第3章 一次函数 高频考点分类训练（12考点） 2025-2026学年湘教版数学八年级下册

高频考点分类训练之一次函数2025-2026学年湘教版 八年级下册（12考点） 考点一：常量与变量 1.下列说法不正确的是（　　） A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量 C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果a＝b，那么a，b都是常量 2．把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽屉放入b本，则下列判断错误的是(　　) A.20是变量 B.a是变量 C.b是变量 D.20是常量 3．按如图方式摆放餐桌和椅子，用x来表示餐桌的张数，用y来表示座位数，则y与x之间的关系式是 ，其中常量是 ，变量是 ． 考点二：函数的相关概念 1.下列各曲线中，不表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各表达式不是表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 3.变量x，y有如下关系：①x+y＝10，②|y|＝x，③y＝|x﹣3|，④y2＝8x．其中y是x的函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．函数中，自变量的取值范围是 . 5．已知函数，当时，函数值为3，则m的值是 ． 考点三：函数的图象 1.一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（　　） A． B． C． D． 2．甲、乙两个杯子的容量都是 ， 甲林盛满水， 乙杯是空杯， 现用 的时间将甲杯的水匀速倒入乙杯． 设两个杯子的水量相差 ， 所用时间为 ， 则下列表示 与 之间函数关系的图象中， 正确的是（　　） A．B．C．D． 3.如图，现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀下漏，经过5分钟漏完，则该沙漏中沙面下降的高度h（cm）与下漏时间t（min）之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 4.小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，下列结论正确的是（　　） A．爷爷比小强先出发20分钟 B．小强爬山的速度是爷爷的2倍 C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况 D．山的高度是480米 5.如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　　） A．16 B．20 C．36 D．45 考点四：正比例函数与一次函数的定义 1．下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（　　） A．人的身高与年龄 B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C．正方形的面积与它的边长 D．圆的周长与它的半径 2.下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝2x2+1 3.若函数y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，则（　　） A．k≠﹣1，b＝﹣2 B．k≠1，b＝﹣2 C．k＝1，b＝﹣2 D．k≠﹣1，b＝2 4.下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.当m，n为何值时，y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2． （1）是一次函数； （2）是正比例函数． 考点五：正比例函数的图象与性质 1.已知正比例函数y＝（﹣k2﹣2）x，那么它的图象经过（　　） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2.关于正比例函数，下列说法正确的是(　　) A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点 C．随增大而增大 D．点在函数的图象上 3.三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 考点六：一次函数的图象与性质 1.一次函数y＝3x﹣2的图象经过的象限是（　　） A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 2.下列四个选项中，不符合直线y＝﹣x﹣3的性质特征的选项是（　　） A．经过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．与x轴交于（3，0） D．与y轴交于（0，﹣3） 3.若点（m，n）在第二象限，则一次函数y＝nx+m﹣n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．函数的图像不经过第一象限，则a的取值范围是 ． 5.直线 经过三点， 则的大小关系是 ． 考点七：正比例函数与一次函数的解析式 1．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），B（a，﹣3），则a＝　 　． 2．已知y与x成正比例，且当x＝﹣6时，y＝2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设点（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值． 3.已知一次函数图象过点，两点． (1)求这个一次函数的解析式． (2)判断点是否在该函数图象上． 4.已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x＝﹣1时，y＝2；当x＝3时，y＝﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函 考点八：一次函数与方程（组） 1.画函数y＝kx+b图象时，列表如下，由表可知方程kx+b＝0的根x0最精确的范围是（　　） x ﹣3 0 1 3 4 y ﹣10 ﹣4 ﹣2 2 4 A．﹣3＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜4 D．1＜x0＜3 2.如图，一次函数与的图象的交点坐标为，则关于x的方程的解为（    ）    A． B． C． D． 3.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4．一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为 ． 5．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． (1)求一次函数表达式； (2)求D点的坐标； (3)不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解． 考点九：一次函数与不等式（组） 1.如图，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点（3，0），那么不等式﹣2x+b＜0的解集为（　　） A．x＜3 B．x≤3 C．x≥3 D．x＞3 2．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论：①当x＞0时，y1＞0，y2＞0；②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；③；④d＜a+b+c．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.一次函数y1＝4x+5与y2＝3x+10的图象如图所示，则y1＞y2的解集是 　　． 4.如图，已知一次函数与的图象交于点． (1)求a，k的值； (2)根据图象，关于x的不等式的解集为______； (3)结合两个一次函数图象与x轴的交点坐标，求不等式组的解集． 考点十：一次函数与面积问题 1．已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积为 ． 2.如图，直线与相交于点P，直线分别交x轴、y轴于点C、D；直线分别交x轴、y轴于点A、B． (1)求两直线交点P的坐标； (2)连接BC，求△BCD的面积． 3.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为18． (1)求一次函数的解析式； (2)点C在直线上，且，求点C的坐标． 考点十一：一次函数应用题 1．某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段，0～15吨为基本段，15～22吨为极限段，超过22吨为较高收费段，且规定每月用水超过22吨时，超过的部分每吨4元，居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示． （1）基本段每吨水费2元； （2）若某用户该月用水20吨，应交水费为46元； （3）y与x的函数解析式：y＝2x； （4）若某月一用户交水费48元，则该用户用水21吨， 其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲､乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 3．如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的路程是60km，请根据图象解决下列问题： (1)分别求出甲行驶的路程（km）、乙行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式； (2)若甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km，求x的值． 4．某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少． (1)“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？ (2)该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元．设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元， ①求与的函数关系式(不要求写出a的取值范围)； ②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 考点十二：一次函数与三角形、四边形存在性问题 1.如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为2，点为轴上的一个动点． (1)求点的坐标和、的值； (2)连接，当与的面积相等时，求点的坐标； (3)连接，是否存在点使得为等腰三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2.综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与直线交于点C．直线与x轴交于点D，若点P是线段上的一个动点，点P从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到 A停止运动）．设点P的运动时间为． (1)求点A和点B的坐标； (2)当的面积为12时，求t的值； (3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 3.如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4． (1)不等式kx+b＞2x+2的解集是 ； (2)求直线l2的解析式及△CDE的面积； (3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标． 【答案】 高频考点分类训练之一次函数2025-2026学年湘教版 八年级下册（12考点） 考点一：常量与变量 1.下列说法不正确的是（　　） A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量 C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果a＝b，那么a，b都是常量 【答案】D． 2．把20本书随意放入两个抽屉（每个抽屉内都放），第一个抽屉放入a本，第二个抽屉放入b本，则下列判断错误的是(　　) A.20是变量 B.a是变量 C.b是变量 D.20是常量 【答案】A 3．按如图方式摆放餐桌和椅子，用x来表示餐桌的张数，用y来表示座位数，则y与x之间的关系式是 ，其中常量是 ，变量是 ． 【答案】y＝4x＋2 4，2 x，y 考点二：函数的相关概念 1.下列各曲线中，不表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．下列各表达式不是表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 3.变量x，y有如下关系：①x+y＝10，②|y|＝x，③y＝|x﹣3|，④y2＝8x．其中y是x的函数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 4．函数中，自变量的取值范围是 . 【答案】 5．已知函数，当时，函数值为3，则m的值是 ． 【答案】9 考点三：函数的图象 1.一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一个车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下面的哪一幅图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 2．甲、乙两个杯子的容量都是 ， 甲林盛满水， 乙杯是空杯， 现用 的时间将甲杯的水匀速倒入乙杯． 设两个杯子的水量相差 ， 所用时间为 ， 则下列表示 与 之间函数关系的图象中， 正确的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 3.如图，现有一个计时沙漏，开始时盛满沙子，沙子从上部均匀下漏，经过5分钟漏完，则该沙漏中沙面下降的高度h（cm）与下漏时间t（min）之间的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 4.小强和爷爷去爬山，爷爷先出发一段时间后小强再出发，途中小强追上了爷爷并最终先爬到山顶，两人所爬的高度h（米）与小强出发后的时间t（分钟）的函数关系如图所示，下列结论正确的是（　　） A．爷爷比小强先出发20分钟 B．小强爬山的速度是爷爷的2倍 C．l1表示的是爷爷爬山的情况，l2表示的是小强爬山的情况 D．山的高度是480米 【答案】B． 5.如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　　） A．16 B．20 C．36 D．45 【答案】B． 考点四：正比例函数与一次函数的定义 1．下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（　　） A．人的身高与年龄 B．汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C．正方形的面积与它的边长 D．圆的周长与它的半径 【答案】D． 2.下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y＝2x﹣1 B． C． D．y＝2x2+1 【答案】C 3.若函数y＝（k+1）x+b﹣2是正比例函数，则（　　） A．k≠﹣1，b＝﹣2 B．k≠1，b＝﹣2 C．k＝1，b＝﹣2 D．k≠﹣1，b＝2 【答案】D． 4.下列函数：①；②；③；④；⑤．其中是一次函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 5.当m，n为何值时，y＝（m﹣3）x|m|﹣2+n﹣2． （1）是一次函数； （2）是正比例函数． 【答案】解：（1）由|m|﹣2＝1得，m＝±3， ∵（m﹣3）≠0， ∴m≠3， 所以，m＝﹣3时是一次函数； （2）由|m|﹣2＝1得，m＝±3， ∵（m﹣3）≠0，n﹣2＝0， ∴m≠3，n＝2， 所以，m＝﹣3，n＝2时是正比例函数． 考点五：正比例函数的图象与性质 1.已知正比例函数y＝（﹣k2﹣2）x，那么它的图象经过（　　） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C． 2.关于正比例函数，下列说法正确的是(　　) A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点 C．随增大而增大 D．点在函数的图象上 【答案】B 3.三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a 【答案】C 考点六：一次函数的图象与性质 1.一次函数y＝3x﹣2的图象经过的象限是（　　） A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】C 2.下列四个选项中，不符合直线y＝﹣x﹣3的性质特征的选项是（　　） A．经过第二、三、四象限 B．y随x的增大而减小 C．与x轴交于（3，0） D．与y轴交于（0，﹣3） 【答案】C 3.若点（m，n）在第二象限，则一次函数y＝nx+m﹣n的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 4．函数的图像不经过第一象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 5.直线 经过三点， 则的大小关系是 ． 【答案】 考点七：正比例函数与一次函数的解析式 1．一个正比例函数的图象经过点A（﹣2，3），B（a，﹣3），则a＝　 　． 【答案】2． 2．已知y与x成正比例，且当x＝﹣6时，y＝2． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设点（a，﹣3）在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】解：（1）设y＝kx， ∵当x＝﹣6时，y＝2， ∴2＝﹣6k， 解得k＝﹣， ∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣x； （2）把（a，﹣3）代入y＝﹣x得﹣3＝﹣a， 解得a＝9， 即a的值为9． 3.已知一次函数图象过点，两点． (1)求这个一次函数的解析式． (2)判断点是否在该函数图象上． 【答案】(1) (2)点不在该函数图象上 【详解】（1）解：设这个一次函数解析式为， 把，代入中得：， 解得， ∴这个一次函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴点不在该函数图象上． 4.已知y＝y1+y2，其中y1与x成正比例，y2与x﹣2成正比例．当x＝﹣1时，y＝2；当x＝3时，y＝﹣2．求y与x的函数关系式，并画出该函 【答案】解：根据题意设y1＝k1x，y2＝k2（x﹣2），即y＝y1+y2＝k1x+k2（x﹣2）， 将x＝﹣1时，y＝2；x＝3时，y＝﹣2分别代入得：， 解得：k1，k2， 则yx（x﹣2）＝﹣x+1． 即y与x的函数关系式为y＝﹣x+1； 画出该函数的图象为 考点八：一次函数与方程（组） 1.画函数y＝kx+b图象时，列表如下，由表可知方程kx+b＝0的根x0最精确的范围是（　　） x ﹣3 0 1 3 4 y ﹣10 ﹣4 ﹣2 2 4 A．﹣3＜x0＜0 B．0＜x0＜1 C．1＜x0＜4 D．1＜x0＜3 【答案】D． 2.如图，一次函数与的图象的交点坐标为，则关于x的方程的解为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 3.如图，一次函数与的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 4．一次函数的图像如图所示，则关于x的方程的解为 ． 【答案】/ 5．如图，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点，一次函数图像经过点，与y轴的交点为D，与x轴的交点为C． (1)求一次函数表达式； (2)求D点的坐标； (3)不解关于x、y的方程组，直接写出方程组的解． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴， ， ∴， 把和代入一次函数，得，                   解得，， ∴一次函数解析式是； （2）解：由（1）知一次函数表达式是， 令，则， 即点； （3）解：由（1）可知，正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， 所以方程组的解为． 考点九：一次函数与不等式（组） 1.如图，直线y＝﹣2x+b与x轴交于点（3，0），那么不等式﹣2x+b＜0的解集为（　　） A．x＜3 B．x≤3 C．x≥3 D．x＞3 【答案】D 2．一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列结论：①当x＞0时，y1＞0，y2＞0；②函数y＝ax+d的图象不经过第一象限；③；④d＜a+b+c．其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 3.一次函数y1＝4x+5与y2＝3x+10的图象如图所示，则y1＞y2的解集是 　　． 【答案】x＞5． 4.如图，已知一次函数与的图象交于点． (1)求a，k的值； (2)根据图象，关于x的不等式的解集为______； (3)结合两个一次函数图象与x轴的交点坐标，求不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， 把代入得，， ∴， ∵一次函数的图象过点， 把代入得，， 解得； （2）解：由图可得，x的不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：把代入得，， 解得， ∴一次函数与x轴交于点， 由（1）可得，，即一次函数， 把代入得，， 解得， ∴一次函数与x轴的交点为， 由图象可得，不等式组的解集为． 考点十：一次函数与面积问题 1．已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积为 ． 【答案】4 2.如图，直线与相交于点P，直线分别交x轴、y轴于点C、D；直线分别交x轴、y轴于点A、B． (1)求两直线交点P的坐标； (2)连接BC，求△BCD的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得： ，解得：， ∴； （2）解：把x=0代入直线得：， 即， 把x=0代入直线得：， 即， 把y=0代入直线得：， 即， ∴， ∴． 3.在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且的面积为18． (1)求一次函数的解析式； (2)点C在直线上，且，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)（12，18）或（-12，-6） 【详解】（1）解：令x=0，则y=b，令y=0则x=-b， ∴点A（-b，0），b（0，b）， ∵b＞0， ∴OB=b，OA=b， ∵的面积为18， ∴， 解得：b=6或-6（舍去）， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， 设点C的横坐标为m， ∴，即， 解得：， ∵点C在直线上， 当时，； 当时，； ∴点C的坐标为（12，18）或（-12，-6）． 考点十一：一次函数应用题 1．某地为了鼓励市民节约用水，采取阶梯分段收费标准，共分三个梯段，0～15吨为基本段，15～22吨为极限段，超过22吨为较高收费段，且规定每月用水超过22吨时，超过的部分每吨4元，居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示． （1）基本段每吨水费2元； （2）若某用户该月用水20吨，应交水费为46元； （3）y与x的函数解析式：y＝2x； （4）若某月一用户交水费48元，则该用户用水21吨， 其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 2.某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10至25人，甲､乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元．经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠．该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 【答案】当时，甲､乙两家旅行社的收费相同；当时，选择甲旅行社费用较少；当时，选择乙旅行社费用较少． 【详解】解：设该单位参加这次旅游的人数是人，选择甲旅行社时，所需的费用为元，选择乙旅行社时，所需的费用为元，则 ， 即； ， 即． 由，得，解得； 由，得，解得； 由，得，解得． 因为参加旅游的人数为10至25人，所以，当时，甲､乙两家旅行社的收费相同；当时，选择甲旅行社费用较少；当时，选择乙旅行社费用较少． 3．如图，甲骑自行车与乙骑摩托车沿相同路线由A地到B地行驶，两地之间的路程是60km，请根据图象解决下列问题： (1)分别求出甲行驶的路程（km）、乙行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式； (2)若甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km，求x的值． 【答案】(1)； (2)3.6或4.4 （1） 解：设甲行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式为， 函数图像经过点， ， 解得， 甲行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式为； 设乙行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式为， 函数图像经过和， ， 解得，， ， 乙行驶的路程（km）与甲行驶的时间之间的函数表达式为； （2） 解：甲、乙都行驶且甲与乙相遇前相距的路程为12km时， ， 解得； 甲、乙都行驶且甲与乙相遇后前相距的路程为12km时， ， 解得； 甲、乙都行驶且甲与乙相距的路程为12km时，x的值为3.6或4.4． 4．某玩具商店计划购进“汽车”玩具模型和“飞机”玩具模型，同样花费元，“汽车”模型的数量比“飞机”模型多个且每个“汽车”模型成本比每个“飞机”模型成本少． (1)“汽车”和“飞机”模型的成本各多少元？ (2)该航模店计划购买两种模型共个，且每个“飞机”模型的售价为元，“汽车”模型的售价为元．设购买“飞机”模型个，售卖这两种模型可获得的利润为元， ①求与的函数关系式(不要求写出a的取值范围)； ②若购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半，则购进“飞机”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元 (2)①与的函数关系式为；②购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元 【详解】（1）解：设“飞机”模型成本为每个元，则“汽车”模型成本为每个元， 根据题意得： 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 元， 答：“飞机”模型成本为每个元，“汽车”模型成本为每个元； （2）①设购买“飞机”模型个，则购买“汽车”模型个， 则， 与的函数关系式为； ②∵购进“飞机”模型的数量不超过“汽车”模型数量的一半， ， 解得， ，，是正整数， 当时，最大，最大值为， 答：购进“飞机”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元． 考点十二：一次函数与三角形、四边形存在性问题 1.如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象交于点，且点的横坐标为2，点为轴上的一个动点． (1)求点的坐标和、的值； (2)连接，当与的面积相等时，求点的坐标； (3)连接，是否存在点使得为等腰三角形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)或 (3)存在点使得为等腰三角形，点的坐标为或或或 【详解】（1）解：将代入，得，∴点的坐标为．     ∵一次函数的图象与轴交于点，∴，    即． 将点代入，得，解得． （2）解：∵，， ∴，中边上的高为2， ∴，∴．     在中，令，得， ∴，即中，边上的高为， ∴，解得． 又∵，∴或． （3）解：如图1，过点作轴于点， 则， 所以，，所以．     ①当时，． 因为，所以此时点的坐标为或；     ②当时，由等腰三角形的性质易得．因为，所以． 因为，所以此时点的坐标为；     ③当时，如图2，设，则 ，，所以， 所以，解得，所以此时点的坐标为． 综上可知，存在点使得为等腰三角形，点的坐标为或或或． 2.综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与直线交于点C．直线与x轴交于点D，若点P是线段上的一个动点，点P从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到 A停止运动）．设点P的运动时间为． (1)求点A和点B的坐标； (2)当的面积为12时，求t的值； (3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，t的值为4或6 【详解】（1）解：在中，令得， 解得， ∴， 在中，令得， ∴； （2）解：过C作轴于H，连接，如图： 在中，令得：， 解得， ∴， ∴， 由，得：， ∴， ∴， ∵点P从点D出发沿方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴，即， 解得； （3）解：存在，理由如下： ①当时，过C作轴于H，如图： ∵，， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，解得； ②当时，如图： 此时是等腰直角三角形，， ∴，∴ ， 综上所述，t的值为4或6． 3.如图，直线l1：y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C；直线l2：y=kx+b与x轴交于点B（3，0），与直线l1交于点D，且点D的纵坐标为4． (1)不等式kx+b＞2x+2的解集是 ； (2)求直线l2的解析式及△CDE的面积； (3)点P在坐标平面内，若以A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形，求符合条件的所有点P的坐标． 【答案】(1)x＜1 (2)2 (3)P（-3，4）或（5，4）或（1，-4） 【详解】（1）对于直线l1：y=2x+2，交于点D，且点D的纵坐标为4，则 4=2x+2， 解得：x=1， 故点D（1，4）， 从图象看，当x＜1时，kx+b＞2x+2， 故答案为：x＜1； （2）将点B（3，0）、D（1，4）代入y=kx+b得： ， 解得：， 故直线l2：y=-2x+6， 当x=0时，y=6, 对于直线l1：y=2x+2，当x=0时，y=2， ∴ ∴ ∴ （3）分别过点A、B作l2、l1的平行线交于点P″，交过点D作x轴的平行线于点P、P′， 对于直线l1：y=2x+2，当y =0时，x =-1， ∴ ∵B(3,0) ①当AB是平行四边形的一条边时， 此时符合条件的点为下图中点P和P′， 则AB=4=PA=P′D， 故点P的坐标为（-3，4）或（5，4）； ②当AB是平行四边形的对角线时， 此时符合条件的点为图中点P″，DA平行且等于BP“，由平移可知，点P″（1，-4）； 综上，点P（-3，4）或（5，4）或（1，-4）． 学科网（北京）股份有限公司 $