21.3.2 菱形(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（人教版2024）

四边形 第二十一章 21.3.2菱形（第二课时) 知识梳理@形成联系 【知识点】菱形的判定 ©有一组邻边 的平行四边形叫作菱形.（定义） ©对角线 的平行四边形是菱形 O 的四边形是菱形 1.如图21.3-15，平行四边形ABCD对角线AC,BD交于点O,请添加一个条件，使得 平行四边形ABCD是菱形() A.AB=AC B.ACLBD C.AB=CD D.AC=BD 图21.3-15 图21.3-16 2.生产某种机器零件时，工人师傅要判断一个四边形模具是否为菱形，以下测量方案中 正确的是（) A.测量四条边是否相等 B.测量一组邻边是否相等 C.测量对角线是否垂直 D.测量对角线是否互相平分 3.如图21.3-16，AB=6cm,分别以点A,B为圆心，5cm长为半径画弧，两弧相交于 M,N两点.连接AM,BM,AN,BN,则四边形AMBN的面积为 cm2. 例题点拨Q素养导向 多修多多 【例1】如图21.3-17，C,D分别是射线OA,OB上的点，OC=OD, 分别以点C,D为圆心，OC长为半径作弧，两弧交于点E.连接CE, DE,CD,OE,CD与OE交于点F.若CD=4,四边形OCED的面积为 8V3,则OD的长为() 图21.3-17 A.2V3 B.4 C.4V3 D.8 【点拨】证明四边形OCED是菱形，得出CD⊥OE,CF=DF,求出OF=2V√3，由勾股定 理可得出答案. 0 数学 八年级下册（人教版） 【例2】如图21.3-18，在四边形ABCD中，AB∥DC,AB= AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥ 0 AB,交AB的延长线于点E,连接OE. (1)求证：四边形ABCD是菱形. B (2)若AB=5,BD=6,求OE的长 图21.3-18 【点拨】(1)根据题意先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可得平行四边 形ABCD是菱形.(2)根据菱形的性质得出OB的长以及∠AOB=90°，利用勾股定理求出OA 的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出OE=】AC,即可解答。 夯实四基飞达标闯关 1.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,添加一个条件，使得平行四 边形ABCD是菱形，则下列选项不符合题意的是() A.AC=BD 0 B.AC⊥BD C.AB=BC 第1题图 D.∠ABD=∠CBD 四边形 第二十一章 2.下列说法正确的是() A.有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.有一个角是直角的平行四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 3.如图，已知∠A,按以下步骤作图，如图1至图3. (1)以点A为圆心，任意长为(2)分别以点B,D为圆心，(3)分别连接DC,BC 半径作弧，与∠A的两边分别交AD长为半径作弧，两弧相交于 于点B,D 点C B 图1 图2 图3 则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是() A.一组邻边相等的平行四边形是菱形 B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.四条边相等的四边形是菱形 4.如图，四边形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°，AB=AD,连接BD,∠BAD的平分线分 别交BD,BC于点O,E,若EC=3,CD=4,则BO的长为() A.4 B.3V3 civ3 D.2V5 第4题图 第5题图 5.如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD,若AB=2, ∠A=120°，则B,D两点之间的距离为 73 口数学 八年级下册（人教版） 6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D,E分别是边BC,AC的中点，连接ED并 延长到点F,使DF=ED,连接BE,BF,CF,AD. (1)求证：四边形BFCE是菱形. (2)若BC=6,EF=3,求AD的长. 第6题图 7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点，以BC,CD为一组邻边作平行 四边形BCDE,ED与AB交于点O,连接AE,BD (1)求证：四边形AEBD是菱形， (2)若BC=4V3,∠EAD=120°，求菱形AEBD的面积. 第7题图 西 四边形 第二十一章 能力提升综合拓展 8.如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B,C两点不重合），过点D作DE∥ AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点，连接AD.下列条件能判定四边形AEDF是菱 形的是() A.AD⊥BC B.AD为BC边上的中线 C.AD=BD D.AD平分∠BAC 第8题图 第9题图 9.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD,且对角线AC= 8,BD=6,则纸条的宽度是() A.9.6 B.5 C.4.8 D.2.4 10.如图1，AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C,BD平分∠ABC,且交AE于点 D,连接CD, (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)如图2，若DM⊥BF交BF于点M,且AC=6,OM=4,求AB的长. 图1 图2 第10题图 口数学 八年级下册（人教版） 11.用四根一样长的木棍搭成菱形ABCD,点P是线段DC上的动点（点P不与点D和 点C重合)，在射线BP上取一点M,连接DM,CM,使∠CDM=∠CBP. (1)如图1，调整菱形ABCD,使∠A=90°，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上取 一点N,使BN=DM,连接CN,则∠BMC=一，MN MC (2)如图2，调整菱形ABCD,使∠A=120°，当点M在菱形ABCD外时，在射线BP上 取一点N,使BN=DM,连接CN,探索MC与MN的数量关系，并说明理由. 图1 图2 第11题图 中考链接©真题演练 12.(2025·湖南)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互 相垂直平分，AB=3,则四边形ABCD的周长为() A.6 B.9 C.12 D.18 13.(2025·大庆)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,对角线 D AC与BD相交于点O.点B、点D关于AC所在直线对称. 第12题图 (1)求证：四边形ABCD是菱形. (2)过点D作BC的垂线交BC延长线于点E.若CE=3,AD=5,求线段OC的长. 第13题图 0参考答案 12.513.V13 平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD,.∠BCA=∠BAC, 21.3.2菱形（第二课时） △BAC是等腰三角形，.AB=CB.:∠CBD=∠ABD= 【知识点】相等互相垂直四条边相等 ∠BDA,.△ABD也是等腰三角形，AB=AD,DA= 1.B2.A3.24 CB.BC∥DA,.四边形ABCD是平行四边形.ACL 【例1】B BD,.四边形ABCD是菱形 【例2】(1)证明：AB∥CD,.∠CAB= (2)解：DM⊥BC,.∠DMB=90°.：四边形 ∠DCA.MC为∠DAB的平分线，.∠CAB= ABCD是菱形，：B0=D0,BD=20M=8,B0=号BD= ∠DAC,∴.∠DCA=∠DAC,∴.CD=AD.AB=AD, 4.AC=6,A0=}AC=3,AB=VA0+0B=5. AB=CD.AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四 2 边形.AD=AB,∴口ABCD是菱形. 11.解：(1).在菱形ABCD中，∠A=90°，.AD∥ (2)解：四边形ABCD是菱形，对角线 BC,AB∥CD,∴.∠ADC=90°，·BC=CD,∠BCD=90°. AC,BD交于点0，AC1BD,01-0C=AC, BC=DC. 在△BCN和△DCM中， ∠CBN=∠CDM,.·.△BCN≌ BN=DM, 0B=-0D=号BD.0B=号BD=3.在R△A0B中， △DCM(SAS),∴∠BCN=∠DCM,CN=CM.·∠BCN+ ∠A0B=90°，∴.0A=VAB-0B=V5-3=4. ∠DCN=∠BCD=90°，.∠DCM+∠DCN=∠MCN=90°， .CE⊥AB,∠AEC=90°.在Rt△AEC中，∠AEC= ∴.△MCN是等腰直角三角形，∴.∠CMN=45°，MN= 90,0为AC中点，0E=24C=0A=4 V2CM,.∠BMC=45°， 票号，答案为4 2 1.A2.A3.D4.D5.2V3 2 6.(I)证明：点D是BC的中点，BD=CD. (2)MN=V3MC.理由如下：：四边形ABCD是 DF=ED,.四边形BFCE是平行四边形.·点D,E 菱形，∠A=120°，.BC=CD,∠BCD=∠A=120°.在 分别是边BC,AC的中点，.DE是△ABC的中位线， BC=DC. DE∥AB,∴.∠CDE=∠ABC=90°，即DE⊥BC,∴.四 △BCN和△DCM中，∠CBN=∠CDM,.△BCN≌ 边形BFCE是菱形. BN-DM. (2)解：BC=6,EF=3,BD=1BC=3,ED= 2 △DCM(SAS),∴.∠BCN=∠DCM,CN=CM.∠BCN+ 号EF=号DE是△ABC的中位线，AB-2DE=3, ∠DCN=∠BCD=120°，∴.∠DCM+∠DCN=∠MCWN=120. .CM=CN,∴.∠CMN=∠CNM,∴.∠CMN=∠CNM= :AD=VAB+BD=3V2」 180°-LMCN=30°.如图，作 2 7.(1)证明：在△ABC中，∠ABC=90°，点D为 CE⊥BP交BP于点E,则 AC的中点，AD=B0=CDAC~四边形BCDE是平 ME=NE,∠CEM=90°.在 行四边形，BE=CD,BE∥CD,∴BE=AD,BE∥AD, Rt△CEM中，∠CME=30°， .四边形AEBD是平行四边形.AD=BD,.四边形 ∠CEM-90°，.CE=1CM, 第11题答图 2 AEBD是菱形. (2)解：BC=4V3,四边形BCDE是平行四边 EM-VCP-CE-VCR-(CM -CM.MN- 形，DE=BC=4V3.四边形AEBD是菱形，AB1 2EM=2xV3_CM=V3 CM. DB,0E=3DE-2V3,∠EA0=号∠DAE=-60,: 2 12.C ∠AE0=30°，.AE=2A0.AE=A0P+0E,(2A0)2= 13.(1)证明：点B、点D关于AC所在直线对 40+2V5只A0=2,1B=4,Se=7AB 称，BD⊥AC,B0=DO,AB∥CD,.∠ABO= ∠ABO=∠CDO. DE=号×44V3=8V3. ∠CD0,在△AB0和△CDO中， BO=DO. 8.D9.C ∠AOB=∠COD, 10.(1)证明：AE∥BF,.∠BCA=∠CAD.AC △ABO≌△CDO(ASA),AB=CD.又AB∥CD, 数学 八年级下册（人教版） 四边形ABCD是平行四边形.又，BD⊥AC,.四边形 BC=CD, ABCD是菱形 BC=CD,∠BCE=∠DCE=45°.∠BCE=LDCE=45°， (2)解：由(1)，得四边形ABCD是菱形，OC= EC=EC, ∴.△EBC≌△EDC(SAS). 0A=AC,AD=BC=CD=5,BE=BC+CE=5+3-8. (2)解：·.CE=BC,且∠ACB=45°，.∠EBC= DE⊥BC,∴.∠DEB=90°.在Rt△CED中，由勾股定 ∠BEC=67.5°.：AD∥BC,∴∠AFB=∠FBC=67.5°.： 理，得DE=VCD-CE区=V52-3=4.在Rt△BED中， ∠EFD+∠AFB=180°，∴.∠EFD=112.5°. 由勾股定理，得BD=VBE+DE=V82+4=4V5, 10.(1)证明：四边形ABCD是正方形，BC= CD,∠BCD=∠DCF-=90°.又CE=CF,.△BCE≌ S装eA=DB:BC,S表后Aa=之AC~BD=OC~BD,DB △DCF(SAS). BC-0C.BD,:0C-DE-BC=-4X5-=V5. (2)解：BC+DF=9,.CD+DF=9.在Rt△DCF中， BD 4V5 DF=DC+CF,.(9-CD)2-CDP+32,.CD=4,S正方形AB斤 21.3.3正方形 6 【知识点1】邻边直角 山含 【知识点2】相等直角垂直平分相等 12.(1)证明：在正方形ABCD中，AB=CD, 1.D2.B3.22.5° AB∥CD,BE=DF,∴AB-BE=CD-DF,AE=CF 【知识点3】相等直角 AB∥CD,.四边形AECF是平行四边形 【例1】C (2)解：过点E作EH⊥CD于 4 【例2】(1)证明：过点E作H⊥AC交 点H,如图所示，∴.∠EHC=∠EHF= AB于点H,如图所示.：四边形ABCD为正方 90°.四边形ABCD是正方形，BC= 形，.∠BAD=90,∠BAC=∠DAC=45°，∴∠FAB=12,∴AB=BC=CD=AD=12,∠B= B 90°，△AEH为等腰直角三角形，∴∠FAE= ∠BCD=90°，∴∠EHC=∠B=∠BCD=第12题答图 ∠FAB+∠BAC=135°，AE=HE、∠EHA=∠BAC=!90°，∴.四边形EBCH是矩形，∴.EH=BC=12,CH=BE= 45°，，∴.∠BHE=180°-∠EHA=180°-45°=135°， 5,∴.DH=CD-CH=12-5=7.BE=DF=5,∴.HF=DH-DF= .∠FAE=∠BHE=135°.在△AFE和△HBE中， 7-5=2.在Rt△EFH中，由勾股定理，得EF= ∠AFE=∠ABE, VEH+HF=V12+2=2V37. ∠FAE=∠BHE,∴.△AFE≌△HBE(AAS), 13.①②（或①③） AE=HE, 14.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，AB= ∴EF=EB. CB,∠ABD=∠CBD.又BE=BE,.△ABE≌△CBE (SAS). (2)解：四边形ABCD是正方形，.∠BAD= 90°，∠ADB=45°.DE=DA,.∠DAE=∠DEA, ∠DAE+∠DEA+∠ADE=180°，∴.∠DAE=∠DEA=67.5°， ∴.∠BAE=∠BAD-∠DAE=22.5. 第二十二章函 数 例2题答图 22.1函数的概念（第一课时)】 【知识点】常量变量C (2)解：AB,AE,AF的数量关系是AB 【例】B V2AE+4F证明如下：由(1)可知，△AFE≌ 1.A2.C3.m4.D5.B6.C △HBE,△AEH为等腰直角三角形，AF=HB, 22.1函数的概念（第二课时)】 AH=VAE+HE=V2 AE,.AB =AH +HB 【知识点】自变量函数函数值A V2AE+AF 【例】解：(1)根据题意，得y=3x+2 1.C2.B3.B4.D5.D (2)当x=7.8时，y=3×7.8+2=254,∴.总费用 6.37.135°8.31V2 为25.4元 9.(I)证明：四边形ABCD是正方形，AD∥BC, (3)当y=30.8时，30.8=3x+2,x=9.6,∴.邮