10.3+实际问题与二元一次方程组（5）—费用、分段计费问题同步练 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 练习聚焦二元一次方程组解决费用及分段计费问题，通过例题讲解与课堂作业分层设计，构建从基础建模到综合应用的巩固路径，培养模型意识与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题讲解|二元一次方程组基础应用|含5道例题，从费用记录验证（例1）到缆车/景区票价（例2-3），逐步渗透建模思想| |课堂作业|费用及分段计费综合应用|7道题涵盖基础购买（球拍）、复杂分段（超市优惠），强化运算能力与问题解决|

10.3 实际问题与二元一次方程组（5） ——费用、分段计费问题 姓名： 班级： 一．例题讲解 例1．某家商店的账目记录显示，某天卖出26支牙刷和14盒牙膏，收入264元；一天，以同样的价格卖出同样的39支牙刷和21盒牙膏，收入393元．该商店的会计人员稍加演算就发现上述记录有误． (1)请思考为什么上述记录有误？你能用二元一次方程组的知识来解释吗？ (2)若第一次记录是正确的，则第二次卖39支牙刷和21盒牙膏应收入__________元． 例2．八达岭长城是北京市著名的旅游景点，是万里长城的精华．五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 140 单程 100 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是3320元，则该小组共有多少人？ 例3.五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： 求这次参加游玩的家长和学生各多少人． 景区票价 成人票：每张 学生票：按成人票价五折优惠 团体票：按成人票价七五折优惠 通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分开购买更省钱？ 例4．如图，丝路纺织厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地，已知长绒棉的进价为万元/，纺织面料的出厂价为万元/，公路运价为元/，铁路运价为元/，且这两次运输共支出公路运费6500元，铁路运费20800元． (1)设购买长绒棉，制成纺织面料． ①根据题中数量关系填写下表 xt长绒棉 yt纺织面料 公路运费/元 铁路运费/元 ②求x，y的值： ③这批纺织面料的销售额比原料费与运输费的和多多少元？ 例5．为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过的部分按二级单价收费．五月份张华家用水，缴费37.6元；李明家用水，缴费47.2元． (1)那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？ (2)若小丽家3月份缴费95.2元，那么小丽家三月份用水多少立方米？ 二．课堂作业 1．七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查．上山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1180元．缆车票价如表所示，他们购买了往返票和单程票各多少张？ 票种 票价/元 往返 80 单程 45 2．为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元．购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（用二元一次方程组解决问题） 3.小明的妈妈在菜市场买回斤萝卜和斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话： 小明根据爸爸、妈妈的对话，很快就知道了今天买的萝卜和排骨的单价，请你通过计算分别求出今天萝卜和排骨的单价． 4．如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨2000元的原料运回工厂，制成每吨5000元的产品运到B地，已知公路运价为2元/（吨·千米），铁路运价为1.5元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元． （1）求：该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？ （2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 5．某市出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准另外收取里程费．张华乘坐出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为，起步价和里程费共计元；第二次乘车行驶的路程为，起步价和里程费共计元．你能由此计算出出租车的起步价和超过后的里程费收费标准吗？ 6．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款 元． (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元．（用含x的代数式表示）． (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元，用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？当时，王老师两次购物一共节省了多少钱？ 7． 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节约用水的目的. 该市规定了如下的用水标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米a元收费；超过6m3时，不超过部分每立方米仍按a元收费，超过部分每立方米按b元收费. 该市居民张大爷一家今年3、4月份的用水量和水费如下表： 月份 用水量/m3 水费/元 3 5 7.5 4 9 15 设该户每月用水量为x（m3），应缴水费y（元）. （1）求a、b的值，写出用水不超过6m3和超过6m3时，y与x之间的代数表达式； （2）若张大爷一家今年5月份的用水量为8m3，该户5月份应缴的水费是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $10.3实际问题与二元一次方程组（5) 一费用、分段计费问题 姓名： 班级： 一.例题讲解 例1.某家商店的账目记录显示，某天卖出26支牙刷和 14盒牙膏，收入264元；一天，以同样的价格卖出同样 的39支牙刷和21盒牙膏，收入393元.该商店的会计 人员稍加演算就发现上述记录有误， (1)请思考为什么上述记录有误？你能用二元一次方程 组的知识来解释吗？ (2)若第一次记录是正确的，则第二次卖39支牙刷和21 盒牙膏应收入 元. 例2.八达岭长城是北京市著名的旅游景点，是万里长 城的精华.五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游 览八达岭长城，乘坐缆车的费用如下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 140 单程 100 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18 人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车 的总费用是3320元，则该小组共有多少人？ 例3.五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区 游玩请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解 答下列问题： (1)求这次参加游玩的家长和学生各多少人. (2)通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能 否比分开购买更省钱？ 景区票价 成人票：每张90元 学生票：按成人票价五折优惠 团体票：按成人票价七五折优惠(10张及以上) 咱们一行9人，购票 需要多少元？ 我算了一下，家长和学生分别购买 成人票和学生票共需630元. 例4.如图，丝路纺织厂与A,B两地有公路、铁路相 连，这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成 纺织面料运往B地，已知长绒棉的进价为3.08万元/t, 纺织面料的出厂价为4.25万元/t,公路运价为0.5元 /(tkm),铁路运价为0.2元/(tkm),且这两次运输共 支出公路运费6500元，铁路运费20800元. A 铁路120km 公路10km 广丝路纺织厂 B、 公路20km 铁路110km (1)设购买xt长绒棉，制成t纺织面料. ①根据题中数量关系填写下表 xt长绒棉 t纺织面料 公路运费/元 铁路运费/元 ②求x,y的值： (2)为了顺应时代的发展，该纺织厂对纺织面料进行了工 艺改良.若长绒棉的进价不变，丝路纺织厂生产的这批 纺织面料毛利润不低于177.27万元，那么这批纺织面料 的出厂单价至少提高多少万元/t(毛利润=销售额-原 料费（只计长绒棉的价格）一运输费的和)？ 例5.为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量 实行阶梯水价：每户每月用水量不超过12m3时，按一级 单价收费：超过12m3时，超过的部分按二级单价收费.五 月份张华家用水14m3,缴费37.6元；李明家用水17m3, 缴费47.2元. (1)那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？ (2)若小丽家3月份缴费95.2元，那么小丽家三月份用水 多少立方米？ 二.课堂作业 1.七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查.上 山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1180 元.缆车票价如表所示，他们购买了往返票和单程票各 多少张？ 票种 票价元 往返 80 单程 45 2.为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买 若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同， 每副羽毛球拍的价格相同)，若购买3副乒乓球拍和2 副羽毛球拍，则需420元：若购买2副乒乓球拍和5副 羽毛球拍，则需720元.购买一副乒乓球拍和一副羽毛 球拍各需多少元？（用二元一次方程组解决问题） 3.小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜和1斤排骨，准备 做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话： 小明根据爸爸、妈妈的对话，很快就知道了今天买的萝 卜和排骨的单价，请你通过计算分别求出今天萝卜和排 骨的单价. 今天买了这两样菜共 今天电视新闻上说 花了23.6元，上个月 萝卜的单价上涨了 同等重量的这两样菜 %,排骨的单价 只要17元 上涨了40% 4.如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.这 家工厂从A地购买一批每吨2000元的原料运回工厂， 制成每吨5000元的产品运到B地，己知公路运价为2 元/（吨千米），铁路运价为1.5元/（吨.千米），且这两 次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000 元 A 铁路120km 公路10km 长青化工厂 铁路110km B-、 (1)求：该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B 地的产品多少吨？ (2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少 元？ 5.某市出租车起步价所包含的行驶里程不超过3m, 超过3m的部分按一定标准另外收取里程费.张华乘坐 出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为7，起步价 和里程费共计17.2元；第二次乘车行驶的路程为13km, 起步价和里程费共计28元.你能由此计算出出租车的起 步价和超过3后的里程费收费标准吗？ 6.某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不 九折优惠 低于200元 500元或超过 其中500元部分给予九折优惠，超过 500元 500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款元。 (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但 不小于200时，他实际付款元，当x大于或等于500 元时，他实际付款元.（用含x的代数式表示）. (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的 货款为a元(200<a<300),用含a的代数式表示：两 次购物王老师实际付款多少元？当α=250时，王老师两 次购物一共节省了多少钱？ 7.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市 采用价格调控手段以达到节约用水的目的.该市规定了 如下的用水标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费 按每立方米a元收费；超过6m3时，不超过部分每立方 米仍按a元收费，超过部分每立方米按b元收费.该市 居民张大爷一家今年3、4月份的用水量和水费如下表： 月份 用水量/m3 水费/元 23 7.5 4 9 15 设该户每月用水量为x(m3),应缴水费y(元). (1)求a、b的值，写出用水不超过6m3和超过6m3时， y与x之间的代数表达式： (2)若张大爷一家今年5月份的用水量为8m3,该户5 月份应缴的水费是多少？10.3实际问题与二元一次方程组（5) 一一费用、分段计费问题 姓名： 班级： 一.例题讲解 例1.某家商店的账目记录显示，某天卖出26支牙刷和 14盒牙膏，收入264元：一天，以同样的价格卖出同样 的39支牙刷和21盒牙膏，收入393元.该商店的会计 人员稍加演算就发现上述记录有误： (1)请思考为什么上述记录有误？你能用二元一次方程 组的知识来解释吗？ (2)若第一次记录是正确的，则第二次卖39支牙刷和21 盒牙膏应收入 元 【答案】(1)记录有误，理由见解析 (2)396 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用.解答本题 关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组.根 据方程组有没有解可以判定记录是否有误 (1)通过理解题意可知本题存在两个等量关系：即26 支牙刷的钱数+14支牙膏的钱数=264元，39支牙刷的 钱数+21支牙膏的钱数=393元，然后列出方程组，若方 程组有解则记录无误，若方程组无解则记录有误. (2)总收入=3(13个牙刷的收入+7个牙膏的收入). 【详解】(1)设1支牙刷x元，1盒牙膏y元. 根据题意，得 26.x+14y=264 39x+21y=393' 化简得 [13.x+7y=132 13x+7y=131' 1313=7:7≠132131， 方程组无解 所以记录有误 (2)由(1)知，13x+7y=132,则 313.x+7y)=3x132=396(元). 即：第二次卖39支牙刷和21盒牙膏应收入396元. 故答案为：396. 例2.八达岭长城是北京市著名的旅游景点，史称天下 九塞之一，是万里长城的精华.五一假期期间，某校七 年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如 下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 140 单程 100 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18 人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车 的总费用是3320元，则该小组共有多少人？ 【答案】30 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用.可设 该小组共有x人，往返的有y人，根据等量关系：①去 程时的人数+返程时的人数-往返的人数=该小组一共 的人数；②乘坐缆车的总费用是3320元：列出方程组 求解即可. 【详解】解：设该小组共有x人，往返的有y人，依题 意有 18+20-y=x 140y+100(18+20-2y)=3320' x=30 解得 y=8 故该小组共有30人. 故答案为：30， 例3.五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区 游玩，请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解 答下列问题： 景区票价 成人票：每张90元 学生票：按成人票价五折优惠 团体票：按成人票价七五折优惠(10张及以上) 咱们一行9人，购票 需要多少元？ 我算了一下，家长和学生分别购买L 成人票和学生票共需630元. (1)求这次参加游玩的家长和学生各多少人. (2)通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能 否比分开购买更省钱？ 【答案】(1)解：设这次参加游玩的家长为x人，学生为 y人由慰意，得6十0x05y680解得=及若： 这次参加游玩的家长为5人，学生为4人. (2)如果家长和学生一起购买团体票，不能比分开购票更 省钱理由如下：购买团体票需要买10张或10张以上， 家长和学生共9人，∴.团体购票需要购买10张，花费 的钱数为10×0.75×90=675（元).，675>630， ∴如果家长和学生一起购买团体票，费用至少为675元， 不能比分开购票更省钱。 例4.如图，丝路纺织厂与A,B两地有公路、铁路相 连，这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成 纺织面料运往B地，已知长绒棉的进价为3.O8万元/t, 纺织面料的出厂价为4.25万元/t,公路运价为0.5元 /(t.km),铁路运价为0.2元/(t·km),且这两次运输共 支出公路运费6500元，铁路运费20800元. A 铁路120km 公路10km 丝路纺织厂 B、 公路20km 铁路110km (1)设购买xt长绒棉，制成t纺织面料. ①根据题中数量关系填写下表 xt长绒棉 yt纺织面料 公路运费/元 铁路运费/元 ②求x,y的值： (2)为了顺应时代的发展，该纺织厂对纺织面料进行了工 艺改良.若长绒棉的进价不变，丝路纺织厂生产的这批 纺织面料毛利润不低于177.27万元，那么这批纺织面料 的出厂单价至少提高多少万元/t(毛利润=销售额-原 料费（只计长绒棉的价格）-运输费的和)？ 【答案】(1)①见解析：② x=500 y=400 (2)0.05万元/t 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程组的 实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意 列出方程组，不等式和代数式是解题的关键。 (1)①根据铁路和公路的收费标准计算求解即可：② 根据①所求结合公路运费6500元，铁路运费20800元 建立方程组求解即可： (2)设提高万元/t,根据毛利润=销售额-原料费 (只计长绒棉的价格)一运输费的和建立不等式求解即 可 【详解】(1)解：①由题意得，xt长绒棉的公路运费 为0.5×10x=5x元，铁路运费为120×0.2x=24x元： t纺织面料的公路运费为0.5×20y=10y元，铁路运费 为110×0.2y=22y元： 填表如下： xt长绒棉 t纺织面料 公路运费/元 5x 10y 铁路运费/元 24x 22y 5.x+10y=6500 ②由题意可列方程组 24x+22y=20800' 「x=500 解得： y=400 答：x的值为500，y的值为400： (2)解：设提高m万元/t, 根据题意可列不等式： 400(4.25+m-500×3.08-0.65-2.08≥177.27， 解得m≥0.05. 答：这批纺织面料的出厂单价至少提高0.05万元/t. 例5.为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量 实行阶梯水价：每户每月用水量不超过12m时，按一级 单价收费：超过12m时，超过的部分按二级单价收费.五 月份张华家用水14m3,缴费37.6元：李明家用水17m3, 缴费47.2元. (1)那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？ (2)若小丽家3月份缴费95.2元，那么小丽家三月份用水 多少立方米？ 【答案】(1)一级水费2.6元，二级水费3.2元 (2)32m3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方 程的应用，根据等量关系列出方程组是解题的关键。 (1)设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元，根 据五月份张华家用水14m,缴费37.6元：李明家用水 17m3,缴费47.2元，列出方程组，解方程组即可. (2)设小丽家三月份用水m立方米，根据小丽家3月 份缴费95.2元列出方程，解方程即可. 【详解】(1)解，设一级水费单价为x元，二级水费单 价为y元， [12x+(14-12)y=37.6 根据题意列方程组： 112x+(17-12)y=47.2 x=2.6 解得： y=3.2 答：一级水费单价为2.6元，二级水费单价为3.2元. (2)设小丽家三月份用水m立方米， 则2.6×12+3.2×(m-12)=95.2 解得m=32 答：小丽家三月份用水32立方米。 二.课堂作业 1.七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查.上 山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1180 元.缆车票价如表所示，他们购买了往返票和单程票各 多少张？ 票种 票价/元 往返 80 单程 AS 【答案】购买了往返票8张，单程票12张 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题 的关键是根据等量关系列出方程.设购买了往返票x张， 单程票y张，根据总张数为20张，总费用为1180元， 列出方程组，解方程组即可· 【详解】解：设购买了往返票x张，单程票y张，根据 题意得： [80x+45y=1180 x+y=20 x=8 解得： y=12' 答：购买了往返票8张，单程票12张 2.为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买 若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同， 每副羽毛球拍的价格相同)，若购买3副乒乓球拍和2 副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副 羽毛球拍，则需720元.购买一副乒乓球拍和一副羽毛 球拍各需多少元？（用二元一次方程组解决问题） 【答案】购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需 120元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题 的关键是仔细审题，找出等量关系. 设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，根 据等量关系：若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则 需420元：若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需 720元，列出方程组求解即可. 【详解】解：设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球 拍需y元，依题意得： 3x+2y=420 2x+5y=720' x=60 解得 y=120’ 答：购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120 元 3.小明的妈妈在菜市场买回2斤萝卜和1斤排骨，准备 做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话： 今天买了这两样菜共 今天电视新闻上说 花了23.6元，上个月 萝卜的单价上涨了 同等重量的这两样菜 30%,排骨的单价 只要17元 上涨了40% 小明根据爸爸、妈妈的对话，很快就知道了今天买的萝 卜和排骨的单价，请你通过计算分别求出今天萝卜和排 骨的单价. 【答案】解：设上个月萝卜的单价是x元/斤，排骨的 单价是y元/斤. 依题点，利低十0+1+00加=236 解得g=15.1+309%0x=13,1+409%y=21. 答：今天萝卜的单价是1.3元/斤，排骨的单价是21元 /斤. 4.如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.这 家工厂从A地购买一批每吨2000元的原料运回工厂， 制成每吨5000元的产品运到B地，已知公路运价为2 元/（吨.千米），铁路运价为1.5元/（吨.千米），且这两 次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000 元 A 铁路120km 公路10km ”长青化工厂 铁路110km B (1)求：该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B 地的产品多少吨？ (2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少 元？ 【答案】(1)工厂从A地购买了300吨原料，制成运往 B地的产品200吨；(2)这批产品的销售款比原料费与 运输费的和多299000元 【分析】(1)设化工厂从A地购买了x吨原料，制成运 往B地的产品y吨，根据两次运输共支出公路运输费 14000元，铁路运输费87000元列二元一次方程组，求 解即可 (2)结合(1)，根据利润=销售款-原料费-运输费列式 求解即可. 【详解】解：(1)设化工厂从A地购买了x吨原料，制 成运往B地的产品y吨， 210x+20y)=14000 由题意得： 1.5020x+110y=87000, 解这个方程，得： x=300 y=200' 答：工厂从A地购买了300吨原料，制成运往B地的产 品200吨： (2)由题意得： 200×5000-300×2000-14000-87000=299000(元)， ∴.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多299000 元. 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意， 找出等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键】 5.某市出租车起步价所包含的行驶里程不超过3， 超过3a的部分按一定标准另外收取里程费.张华乘坐 出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为7a,起步价 和里程费共计17.2元；第二次乘车行驶的路程为13am, 起步价和里程费共计28元.你能由此计算出出租车的起 步价和超过3am后的里程费收费标准吗？ 【答案】能，出租车的起步价为10元，超过3an后每公 里收费1.8元. 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题 关键是准确列出方程组求解.先设出租车的起步价为x 元，超过3m后每公里收费y元，列出方程组求解即可. 【详解】解：设出租车的起步价为x元，超过3m后每 公里收费y元， ,行驶的路程为71，起步价和里程费共计17.2元；行 驶的路程为13m,起步价和里程费共计28元， 「x+(7-3)y=17.2 x+13-3)y=28 x=10 解得： y=1.8 答：能，出租车的起步价为10元，超过3m后每公里收 费1.8元. 6.某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不 九折优惠 低于200元 500元或超过 其中500元部分给予九折优惠，超过 500元 500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款_元. (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但 不小于200时，他实际付款元，当x大于或等于500 元时，他实际付款元.（用含x的代数式表示). (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的 货款为a元(200<a<300),用含a的代数式表示：两 次购物王老师实际付款多少元？当α=250时，王老师两 次购物一共节省了多少钱？ 【答案】(1)530 (2)0.9x,(0.8x+50) (3)(706+0.1a,89元 【分析】本题主要考查了列代数式与整式的加减运算的 综合运用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解 题意列出对应的代数式和算式求解是解题的关键。 (1)根据题意将600元分成两部分进行付款，其中500 元部分打九折，剩下100元部分打八折，据此进一步计 算即可； (2)根据题意，当x小于500元但不小于200时，整 体打九折，据此求解即可；然后根据当x大于或等于500 元时，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分 给予八折优惠进一步计算化简即可： (3)根据题意可知王老师前后两次购物货款为α元以 及(820-元，然后按照相应的优惠政策进一步列出式 子并加以化简，最后代入α的值计算即可. 【详解】(1)解： 500×0.9+(600-500)×0.8=450+80=530(元)， ∴.王老师一次性购物600元，他实际付款530元， 故答案为：530： (2)解：当x小于500元但不小于200时，打九折， 付款为：0.9x元， 当x大于或等于500元时，其中500元部分给予九折优 惠，超过500元部分给予八折优惠，付款为： 500x0.9+(x-500)×0.8=(0.8x+50)元， 故答案为：0.9x,(0.8x+50): (3)解：由题意得： 第一次购物货款为a元，且200<a<300, ∴此时付款为：0.9a元， 第二次购物货款为：(820-a)元，且520<(820-a)<620, 此时付款为： 500×0.9+(820-a-500)×0.8=(706-0.8a元， ∴.两次购物王老师实际付款为： 0.9a+(706-0.8a=(706+0.1a元， 当a=250时，706+0.1a=731元， .王老师两次购物一共节省了820-731=89元. 7.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市 采用价格调控手段以达到节约用水的目的.该市规定了 如下的用水标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费 按每立方米a元收费；超过6m3时，不超过部分每立方 米仍按a元收费，超过部分每立方米按b元收费.该市 居民张大爷一家今年3、4月份的用水量和水费如下表： 月份 用水量/m3 水费/元 3 7.5 4 9 15 设该户每月用水量为×(m3),应缴水费y(元). (1)求a、b的值，写出用水不超过6m3和超过6m3时， y与x之间的代数表达式： (2)若张大爷一家今年5月份的用水量为8m3,该户5 月份应缴的水费是多少？ 【答案】(1)a=1.5b=2;当0<x≤6时，y=1.5x;当x>6时， y=2x-3;(2)13元. 【分析】(1)根据3月份的收费列式计算即可得到a, 再根据4月份的收费分两个部分列式计算即可得解；然 后根据a、b的值分别写出y与x的关系式即可；(2)把 =8代入函数关系式计算即可得解， 【详解】解：(1)由表可知，a=7.5÷5=1.5, 6×1.5+(9-6)b=15, 解得b=2: 当0<x≤6时，y=ax, 将a=1.5代入得y=1.5x, 当x>6时，y=6a+b(x-6)=9+2(x-6)=2x-3, 所以用水不超过6m3得y=1.5x: 超过6m3时得y=2x-3: (2)依题意把x=8代入解析式y=2x-3得：y=2×8-3=13. 答：该户11月份应交水费13元. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解收费=单价× 数量并读懂图表信息是解题的关键。 10.3 实际问题与二元一次方程组（5） ——费用、分段计费问题 姓名： 班级： 一．例题讲解 例1．某家商店的账目记录显示，某天卖出26支牙刷和14盒牙膏，收入264元；一天，以同样的价格卖出同样的39支牙刷和21盒牙膏，收入393元．该商店的会计人员稍加演算就发现上述记录有误． (1)请思考为什么上述记录有误？你能用二元一次方程组的知识来解释吗？ (2)若第一次记录是正确的，则第二次卖39支牙刷和21盒牙膏应收入__________元． 【答案】(1)记录有误，理由见解析 (2)396 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．解答本题关键是弄清题意，找出合适的等量关系，列出方程组．根据方程组有没有解可以判定记录是否有误． （1）通过理解题意可知本题存在两个等量关系：即26支牙刷的钱数支牙膏的钱数元，39支牙刷的钱数支牙膏的钱数元，然后列出方程组，若方程组有解则记录无误，若方程组无解则记录有误． （2）总收入（13个牙刷的收入个牙膏的收入）． 【详解】（1）设1支牙刷x元，1盒牙膏y元． 根据题意，得 ， 化简得 ， ∵， ∴方程组无解． 所以记录有误． （2）由（1）知，，则（元）． 即：第二次卖39支牙刷和21盒牙膏应收入396元． 故答案为：396． 例2．八达岭长城是北京市著名的旅游景点，史称天下九塞之一，是万里长城的精华．五一假期期间，某校七年级历史兴趣小组游览八达岭长城，乘坐缆车的费用如下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 140 单程 100 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有18人乘坐缆车，返程时有20人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是3320元，则该小组共有多少人？ 【答案】30 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．可设该小组共有x人，往返的有y人，根据等量关系：①去程时的人数+返程时的人数﹣往返的人数=该小组一共的人数；②乘坐缆车的总费用是3320元；列出方程组求解即可． 【详解】解：设该小组共有x人，往返的有y人，依题意有 ， 解得， 故该小组共有30人． 故答案为：30． 例3.五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题： 景区票价 成人票：每张元 学生票：按成人票价五折优惠 团体票：按成人票价七五折优惠张及以上 求这次参加游玩的家长和学生各多少人． 通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分开购买更省钱？ 【答案】(1)解：设这次参加游玩的家长为人，学生为人.由题意，得解得答：这次参加游玩的家长为5人，学生为4人.  (2)如果家长和学生一起购买团体票，不能比分开购票更省钱.理由如下：购买团体票需要买10张或10张以上，家长和学生共9人，∴团体购票需要购买10张，花费的钱数为（元）.∵，∴如果家长和学生一起购买团体票，费用至少为675元，不能比分开购票更省钱.  例4．如图，丝路纺织厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家纺织厂从A地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往B地，已知长绒棉的进价为万元/，纺织面料的出厂价为万元/，公路运价为元/，铁路运价为元/，且这两次运输共支出公路运费6500元，铁路运费20800元． (1)设购买长绒棉，制成纺织面料． ①根据题中数量关系填写下表 xt长绒棉 yt纺织面料 公路运费/元 铁路运费/元 ②求x，y的值： (2)为了顺应时代的发展，该纺织厂对纺织面料进行了工艺改良．若长绒棉的进价不变，丝路纺织厂生产的这批纺织面料毛利润不低于万元，那么这批纺织面料的出厂单价至少提高多少万元/（毛利润销售额原料费（只计长绒棉的价格）运输费的和）？ 【答案】(1)①见解析；② (2)万元/ 【分析】本题主要考查了列代数式，二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，不等式和代数式是解题的关键． （1）①根据铁路和公路的收费标准计算求解即可；②根据①所求结合公路运费6500元，铁路运费20800元建立方程组求解即可； （2）设提高m万元/，根据毛利润销售额原料费（只计长绒棉的价格）运输费的和建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：①由题意得，长绒棉的公路运费为元，铁路运费为元； 纺织面料的公路运费为元，铁路运费为元； 填表如下： 长绒棉 纺织面料 公路运费/元 铁路运费/元 ②由题意可列方程组， 解得： 答：x的值为500，y的值为400； （2）解：设提高m万元/， 根据题意可列不等式：， 解得． 答：这批纺织面料的出厂单价至少提高万元/． 例5．为了提倡节约用水，某市根据居民每月的用水量实行阶梯水价：每户每月用水量不超过时，按一级单价收费；超过时，超过的部分按二级单价收费．五月份张华家用水，缴费37.6元；李明家用水，缴费47.2元． (1)那么这个市一级水费、二级水费的单价分别是多少？ (2)若小丽家3月份缴费95.2元，那么小丽家三月份用水多少立方米？ 【答案】(1)一级水费2.6元，二级水费3.2元 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元，根据五月份张华家用水，缴费元；李明家用水，缴费元，列出方程组，解方程组即可． （2）设小丽家三月份用水立方米，根据小丽家3月份缴费95.2元列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解，设一级水费单价为x元，二级水费单价为y元， 根据题意列方程组：， 解得：， 答：一级水费单价为元，二级水费单价为元． （2）设小丽家三月份用水立方米， 则 解得 答：小丽家三月份用水立方米． 二．课堂作业 1．七年级的地质兴趣小组到一座山顶进行田野调查．上山之前，20名成员各买了一张缆车票，共花费1180元．缆车票价如表所示，他们购买了往返票和单程票各多少张？ 票种 票价/元 往返 80 单程 45 【答案】购买了往返票8张，单程票12张 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．设购买了往返票x张，单程票y张，根据总张数为20张，总费用为1180元，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设购买了往返票x张，单程票y张，根据题意得： ， 解得：， 答：购买了往返票8张，单程票12张 2．为开展“阳光大课间”活动，顺迈学校准备一次性购买若干副乒乓球拍和羽毛球拍（每副乒乓球拍的价格相同，每副羽毛球拍的价格相同），若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元．购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（用二元一次方程组解决问题） 【答案】购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，找出等量关系． 设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，根据等量关系：若购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍，则需420元；若购买2副乒乓球拍和5副羽毛球拍，则需720元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设购买一副乒乓球拍需x元，一副羽毛球拍需y元，依题意得： ， 解得， 答：购买一副乒乓球拍需60元，一副羽毛球拍需120元． 3.小明的妈妈在菜市场买回斤萝卜和斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是他的爸爸和妈妈的一段对话： 小明根据爸爸、妈妈的对话，很快就知道了今天买的萝卜和排骨的单价，请你通过计算分别求出今天萝卜和排骨的单价． 【答案】解：设上个月萝卜的单价是元斤，排骨的单价是元斤． 依题意，得 解得． 答：今天萝卜的单价是元斤，排骨的单价是元斤． 4．如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨2000元的原料运回工厂，制成每吨5000元的产品运到B地，已知公路运价为2元/（吨·千米），铁路运价为1.5元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元． （1）求：该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？ （2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【答案】（1）工厂从地购买了300吨原料，制成运往地的产品200吨；（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多299000元 【分析】（1）设化工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨，根据两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元列二元一次方程组，求解即可． （2）结合（1），根据利润＝销售款-原料费-运输费列式求解即可． 【详解】解：（1）设化工厂从地购买了吨原料，制成运往地的产品吨， 由题意得：， 解这个方程，得：， 答：工厂从地购买了300吨原料，制成运往地的产品200吨； （2）由题意得：（元）， ∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多299000元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 5．某市出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准另外收取里程费．张华乘坐出租车出行，她第一次乘车行驶的路程为，起步价和里程费共计元；第二次乘车行驶的路程为，起步价和里程费共计元．你能由此计算出出租车的起步价和超过后的里程费收费标准吗？ 【答案】能，出租车的起步价为元，超过后每公里收费元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确列出方程组求解．先设出租车的起步价为元，超过后每公里收费元，列出方程组求解即可． 【详解】解：设出租车的起步价为元，超过后每公里收费元， ∵行驶的路程为，起步价和里程费共计元；行驶的路程为，起步价和里程费共计元， ∴， 解得：． 答：能，出租车的起步价为元，超过后每公里收费元． 6．某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 九折优惠 500元或超过500元 其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款 元． (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元．（用含x的代数式表示）． (3)如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元，用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？当时，王老师两次购物一共节省了多少钱？ 【答案】(1) (2)， (3)，元 【分析】本题主要考查了列代数式与整式的加减运算的综合运用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的代数式和算式求解是解题的关键． （1）根据题意将600元分成两部分进行付款，其中500元部分打九折，剩下100元部分打八折，据此进一步计算即可； （2）根据题意，当x小于500元但不小于200时，整体打九折，据此求解即可；然后根据当x大于或等于500元时，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠进一步计算化简即可； （3）根据题意可知王老师前后两次购物货款为a元以及元，然后按照相应的优惠政策进一步列出式子并加以化简，最后代入a的值计算即可． 【详解】（1）解：（元）， ∴王老师一次性购物600元，他实际付款元， 故答案为：； （2）解：当x小于500元但不小于200时，打九折，付款为：元， 当x大于或等于500元时，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠，付款为：元， 故答案为：，； （3）解：由题意得： 第一次购物货款为a元，且， ∴此时付款为：元， 第二次购物货款为：元，且， ∴此时付款为：元， ∴两次购物王老师实际付款为：元， 当时，元， ∴王老师两次购物一共节省了元． 7． 为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段以达到节约用水的目的. 该市规定了如下的用水标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米a元收费；超过6m3时，不超过部分每立方米仍按a元收费，超过部分每立方米按b元收费. 该市居民张大爷一家今年3、4月份的用水量和水费如下表： 月份 用水量/m3 水费/元 3 5 7.5 4 9 15 设该户每月用水量为x（m3），应缴水费y（元）. （1）求a、b的值，写出用水不超过6m3和超过6m3时，y与x之间的代数表达式； （2）若张大爷一家今年5月份的用水量为8m3，该户5月份应缴的水费是多少？ 【答案】(1)a=1.5;b=2; 当0＜x≤6时，y=1.5x;当x＞6时，y=2x-3;(2)13元. 【分析】（1）根据3月份的收费列式计算即可得到a，再根据4月份的收费分两个部分列式计算即可得解；然后根据a、b的值分别写出y与x的关系式即可；（2）把x=8代入函数关系式计算即可得解． 【详解】解：（1）由表可知，a=7.5÷5=1.5， 6×1.5+（9-6）b=15， 解得b=2； 当0＜x≤6时，y=ax， 将a=1.5代入得y=1.5x， 当x＞6时，y=6a+b（x-6）=9+2（x-6）=2x-3， 所以用水不超过6m3得y=1.5x； 超过6m3时得y=2x-3； （2）依题意把x=8代入解析式y=2x-3得：y=2×8-3=13． 答：该户11月份应交水费13元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解收费=单价×数量并读懂图表信息是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $