专题05 空间直线、平面的平行7大题型分类专训（期末真题汇编，四川专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦空间直线与平面平行7大高频考点，汇编四川多地高一下期末真题，涵盖选择、多选及解答题型，强化线面平行证明与体积、夹角、距离的综合应用，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/多选|约20题|考点01-02（面面关系判断、线面平行判断）|结合正方体展开图、空间位置关系命题，考查空间观念| |解答题|约15题|考点03-07（线面平行证明与体积、夹角、距离综合等）|多问设计，如“证明线面平行+求体积/距离”，融合逻辑推理与运算能力，贴合期末综合考查趋势|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05空间直线、平面的平行 ☆7大高频考点概览 考点01面面关系有关命题判断 考点05线面平行的证明与点到面的距离综合（重点题型） 考点02判断线面平行 考点06补充线面平行的条件（重点题型） 考点03线面平行的证明与体积综合（重点题型） 考点07面面平行和线面平行综合证明（高频题型） 考点04线面平行的证明与夹角综合（高频题型） 目目 考点01 面面关系有关命题判断 1.(25-26高一下·四川成都期中)已知点A不在直线a和平面上，若存在空间中过A的直线b和平面3，则 () A.由直线b//平面可唯一确定b B.由直线a//平面B可唯一确定平面 C.由直线b⊥平面可唯一确定b D.由平面α⊥平面B可唯一确定平面 2.(24-25高一下·四川成都期末)若a,b为空间中两条不同的直线，，B,Y为空间三个不同的平面，则下 列结论正确的是（) A.若a⊥，x‖B,则a⊥B B.若a‖b,bC,则a‖a C.若a⊥B,a⊥Y,则3lY D.若aI&,b‖&，则a‖b 3.(24-25高一下·四川雅安期末)设α，B是两个平面，m,1是两条直线，则下列命题为真命题的是() A.若a⊥B,m//a,1//B,则m11 B.若&//B,mca,1c,则m//1 c.若cnB=m,1//a,1//B,则m//1 D.若m1,11F,m//1,则a1F 4.(24-25高一下·四川乐山期末)下列命题中正确的有()个 ①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 ③如果平面a《不垂直于平面B,那么平面内《一定不存在直线垂直于平面B ④垂直于同一条直线的两条直线平行 A.1 B.2 C.3 D.4 5.(24-25高一下·四川成都期末)下列说法正确的是() 1/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.垂直于同一条直线的两直线平行 B.平行于同一平面的两个平面平行 C.过平面外一点只有一条直线与这个平面平行 D.直角三角形绕边旋转一周一定形成一个圆锥 6.(2425高一下四川成都期末)设%，B是两个不同的平面，1是一条直线，以下命题正确的是() A.若11a,&1B,则1//B B.若1//aa/1B,则1cB C.若11aa//B,则11B D.若1//a,c⊥B,则1⊥F 目目 考点02 判断线面平行 1.(24-25高一下·四川成都期末)某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正 方体中，下列结论正确的是() D A.线段AB与GH所在的直线异面 B.线段CD与EF所在的直线平行 C.线段CD与GH所在的直线所成的角为60· D.线段AB与EF所在的直线相交 2.(24-25高一下四川泸州期末)已知直线a,b,平面，且bca,则“a//b”是“a//a的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C,充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.(24-25高一下四川绵阳期末)正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，P为线段 B1C上一动点，下列结论：①B1M1AC:②直线B1M与直线AD所成角的余弦值为：®存在点P使得 DP|平面AB1D1;④三棱锥A1一ADP的体积为定值.其中正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 2/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(多选)(24-25高一下·四川眉山期末)下列命题中为真命题的是() A.若直线mL平面ac,直线n⊥m,则n/a B.两条异面直线被两个平行平面截得的线段的中点连线平行于这两个平面 C.若平面⊥平面B,直线m⊥平面a,直线n⊥平面F,则n⊥m D.若直线mc平面a,直线nC平面c,直线m//平面B,直线n/平面B,则a/F 目目 考点03 线面平行的证明与体积综合 1.(24-25高一下·四川绵阳期末)如图，在棱长为2的正方体.ABCD-A1B1C1D1中，点E,F,M分 别为BB1,A1B1,CD的中点. A B C M B (1)求证：A1M/平面CD1FE: (2)平面CD1FE将此正方体分成两个几何体，体积分别为V1,V2(其中V1>V2),求的值 2.(25-26高一下·四川宜宾期中)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为正方形，点P到平面 ABCD的距离为2，AD=2,E、F分别是PB和BD的中点. D B (1)证明：EF//平面PAD; (2)求三棱锥C-PBD的体积. 3.(24-25高一下四川成都期末)已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体 3/11 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 0 M D B (1)求三棱锥D-A1BC1的体积： (2)若N是D1C的中点，M是BC1的中点，证明：NM//平面ABCD 4.(24-25高一下·四川南充期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=2,∠BAC=90°， D是BC边的中点，∠A1CA=45°， A A D (1)求直三棱柱ABC-A1B1C1的体积 (2)求证：A1CIl面AB1D; (3)一只小虫从点A1沿直三棱柱表面爬行到点D,求小虫爬行的最短距离. 5.(24-25高一下·四川成都期末)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是BC的中点，AB=AA1=2 B D (1)求证：A1CI平面AB1D; (2)求三棱锥A1-AB1D的体积. 6.(24-25高一下·四川成都期末)如图，在三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，AB=1,BC=2,0在 AC上，且B0⊥AC, 4/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 P D " B (I)求三棱锥P一AB0与三棱锥P-BC0的体积之比： (2)若点D在PC上，且PD=PC.证明：OD//平面PAB 7.(24-25高一下·四川绵阳期末)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为边长为2的菱形且对角线 AC与BD交于点O,∠DAB=60:P0⊥底面ABCD,点E是PC的中点. D (1)求证：AP‖平面BDE; (2)若三棱锥P-BDE的体积为W3,求OP的长， 8.(24-25高一下·四川凉山期末)已知直三棱柱ABC-AB'C中，AACC为正方形，P,O分别为AC, BC的中点. C B B (1)证明：POI平面ABBA; (2)若△ABC是边长为2正三角形，求四面体B-AOC的体积. 5/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(24-25高一下·四川甘孜期末)如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中点 D C B D B (1)证明：BD1//平面ACE, (2)求三棱锥A1一ACE的体积 10.(24-25高一下·四川成都期末)如图，在三棱锥P一ABC中，点D是PA的中点，点E为线段PB上一 动点 (I)若点E为线段PB的中点，求证：AB//平面DCE; (2)若点E满足PB=4EB,求三棱锥P-DCE与多面体DECBA的体积之比 目目 考点04 线面平行的证明与夹角综合 1.(24-25高一下.四川期末)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形， BB1=2V2 D D (1)求证：B1C//平面ADD1A1: 6/11 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (2)求异面直线BD1与AD所成角的大小 2.(24-25高一下.四川凉山期末)如图1，正六边形ABCD EF边长为2，G为边AB的中点，将四边形 ABCD沿AD折成如图2所示的五面体，使△ABF为正三角形 图1 图2 (I)求证：BC//面ADEF: (2)求异面直线DG与CE所成角的余弦值. 3.(24-25高一下四川绵阳期末)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为72+36V2,底面△ABC为 等腰直角三角形，AB=AC,AA1=6,M,N分别是A1B和AC1的中点， C B (1)求证：MN//平面ABC: (2)取A1B1的中点E,连接BE与B1M交于点O,求异面直线0C1与A1B所成角的余弦值， 4.(24-25高一下·四川凉山期末)如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥DA,PD⊥DC,在底面ABCD中， ABI‖DC,AB⊥AD,且2AB=CD=6,AD=PD=4,E为PC的中点. ()求证：BE//平面ADP; (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值 5.(24-25高一下·四川成都期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个不同 的动点E,F 7/11 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 C B E F B (I)求证：EF//平面ABCD; (2)求证：AC⊥BE; (3)二面角A一EF一B的大小是否为定值，若是，求出其余弦值；若不是，说明理由. 目目 考点05 线面平行的证明与点到面的距离综合 1.(24-25高一下·四川攀枝花期末)如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为2，D是BC的中点 B (1)求证：A1B平面AC1D; (2)求点C到平面AC1D的距离. 2.(24-25高一下·四川成都期末)在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD1平面PAB, 点E,F分别在线段CB,AP上，且CE=EB,AF=FP. 8/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：EF//平面PCD: (2)若AD=AP=PB=2,AP⊥PB,求点D到平面EFP的距离. 目目 考点06 补充线面平行的条件 1.(24-25高三上黑龙江牡丹江期末)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是 AB,CCAD的中点. D B D (1)证明：EG/平面D1B1C; (2)棱CD上是否存在点T,使AT/平面B1EF?若存在，求出无的值；若不存在，请说明理由 2.（24-25高一下·四川成都·期末)类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图 1,由射线PA,PB,PC构成的三面角P-ABC,∠APC=《,∠BPC=B,∠APB=Y,二面角 A-PC-B的大小为6，则cosy=cosacos3+sinasinBcos6. A D B 图1 图2 (1)当、BE(0,)时，证明以上三面角余弦定理； (2)如图2，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1C1C⊥平面ABCD,∠A1AC=60°， ∠BAC=45°， ①求∠A1AB的余弦值； ②在直线CC1上是否存在点P,使BP/平面DA1C1？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由. 目目 考点07 面面平行和线面平行综合证明 9/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25高一下.四川成都期末)如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，点M,N,Q分别为 PCCD,AB的中点 D ()求证：平面MNQ//平面PAD; (2)在棱PA上确定一点S,使NS//平面PBC,并说明理由 2.(24-25高一下·四川成都期末)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E,F分别为线段AC1,A1C1上的 点，A=1AC,AF=A1C,1E(0,1): A (1)求证：EF//平面BCC1B1 (2)在线段BC1上是否存在一点G,使平面EFG//平面ABB1A1?请说明理由. 3.(24-25高一下·四川绵阳·期末)如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，E,F,G分别是棱AB,BB,CC的中点， 又H为BE的中点. D B G D A E H B (I)证明：平面BEGl平面HFC, (2)求直线EB,与CF所成角的余弦值； 4.(24-25高一下·四川凉山·期末)已知直三棱柱ABC-AB'C中，AACC为正方形，P,O分别为AC, BC的中点. 10/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B B (1)证明：POI川平面ABBA: (2)若△ABC是边长为2正三角形，求二面角C-AB-C的正弦值. 11/11 专题05 空间直线、平面的平行 7大高频考点概览 考点01 面面关系有关命题判断 考点05线面平行的证明与点到面的距离综合（重点题型） 考点02判断线面平行 考点06补充线面平行的条件（重点题型） 考点03线面平行的证明与体积综合（重点题型） 考点07面面平行和线面平行综合证明（高频题型） 考点04线面平行的证明与夹角综合（高频题型） 地 城 考点01 面面关系有关命题判断 1．（25-26高一下·四川成都·期中）已知点不在直线和平面上，若存在空间中过的直线和平面，则（    ） A．由直线平面可唯一确定 B．由直线平面可唯一确定平面 C．由直线平面可唯一确定 D．由平面平面可唯一确定平面 【答案】C 【分析】由空间中点，直线，平面的位置关系分别判断即可． 【详解】对于A，过平面外一点与平面平行的直线有无数条，故A错误； 对于B，过直线外一点且与该直线平行的平面有无数个，故B错误； 对于C，过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故C正确； 对于D，过平面外一点，与已知平面垂直的平面有无数个，故D错误． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）若为空间中两条不同的直线，为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题可根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定定理，逐一分析选项. 【详解】根据两个平面平行的性质知A正确； 若，则或，B错误； 若，则可能平行或相交，C错误； 若，则直线a与b的位置关系可能是平行、相交或异面，D错误. 故选：A 3．（24-25高一下·四川雅安·期末）设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（  ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】根据题意，由线面、面面关系平行性质依次分析选项可得答案． 【详解】对于A，若，则可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，若，则可能平行或异面，故B错误； 对于 C，若，由直线与平面平行性质可得，故C正确； 对于D，若，则平面可能重合或平行，故D错误． 故选：C. 4．（24-25高一下·四川乐山·期末）下列命题中正确的有（   ）个 ①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直 ②过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行 ③如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ④垂直于同一条直线的两条直线平行 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】对于①②，可直接进行判断；③可假设平面内存在直线垂直于平面，推出矛盾，得到③正确；④可举出反例. 【详解】①过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直，正确； ②过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，错误； ③假设平面内存在直线垂直于平面，则可以推出平面垂直于平面， 所以假设不成立，故③正确； 对于④，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面，错误. 故选：B． 5．（24-25高一下·四川成都·期末）下列说法正确的是（    ） A．垂直于同一条直线的两直线平行 B．平行于同一平面的两个平面平行 C．过平面外一点只有一条直线与这个平面平行 D．直角三角形绕边旋转一周一定形成一个圆锥 【答案】B 【分析】根据线线，线面，和面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A.垂直于同一条直线的两直线平行，相交，或异面，故A错误； B. 平行于同一平面的两个平面平行，故B正确； C. 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故C错误； D.直角三角形绕直角边旋转一周形成圆锥，绕斜边旋转一周，形成上下两个圆锥，两个圆锥的底面重合，故D错误. 故选：B 6．（24-25高一下·四川成都·期末）设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据各项给定的线面、面面关系，结合平面的基本性质判断线面关系即可. 【详解】A：，则或，错误； B：，则或，错误； C：，则，正确； D：，则或或相交，错误. 故选：C 地 城 考点02 判断线面平行 1．（24-25高一下·四川成都·期末）某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（    ） A．线段与所在的直线异面 B．线段与所在的直线平行 C．线段与所在的直线所成的角为 D．线段与所在的直线相交 【答案】C 【分析】首先还原正方体，再根据线线的位置关系，判断选项. 【详解】由正方体展开图还原正方体如下图所示： 线段与所在的直线相交，故A错误； 线段与所在的直线异面，故B错误； 如图连接，，由正方体的性质可知，为等边三角形， 所以为与所在的直线所成的角，故C正确； 如图连接，则，平面，平面，所以平面， 又平面，所以与不相交，故D错误. 故选：C 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知直线，平面，且，则“”是“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】先判断充分性，再判断必要性，得到“”是“”的既不充分也不必要条件． 【详解】由，可得或，所以“”不是“”的充分条件， 由，可得或与是异面直线，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 3．（24-25高一下·四川绵阳·期末）正方体中，M是正方形的中心，P为线段上一动点，下列结论：①；②直线与直线所成角的余弦值为；③存在点P使得∥平面；④三棱锥的体积为定值．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据等腰三角形、线线角、线面平行、锥体体积等知识对四个结论进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设正方体的边长为. ①，在三角形中，，是的中点，所以，所以①正确. ②，设是的中点，连接，则， 所以是异面直线与直线所成角（或其补角）， 在三角形中，， 所以， 所以异面直线与直线所成角的余弦值为，②正确. ③，根据正方体的性质可知， 由于平面，平面， 所以平面， 同理可证得平面， 由于平面， 所以平面平面， 当时，平面， 所以平面. 即存在点P使得平面，③正确. ④，, 其中和为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以④正确. 综上所述，正确的一共有个. 故选：D 4．（多选）（24-25高一下·四川眉山·期末）下列命题中为真命题的是（   ） A．若直线平面，直线，则 B．两条异面直线被两个平行平面截得的线段的中点连线平行于这两个平面 C．若平面平面，直线平面，直线平面，则 D．若直线平面，直线平面，直线平面，直线平面，则 【答案】BC 【分析】根据线面位置关系及面面位置关系判断各个选项即可. 【详解】对于A，若直线平面，直线，则或，A选项错误； 对于B，如图，平面且为两条异面直线， 分别为的中点， 过点作交平面于，连接， 设是的中点，则， 又，所以， 因为，所以， 又平面， 所以平面平面， 又，所以平面平面， 又平面，所以， 即夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面， 故B选项正确； 对于C，若平面平面，设，直线平面，直线平面， 所以所成角为所成面面角，则，C选项正确； 对于D，若直线平面，直线平面，，直线平面，直线平面，则可以是相交平面，D选项错误； 故选：BC. 地 城 考点03 线面平行的证明与体积综合 1．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在棱长为2的正方体．中，点E，F，M分别为，，的中点． (1)求证：平面； (2)平面将此正方体分成两个几何体，体积分别为，（其中），求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，取的中点，连接，通过线面平行证得平面平面，进而利用面面平行的性质可证结论； （2）求得正方体的体积与，可求比值. 【详解】（1）连接，取的中点，连接， 因为点E，F分别为，，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为点M为的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以且， 又且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为N，F分别为，的中点，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面； （2）因为正方体的棱长为2，所以， 又因为， 所以，所以 所以，所以. 2．（25-26高一下·四川宜宾·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定结合中位线的条件即可求证； （2）使用等体积法结合条件中到平面的距离即可求解. 【详解】（1）在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． （2）由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知是棱长为2的正方体. (1)求三棱锥的体积； (2)若是的中点，是的中点，证明：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）三棱锥由正方体截去四个全等的三棱锥而得，从而得解； （2）由于，利用线面平行的判定定理证明. 【详解】（1）三棱锥由正方体截去四个全等的三棱锥而得， 故； （2）因为为和的中点， 在中，， 平面，平面， 所以平面. 4．（24-25高一下·四川南充·期末）如图，在直三棱柱中，，，是边的中点，. (1)求直三棱柱的体积； (2)求证：面； (3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬行到点，求小虫爬行的最短距离. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用柱体体积公式计算即可； （2）连接，借助三角形中位线，利用线面平行的判定推理可得； （3）分情况把点及点所在的几何体表面展开置于同一平面，求出两点间的距离并比较得解. 【详解】（1）因为在直三棱柱中，，， ， 所以四边形为正方形，且，， 故直三棱柱的体积 （2）连接，连接， 因为在正方形中，是的中点，而是边的中点， 则，又面，面， 所以面 （3）(i)小虫从点沿爬到点，把矩形与置于同一平面内，如图，连接，交于点， 因为，是边的中点，所以是的中点，， 则， (ii)小虫从点沿爬到点，把正方形与置于同一平面内，或把正方形与矩形置于同一平面内，如图， ①在左图中，取中点，连接，显然、、、共线， 且，，，， 所以， ②在右图图中，，所以， (iii) 小虫从点沿爬到点，同(ii)， 因为，故小虫爬行的最短距离为. 5．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在正三棱柱中，是的中点，．    (1)求证：∥平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接，则结合已知可证得，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由于∥平面，所以，则由可求得答案. 【详解】（1）证明：连接，设，连接， 因为四边形矩形，所以为的中点， 因为是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以∥平面；    （2）解：由（1）可知∥平面； 所以与到平面的距离相等， 所以． 因为为等边三角形，，是的中点， 所以， 因为，所以， 所以， 所以三棱锥的体积为． 6．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱锥中，， 在上，且．    (1)求三棱锥与三棱锥的体积之比； (2)若点在上，且．证明：平面． 【答案】(1). (2)证明见解析 【分析】（1）转化为底面积之比可求出结果； （2）由，可得平面. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， 所以. （2）由（1）知，，又， 所以，又平面，平面， 所以平面． 7．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，四棱锥中，底面为边长为2的菱形且对角线与交于点O，底面，点E是的中点． (1)求证：∥平面； (2)若三棱锥的体积为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由中位线证得，即可证得∥平面； （2）取中点F，证得平面，再由结合棱锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）证明：连接． ∵点O，E分别为的中点，∴，∵平面平面，∴∥平面； （2）取中点F，连接． ∵E为中点，∴为的中位线，∴，且．由菱形的性质知，为边长为2的等边三角形． 又平面，∴平面，，点E是的中点， ∴，∴． 8．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知直三棱柱中，为正方形，P，O分别为，BC的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求四面体的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； （2）利用可得答案. 【详解】（1）连接，，则交于点P， 因为分别为，的中点， 所以在中,， 因为平面，平面， 所以平面. （2）连接，, ， 所以四面体的体积为. 9．（24-25高一下·四川甘孜·期末）如图， 棱长为 2 的正方体 中，是的中点. (1)证明: 平面; (2)求三棱锥 的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接 交于， 连接，证明后得线面平行； （2）由计算体积． 【详解】（1）连接 交于， 连接， 则为的中位线， 所以， 又平面，平面， 平面； （2）为中点，则， 又正方体中，到平面的距离为， 10．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱锥P－ABC中，点D是PA的中点，点E为线段PB上一动点. (1)若点E为线段PB的中点，求证：平面DCE； (2)若点E满足，求三棱锥与多面体的体积之比. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由即可证得平面DCE； （2）先求出，三棱锥与四棱锥等高，由即可求出体积比. 【详解】（1）由点D是PA的中点，点E为PB的中点，可得，又平面DCE，平面DCE，则平面DCE； （2） 连接，由可得，则，又，则，， 即，则，又因为三棱锥与四棱锥等高， 则. 地 城 考点04 线面平行的证明与夹角综合 1．（24-25高一下·四川·期末）如图，在长方体中，底面是边长为2的正方形，. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）平移到即可求解. 【详解】（1）证明：连接 是长方体 , 四边形是平行四边形 又平面，平面， 平面 （2）连接 为异面直线与所成角 又 平面 在中， 异面直线与所成角的大小为 2．（24-25高一下·四川凉山·期末）如图1，正六边形边长为2，为边的中点，将四边形沿 折成如图2所示的五面体，使为正三角形. (1)求证：面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可得，再根据线面平行的判定定理即可证明； （2）取中点，连接，利用平行四边形的性质和中位线定理可得或其补角为直线与所成的角，求出的各边长结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：在正六边形中，， 所以在五面体中，， 平面，平面， 平面. （2）取中点，连接， 由题意得，且， 四边形为平行四边形， ， 又分别为的中点， ， ， 或其补角为直线与所成的角， 在中，，，， ， ， 同理， 又， 在中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 3．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，直三棱柱的侧面积为，底面为等腰直角三角形，，，M，N分别是和的中点． (1)求证：平面； (2)取的中点E，连接与交于点O，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接．先证明四边形是矩形．再借助中位线证明，运用线面平行定理证明即可. （2）连接并延长与交于的中点，记为点F，过O作，交于点H．则为的三等分点（靠近点），连接，则或其补角为异面直线与所成角，设，根据直三棱柱的侧面积为，解得，再分别求出，，，，在中用余弦定理求出即可. 【详解】（1）证明：连接． 在直三棱柱中，，且， 四边形是矩形． 是的中点， 过点N且平分． 在中，M是的中点， 是的中位线， ，又平面，平面， 平面． （2）点E，M分别是和的中点， 与的交点O为的重心． 连接并延长与交于的中点，记为点F． 过O作，交于点H． 为的三等分点（靠近点）． 连接，则或其补角为异面直线与所成角． 设，则直三棱柱的侧面积为，解得． 直三棱柱的底面为直角三角形，， ，． 且都在面内， 平面，面， ． 又， ． 又，． 在中，， 异面直线与所成角的余弦值为． 4．（24-25高一下·四川凉山·期末）如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点.    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成的角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取的中点为，易证明四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得结论； （2）作出异面直线与所成角的平面角，再由余弦定理可得结论. 【详解】（1）取的中点为，连接，如下图所示：    在中，为的中点，的中点为，则，且； 由已知，可得且， 所以四边形为平行四边形，可得， 易知平面，平面， 所以平面； （2）取的中点为，连接， 所以，且，可得四边形为平行四边形， 即，所以（或其补角）即为异面直线与所成的角， 由可得，由勾股定理可得， 所以； 即可得异面直线与所成的角的余弦值为. 5．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个不同的动点，． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)二面角的大小是否为定值，若是，求出其余弦值；若不是，说明理由． 【答案】(1)证明详见解析 (2)证明详见解析 (3)二面角的大小是定值，其余弦值为. 【分析】（1）通过证明来证得平面. （2）通过证明平面来证得. （3）首先判断二面角的大小是定值，然后作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的余弦值. 【详解】（1）直线即直线， 根据正方体的性质可知， 由于平面平面， 所以平面. （2）根据正方体的性质可知， 由于， 所以平面， 由于平面， 所以. （3）平面即平面，平面即平面， 由于平面与平面固定， 所以二面角的大小是定值， 设， 由于是的中点， 所以， 根据正方体的性质可知，，， 所以是二面角的平面角. 在直角三角形中， ， 所以. 地 城 考点05 线面平行的证明与点到面的距离综合 1．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）如图，正三棱柱的各条棱长均为2，是的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）根据等体积法，即即可求得答案. 【详解】（1）证明：连接交于E点，连接， 在正三棱柱中，四边形为矩形， 故为的中点，而是的中点.， 故，平面，平面， 故平面； （2）由于正三棱柱的各条棱长均为2，是的中点， 故， 而, 即有，即, 所以, 由于，设点到平面的距离为d， 则，则. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面PAB，点E，F分别在线段CB，AP上，且，． (1)求证：平面PCD； (2)若，，求点D到平面EFP的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，即可得到且，再由且，即可得到是平行四边形，从而，即可得证． （2）由面面垂直的性质得到平面，再证平面，即可得到点到平面的距离等于点到平面的距离，最后根据等体积法计算可得． 【详解】（1）证明：如图，取的中点，连接，． 在中，点，分别为，的中点， ∴且． 在矩形中，点为的中点， ∴且，∴且． ∴.四边形是平行四边形， ∴． 又∵平面，平面， ∴平面． （2）解：∵四边形是矩形， ∴． ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴， ∵，，，平面. ∴平面，即就是点到平面的距离． ∵，平面，平面，所以平面， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离． 又∵， ∴． 同理可证平面，即， 且，， 平面， ∴平面. ∴，即． ∴，     ∴点到平面的距离为． 地 城 考点06 补充线面平行的条件 1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在正方体中，分别是的中点. (1)证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）利用三角形中位线性质和平行四边形性质可证得，根据线面平行的判定可证得结论； （2）假设存在点，延长交于，连接交于，根据三角形中位线性质可确定，利用线面平行的性质可证得四边形为平行四边形，由此可确定. 【详解】（1）连接， 分别为中点，， ，，四边形为平行四边形，， ，又平面，平面， 平面. （2）假设在棱上存在点，使得平面， 延长交于，连接交于， ，为中点，为中点， ，，， 平面，平面，平面平面， ，又，四边形为平行四边形，， ； 当时，平面. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则． （1）当、时，证明以上三面角余弦定理； （2）如图2，平行六面体中，平面平面，，， ①求的余弦值； ②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②当点在的延长线上，且使时，平面. 【分析】（1）过射线上一点作交于点，作交于点，连接，，可得是二面角的平面角．在中和中分别用余弦定理，两式相减变形可证结论； （2）①直接利用三面角定理（（1）的结论）计算；②连结，延长至，使，连结，由线面平行的判定定理证明平面． 【详解】（1）证明：如图，过射线上一点作交于点， 作交于点，连接， 则是二面角的平面角． 在中和中分别用余弦定理，得 ， ， 两式相减得， ∴， 两边同除以，得． （2）①由平面平面，知， ∴由（1）得， ∵，， ∴． ②在直线上存在点，使平面． 连结，延长至，使，连结， 在棱柱中，，， ∴，∴四边形为平行四边形， ∴． 在四边形中，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又平面，平面， ∴平面． ∴当点在的延长线上，且使时，平面． 地 城 考点07 面面平行和线面平行综合证明 1．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，四棱锥 的底面为平行四边形，点 分别为 的中点. (1)求证: 平面 平面 ; (2)在棱 上确定一点 ，使 平面 ，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)为棱中点，理由见解析 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面平行的判定定理，证得平面，平面，结合面面平行的判定定理，即可得证； （2）取的中点，连接，证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行的判定定理，即可得证. 【详解】（1）在中，由分别为的中点，可得， 在平行四边形中，由分别为的中点，可得， 因为平面，平面，且平面，平面， 所以平面，平面， 又因为且平面，所以平面平面. （2）当为棱中点时，平面， 取的中点，连接， 在中，因为分别为的中点，所以且， 又因为为的中点，可得且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，E，F分别为线段，上的点，，，． (1)求证：平面． (2)在线段上是否存在一点G，使平面平面？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，满足即可，理由见解析 【分析】（1）由平行线分线段成比例定理推得，利用三棱柱的性质易得，即可由线线平行证得线面平行； （2）线段上存在点，满足，即可由线线平行推得线面平行再证明面面平行即可. 【详解】（1）因，，则，故， 在三棱柱中，，则， 因平面，平面，则平面. （2） 如图，线段上存在点，满足，即可使平面平面，理由如下： 因，则，则，因平面， 平面，故平面， 由（1），因平面， 平面，故平面， 又平面，故平面平面. 3．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F,G分别是棱AB,BB1,CC1的中点,又H为BE的中点． (1)证明:平面B1EG∥平面HFC; (2)求直线EB1与CF所成角的余弦值; 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)由H、F是中点,得到HF∥B1E,再根据CF∥B1G,结合面面平行的判定定理即可证明; (2)因为CF∥B1G,所以∠EB1G为直线EB1与CF所成角或其补角,根据已知条件利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）∵H、F是中点, ∴HF∥B1E. ∵HF平面B1EG,B1E平面B1EG, ∴HF∥平面B1EG. 同理由CF∥B1G,CF平面B1EG,B1G平面B1EG, 得CF∥平面B1EG. 又∵HFCF＝F,HF平面HFC,CF平面HFC, ∴平面B1EG∥平面HFC. （2） ∵CF∥B1G, ∴∠EB1G为直线EB1与CF所成角或其补角. 设正方体棱长为,则 ∴, ∴在中,, 即直线EB1与CF所成角的余弦值为. 4．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知直三棱柱中，为正方形，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； （2）根据等腰三角形的三线合一定理及直棱柱的定义，再利用线面垂直的性质定理及二面角的平面角的定义，结合锐角三角形即可求解. 【详解】（1）连接，，则交于点P， 因为分别为，的中点， 所以在中,， 因为平面，平面， 所以平面； （2）取中点，连接MC，，如图所示 因为是边长为2的正三角形，点是中点，所以， 在直三棱柱中 平面ABC，平面，所以， 而，平面 所以平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 因为是边长为2的正三角形，为正方形，所以， 在中，, 所以. 所以二面角的正弦值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $