精品解析：2026年山东省聊城市茌平区中考二模数学试卷

2026年初中学生学业水平模拟测试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后将本试卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 6的相反数是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键． 【详解】解：6的相反数是． 故选：A． 2. 剪纸是我国传统民间艺术，图案精美且蕴含对称之美．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形； B、是轴对称图形，不是中心对称图形； C、是轴对称图形，不是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形. 3. 2026年4月19日北京举办了人形机器人半程马拉松比赛，半程马拉松标准赛道总长21097.5米．数据21097.5用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：数据21097.5用科学记数法表示为． 4. 如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9· 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据从左面看得到的图形是左视图，从上面看的到的视图是俯视图，再根据面积的和，可得答案． 【详解】左视图： 俯视图： ∴该几何体左视图与俯视图的面积和是： 故选：B 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 6. 如图，直线，直线与，分别相交于点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用平行线的性质求出，然后利用三角形外角的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ． 7. 《九章算术》中有“盈不足”问题，原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？大意：众人一起买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又少4钱．设人数为，物品价格为钱，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：设人数为，物品价格为钱， 根据题意得，． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，都在格点上，将正方形绕原点旋转，得到正方形，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点绕原点旋转得到对应点， ∴点的坐标是． 9. 如图，用刻度尺和一个锐角为的三角尺测量计算圆形工件的半径，如果测得，那么圆形工件的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆心为O，与刻度尺和三角尺分别相切于点A，C，连接，，，求出，证明，得到，解直角三角形求出，然后利用圆的面积公式求解． 【详解】解：如图，设圆心O，与刻度尺和三角尺分别相切于点A，C，连接，，， 根据题意得，，， ∴， 由切线的性质得，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴圆形工件的面积是． 10. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据抛物线的开口方向、对称轴位置以及抛物线与轴交点的位置，确定的正负，进而判定的正负，可判①，根据抛物线对称轴为直线，则，即可判②；先确定点的横坐标，然后根据二次函数图像的对称性求得与轴的另一个交点的横坐标，即可判定③；运用函数确定方程的根的情况，即可判定④． 【详解】解：①抛物线开口向下，故， 对称轴在轴右侧，故， 抛物线与轴交于正半轴，故， ， 故①错误，不符合题意； ②因为抛物线对称轴是直线，则 ， 故②正确； ③因为抛物线对称轴是直线， 所以抛物线与轴的另一个交点是，故③正确，符合题意； ④从图象看，两个函数图象有两个交点，故方程有两个不相等的实数根， 故④正确，符合题意． 综上，正确的是②③④． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 要使分式有意义，x需满足的条件是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件解答． 【详解】解：∵分式有意义， ∴x-3≠0， 解得x≠3， 故答案为：x≠3． 【点睛】此题考查了分式有意义的条件：分母不等于零，熟记条件是解题的关键． 12. 关于的一元二次方程=0有两个相等的实数根，则锐角______． 【答案】45° 【解析】 【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4tanα＝0，则tanα＝1，然后利用特殊角的三角函数值求α的值． 【详解】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4tanα＝0， 所以tanα＝1， 所以锐角α＝45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了特殊角的三角函数值． 13. 如图，中，，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】由尺规作图可知是的垂直平分线，是的角平分线。利用垂直平分线性质得，进而得到．结合角平分线定义与直角三角形两锐角互余，求出，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得，求得． 【详解】解：由尺规作图可知直线是线段的垂直平分线， 为的中点，且， ， 又由尺规作图可知，射线是的角平分线， 平分， ； 设， 则，，即， ， ， ， 解得， ， 是斜边的中点， ， 是等腰三角形， ． 14. 已知反比例函数：和：在第一象限的图象如图所示，平行四边形的顶点，分别在和上，点在轴上，则的面积为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】通过作辅助线，利用反比例函数中的几何意义，结合平行四边形的性质，求出平行四边形的面积．本题主要考查反比例函数的几何意义和平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键． 【详解】解：延长交轴于点，则轴于，连接． 点在上， ； 点在上， ； 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 15. 如图，曲线是抛物线的一部分，点是该抛物线的顶点，与轴交于点，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为6．由点开始不断重复“”这一部分曲线，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，则________． 【答案】12 【解析】 【分析】依题意先求出抛物线的解析式和双曲线的解析式，然后根据之间的水平距离为6，之间的水平距离为2，点与点的水平距离为2，即可求解． 【详解】解：抛物线， 其顶点坐标为， 曲线是双曲线的一部分，且过点， ， 解得， 双曲线解析式为，其中自变量取值范围为， 点的横坐标为，且在双曲线上， ， ， ，， 与纵坐标相同， 波浪线以之间的水平距离为周期，即周期， 到的水平距离为， 在一个周期内，当时对应抛物线段，当时对应双曲线段， ， 横坐标2024对应周期内的位置，即点，纵坐标为， ， 点的横坐标与2024的水平距离为， 点对应周期内， ， 点落在双曲线段上， 把代入中得， ， ， 点的横坐标与2024的水平距离为， 点对应周期内， ， 点落在双曲线段上， 把代入中得， ， ． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 在同一数轴上表示出不等式①②的解集： 不等式组的解集为． 17. 2026年，我国“双碳”目标推进取得阶段性成果，新能源汽车渗透率持续提升．某校为普及新能源汽车与低碳出行知识，举办了“新能源汽车与绿色未来”知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析： 七年级：70，75，78，80，82，85，85，90，95，100 八年级：67，75，81，83，86，87，87，92，95，97 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 八年级 85 87 74.6 （1）填空：________，________，________，________； （2）若该校七年级有700名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中七年级学生成绩90分以上（含90分）的人数； （3）若从本次知识竞赛成绩在95分（含95分）以上的4名学生中，任意选择两名学生参加市级比赛，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名学生恰好都是八年级学生的概率． 【答案】（1），，， （2）该校此次活动中七年级学生成绩90分以上（含90分）的有210人 （3）两名学生都是八年级学生的概率为 【解析】 【分析】（1）根据中位数，众数和方差的定义求解； （2）用700乘以七年级学生成绩90分以上（含90分）的人数的占比即可求解； （3）列表得到所有可能的情况和两名学生都是八年级学生的情况，然后利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：∵共抽取10名学生的成绩， 七年级的学生成绩从小到大排列后，在第5、6位的成绩为82、85， ∴中位数为； 八年级的学生成绩从小到大排列后，在第5、6位的成绩为86、87， ∴中位数为； 七年级的学生成绩中85出现的次数最多， ∴众数； ∵ ∴七年级的学生成绩的方差 ； 【小问2详解】 解：（人）， 答：该校此次活动中七年级学生成绩90分以上（含90分）的有210人； 【小问3详解】 解：设七年级两名学生为和，八年级两名学生为和 列表如下： 　　　　第1名 第2名 ∴共有12种等可能的结果，其中两名学生都是八年级学生的有2种结果， ∴所选两名学生恰好都是八年级学生的概率． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接、． （1）求和直线的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）先将，代入求出m，a的值，继而利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标，再根据代入数据表示面积即可． 【小问1详解】 解：两函数图象相交于点， ， ， ， ， ，， 在一次函数图象上， ，解得， 一次函数解析式为． 【小问2详解】 解：由图象可知，的解集为：． 【小问3详解】 解：设直线与轴交于点，当时，， ， ． 19. 项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 【答案】内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，由题意得，四边形为矩形，则，，所以，，设米，则米，米，然后通过， ， 列出方程， 解出方程即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，四边形为矩形， ∴，， ∴，， 设米，则米，米， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，解得， ∴（米）， 答：内栏墙围成泉池的直径的长约为米． 20. 2026年是全民体重管理提升行动收官之年，某社区服务中心为推进全民健身，计划采购、两款智能体重管理健身设备，满足居民科学健身需求．已知款设备单价比款设备单价便宜240元，用48000元购买款设备的数量与用54000元购买款设备的数量相同． （1）求、两款健身设备的单价分别为多少元？ （2）该社区计划采购、两款设备共25台，要求款设备采购数量不超过款设备数量的2倍．请问采购款健身设备多少台时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】（1）款健身设备的单价为1920元，款健身设备的单价为2160元 （2）采购款健身设备16台时费用最低，最低50160元 【解析】 【分析】（1）设款健身设备的单价为元，则款健身设备的单价为元，根据题意列出分式方程求解； （2）设采购款健身设备台，总费用元，根据题意列出不等式求出且为整数，然后表示出，利用一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设款健身设备的单价为元，则款健身设备的单价为元， 由题意得：， 整理得： ， 解得：， 经检验是原方程解并符合题意． ， 答：款健身设备的单价为1920元，款健身设备的单价为2160元； 【小问2详解】 解：设采购款健身设备台，总费用元． 根据题意得，， 解得：且为整数． ， ， 随增大而减小， 当时，． 答：采购款健身设备16台时费用最低，最低50160元． 21. 如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）连接，由直径得到，然后由，得到，等量代换得到，求出即可证明； （2）证明，得到，设，则，，证明，得到，求出，即可得解． 【小问1详解】 证明：连接，如图， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 即， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：，， ∴， ，， ， ， 设，则，， ， ∴， ， 由（1）知， ∵， ， ， ， ， 又， 即， 解得：， 即的长为． 22. 已知二次函数，其中、为两个不相等的实数． （1）当，时，求该函数图象的对称轴； （2）求证：该二次函数的图象与轴一定有两个不同的交点； （3）若函数在时，随的增大而减小，且满足，求的取值范围，并求出此时函数顶点纵坐标的最大值． 【答案】（1）对称轴为直线 （2）见解析 （3）的取值范围为，此时函数顶点纵坐标的最大值为 【解析】 【分析】（1）把，代入，再化为顶点式，即可得答案； （2）根据一元二次方程根的判别式得出一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得出结论； （3）根据二次函数的性质，结合得出，设顶点纵坐标为，根据顶点坐标公式得出，根据二次函数的性质即可得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ， ∴对称轴为直线． 【小问2详解】 证明：∵，，， ∴， ∵，是不相等的实数， ∴，即， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴该二次函数的图象与轴一定有两个不同的交点． 【小问3详解】 解：∵二次函数解析式为 ，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵函数在时，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴， 设顶点纵坐标为， ∴ ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ， ∴当时，随的增大而减小， ∴时，为， 的取值范围为，函数顶点纵坐标的最大值为． 23. 【学习心得】 数学兴趣小组成员在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何图形如果添加辅助圆（隐形圆），运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． （1）如图1，在中，，，是外一点，且，若以点为圆心，为半径作，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角． ①求的度数； ②若点也在上，且点与点在弦（与，不重合）的两侧，求的度数． 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，连接，，若，求的度数． 【问题拓展】 （3）如图3，，是正方形的边上的两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是________（直接写出答案）． 【答案】（1）①；②； （2）； （3）． 【解析】 【分析】(1)①可知、、三点在以为圆心、为半径的圆上，根据圆周角定理求解即可； ②利用圆内接四边形对角互补求解即可； (2)由，取斜边的中点，可得，于是、、、四点共圆，且为直径，再利用圆周角定理推论求解即可； (3)通过两次全等证明，确定动点在以为直径的圆上，最后将“最小值”转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题即可． 【小问1详解】 解：①如图1， ，， ，，都在以为圆心，为半径的上， ； ②在圆内接四边形中，， ． 【小问2详解】 解：如图2，取的中点，连接，， ，， ， ，，，在以为直径的上， ． 【小问3详解】 解：如图3： ，，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 取的中点O，连接， ， 在以为直径的圆上，，，三点共线时最小， 在中，， 的最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学生学业水平模拟测试 数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页．满分120分．考试时长120分钟．考试结束后将本试卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 6的相反数是（ ） A. B. C. D. 6 2. 剪纸是我国传统民间艺术，图案精美且蕴含对称之美．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年4月19日北京举办了人形机器人半程马拉松比赛，半程马拉松标准赛道总长21097.5米．数据21097.5用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若几何体是由5个棱长为1的小正方体组合而成的，则该几何体左视图与俯视图的面积和是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9· 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，直线与，分别相交于点，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中有“盈不足”问题，原文：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？大意：众人一起买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又少4钱．设人数为，物品价格为钱，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，都在格点上，将正方形绕原点旋转，得到正方形，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，用刻度尺和一个锐角为的三角尺测量计算圆形工件的半径，如果测得，那么圆形工件的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点是，对称轴是直线，且抛物线与轴的一个交点为；直线的解析式为，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③ D. ②③④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 要使分式有意义，x需满足的条件是________． 12. 关于的一元二次方程=0有两个相等的实数根，则锐角______． 13. 如图，中，，分别以顶点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则________． 14. 已知反比例函数：和：在第一象限的图象如图所示，平行四边形的顶点，分别在和上，点在轴上，则的面积为_____． 15. 如图，曲线是抛物线的一部分，点是该抛物线的顶点，与轴交于点，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为6．由点开始不断重复“”这一部分曲线，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，则________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组． 17. 2026年，我国“双碳”目标推进取得阶段性成果，新能源汽车渗透率持续提升．某校为普及新能源汽车与低碳出行知识，举办了“新能源汽车与绿色未来”知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析： 七年级：70，75，78，80，82，85，85，90，95，100 八年级：67，75，81，83，86，87，87，92，95，97 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 八年级 85 87 74.6 （1）填空：________，________，________，________； （2）若该校七年级有700名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中七年级学生成绩90分以上（含90分）的人数； （3）若从本次知识竞赛成绩在95分（含95分）以上的4名学生中，任意选择两名学生参加市级比赛，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两名学生恰好都是八年级学生的概率． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接、． （1）求和直线的表达式； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集； （3）求的面积． 19. 项目学习 项目背景：“源池泉涌”为我省某景区的一个景点，主体设计包括外栏墙与内栏墙，外栏墙高于内栏墙，两栏中间为步道，内栏墙内为泉池，池内泉水清澈见底．从正上方看，外栏墙呈正八边形，内栏墙呈圆形．综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物的测量与计算 驱动问题 如何测量内栏墙围成泉池的直径 活动内容 利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算 活动过程 方案说明 图为该景，点俯视图的示意图，点，是正八边形中一组平行边的中点，为圆的直径图中点在同一条直线上． 图为测量方案示意图，直径所在水平直线与外栏墙分别交于，点，，外栏墙与均与水平地面垂直，且．，均表示步道的宽，．图中各点都在同一竖直平面内． 数据测量 在点处测得，点和点的俯角分别为，，米．图中墙的厚度均忽略不计 计算 …… 交流展示 …… 请根据上述数据，计算内栏墙围成泉池的直径的长（结果精确到米．参考数据： ，，，，，）． 20. 2026年是全民体重管理提升行动收官之年，某社区服务中心为推进全民健身，计划采购、两款智能体重管理健身设备，满足居民科学健身需求．已知款设备单价比款设备单价便宜240元，用48000元购买款设备的数量与用54000元购买款设备的数量相同． （1）求、两款健身设备的单价分别为多少元？ （2）该社区计划采购、两款设备共25台，要求款设备采购数量不超过款设备数量的2倍．请问采购款健身设备多少台时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 21. 如图，是的直径，点是上异于、的点，连接、，点在的延长线上，且，过点作，交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长度． 22. 已知二次函数，其中、为两个不相等的实数． （1）当，时，求该函数图象的对称轴； （2）求证：该二次函数的图象与轴一定有两个不同的交点； （3）若函数在时，随的增大而减小，且满足，求的取值范围，并求出此时函数顶点纵坐标的最大值． 23. 【学习心得】 数学兴趣小组成员在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何图形如果添加辅助圆（隐形圆），运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． （1）如图1，在中，，，是外一点，且，若以点为圆心，为半径作，则点，必在上，是的圆心角，而是圆周角． ①求的度数； ②若点也在上，且点与点在弦（与，不重合）的两侧，求的度数． 【问题解决】 （2）如图2，在四边形中，，连接，，若，求的度数． 【问题拓展】 （3）如图3，，是正方形的边上的两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为4，则线段长度的最小值是________（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $