2026年山东省济南市平阴县初中数学九年级二模试题

**基本信息** 立足二模备考，融合科技（烟台山灯塔实践探究）、社会热点（体重管理、健康饮食）与文化情境（正五边形、菱形），通过选择、填空、解答题梯度设计，考查实数运算、函数综合等知识，体现抽象能力、推理意识与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题40分|实数运算、视图、科学记数法等|基础巩固，如第1题实数运算考查运算能力| |填空题|5题20分|概率（“banana”字母概率）、几何计算（菱形EF长度）|能力提升，第15题结合菱形性质与中点考查空间观念| |解答题|10题90分|解直角三角形（灯塔距离计算）、统计（模型设计成绩分析）、函数综合（反比例与一次函数交点）、动态几何（正方形旋转探究）|创新应用，25题正方形旋转探究发展创新意识，22题健康饮食问题体现模型观念|

2026年九年级学业水平考试 数学模拟试题三 温馨提示：1.本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分, 考试时间120分钟,满分150分. 2.答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题. 第Ⅰ卷 选择题（40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求。 1．若（﹣4）×□＝8，则□内的数字是 A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4 2．如图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是 A． B． C． D． 3．人类探索浩瀚宇宙的步伐从未停止，天文学家已经探明一年之中地球与太阳之间的距离随时间变化而变化，地球与太阳之间的平均距离约为149600000km，用科学记数法将数据149600000表示为 A．1.496×109 B．1.496×108 C．1.496×107 D．14.96×107 4．下列实验仪器的平面示意图中，是轴对称图形的是 A． B． C． D． 5．下列计算正确的是 A．3m2﹣m2＝2 B．（﹣mn）2＝﹣mn2 C．m3÷m＝m2 D．m2•m3＝m6 6．将分式方程去分母后得到的整式方程为 A．1＝2x B．x+2＝1 C．x+1＝2x D．x＝2（x+1） 7．如图，直线CF∥DE，∠ACB＝90°，∠A＝30°．若∠1＝18°，则∠2等于 A．42° B．38° C．36° D．30° 8．在分别写有﹣1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是 A． B． C． D． 9．如图，∠MON＝60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC，BC，则CO等于 A． B． C． D． 10．已知某函数图象关于y轴对称，当0≤x≤2时，y＝x2﹣2x；当x＞2时，y＝2x﹣4．若直线y＝x+b与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数b的范围是（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题（共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，直接填写答案. 11．为响应“体重管理年”有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加1.5kg记作+1.5，那么体重减少1kg应记作 　　 12．在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是　　 13．如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB、DE分别交于点M、N，则∠1+∠2的度数为 　 14．一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离s（km）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，则慢车的速度为 km/h，快车的速度为 km/h 15．如图，在菱形ABCD中，AB＝，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF＝3，则EF的长为　　 ． 三、解答题：共10小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 16．(本题7分)计算： 17．(本题7分)解不等式组： 并写出它的所有整数解 18．(本题7分)如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5． 求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长． 19．(本题8分)烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动． 如图，一艘渔船自东向西以每小时10海里的速度向码头A航行，小组同学收集到以下信息： 位置信息 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14：30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方向的C处 15：00时，渔船航行至灯塔B东北方向的D处 天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头A附近海域将出现浓雾天气．请注意防范． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； （2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头A（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）． 20．(本题8分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME＝MD． （1）求证：ME是⊙O的切线． （2）若CF＝3，sinB=，求OM的长． 21．(本题9分)为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模型设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模型设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了 　　 名学生的模型设计成绩，成绩的中位数是 　　 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 　 　 ． （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模型设计成绩不低于80分的人数. 22．(本题10分)国家卫健委在全民健康调查中发现，近年来的肥胖人群快速增长，为加强对健康饮食的重视，特发布各地区四季健康饮食食谱．现有A、B两种食品，每份A或B食品的核心营养素如下： 食品类别 能量（单位：Kcal） 蛋白质（单位：g） 脂肪（单位：g） 碳水化合物（单位：g） A 240 12 7.5 29.8 B 280 13 9 27.6 （1）若要从这两种食品中摄入1280Kcal能量和62g蛋白质，应选用A、B两种食品各多少份？ （2）若每份午餐选用这两种食品共6份，从A、B两种食品中摄入的蛋白质总量不低于76g，且能量最低，应选用A、B两种食品各多少份？ 23．(本题10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象的一个交点为A（a，2），与x轴的交点为B（3，0）． （1）求反比例函数表达式； （2）直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点D在反比例函数的图象上，若∠ACD＝90°，求直线AD的函数表达式； （3）P为x轴上一点，直线AP交反比例函数的图象于点E（异于A），连接BE，若△BEP的面积为2，请直接写出点E的坐标． 24．(本题12分)如图，O是坐标原点，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（3，0），C（0，3）． （1）求抛物线表达式； （2）点D为抛物线上第一象限内一点，连结BD，与直线AC交于点E，若DE：BE＝1：2，求点D的坐标； （3）若F为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为P（m，n）（m＞1），若P又在原抛物线上，新抛物线与直线x＝1交于点N，连结FP、PN，∠FPN＝120°．探究新抛物线与x轴是否存在两个不同的交点．若存在，请直接写出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由． 25．(本题12分)特例研究：在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O． （1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为　 　 ，k的值为　 ； （2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求的值； 类比探究：（3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想的值是否与α有关，并说明理由． 答案第2页，共2页 ( 九年级数学试题第 2 页 （共 6 页） ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期 九 年 级 数 学 试 题 答 案 1、 单项选择题（共10小题，每小题4分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B D C C A B B A 二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分） 11. ﹣1 12. 13. 144° 14. 60 80 15. 三、解答题：共10小题，满分90分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 16．(本题7分)计算： = ·························5分 = ························7分 17.(本题7分) 解：由①得，x≥﹣2······················2分 由②得，x＜2························4分 ∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜2 ···················6分 ∴整数解为-2，-1,0,1·······················7分 18.(本题7分) 解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD，BC＝AD＝5，················1分 ∴∠D＝∠FCE， ···················2分 ∵E是CD的中点， ∴DE＝CE， ·············3分 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE（ASA），············5分 ∴FC＝AD＝5， ···········6分 ∴BF＝BC+FC＝5+5＝10．··············7分 19.（本题8分） 解：（1）如图，过点B作BE⊥AC于点E，··············1分 设BE＝x，依题意，∠EBC＝53°，∠EBD＝45°，CD＝10=5， ∴∠C＝90°﹣∠EBC＝37°，ED＝x， ············2分 ∴EC＝ED+DC＝x+5， 在Rt△BCE中，·······3分 ∴ 解得：x＝15， ··············4分 ∴渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里； （2）在Rt△ABE中，∠ABE＝14°，BE＝15， ∴AE＝BE•tan14°≈15×0.25＝3.75， ········5分 ∴AC＝AE+DE+DC＝15+3.75+5＝23.75， 23.75÷10＝2.375小时＝142.5分钟， ··········7分 从14：30，经过142.5分钟是16：52：30，在17：30之前到达， ∴不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A．··········8分 20.（本题8分） （1）证明：连接OE，如图所示： ∵CD⊥AB， ∴∠ODM＝90°， ··········1分 在△OME和△OMD中， ∴△OME≌△OMD（SSS）·············3分 ∴∠OEM＝∠ODM＝90° ∴OE⊥ME， ∴ME是⊙O的切线；····················4分 （2） 解：连接DF， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠DCF＝90°， ∴∠B＝∠DCF， ∵sinB， ∴sin∠DCF， ···················5分 ∵CD为⊙O的直径， ∴∠DCF＝90°， 在Rt△DCF中，sin∠DCF 设DF＝4x，CD＝5x，由勾股定理得：CF=3x， ∵CF＝3， ∴3x＝3， 解得：x＝1， ∴CD＝5x＝5， ∴ODCD＝2.5， ···················6分 由（1）可知：△OME≌△OMD， ∴∠EOM＝∠DOM， ∴∠DOE＝∠EOM+∠DOM＝2∠DOM， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵∠DOE＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE， ∴2∠DOM＝2∠OCE， ∴∠DOM＝∠OCE， ∴OM∥BC， ∴∠OMD＝∠B， ················7分 ∴sin∠OMD＝sin∠B， 在Rt△ODM中，sin∠OMD ∴ ∴OM． ················8分 21.(本题9分) （1）50；83.5；144°． ·····················6分 （2）补全频数分布直方图如图所示． ················7分 （3）1200=720（人）． ∴估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数约720人······9分 22.(本题10分) 解：（1）设应选用A种食品x份，B种食品y份·············1分 根据题意得：，···············3分 解得：， ···················5分 答：应选用A种食品3份，B种食品2份； （2） 设应选用A种食品m份，则选用B种食品（6-m）份， 根据题意得：12m+13（6﹣m）≥76，················7分 解得：m≤2， ·························8分 设每份午餐的能量为w Kcal， 则w＝240m+280（6﹣m）＝﹣40m+1680，··············9分 ∵﹣40＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝2时，w取得最小值， 此时，6﹣m＝4． 答：应选用A种食品2份，B种食品4份．············10分 23. (本题10分) 解：（1）∵直线y＝﹣x+b与x轴的交点为B（3，0）， ∴0＝﹣3+b， 解得b＝3， ∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3，····················1分 把A（a，2）代入y＝﹣x+3，得2＝﹣a+3，解得：a＝1， ∴点A（1，2）， ·······················2分 把点A（1，2）代入y，得k＝1×2＝2； ∴反比例函数的解析式为 ·····················3分 （2）如图，连接AD， 由（1）得：反比例函数的解析式为， ∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C，点A（1，2）， ∴点C的坐标为（﹣1，﹣2）， ∴AC2＝（1+1）2+（2+2）2＝20， ················4分 设点D的坐标为， ∴， ∵∠ACD＝90°， ∴AD2＝CD2+AC2， ∴ ······5分 解得：m＝﹣4或﹣1（舍去）， ∴点D的坐标为（﹣4，）， ················6分 设直线AD的函数表达式为y＝k1x+b1（k1≠0） 把点（﹣4，）（1，2）代入得：， 解得： ∴直线AD的函数表达式为； ··········8分 （3）点E的坐标为（﹣2，﹣1）或．···········10分 24. (本题12分) 解：（1）依题意，分别把A（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得， 解得； ·························2分 ∴y＝﹣x2+2x+3 ·························3分 （2）令y＝0，则0＝﹣x2+2x+3＝（﹣x+3）（x+1）， ∴x1＝3，x2＝﹣1， ∴B（﹣1，0），A（3，0）， ···················4分 分别过点E、D作 EN⊥OA，DM⊥OA，如图所示： ∵EN⊥OA，DM⊥OA， ∴∠ENB＝∠DMB＝90°， ∵∠DBM＝∠EBN， ∴△DMB∽△ENB， ∴， ∵DE：BE＝1：2， ∴DB：BE＝3：2， ∴， ··························5分 设AC的解析式为y＝kx+r（k≠0）， ∵C（0，3），A（3，0）， ∴， 解得， ∴AC的解析式为y＝﹣x+3， 设E（m，-m+3）························6分 ∴BN=1+m ∵ ∴BM= ∴OM= ····················7分 将代入y＝﹣x2+2x+3= ∵ ∴:(-m+3)=3:2····················8分 ∴m= ·················9分 ∴D（2，3）或D（1，4）； ··················10分 （3） 存在新抛物线与x轴存在两个不同的交点， 这两个交点之间的距离为2． ··················12分 25.(本题12分)解：（1）45°，； ··········2分 （2）根据题意得△AEF∽△AOB， ∴∠EAF＝∠OAB，， ∴∠FAB＝∠EAO，， ∴△AFB∽△AEO， ···············4分 ∴ ···············5分 ∵∠OAB＝45°，∠AOB＝90°， ·················6分 ···············7分 （3）的值与α无关，理由如下，如图， 同理可证△AFB∽△AEO， ∴ ···········8分 ∵菱形ABCD中，∠ABC＝60°， 可证∠ABO＝30°， ·············9分 ∵O是AB的垂直平分线与BD的交点， ∴AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABO＝30°， ·············10分 过点O作OG⊥AB于点G， ∴AB＝2BG，cos∠ABO ∴ ··············11分 ∴ ∴的值与α无关 ·····················12分 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $