2025-2026学年湘教版八年级数学下册 高频考点分类训练之一次函数

**基本信息** 聚焦一次函数12个高频考点，从概念到综合应用逻辑递进，以题载知，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常量与变量|3题|辨析常量变量|概念引入，奠定函数基础| |函数概念|5题|判断函数关系|深化函数定义，衔接图象| |函数图象|5题|实际情境图象分析|体现几何直观，关联变化规律| |定义与性质|9题|辨析函数类型及性质|从定义到性质，构建知识体系| |解析式|4题|求函数表达式|代数运算与模型意识结合| |方程与不等式|5题|数形结合解题|函数与代数融合，培养推理能力| |面积与应用|8题|实际问题建模|强化应用意识，提升综合能力| |存在性问题|3题|几何与函数综合|发展空间观念，突破难点|

高频考点分类训练之一次函数2025-2026学年湘教版 八年级下册（12考点） 考点一：常量与变量 1．在圆的面积公式S＝πr2中，常量是(　 　) A．S B．π C．r D．S和r 2．水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是(　 　) A.2是变量 B.π是变量 C.r是变量 D.C是常量 3．某种报纸的价格是每份0.4元，买x份这种报纸的总价为y元，先补充表格，再填空. 份数/份 1 2 3 4 … 总价/元 0.4 0.8 1.2 1.6 … y与x之间的关系式是 　 　⁠，其中 　 　⁠是常量， 　 　⁠是变量. 考点二：函数的相关概念 1.下列不能表示y是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D． 2.下列各曲线中，不表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 4．变量x，y有如下关系；①；②；③；④．其中y是x的函数的是 ． 5．在函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　． 考点三：函数的图象 1.某景区有一根长60cm的特大蜡烛，若每小时燃烧4cm，那么蜡烛剩余长度y（cm）与燃烧时间x（小时）之间的函数关系式用图象表示为（　　） A． B． C． D． 2.如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．下列从图象中得到的信息错误的是（　　） A．4点时气温达最低 B．14点到24点之间气温持续下降 C．0点到14点之间气温持续上升 D．14点时气温达最高是8℃ 3．洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间函数关系的图象大致为（　　） A．B．C． D． 4.如图，物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块完全浸没在水中，然后缓慢匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 5．如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（　　） A．A地与B地之间的距离是180千米B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时 C．汽车中途共休息了5小时D．汽车返回途中的速度是60千米/时 考点四：正比例函数与一次函数的定义 1.下列关系中，属于成正比例函数关系的是（　　） A．正方形的面积与边长 B．三角形的周长与边长 C．圆的面积与它的半径 D．速度一定时，路程与时间 2.下列函数中是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣7x B．y＝ C．y＝2x2+1 D．y＝0.6x﹣5 3.已知y＝（m+1）x|m|，若y是x的正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 4.下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.当m，n为何值时，y＝（m﹣1）n． （1）是一次函数； （2）是正比例函数． 考点五：正比例函数的图象与性质 1.在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣4x的图象经过（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 2．正比例函数y＝ax的图象经过第一、三象限，则直线y＝（﹣a﹣1）x经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 3.关于函数y＝﹣3x，下列说法正确的是（　　） A．该函数的图象经过点（﹣3，1） B．是一次函数，但不是正比例函数 C．该函数的图象经过第一、三象限 D．随着x的增大，y反而减小 4．在同一坐标系中，如图所示，一次函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象分别为l1，l2，l3，l4，则k1，k2，k3，k4的大小关系是　 　． 考点六：一次函数的图象与性质 1.一次函数y＝2（x+1）﹣1不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 2.关于函数y＝﹣x+3的图象，下列结论错误的是（　　） A．图象经过一、二、四象限 B．与y轴的交点坐标为（3，0） C．y随x的增大而减小 D．图象与两坐标轴相交所形成的直角三角形的面积为 3.若式子有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+k的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 5．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝（3﹣2m）x+1的图象上两点，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则m的取值范围为 　 ． 考点七：正比例函数与一次函数的解析式 1.已知正比例函数y＝kx的图象经过点（2，4），k的值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C．2 D．1 2.已知y与x成正比例且当x＝2时，y＝4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当y＝2时，x的值是多少？ 3.已知一次函数图像经过点，，，求的值． 4.已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣3成正比例，当x＝﹣1时，y＝4；当x＝1时，y＝8，求y与x之间的函数关系式． 考点八：一次函数与方程（组） 1.若一次函数y＝ax+b（a，b为常数）中，x，y的部分对应值如下表所示： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y 6 4 2 0 ﹣2 那么方程ax+b＝0的解为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 2.如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　） A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4 3.如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4.一次函数（，为常数，且≠0）的图象如图所示，则方程的解为 ． 5．如图，已知函数与的图象交于点（1，2），那么关于，的方程组的解是 ． 考点九：一次函数与不等式（组） 1.一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜2 C．x＜3 D．x＜﹣1 2．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0，②ab＞0；③y2随x的增大而增大；④当x＜3时，y1＜y2；⑤3k+b＝3+a其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.一次函数y1＝4x+5与y2＝3x+10的图象如图所示，则y1＞y2的解集是 　 　． 4.已知与x成正比，且当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围为_______． (3)当时，求y的取值范围． 考点十：一次函数与面积问题 1．一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是 ． 2.如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴交于点．    （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 3．如图，已知直线与直线交于点A． (1)求点A和点C的坐标； (2)在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点十一：一次函数应用题 1.某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（　　） A．y＝7.6x（0≤x≤20） B．y＝7.6x+76（0≤x≤20） C．y＝7.6x+10（0≤x≤20） D．y＝7.6x+76（10≤x≤30） 2.为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过部分按每吨1.8元收费.该市某户居民5月份用水x吨(x>10)，应交水费y元，则y关于x的关系式 . 3.某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 　 　元；甲复印社每张收费是 　 　元； （2）求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式，并说明一次项系数的实际意义； （3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同； （4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？ 4．一条公路旁边依次有A，B，C三地，甲、乙两人同时分别从A地、B地骑自行车前往C地，他们距C地的路程S（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，请根据图像提供的信息解答下列问题： (1)A，B两地相距 千米，A，C两地相距 千米； (2)分别求出甲、乙两人距C地的路程S与行驶时间t之间的函数关系式； (3)甲、乙两人谁先到达C地，此时另一人距C地的路程还有多少？ 5．时代的到来，给人类生活带来很多的改变．某营业厅现有、两种型号的手机，进价和售价如表所示： 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 (1)若该营业厅卖出70台A型号手机，30台B型号手机，可获利_______元； (2)若该营业厅购进A、B两种型号手机共30台，其中B型号手机的数量不多于A型号手机数量的2倍，请设计一个购买方案：营业厅购进两种型号的手机各多少台时获得最大利润，求最大利润是多少? 考点十二：一次函数与三角形、四边形存在性问题 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B．已知点C的坐标为，若点P是x轴上的一个动点． (1)A的坐标是______，B的坐标是______； (2)过点P作y轴的平行线交于点M，交于点N，当点P恰好是的中点时，求出P点坐标． (3)若以点B、P、C为顶点的为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P点坐标． 2.如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，点是直线上的一点，它的坐标为，经过点作直线轴交轴于点． (1)求点的坐标； (2)已知点是直线上的动点， 若的面积为4，求点的坐标； 若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标． 3.在平面直角坐标系中，直线分别与、轴相交于、两点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接交轴于点． (1)求点的坐标； (2)为轴上的动点，连接，，当的值最大时，求此时点的坐标． (3)点在直线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； 【答案】 高频考点分类训练之一次函数2025-2026学年湘教版 八年级下册（12考点） 考点一：常量与变量 1．在圆的面积公式S＝πr2中，常量是(　 　) A．S B．π C．r D．S和r 【答案】B 2．水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C＝2πr.下列判断正确的是(　 　) A.2是变量 B.π是变量 C.r是变量 D.C是常量 【答案】C 3．某种报纸的价格是每份0.4元，买x份这种报纸的总价为y元，先补充表格，再填空. 份数/份 1 2 3 4 … 总价/元 0.4 0.8 1.2 1.6 … y与x之间的关系式是 　 　⁠，其中 　 　⁠是常量， 　 　⁠是变量. 【答案】y＝0.4x 0.4 x，y 考点二：函数的相关概念 1.下列不能表示y是x的函数的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】B 2.下列各曲线中，不表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3．下列关于y与x的关系式中，y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 4．变量x，y有如下关系；①；②；③；④．其中y是x的函数的是 ． 【答案】①②③ 5．在函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　． 【答案】x≥﹣3 考点三：函数的图象 1.某景区有一根长60cm的特大蜡烛，若每小时燃烧4cm，那么蜡烛剩余长度y（cm）与燃烧时间x（小时）之间的函数关系式用图象表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 2.如图是自动测温仪记录的图象，它反映了某市的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．下列从图象中得到的信息错误的是（　　） A．4点时气温达最低 B．14点到24点之间气温持续下降 C．0点到14点之间气温持续上升 D．14点时气温达最高是8℃ 【答案】C． 3．洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间函数关系的图象大致为（　　） A．B．C． D． 【答案】D 4.如图，物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块完全浸没在水中，然后缓慢匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 5．如图是某汽车从A地去B地，再返回A地的过程中汽车离开A地的距离与时间的关系图，下列说法中错误的是（　　） A．A地与B地之间的距离是180千米B．前3小时汽车行驶的速度是40千米/时 C．汽车中途共休息了5小时D．汽车返回途中的速度是60千米/时 【答案】C 考点四：正比例函数与一次函数的定义 1.下列关系中，属于成正比例函数关系的是（　　） A．正方形的面积与边长 B．三角形的周长与边长 C．圆的面积与它的半径 D．速度一定时，路程与时间 【答案】D． 2.下列函数中是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣7x B．y＝ C．y＝2x2+1 D．y＝0.6x﹣5 【答案】A． 3.已知y＝（m+1）x|m|，若y是x的正比例函数，则m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 【答案】A 4.下列函数：①；②；③；④，其中一次函数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 5.当m，n为何值时，y＝（m﹣1）n． （1）是一次函数； （2）是正比例函数． 【答案】解：（1）当m2＝1且m﹣1≠0时，y＝（m﹣1）n是一次函数， 即：m＝﹣1． 答：当m＝﹣1时，y＝（m﹣1）n是一次函数； （2）当m2＝1且m﹣1≠0，且n＝0时，y＝（m﹣1）n是正比例函数， 即：m＝﹣1且n＝0时，y＝（m﹣1）n是正比例函数． 考点五：正比例函数的图象与性质 1.在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣4x的图象经过（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 2．正比例函数y＝ax的图象经过第一、三象限，则直线y＝（﹣a﹣1）x经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 3.关于函数y＝﹣3x，下列说法正确的是（　　） A．该函数的图象经过点（﹣3，1） B．是一次函数，但不是正比例函数 C．该函数的图象经过第一、三象限 D．随着x的增大，y反而减小 【答案】D 4．在同一坐标系中，如图所示，一次函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象分别为l1，l2，l3，l4，则k1，k2，k3，k4的大小关系是　 　． 【答案】k3＞k4＞k1＞k2． 考点六：一次函数的图象与性质 1.一次函数y＝2（x+1）﹣1不经过第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D． 2.关于函数y＝﹣x+3的图象，下列结论错误的是（　　） A．图象经过一、二、四象限 B．与y轴的交点坐标为（3，0） C．y随x的增大而减小 D．图象与两坐标轴相交所形成的直角三角形的面积为 【答案】B 3.若式子有意义，则一次函数y＝（k﹣1）x+k的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D． 4．若一次函数的图象不经过第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 5．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝（3﹣2m）x+1的图象上两点，且（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，则m的取值范围为 　 ． 【答案】m＞． 考点七：正比例函数与一次函数的解析式 1.已知正比例函数y＝kx的图象经过点（2，4），k的值是（　　） A．﹣2 B．﹣ C．2 D．1 【答案】C． 2.已知y与x成正比例且当x＝2时，y＝4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当y＝2时，x的值是多少？ 【答案】解：（1）设y＝kx（k≠0）， 将x＝2，y＝4代入得：4＝2k， k＝2， ∴y＝2x； （2）当y＝2时，2＝2x，x＝1， ∴当y＝2时，x的值为1． 3.已知一次函数图像经过点，，，求的值． 【答案】 解：设这个一次函数解析式为 ∵一次函数图像过点和 ∴， 解得， ∴ ∵直线过点 ∴， ∴． 4.已知y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣3成正比例，当x＝﹣1时，y＝4；当x＝1时，y＝8，求y与x之间的函数关系式． 【答案】解：设y1＝k1x，y2＝k2（x﹣3）， 则y＝y1+y2＝k1x+k2（x﹣3）， 由题意得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝4x﹣2（x﹣3）， 即y＝2x+6， ∴y与x之间的函数关系式为：y＝2x+6． 考点八：一次函数与方程（组） 1.若一次函数y＝ax+b（a，b为常数）中，x，y的部分对应值如下表所示： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y 6 4 2 0 ﹣2 那么方程ax+b＝0的解为（　　） A．0 B．1 C．2 D．﹣2 【答案】B． 2.如图，直线y＝2x与y＝kx+b相交于点P（m，2），则关于x的方程kx+b＝2的解是（　　） A．x＝ B．x＝1 C．x＝2 D．x＝4 【答案】B 3.如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4.一次函数（，为常数，且≠0）的图象如图所示，则方程的解为 ． 【答案】 5．如图，已知函数与的图象交于点（1，2），那么关于，的方程组的解是 ． 【答案】 考点九：一次函数与不等式（组） 1.一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点（1，0），则不等式k（x﹣2）+b＞0的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜2 C．x＜3 D．x＜﹣1 【答案】C． 2．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则下列结论：①k＜0，②ab＞0；③y2随x的增大而增大；④当x＜3时，y1＜y2；⑤3k+b＝3+a其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 3.一次函数y1＝4x+5与y2＝3x+10的图象如图所示，则y1＞y2的解集是 　 　． 【答案】x＞5． 4.已知与x成正比，且当时，． (1)求y与x的函数表达式； (2)当时，直接写出x的取值范围为_______． (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：由题意设， 把，代入得， 解得， ∴， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得：； （3）解：当， ∴， ∴， ∴． 考点十：一次函数与面积问题 1．一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是 ． 【答案】/ 2.如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴交于点．    （1）求直线的解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）直线的解析式为；（2）6 【详解】解：（1）设直线的解析式为， 因为直线过，， 所以，解得． 所以直线的解析式为． （2）在中，当时，， 所以点的坐标为（6，0），即OB=6， 所以的面积． 3．如图，已知直线与直线交于点A． (1)求点A和点C的坐标； (2)在y轴上是否存在一点P，使得？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或 【详解】（1）联立方程组，解得， ∴A点坐标为； 直线，令，解得， ∴； （2）直线，令，解得, ∴， ∴， 设， ∴，， ∵ ， ∴， ∴点P的坐标为或． 考点十一：一次函数应用题 1.某小汽车的油箱可装汽油30升，原有汽油10升，现再加汽油x升．如果每升汽油7.6元，求油箱内汽油的总价y（元）与x（升）之间的函数关系是（　　） A．y＝7.6x（0≤x≤20） B．y＝7.6x+76（0≤x≤20） C．y＝7.6x+10（0≤x≤20） D．y＝7.6x+76（10≤x≤30） 【答案】B 2.为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月用水不超过10吨，水价为每吨1.2元；超过10吨时，超过部分按每吨1.8元收费.该市某户居民5月份用水x吨(x>10)，应交水费y元，则y关于x的关系式 . 【答案】y=x－6. 3.某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印社可以加入会员，但需按月付一定的会员费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）乙复印社要求客户每月支付的会员费是 　 　元；甲复印社每张收费是 　 　元； （2）求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式，并说明一次项系数的实际意义； （3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同； （4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？ 【答案】解：（1）由图可知， 乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元； 甲复印社每张收费是10÷50＝0.2（元）． 故答案为：18；0.2； （2）设乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝kx+b， 把（0，18）和（50，22）代入解析式得： ， 解得：， ∴乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝0.08x+18， 一次项系数的实际意义为每张收费0.08元； （3）由（1）知，甲复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝0.2x， 令0.2x＝0.08x+18， 解得，x＝150， 答：当每月复印150页时，两复印社实际收费相同； （4）当x＝200时， 甲复印社的费用为：0.2×200＝40（元）， 乙复印社的费用为：0.08×200+18＝34（元）， ∵40＞34， ∴当x＝200时，选择乙复印社． 4．一条公路旁边依次有A，B，C三地，甲、乙两人同时分别从A地、B地骑自行车前往C地，他们距C地的路程S（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，请根据图像提供的信息解答下列问题： (1)A，B两地相距 千米，A，C两地相距 千米； (2)分别求出甲、乙两人距C地的路程S与行驶时间t之间的函数关系式； (3)甲、乙两人谁先到达C地，此时另一人距C地的路程还有多少？ 【答案】(1)10，40 (2)S甲＝﹣20t+40，S乙＝﹣12t+30 (3)甲先到达C地，此时乙距C的路程还有6千米 （1） 解：A，B两地相距40﹣30＝10千米，A，C两地相距40千米； 故答案为：10，40； （2） 解：由函数图象知，甲距C地的路程S甲与行驶时间t之间的函数图象过（0，40）、（2，0）两点， 设函数关系式为S甲＝k1t+40， 则有0＝2 k1+40，即k1＝﹣20．所以所求函数关系式为：S甲＝﹣20t+40； 因为乙距C地的路程s与行驶时间t之间的函数图象过（0，30）、（2.5，0）两点， 可设函数关系式为S乙＝k2t+30， 则有0＝2.5 k2+30，即k2＝﹣12． 所以所求函数关系式为：S乙＝﹣12t+30； （3） 解：由图象知，当t＝2，S甲＝0， 即甲到达C地． 而当t＝2时，S乙＝﹣12×2+30＝6（千米）． 答：甲先到达C地，此时乙距C的路程还有6千米． 5．时代的到来，给人类生活带来很多的改变．某营业厅现有、两种型号的手机，进价和售价如表所示： 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 (1)若该营业厅卖出70台A型号手机，30台B型号手机，可获利_______元； (2)若该营业厅购进A、B两种型号手机共30台，其中B型号手机的数量不多于A型号手机数量的2倍，请设计一个购买方案：营业厅购进两种型号的手机各多少台时获得最大利润，求最大利润是多少? 【答案】(1)43000 (2)营业厅购进A型手机10台，B型手机20台时，获得最大利润14000元 【详解】（1）解：（元）， 即卖出70台A型号手机，30台B型号手机，可获利43000元． （2）解：设营业厅购进A型手机x台，B型手机台，获得利润y元，根据题意得： ， ∵B型号手机的数量不多于A型号手机数量的2倍， ∴， 解得：， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，且最大值为： （元）， ∴营业厅购进A型手机10台，B型手机20台时，获得最大利润14000元． 考点十二：一次函数与三角形、四边形存在性问题 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B．已知点C的坐标为，若点P是x轴上的一个动点． (1)A的坐标是______，B的坐标是______； (2)过点P作y轴的平行线交于点M，交于点N，当点P恰好是的中点时，求出P点坐标． (3)若以点B、P、C为顶点的为等腰三角形时、请求出所有符合条件的P点坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或或． 【详解】（1）解：一次函数的图像分别交x轴、y轴于点A和B， 令，即， 解得， 令，即， ，， 故答案为：，； （2）设直线的解析式， 将，代入， ， 解得， ∴直线的函数解析式， 设点，则点，点， 依题意可得， ∴， 解得：，； （3）设, 而， ，，， 当时，有，解得：，， 当,有，解得：， 不合题意舍去，， 当时，有，解得：或， 或， 综上所述：或或或， 2.如图，平面直角坐标系中，直线与轴交于点与轴交于点，点是直线上的一点，它的坐标为，经过点作直线轴交轴于点． (1)求点的坐标； (2)已知点是直线上的动点， 若的面积为4，求点的坐标； 若为直角三角形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)，；或 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线与轴交于点与轴交于点， ，解得，    直线的解析式为， 把代入，得，，． （2）解：，，   直线轴交轴于点，， ， ，，； 一定不是直角， 当时，点恰好在点，， 当时， ， 由题可得，，， ，， ，， 综上所述，所有满足条件的点的坐标为或． 3.在平面直角坐标系中，直线分别与、轴相交于、两点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．连接交轴于点． (1)求点的坐标； (2)为轴上的动点，连接，，当的值最大时，求此时点的坐标． (3)点在直线上，点在轴上，若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标； 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)点的坐标为或或 【详解】（1）解：令则 令则 过点作轴于 由旋转得 点的坐标为 （2）作点关于轴的对称点连接延长交轴于点则点就是所求的最大值点 设直线的解析式为 ， 解得， （3） 设直线的解析式为， 则 解得 直线的解析式为， 设直线的解析式为 解得： ∴直线的解析式为 设 以为平行四边形的对角线时， ， 解得， 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， 当为平行四边形的对角线时 ，解得， 综上所述点的坐标为或或 学科网（北京）股份有限公司 $