21.6 菱形（题型专练）（基础达标7大题型+能力提升+拓展培优）数学新教材冀教版八年级下册

**基本信息** 这份菱形同步练习通过基础概念辨析、中档计算应用到提升综合探究的三层设计，实现从单一知识点到核心素养的递进，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|菱形性质与判定的概念辨析|以选择形式对比矩形与菱形性质，强化几何直观| |中档|角度、线段、周长面积计算|结合尺规作图情境，提升运算能力与推理意识| |提升|证明、折叠旋转及综合应用|通过动态折叠和实践探究题，发展空间观念与创新意识|

21.6 菱形 题型一 菱形的性质 1．（2025八年级下·全国·专题练习）矩形、菱形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．每一条对角线平分一组对角 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）菱形不具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 3．如图，已知是菱形的对角线，则下列结论正确的是（　　）    A．与的周长相等 B．菱形的周长等于两条对角线长之和的两倍 C．与的面积相等 D．菱形的面积等于两条对角线长之积的两倍 题型二 菱形的判定 4．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）四边形是平行四边形，对角线相交于点下列条件中，不能判定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图①，在菱形中，对角线，相交于点，要在对角线上找两点，，使得四边形是菱形，现有如图②所示的甲、乙两种方案，下列说法中，正确的是（　　） A．只有方案甲对 B．只有方案乙对 C．方案甲、乙都对 D．方案甲、乙都不对 题型三 利用菱形的判定和性质求角度 7．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2021·河北·二模）如图，四边形为菱形，若为边的垂直平分线，用的度数为（    ） A．20° B．25° C．30° D．40° 9．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，以点为圆心，适当的长为半径圆弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 题型四 利用菱形的判定和性质求线段 10．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（    ）． A． B．3 C． D．4 11．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 12．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接，连接交于点D．若，四边形的面积为．点E为的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B． C．8 D． 题型五 利用菱形的判定和性质求周长和面积 13．（2025·河北保定·一模）如图，矩形中，，嘉嘉和琪琪各自利用尺规作图的方法在矩形内作出了一个新的四边形，作图痕迹如图所示： 嘉嘉的作法：如图，四边形． 琪琪的作法：如图，四边形． 下面对四边形和四边形的判断正确的是（   ） A．四边形EFGH是矩形 B．四边形不是菱形 C．四边形周长等于四边形的周长 D．四边形的面积为 14．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 15．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论错误的是（    ） A． B．四边形面积 C． D．四边形的周长 题型六 利用菱形的判定和性质证明 16．（25-26八年级下·河北邢台·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 17．（2026·河北唐山·一模）如图，点G在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． (1)求证：； (2)若，求“翼角”的度数． 18．（2025·河北邯郸·一模）如图-1，在平行四边形中，过点作，垂足分别为点交于点、． (1)若，求的度数； (2)如图-2，若四边形是菱形，延长，相交于点． ①求证：； ②当时，求证：． 题型七 菱形的折叠和旋转 19．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 20．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，在平行四边形中，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．对于结论I、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）    结论I：当时，四边形是菱形； 结论Ⅱ：当点在线段上时，的长度为 A．I对Ⅱ不对 B．I不对Ⅱ对 C．I、Ⅱ都不对 D．I、Ⅱ都对 21．（22-23九年级上·河北保定·月考）如图1，矩形纸片中，，，要在矩形纸片内折出一个菱形，现有两种方案： 甲：如图2，取两组对边中点的方法折出四边形． 乙：如图3，沿矩形的对角线折出，的方法得到四边形． 下列说法正确的是（　　） A．甲折出的四边形是菱形 B．乙折出的四边形不是菱形 C．甲、乙折出的四边形面积一样大 D．甲折出的四边形面积大 1．菱形的两条对角线长分别为6、8，则它的面积为（    ） A．6 B．24 C．36 D．48 2．（23-24九年级上·河北保定·月考）在下列方案中，能够得到是的平分线的是（    ） 方案Ⅰ： 作菱形，连接． 方案Ⅱ： 取，以为顶点作矩形，连接交于点，连接． A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 C．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 3．（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，平行四边形中，点在对角线上，且，要使四边形为菱形，现有三种方案：    ①只需要满足； ②只需要满足； ③只需要满足 则上述方案正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．③ D．②③ 4．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角相等 D．是中心对称图形 5．（22-23八年级下·河北沧州·月考）下列性质中，菱形具有但矩形不一定具有的是（    ） A．对边相等 B．对边平行 C．对角相等 D．对角线互相垂直 6．（22-23九年级上·河北秦皇岛·开学考试）如图，在矩形中，E，F分别是，中点，连接，，，分别交于点M，N，四边形是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定 7．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图所示，剪两张对边平行的纸条，并且纸条宽度相同，将它们随意交叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，连接．则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（2022·河北唐山·一模）如图，在中，，，，按如下步骤作图： ①分别以点，为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点，；②作直线，分别交，于点，；③过作交于点，连接，．则四边形的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．20 9．（24-25八年级下·河北邢台·期中）在中，，．要求在边，上分别找到点，，使四边形是菱形．下面有两种方案，关于方案的可行性，下列判断正确的是（   ） 方案I：作的垂直平分线， 分别交，于点，． 方案Ⅱ：作，的平分线， 分别交，于点，． A．只有方案I可行 B．只有方案II可行 C．方案I、II都可行 D．方案I、II都不可行 10．如图，在菱形和菱形中，点A、B、E在同一直线上，P是线段的中点，连接．若，则＝（　　）    A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，菱形花坛，沿着菱形的对角线修建两条小路和，若米，米，则菱形花坛的面积是___________ 平方米． 12．（22-23八年级下·河北唐山·期末）根据特殊四边形的定义，在如图的括号内填写相应的内容：    （1）________；（2）________． 13．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 14．如图，在菱形中，对角线长，，点、在边、上，以直线为折痕折叠，若，则的度数为_____． 15．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，顶点的坐标为，顶点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点D，连接，过点作，交轴于点E，连接，则______． 16．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图1中画菱形，，使其周长为，并求菱形的面积； (2)在图2中画直角三角形，使得两直角边均为无理数，斜边为有理数． 17．（24-25八年级下·河北保定·期末）问题背景 几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘，我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢？ 实践应用 如图，学校操场东南角有一片四边形绿地，它的四个顶点，，，处均有一棵大树．学校准备进行一次绿化扩建，想使这片绿地的面积扩大一倍．为了保护大树，四棵大树不进行移栽，保持位置不动． (1)扩建后的区域能否为平行四边形？若能，请给出你的设计方案并说明理由； (2)要想使得扩建后的区域为菱形，需要满足什么前提条件？请用原图形中的字母表示出相关条件，并说明理由． (3)若四边形绿地的对角线与交于点，，，，则扩建后的绿地的面积为______． 18．（23-24八年级下·河北雄安·期末）如图，平行四边形的两条对角线与相交于点是线段上的两点，连接，已知．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形为菱形． 19．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，点，点．    求： (1)求和的解析式； (2)在坐标平面内存在一点C，使得以O、A、C、B为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点C的坐标． 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母（①～③），其中①号螺母的两条边恰好在边，上，③号螺母的两条边恰好在边，上．嘉嘉和淇淇仔细观察后，得出如下结论． 结论I：菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 结论Ⅱ：换种摆法，该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母． 针对结论I和Ⅱ，判断正确的是（   ） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）综合与实践 【情境】如图1，将菱形沿对角线剪开，得到和． 【操作】固定，将与叠放在一起，嘉嘉和淇淇设计了不同的叠放方式，按如下方式操作． 如图2，嘉嘉的叠放方式如下： 将的顶点固定在的边上的中点处，绕点在边上方旋转，设旋转时边交边于点（点不与点重合），交边于点（点不与点重合）． 如图3．淇淇的叠放方式如下： 的顶点在的边上滑动（点不与、点重合），点、的位置会随点的滑动而改变，且保持边始终经过点． …… 【探究】根据以上描述，解决下列问题． (1)结合图2，嘉嘉写出了如下思考过程，其中①处应填______，②处应填______； 根据菱形的性质可知，， ， ① ， ， ② ． (2)在图3的基础上， ①尺规作图：过点作，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； ②淇淇说：“与相等．”你同意淇淇的说法吗？说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 21.6菱形（答案版） 夯基础 题型一菱形的性质 1.C 2.D 3.C 题型二菱形的判定 4.B 5.C 6.C 题型三利用菱形的性质和判定求线段 7.B 8.C 9.B 题型四利用菱形的性质和判定求角度 10.A 11.B 12.D 题型五利用菱形的性质和判定求面积 13.D 14.C 15.B 题型六利用菱形的性质和判定证明 16.(1)证明：四边形ABCD为菱形， ..OB=OD ,点E为AD中点， OE为△ABD的中位线， :.OE∥FG OG⊥AB,EF⊥AB, .OG∥EF .OE∥FG,OG∥EF, ∴.四边形OEFG为平行四边形， OG⊥AB, ∴.平行四边形OEFG为矩形： (2)解：，四边形ABCD是菱形， .AB=AD=20,AC⊥BD, ,点E为AD的中点，AD=20, 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.OE=AE=AD=10. 由(1)知，四边形OEFG是矩形， .FG=OE=10,∠EFG=∠AFE=90°， :在RtAEF中，∠AFE=90°，EF=8,FG=10, ∴，根据勾股定理，AF=√AE2-EF2=V102-82=6, .BG=AB-AF-FG=20-6-10=4. 17.(1)证明：，四边形ABCD为菱形， .AB=AD,∠BAC=∠DAC, 在△ABG和△ADG中， .AB=AD,∠BAG=∠DAG,AG=AG. .△ABG≌aADG(SAS): (2)解：四边形ABCD为菱形，∠BAD=56°， A4DI8C,∠BCD=∠BaD-56,∠4CB=BCD=28,AB=BC 2 .∠ABC=180°-∠B.AD=124°，∠BCG=28° ..CG=AB. .BC=GC, 2CBG=080-∠BcG)=16, ∴.∠ABG=∠ABC-∠CBG=48°， 18.(1)解：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,∠ABC=∠ADC .·∠ABC+∠ADC=130°， .∠ABC=∠ADC=65° ADI BC .∠C=180°-65°=115° AE⊥BC,AF⊥CD, .∠EAF+∠C=360°-90°-90°=180°， 218 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EAF=180°-115°=65°： (2)证明：①：四边形ABCD是菱形， AB=AD,AB∥CD,AD∥BC, .∠ABD=∠ADB :AE⊥BC,AF⊥CD .AE⊥AD,AF⊥AB ∠DAG=∠BAH=90°， .∠AHB=90°-∠ABD=90°-∠ADB=∠AGD .AH=AG ②BG=GH, ∴点G是直角三角形ABH斜边BH的中点， AG=BG=GH」 由①知AH=AG, ..AG=AH=GH, ∴△AGH是等边三角形， .∠AHG=60°， .∠ABH=30° .∠ABC=60°. AF⊥AB, ∠BAP=90°， .∠P=30°， ..PC=2FC, H E P..PF=PC2-FC2=3CF 如图，连接AC, .'∠ADC=∠ABC=60°，AD=CD」 △ADC是等边三角形. ,AF⊥CD :.CF =DF, 318 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.PF=3DF. 题型七菱形的折叠和旋转 19.A 20.D 21.A B 提能力 1.B 2.B 3.B 4.A 5.D 6.B 7.C 8.C 9.A 10.B 11.120 12. 平行四边形 一个角是直角 13.25 14.30° 15.25 16解：(1)解：如图1，菱形ABCD和菱形A,B,CD,即为所求 B2 B D D C 图1 菱形A8CD的同积为×5x35=3:菱形4C,D的同积为x2x4=4, (2)解：如图，，直角三角形ABC即为所求（答案不唯一） B 图2 17.(I)解：连接四边形ABCD的对角线AC,BD,分别过四边形ABCD的四个顶点作对角线的平行线，所 作四条线相交形成四边形EFGH, 4/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Hc-- B .EF∥AC∥GH,EH∥BD∥GF, ∴四边形AEBO,四边形BFCO,四边形CGDO,四边形DHAO,四边形EFGH都是平行四边形， .2S△MB0=Sg边形HB0,2S△cD0=S日边形cG0,2S△AD0=S边形DHa0,2S△BC0=S边形Brc0, 、.S,ERGH=2S四边形ABCD: (2)解：当AC=BD时，则EF=FG, ∴平行四边形EFGH是菱形： (3)解：过点D作AC的平行线，过点B作AC的平行线，过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行 线， 四边形EHGF即为所求， H 、D G E MB 过H作HM⊥EF于点M, .∠AOB=60°， ∴.∠AEM=60°，∠EHM=30°， ..AC=8m,BD=6m. .EH BD=6m,EF=AC=8m, .EM -EH=3m, .HM=HE2-EM2 =33. ∴.SGEFGH=EF.HM=24V3. 故答案为：24W3, 18.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， 5/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AO=CO,BO=DO,AB=CD,AB /CD, .∠ABE=∠CDF 在△ABE和△CDF中， 「∠AEB=∠CFD, ∠ABE=∠CDF, AB=CD, .△ABE≌△CDF(AAS), .BE DF, ..OB-BE OD-DF, 即OE=OF, ∴.四边形AECF是平行四边形. (2)证明：：四边形ABCD是平行四边形，AB=BC, ∴.平行四边形ABCD是菱形， AC⊥BD 由(1)可知，四边形AECF是平行四边形， ∴.平行四边形AECF是菱形， 19.(1)解：设OA的解析式为y=mr, 过点A(1,2) .2=m, .OA的解析式为：y=2x: B 设AB的解析式为y=ac+b, 过点A(1,2),B(2,0), [2=k+b k=-2 0=2k+b,解得：b=4 ∴AB的解析式为：y=-2x+4: 618 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：AL,2),B(2,0), ∴.OB=2, 0A=P+22=5,AB=V(2-1+2=5, ①当OB为该平行四边形的边时，如图： ,该四边形为平行四边形， .AC∥OB,AC=OB=2, .C(3,2)或C(-1,2): B ②当OB为该平行四边形的对角线时，如图： ,该四边形为平行四边形，OA=AB, .该平行四边形为菱形， .C(,-2): 综上：C(3,2)或C(-1,2)或C(1,-2), 拓展培优题 1.A 2.(1)解：根据菱形的性质可知，∠B=∠CFE=∠D, ∴，∠BFH=18O°-∠B-∠BHF,∠BFH=180°-∠CFE-∠GFD, ∠BHF=∠GFD,△BFH∽△DGF.) 故答案为：∠CFE(表示方法不唯一)，△DGF; 718 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：①尺规作图如下， ②我同意淇淇的说法， 理由：根据菱形的性质可知，∠BAD=∠FCE, AB=AD.∠CEF=∠CFE :AG∥CE, .∠FAG=∠FCE, ∴∠BAD=∠FAG, .∠BAD-∠FAD=∠FAG-∠FAD. 即∠BAF=∠DAG! :AG∥CE, .∠AGF=∠CEF, ∴.∠AGF=∠CFE. .AF=AG, ∴.△DAG≌△BAF(SAS) ..DG=BF. 8/8 21.6 菱形 题型一 菱形的性质 1．（2025八年级下·全国·专题练习）矩形、菱形都具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．每一条对角线平分一组对角 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【答案】C 【解析】解：菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角， 矩形的对角线互相平分、相等， ∴矩形、菱形都具有的性质是是对角线互相平分， 故选C． 2．（24-25九年级上·河北保定·期中）菱形不具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等 【答案】D 【解析】解：菱形的邻边相等，对边相等，对角线互相垂直，对角线不一定相等， 故选：D． 3．如图，已知是菱形的对角线，则下列结论正确的是（　　）    A．与的周长相等 B．菱形的周长等于两条对角线长之和的两倍 C．与的面积相等 D．菱形的面积等于两条对角线长之积的两倍 【答案】C 【解析】解：A．在菱形中，， ∵由图可知，的周长，的周长， ∴的周长大于的周长 故选项错误，不符合题意； B．菱形的周长与两条对角线之和无关，故选项错误，不符合题意； C．，，则与的面积相等，故选项正确，符合题意； D．菱形的面积等于两条对角线长之积的一半，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 题型二 菱形的判定 4．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）下列四边形，依据所标数据，不一定是菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A选项：四条边都相等，是菱形，A选项不符合题意； B选项：由得，该四边形是一组对边平行，而另一组对边相等，所以不一定是平行四边形，故不一定是菱形，B选项符合题意； C选项：由得，该四边形是两组对边分别平行，且一组邻边相等的平行四边形，是菱形，C选项不符合题意； D选项：由得，该四边形是一组对边平行且相等，一组邻边相等的平行四边形，是菱形，D选项不符合题意． 5．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）四边形是平行四边形，对角线相交于点下列条件中，不能判定为菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图， A．一组邻边相等的平行四边形是菱形，选项说法正确，不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，选项说法正确，不符合题意； C．，此时平行四边形有一个角为直角，说明其为矩形，但不能判定为菱形，符合题意． D．∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为菱形，不符合题意． 故选C． 6．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图①，在菱形中，对角线，相交于点，要在对角线上找两点，，使得四边形是菱形，现有如图②所示的甲、乙两种方案，下列说法中，正确的是（　　） A．只有方案甲对 B．只有方案乙对 C．方案甲、乙都对 D．方案甲、乙都不对 【答案】C 【解析】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形，故方案甲对； 四边形是菱形， ，， ， ，分别是和的平分线， ，， ． 在和中， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形，故方案乙对． 综上所述，正确的有甲、乙， 故选：C． 题型三 利用菱形的判定和性质求角度 7．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形中，，，连接，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选B． 8．（2021·河北·二模）如图，四边形为菱形，若为边的垂直平分线，用的度数为（    ） A．20° B．25° C．30° D．40° 【答案】C 【解析】解：连接AC， ∵四边形为菱形， ∴AB=BC， ∵为边的垂直平分线， ∴BC=AC， ∴AB=BC=AC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵四边形为菱形， ∴∠ADB=． 故选：C 9．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，以点为圆心，适当的长为半径圆弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：依题得：， 四边形是菱形， ． 故选：． 题型四 利用菱形的判定和性质求线段 10．（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得、之间的距离为，、之间的距离为3，则线段的长为（    ）． A． B．3 C． D．4 【答案】A 【解析】解：如图，连接与，交于点，作，垂足为，作，垂足为， 由题意可知，，， ∴四边形是平行四边形， ∵两张纸条等宽， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， 在直角中，． 故选：A． 11．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，在平行四边形中，用直尺和圆规作的平分线交于点，若，，则的长为（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【解析】解：连接，设与交于点，如图，   平分， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ∵由作图可得， ∴， ， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形， ，，， 在中，由勾股定理得：， ． 故选：B． 12．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接，连接交于点D．若，四边形的面积为．点E为的中点，连接，则线段的长为（   ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【解析】解：根据题意可知，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵，四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， ∴， ∵点E为的中点，点D为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 题型五 利用菱形的判定和性质求周长和面积 13．（2025·河北保定·一模）如图，矩形中，，嘉嘉和琪琪各自利用尺规作图的方法在矩形内作出了一个新的四边形，作图痕迹如图所示： 嘉嘉的作法：如图，四边形． 琪琪的作法：如图，四边形． 下面对四边形和四边形的判断正确的是（   ） A．四边形EFGH是矩形 B．四边形不是菱形 C．四边形周长等于四边形的周长 D．四边形的面积为 【答案】D 【解析】解：对于嘉嘉的作法： 连接，， 由作图可得垂直平分，垂直平分， ∴点H是的中点，点E是的中点，，， ∴，， ∵在矩形中，， 又，， ∴四边形，，都是矩形， ∴，， ∵点H是的中点，点E是的中点， ∴，， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴点F是的中点，点G是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形． ∵，，， ∴， ∴是菱形．故选项A错误． ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴． 对于琪琪的作法： 由题意可得，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 设与相交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形．故选项B错误． 设菱形的边长为x，即， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴菱形的边长为，周长为． ∴．故选项C错误． ∵，， ∴．故选项D正确． 故选：D 14．（24-25九年级上·河北邯郸·月考）如图，在的边上分别截取、，使；分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接、、、．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故选：C． 15．（2024·河北邢台·模拟预测）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，在其中一张纸条转动的过程中，下列结论错误的是（    ） A． B．四边形面积 C． D．四边形的周长 【答案】B 【解析】解：设两张等宽的纸条的宽为h， 纸条的对边平行， ，， ∴四边形是平行四边形， 又 ， 四边形是菱形， ， A选项说法正确，故该选项不符合题意； 、是菱形的对角线， 四边形ABCD面积， B选项说法错误，故该选项符合题意； 菱形的对角线垂直且互相平分， ， 选项C正确，故该选项不符合题意； 菱形的四条边相等， ， 四边形ABCD的周长， D选项正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 题型六 利用菱形的判定和性质证明 16．（25-26八年级下·河北邢台·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴， ∵点为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵点为的中点，， ∴， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，， ∴． 17．（2026·河北唐山·一模）如图，点G在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． (1)求证：； (2)若，求“翼角”的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．（2025·河北邯郸·一模）如图-1，在平行四边形中，过点作，垂足分别为点交于点、． (1)若，求的度数； (2)如图-2，若四边形是菱形，延长，相交于点． ①求证：； ②当时，求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【解析】（1）解：四边形是平行四边形， ． ， ． ， ． ， ， ； （2）证明：①四边形是菱形， ， ． ， ， ， ， ． ②， 点是直角三角形斜边的中点， ． 由①知， ， 是等边三角形， ， ． ， ， ， ， ． 如图，连接， ， 是等边三角形． ， ， ． 题型七 菱形的折叠和旋转 19．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】解：根据折叠的性质可知，，，为定点， 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接， ，即 点在四边形内部（含边界）， 当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示， 四边形为菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：A． 20．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，在平行四边形中，，M是边的中点，N是边上的动点，将沿所在的直线翻折得到，连接．对于结论I、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）    结论I：当时，四边形是菱形； 结论Ⅱ：当点在线段上时，的长度为 A．I对Ⅱ不对 B．I不对Ⅱ对 C．I、Ⅱ都不对 D．I、Ⅱ都对 【答案】D 【解析】解：由折叠可知，，， 若， ∵， ∴， ∴，即四边形是菱形， 故结论I正确； 连接，过点C作，如下图所示，    ∵是平行四边形，， ∴， ∴， ∴ 又∵M是边的中点， ∴在中，， 由勾股定理得，， ∵， ∴的长度为， ∴Ⅱ正确， 故选：D． 21．（22-23九年级上·河北保定·月考）如图1，矩形纸片中，，，要在矩形纸片内折出一个菱形，现有两种方案： 甲：如图2，取两组对边中点的方法折出四边形． 乙：如图3，沿矩形的对角线折出，的方法得到四边形． 下列说法正确的是（　　） A．甲折出的四边形是菱形 B．乙折出的四边形不是菱形 C．甲、乙折出的四边形面积一样大 D．甲折出的四边形面积大 【答案】A 【解析】解：∵点E，F，G，H分别是矩形四个边的中点， ∴，，， ∴（SAS）， ∴， ∴四边形是菱形，故选项A正确； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（ASA）， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故选项B错误； ③∵矩形中，，， ∴矩形的面积， 如图： ∵， ∴， ∴菱形的面积； 如图： 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 解得， ∴， ∴菱形的面积， ∴菱形的面积菱形的面积， 故选项C、D均错误． 故选：A． 1．菱形的两条对角线长分别为6、8，则它的面积为（    ） A．6 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【解析】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴该菱形的面积为． 故选B． 2．（23-24九年级上·河北保定·月考）在下列方案中，能够得到是的平分线的是（    ） 方案Ⅰ： 作菱形，连接． 方案Ⅱ： 取，以为顶点作矩形，连接交于点，连接． A．方案Ⅰ可行，方案Ⅱ不可行 B．方案Ⅰ、Ⅱ都可行 C．方案Ⅰ不可行，方案Ⅱ可行 D．方案Ⅰ、Ⅱ都不可行 【答案】B 【解析】方案Ⅰ， 证明：菱形， （菱形的性质）， 是的平分线； 方案Ⅱ， 证明：矩形， （矩形的性质）， ， ， ， 是的平分线； 故选B． 3．（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，平行四边形中，点在对角线上，且，要使四边形为菱形，现有三种方案：    ①只需要满足； ②只需要满足； ③只需要满足 则上述方案正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．③ D．②③ 【答案】B 【解析】在中，，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形，①符合要求； ②：平行四边形中存在， 根据②，无法确定平行四边形是菱形，②不符合要求； ③∵平行四边形中，， ∴平行四边形是菱形，③符合要求； 故选：B． 4．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．邻边相等 B．对边相等 C．对角相等 D．是中心对称图形 【答案】A 【解析】解：菱形的四条边都相等，而平行四边形的邻边不一定相等， 故选：A． 5．（22-23八年级下·河北沧州·月考）下列性质中，菱形具有但矩形不一定具有的是（    ） A．对边相等 B．对边平行 C．对角相等 D．对角线互相垂直 【答案】D 【解析】解：平行四边形具有的性质有：对角相等，对边相等且平行，对角线互相平分； ∵菱形具有的性质有平行四边形的一切性质同时还具有四边相等，对角线互相垂直； 而矩形具有的性质有平行四边形的一切性质同时还具有四个角都是直角，对角线相等， ∴菱形具有但矩形不一定具有的是对角线互相垂直， 故选：D． 6．（22-23九年级上·河北秦皇岛·开学考试）如图，在矩形中，E，F分别是，中点，连接，，，分别交于点M，N，四边形是（　　） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．无法确定 【答案】B 【解析】解：连接EF． 四边形为矩形， ，， 又E，F分别为，中点， ，，，， 四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ，即， 同理可证， 四边形为平行四边形， 四边形为平行四边形，为直角， 为矩形， ，互相平分于M点， ， 四边形为菱形． 故选：B 7．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图所示，剪两张对边平行的纸条，并且纸条宽度相同，将它们随意交叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，连接．则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵四边形是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形， ∴， ∴四边形是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）； ∴，故A不符合题意； 过点A分别作边上的高为， 则（两纸条相同，纸条宽度相同）； ∵平行四边形中，， 即， ∴，即．故B不符合题意； ∵ ∴平行四边形为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）． ∴，故D不符合题意； 如果四边形是矩形时，才有．故C不一定正确． 故选：C． 8．（2022·河北唐山·一模）如图，在中，，，，按如下步骤作图： ①分别以点，为圆心，以大于的长为半径在两边作弧，交于两点，；②作直线，分别交，于点，；③过作交于点，连接，．则四边形的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【解析】解：根据作图过程可知：是的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵，，， ∴，，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴菱形的周长为． 故选：C． 9．（24-25八年级下·河北邢台·期中）在中，，．要求在边，上分别找到点，，使四边形是菱形．下面有两种方案，关于方案的可行性，下列判断正确的是（   ） 方案I：作的垂直平分线， 分别交，于点，． 方案Ⅱ：作，的平分线， 分别交，于点，． A．只有方案I可行 B．只有方案II可行 C．方案I、II都可行 D．方案I、II都不可行 【答案】A 【解析】解：方案I：如图，设与相交于点， ， ∵是线段的垂直平分线， ∴，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； 方案II：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵平分，平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不能判断四边形为菱形； 综上所述，只有方案I可行， 故选：A． 10．如图，在菱形和菱形中，点A、B、E在同一直线上，P是线段的中点，连接．若，则＝（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：如图，延长交于点H，    ∵P是线段的中点， ∴， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 11．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，菱形花坛，沿着菱形的对角线修建两条小路和，若米，米，则菱形花坛的面积是___________ 平方米． 【答案】120 【解析】解：菱形花坛，米，米， ∴菱形花坛的面积是米， 故答案为：120 ． 12．（22-23八年级下·河北唐山·期末）根据特殊四边形的定义，在如图的括号内填写相应的内容：    （1）________；（2）________． 【答案】 平行四边形 一个角是直角 【解析】解：由四边形的关系，得： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 有一个角是直角是平行四边形是矩形 故答案为：平行四边形，一个角是直角 13．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 【答案】25 【解析】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 14．如图，在菱形中，对角线长，，点、在边、上，以直线为折痕折叠，若，则的度数为_____． 【答案】/30度 【解析】解：如图，连接，，相交于点， 在菱形中，对角线长，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形中，顶点的坐标为，顶点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点D，连接，过点作，交轴于点E，连接，则______． 【答案】 【解析】解：根据题意得点，， ∵，， ∴四边形为菱形， ∴， ∵顶点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 16．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画图： (1)在图1中画菱形，，使其周长为，并求菱形的面积； (2)在图2中画直角三角形，使得两直角边均为无理数，斜边为有理数． 【答案】(1)见解析，或 (2)见解析 【解析】（1）解：如图1，菱形和菱形，即为所求 菱形的面积为；菱形的面积为， （2）解：如图，，直角三角形即为所求（答案不唯一）． 17．（24-25八年级下·河北保定·期末）问题背景 几何学的产生，源于人们对土地面积测量的需要，可以说几何学从一开始便与面积结下了不解之缘，我们已经掌握了平行四边形面积的求法，但是一般四边形的面积往往不易求得，那么我们能否将其转化为平行四边形来求呢？ 实践应用 如图，学校操场东南角有一片四边形绿地，它的四个顶点，，，处均有一棵大树．学校准备进行一次绿化扩建，想使这片绿地的面积扩大一倍．为了保护大树，四棵大树不进行移栽，保持位置不动． (1)扩建后的区域能否为平行四边形？若能，请给出你的设计方案并说明理由； (2)要想使得扩建后的区域为菱形，需要满足什么前提条件？请用原图形中的字母表示出相关条件，并说明理由． (3)若四边形绿地的对角线与交于点，，，，则扩建后的绿地的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形； (3) 【解析】（1）解：连接四边形的对角线，分别过四边形的四个顶点作对角线的平行线，所作四条线相交形成四边形， ∵，， ∴四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∴，，，， ∴； （2）解：当时，则， ∴平行四边形是菱形； （3）解：过点D作的平行线，过点B作的平行线，过点A作的平行线，过点C作的平行线， 四边形即为所求，    过H作于点M， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（23-24八年级下·河北雄安·期末）如图，平行四边形的两条对角线与相交于点是线段上的两点，连接，已知．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ． 在和中， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形． （2）证明：四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形， ． 由（1）可知，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 19．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，点，点．    求： (1)求和的解析式； (2)在坐标平面内存在一点C，使得以O、A、C、B为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点C的坐标． 【答案】(1)的解析式：；的解析式： (2)或或 【解析】（1）解：设的解析式为， 过点， ， 的解析式为：；    设的解析式为， 过点，， ，解得：， 的解析式为：； （2）解：∵，， ∴， ，， ①当为该平行四边形的边时，如图： ∵该四边形为平行四边形， ∴，， ∴或；    ②当为该平行四边形的对角线时，如图： ∵该四边形为平行四边形，， ∴该平行四边形为菱形， ∴；    综上：或或． 1．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母（①～③），其中①号螺母的两条边恰好在边，上，③号螺母的两条边恰好在边，上．嘉嘉和淇淇仔细观察后，得出如下结论． 结论I：菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 结论Ⅱ：换种摆法，该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母． 针对结论I和Ⅱ，判断正确的是（   ） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I对Ⅱ不对 D．I不对Ⅱ对 【答案】A 【解析】解：如下图， 根据题意，得正六边形的每一个外角是，每一个内角是， ， ， ， 是等边三角形， ， 在菱形框架中并排摆放着3个全等的正六边形螺母， ， ， 在菱形中， ， ， 延长交于点J， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故菱形框架的边长恰好是正六边形螺母边长的4倍； 可以排列如图所示， 故该菱形框架中最多可以摆放4个这样的正六边形螺母， 故选：A． 2．（25-26九年级上·河北沧州·期末）综合与实践 【情境】如图1，将菱形沿对角线剪开，得到和． 【操作】固定，将与叠放在一起，嘉嘉和淇淇设计了不同的叠放方式，按如下方式操作． 如图2，嘉嘉的叠放方式如下： 将的顶点固定在的边上的中点处，绕点在边上方旋转，设旋转时边交边于点（点不与点重合），交边于点（点不与点重合）． 如图3．淇淇的叠放方式如下： 的顶点在的边上滑动（点不与、点重合），点、的位置会随点的滑动而改变，且保持边始终经过点． …… 【探究】根据以上描述，解决下列问题． (1)结合图2，嘉嘉写出了如下思考过程，其中①处应填______，②处应填______； 根据菱形的性质可知，， ， ① ， ， ② ． (2)在图3的基础上， ①尺规作图：过点作，交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； ②淇淇说：“与相等．”你同意淇淇的说法吗？说明理由． 【答案】(1)（表示方法不唯一），； (2)①见解析；②我同意淇淇的说法，理由见解析 【解析】（1）解：根据菱形的性质可知，， ，， ，．） 故答案为：（表示方法不唯一），； （2）解：①尺规作图如下， ②我同意淇淇的说法， 理由：根据菱形的性质可知，， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $