专题02 平面向量的应用（正、余弦定理）15大题型分类专训（期末真题汇编，四川专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 平面向量与正余弦定理专题汇编，涵盖15个高频考点，精选四川多地期末真题，注重基础巩固与能力提升，融入窗花、蜀绣等文化情境及体育展览中心规划等实际应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约20题|向量几何最值、正余弦定理求边长/面积/周长及取值范围、三角形形状判断|结合正八边形窗花考向量投影（考点01），体现文化传承| |解答题|约15题|正余弦定理综合应用、面积/周长最值、三角函数与定理结合|蜀绣三角手巾考面积计算（考点12），体育展览中心规划考平行四边形面积最值（考点12），注重实际应用与分层设计|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02平面向量的应用（正、余弦定理） ☆15大高频考点概览 考点01向量与几何最值问题 考点09正、余弦定理求三角形的边长（重点题型） 考点02平面几何中向量方法 考点10正、余弦定理求三角形的周长（重点题型） 考点03利用余弦定理求边长（重点题型） 考点11正、余弦定理求三角形的周长最值或取值范围 考点04利用余弦定理求角度（高频题型） 考点12几何中的相关计算 考点05利用正弦定理解三角形 考点13正、余弦定理求三角形的面积（常考题型） 考点06正弦定理判断三角形的个数（重点题型） 考点14求三角形面积的最值或取值范围 考点07正、余弦定理判断三角形形状（难点题型） 考点15三角函数与正余弦定理综合求解（重点题型） 考点08正、余弦定理求三角形的边长最值或取值 范围（重点题型） 目目 考点01 向量与几何最值问题 1.(24-25高一下·四川内江期末)△ABC是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且 DE⊥BC,则DA·DE的最小值为() A.3 B.-V3 C.3 D.-3 2.(24-25高一下四川期末)设9为两个非零向量，的夹角，且0=石，已知对任意实数，6+t的最小值 为2，则= 3,(24-25高一下·四川成都期末)己知边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=30°，E是边AD所在直线上的一点， 则EB·EC的取值范围为 4.(24-25高一下.四川达州期末)如图，D是等边△0BC内的动点，四边形0ADC是平行四边形，I0A=|0D =1.当0A+0取得最大值时，0A.0B= 1/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D C 5,(24-25高一下·四川宜宾期末)窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画， 后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边 形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是() E 图1 图2 A.0B+OD=200 B.B丽在BC方向上的投影向量为受 C.PC.PD的最大值为48+32V2 D.若函数f(x)=BE-xBC,则函数f(x)的最小值为4+2V2 目目 考点02 平面几何中向量方法 1.(24-25高一下·四川自贡·期末)如图在平面四边形ABCD中，∠CBA=∠CAD=90°，∠ACD=30°，AB=BC, 点E在线段BC上满足BE=EC,若AC=AD+A正(，μER),则A=· D B 2.(24-25高一下·四川德阳·期末)如图，半径为2的圆O内有一条长度等于半径的弦AB,若圆O内部（不 含圆上)有一动点P,则PA+AP.PB的取值范围为 2/17 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 0 A B 3.(24-25高一下·四川成都·期末)在△ABC中，D,E分别为AC,BC的中点，AE交BD于点M.若 AB=2,AC=4,∠BAC=,则coS∠EMD= M 4.(24-25高一下·四川泸州·期末)如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O,点E在线段0B上，且OE= 0B,若AE=AB+uAD(孔，μER). 0 D (1)求λ-的值； (2)若AB=2,AD=1,求向量AE与向量AB夹角的余弦值. 5.(24-25高一下·四I川德阳·期末)如图，四边形ABCD的三边AB=AD=CD=2,AB⊥AD,∠ADC=120°，对 角线AC交BD于O. D (1)若AC=AB+uAD,求1+u的值； (2)求LC0D的余弦值 6.(24-25高一下·四川绵阳期末)如图，在△ABC中，已知AB=2,BC=2V3,∠BAC=60°，BC,AC边上的两 条中线AM,BN相交于点P, 3/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)用向量的方法证明：BP:PN=2:1; (2)求LMPN的余弦值； (3)连接PC,求PB·PC的值 7.(24-25高一下·四川达州·期末)如图，己知O是△ABC内部任意一点，△B0C,△AOC,△A0B的面 积分别为SA,SB,Sc,SA·0A+SB·OB+Sc·OC=0.根据上述结论，则(). A B A.如果40A+30B+20C=0,那么S4SBSc=2:3:4 B.如果A0=AB+AC,那么S4:SB:Sc=23:2 C.如果O为△ABC的重心，那么SA=SB=Sc D.如果0为直角△ABC的内心，且两直角边BC=5,AC=12,那么50A+120B+130C=0 目目 考点03 利用余弦定理求边长 1.(24-25高一下·四川成都期末)△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°，c=V3, BD⊥BC交AC于点D,且BD=1,则a的值为() B A.2V3 B.3 C.6 D.3 2.(24-25高一下四川凉山期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=V3,b=1,A=60°， 则c为() A.1 B.2 C.3 D.1或2 3.(2425高一下四川凉山期末)在△ABC中，Q=6,c=10,cosB=-2则边b=（） A.6 B.10 C.14 D.103 4/17 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 4.(24-25高一下.四川成都·期末)已知钝角△ABC的三边为a,a+2,a+4,则实数a的取值范围是() A.(6,+∞) B.(2,6) C.(0,6) D.(0,2) 5.(24-25高二下·四川眉山期末)在△ABC中，已知c=1,b=2,A=60°，则a等于() A.3 B.3 C.5 D.5 6.(24-25高一下·四川绵阳·期中)在△ABC中，已知A=120°，AB=5,BC=7,则AC为() A.4 B.5 C.3 D.6 7.(24-25高一下·四川凉山期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=4,b=27,B= 3,则c=() A.2 B,2或6 C.6 D.6 目目 考点04 利用余弦定理求角度 1.(24-25高一下.四川达州期末)在△ABC中，若sinA+sinB=V3sinC,则cos2C的最小值是() A.1 B. c. D.-1 2.(24-25高一下·四川攀枝花期末)在△ABC中，B=石，BC边上的高等于BC,则cosA=《) 12 A.-22 7 B.2 C.-2 D.2 7 7 7 3.(24-25高一下·四川凉山·期末)已知△ABC的三条边长分别为a,b,c,且a:b:c=5:7:8,则此三角形的 最大角与最小角之和为() A.智 C. D. 3.(24-25高一下·四川成都期末)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，若a=V3,b=2,c=1, 则角C为() A.30°或150° B.30° C.60°或120° D.60° 目目 考点05 利用正弦定理解三角形 1.(24-25高-下-四川达州期末)设△ABC中，BC=18,AC=20,sinB=53,则B+C=() 91 A.日 B.智 c.号 D. 2.(24-25高一下四川雅安期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=30°，b=V2,c=2, 则C=() 5/17 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 A.45°或135°B.15°或105 C.15 D.45 3.(2425高-下四川绵阳期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=名b=3, a=3,则c=() A.V3或23 B.2V3 c.3 D.3 4.(24-25高一下·四川成都期末)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=4,b=7,如果△ABC 有两解，则a的值可能为() A.9 B.7V2 C.11 D.12 目目 考点06 正弦定理判断三角形的个数 1.(24-25高一下·四川绵阳·期末)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边.若b=4,A= 30°，写出一个a值，使满足条件的△ABC有2个，则a取值范围是 2.(24-25高一下·四川泸州期末)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边，写出“使满足 b=2,A=的△ABC唯一”的a的一个取值为 3.(24-25高一下·四川成都期末)已知△ABC中角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,下列命题正确的是() A.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB B.若a2tanB=b2tanA,则△ABC是等腰三角形 C.若a-b=ccosB--ccosA,则△ABC为直角三角形 D.若a=2,b=3,A=-则此三角形有两解 4.(2425高-下-四川期末)在△ABC中，AB,C的对边分别是ab,cQ=2,A=云若△ABC有两个解， 则b的值可以为() A.2 B.3 C.4 D.5 5.(24-25高一下.四川宜宾·期末)在△ABC中，已知B=30°，c=2,且△ABC有两解，则b的取值可以是 () A.1 B.2 C.3 D.2 6.(24-25高一下·四川自贡·期末)己知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若A=60°，a=b=2,则△ABC有一解 B.若A=30°，a=1,b=4,则△ABC无解 C.若A=150°，a=3,b=4,则△ABC有一解 6/17 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 D.若A=45°，a=V2,b=3,则△ABC有两解 目目 考点07 正、余弦定理判断三角形形状 1.(24-25高一下·四川成都期末)设△ABC的面积为S,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且b2=a2+ c2-ac,若AC.AB=2V3S,则此三角形的形状为() A,等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D,等腰直角三角形 2.(24-25高一下·四川成都期末)在△ABC中，若sin2A=sin2C-sinB,AB=2(BC-ACcosC),则△ABC 的形状为() A,等边三角形 B,等腰直角三角形 C.钝角三角形 D.有一个内角为60°的直角三角形 3.(24-25高一下·四川成都·期末)己知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且满足a+b= (cosA+cosB)c,则△ABC为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上皆有可能 4.(24-25高一下·四川成都期末)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点0是△ABC所在平 面内的一点. (1)若点0是△ABC的重心，且OA·OB=0,求cosC的最小值； (②)若点0是△ABC的外心，B0=B函+nBC(入，ueR),且a=4,c=6,(ml+-》sin2B(m∈R)有最 小值，求m的取值范围， 5.(24-25高一下·四川凉山·期末)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,下列说法正确的是 () A.cos(A+B)=cosC B.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB C.若A=。则△ABC为等腰三角形 D.若a2+b2-c2=2 absinC,则△ABC为等腰三角形 6,(24-25高一下·四川期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列结论正确的是 () A.若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形 7/17 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 B,若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB C.者B=品则△MBC为等腰三角形 b D.若A=45°，a=V2,b=V3,则△ABC有两解 目目 考点08 正、余弦定理求三角形的边长最值或取值范围 1.(24-25高三上福建福州月考)已知锐角△ABC的内角A,B,C,所对的边分别为a,b,c,且bsin+C 2 asinB. (1)求角A; (2)若锐角△ABC外接圆的半径为V3,求2c-b的取值范围， 2.(24-25高一下.四川成都期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知acosC+V3 csinA=b+2c. (I)求角A的大小： (2)设D为边BC上一点，且满足AD=1. (i)若AB=2,AB⊥AD,求AC的长； (ii)若BD=DC,求BC的取值范围. 3.(24-25高一下.四川绵阳·期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c满足(b-a)(sinB+sinA) =c(sinC-sinA). (1)求B; (2)若a=2,b=2V3,求△ABC的面积； (3③)求c-。心的取值范围。 b2 4.(24-25高一下·四川成都·期末)在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知(2 acosC+2 ccosA)cos A=b. B D (1)求角A; (2)若a=2,AC·AB=2,求△ABC的周长； ⊙)如图，∠BAC的平分线AD咬BC于点D,AD=2,求品+高的取值范围 8/17 丽学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 5.(24-25高一下·四川泸州·期末)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且abcosA+a2cos B=3c (1)求a的值； (2②)若点D在线段BC上，∠BAC=120°，AD=1,△ABC的面积为33，求BD的长度 6.(24-25高-下-四川雅安期末)从①a+acosC=3csin(B+O:②csim(B+月=生，③sinB-sinA= sin(C-A).这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题. 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 (1)求角C的大小： (2)若点D在AB上，CD平分LACB,a=2,c=V7,求CD的长； (3)若该三角形为锐角三角形，且面积为v3,求a的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分， 7.(24-25高一下.四川凉山·期末)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，且sinA=2sin B,2-bcosC=ccosB. (1)求b: (2)若c=2,求△ABC的面积； (3)若△ABC为锐角三角形，且2BD=DA,求CD的取值范围 8.(24-25高一下.四川成都期末)如图，在△ABC中，AP=PB,A0=20C,点R为B0和CP的交点，设AB= d,AC=b. B (1)已知BR=BO,PR=PC,求入，的值； (2)若=4，|=6，与b的夹角为60°，求S△48R; (国若同=2，同=1，H在边BC上，RH1BC,9为ab的夹角，9e上，引求图的取值范围 9,(24-25高一下·四川资阳·期末)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2V3,且cos C+(cosB-3sinB)cosA=0 (1)求角A的大小： (2)若b=2,求△ABC的面积； 9/17 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (3)求3b+c的取值范围. 目目 考点09 正、余弦定理求三角形的边长 1.(24-25高一下·四川雅安期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2, c=2bcosB (1)求角B的大小： (2)若△ABC的周长为4+2V3,求BC边上的中线的长度 2.(24-25高一下·四川德阳·期末)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(a,b+c), 向量元=(a,b-c),若m.i=2,sinC=3 (1)求△ABC的面积； 2 (2)若sinAsinB=,求c. 3,(24-25高一下.四川成都期末)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=2bcos A. (1)求cosA的值； (2)若a=2W10,b=5,求△ABC的面积； (3)若b=V5,c=3,求△ABC中BC边上的中线长. 4.(24-25高一下·四川泸州·期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知2 bcosC=2a+c. (1)求B; (2)若b=V3,且sinAsinG=}求a+c. 5.(24-25高一下·四川南充·期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2V3 acsinB= (b+c+a)(b+c-a): (1)求角A的大小： (2)sinC 4sinB,a=13. ①求△ABC的面积； ②若BD=3DC,求AD: 目目 考点10 正、余弦定理求三角形的周长 1.(24-25高一下.四川成都·期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的外接圆半径为R, 10/17 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Habc-v2cb2 R(b2+c2-a2). ()证明：A-B= (2)若B=石，△ABC的面积为2+3，求△ABC的周长， 2.（24-25高一下四川达州期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a,bc,且m8血C=- sinA b+c" (1)求角C的大小： (②若b=,c=4,求△ABC的周长. 3.(24-25高一下·四川成都·期末)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点M是△ABC的内心，若 a =2,3bcosA asinB. M 的 D (1)求角A; (②)延长AM交BC于点D,若AD=23,求△ABC的周长 目目 考点11 正、余弦定理求三角形的周长最值或取值范围 1.(24-25高一下·四川乐山期末)△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=4sinA,ccosC= v3. (1)求C; (2)若0<C<4,边AB上的高为3，求△ABC的周长. 2.(24-25高一下·四川自贡·期末)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c. (I)若c-b=2 bcosA,求证：A=2B; ②在(1)条件下，若AB,C沟为锐角，求。品+2sin4的取值范围， (3)若A,B为锐角且S△ABc=6,sin2A+sinB=sin(A+B),求△ABC周长的最小值. 3.(24-25高一下四川巴中期末)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a2-c2-bc=ab cosC. 11/17 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (1)求角A的大小： (2)若a=2V3,求△ABC周长的取值范围 4,(24-25高二下·四川凉山期末)已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=1且 2c-a=2sin(C-) (1)求角B的大小； (2)求△ABC周长的最大值 目目 考点12 几何中的相关计算 1.(24-25高一下·四川期末)蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以 其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首，1915年，蜀绣 在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D 为边BC上靠近B点的三等分点，∠ADC=60°，AD=2. B D (1)若LACD=45°，求三角形手巾的面积； (②)当%取最小值时，请韬设计师计算BD的长。 2.(24-25高一下·四川成都期末)某地为迎接大学生运动会，拟在如图所示的扇形平地OAB上规划呈平行 四边形的区域OMPN修建体育展览中心，己知扇形半径OA=60m,圆心角∠A0B=?,点P为扇形弧上一 动点，点M,N分别为线段OA,OB上的点，设LPOM=a. (1)请用a表示OM的长度； (2)求平行四边形OMPN面积的最大值 3,(24-25高一下·四川成都·期末)为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地（△ABC 12/17 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 区域)进行分区改造.△BNC区域为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人 统一管理，△MNC区域规划为学生自主栽培区.△MNC的周围将筑起护栏.已知AC=20m,AB=40m, ∠BAC=60°，∠MCN=30° M (1)若AM=10m,求护栏的长度（△MNC的周长）； (2)学生自主栽培区△MNC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由 4,(24-25高一下·四川达州·期末)如图，在四边形ABCD中，AB=3,AD=4,BD=2BC,cos∠BCD=- 1 4 B (I)当A、B、C、D四点共圆时，求BD; (2)求四边形ABCD面积的最大值； (3)求AC的最大值. 目目 考点13 正、余弦定理求三角形的面积 1.(24-25高一下·四川绵阳·期末)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足acosB=b (2-cosA),点D在BC上，AD平分内角A. (1)求的值； (2)若BC=3V5,AD=2V2,求△ABD的面积； (3)若AD=kAC,求实数k的取值范围 2.(24-25高一下·四川成都期末)己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量元=(a,3b),元= (cosA,sinB),m ll n,BD 2DC (1)求角A; (2)若AB·AC=2,求△ADC的面积S△ADC 3.(24-25高一下.四川凉山期末)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为ab,c,bsin(C+-ccos(A+C) 13/17 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 2acosB. (1)求B; (2若c=2,2BD=BA+BC,|D=,求△ABC的面积. 4.（24-25高一下.四川成都期末)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=V5,b=3, cosB=_v10 10 (1)求A; (2)求△ABC的面积 5.(24-25高一下.四川巴中·期末)已知△ABC内角A,B,C对的边分别为a,b,c,且a=V7,b=5, c=6. (1)求cosA; (2)求△ABC的面积 6.（24-25高一下·四川攀枝花期末)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且sC+一2 cosA a =0 (1)求A; (2)若a=6, ①求△ABC周长的取值范围； ②若AD为BC边上的中线，AD=4,求△ABC的面积. 7.(24-25高一下·四川成都·期末)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，若AD为LBAC的内角平 分线，且cD=3,B=0(a+o0sin4-sinG)=(b-c0sinB, (I)求A的大小； (2)求角平分线AD的长度： (3)求△ABC的面积 8,(24-25高-下四川南充期末)己知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，且2asin(C+= 3b. (I)求A的值； (2)若a=2W7,b>c,△ABC的面积为63，求sin(A+B)的值； (3)若b=6,c=8,H为△ABC垂心，O为△ABC的外心，求AO,AH的值 14/17 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 目目 考点14 求三角形面积的最值或取值范围 1.(24-25高一下.四川乐山期末)已知锐角△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=3,且 (1)求角C: (2)求△ABC面积的取值范围. 在①a2+b2-ab=3,②2 ccosC=acosB+bcosA,这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分， 2.(24-25高一下·四川成都·期末)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知△ABC的外接 圆半径R=V2,且tanB+tanC=2sim4 cosC (1)求B和b的值； (2)求△ABC面积的最大值. 3.(24-25高一下.四川遂宁期末)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=ccosB+b. (1)若c=1,求△ABC面积的最大值： (2)若D为BC边上一点，DB=4,AB=5,且AB.BD=-12,求AC. 4.(24-25高一下.四川眉山·期末)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且(a-2b)cosC+ccos A=0. (1)求C; (2)若D是AB边的中点，CD=3,求△ABC面积的最大值， 5.(24-25高一下·四川凉山期末)已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,V3 bsinC--ccosB=c (1)BD是边AC上的中线，BD=2,且a2+c2=10,求AC的长度 (2)若△ABC为锐角三角形，且a=2,求△ABC面积的取值范围 6.(24-25高一下四川成都期末)在△ABC中，角4，B,C所对的边分别为a,b,c,且asin登=兰sinA (bcosC ccosB). (1)求A; (2)若LBAC的角平分线交BC于点D,且AD=1,求△ABC面积的最小值. 目目 考点15 三角函数与正余弦定理综合求解 1.(24-25高一下.四川成都期末)己知函数f()=V3sin(x+)sin(x-+sinxcosx。 15/17 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (1)求f(x)的最小正周期和对称中心： (②)已知锐角△ABC的三个角AB,C的对边分别为ab,c若fA)=号a=4,求△ABC周长的最大值. 2.(24-25高一下.四川成都期末)已知向量元=(sinx,cosx),元=(cosx,-cosx),设函数f()=m·元+ (1)求f(x)的最小正周期 (2)求f(x)的单调递增区间； (3)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为ab,c若f(C)=A=b=2,求△ABC的面积. 3.(24-25高一下.四川成都期末)在锐角△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知3sA-sinc a-b C -sinA+sinB (1)求B的值： (2)若b=2,求△ABC面积的取值范围 4.(24-25高一下四川自贡·期未)已知函数f()=sinG+wx)sin(年-wx)+3 sinwxcosoωx的最小正周期为 π. (1)求f(x)的解析式： (2)在△ABC中，O为△ABC的外心，角A所对边的长为a. (i)若f(9=1,a=3,点P在BC上，且0P=x0B+y0C(xyER),求x+2y的取值范围： (i)若△ABC的外接圆半径为1，且sin2A+sin2B-2cos2C=0,若△ABC面积为S,求证：S<25, 5.(2425高-下-四川德阳期末)将函数f()=sin(ox+p)(w>0,pl<)的图象向左平移个单位，再将 其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到g(,)=sim(x+)的图象， (0)设a=(sinx-cosx2).石=(1，sin.当xe(（，怎)时，求h()=月需的值城， (2)在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的三条边且g(A=.在△ABC内一点P满足条件 2 ∠PAB=∠PBC=∠PCA=O,称P为△ABC的布洛卡点，若PA=PC. 求证： ①a2+b2+c2=4V3 SAABC(S△ABc为△ABC的面积)； ②若PA=PC=2,求△ABC的周长 16/17 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 0 BL0 6.(24-25高二下·四川成都期末)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量元= (4simA,-9》,元=(GosA2cos2A）,f4)=m.i,AeG,- (1)求函数f(A)的最小值： (2)若f个=0，a=3,sinB+sinC=,求△ABC的面积。 17/17 专题02 平面向量的应用（正、余弦定理） 15大高频考点概览 考点01 向量与几何最值问题 考点09正、余弦定理求三角形的边长（重点题型） 考点02平面几何中向量方法 考点10正、余弦定理求三角形的周长（重点题型） 考点03利用余弦定理求边长（重点题型） 考点11正、余弦定理求三角形的周长最值或取值范围 考点04利用余弦定理求角度（高频题型） 考点12几何中的相关计算 考点05利用正弦定理解三角形 考点13正、余弦定理求三角形的面积（常考题型） 考点06正弦定理判断三角形的个数（重点题型） 考点14求三角形面积的最值或取值范围 考点07正、余弦定理判断三角形形状（难点题型） 考点15三角函数与正余弦定理综合求解（重点题型） 考点08正、余弦定理求三角形的边长最值或取值范围（重点题型） 地 城 考点01 向量与几何最值问题 1．（24-25高一下·四川内江·期末）是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．－3 【答案】D 【分析】根据三角形形状及各点位置，建立平面直角坐标系，设动点坐标，利用平面向量的坐标运算，并结合函数思想求得最值 【详解】解： 是边长为4的等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且 则以C为原点，CB所在的直线为x轴，平面内过C垂直于CB的直线为y轴，如图所示： 则 因为点D、E分别在边AC、BC上，且 设且，则 所以 故当时，的最小值为. 故选：D. 2．（24-25高一下·四川·期末）设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则__________. 【答案】4 【分析】利用向量的加法可得和向量的模为点到直线上任意点的两点间距离，从而可得最小值为；也可用平方法，利用数量积来计算和向量的模，再结合二次函数求最小值即可. 【详解】方法一：如图，当变化时，起点为，终点在上运动， 故的最小值为，由图可得：； 方法二：由题意可知，，令， 因为，所以恒大于零， 所以当时，取得最小值2， 所以，化简得，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知边长为2的菱形中，是边所在直线上的一点，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】取的中点，连接，利用平面向量的运算可得，结合菱形的几何性质可得答案. 【详解】      取的中点，连接，则， 所以， 当且仅当时，有最小值，则有最小值， 此时菱形的面积， 最小值为， 因为是边所在直线上的一点，所以无最大值，无最大值， 的取值范围为， 故答案为： 4．（24-25高一下·四川达州·期末）如图，D是等边内的动点，四边形是平行四边形，．当取得最大值时，__________．    【答案】0 【分析】建立平面直角坐标系，设的边长为，，，利用表达出，求出，利用三角函数求出最值及此时，，从而得到. 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为四边形是平行四边形，， 则， 设的边长为，显然，， 设，，则， 故，即， 因为，所以， 设，由， ， 所以 ， 因为，所以， 显然当，即时，取得最大值， 此时， ，故. 故答案为：0 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 5．（24-25高一下·四川宜宾·期末）窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形ABCDEFGH的边长为4，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．的最大值为 D．若函数，则函数的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，由向量的线性运算可得；对于B，由在方向上的投影向量为代入坐标运算即可；对于C，由，根据几何意义求的最大值即可；对于D，设设，则，即当时，取得最小值，根据图形求最小值即可. 【详解】根据题意，每个小三角形为全等的等腰三角形，顶角为， ，以为原点，分别为轴，设， 则，解得， ， 对于A，因为 ，，所以，故A正确； 对于B，， 在方向上的投影向量为，故B错误； 对于C，设中点为， ，所以取最大即取最大， 由题知，当 在点或点处时，取最大， 此时，， ， 所以，故C正确； 对于D，设 ，， 所以当时，取的最小值， 根据题意，，所以在延长线上， 又，则， 所以，故D正确； 故选：ACD. 地 城 考点02 平面几何中向量方法 1．（24-25高一下·四川自贡·期末）如图在平面四边形中，，点在线段上满足，若，则______． 【答案】/ 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设后，写出各点坐标，用向量的坐标运算可得． 【详解】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设， 则有 ， ，过D作轴于F，， ，所以， ，，， 因为， 所以， 所以，，解得：， 则的值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：建系用坐标表示是解题的关键. 2．（24-25高一下·四川德阳·期末）如图，半径为2的圆O内有一条长度等于半径的弦AB，若圆O内部（不含圆上）有一动点P，则的取值范围为______.    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法及点的坐标范围求解即可. 【详解】以O为原点建立平面直角坐标系，如图：    由题意三角形是边长为2的正三角形，则， 设，则，所以， 所以， 因为，所以，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用坐标法研究数量积的范围问题，尤其是圆中的数量积的范围问题，利用坐标运算把数量积范围问题转化为函数（不等式）范围问题解决即可. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，分别为的中点，交于点.若，，则__________. 【答案】/ 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得的长度，即可根据余弦定理求解. 【详解】因为在中，、分别为、的中点，交于点， 则为的重心，所以 ， 由平面向量数量积的定义可得， 故 ， 又,由余弦定理可得． 故答案为：． 4．（24-25高一下·四川泸州·期末）如图所示，矩形的对角线相交于点O，点E在线段上，且，若．    (1)求的值； (2)若，，求向量与向量夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知为矩形，，所以，结合图形显示关系得出，从而得出的值，进而求出. （2）由（1）知，因为为矩形，则，结合题给条件，，求出以及，再根据求出两向量夹角的余弦值. 【详解】（1）已知为矩形，， 所以， 所以， 即，， 所以． （2）由（1）知：， 因为为矩形，则， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 即向量与向量夹角的余弦值为：． 5．（24-25高一下·四川德阳·期末）如图，四边形的三边，对角线AC交BD于O． (1)若，求的值； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过建系，求出的坐标，代入等式列出方程组求解即得； （2）将理解为，利用两向量夹角的坐标公式即可求得. 【详解】（1） 如图，以为坐标原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 由题意，易得，,过点作轴于点， 则,故, 则又，则 故得，，解得， 故． （2）由图知， ， 即的余弦值为. 6．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在中，已知边上的两条中线相交于点. (1)用向量的方法证明：； (2)求的余弦值； (3)连接，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用三角形的中线的性质结合向量共线定理证明即可； （2）利用（1）的结论，用表示出，然后利用向量的夹角公式求解即可； （3）用表示出，然后利用向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）证明：因为为的中点，为的中点， 所以, 因为三点共线，所以设， 所以， 所以， 因为三点共线，所以，得， 所以，所以， 所以，所以； （2）在中，， 由余弦定理得， 所以，整理得， 解得或（舍去）， 所以，所以， 由（1）可知， ， 所以， ， ， 所以， （3）因为， ， 所以 . 7．（24-25高一下·四川达州·期末）如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（    ）．    A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果O为的重心，那么 D．如果O为直角的内心，且两直角边，，那么 【答案】BCD 【分析】依题意易判断A错误，利用平面向量线性运算计算，平面向量基本定理可知B正确，由重心性质可得C正确，根据三角形内心性质并利用勾股定理可判断D正确. 【详解】对于A：由题意,结合， 可得,即A错误. 对于B：由, 可得; 整理得, 即得，即B正确； 对于C：如果O为的重心， 则可知， 可知，即C正确； 对于D：如果O为的内心，设内切圆半径为r, 则, 又,,则,所以， 可知，即D正确. 故选：BCD. 【点睛】本题关键在于将重心、内心性质转化为向量OA,OB,OC之间得关系式，进而实现问题求解. 地 城 考点03 利用余弦定理求边长 1．（24-25高一下·四川成都·期末）中，角所对的边分别为，，，交于点，且，则的值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】B 【分析】根据条件得到，在中，利用余弦定理得到，从而得到，即可求解. 【详解】因为，，得到， 在中，，，由余弦定理得到， 所以，即， 所以，得到， 故选：B. 2．（24-25高一下·四川凉山·期末）在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．1或2 【答案】B 【分析】根据余弦定理，求解. 【详解】根据余弦定理，， 得，解得或（舍）. 故选：B 3．（24-25高一下·四川凉山·期末）在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理可求的值. 【详解】由余弦定理可得，故 故选：C. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知钝角的三边为，，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边长关系，结合余弦定理列不等式组即可得解. 【详解】由钝角的三边为a，，， 则，解得， 则实数a的取值范围是. 故选：B. 5．（24-25高二下·四川眉山·期末）在中，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用用余弦定理解三角形即可. 【详解】由余弦定理有：， 即，整理得：，解得. 故选：B 6．（24-25高一下·四川绵阳·期中）在中，已知，，，则为（    ） A．4 B．5 C．3 D．6 【答案】C 【分析】应用余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理得：， 整理得：，解得：或（舍去）. 故选：C 7．（24-25高一下·四川凉山·期末）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则（    ） A．2 B．2或6 C．6 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解作答. 【详解】在中，，，，由余弦定理得， 得，即，而，解得， 所以. 故选：C 地 城 考点04 利用余弦定理求角度 1．（24-25高一下·四川达州·期末）在中，若，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．－1 【答案】C 【分析】由已知利用正弦定理得，根据余弦定理结合基本不等式得的范围，利用二倍角的余弦公式，可求的最小值． 【详解】 ， 由正弦定理得，根据余弦定理得： 时等号成立， 又因为，所以， ， 即的最小值是， 故选：C. 2．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）在△中，，边上的高等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可求得，利用余弦定理可求得，由余弦定理可求得. 【详解】设，由，边上高，且，可得． 设，代入、， 由余弦定理可是得，即． 所以． 故选：A. 3．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知的三条边长分别为a，b，c，且，则此三角形的最大角与最小角之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析出角最大，角最小，再根据余弦定理求出角即可得解. 【详解】由大边对大角，小边对小角可知角最大，角最小. 因为，所以设， 则由余弦定理 可得， 又因为，所以； 因为，所以， 所以三角形的最大角与最小角之和为. 故选：A 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知分别为的三个内角的对边，若，则角为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求得的值，结合角的范围即得答案. 【详解】由余弦定理可得，因，则. 故选：B. 地 城 考点05 利用正弦定理解三角形 1．（24-25高一下·四川达州·期末）设中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理可得，结合大边对大角得，则，进而得到． 【详解】由正弦定理得，即， 解得， 又，， 则为锐角， ，则． 故选：B． 2．（24-25高一下·四川雅安·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（  ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理及大边对大角即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得：，由于，所以或. 故选：A 3．（24-25高一下·四川绵阳·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（   ） A．或 B． C． D．3 【答案】A 【点睛】用正弦定理先求出，根据三角形内角关系得到，再用正弦定理求. 【详解】由题意及正弦定理，得，解得. 又，故，于是或，均符合题意. 当时，，由正弦定理，得，解得； 当时，，此时是等腰三角形，. 故选：A 4．（24-25高一下·四川成都·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ） A．9 B． C．11 D．12 【答案】A 【分析】由题意知且，所得范围取交集，找出符合范围的a的值即可. 【详解】由正弦定理得：，且有两解，所以，且，所以，故符合题意的有A. 故选：A 地 城 考点06 正弦定理判断三角形的个数 1．（24-25高一下·四川绵阳·期末）已知，，分别是的三个内角，，所对的边.若，，写出一个值，使满足条件的有2个，则取值范围是__________. 【答案】 【分析】由即可求解. 【详解】当即时满足条件的有2个， 所以取值范围是. 故答案为：. 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，写出“使满足，的唯一”的a的一个取值为______． 【答案】（答案不唯一，满足或即可） 【分析】根据题意，利用正弦定理求解. 【详解】∵，， ∴当或，即或时，唯一； 故答案为：（答案不唯一，满足或即可） 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知中角所对应的边分别为，下列命题正确的是（   ） A．若为锐角三角形，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则为直角三角形 D．若，则此三角形有两解 【答案】AD 【分析】对于A，根据锐角三角形得到..，结合正弦函数单调性和诱导公式比较出大小；对于B，由同角三角函数关系，正弦定理和二倍角公式得到，进而求解判断即可；对于C，根据正弦定理及两角和的正弦公式化简即可判断；对于D，根据正弦定理求解判断即可. 【详解】对于A，若是锐角三角形，则，则， 其中，， 又在上单调递增， 故，故A正确； 对于B，若，则， 由正弦定理得， 又，故， 所以，即，则， 所以或，所以或， 为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由，根据正弦定理得， 则， 则， 则， 则或，即或， 所以为直角三角形或等腰三角形，故C错误； 对于D，由，则，即， 因为，所以，所以此三角形有两解，故D正确. 故选：AD. 4．（24-25高一下·四川·期末）在中，的对边分别是，，，若有两个解，则的值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】BD 【分析】法一：当时有两个解，即可求出的取值范围，即可判断；法二：由正弦定理得，然后利用正弦函数图象分析可得. 【详解】法一：因为，， 当时有两个解，即，解得， 故符合题意的有B、D. 法二：由正弦定理，所以且， 所以，即，作出正弦函数图象如图． 因为该三角形有两个解，所以，即，故符合题意的有B、D． 故选：BD 5．（24-25高一下·四川宜宾·期末）在中，已知，，且有两解，则的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据三角形边角关系以及三角形临界状态求解即可； 【详解】    如图，当时，为临界状态， 当即 有两解， 故选；BC 6．（24-25高一下·四川自贡·期末）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 【答案】ABD 【分析】A选项，推出是边长为2的等边三角形，有一解；B选项，由正弦定理得，无解；C选项，由大边对大角得到三角形中有2个钝角，无解；D选项，由正弦定理得到或，有两解． 【详解】A选项，因为，所以，故， 则是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确； B选项，若，由正弦定理得，即， 解得，无解，故B正确； C选项，若，由大边对大角可知， 此时三角形中有2个钝角，不可能，则无解，故C错误； D选项，若，由正弦定理得，即， 解得，因为，所以或，所以有两解，D正确． 故选：ABD. 地 城 考点07 正、余弦定理判断三角形形状 1．（24-25高一下·四川成都·期末）设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，若，，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．有一个内角为的直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理推出，结合推出，，可得答案. 【详解】由以及正弦定理得，即，则，，， 又，所以，，，即的形状为有一个内角为的直角三角形. 故选：D. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且满足，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【答案】B 【分析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角即可求解. 【详解】由及正弦定理，得, 因为，所以, 所以, 即， ，所以， 则 所以， 所以为直角三角形. 故选：B. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）已知的角，，所对的边分别为，，，点是所在平面内的一点． (1)若点是的重心，且，求的最小值； (2)若点是的外心，（，），且，，有最小值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由余弦定理列出方程，然后再由基本不等式即可得到结果； （2）根据题意，分别表示出，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）延长，，分别交边，，于点，，， 依题意有，． 在和中，由余弦定理有， 即，化简有，． 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为．    （2）由题意可知：，解得， 则 ． 今， 原式有最小值，所以． 解得． 5．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知的内角，，所对的边分别是，，，下列说法正确的是（    ） A． B．若为锐角三角形，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为等腰三角形 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用诱导公式判断AB；利用正余弦定理判断三角形形状判断CD作答. 【详解】在中，内角，，所对的边分别是，，， 对于A，，A错误； 对于B，为锐角三角形，则，且，即， 而正弦函数在上单调递增，于是，B正确； 对于C，由正弦定理及，得，即， 显然，则，则为等腰三角形，C正确； 对于D，由余弦定理得，即，而， 则，不能确定的形状，D错误. 故选：BC 6．（24-25高一下·四川·期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若为锐角三角形，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，，，则有两解 【答案】ABD 【分析】对于A，利用余弦定理分析判断，对于B，利用诱导公式分析判断，对于C，利用余弦定理统一成边形式化简判断，对于D，利用正弦定理计算判断. 【详解】对于A，因为，所以， 因为，所以为钝角，所以是钝角三角形，所以A正确， 对于B，因为为锐角三角形，所以，所以， 因为在上递增，所以，所以，所以B正确， 对于C，由，得，由余弦定理得， 所以，， 所以，所以， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，所以C错误， 对于D，在，，，，则由正弦定理得 ，，得， 因为，所以或，所以有两解，所以D正确， 故选：ABD 地 城 考点08 正、余弦定理求三角形的边长最值或取值范围 1．（24-25高三上·福建福州·月考）已知锐角的内角，，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若锐角外接圆的半径为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形中角之间的关系及正弦定理的正弦值，进而求出角的大小； （2）由正弦定理可得，的表达式，再由角的范围可得解． 【详解】（1）在三角形中，由题意， 再由正弦定理可得：，而， 锐角三角形中，， 所以，即， 所以； （2）由正弦定理可得， 所以， 故， 又，所以， 解得， 所以 ，又，所以， 所以， 所以的取值范围为． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)设D为边上一点，且满足． （i）若，求的长； （ii）若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）利用正弦定理及和差角的正弦公式将化简变形，再结合角A的范围即可求出角A； （2）（i）在中，先求出，，及，再求出，在中，由正弦定理即可求出的长；（ii）由是中点可得，将其平方变形可得，再根据重要不等式可得，在中，由余弦定理表示出，利用的范围即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得 ， 在中，因为， 将其代入上式可得， 因为，所以，所以， 即，即. 因为，， 所以，解得. （2）（i） 因为，， 所以在中，由勾股定理可知， 所以，. 由（1）知，所以， . 所以在中，由正弦定理可知，， 即，解得； （ii） 若，，则有， 两边平方可得， 即，即. 又因为，所以. 在中，由余弦定理可知， ， 所以，即. 所以的取值范围为. 3．（24-25高一下·四川绵阳·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足． (1)求B； (2)若，，求的面积； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简后利用余弦定理可求出角B； （2）利用余弦定理求出，再由三角形面积公式可求得结果；、 （3）利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形得，令，然后利用二次函数的性质可求其范围. 【详解】（1）， 由正弦定理，得，． 由余弦定理，得， ，． （2）在中，，，． 由余弦定理，得， 即，解得（舍）或． 的面积为． （3）由（1）知． ． 令，， ，． ， 当时，取得最小值，最小值为． 当时，取得最大值，最大值为． 的取值范围是． 4．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，角所对应的边分别为.已知. (1)求角； (2)若，，求的周长； (3)如图，的平分线交于点，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和和差的正弦公式将原等式化简，进而求得的值. （2）首先根据向量的数量积定义求出的值，然后根据余弦定理求出的值，进而得到三角形的周长. （3）先在中利用正弦定理将表示出来，然后利用角的关系求出其范围即可. 【详解】（1）， 由正弦定理可得， 在中，，所以， 化简得， ，则，又，则. （2）在中，，，所以， 又，由余弦定理得，得， 配方得，于是，得，所以， 故的周长为6. （3）在中，由正弦定理可得， ，同理中，有， ，因为，所以， ， ，所以. ，. 5．（24-25高一下·四川泸州·期末）设的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值； (2)若点在线段上，，，的面积为，求的长度. 【答案】(1)3 (2)1或2 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）根据题设，结和三角形的面积公式及余弦定理易得，设，再利用列方程即可求解. 【详解】（1）由， 根据正弦定理得：． 所以 则． 因为，所以. （2）由题意，，则， 由余弦定理得，则，解得， 则，设，， 由， 则， 则，解得或2，即或2. 6．（24-25高一下·四川雅安·期末）从①；②；③．这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答该题． 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________． (1)求角C的大小； (2)若点D在AB上，CD平分，，，求CD的长； (3)若该三角形为锐角三角形，且面积为，求a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）若选条件①，根据正弦定理边化角，再化简得，可解角C；若选条件②．根据正弦定理边化角，再利用三角函数恒等变形化简得可解角C；若选条件③，直接由，结合三角函数恒等变形化简得可解角C； （2）在中，根据余弦定理，解得，又，得，从而得解； （3）利用三角形的面积公式求得，结合正弦定理，用表示出并求得的取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】（1）若选条件①， 依题意，得，根据正弦定理得， 因为，所以，则，即， 即，所以． 又，则， 所以； 若选条件②， 由正弦定理得， 所以 ， 即， 即，整理得，即． 因为，所以， 所以． 若选条件③， 在中，因为，， 所以， 即， 化简得． 又，则，故． 因为，所以． （2）在中，根据余弦定理， 有， 即，解得或（舍去）， 依题意，， ， 即，则， 所以． （3）依题意，的面积，所以． 又为锐角三角形，且， 则，所以． 又，则，所以． 由正弦定理，得， 所以， 所以，即， 所以a的取值范围为． 7．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，． (1)求b； (2)若，求的面积； (3)若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据题意利用正、余弦定理角化边运算求解即可； （2）利用余弦定理可得，进而可得，即可得面积； （3）利用余弦定理可得，结合锐角三角形可得，结合向量求的取值范围. 【详解】（1）因为， 由余弦定理可得，解得． 又因为，由正弦定理得，所以． （2）由（1）可知：，，且， 由余弦定理得， 且，可得， 所以的面积． （3）由（1）可知：，， 由余弦定理可得， 且为锐角三角形， 则，解得， 因为，可得 则， 可得，所以的取值范围为． 8．（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在中，，点为和的交点，设． (1)已知，求的值； (2)若，，与的夹角为，求； (3)若，，在边上，，为的夹角，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过向量得，根据向量基本定理列方程求解即可； （2）先应用三角形面积公式，根据有，即可求面积； （3）已知向量的长度，以及，利用向量的正交条件和长度关系得确定比例得，然后利用余弦函数的值域及分式不等式求解范围. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以， 所以，解得. （2）因为，，与的夹角为， 所以， 由（1）知，， 所以. （3）由（1）知，， 所以. 设与的夹角为，其中， 则 ， 而， 因为，所以， 即， 所以，所以. 因为，所以，所以，又，解得， 所以的取值范围为. 9．（24-25高一下·四川资阳·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知，且. (1)求角的大小； (2)若，求的面积； (3)求的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3)的取值范围为. 【分析】（1）由条件利用两角和差的三角公式化简求出，即可求解； （2）利用余弦定理列方程可求出，再利用三角形面积公式即可求解； （3）利用正弦定理把边化为角，再利用两角和差公式以及辅助角公式化简得，利用三角函数的值域求解即可. 【详解】（1）因为，所以， ， ，因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以. （2）在锐角中，由余弦定理可得， 又，，，所以，整理得， 解得或（舍去），所以， 所以. （3）设锐角外接圆半径为，由正弦定理可得：， 所以 ， 其中，为锐角， 因为为锐角三角形，则，解得， 所以， 又， ， 所以，即， 所以，从而的取值范围为. 地 城 考点09 正、余弦定理求三角形的边长 1．（24-25高一下·四川雅安·期末）在中，角，，的对边分别为，，，若，. (1)求角的大小； (2)若的周长为，求边上的中线的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得，再由正弦定理求； （2）由（1）求出角，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求边上中线的长． 【详解】（1）由，得，又， ，得，又， ， 由及正弦定理得， 所以，又，， ，得. （2）由（1）知，，，则， 所以，又，得， 因为的周长为，所以，解得， 设的中点为，则，如图所示， 在中，由余弦定理，可得， . 所以边上中线的长为. 2．（24-25高一下·四川德阳·期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，向量，若． (1)求△的面积； (2)若，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量的数量积的坐标表示以及三角形的面积公式即可求得结果. （2）通过正弦定理即可求出结果. 【详解】（1）因为且， 两式联立得：，又因为，所以或（舍）， 故，由三角形面积公式得 （2）因为，且由（1）知，设三角形的外接圆半径为R， 由正弦定理得：， 解得或（舍），所以 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若，，求的面积； (3)若，，求中边上的中线长． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】（1）根据正弦定理边化角可得，即可由同角平方和关系求解， （2）根据余弦定理可得，即可根据面积公式求解， （3）根据向量的模长公式即可求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理得：， ，，，， 由，解得； （2）在中，由余弦定理得， 得，解得或（舍）， 由（1）知，故的面积； （3）设为的中点，则， ， 解得，即中边上的中线长为．    4．（24-25高一下·四川泸州·期末）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求B； (2)若，且，求． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用余弦定理定理化简等式，再根据余弦定理的推论和角的范围解出答案； （2）利用正弦定理公式结合已知条件求出，再由余弦定理求出答案. 【详解】（1）因为余弦定理可得， 所以， 因为， 所以. （2）因为正弦定理得， 所以 又，所以，即， 由余弦定理得，即， 因为，所以. 5．（24-25高一下·四川南充·期末）在中，内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，． ①求的面积； ②若，求． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）对原式展开后利用余弦定理和正弦定理得，再利用两角差的正弦公式即可得到答案； （2）①利用正弦定理进行角换边，再结合余弦定理求出，最后利用三角形面积即可得到答案；②根据向量线性运算得，最后利用转化法即可求出模长. 【详解】（1）因为， 所以， 又， 所以， 所以， 由正弦定理可得， 又，所以， 所以， 即，又， 所以，所以，则. （2）①因为，由正弦定理可得.又， 由， 所以， 解得或(舍去)，所以， 所以. ②因为， 所以. 所以. 所以 . 地 城 考点10 正、余弦定理求三角形的周长 1．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，角所对的边分别为，的外接圆半径为，且． (1)证明：； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由余弦定理、正弦定理、两角差的正弦展开式得，可得答案； （2）令，再利用 求出，可得答案. 【详解】（1）由， 可得，所以， 又由正弦定理，可得， 即，所以， 可得或，即或（舍去）， 所以； （2）因为，， 所以，，所以为等腰三角形， ， 所以， 令其中，则 ， 解得， 因此的周长为 . 2．（24-25高一下·四川达州·期末）在中，角 所对的边长分别为，且． (1)求角C的大小； (2)若，c＝4，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理可将已知条件化为，即，进而可求出的值，即可得角C的大小； （2）由已知可得，即可得，由可得的值，即可得周长. 【详解】（1）解：∵，由正弦定理得， ∴，即． 由余弦定理得． ∵，∴． （2）解∵，c＝4，， ∴由正弦定理得：， ∵，∴． ∴， ∴， 即的周长为． 法二：∵，由正弦定理得， 又由，c＝4，则， ∴， 即的周长为． 3．（24-25高一下·四川成都·期末）已知内角的对边分别为，点是的内心，若,. (1)求角； (2)延长AM交BC于点，若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将原式化成，即得，结合角的范围即可求出角. （2）利用点是的内心，由三角形面积公式和等面积替换可得，再根据余弦定理，两者联立代入可得，解方程即得的值，即得答案. 【详解】（1）由可得，由正弦定理可得 ， 故可得，即，而，故 （2）因为点是的内心，，， 因，，则 从而，. 又，所以，即. 由余弦定理可得. 将代入上式化简得. 解得，因为，所以. 所以的周长为. 地 城 考点11 正、余弦定理求三角形的周长最值或取值范围 1．（24-25高一下·四川乐山·期末）的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求C； (2)若，边AB上的高为，求的周长． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据正弦定理化简，再应用二倍角正弦计算求出角； （2）应用面积公式求出，再结合余弦定理求出边即可得出周长. 【详解】（1）， ， ， ，即， ， 或； （2）， ， 边AB上的高为， ，则， 又由余弦定理得， ， 又， 或， 的周长. 2．（24-25高一下·四川自贡·期末）在中，内角所对的边分别为． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，若均为锐角，求的取值范围． (3)若为锐角且，求周长的最小值． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角形的内角和的性质，化简得到，进而证得； （2）根据题意求得，由化简得到，结合对勾函数的单调性即可求解； （3）整理可得，分类讨论之间的大小关系，可得，进而可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 又因为， 代入可得，即， 因为，则，故， 可得或，即或（舍去）， 所以． （2）因为为锐角三角形，，所以， 由题意可得，解得； 因为， 因为，则，可得， 令，则在上单调递增， 且，可知， 所以的取值范围为． （3）因为， 可得， 因为为锐角，则有： 若，即，则， 且在内单调递增， 可得，且，， 即，， 可得，不合题意； 若，即，则， 且在内单调递增， 可得，且，， 即，， 可得，不合题意； 若，即，则，， 即，， 可得，符合题意； 综上所述：，即，可得， 又因为，即， 可得， 当且仅当时，等号成立， 则，所以周长的最小值为. 【点睛】关键点点睛：对于第三问：整理可得，分类讨论之间的大小关系，进而可得. 3．（24-25高一下·四川巴中·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化简计算可得； （2）由正弦定理边角关系可得，再应用辅助角公式、正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 又，所以； （2）由正弦定理可知:，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以周长的取值范围为. 4．（24-25高二下·四川凉山·期末）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)求周长的最大值. 【答案】(1) (2)3 【分析】根据正弦定理边角互换，将边长对应换成正弦，再根据两角和与差打开化简合并即可. 根据余弦定理可得出关系式，再根据基本不等式即可求解最值. 【详解】（1）由及得：. 结合正弦定理得：. 因为，且为锐角三角形. 所以：. 即：，因为为锐角三角形，所以. 因此：，故：； （2）由余弦定理知：. 即：. 所以：. 因此：周长为，即周长最大值为3. 地 城 考点12 几何中的相关计算 1．（24-25高一下·四川·期末）蜀绣又名“川绣”，与苏绣，湘绣，粤绣齐名，为中国四大名绣之一，蜀绣以其明丽清秀的色彩和精湛细腻的针法形成了自身的独特的韵味，丰富程度居四大名绣之首．1915年，蜀绣在国际巴拿马赛中荣获巴拿马国际金奖，在绣品中有一类具有特殊比例的手巾呈如图所示的三角形状，点D为边BC上靠近B点的三等分点，，．    (1)若，求三角形手巾的面积； (2)当取最小值时，请帮设计师计算BD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理求得的长，即可得的长，由三角形面积公式即可求得答案. （2）设，利用余弦定理表示出，即可得的表达式，结合基本不等式确定其最小值，即可求得答案. 【详解】（1）在中，，，故，， 由正弦定理得，即， 而， 故， 故, 故三角形手巾的面积为 （2）设，则， 则在中，， 在中，， 故 ， 由于，当且仅当，即时取等号， 故， 即取到最小值即取最小值时，， 即此时. 【点睛】关键点睛：第二问求解取最小值时的长，关键是设，分别利用余弦定理表示出，从而可得的表达式，进而利用基本不等式求解. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）某地为迎接大学生运动会，拟在如图所示的扇形平地OAB上规划呈平行四边形的区域OMPN修建体育展览中心，已知扇形半径OA＝60m，圆心角，点P为扇形弧上一动点，点M，N分别为线段OA，OB上的点，设. (1)请用表示OM的长度； (2)求平行四边形OMPN面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得出答案； （2）作于点，求出，再根据平行四边形OMPN面积，结合三角恒等变换化简，再结合三角函数的性质即可得出答案. 【详解】（1）解：在平行四边形中， ，， 则， 在中，由正弦定理得： ， 所以； （2）如图，作于点， 则， 所以平行四边形OMPN面积 ， 因为，所以， 所以， 即平行四边形OMPN面积的最大值为. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）为了丰富同学们的课外实践活动，石室中学拟对生物实践基地（区域）进行分区改造.区域为蔬菜种植区，区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，区域规划为学生自主栽培区.的周围将筑起护栏.已知，，，.    (1)若，求护栏的长度（的周长）； (2)学生自主栽培区的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由. 【答案】(1) (2)有， 【分析】（1）利用余弦定理证得，从而判断得是正三角形，由此得解； （2）在与中，利用正弦定理求得与关于的表达式，从而利用三角形的面积公式得到关于的表达式，再结合三角函数的最值即可得解. 【详解】（1）依题意，在中，，，， 所以，则，，即， 所以，又，故， 所以是正三角形，则，， 所以护栏的长度（的周长）为. （2）学生自主栽培区的面积有最小值，理由如下： 设()， 在中，，则， 由正弦定理得，得， 在中，， 由正弦定理得，得， 所以 ， 所以当且仅当，即时，的面积取得最小值为﹒ 4．（24-25高一下·四川达州·期末）如图，在四边形中，，，，. (1)当、、、四点共圆时，求； (2)求四边形面积的最大值； (3)求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知条件得出，可求出的值，然后在利用余弦定理可求得的长； （2）设，其中，由余弦定理得出，利用正弦定理求出，结合两角和的正弦公式可得出，再利用三角形的面积公式结合辅助角公式、三角函数的有界性可求得四边形面积的最大值； （3）设，则，设，利用正弦定理得出、，结合余弦定理得出可得出关于的三角函数，利用三角恒等变换以及正弦型函数的有界性可求得的最大值. 【详解】（1）当、、、四点共圆时，，， 所以， 由余弦定理得， 故. （2）设，其中， 由余弦定理得， 故， 因为，则为钝角，且， 在中，由正弦定理得， 故， 因为为钝角，则为锐角， 故， 所以 ， 故， 故. 其中为锐角，且， 因为，则，故当时， 四边形的面积取最大值. （3）因为为钝角，则为锐角，故， 设， ， 设，则， 在中，由余弦定理可得 ， 即， 在中，由正弦定理得，代入数据化简得， 在中，，即， 代入数据并化简得， 结合可得， 所以，则， 由可得， 由、和可得 ，其中为锐角，且， 因为，则，故当时，取最大值， 且的最大值为. 地 城 考点13 正、余弦定理求三角形的面积 1．（24-25高一下·四川绵阳·期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，点D在上，平分内角A． (1)求的值； (2)若，，求的面积； (3)若，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，可求的值； （2）由内角平分线性质可求得，进而在，中，利用余弦定理可求得，进而可求的面积； （3）设，由，可求得，进而可求实数k的取值范围. 【详解】（1）由，结合正弦定理可得， 所以，所以， 所以，由正弦定理可得，所以； （2）因为平分内角A，所以， 又，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 又， 所以，所以，所以，， 又， 所以是直角三角形，且， 所以，又， 所以； （3）设， 因为， 所以， 若，则， 又，即 所以， 又，所以， 所以. 所以实数k的取值范围为． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知的内角所对的边分别为，向量，. (1)求角； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行坐标表示可得，由正弦定理边化角可得，由此可得； （2）利用向量的数量积得出，再根据向量关系得出线段比例，再结合三角形面积公式即可求. 【详解】（1）由得：， 由正弦定理得：， ，，，则， ，. （2）因为，所以， . 3．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知的内角所对的边分别为，． (1)求； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知根据三角恒等变换结合正弦定理可得，由角的范围即可求解； （2）将两边完全平方可得，根据面积公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以； （2）因为，所以， 所以， 解得或，因为，所以， 所以. 4．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角基本关系式算出，再由正弦定理求出，再解出； （2）法一：由余弦定理解得，再用正弦面积公式求解.法二：先用两角和与差公式计算，再用正弦面积公式求解. 【详解】（1）因为，且， 所以. 根据正弦定理得，即. 所以. 又由题知为钝角，故，所以. （2）法一：由余弦定理，得. 即，整理得. 解得或（舍去）. 故的面积. 法二：由，得. 所以. 故的面积 5．（24-25高一下·四川巴中·期末）已知内角，，对的边分别为，，，且，，. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用余弦定理求； （2）应用平方关系求得，再应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）因为，，， 由余弦定理 ， 所以. （2）因为， 由（1）知且，所以， 三角形的面积 所以三角形面积. 6．（24-25高一下·四川攀枝花·期末）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求； (2)若， ①求周长的取值范围； ②若为边上的中线，，求的面积． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）法一：利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换可求得，进而可求；法二：利用余弦定理角化边可得，利用余弦定理求得，进而可求； （2）(ⅰ) 法一：由正弦定理可得，，利用三角恒等变换可求得周长的取值范围；法二：利用余弦定理，结合基本不等式与三边关系定理可求得周长的取值范围；(ⅱ)由余弦定理可得，利用，结合余弦定理可得，进而可求面． 【详解】（1）法一：由正弦定理得． 从而，即， 又中，∴， 又，所以． 法二：由余弦定理得， 化简得， 则， 又，所以． （2）(ⅰ)法一：由正弦定理得， 则，，∵，∴． 的周长为 ． 又∵，∴，故， ∴周长的取值范围是． 法二：由余弦定理得， 所以． ∵，∴， ∴(当且仅当时取得等号)． 又∵， ∴周长的取值范围是． (ⅱ)在中，由余弦定理得，即． 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得． ∵，∴，∴． 所以，． 7．（24-25高一下·四川成都·期末）已知分别为的三个内角的对边，若为的内角平分线，且，，． (1)求的大小； (2)求角平分线的长度： (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将正弦函数化为相应的边，再利用余弦定理即可求解； （2）由为的内角平分线，即可求出，再根据三角形内角和求出角，在中，由正弦定理即可求解； （3）利用正弦定理求出的长，再利用面积公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以， 因为， 所以； （2）因为，为的内角平分线， 所以， 因为，， 所以， 在中，由正弦定理得， ，即， 解得，， 所以角平分线的长度为； （3）由(2)知，， 在中，由正弦定理得， ，即， 解得，， 在中，由正弦定理得， ，即， 解得， 所以， 所以的面积为. 8．（24-25高一下·四川南充·期末）已知、、分别为三个内角、、的对边，且. (1)求的值； (2)若，，的面积为，求的值； (3)若，，为垂心，为的外心，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）利用三角形的面积公式、余弦定理可得出关于、的方程组，结合可得出、的值，再利用正弦定理求出的值即可； （3）设，根据，，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，可得出关于、的表达式，推导出，，再利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 即， 即， 即， 因为、，故，可得， 所以，因此，. （2）因为，可得， 因为，由余弦定理可得， 故，所以，解得， 由正弦定理可得，故， 因此，. （3）由平面向量数量积的定义可得， 设，则， 因为，则， 即①， ， 因为，则， 即②， 联立①②得，，故， 取线段的中点，连接，则，如下图所示： ， 同理可得， 因此. 地 城 考点14 求三角形面积的最值或取值范围 1．（24-25高一下·四川乐山·期末）已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，且______． (1)求角； (2)求面积的取值范围． 在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线上，并解答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①利用余弦定理计算可得；若选②利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得； （2）由正弦定理可得，，由面积公式转化为角的三角函数，利用三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）若选①：∵，， ∴，∴， ∵，∴． 若选②：∵， ∴， ∴， ∴，∵，∴． （2）由正弦定理知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵，，∴， ∴，∴，∴． 2．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知的外接圆半径，且． (1)求B和b的值； (2)求面积的最大值． 【答案】(1)，b=2； (2) 【分析】（1）利用同角三角函数间的关系切化弦得，再由正弦的和角公式化简可求得B，再利用正弦定理可求得b； （2）由余弦定理得，利用基本不等式得，由三角形的面积公式可求得答案. 【详解】（1）解：因为，所以， ，即， 因为，所以， 又，所以，所以， 又的外接圆半径，所以由正弦定理得； （2）解：由余弦定理得， 由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）， 故面积的最大值为． 3．（24-25高一下·四川遂宁·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若c＝1，求面积的最大值； (2)若D为BC边上一点，DB＝4，AB＝5，且，求AC． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再利用诱导公式及两角和的正弦公式求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，最后由面积公式计算可得； （2）由数量积的定义及诱导公式求出，即可求出，最后由正弦定理计算可得； 【详解】（1）解：根据及正弦定理，可得， 即， 可得． ∵，∴．∵，∴． 根据余弦定理可得， ∴，当且仅当时等号成立， ∴的面积为， ∴的面积的最大值为． （2）解：由可得， ∴，，∴ 在中，利用正弦定理可得，即，解得； 4．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若是边的中点，，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理或余弦定理进行边角互化即可得出结果； （2）用向量法利用中线定理，结合基本不等式即可得解． 【详解】（1）方法1：由正弦定理可化为 ， ∴，∴． ∵，∴， ∵，∴． 方法2：∵，由余弦定理得 ， 化简可得，∴， ∵，∴． （2）∵为边中点，∴， ∴， ∵，∴， ∵（当且仅当时等号成立）， ∵， ∴，∴面积的最大值为． 5．（24-25高一下·四川凉山·期末）已知中，角的对边分别为，. (1)是边上的中线，，且，求的长度. (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由正弦定理求出，对两边平方求出中，再由余弦定理可得答案； （2） ，根据为锐角三角形求出的范围，再由的范围可得答案. 【详解】（1）， 由正弦定理得：， 因为，所以， 所以，因为，所以，解得， 因为，所以， ， 又因为，所以， 在中，由余弦定理可得： ， 所以，即； （2）由题设 ， 因为为锐角三角形，所以 ，从而， 可得，所以， 则面积的取值范围是. 6．（24-25高一下·四川成都·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若∠BAC的角平分线交BC于点D，且，求面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助降幂公式及正弦定理与辅助角公式计算即可得解. （2）借助等面积法及基本不等式即可得解. 【详解】（1）， 由正弦定理可知：， 又，化简得， 即， 所以，， 即，因为，所以，从而； （2）由题意可得：， 且，即， 化简得， 而，解得，等号成立当且仅当， 的面积，等号成立当且仅当， 综上所述，的面积的最小值为. 地 城 考点15 三角函数与正余弦定理综合求解 1．（24-25高一下·四川成都·期末）已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心； (2)已知锐角的三个角的对边分别为，若，求周长的最大值． 【答案】(1)的最小正周期为，对称中心为 . (2) 【分析】（1）化简，根据正弦函数的最小正周期公式和对称中心可求出结果； （2）由，为锐角得，根据的范围求出的最大值后可得周长的最大值. 【详解】（1） . 的最小正周期为， 令，，得，， 所以的对称中心为 . （2）由，得，因为为锐角三角形，， 所以，所以，. 因为，，所以，同理得， 所以 ， 因为，且，所以， 所以， 所以当 ，即时，取得最大值为， 从而取得最大值为. 即周长的最大值为. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知向量，设函数． (1)求的最小正周期 (2)求的单调递增区间； (3)在中，角所对的边分别为，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角公式、辅助角公式求出，再根据最小正周期公式求解即可； （2）根据正弦函数的性质求其单调增区间； （3）由得，结合三角形内角的性质得，再由正弦定理求得，应用和角正弦公式求得，最后应用三角形面积公式求三角形ABC的面积． 【详解】（1）向量，得 ， 所以函数的最小正周期； （2）由，得， 所以的单调递增区间为. （3）因为，所以， 由，可得，则，即. 又，所以， 由正弦定理得，，所以， 又， 所以面积. 3．（24-25高一下·四川成都·期末）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知. (1)求B的值； (2)若b=2，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可. （2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得，结合角的范围即可得解. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即，由余弦定理得， 因为，所以． （2）在锐角中，，记的面积为． 由正弦定理得，即． 所以 ． 因为在锐角中，，所以，， 解得，则，所以， 所以，所以面积的． 4．（24-25高一下·四川自贡·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求的解析式； (2)在中，O为的外心，角A所对边的长为a． （ⅰ）若，，点P在BC上，且（），求的取值范围； （ⅱ）若的外接圆半径为1，且，若面积为,求证：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式及二倍角公式、辅助角公式化简，再用周期可求出； （i）由题意可求出，，设，由平面向量线性运算和平面向量基本定理得到与的关系，将化成关于的表达式即可求解范围； （ii）运用正弦定理得到，进而得到，过点作交于点，设，则，求得关于的表达式，进而得到三角形面积关于的表达式，利用以为主元配方求得三角形面积最大时的关系，化为关于的表达式，在以为主元配方，求得三角形面积的最大值. 【详解】（1） ， 的周期最小正为，，，. （2）（i）,,, ,， ，的外接圆直径， ，即， ， 在上，设， 则， 又， ， （ii）已知角所对边的长为a，再设角所对边的长为． 因为的外接圆半径为1，所以， 因为，所以， 所以，化简得， 过点作交于点， 设，则， 则 即， 所以 ， ∴,当,时取“等号”,此时可得, 可求得三角形外接圆半径为， ∴． 5．（24-25高一下·四川德阳·期末）将函数的图象向左平移个单位，再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到的图象． (1)设，，当时，求的值域； (2)在中，，，分别是角，，所对的三条边且．在内一点满足条件，称为的布洛卡点，若． 求证： ①（为的面积）； ②若，求的周长    【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）根据三角函数图象变换得，再由题意表示函数，令，结合函数单调性即可求解； （2）①由（1）求出，由及余弦定理即可得证；②设，利用正弦定理求得，进而可判断为等边三角形，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）的图象向左平移个单位得， ， 再将其纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到， 即， 又因，，故，，，， 故， 因，， 所以， 设， ，， ， ， 因为在上单调递减， 所以在上单调递增，则， 所以的值域为； （2）①且， ，又因为，所以，即， 则 ， 所以， 在，，中，分别由余弦定理得： ， ， ， 三式相加整理得， 即， 故； ②在中，设， 由正弦定理得，所以， 在中，由上可知，，， 所以， 由正弦定理，得，所以， 所以，则，整理，得， 所以，解得． 又，所以， 则，因此为等边三角形， 在中，由余弦定理得，， 所以，故的周长为． 6．（24-25高二下·四川成都·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量，，，． (1)求函数的最小值； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的坐标运算公式，二倍角公式，辅助角公式化简，结合正弦函数性质求其最小值； （2）解方程求，由正弦定理可求，再由余弦定理求，根据三角形面积公式求结论. 【详解】（1） ． 因为，所以， 所以当，即时，有最小值． （2）因为，所以，所以，， 因为，所以． 由正弦定理，， 所以，． 又因为，所以，得， 由余弦定理有：，所以． 所以． 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 $