 故选：A. 2．（24-25高一下·四川南充·期末）从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，设事件A为“取出的数至少有一个是奇数”，事件B为“取出的数至少有一个是偶数”，则事件A与事件B是（    ） A．互斥且对立事件 B．互斥但不对立事件 C．不互斥事件 D．独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件的定义判断选项ABC；利用 判断D. 【详解】至少有一个是奇数包括一个奇数和一个偶数，两个奇数， 至少有一个是偶数包括一个奇数和一个偶数，两个偶数； 事件包含一个奇数和一个偶数时，两个事件同时发生，不符合互斥事件的定义. 所以事件A与事件B不是互斥事件，所以AB错误，C正确； 从1，2，3，4，5这5个数中任取两数共有种结果： ， ，共9种结果， ，共7种结果， ，共6种结果， ，，， 因为 ，所以事件A与事件B不是独立事件，D错误， 故选：． 3．（24-25高一下·四川乐山·期末）某人抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件“出现的点数为奇数”，“出现的点数不大于3”，事件“出现点数为3的倍数”，则下列说法正确的是（    ） A．与互为对立事件 B． C． D． 【答案】C 【分析】列举所有基本事件，根据对立事件的定义可判定A，由古典概型概率公式，即可结合选项逐一求解BCD. 【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数构成的样本空间为， 则， 对于A，事件可同时发生，故不是对立事件，A错误， 对于B，,,故B错误， 对于C，,C正确， 对于D，，D错误， 故选：C 4．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，事件“两枚均正面朝上”，下列说法正确的是（    ） A． B． C．与相互独立 D．与互斥 【答案】BCD 【分析】列举法表示，再逐项分析判断即得. 【详解】{(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}，{(正,正),(正,反)}，{(正,正),(反,正)}，{(正,正)}， 对于A，{(正,正),(正,反),(反,正)}，，A错误； 对于B，{(正,正)}，，B正确； 对于C，{(正,正)}，， 与相互独立，C正确； 对于D，{(反,正),(反,反)}，与不可能同时发生，因此与互斥，D正确. 故选：BCD 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $