高频考点03平面直角坐标系与函数（专项训练）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以考向解密为引领，构建“知识整合-妙法指津-分层闯关”三阶训练体系，聚焦坐标系与函数核心考点，提炼解题技巧与易错提醒，培养数学思维与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |高频考点|5大考点+21道预测题|含易错提醒（如象限符号、k几何意义）、解题思维（区间最值模板、左加右减口诀）|从坐标系基础到一次/二次/反比例函数，再到函数与几何综合，层层递进| |好题速递|8道名校模拟+10道中考闯关题|分层训练，融合跨学科情境（如物理压强、运动轨迹）|对接中考命题趋势，强化综合应用与数学语言表达|

高频考点03 坐标系与函数 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（5大命题点+21道中考预测题，） 考点一 平面直角坐标系 命题点1直角坐标系中点的坐标 命题点2判断点所在的象限 命题点3已知象限求参数 命题点4平面直角坐标系与图形综合 命题点5点规律探究 中考预测题5道 考点二 一次函数及应用 命题点1函数的基本概念 命题点2从函数的图像获取信息 命题点3一次函数的定义 命题点4一次函数的图像 命题点5一次函数与方程不等式 命题点6一次函数的应用 中考预测题4道 考点三 二次函数及应用 命题点1二次函数的图像与性质 命题点2二次函数性质的综合题 命题点3二次函数图像与系数的关系 命题点4二次函数的图像判断 命题点5二次函数与方程不等式 命题点6二次函数的应用 中考预测题4道 考点四 反比例函数及应用 命题点1反比例函数的定义 命题点2反比例函数图像判断 命题点3反比例函数的性质 命题点4反比例系数K的意义 命题点5反比例函数的应用 命题点6反比例函数与一次函数综合 命题点7反比例函数与一次函数综合应用 中考预测题4道 考点五 函数与几何综合 命题点1一次函数与几何综合 命题点2二次函数与几何综合 命题点3反比例函数与几何综合 中考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+10道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 平面直角坐标系 1. 点的坐标、象限符号判断2. 点平移、对称、旋转坐标变换3. 点到坐标轴距离、线段长度计算4. 网格中坐标求值、面积计算5. 确定位置、动点基础坐标表示 1. 题型：选择、填空基础题为主，难度低2. 必考坐标对称、平移变换，是所有函数打底知识3. 常结合网格图形、简单几何面积出题4. 不单独出大题，多作为函数、几何综合题前置条件 一次函数及应用 1. 求解析式（待定系数法）2. 图像性质：增减性、k、b 符号意义3. 与坐标轴交点、两直线交点计算4. 一次函数与方程、不等式结合5. 实际应用：行程、利润、方案选择、分段计费6. 简单几何结合求值 1. 基础必考，选择填空 + 解答小大题全覆盖2. 浙江偏爱分段一次函数实际应用题3. 常考：利用图像解方程组、解不等式4. 难度偏基础，侧重计算与图像读图能力5. 压轴题第一小问常考一次函数打底 反比例函数及应用 1. 求反比例解析式​2. k 的几何意义（矩形、三角形面积）3. 图像分布、增减性、取值范围4. 与一次函数交点问题5. 比较函数值大小、自变量范围6. 反比例与几何图形结合 1. 浙江中考高频中档考点，填空、选择、解答均考2. k 几何意义是必考热点，面积题出题极多3. 最爱考：正反比例联立求交点、求面积4. 侧重数形结合，侧重图像分析5. 难度中等，区分基础生与中等生 二次函数及应用 1. 三种解析式互化（一般式、顶点式、交点式）2. 开口、对称轴、顶点、最值、增减性3. 与坐标轴交点、判别式综合运用4. 图像平移、对称变换5. 实际应用：最大利润、最大面积、拱桥抛射6. 二次函数与一元二次方程、不等式综合 1. 浙江中考核心大题、压轴主力2. 必考解答大题，分值占比高3. 必考最值问题、图像平移、区间最值4. 应用题常考销售利润、几何面积最值5. 题型梯度明显：基础求式→性质判断→区间最值→含参范围 函数与几何综合 1. 函数图像上动点存在性问题2. 直角三角形、等腰三角形、平行四边形存在性3. 线段最值、周长最值、面积最值4. 相似三角形、角度相等综合题5. 含参函数范围、定点定值问题6. 多函数混合压轴大题 1. 浙江中考数学压轴必考题型，位于最后一题2. 主流考法：二次函数 + 平面几何组合3. 高频考点：动点、存在性、最值三大类4. 综合性极强，融合方程、不等式、几何性质5. 分层设问：前两问基础拿分，最后一问拉分6. 重视分类讨论、数形结合、坐标法解题思想 考点一 平面直角坐标系 《解题指南》 易错提醒： •象限符号记错：二、四象限符号最容易写反；坐标轴上的点不属于任何象限，经常忽略。 •距离概念混淆：点P(x,y)到x轴距离是｜y｜，到y轴距离是｜x｜，绝大多数学生写反。 •对称变换出错：关于x轴对称：x不变、y变号；关于y轴对称：y不变、x变号；关于原点对称：x、y全变号。容易混淆顺序。 •平移口诀误用：左加右减（x）、上加下减（y）；很多学生左右平移搞反。 •网格面积易错：不规则图形直接硬算边长，不会割补法，漏算、多算面积。 命题点01 直角坐标系中点的坐标 【典例1】．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2026·浙江杭州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边在轴上，点在轴正半轴上，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例4】．（2026·浙江·模拟预测）七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为_________． 【典例5】．（2025·浙江杭州·二模）如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（    ）    A． B． C． D． 【典例6】．（2025·浙江杭州·一模）如图为冰壶比赛场地示意图，由以为圆心、半径分别为，，，的同心圆组成．三只冰壶的位置如图所示，，的延长线平分，冰壶分别表示为，，则冰壶可表示为（    ） A． B． C． D． 命题点02 判断点所在的象限 【典例1】．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例2】．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【典例3】．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例4】．（2025·浙江·三模）在平面直角坐标系中，点向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度后，得到点，则点位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【典例5】．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例6】．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限． 命题点03 已知象限求参数 【典例1】．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）已知点位于第三象限，则a的取值范围是________． 【典例2】．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 【典例3】．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是__________． 【典例4】．（2025·四川泸州·中考真题）若点在第一象限，则的取值范围是____________． 命题点04 平面直角坐标系与图形综合 【典例1】．（2025·四川雅安·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【典例2】．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线l：和直线m：，点的位置如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【典例4】．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 【典例5】．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 命题点05 坐标点的规律探究 【典例1】．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【典例3】．（2024·浙江·模拟预测）生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【典例4】．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为__________． 【典例5】．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 中考预测题 1.（如图，已知菱形的顶点，，点在轴的正半轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2.在平面直角坐标系中，的边长如图所示，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3.在平面直角坐标系中，若点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在y轴的右侧，则点P的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 4.在平面直角坐标系中，点，，直线与坐标轴平行，且．两位同学进行探究，小明发现：若，则三角形的面积为4；小丽发现：若，则点B一定在第四象限．请对两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都错误 D．小明、小丽都正确 5.如图，长方形的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点的坐标为，将长方形沿轴向右翻滚，经过1次翻滚，点对应点记为，经过2次翻滚，点对应点记为，…依次类推，经过2026次翻滚后点对应点的坐标为___________． 考点二 一次函数及应用 《解题指南》 易错提醒： •k、b含义理解错误：k决定增减性，b决定与y轴交点；k＞0递增、k＜0递减，极易记反。 •图像判断易错：分不清一次函数经过哪几个象限；忽略k、b正负组合。 •交点计算失误：求与坐标轴交点时，忘记令x=0或y=0；两直线交点不会联立方程组。 •函数不等式混淆：看图判断y₁＞y₂范围，经常看错图像上下位置，漏边界。 •段函数易错：分段计费、行程分段，忘记写自变量取值范围；分段点重复、遗漏。 应用题单位、取舍错误：方案选择不会比较最值，忽略实际整数限制 命题点01 函数的基本概念 【典例1】．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为 ，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 【典例3】．（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例4】．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【典例5】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是_____． 【典例6】．（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数的自变量的取值范围是______． 【典例7】．（2011·辽宁本溪·中考真题）函数中的自变量x的取值范围__________． 【典例8】．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ______． 【典例9】．（2025·浙江杭州·二模）在函数中，自变量的取值范围是___________． 命题点02 从函数图形获取信息 【典例1】．（2025·浙江湖州·一模）某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天24小时的气温变化情况．下列说法正确的是（   ）    A．正午12点时，该地气温最高 B．这一天早上6点之后，该地气温一直在升高 C．该地这一天只有一个时刻的气温达到 D．该地这一天的最高与最低气温差大约是 【典例2】．（2026·浙江杭州·一模）如图（1），在中，，矩形内嵌于．顶点F，G在边上，点D在边上，点E在边上．当矩形以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动（当G点与C点重合时停止运动）．设运动时间为x秒，矩形与重叠部分的面积为S．如图（2）为S关于x的函数图象，且经过点，．下列选项正确的是（   ） A． B．重叠部分面积的最大值为140 C． D．点在函数图象上 【典例3】．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【典例4】．（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（   ） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 【典例5】．（2026·浙江舟山·一模）在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度．配速是指运动时间与运动距离的比值（即每公里的运动耗时），单位通常为“分钟/公里”（），配速数值越高，代表运动速度越慢．小海参加了一场公里的健身跑活动，他的配速与已完成路程（单位：）之间的关系如图所示． (1)是关于的函数吗?请说明理由． (2)在、、三个位置中，运动速度最慢的是________． (3)若点，求小海完成公里健身跑的时间． 命题点03 一次函数的定义 【典例1】．（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【典例2】．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【典例3】．（2025·江苏苏州·中考真题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为________．（填一个符合要求的点的坐标即可） 【典例4】．（2025·上海普陀·三模）已知点在直线（b为常数）上，若的最小值为，则 ______． 【典例5】．（2026·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______． 命题点04一次函数的图像 【典例1】．（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·浙江杭州·一模）将直线沿轴向左平移个单位，则平移后的直线与轴交点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）把函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的图象的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 【典例4】．（2025·浙江温州·模拟预测）已知，，，均在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【典例5】．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【典例6】．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 命题点05 一次函数与方程不等式 【典例1】．（2026·浙江金华·二模）一次函数与的图象交于点，点的纵坐标为，则满足的的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【典例2】．（2026·浙江杭州·一模）已知一次函数与（是常数，）的图象的交点横坐标是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【典例3】．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 【典例4】．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为______． 【典例5】．（2026·浙江金华·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）经过点，． (1)当时，求该函数表达式； (2)若点，都在直线上，求的值； (3)当时，都有，求的取值范围． 命题点06 一次函数的应用 【典例1】．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【典例2】．（2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 【典例3】．（2025·浙江湖州·二模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义； (2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； (3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 【典例4】．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【典例5】．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【典例6】．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【典例7】．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 中考预测题 1.如图，一个函数的图象由线段，曲线，线段组成，其中点，，，，则此函数在的最小值是（    ） A． B． C． D． 2.在坐标平面内，把直线向下平移1个单位得到的直线表达式为（    ） A． B． C． D． 3.一次函数的图象经过点． (1)请你补充一个条件，求一次函数的解析式； (2)一次函数的图象不经过第四象限，设，求S的取值范围； (3)当时，试比较与的大小，并说明理由． 4.为庆祝某商场开业，商场推出两种购物方案：方案一，非会员购物所有商品价格可获得九折优惠，方案二：如交纳500元会员费成为该商场会员，则所有商品价格可获八五折优惠． (1)设（元）表示某商品价格，（元）表示购买该商品支出的金额，分别写出两种购物方案中关于的函数解析式； (2)若某人计划在该商场购买价格为元的苹果电脑一台，请分析选择哪种方案更省钱？ 考点三 二次函数及应用 《解题指南》 解题思维： •解析式择优思维：已知顶点→顶点式；已知与x轴两交点→交点式；普通三点→一般式。 •快速判断口诀：a看开口、b看对称轴、c看y轴交点；左同右异判断ab符号。 •区间最值模板：对称轴在区间内→顶点为最值；对称轴在区间外→端点取最值。 •平移变换思维：所有平移统一改成顶点式，只移动顶点，不改动a。 •实际应用固定模型：利润：单件利润×数量；面积：二次函数开口向下求最大值；抛物运动：顶点为最高点。 命题点01 二次函数的图像与性质 【典例1】．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 【典例4】．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【典例5】．（2025·浙江杭州·二模）对于二次函数．有下列四个结论：①它的对称轴是直线；②设，，则当时，有；③它的图象与轴的两个交点是和；④当时，．其中正确的结论的个数为（　　） A． B． C． D． 命题点02 二次函数的性质综合题 【典例1】．（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a是常数且） (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，y有最小值，求该二次函数的表达式； (3)已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围． 【典例2】．（2025·浙江台州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴． (1)求抛物线的对称轴．（用含的式子表示） (2)将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，形成图形．，为图形上的两点． ①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由． ②若对于，都有，直接写出的取值范围． 【典例3】．（2025·浙江杭州·三模）已知函数（为常数）． (1)若图象经过点，判断图象是否经过点，并请说明理由； (2)设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式； (3)若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． 【典例4】．（2025·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． (1)若抛物线经过点； ①求点B的坐标； ②当时，抛物线取得最大值为，求t的值； (2)已知点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），求a的取值范围． 【典例5】．（2025·浙江湖州·三模）已知抛物线的顶点坐标为． (1)求a，c的值，并写出函数表达式． (2)已知在该抛物线上． ①将点A向右平移6个单位后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标． ②若，时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 【典例6】．（2025·浙江温州·三模）已知二次函数的图象的对称轴是直线，并经过点． (1)求二次函数表达式； (2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（当在点的左侧），当时，求的值； (3)若，当时，二次函数的最大值是，求的值． 命题点03 二次函数图像与系数的关系 【典例1】．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·浙江绍兴·三模）如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例4】．（2026·浙江杭州·一模）已知抛物线（为常数，）的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，下列结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【典例5】．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 命题点04 二次函数图像的判断 【典例1】．（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·浙江·模拟预测）一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2022·贵州安顺·中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【典例4】．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 命题点05 二次函数与方程不等式 【典例1】．（24-25九年级上·浙江台州·期末）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解x可能的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2022九年级·浙江·专题练习）关于x的二次函数与x轴有两个交点，，关于x的方程有两个非零实数根， ，则下列关系式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·浙江宁波·模拟预测）关于二次函数（其中）有以下论述，正确的是（   ） 当时，对称轴为直线． 函数图象与轴必有两个不同的交点． 函数图象必过某一定点． A． B． C． D． 【典例4】．（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为_____． 【典例5】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 命题点06 二次函数的应用 【典例1】．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·浙江宁波·模拟预测）综合与实践 背景：当前排球渐渐走入初中生的学习和生活中，排球运动不仅能提升身体素质，还能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处． 排球的购买与售卖 素材1：为了能让学生日常锻炼“排球垫球”体育运动，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3550元．已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元． 素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个．经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个． 任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？ 任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时有最大利润？最大利润是多少？ 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】 小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． 任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】 如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 【典例4】．（2026·浙江杭州·一模）某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长，球网位于球台正中间，球网高，球网与原点O的水平距离为．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为，距离球台水平面的高度为． (1)求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； (2)请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网； (3)乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为．若最佳击球高度为，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离． 【典例5】．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线． 【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图． 设抛物线的表达式为． … … … … (1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式； (2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离； (3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米． 【典例6】．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【典例7】．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 中考预测题 1.已知二次函数 的部分对应值如表： x 0 2 3 y 0 3 3 0 下列说法：①抛物线开口向下；②对称轴为直线 ；③当 时，y随x增大而减小；④方程 的一个根为：，另一个根为 ．其中正确的有 （     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 关于抛物线（是常数），下列说法正确的是（    ） A．当时，抛物线的对称轴是 B．若此抛物线与轴只有一个公共点，则 C．若点，在抛物线上，则 D．无论m为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于 3.炮弹飞行的高低远近主要与炮弹发射初速度和发射角度有关，在忽略空气阻力、炮口与地面的高度等其他因素的前提下，发射的炮弹在飞行过程中距发射点的竖直高度（单位：百米）与水平距离（单位：百米）近似满足二次函数关系．某科研机构选择在一座小山前对新研制的火炮进行测试，如图，小山位于火炮正前方．山顶距炮口的水平距离为5百米，山高为2百米．（图中各点在同一平面内，火炮与山脚、居民区在同一水平线上，火炮底座高度忽略不计） (1)在某次测试中发现，当炮弹飞行的水平距离为12时，达到的最大高度为2.88；若以炮口为坐标原点，以火炮和山脚所在水平线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，则山顶的坐标是______，炮弹飞行轨迹的顶点坐标是______． (2)在（1）的条件下，请通过计算说明炮弹能否越过山顶； (3)通过调整发射角度改变炮弹飞行轨迹，设调整后炮弹的运行轨迹为抛物线（，，为常数，且），已知炮弹的最大杀伤半径为2百米，在山的另一侧距山顶的水平距离15百米的点处有居民区；若要求炮弹落点在山顶和居民区之间（既要越过山顶，又不影响居民区），求的取值范围． 4.已知二次函数． (1)若，求证：二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； (2)若二次函数的图象过点，，且． ①当时，求的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线右侧的部分沿直线l翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形W．若对于m的每一个值，直线与图形W总有三个不同的交点，求n的取值范围． 考点四 反比例函数及应用 《解题指南》 易错提醒： •增减性易错（最大坑）：反比例不能跨象限比较增减；必须强调：每一象限内单调变化。 •k几何意义记错：过双曲线上一点作坐标轴垂线，矩形面积=|k|，三角形面积=½｜k｜；学生经常不带绝对值、不乘½。 •图像分布判断错：k＞0一三象限；k＜0二四象限。 •正反比例联立易错：不会联立求交点；不会利用对称性判断两交点关于原点对称。 函数值比较大小乱：不画图、直接代数比较，正负混杂极易出错 命题点01 反比例函数的定义 【典例1】．（2025·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·浙江宁波·三模）若，两点均在函的图像上，且，则的值为（    ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【典例3】．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【典例4】．（2026·浙江杭州·一模）已知，在平面直角坐标系中，、是函数图象上的两点，且满足，若，则的取值范围是______． 【典例5】．（2025·浙江绍兴·三模）已知反比例函数的图象过点，，，且，，则___________ 命题点02 反比例函数图像的判断 【典例1】．（2025·浙江宁波·三模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【典例4】．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【典例5】．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 命题点03 反比例函数的性质 【典例1】．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【典例2】．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【典例3】．（2025·甘肃兰州·中考真题）若点与在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【典例4】．（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【典例5】．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【典例6】．（2025·浙江·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 命题点04 反比例系数k的意义 【典例1】．（2025·浙江·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数（常数）图象上，作轴于点C，轴于点D，过B作于点E，连接，，．则下列三角形中，与的面积一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，是矩形内的一点，连接，若图中阴影部分的面积为10，则为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【典例3】．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【典例4】．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【典例5】．（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数 图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为______． 【典例6】．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知矩形的面积为16，轴，是轴上的两个点，点分别在反比例函数，的图象上，则的值为______． 命题点05 反比例函数的应用 【典例1】．（2025·吉林长春·中考真题）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【典例2】．（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为_______________． 【典例3】．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 【典例4】．（2025·浙江杭州·模拟预测）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示．当时，气体的密度是_____． 【典例5】．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【典例6】．（2025·浙江·模拟预测）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 命题点06 反比例函数与一次函数综合 【典例1】．（2026·浙江温州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，则的取值范围是______． 【典例2】．（2026·浙江杭州·一模）一次函数与反比例函数（为常数，）的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围． 【典例3】．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求上述反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， (1)求和的值． (2)横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 【典例5】．（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 命题点07 反比例函数与一次函数综合的应用 【典例1】．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    【典例2】．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 【典例3】．（2025·浙江杭州·二模）小王家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： (1)当时，求水温与开机时间（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)若小王在通电开机后即外出散步，分钟后回家，要使得回家时饮水机内温度不低于，求t的取值范围． 【典例4】．（2025·浙江温州·二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，关于的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本） 【典例5】．（2025·浙江温州·二模）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求的值及曲线的函数表达式． (2)若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 中考预测题 1.在平面直角坐标系中，已知点，，若反比例函数的图象经过这两点，则的值为______． 2.已知点在反比例函数的图象上，则_____（填“”“”或“”）． 3.在平面直角坐标系中，点，，分别位于三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为_____． 4.我们约定：在平面直角坐标系中，已知点，若，则称该点为“完美点”．若某函数图象上至少存在一个“完美点”，就称该函数为“完美函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)下列函数中，是“完美函数”的有______；（填序号） ；；；． (2)点是反比例函数图象上的点，求该函数图象上的“完美点”的坐标； (3)设关于的函数的图象上有且只有一个“完美点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“完美点”，分别为点，点，其中点在点的左侧，且． 点的坐标为______； 求的值． 考点五 函数与几何综合 《解题指南》 易错提醒： •动点漏情况：等腰三角形、直角三角形、平行四边形存在性，经常少分类、漏点。 •坐标转化线段错误：不会利用坐标求边长、距离，正负号不处理。 •最值思路混乱：分不清将军饮马、铅垂高面积、周长最值、线段最值。 •相似三角形易错：对应顶点写反、比例式写反，浙江压轴最爱考相似。 •含参范围端点取舍：压轴题求参数范围，等号能不能取判断错误。 •计算量大、步骤乱：大题不设未知数、不整理式子，中途算错全盘崩盘。 命题点01 一次函数与几何综合 【典例1】．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于A，交y轴于B，C为x轴负半轴一点，的面积为30． (1)如图1，求直线BC的解析式； (2)如图2，D为OA上一点，E为射线BC上一点，，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，交x轴于F，G为DE上一点，，交BG的延长线于H，连接OE，若，ED平分，求点H的坐标． 【典例2】．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交直线于点，，．      (1)求直线的解析式． (2)点在第三象限的直线上，轴交直线于点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，直接写出自变量的取值范围． (3)在（2）的条件下，点在第四象限的的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转至（点的对应点为点），旋转角等于，直线交线段于点，连接，，，，的面积为8，求的面积． 【典例3】．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 【典例4】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 【典例5】．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 命题点02 二次函数与几何综合 【典例1】．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例2】．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【典例3】．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【典例4】．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点D，点F在y轴正半轴上，，连接，设点的横坐标为，线段的长的平方为d，求d与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (3)如图2，在（2）的条件下，过点作的平行线，对于任意的值，直线都经过点，点在线段上，连接，，若，，求点的坐标． 【典例5】．（2025·浙江杭州·模拟预测）抛物线经过原点O，交x轴正半轴于点A，顶点为． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，P为第四象限抛物线上一点，过点P作轴，垂足为B，点Q为第一象限抛物线上一点，连接PQ交x轴于点C，且，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，求n与m的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，连接，点R为线段上一点，若存在这样的点R，使为等边三角形，求PB的长． 【典例6】．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)如图1，求a的值； (2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接交x轴于点D，连接，设点P横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式； (3)如图3，在（2）的条件下，点E为第二象限内一点，且，连接、，若，，求的值． 命题点03 反比例函数与几何综合 【典例1】．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【典例2】．（2025·浙江丽水·二模）如图，以菱形的顶点O为原点，边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，，，过C点的反比例函数部分图像交于点D，则的值为_________． 【典例3】．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，点，在轴正半轴上（点在点的右边），，分别以，为边作等边三角形，反比例函数的图象经过中点，与边交于点．作轴于点轴于点．若阴影部分的面积等于，则的值为___________． 【典例4】．（2025·浙江温州·二模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴于点M，交线段于点C，连结．已知点A，B的横坐标分别为6，4．则的值为______． 【典例5】．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与反比例函数（为常数，的图象交于两点，且与轴正半轴交于点，点在反比例函数的图象上，若点是的中点，则的值为___________． 【典例6】．（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． “变换” 研究内容 提出概念 已知点．如果点满足，那么称点是点的“变换”点． 理解概念 已知点，，求点的“变换”点． 探究性质 如图（1），已知点和点，当时， ①请在图（1）中分别画出点、对应的“变换”点、； ②研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到，点是点的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹） 运用性质 如图（2），在平面直角坐标系中，菱形的顶点、、的坐标分别为，，，曲线是反比例函数（）图像的“变换”线，，交边于点、，直线、分别交边于点、，记、、、的面积分别为、、、，求的值． 中考预测题 1.如图，抛物线经过点，与轴的正半轴交于点，点是线段上的动点，过点作轴于点，交抛物线于点，点是此抛物线上的一动点． (1)若． ①求该抛物线的解析式； ②当时，比较与的大小，并说明理由； ③当点不与，重合时，连接，，，求的值； (2)若，，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． 2.如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点的坐标为，是抛物线上一点，是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的表达式及的值； (2)若点的坐标为，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)①如图2，当时，直接写出点的坐标：__________； ②如图3，当，，分别是，，的中点时，连接，，直接写出的最小值为__________． 3.如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点P为直线上的一动点，点是x轴上一点． (1)求点A和点B的坐标并判断的形状． (2)当点P的横坐标为3时，求的面积． (3)当的面积为10时，请直接写出点P的坐标． 好题速递 1.（2026·江苏扬州·一模）点，，在某个函数图象上，若，则满足条件的函数关系式可能是（   ） A． B． C． D． 2.（2026·河北沧州·一模）跨学科  根据物理学知识，当压力不变时，压强p（Pa）与受力面积S（）成反比例函数关系，当某重物与地面的接触面积为时，测得地面所受压强为，要使地面所受压强减小，则该重物与地面的接触面积应调整为（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级下·陕西渭南·期中）星座是一群位置相近的恒星的组合，人们用线条连接同一星座内的亮星，根据其形状以近似事物命名．如图是狮子座的示意图，建立平面直角坐标系，若恒星的坐标为，恒星的坐标为，则恒星的坐标为（   ） A． B． C． D． 4.（2026·山东潍坊·一模）给如图所示的无水泳池注水，泳池的前后侧面均为直角梯形，其余各面均为矩形．如果进水速度是均匀的，泳池内水（阴影区域）的高度h与时间t变化的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5.（2026·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当轴时，长的最大值为； ②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 6.（2026·江西抚州·二模）如图，点分别在反比例函数和反比例函数的图象上，的延长线交轴于点，连接，过点作，交反比例函数的图象于点，连接，已知点的纵坐标为轴且．    (1)求的值及点的坐标； (2)①求直线的解析式； ②求四边形的面积． 7.（2026·陕西安康·一模）如图，工人师傅建造一座外轮廓为抛物线型的拱门，按照设计要求：门框横梁部分，拱门底部宽度，且满足，．以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求出拱门所在抛物线的表达式． (2)工人师傅为了固定门框横梁，需要安装两个支架，支架，均与轴垂直，随着施工的进行，工人师傅还需增加支架，以此来维持拱门的稳定性，为了减少不必要的工作量，工人师傅将支架水平放置安装，且满足，轴，与此同时，还要使支架与拱门底部距离超过．结合题目已知，分析工人师傅的操作是否可行． 8.（2026·河北·二模）在某次无人机表演中，开场表演的两飞机的飞行图象如图所示，指挥机P从点处以的速度匀速向右飞行，表演机Q起飞后始终在指挥机P的正下方．表演机Q从点处起飞，以角沿直线飞行，段共用时，之后沿直线水平飞行，到点C后，在段做抛物线运动，其中C为抛物线顶点，其横坐标，D为表演机最终着陆点，段共用时． (1)求点B的坐标； (2)求段h关于s的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (3)直接写出表演机最终着陆点D的坐标，并求段h关于s的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (4)当P，Q两飞机的距离不大于m时，两飞机会发出避障警报，求本次表演发出避障警报的总时长． 中考闯关 1.如图1，将沿斜边上的中线CM裁开，使沿射线AB方向平移，记作，当它与重叠部分为五边形时，设平移距离为x，该五边形面积为y．时，图2为函数部分图象，抛物线经过原点，最高点为，且经过点，．下列说法正确的是（） A．点在函数图象上 B． C． D．自变量x的取值范围为 2.抛物线与x轴交于A、B两点，且．将抛物线沿y轴平移m个单位后，与线段（不含端点）一定有交点，则抛物线平移方式及m的取值范围是（   ） A．向上平移， B．向下平移， C．向上平移， D．向下平移， 3.如图1，在中，，E为边上一动点，作，交于点D，连接．记，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（   ）      A．当时，的长最小 B．的面积最大为 C． D． 4.如图，已知O为原点，点A的坐标为，在直线上找一点B，使，点C在双曲线上，，，则k的值为______． 5.已知二次函数（b常数）的图像与x轴交于点 (1)求二次函数的顶点坐标． (2)当时，求y的取值范围． (3)平行于y轴的直线l分别与直线和抛物线交于M，N两点．若平移直线l，可以使点M，N都在x轴上方，求m的取值范围． 6.已知一次函数（）经过、两点． (1)求该函数表达式． (2)求函数图象与坐标轴的交点坐标，并求出当时自变量的取值范围． (3)该一次函数图象上有不重合的两点，．若，化简求代数式． 7.在二次函数中． (1)已知该函数图象经过，求这个二次函数的表达式． (2)当时，该二次函数图象与轴有且只有一个交点，求的范围． (3)如果，在该二次函数图象上，且，求的范围． 8.图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为米，设小丽行走的时间为分钟．，与x之间的函数图象如图所示． (1)分别求出线段，所在直线的函数表达式． (2)求小明、小丽第二次相遇时的值． (3)当时，若，求的值． 9.如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在线段上运动，把线段绕点C沿顺时针方向旋转得线段，连接AD，作轴于点H． (1)当点C运动到时，求的长． (2)在（1）的条件下，求点D的坐标． (3)求的值． 10.近年来，便携式加湿器因体积小、操作简单等优点迅速成为上班族的宠儿．某代理根据市场需求，销售一种便携式加湿器，每台进价为20元．供应商规定，每台售价不低于36元，且销售利润不高于进价的．经市场销售后发现：该产品月销售量（台）与售价（元/台）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 售价（元/台） 36 38 40 42 月销售量（台） 4000 3800 3600 3400 (1)求关于的函数表达式． (2)当每台售价定为多少元时，商场每月销售这种家用加湿器获得的利润最大？最大利润为多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点03 坐标系与函数 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（5大命题点+21道中考预测题，） 考点一 平面直角坐标系 命题点1直角坐标系中点的坐标 命题点2判断点所在的象限 命题点3已知象限求参数 命题点4平面直角坐标系与图形综合 命题点5点规律探究 中考预测题5道 考点二 一次函数及应用 命题点1函数的基本概念 命题点2从函数的图像获取信息 命题点3一次函数的定义 命题点4一次函数的图像 命题点5一次函数与方程不等式 命题点6一次函数的应用 中考预测题4道 考点三 二次函数及应用 命题点1二次函数的图像与性质 命题点2二次函数性质的综合题 命题点3二次函数图像与系数的关系 命题点4二次函数的图像判断 命题点5二次函数与方程不等式 命题点6二次函数的应用 中考预测题4道 考点四 反比例函数及应用 命题点1反比例函数的定义 命题点2反比例函数图像判断 命题点3反比例函数的性质 命题点4反比例系数K的意义 命题点5反比例函数的应用 命题点6反比例函数与一次函数综合 命题点7反比例函数与一次函数综合应用 中考预测题4道 考点五 函数与几何综合 命题点1一次函数与几何综合 命题点2二次函数与几何综合 命题点3反比例函数与几何综合 中考预测题4道 04好题速递·分层闯关（精选8道最新名校模拟试题+10道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 平面直角坐标系 1. 点的坐标、象限符号判断2. 点平移、对称、旋转坐标变换3. 点到坐标轴距离、线段长度计算4. 网格中坐标求值、面积计算5. 确定位置、动点基础坐标表示 1. 题型：选择、填空基础题为主，难度低2. 必考坐标对称、平移变换，是所有函数打底知识3. 常结合网格图形、简单几何面积出题4. 不单独出大题，多作为函数、几何综合题前置条件 一次函数及应用 1. 求解析式（待定系数法）2. 图像性质：增减性、k、b 符号意义3. 与坐标轴交点、两直线交点计算4. 一次函数与方程、不等式结合5. 实际应用：行程、利润、方案选择、分段计费6. 简单几何结合求值 1. 基础必考，选择填空 + 解答小大题全覆盖2. 浙江偏爱分段一次函数实际应用题3. 常考：利用图像解方程组、解不等式4. 难度偏基础，侧重计算与图像读图能力5. 压轴题第一小问常考一次函数打底 反比例函数及应用 1. 求反比例解析式​2. k 的几何意义（矩形、三角形面积）3. 图像分布、增减性、取值范围4. 与一次函数交点问题5. 比较函数值大小、自变量范围6. 反比例与几何图形结合 1. 浙江中考高频中档考点，填空、选择、解答均考2. k 几何意义是必考热点，面积题出题极多3. 最爱考：正反比例联立求交点、求面积4. 侧重数形结合，侧重图像分析5. 难度中等，区分基础生与中等生 二次函数及应用 1. 三种解析式互化（一般式、顶点式、交点式）2. 开口、对称轴、顶点、最值、增减性3. 与坐标轴交点、判别式综合运用4. 图像平移、对称变换5. 实际应用：最大利润、最大面积、拱桥抛射6. 二次函数与一元二次方程、不等式综合 1. 浙江中考核心大题、压轴主力2. 必考解答大题，分值占比高3. 必考最值问题、图像平移、区间最值4. 应用题常考销售利润、几何面积最值5. 题型梯度明显：基础求式→性质判断→区间最值→含参范围 函数与几何综合 1. 函数图像上动点存在性问题2. 直角三角形、等腰三角形、平行四边形存在性3. 线段最值、周长最值、面积最值4. 相似三角形、角度相等综合题5. 含参函数范围、定点定值问题6. 多函数混合压轴大题 1. 浙江中考数学压轴必考题型，位于最后一题2. 主流考法：二次函数 + 平面几何组合3. 高频考点：动点、存在性、最值三大类4. 综合性极强，融合方程、不等式、几何性质5. 分层设问：前两问基础拿分，最后一问拉分6. 重视分类讨论、数形结合、坐标法解题思想 考点一 平面直角坐标系 《解题指南》 易错提醒： •象限符号记错：二、四象限符号最容易写反；坐标轴上的点不属于任何象限，经常忽略。 •距离概念混淆：点P(x,y)到x轴距离是｜y｜，到y轴距离是｜x｜，绝大多数学生写反。 •对称变换出错：关于x轴对称：x不变、y变号；关于y轴对称：y不变、x变号；关于原点对称：x、y全变号。容易混淆顺序。 •平移口诀误用：左加右减（x）、上加下减（y）；很多学生左右平移搞反。 •网格面积易错：不规则图形直接硬算边长，不会割补法，漏算、多算面积。 命题点01 直角坐标系中点的坐标 【典例1】．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 【典例2】．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键． 根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解． 【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 【典例3】．（2026·浙江杭州·一模）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的边在轴上，点在轴正半轴上，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于点，过点作于点，证明四边形为矩形，可求得，再推出，求得即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ，，， 四边形为矩形， ，， 正六边形， ，， ， ，， ， ． 【典例4】．（2026·浙江·模拟预测）七巧板是我国古代著名的益智玩具，由一个正方形分割成七块几何图形组成，现把正方形边长为的图1七巧板拼成“小天鹅”形状，并放置在图2所示的直角坐标系中，则最高点的坐标为_________． 【答案】 【分析】根据七巧板图形性质即可求解． 【详解】解：由图可知，正方形边长为， 所以最小三角形最长边为2，高为，平行四边形长边长为2，小正方形可由两个最小三角形拼成， 且点在负半轴， 则点的坐标为． 【典例5】．（2025·浙江杭州·二模）如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为，则学校的位置坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系， 根据小刚家的坐标位置建立直角坐标系，进而可求得小敏家的位置． 【详解】解：根据小刚家的位置坐标建立平面直角坐标系，    根据图形得学校的位置坐标为． 故选：C． 【典例6】．（2025·浙江杭州·一模）如图为冰壶比赛场地示意图，由以为圆心、半径分别为，，，的同心圆组成．三只冰壶的位置如图所示，，的延长线平分，冰壶分别表示为，，则冰壶可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标表示位置，理解坐标表示方法是关键． 如图所示，延长到点，则，点所在的角度为，所以，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长到点， ∴， ∴， ∴点所在的角度为， ∴， 故选：C ． 命题点02 判断点所在的象限 【典例1】．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 【详解】解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，   已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 【典例2】．（2025·贵州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（  ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据象限的划分方法，轴下方，轴右侧的区域为第四象限，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，点在第四象限； 故选D． 【典例3】．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 【典例4】．（2025·浙江·三模）在平面直角坐标系中，点向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度后，得到点，则点位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标平移的特征，根据左减右加，上加下减即可确定点平移后点的坐标，再根据各象限坐标的特征即可得出答案． 【详解】解：点向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度后，得到点，在第四象限， 故选：D． 【典例5】．（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点落在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，熟知每个象限内点的坐标特点是解题的关键：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 【详解】解：∵， ∴在平面直角坐标系中，点落在第二象限， 故选：B． 【典例6】．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第__________象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 命题点03 已知象限求参数 【典例1】．（2024九年级下·浙江金华·专题练习）已知点位于第三象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点位于第三象限， ∴ ∴ 故答案为： 【典例2】．（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解得， 故答案为： 【典例3】．（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 【典例4】．（2025·四川泸州·中考真题）若点在第一象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查象限内点的符号特征，解一元一次不等式．解题的关键是掌握坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据第一象限内点的坐标符号为，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 命题点04 平面直角坐标系与图形综合 【典例1】．（2025·四川雅安·中考真题）如图，平面直角坐标系中，点A在y轴上，点，点在x轴上，且，则m的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的三线合一性质，列方程求解即可． 【详解】解：，， ，， ，， ， ， 解得． 【典例2】．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点．若四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质，设，根据平行四边形对角线中点坐标相同列出方程求解即可． 【详解】解： 设， 由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴点D的坐标为； 故选：C． 【典例3】．（2024·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知直线l：和直线m：，点的位置如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据所给平面直角坐标系，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：根据所给图象可知， 点在直线l的左侧，且直线l为，所以． 点在直线m的上方，且直线m为，所以． 故选：C． 【典例4】．（2025·山东滨州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则______． 【答案】12 【分析】本题考查了直角三角形的斜边中线，勾股定理，中点坐标，求反比例函数解析式，利用数形结合的思想解决问题是关键．在中，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，利用勾股定理得到，则，再结合中点坐标公式，得到，根据反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出值． 【详解】解：在中，点C为的中点，， ， 点B的坐标为， ， ， ， 点C的坐标为，即， 反比例函数的图象经过点C， ， 故答案为：12． 【典例5】．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 命题点05 坐标点的规律探究 【典例1】．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，按这样的运动规律，经过第2025次运动后动点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，确定点的变化规律是解题关键．根据题意可得第n次运动后的点的横坐标为n，且纵坐标是1，0，2，0四个数一循环，即可求解． 【详解】解：根据题意，可得第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点， 由此发现，第n次运动后的点的横坐标为n，且纵坐标是1，0，2，0四个数一循环， ∵， ∴经过第2025次运动后，动点P的坐标是． 故选：D． 【典例2】．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 【典例3】．（2024·浙江·模拟预测）生活中很多图案都与斐波那契数列1，1，2，3，5，8，…相关，如图，在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90°的圆弧，得到一组螺旋线，若各点的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】此题考查了在平面直角坐标系中的点的坐标变化规律，解题的关键是找出每个点的坐标及运动规律，观察图象，找出图中每个点的运动轨迹与数组的变化规律，推出的坐标，即可解决问题； 【详解】解：观察发现：先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到；先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到； 先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到； 先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到； 先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到； 根据1，1，2，3，5，8，13，…的变化规律可知， 先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到； 故答案为 【典例4】．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）利用几何图形的变化可以制作出形态各异的图案．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为边作，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第1条弧；以为边，使，，再以为边作，使，，过点，，作弧，记作第2条弧……按此规律，第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，根据题意找出一般规律是解题的关键．分别求出，，，……得出，根据题意得出第2025条弧上与原点的距离最小的点为，求出，根据，，，，得出，然后求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：， ， ， ， …… ， ∵点，，作弧为第1条弧， 点，，作弧为第2条弧， ……， ∴组成第2025条弧， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点为， ∴， ∵，，，，……，, ∴12次操作循环一周， ∵， ∴， 过点作轴于点M，如图所示： ∴， ∴， ， ∴， ∴第2025条弧上与原点的距离最小的点的坐标为． 故答案为：． 【典例5】．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得，然后解直角三角形分别求出，，，得到规律，再根据规律计算即可. 【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 依次类推：； 则点G的坐标为； 故答案为：. 中考预测题 1.（如图，已知菱形的顶点，，点在轴的正半轴上，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点距离计算公式得到，由菱形的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：∵顶点O，A的坐标分别为，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 2.在平面直角坐标系中，的边长如图所示，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点D，先由等腰三角形三线合一的性质得，再由勾股定理求出，即可得点的坐标． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 由图可知，，， ∴， 在中，， ∴点的坐标为． 3.在平面直角坐标系中，若点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且点P在y轴的右侧，则点P的坐标是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】利用点到坐标轴的距离的意义，结合点的位置确定横纵坐标，即可得到点P的坐标．用到性质：点到轴的距离为，到轴的距离为，轴右侧的点横坐标为正． 【详解】解：∵点到轴的距离是，到轴的距离是 ∴，， ∴， ∵点在轴右侧 ∴点的横坐标为正，即 ∴点的坐标为或． 4.在平面直角坐标系中，点，，直线与坐标轴平行，且．两位同学进行探究，小明发现：若，则三角形的面积为4；小丽发现：若，则点B一定在第四象限．请对两位同学的发现作出评判（   ） A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确 C．小明、小丽都错误 D．小明、小丽都正确 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：平行于x轴或平行于y轴．因为，结合点A的坐标，所以可分别求出两种情况下点B的坐标．对于小明的结论，若，先确定符合条件的点B坐标，再利用三角形面积公式计算的面积，判断结论是否成立．对于小丽的结论，若，先确定符合条件的点B坐标，再判断点B所在象限，判断结论是否成立． 【详解】解：∵，直线与坐标轴平行，， ∴分两种情况列出所有可能的点坐标： 若轴，则，， 解得或， ∴或． 若轴：则，， 解得或， ∴或． 评判小明的结论（时，）： ∵， ∴同号， ∴符合条件的点为和： 当：，在直线上，原点到的距离为，． 当时，，在直线上，原点到的距离为2，． ∴小明的结论不完全正确． 评判小丽的结论（时，一定在第四象限）： ∵， ∴异号，符合条件的点为和， 两个点都满足横坐标正、纵坐标负，都在第四象限． ∴小丽的结论正确． 综上，小明错误，小丽正确． 5.如图，长方形的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点的坐标为，将长方形沿轴向右翻滚，经过1次翻滚，点对应点记为，经过2次翻滚，点对应点记为，…依次类推，经过2026次翻滚后点对应点的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为，依据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： ， 观察图形可知，经过4次翻滚后点进行了一次循环回到对应位置，， ∵长方形的周长为：， 每一次完整循环，相当于对应点的横坐标，纵坐标保持不变， ，即经过了次完整的循环后再向前翻滚次，是的对应点， ∴经过次翻滚后点对应点的坐标为，即． 考点二 一次函数及应用 《解题指南》 易错提醒： •k、b含义理解错误：k决定增减性，b决定与y轴交点；k＞0递增、k＜0递减，极易记反。 •图像判断易错：分不清一次函数经过哪几个象限；忽略k、b正负组合。 •交点计算失误：求与坐标轴交点时，忘记令x=0或y=0；两直线交点不会联立方程组。 •函数不等式混淆：看图判断y₁＞y₂范围，经常看错图像上下位置，漏边界。 •段函数易错：分段计费、行程分段，忘记写自变量取值范围；分段点重复、遗漏。 应用题单位、取舍错误：方案选择不会比较最值，忽略实际整数限制 命题点01 函数的基本概念 【典例1】．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为 ，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 【典例2】．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 【答案】B 【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果． 【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽， ∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快； 故选B． 【典例3】．（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，解题关键是依据“分母不为0”列不等式求解 ． 根据分母不等于0得到，求解即可． 【详解】解：∵函数的分母为． ∴当分母时，分式无意义， ∴． 解得， 故自变量的取值范围是， 故选：D． 【典例4】．（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】C 【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．将函数化简为 ，并设 ，则 ．根据给定条件建立方程组，解出 和 ，再代入 求值． 【详解】解：∵ ， 设 ，则 ， 当 时，，， ∴ ①； 当 时，，， ∴ ②． ② － ① 得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 代入①：， ∴ ． 当 时，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 计算： ． ∴ ， 故选：C． 【典例5】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 【典例6】．（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数的自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解一元一次不等式，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得到关于的一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 【典例7】．（2011·辽宁本溪·中考真题）函数中的自变量x的取值范围__________． 【答案】 【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：x-4≠0， 解得：x≠4． 故答案为x≠4． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 【典例8】．（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ______． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图像求自变量的取值范围 ．培养学生的数形结合能力 ．正确画出函数图像是解题的关键． 根据函数关系式画出函数的图像，观察函数的图像即可求得． 【详解】画出函数的图像如图： 由图像可以看出当时，， 当时，， ∴当时， 则的取值范围为或． 故答案为：或． 【典例9】．（2025·浙江杭州·二模）在函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件得出，解一元一次不等式即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故在函数中，自变量的取值范围是， 故答案为：． 命题点02 从函数图形获取信息 【典例1】．（2025·浙江湖州·一模）某地区某天的气温变化较大，如图表示该地区这天24小时的气温变化情况．下列说法正确的是（   ）    A．正午12点时，该地气温最高 B．这一天早上6点之后，该地气温一直在升高 C．该地这一天只有一个时刻的气温达到 D．该地这一天的最高与最低气温差大约是 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象的读图能力，正确根据图象的性质和数据进行分析，得出实际意义． 直接根据图象信息回答即可． 【详解】A．15点时，该地气温最高，故选项错误； B．这一天早上6点之后，该地气温先下降，然后再升高，然后在下降，故选项错误； C．该地这一天有两个时刻的气温达到，故选项错误； D．该地这一天的最高与最低气温差大约是，故选项正确． 故选：D． 【典例2】．（2026·浙江杭州·一模）如图（1），在中，，矩形内嵌于．顶点F，G在边上，点D在边上，点E在边上．当矩形以每秒1个单位长度的速度沿射线匀速运动（当G点与C点重合时停止运动）．设运动时间为x秒，矩形与重叠部分的面积为S．如图（2）为S关于x的函数图象，且经过点，．下列选项正确的是（   ） A． B．重叠部分面积的最大值为140 C． D．点在函数图象上 【答案】C 【分析】设矩形的长，宽，由及可知为等腰直角三角形，故 ，当时，矩形右侧超出的部分是直角边为x的等腰直角三角形，面积，结合图象点及转折点特征，可求出a，h的值，进而分段求出S与x的函数关系式，验证各选项． 【详解】解：设矩形的长，宽， ∵矩形内嵌于，，， ∴是等腰直角三角形，， 当时，矩形向右平移距离为x，右侧超出的部分是直角边为x的等腰直角三角形， ∴， 由图（2）知，当时，，且图象发生转折，说明此时F点运动到C点，即， ∴，解得， ∴，故A选项错误； 矩形面积最大值为，故B选项错误； 当时，F点已过C点，G点在C点左侧（G距C点距离为，且）， 重叠部分面积S等于右侧固定的等腰直角三角形面积（直角边为 10）加上左侧矩形面积， ∴， 当时，，故C选项正确； 当时，G点在C点左侧且距C点距离小于10，重叠部分为等腰直角三角形，直角边长为， ∴， 当时，，故D选项错误． 【典例3】．（2023·浙江绍兴·中考真题）已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】点在同一个函数图象上，可得N、P关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴得N、P关于y轴对称， ∴选项A、C错误， ∵在同一个函数图象上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴选项D错误，选项B正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了函数的图象．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 【典例4】．（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（   ） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 【答案】B 【分析】本题考查了从函数图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的函数图象是解题的关键．根据图像，逐项分析即可得出结论． 【详解】解：A. 第5天的种群数量在之间，选项说法错误，故不符合题意； B. 前3天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意； C. 第5天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意； D. 由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意； 故选：B． 【典例5】．（2026·浙江舟山·一模）在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度．配速是指运动时间与运动距离的比值（即每公里的运动耗时），单位通常为“分钟/公里”（），配速数值越高，代表运动速度越慢．小海参加了一场公里的健身跑活动，他的配速与已完成路程（单位：）之间的关系如图所示． (1)是关于的函数吗?请说明理由． (2)在、、三个位置中，运动速度最慢的是________． (3)若点，求小海完成公里健身跑的时间． 【答案】(1)是关于的函数，因为对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应． (2) (3)分钟 【分析】（1）根据函数的定义判断即可； （2）根据配速越高运动速度越慢判断即可； （3）根据配速乘以路程等于时间计算即可. 【详解】（1）答：是关于的函数，理由如下： ∵在配速与已完成路程之间的变化过程中，有两个变量且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应， ∴是关于的函数； （2）解：∵ ∴运动速度最慢的是； （3）解：∵， ∴小海完成公里健身跑的时间是分钟. 命题点03 一次函数的定义 【典例1】．（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 【典例2】．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 选项中只有3符合要求， 故选：A． 【典例3】．（2025·江苏苏州·中考真题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为________．（填一个符合要求的点的坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数图象上的点，根据一次函数上的点的横纵坐标满足函数解析式，可以令，求出函数值，进而得到点B的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点B的坐标可以为； 故答案为：（答案不唯一） 【典例4】．（2025·上海普陀·三模）已知点在直线（b为常数）上，若的最小值为，则 ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上的点，求二次函数的极值， 先将点的坐标代入关系式，可得，进而得，再根据二次函数的性质讨论极值即可． 【详解】解：因为点在直线上， 所以， 所以． 因为抛物线的开口向上， 所以当时，有最小值，即， 解得． 故答案为：． 【典例5】．（2026·浙江嘉兴·一模）在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______． 【答案】11 【分析】利用待定系数法求出直线的一次函数解析式，再将点的坐标代入解析式，即可求出的值. 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入得， ， 解得， 直线的解析式为， 点，，在同一条直线上，即点在直线上， 把代入得：， 的值为. 命题点04一次函数的图像 【典例1】．（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数，反比例函数的图象和性质是解题的关键；利用表格中x的增加值和y的减小值的特点，即可判断选项． 【详解】解：根据表格可知，x的值每增加1，y的值就减少2，则可判断是一次函数，且y随x的增大而减小， 故选：． 【典例2】．（2025·浙江杭州·一模）将直线沿轴向左平移个单位，则平移后的直线与轴交点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数平移的方向和距离，得出一次函数平移后的解析式，再求出平移后的解析式与轴的交点坐标． 【详解】解：直线沿轴向左平移个单位， 平移后的直线解析式为， 整理得：， 当时，可得：， 平移后的直线与轴的交点坐标是． 故选：A． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）把函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的图象的函数表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可． 【详解】解：将函数 的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度所得图象的函数表达式是． 故选：B． 【典例4】．（2025·浙江温州·模拟预测）已知，，，均在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象与点的关系，根据对称性和增减性，逐一判断即可．从图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴关于轴对称， ∵，，，， ∴在轴右侧，随着的增大而增大，故A，C选项不符合题意， ∵当从3增加到4时，增加1，从3增加到6时，增加3，， 即：变化率相同， 故，，应该在直线上，故B选项符合题意，D选项不符合题意； 故选B． 【典例5】．（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 【典例6】．（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 命题点05 一次函数与方程不等式 【典例1】．（2026·浙江金华·二模）一次函数与的图象交于点，点的纵坐标为，则满足的的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据与交点坐标的纵坐标，求出点的坐标，代入中，求出的解析式，再根据，列不等式方程组，即可求解． 【详解】∵与的图象交于点，点的纵坐标为， ∴将点的纵坐标为代入，解得：， ∴， 将代入，解得：， ∴， ∵， ∴，即 解得：， ∴当时，的取值范围是． 【典例2】．（2026·浙江杭州·一模）已知一次函数与（是常数，）的图象的交点横坐标是，则关于的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解，先根据交点横坐标求出交点纵坐标，得到交点坐标，即可确定方程组的解． 【详解】解：∵一次函数与的图象交点横坐标是， ∴把代入得， ∴两条直线的交点坐标为， ∵二元一次方程组可变形为， ∴方程组的解是． 【典例3】．（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 【典例4】．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组以及三角形的面积，通过解方程组，求出三条直线的交点坐标是解题的关键． 设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点，通过解方程组，可求出点，，的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出结论． 【详解】解：设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点， 联立直线，的解析式组成方程组得：， 解得：， 点的坐标为， 同理：点的坐标为，点的坐标为． 过点作轴于点，过点作轴于点，则，，如图所示， ， ， 直线，，围成三角形的面积为． 故答案为：． 【典例5】．（2026·浙江金华·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（为常数）经过点，． (1)当时，求该函数表达式； (2)若点，都在直线上，求的值； (3)当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先求出二次函数的对称轴为直线，再根据当时，点，关于对称轴对称，求出的值，即可求解； （2）先根据点，点都在直线上，求出的关系，得出点坐标，再将点、点代入二次函数即可求解； （3）先根据二次函数的系数，求出二次函数的增减性，在结合题意和数形结合进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线， ∵当时，点，关于对称轴对称， ∴， ∴该函数表达式为：； （2）解：∵点，点都在直线上， ∴， 由①②得：，即， ∴点坐标为： 将点，坐标代入函数表达式：， 解得：； （3）解：由题意可知：二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧，随的增大而增大，在对称轴的左侧，随的增大而减小， ①若和在对称轴右侧，随的增大而增大， ∵， ∴，与矛盾，不成立； ②若和在对称轴左侧，随的增大而减小， 若，在对称轴左侧，那么，有，与矛盾，不成立； 若，在对称轴右侧，那么，， 点关于对称轴的对称点坐标为，点关于对称轴的对称点坐标为， 只需满足：， 解得：． ③若和在对称轴左右两侧，点关于对称轴的对称点坐标为， 如图，要使时，都有，只需满足：， 解得：． ∴综上，的取值范围是． 命题点06 一次函数的应用 【典例1】．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为； (2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为； (3)货车出发或后，两车相距． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可； （3）利用待定系数法，分别求出当和时关于的函数关系式，分别将代入关系式，求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为； （2）解：根据“路程时间速度”，得， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为； （3）解：当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，得， 解得； 由图象得：在时，无法达到； 当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得， 解得， ， 当时，， 解得． 货车出发或后，两车相距． 【典例2】．（2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 【答案】(1)甲车的平均速度，乙车的平均速度 (2)直线的函数表达式 (3)乙车出发小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为 【分析】本题主要考查数形结合的一次函数的性质，解题的关键是熟悉读懂图形的意义． （1）根据题干可知A，B两地之间的距离为120，为乙车的函数关系，结合坐标点即可求得速度；点为甲车事前停留位置，结合距离即可求得速度； （2）根据题干求得点D和点E的坐标，利用待定系数法即可求得解析式； （3）利用待定系数法求得直线的函数表达式，联立求得交点即为相遇点，进一步求相遇时间和距离即可． 【详解】（1）解：由题意知A，B两地之间的距离为120， 为乙车的函数关系，则， 点为甲车事前停留位置，则， 故甲车的平均速度，乙车的平均速度； （2）解：由图可知点， ∵甲车途中有事保留了0.5小时． ∴点， 设直线的函数表达式，则 ， 解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：由图可知点，， 设直线的函数表达式，则 ，解得， ∴直线的函数表达式， 联立， 解得， 则乙车出发小时后两车相遇， 相遇时乙车离A地的距离为 ． 【典例3】．（2025·浙江湖州·二模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义； (2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； (3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 【答案】(1)，表示桐桐从地步行到地所用的时间 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）利用路程除以时间求出的值，根据点的位置，确定m的实际意义即可； （2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分桐桐往景点走，以及骑车往景点两部分，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 由题意和图象可知：m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间； （2）设， 由题意，图象经过点，即， 则：，解得：， ∴； （3）由图象可知：小兴的步行速度为：，由（2）可知：桐桐骑车速度为：， 当时，； 当时，，解得：； 综上：或． 【典例4】．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 【典例5】．（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【详解】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 【典例6】．（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 【典例7】．（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 中考预测题 1.如图，一个函数的图象由线段，曲线，线段组成，其中点，，，，则此函数在的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察图象，函数在的最低点是点， 则此函数在的最小值是． 2.在坐标平面内，把直线向下平移1个单位得到的直线表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把直线向下平移1个单位得到的直线表达式为． 3.一次函数的图象经过点． (1)请你补充一个条件，求一次函数的解析式； (2)一次函数的图象不经过第四象限，设，求S的取值范围； (3)当时，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)补充条件为：一次函数的图象经过点， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据题意补充条件，然后利用待定系数法求解； （2）首先表示出，然后得到，求出，进而求解即可； （3）首先得到，然后得到，然后利用作差法比较求解． 【详解】（1）解：补充条件为：一次函数的图象经过点 ∵一次函数的图象经过点 ∴ 解得 ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵一次函数的图象经过点 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵一次函数的图象不经过第四象限 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴S的取值范围为； （3）解：由（2）得， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 4.为庆祝某商场开业，商场推出两种购物方案：方案一，非会员购物所有商品价格可获得九折优惠，方案二：如交纳500元会员费成为该商场会员，则所有商品价格可获八五折优惠． (1)设（元）表示某商品价格，（元）表示购买该商品支出的金额，分别写出两种购物方案中关于的函数解析式； (2)若某人计划在该商场购买价格为元的苹果电脑一台，请分析选择哪种方案更省钱？ 【答案】(1)； (2)选择方案二更省钱 【分析】（1）根据两种购物方案的优惠规则，分别列出y关于x的函数解析式即可； （2）将商品价格分别代入两个函数，计算出两种方案的支出金额，比较大小即可判断哪种方案更省钱． 【详解】（1）解：根据题意，方案一为非会员购物所有商品九折优惠，因此支出金额y为：； 方案二为交纳500元会员费后所有商品八五折优惠，因此支出金额y为： ； （2）解：当时， 方案一：（元）. 方案二：（元）， ∵， ∴方案二支出更少，更省钱， 答：选择方案二更省钱． 考点三 二次函数及应用 《解题指南》 解题思维： •解析式择优思维：已知顶点→顶点式；已知与x轴两交点→交点式；普通三点→一般式。 •快速判断口诀：a看开口、b看对称轴、c看y轴交点；左同右异判断ab符号。 •区间最值模板：对称轴在区间内→顶点为最值；对称轴在区间外→端点取最值。 •平移变换思维：所有平移统一改成顶点式，只移动顶点，不改动a。 •实际应用固定模型：利润：单件利润×数量；面积：二次函数开口向下求最大值；抛物运动：顶点为最高点。 命题点01 二次函数的图像与性质 【典例1】．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 【典例2】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数顶点式的顶点坐标求法，掌握顶点式 的顶点坐标为 是解题关键． 根据二次函数的顶点式 的顶点坐标为 ，直接读取函数中的 和 值． 【详解】∵ 抛物线为 ，与顶点式 对比， 得 , ， ∴ 顶点坐标为 ， 故选： A． 【典例3】．（2025·陕西·中考真题）已知二次函数，当时，的值随值的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B．该函数图象的顶点位于第四象限 C．方程没有实数根 D．该函数的最大值不小于 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与x轴的交点问题，与y轴的交点问题，顶点坐标，根据当时，的值随值的增大而减小，得出，对称轴为直线，故，即，再分析函数图象的顶点，得出，又因为，故该函数图象的顶点位于第二象限或轴上，则该函数的最大值不小于，再分析，得出，即可作答． 【详解】解：∵二次函数，当时，的值随值的增大而减小， ∴，对称轴为直线， 则， ∵， 即， ∴， 故A选项不符合题意； 该函数图象的顶点为，即， ∵， ∵ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴该函数图象的顶点位于第二象限或轴上， 故B选项不符合题意； 当该函数图象的顶点位于轴上， 令，则， ∵ ∴该函数的最大值为， 当该函数图象的顶点位于第二象限， 此时该函数的最大值大于， 综上该函数的最大值不小于， 故D选项符合题意； 依题意，中的， ∵， ∴， 即 ∴方程有两个不相等的实数根 故C选项不符合题意； 故选：D 【典例4】．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 【典例5】．（2025·浙江杭州·二模）对于二次函数．有下列四个结论：①它的对称轴是直线；②设，，则当时，有；③它的图象与轴的两个交点是和；④当时，．其中正确的结论的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键，利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案． 【详解】解：， ∴它的对称轴是直线，故①正确； ∵对称轴两侧的增减性不一样， ∴设，则当时，有，故②错误； 当，则，解得：，故它的图象与x轴的两个交点是和，故③正确； ∵， ∴抛物线开口向下， ∵它的图象与x轴的两个交点是和， ∴当时，，故④正确． ∴正确的结论的个数为3， 故选：C． 命题点02 二次函数的性质综合题 【典例1】．（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a是常数且） (1)求二次函数的对称轴； (2)当时，y有最小值，求该二次函数的表达式； (3)已知点为二次函数图象上的两点，设，当，恒有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求解，还考查了函数性质的综合应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）利用二次函数对称轴公式求解即可； （2）由最小值条件解出a的值，得到函数表达式； （3）根据二次函数性质推导出的解集，求出t的范围即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴抛物线顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （2）解：∵二次函数，，对称轴， ∴在内离对称轴越远的点，函数值越小： ∵， ∴当时，取值最小值， ∴ 解得：， 此时函数为． （3）解：∵二次函数，，对称轴， ∴ 当时，函数y随x的增大而减小，的最大值为：当时，最大值为． 恒有，则有， ∴， ∵， ， 解得， ∵， ∴且， ∴． 【典例2】．（2025·浙江台州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作直线垂直于轴． (1)求抛物线的对称轴．（用含的式子表示） (2)将抛物线在轴右侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，形成图形．，为图形上的两点． ①当时，若，判断与的大小关系，并说明理由． ②若对于，都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，函数的增减性质，函数图象变换，分类讨论的数学思想，熟练掌握以上内容是解题关键． （1）直接按对称轴公式代数计算即可； （2）①当时，抛物线解析式为，画出图形的图象，根据图象性质即可解答； ②分、、三类画图讨论即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； （2）解：①，理由如下： 当时，抛物线解析式为，图形如图 1 所示： 此时若，故； ②当时，如图2所示： 此时翻折后的图象解析式为， 故当时，， 当时，， ∵，即， 解得， 即； 当时，显然对于，都有成立； 当时，对于，恒有成立； 综上，的取值范围为． 【典例3】．（2025·浙江杭州·三模）已知函数（为常数）． (1)若图象经过点，判断图象是否经过点，并请说明理由； (2)设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式； (3)若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为，求的值． 【答案】(1)经过，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解． （1）把点代入中，即可得到函数表达式，然后根据当时，，即可判断得解； （2）利用顶点坐标公式得到，，然后消去可得到与的关系式． （3）由抛物线不经过第三象限可得的取值范围，分别讨论与时为最大值求解． 【详解】（1）解：把点代入中， ． ． 此函数表达式为：， 当时，． 图象经过点． （2）解：抛物线函数为常数的顶点坐标是， ，． ， 把代入， ． 关于的函数解析式为． （3）解：由题意，把代入得， 抛物线不经过第三象限， ，即， ， 抛物线顶点， ， 当时，抛物线不经过第三象限， 解得， ，， 当时，函数最小值为， 把代入得， 把代入得， 当时， 不符合题意，舍去或． 当时， 或不符合题意，舍去． 综上所述，或． 【典例4】．（2025·浙江杭州·三模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A作轴，与抛物线交于点B． (1)若抛物线经过点； ①求点B的坐标； ②当时，抛物线取得最大值为，求t的值； (2)已知点，，若抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），求a的取值范围． 【答案】(1)①② (2)或 【分析】（1）①先求出，当时，即，可解得； ②先由，的抛物线开口向下，顶点坐标为，再分两种情况讨论求解即可； （2）求出抛物线的对称轴为，顶点为，再抛物线与线段有且只有一个交点，分两种情况讨论：当抛物线的顶点在线段上时，即：；当抛物线顶点落在上方时，当时，，当时，，进而得，由抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H），得与线段有且只有一个点，一定在对称轴右侧，进而得，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点 ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∵抛物线与轴交于点， ∴令，则， ∴点A坐标为， ∵过点作轴，与抛物线交于点 当时，即， 即 ∴，， ∴， ②∵ ∴抛物线开口向下，顶点坐标为 分以下两种情况讨论： Ⅰ．当时，在对称轴右侧，y随x增大而减小， ∴时，为最大值， 即 ∴ 解得（舍）或； Ⅱ．当时，则在中，时，y的最大值为，不合题意， 综上所述，t的值为； （2）解：依题意，抛物线 ∴抛物线的对称轴为，顶点为 ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H）， ∴分以下两种情况讨论： Ⅰ．当抛物线的顶点在线段上时 即： ∴ 解得 Ⅱ．当抛物线顶点落在上方时， 当时，， 当时，， ∵，对称轴为 ∴， ∵抛物线与线段有且只有一个交点（不含端点G、H）， ∴与线段有且只有一个交点，一定在对称轴右侧， ∴， 解得： 综上，a的取值范围是或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，抛物线与线段的交点，解不等式组，综合性强，正确的求出函数解析式，利用分类讨论的思想，进行求解是解题的关键． 【典例5】．（2025·浙江湖州·三模）已知抛物线的顶点坐标为． (1)求a，c的值，并写出函数表达式． (2)已知在该抛物线上． ①将点A向右平移6个单位后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标． ②若，时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 【答案】(1)，， (2)①；②m的值为或 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为可得，，求出a，c的值，即可得解； （2）①由坐标平移的性质可得，由点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线，求得，进而可得，代入二次函数的解析式计算即可得解；②由抛物线解析式可得该抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 分三种情况：当，即时，此时随着的增大而减小；当时，，且；当时，，且；分别利用二次函数的性质计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为． ∴，， ∴，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：①将点向右平移6个单位后得到点B， ∴， ∵点A与点B关于对称轴对称，且对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将代入抛物线解析式可得：， ∴， ∴； ②∵抛物线的表达式为； ∴该抛物线的开口向上，且对称轴为直线， 当，即时，此时随着的增大而减小， 当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， ∵该二次函数的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：或， ∵， ∴； 当时，，且， 此时，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， ∵该二次函数的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：或， ∵， ∴； 当时，，且， 此时，当时，取得最大值为，当时，取得最小值为， ∵该二次函数的最大值是最小值的2倍， ∴， 解得：或， ∵， ∴此种情况不成立； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【典例6】．（2025·浙江温州·三模）已知二次函数的图象的对称轴是直线，并经过点． (1)求二次函数表达式； (2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（当在点的左侧），当时，求的值； (3)若，当时，二次函数的最大值是，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键． （1）根据对称轴是直线和经过点，可列二元一次方程组，即可求得解析式； （2）设，则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，通过对称轴不变来解出，从而得出上移距离； （3）分和两种情况来讨论函数的最大值即可，注意求出的值和和得到的范围一致才是有解． 【详解】（1）解：由题意可得，， ， ； （2）解：由题意可得， 设， ， ， 把代入，得， ； （3）解：①当时，当时，， （舍） ②当时，当时，， ， ， 综上所述，． 命题点03 二次函数图像与系数的关系 【典例1】．（2025·四川德阳·中考真题）已知抛物线（a，b，c是常数，）过点，且，该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）．下列说法：①；②；③点是点A关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的性质及二次函数与一次函数的交点，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线与x轴的交点及开口方向确定系数符号，结合对称轴公式和交点坐标分析各结论的正确性即可． 【详解】解：∵抛物线过点和（）， ∴设抛物线为， ∴， ∴，， ∵且， ∴，， ∴，结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，结论②错误； 由题意，第一种情况，若， ∵对称轴直线， ∴对称点的横坐标为， ∴两点间的横向距离为， ∵， ∴，即， 第二种情况，若， ∵该抛物线与直线（k，c是常数，）相交于两点（点A在点B左侧）如图，     ∴，故结论③不正确； 当时，方程的根为和， 即， ∵， ∴不等式的解集为，结论④正确． 综上，正确结论为①④，共2个， 故选：B． 【典例2】．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 【典例3】．（2025·浙江绍兴·三模）如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】此题考查了二次函数的图象，二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的正负，正确理解二次函数的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质解答即可． 【详解】解：由图象可知，开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①不正确； ∵二次函数的图象经过点，， ∴对称轴为直线，， ∴，，故②正确； ∴当时，图象有最高点，即函数最大值为， ∴当时，， ∴，故③不正确； ∵对称轴为直线，开口向下， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而先增大后减小．故④不正确； ∴正确的为②，共1个， 故选：A． 【典例4】．（2026·浙江杭州·一模）已知抛物线（为常数，）的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，下列结论正确的是（　　） A．图象的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【分析】先根据抛物线与x轴交点在y轴两侧的条件，求出a的取值范围，再结合二次函数的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】首先对抛物线解析式配方： 由此可得，抛物线对称轴为直线，顶点坐标为. 当时，代入得. ∵抛物线与x轴的两个交点分别位于y轴两侧，∴与处的函数值异号，即. 解得. 对选项逐一判断： A. ∵，∴抛物线开口向上，A错误. B. ∵开口向上，对称轴为，∴当时随增大而增大，当时随增大而减小，B错误. C. ∵开口向上，顶点纵坐标为，∴函数的最小值为，不小于，C错误； D. 将代入解析式得：， ∵，∴，即，D正确． 【典例5】．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 命题点04 二次函数图像的判断 【典例1】．（24-25九年级下·辽宁阜新·阶段检测）一次函数与反比例函数的图象如图，则二次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为直线，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论． 【详解】解：一次函数图象过第一、二、四象限， ， ， 二次函数开口向下，二次函数对称轴在y轴右侧； 反比例函数的图象在第二、四象限， ， 二次函数的图象与y轴交点在x轴下方． 满足上述条件的函数图象只有选项A． 【典例2】．（2025·浙江·模拟预测）一次函数和二次函数（，，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图象，分别确定系数的符号，再作出判断． 对每个图象中的一次函数的图象确定，的符号，再对照二次函数得出，的符号比较是否一致，然后作出选择． 【详解】从选项A中的直线可知，，，抛物线开口向下，所以错误； 从选项B中的直线可知，，，抛物线对称轴在轴左侧，所以错误； 从选项C中的直线可知，，，抛物线开口向上，所以错误； 从选项D中的直线可知，，，抛物线开口向上，对称轴在轴右侧，所以正确． 故选：D． 【典例3】．（2022·贵州安顺·中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象、一次函数的图象以及反比例函数的图象与系数的关系． 根据二次函数图象得出，即可解答． 【详解】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴相交于负半轴， ∴， ∴一次函数经过一、三、四象限，反比例函数位于二、四象限， 故选：A． 【典例4】．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据一次函数的图象可以判断，，从而可以判断二次函数的图象的开口方向、对称轴以及与轴的交点，从而可以解答本题． 【详解】解：由一次函数的图象可得，， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，交轴于， ， 二次函数的图象与轴有两个交点， 故选：B． 命题点05 二次函数与方程不等式 【典例1】．（24-25九年级上·浙江台州·期末）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解x可能的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．利用二次函数和一元二次方程的关系求解即可． 【详解】解：观察表格，可知：当时 ，，当时，， ∴方程的一个解x可能的取值范围是． 故选：B． 【典例2】．（2022九年级·浙江·专题练习）关于x的二次函数与x轴有两个交点，，关于x的方程有两个非零实数根， ，则下列关系式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，先确定， 是直线与抛物线的交点的横坐标，再画出大致图象即可得到，最后推理判断即可． 【详解】解：的对称轴为直线，开口向下， ∵关于x的二次函数与x轴有两个交点，， ∴、是方程的两个不相等的实数根， ∴，， 当时，，整理得， ∵关于x的方程有两个非零实数根， ， ∴， 是直线与抛物线的交点的横坐标，， 的大致图象如下： 由函数图象可得，，故选项A正确，不合题意； ∵可能是正数也可能是负数， ∴与的大小不能确定，故选项B不正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项C正确，不合题意； ∵，， ∴， ∴，故D成立，不符合题意； 故选：B． 【典例3】．（2025·浙江宁波·模拟预测）关于二次函数（其中）有以下论述，正确的是（   ） 当时，对称轴为直线． 函数图象与轴必有两个不同的交点． 函数图象必过某一定点． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一判断即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线故正确； 令得，， 则， ∵， ∴， ∴函数图象与轴必有两个不同的交点，故正确； ∵， 由得，，， 由得，， 所以当时，， 即函数图象过定点，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 【典例4】．（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．将变形为，由一元二次方程根与系数的关系得到，，，代入即可求解． 【详解】解：二次函数与轴的交点的横坐标为、， 、为方程的两个根， ，， ． 故答案为：． 【典例5】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． 命题点06 二次函数的应用 【典例1】．（2026·浙江杭州·一模）如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 【典例2】．（2025·浙江宁波·模拟预测）综合与实践 背景：当前排球渐渐走入初中生的学习和生活中，排球运动不仅能提升身体素质，还能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处． 排球的购买与售卖 素材1：为了能让学生日常锻炼“排球垫球”体育运动，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3550元．已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元． 素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个．经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个． 任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？ 任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时有最大利润？最大利润是多少？ 【答案】任务1：购买一个甲品牌的排球需30元，购买一个乙品牌的排球需50元；任务2：当一个丙品牌的排球售价为33元时有最大利润，最大利润是845元 【分析】（1）设购买一个甲品牌排球需x元，则购买一个乙品牌排球需元，依据总的花费共3550元列方程求解即可； （2）设当一个丙品牌的排球降价y元时，其利润为w元，根据利润（售价进价）销量建立与之间的函数关系，最后利用函数的性质回答即可． 【详解】任务1：解：设购买一个甲品牌排球需x元，则购买一个乙品牌排球需元 根据题意，可列方程：， 解得：， 所以购买一个乙品牌的排球需（元） 答：购买一个甲品牌的排球需30元，购买一个乙品牌的排球需50元 任务2：解：设当一个丙品牌的排球降价y元时，其利润为w元 根据题意，得： ， 所以当，即售价为元时利润w有最大值，最大值为845． 答：当一个丙品牌的排球售价为33元时有最大利润，最大利润是845元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二次函数的顶点式，二次函数的性质及二次函数的最值的应用，根据实际问题建立方程模型和二次函数模型是解题的关键． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】 如图②，该小组把喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． 任务1：以水池中心点为原点，水平向右方向为轴正半轴，以喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】 小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． 任务2：若将喷出的水流的最高点向外平移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】 如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线最大高度与水平宽度的比接近黄金比，确定水流离喷水管最大水平距离为，喷水口的竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． 任务3：求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 【答案】任务1：，最大水平距离为；任务2：；任务3：，见解析 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．根据函数值的最大值求出函数的另一个值对应的x的取值，进而来判断的取值范围，是解决本题的难点． 任务1：设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为用待定系数法求解，再求出其与轴交点，再求解即可； 任务2：由将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变，可得优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为，设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为将代入，得，再求解即可； 任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为 将分别代入中，得，则有，解得，得，可得进一步优化后抛物线的函数表达式为 ，当时，，解得，求得接近黄金比，再求解即可． 【详解】解：任务1：由题可知，原喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 令，得， 解得（不符合题意，舍去）． 喷泉水流到喷水管的最大水平距离为 任务2：将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变， 优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 当时，， 优化后喷水口的竖直高度为； 任务3：设进一步优化后抛物线的函数表达式为 将分别代入中， 得 ①，②， ， ②①，得， 解得（负值已舍去）， 代入①，得， 进一步优化后抛物线的函数表达式为 ， 当时，， 解得， ， 接近黄金比0.618， 所设计的喷泉比较美观． 【典例4】．（2026·浙江杭州·一模）某校乒乓球社团用智能发球机开展训练，并用二次函数模型分析乒乓球的飞行轨迹．如图，以发球机出球口A在球台水平面的垂直投影O为坐标原点，球台长度方向为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系．已知标准乒乓球台总长，球网位于球台正中间，球网高，球网与原点O的水平距离为．发球机出球口A在y轴上，乒乓球的飞行轨迹为开口向下的抛物线；当时，球的飞行轨迹最高点与出球口A的水平距离为，距离球台水平面的高度为． (1)求乒乓球飞行轨迹对应的抛物线的函数表达式； (2)请通过计算判断，乒乓球此次飞行能否顺利越过球网； (3)乒乓球首次落台面后立即弹起，弹起后的轨迹与原抛物线形状完全相同，且弹起轨迹的最高点距离球台水平面的高度为．若最佳击球高度为，运动员想抢先台内击球（球弹起后第一次达到最佳击球高度），求此时击球点与原点O的水平距离． 【答案】(1) (2)乒乓球此次飞行能够顺利越过球网 (3)击球点与原点O的水平距离为 【分析】（1）根据题意设函数表达式为，将点代入即可求得结果； （2）将代入函数表达式进行判断即可； （3）先求出乒乓球在桌上的落球点坐标，再根据题意设平移后的，代入求出a的值，最后将代入即可求得结果． 【详解】（1）解：由题意知，设函数表达式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴． （2）解：当时，, ∴乒乓球此次飞行能够顺利越过球网． （3）解：对于函数， 当时，，， ∴乒乓球在桌上落球点坐标为， 由题意，弹起后的图象是由y向右平移a个单位，再向下平移0.25个单位得到， ∴， ∵过点， ∴，解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 当时， 解得，（球在桌外，不合题意舍去）， ∴击球点与原点O的水平距离为． 【典例5】．（2026·浙江杭州·模拟预测）【问题背景】投掷实心球是中考体育力量类项目之一，投掷出的实心球运动路线近似为抛物线． 【探索研究】小明利用设备对一次训练进行录像AI分析，因失误，未录下实心球落点位置，在下表记录了实心球的几组水平距离（单位：m）和竖直高度（单位：m）的对应值，并建立直角坐标系，画出了部分图象如图． 设抛物线的表达式为． … … … … (1)【建立模型】求出抛物线的函数表达式； (2)【分析计算】求小明该次训练投掷实心球的抛物线最高点的坐标和投掷的距离； (3)【模型应用】小明分析，若改进动作，微调方向和出手点，则实心球运动路线的抛物线表达式中二次项系数变为，顶点为，通过计算，判断改进动作后投掷实心球的距离能否超过10米． 【答案】(1) (2)，投掷的距离为米 (3)改进后投掷实心球的距离能超过10米 【分析】（1）由表格分析出对称轴和顶点坐标，再将一个点坐标代入求出的值即可； （2）由（1）可得顶点坐标，令求出对应的的值即可； （3）先根据题意写出新的函数表达式，再令求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：由表格可知，点和点的纵坐标相等， ∴抛物线的对称轴为直线， 结合表格可知，顶点坐标为， ∴，，， 将点代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由（1）可知，顶点坐标为，顶点即最高点， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∴小明该次投掷实心球的距离为9.8米； （3）解：根据题意，改进后，， 将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）． ∵， 又∵， ∴， ∴． 答：改进后投掷实心球的距离能超过10米． 【典例6】．（2025·山东德州·中考真题）综合与实践 【活动背景】 数学活动课上，老师提供了如下素材： 某窗户生产厂家要用一根长为的铝合金型材制作一个“日”字形窗户框架（如图），要求恰好用完整条铝合金型材（接缝及型材宽度忽略不计）． 【活动任务】 结合素材信息，运用所学数学知识，给出合理的窗户框架设计方案． 【方案一】 甲学习小组从美观角度出发，计划把窗户框架长宽之比设计为接近黄金分割比的．请帮助甲学习小组求出此时窗户框架的宽． 【方案二】 乙学习小组从实用角度出发，计划把窗户面积设计得尽可能大，从而使采光效果更好．请帮助乙学习小组求出窗户的最大面积． 【答案】（1）窗户框架的宽为； （2）该窗户框架的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【分析】此题考查的是二次函数在实际生活中的运用及求函数最值的方法，属较简单题目．解题的关键是用一个未知数表示出长和宽，利用面积公式来列出函数表达式后再求其最值． （1）依据题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为，由“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为，则，结合长宽之比为，可得，再将代入得，进而计算可以得解； （2）依据题意，设窗户框架的长为，则宽为，则，即，从而要使窗户框架的面积最大，则，进而可以判断得解． 【详解】解：（1）由题意，设窗户框架的宽（横向边长）为长（纵向边长）为， ∵“日”字形框架由3条横向边和2条纵向边组成，总型材长度为， ∴． ∵长宽之比为， ∴长为横向边，宽为纵向边，黄金分割比中长宽，故，即：． 将代入得，． ∴． 答：窗户框架的宽为． （2）由题意，设窗户框架的长为，则宽为， ∴，即， ∴要使窗户框架的面积最大，则，于是宽为． ∴当时，最大值为． ∴要使做成的窗户框架的面积最大，故该窗的分别为1米，米时，窗户框架的面积最大，最大值为． 【典例7】．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 中考预测题 1.已知二次函数 的部分对应值如表： x 0 2 3 y 0 3 3 0 下列说法：①抛物线开口向下；②对称轴为直线 ；③当 时，y随x增大而减小；④方程 的一个根为：，另一个根为 ．其中正确的有 （     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用对称点的性质求出对称轴，再结合二次函数性质逐一判断结论即可． 【详解】解：∵当时，当时，两点值相等， ∴对称轴为直线，故②正确； 由表格可知当时，随的增大而减小，故③正确； 再由表格可知当时，随的增大而增大， 则抛物线开口向下，故①正确； 由表格可知时，所以是方程的一个根， 由表格可知时，所以是方程的另一个根， 则方程 的一个根为：，另一个根为 ，故④正确． 综上，4个结论都正确． 2. 关于抛物线（是常数），下列说法正确的是（    ） A．当时，抛物线的对称轴是 B．若此抛物线与轴只有一个公共点，则 C．若点，在抛物线上，则 D．无论m为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于 【答案】D 【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，可得当时，抛物线的对称轴，可判断选项A；由“抛物线与轴只有一个公共点”，可得对应的一元二次方程的根的判别式等于零，可得，可判断选项B；抛物线开口向上，点离对称轴越远，纵坐标越大，比较点，到对称轴的距离，可判断选项C；由顶点式可得抛物线顶点在直线上,平行于直线，设与轴的交点分别为，由勾股定理可得，为等腰直角三角形，由等腰三角形的性质，结合直角三角形斜边中线的性质，可得，可判断选项D． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，抛物线的对称轴为直线， ∴选项A错误，不符合题意； ∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴一元二次方程的判别式， 解得， ∴选项B错误，不符合题意； ∵抛物线开口向上，点离对称轴越远，纵坐标越大， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，， ∴， ∴选项C错误，不符合题意； ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线顶点在直线上, ∵平行于直线， ∵设与轴的交点分别为， 当时，， 当时，， ∴，，则， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∵经过原点， 如图，过点作于点，则， ∴到的距离为， 即抛物线的顶点到直线的距离都等于， ∴无论为何值，抛物线的顶点到直线的距离都等于， ∴选项D正确，符合题意． 3.炮弹飞行的高低远近主要与炮弹发射初速度和发射角度有关，在忽略空气阻力、炮口与地面的高度等其他因素的前提下，发射的炮弹在飞行过程中距发射点的竖直高度（单位：百米）与水平距离（单位：百米）近似满足二次函数关系．某科研机构选择在一座小山前对新研制的火炮进行测试，如图，小山位于火炮正前方．山顶距炮口的水平距离为5百米，山高为2百米．（图中各点在同一平面内，火炮与山脚、居民区在同一水平线上，火炮底座高度忽略不计） (1)在某次测试中发现，当炮弹飞行的水平距离为12时，达到的最大高度为2.88；若以炮口为坐标原点，以火炮和山脚所在水平线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，则山顶的坐标是______，炮弹飞行轨迹的顶点坐标是______． (2)在（1）的条件下，请通过计算说明炮弹能否越过山顶； (3)通过调整发射角度改变炮弹飞行轨迹，设调整后炮弹的运行轨迹为抛物线（，，为常数，且），已知炮弹的最大杀伤半径为2百米，在山的另一侧距山顶的水平距离15百米的点处有居民区；若要求炮弹落点在山顶和居民区之间（既要越过山顶，又不影响居民区），求的取值范围． 【答案】(1)； (2)炮弹不能够越过山丘 (3) 【分析】（1）根据题意，找到相应点的位置，直接求解即可； （2）根据题意，设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为： ，再将代入，求得解析式，然后将代入求解即可； （3）抛物线解析式为：，求得抛物线解析式，根据题意可得，当时，，当时，，然后列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：由山顶距炮口的水平距离为5百米，山高为2百米可得山顶的坐标， 由当炮弹飞行的水平距离为12时，达到的最大高度为2.88可得炮弹飞行轨迹的顶点坐标， 故答案为：； （2）解：炮弹飞行的水平距离是12百米时，达到最大高度是2.88百米， 设满足炮弹飞行轨迹的函数关系式为： ， 代入得， ， ； 山顶距炮口的水平距离为5百米， 当时，， 炮弹不能够越过山丘； （3）解：设抛物线解析式为：，抛物线经过原点，开口向下， 所以抛物线解析式为：； 要越过山顶， 当时，，即， ①． 根据题意，在山的另一侧距山顶的水平距离15百米的点处有居民区，则居民区在处， ∵炮弹的最大杀伤半径为2百米， 且需不影响居民区， 当时，，即； ② 由①②得：， 解得：； 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，理解题意，将实际问题抽象成数学模型，建立二次函数模型，确定出关于的不等式是解题的关键． 4.已知二次函数． (1)若，求证：二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； (2)若二次函数的图象过点，，且． ①当时，求的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线右侧的部分沿直线l翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形W．若对于m的每一个值，直线与图形W总有三个不同的交点，求n的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)① ②且 【分析】（1）证明判别式即可； （2）由A、B纵坐标相等得对称轴，得；①根据图象过点，得，从而得 ，根据二次函数的性质，即可得最小值；②根据交点的个数，画出简图，分类讨论，列出不等式，求解即可得到n的取值范围． 【详解】（1）证明：二次函数，当时，， ， ， ， ， ， 一元二次方程有两个不同的实数根， 二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； （2）解： ，， 对称轴 ， 对称轴， ，则， ①当时，，则， ， ，整理得， ， ， 当时，取得最小值，为； ②二次函数有最大值， ，开口向下，对称轴为直线 ， 对于m的每一个值，直线与图形W总有三个不同的交点， 如图1，当时，只需点在直线右侧即可， ，解得； 如图2，当时，只需点在直线上或左侧即可， ，解得； 综上所述：且． 考点四 反比例函数及应用 《解题指南》 易错提醒： •增减性易错（最大坑）：反比例不能跨象限比较增减；必须强调：每一象限内单调变化。 •k几何意义记错：过双曲线上一点作坐标轴垂线，矩形面积=|k|，三角形面积=½｜k｜；学生经常不带绝对值、不乘½。 •图像分布判断错：k＞0一三象限；k＜0二四象限。 •正反比例联立易错：不会联立求交点；不会利用对称性判断两交点关于原点对称。 函数值比较大小乱：不画图、直接代数比较，正负混杂极易出错 命题点01 反比例函数的定义 【典例1】．（2025·重庆·中考真题）反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 【典例2】．（2025·浙江宁波·三模）若，两点均在函的图像上，且，则的值为（    ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数，将点P和Q代入函数解析式求出a和b，再计算a−b的表达式，结合m的取值范围判断符号即可． 【详解】解：由题意，点，在函数上， 故，， ； ，m为负数，分母； 分子， ， ； 故选：B． 【典例3】．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 【典例4】．（2026·浙江杭州·一模）已知，在平面直角坐标系中，、是函数图象上的两点，且满足，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由反比例函数可知，，由已知条件可得出，然后代入得，再根据已知条件列出关于的不等式求解即可得出答案． 【详解】解：∵、是函数图象上的两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解不等式组，不等式组无解， 解不等式组，解得：． 故. 【典例5】．（2025·浙江绍兴·三模）已知反比例函数的图象过点，，，且，，则___________ 【答案】5 【分析】本题只要考查了反比例函数图像上的坐标特征，将A、B两点带入函数解析式求出m、n，再根据和求出，载代入求值即可． 【详解】解：将A、B两点带入函数解析式得，， ， ， ， 通分后化简得， 代入解得． 故答案为5． 命题点02 反比例函数图像的判断 【典例1】．（2025·浙江宁波·三模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点，，在同一个函数图象上，可得B与C关于关于原点对称；当时，y随x的增大而减小，得用排除法求解． 【详解】解：∵点，， ∴B与C关于原点对称， 即这个函数图象上有点关于原点对称，故选项A不符合题意； ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小，故选项B符合题意，选项C、D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的图象，一次函数图象性质，反比例函数图象性质，二次函数图象性质．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 【典例2】．（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 【典例3】．（2025·西藏·中考真题）一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴a与h的函数关系式为， ∴此函数是一个以为自变量的反比例函数， 边上的高为， ∴， 故选：B． 【典例4】．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 【典例5】．（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 命题点03 反比例函数的性质 【典例1】．（2025·江苏镇江·中考真题）已知点、在反比例函数的图像上，若，则的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象性质，解题关键是掌握反比例函数图象与系数的关系，掌握反比例函数的性质． 首先将，代入求出，，然后根据得到，然后分两种情况求解即可． 【详解】解：∵点、在反比例函数的图像上， ∴，， ∵， ∴ ∴当时，解得， ∴； 当时，解得； 综上所述，则的取值范围是或． 故选：A． 【典例2】．（2025·广东广州·中考真题）若，反比例函数的图象在（   ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是绝对值的化简，反比例函数图象的性质，由绝对值的性质得出k的符号，再根据反比例函数的图象性质确定其所在象限． 【详解】解：确定k的符号： 由题设条件且，根据绝对值的非负性，右边，即．又因，故为负数． ∵反比例函数的图象位置由的符号决定： 当时，图象位于第一、三象限； 当时，图象位于第二、四象限． 因为负数，故图象在第二、四象限． 综上，正确答案为选项C． 故选：C 【典例3】．（2025·甘肃兰州·中考真题）若点与在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据，反比例函数图象分布在一、三象限，当时，当时，进行判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象分布在一、三象限，当时，当时， ∵， ∴， 即， 故选：． 【典例4】．（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 【典例5】．（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 【典例6】．（2025·浙江·一模）反比例函数的图象上有，，三点，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出，，的值，再计算和，，并比较大小． 【详解】解：∵ 点，， 在反比例函数图象上， ∴ ，，． ∴ ，． 当时， 若，则； 若，则． 当时， 若，则； 若，则． 无法比较和的大小 ，， ． ． 故选：D． 命题点04 反比例系数k的意义 【典例1】．（2025·浙江·模拟预测）如图，点A，B在反比例函数（常数）图象上，作轴于点C，轴于点D，过B作于点E，连接，，．则下列三角形中，与的面积一定相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的几何性质和等面积代换，连接，延长交y轴于点F，则四边形为矩形，有和，结合反比例函数的几何性质化简即可． 【详解】解：连接，延长交y轴于点F，如图， 则四边形为矩形， 那么，， ， 故选∶D． 【典例2】．（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，是矩形内的一点，连接，若图中阴影部分的面积为10，则为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】先设出点的坐标，利用矩形面积与反比例函数的几何意义建立联系，再根据阴影部分面积与矩形面积的关系，推导出的值． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数上， ∴， 由题意可得矩形的面积为，阴影部分面积为矩形面积的一半， ∴， ∴， ∴． 【典例3】．（2025·宁夏·中考真题）函数和的部分图象如图所示，点在的图象上，过点作轴交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数 系数k的几何意义：从反比例函数 图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．连接，由、轴得到，根据反比例函数系数k的几何意义可得，继而求出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，连接， 轴，， ， ． 点A在反比例函数图象上， ， ， 且， ∴， ∴． 故选A． 【典例4】．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 【典例5】．（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数 图象交于A，B两点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．先根据正比例函数与反比例函数的性质得出A，B两点关于原点对称，得到，继而，可得k值． 【详解】解：正比例函数图象与反比例函数 图象交于A，B两点， ，， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ， 故答案为： 【典例6】．（2025·浙江温州·模拟预测）如图，已知矩形的面积为16，轴，是轴上的两个点，点分别在反比例函数，的图象上，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，根据题意，数形结合得到，解一元一次方程即可得到答案．熟记反比例函数的几何意义是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 点分别在反比例函数，的图象上， 由反比例函数的几何意义可知，，， 矩形的面积为16， ，解得， 故答案为：． 命题点05 反比例函数的应用 【典例1】．（2025·吉林长春·中考真题）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 【典例2】．（2025·江苏南通·中考真题）如图，一块砖的，，三个面的面积比是5：3：1．如果面向下放在地上，地面所受压强为，那么面向下放在地上时，地面所受压强为_______________． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的关系． 根据题意，得出压强与受力面积之间的关系，分析计算即可． 【详解】解：设这块砖的质量为，与地面的接触面积为，地面所受压强为， 则（定值）， 即与成反比例关系， ∵， ∴， ∵面向下放在地上，地面所受压强为， ∴面向下放在地上时，地面所受压强为， 故答案为：． 【典例3】．（2025·江苏连云港·中考真题）某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数．当时，．则当时，________Pa． 【答案】16000 【分析】本题考查了求反比例函数以及反比例函数的应用，先根据题意，设这个反比例函数的解析式为，再代入数值求出，然后把代入，进行求解计算，即可作答． 【详解】解：∵气球内气体的压强是气球体积的反比例函数． ∴设这个反比例函数的解析式为， 把时，代入，得， 解得， ∴， 把代入， 得， 故答案为：． 【典例4】．（2025·浙江杭州·模拟预测）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度是体积的反比例函数，它的图象如图所示．当时，气体的密度是_____． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数的应用以及图象的识别，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．设密度（与体积（的反比例函数解析式为，把点代入解析式求出，再把的值代入解析式即可求出气体的密度． 【详解】解：设密度与体积的反比例函数解析式为， 把点代入解，得， 密度与体积的反比例函数解析式为，把代入， 故答案为：2． 【典例5】．（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1)100 (2)见解析 (3)当的长增大时，拉力减小，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，画反比例函数图象，根据函数图象判断增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数的定义，判断出是的反比例函数． （1）根据表格中的数据找出规律，求出a的值即可； （2）先描点，然后连线，画出函数图象即可； （3）根据反比例函数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据发现： ， 因此点与点的距离与拉力F的乘积不变， ∴； （2）解：与之间的函数图象，如图所示： （3）解：由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小． 【典例6】．（2025·浙江·模拟预测）在温度不变的条件下，通过对汽缸顶部活塞加压，加压气体后汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，p关于V的函数图象如图所示． (1)求压强与汽缸内气体的体积的函数表达式． (2)若压强由加压到，则气体体积压缩了多少？ 【答案】(1) (2)压强由加压到，则气体体积压缩了 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，注意正确计算． （1）设，利用待定系数法即可得到结论； （2）分别求出当时，，当时，，据此可得答案． 【详解】（1）解：设， 把代入中得：， 解得， 压强与汽缸内气体的体积的函数表达式为； （2）在中，当时，，当时，， ， 压强由加压到，则气体体积压缩了． 命题点06 反比例函数与一次函数综合 【典例1】．（2026·浙江温州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于两点，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，则的取值范围是______． 【答案】或 【分析】根据图像找出一次函数图像在反比例函数图像下方时的取值范围即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方， 即当或时，， ∴的取值范围为：或． 【典例2】．（2026·浙江杭州·一模）一次函数与反比例函数（为常数，）的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)若点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 (2)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）画出图象，根据图象即可解答． 【详解】（1）解：把代入， 可得， 解得， 反比例函数的表达式为， 当时，， ， 把，代入， 可得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：画出图象， 点在一次函数的图象上，点在反比例函数的图象上，， 根据图象可得或． 【典例3】．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求上述反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． (3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求两函数的解析式的应用． （1）将点的坐标代入反比例函数 ，求出，将点的坐标代入反比例函数求出，利用待定系数法确定一次函数解析式； （2）设与轴交于点，根据一次函数解析式得出，进而根据，进行计算即可． （3）找到一次函数图象在反比例函数图象之上的的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 解得：， 则反比例函数解析式为：； 将点代入，得：，则 将点的坐标代入一次函数解析式，得： ，解得：， 故一次函数解析式为：． （2）解：设与轴交于点， 一次函数解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为， ， ． （3）解：根据函数图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围为：或． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， (1)求和的值． (2)横坐标为的点是反比例函数图象上的一点．现将点向下平移．当点落在一次函数图象上时，求向下平移的距离． 【答案】(1)， (2)向下平移的距离为 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数，点的平移，掌握待定系数法求解析式，平移规律是解题的关键． （1）把代入一次函数，反比例函数解析式即可求解； （2）根据题意得到，根据点的平移得到平移后，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点， ∴， 解得，，则一次函数解析式为， ∴， 解得，，则反比例函数解析式为； （2）解：点的横坐标为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， 设点向下平移了个单位， ∴， ∴， 解得，， ∴向下平移的距离为． 【典例5】．（2025·四川雅安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或； (2)一次函数和反比例函数的表达式分别为，； (3)的面积为． 【分析】（1）结合题意可知，时的取值范围即为直线与反比例函数上方时交点的横坐标的取值范围； （2）先将点、点的横坐标代入反比例函数解析式求出，，再代入一次函数解析式求解即可； （3）先求出平移后的一次函数解析式为，然后求出交点，过点作轴交于点，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和， 当时，或； （2）解：点、点的横坐标分别是和，且点、点在反比例函数与一次函数上， ，， ，， 将，代入， 则 解得， 一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 点在第一象限， ， ， ， 过点作轴交于点， ， ， ． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数图象平移问题、解分式方程（化为一元二次）、反比例函数与几何综合，解题关键是将求的面积转化为求和的和． 命题点07 反比例函数与一次函数综合的应用 【典例1】．（2024·山西阳泉·二模）饮水机接通电源会自动加热，加热时水温每分钟上升，温度到停止加热．然后水温开始下降，此时水温与时间成反比例函数关系，水温降至时，饮水机重复上述程序开始加热，加热时水温与时间的关系如图所示．水温从开始加热至，然后下降至这一过程中，水温不低于的时间为________．    【答案】12 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数的应用．首先求得两个函数的解析式，然后将代入两个函数求得两个时间相减即可确定答案． 【详解】解：设一次函数关系式为：， 将，代入，得， 解得， ， 设反比例函数关系式为：， 将代入，得， ， 中， 令，解得； 反比例函数中，令，解得：， （min）， 水温不低于的时间为min． 故答案为：． 【典例2】．（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与时间成一次函数关系，第一次锻造造时温度与时间成反比例函数关系，开始制作后第8分钟材料的温度为． (1)求第一次锻造操作的时长； (2)求第二次开始锻造的时间． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）先求出反比例函数的解析式，再求出当和时x的值，即可得答案； （2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的时间，即可得答案． 【详解】（1）解：材料锻造时，设， 由题意得，解得， ， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ， 所以第一次锻造操作的时长是； （2），所以煅烧时温度每分钟上升， ，所以第二次煅烧需要， ，所以第二次开始锻造的时间是第． 【典例3】．（2025·浙江杭州·二模）小王家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温与开机时间（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机时间（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题： (1)当时，求水温与开机时间（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)若小王在通电开机后即外出散步，分钟后回家，要使得回家时饮水机内温度不低于，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）利用待定系数法求出下降过程中水温与开机时间（分）的函数关系式并将坐标代入，求出t即可； （3）分别求出加热和放热过程中温度为时对应的时间，即水温从加热到需要的时间，继续加热到再降到需要的时间，从而计算当时，加热过程中水温为时对应的时间和放热过程中水温为时对应的时间，再根据图象直接写出这个时间段内饮水机内温度不低于时t的取值范围即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 此函数解析式为：； （2）解：当，设水温与开机时间（分）的函数关系式为：， 依据题意，得：， 即， 故， 当时，， 解得：； （3）解：当时： 当时，解得， 当时，解得， ∴水温从加热到需要分钟，继续加热到再降到需要20分钟， ∴当时，加热过程中水温为时对应的时间为（分），放热过程中水温为时对应的时间为（分）， 根据图象，要使得回家时饮水机内温度不低于，t的取值范围为． 【典例4】．（2025·浙江温州·二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度与时间的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从加热到需要；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分． (1)求材料加热到的时间． (2)求材料自然降温时，关于的函数表达式． (3)已知该工艺品操作时温度需保持在（包括，），为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格）．仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作小时（包括加热升温阶段时间），请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？ 方案 恒温工作 间歇加热工作 过程 ①从加热到； ②保持进行加工． ①从加热到； ②自然降温到； ③再次加热到； 循环②③两个阶段． 加热成本 加热升温阶段每分钟需花费元；恒温阶段每分钟需花费元．（注：自然降温阶段不产生成本） 【答案】(1)20分钟 (2) (3)仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本，计算见解析 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求出解析式，然后把时代入即可求解； （）利用待定系数法即可求解； （）根据反比例函数与一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由图可知加热时，关于的函数为一次函数， ∴可设解析式为， 将点，代入，得 ，解得， ∴关于的函数解析式为， 当时，，解得， ∴第一次加热到时间为分钟； （2）解：由题意可设加热后关于的表达式为， 将代入，得， ∴关于的表达式为； （3）解：由题意可知，加热时长为分钟． 恒温阶段（分钟）， 费用为：（元）， 间歇加热工作：对于，令，得， 除第一次加热到需要分钟，后续加热到，自然降温到一轮需要分钟，一天小时中，加热时间为（分钟）， 费用为：（元）， ∵， ∴仅从可工作时间和加热成本考虑，间歇加热工作更节约成本． 【典例5】．（2025·浙江温州·二模）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数随时间（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求的值及曲线的函数表达式． (2)若一道数学难题，需要讲解18分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数不低于32，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)， (2)能，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）把代入函数解析式，求出的值，进而求出点坐标，待定系数法求出曲线的函数表达式即可； （2）求出时的自变量的值，求出两个自变量的差值与18进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， 设曲线的函数表达式为， 则：， ∴； （2）能，理由如下： 当时，对于，解得：； 对于，解得：， ， ∴老师能在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题； 中考预测题 1.在平面直角坐标系中，已知点，，若反比例函数的图象经过这两点，则的值为______． 【答案】 【详解】解：反比例函数的图象经过，两点，可得， ， 整理得， 解得． 2.已知点在反比例函数的图象上，则_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二，四象限内， ∵点在反比例函数的图象上， ∴点A在第二象限内，点B在第四象限内， ∴． 3.在平面直角坐标系中，点，，分别位于三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据三个点在不同象限确定点的象限，再结合反比例函数的性质确定反比例经过的两个点，利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于计算的值． 【详解】解：点在第一象限， 点在第四象限， 点纵坐标为正，因此点在第一象限或第二象限， 点，，分别在三个不同的象限， 点不在第一象限，即点在第二象限，， 反比例函数的图象两支分别位于两个象限，当时，两支在第一，三象限；当时，两支在第二，四象限，本题三个点中无第三象限的点，因此反比例经过第二象限的和第四象限的， 反比例函数图象上点的横纵坐标乘积等于， ， 即， 解得． 4.我们约定：在平面直角坐标系中，已知点，若，则称该点为“完美点”．若某函数图象上至少存在一个“完美点”，就称该函数为“完美函数”．请你根据该约定，解答下列问题： (1)下列函数中，是“完美函数”的有______；（填序号） ；；；． (2)点是反比例函数图象上的点，求该函数图象上的“完美点”的坐标； (3)设关于的函数的图象上有且只有一个“完美点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“完美点”，分别为点，点，其中点在点的左侧，且． 点的坐标为______； 求的值． 【答案】(1) (2)， (3)；的值为 【分析】（1）根据“完美函数”的定义令，列方程并求解，根据解的情况判断即可； （2）先根据待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据“完美函数”的定义进行求解即可； （3）令，根据根的判别式求得的值，再根据“完美函数”的定义求解即可；令，然后解方程求得点、、的坐标，进而表示出，，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：若，代入得，方程无解， 函数的图象上不存在“完美点”，即不是“完美函数”； 若，代入得，解得， 函数的图象上存在“完美点”，即是“完美函数”； 若，代入得，解得， 函数的图象上存在“完美点”，即是“完美函数”； 若，代入得，解得， 函数的图象上存在“完美点”，即是“完美函数”． （2）解：将点代入反比例函数中，得， 反比例函数的解析式为， 令，得， 解得， 该函数图象上的“完美点”的坐标为，； （3）解：令，则，整理可得， 函数的图象上有且只有一个“完美点”为点， ，即，解得， 函数解析式为． 令，解得， 点的坐标为． 为常数且的图象上有两个“完美点”， 令，则， 整理可得， 由求根公式，得， 可得，． ，点在点的左侧， ，，且， ， ， ， ． 即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，的值为． 考点五 函数与几何综合 《解题指南》 易错提醒： •动点漏情况：等腰三角形、直角三角形、平行四边形存在性，经常少分类、漏点。 •坐标转化线段错误：不会利用坐标求边长、距离，正负号不处理。 •最值思路混乱：分不清将军饮马、铅垂高面积、周长最值、线段最值。 •相似三角形易错：对应顶点写反、比例式写反，浙江压轴最爱考相似。 •含参范围端点取舍：压轴题求参数范围，等号能不能取判断错误。 •计算量大、步骤乱：大题不设未知数、不整理式子，中途算错全盘崩盘。 命题点01 一次函数与几何综合 【典例1】．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于A，交y轴于B，C为x轴负半轴一点，的面积为30． (1)如图1，求直线BC的解析式； (2)如图2，D为OA上一点，E为射线BC上一点，，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，交x轴于F，G为DE上一点，，交BG的延长线于H，连接OE，若，ED平分，求点H的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题属于一次函数与几何综合问题，主要考查了一次函数的性质、旋转模型、特殊角的三角函数值等知识，构造合适的辅助线成为解答本题的关键． （1）先根据题意表示出点C和点B的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）过D作交AB于M，可得出，建立等式，即可求出的值； （3）过E作于点I，可得可求出，即可得到．设交于点R，过R作于N，根据三角函数可得，过H作轴于点K．再利用相似求出点H的坐标． 【详解】（1）解：令，则． ． 当时，． ． ， ． ． 设直线BC的解析式为． 由题意，得 ∴直线BC的解析式为． （2）过D作交AB于M． ， ． ． ． 即 ， ． ． ． ．即． ， ．即． （3） ． ． ． ． ． ． 过E作于点I．则． ． ．即． ． ． ． ． ， ． ， ． ． ． ． ， ． ． ， ． 设交于点R，过R作于N，则 ． ． 设． ． ． ． ． ．在中， ． ． 过H作轴于点K． ． ． ． ． ． 【典例2】．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交直线于点，，．      (1)求直线的解析式． (2)点在第三象限的直线上，轴交直线于点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，直接写出自变量的取值范围． (3)在（2）的条件下，点在第四象限的的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转至（点的对应点为点），旋转角等于，直线交线段于点，连接，，，，的面积为8，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)的面积为． 【分析】（1）先求得，，再根据题意求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）过作于点，延长交于，联立求得，证明得到，，，，求得，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）连接，设与的交点为．证明，推出，，，过作于点，过作于点，和，得到，，利用三角形面积公式和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过作于点，延长交于， 联立， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，点的横坐标为1， 由题意，得， ∴， ∴， ∵，点、在上， ∴点的纵坐标与点纵坐标相同，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，设与的交点为． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 过作于点，过作于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的面积为． 【点睛】本题是综合题，其中涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线构造三角形全等，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 【典例3】．（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先求得，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而得到的面积为6，如图：设D的坐标为，则，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）由题意可得： ，如图：过C作且，，再证明可得，即，即；再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为，再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵直线 交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∵点C 的坐标为， ∴设直线的函数表达式为， 则，解得：， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 如图：设D的坐标为，则， 则，解得：或4． ∴点D的坐标为或． （3）解：∵，， ∴，， 如图：过C作且， ∴是等腰三角形，即, 过G作轴，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P． 综上，点P的坐标为或． 【典例4】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)如图①，为轴正半轴上一点，于点，点在线段上（点不与点重合），连接，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图②，在（2）的条件下，点横坐标为，在第一象限内作直角三角形，，，点在轴上，设点的横坐标为，点在上，，在第四象限内作，，连接，，交轴于点，连接并延长交于点，，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)与的函数解析式为； (3)点的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据勾股定理，可得，根据三角形的面积公式，即可得与的函数解析式； （3）作轴于点，由勾股定理可得，可得，作轴于点，作轴于点，四边形是矩形，和为等腰直角三角形，可得，，可得，作，交轴于点，可得，由线段之间的关系，结合锐角三角函数可得，，，由，可得，可得，，，，可得点和点的坐标，从而可得点的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的函数解析式为． （3）解：作轴于点， ∵点的横坐标为，点的横坐标为，点在线段上， ∴，， ∴， 解得， ∴点的横坐标为，，， ∴， ∴， 作轴于点，作轴于点，则，， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵点在轴上，点的横坐标为， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 作，交轴于点，则， 又∵，， ∴， ∴， ∵为轴正半轴上一点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴，，点是的中点， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查一次函数综合，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，矩形的判定和性质，比例的基本性质，平行线的性质，锐角三角函数，能够正确作出辅助线是解题关键． 【典例5】．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 命题点02 二次函数与几何综合 【典例1】．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 【典例2】．（2025·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【典例3】．（2025·西藏·中考真题）已知抛物线过点，，与轴交于点．点是轴正半轴上的动点，点是抛物线在第四象限图象上的动点，连接，，且交轴于点，交于点． (1)当时，求抛物线的解析式； (2)如图1，在（1）的条件下，若，求直线的解析式； (3)要使得成立，请探索的取值范围（直接写出结果）； (4)如图2，，当为何值时，的长度等于1？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数综合问题，角度问题，正切的定义，等腰三角形的性质与判定； （1）当时，二次函数的图象与轴交于，设二次函数的交点式为，展开后得到求解即可得到答案； （2）根据解析式求得点，进而勾股定理求得，作的角平分线交轴于点，则，，进而得出，根据角平分线的定义得出，求得，进而可得，从而求得点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解． （3）先找到临界值，当时，，此时得出重合，根据题意可得是第四象限的点，则当时，即可求解； （4）根据题意得出是等腰直角三角形，进而根据已知得出，取得出是等腰直角三角形，进而求得 ，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：当时，二次函数的图象与轴交于， ∴设二次函数的交点式为， ，， ∴， 解得， ∴函数的解析式为； （2）解：对于二次函数， 令，可得，则点的坐标为，则 ∵， ∴， ∵ ∴， 如图，作的角平分线交轴于点，则， ∴， 设到的距离为，则， ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，则， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式． （3）解：当时，， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴，则重合，重合， 又∵是第四象限的点， ∴当时，则，． ∴要使得成立， 的取值范围为； （4）解：∵， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． 在中，． 如图所示，取． ∴． ∴是等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴ ． ∴． 即． 【典例4】．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点是第四象限抛物线上一点，连接交y轴于点D，点F在y轴正半轴上，，连接，设点的横坐标为，线段的长的平方为d，求d与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． (3)如图2，在（2）的条件下，过点作的平行线，对于任意的值，直线都经过点，点在线段上，连接，，若，，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出．．利用勾股定理即可求出答案； （3）利用相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识求出的值即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得 ． 抛物线的解析式为． （2）由已知，得． 设直线的解析式为． 把代入，得 ． ． 当时，． ． ． ． 在中， ． ．即． （3）， 设直线的解析式为． 则， 解得 直线的解析式为． 直线， 设直线的解析式为． 把代入，得． 直线的解析式为． 对于任意的值，直线过点， ． 当时，．即． 连接 ． 对于．当时，． ． 四边形为平行四边形． 为菱形． ∴菱形为正方形． 连接． ． ， ． ． ． ． ， ． ， ． ． ． 在延长线上取点，使，连接． ， ． ． ． ． ， ． 在中，， 在中，， 即． ，， ． 解得（舍）． ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、全等三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法、特殊四边形的判定和性质等知识，综合性强，难度大． 【典例5】．（2025·浙江杭州·模拟预测）抛物线经过原点O，交x轴正半轴于点A，顶点为． (1)如图1，求抛物线的解析式； (2)如图2，P为第四象限抛物线上一点，过点P作轴，垂足为B，点Q为第一象限抛物线上一点，连接PQ交x轴于点C，且，设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n，求n与m的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，连接，点R为线段上一点，若存在这样的点R，使为等边三角形，求PB的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查二次函数，三角函数，等边三角形的判定，正确理解题意是解题的关键： （1）待定系数法即可得出答案； （2）先得出，，过点Q作，垂足为H，则，得出，．根据，得出，进而可得出答案； （3）过Q作于点H，交OA于点E．得出，，连接QO，延长QO交PB延长线于点F，连接OP，证明，得出，延长BQ交DC延长线于点G，证明，得出，根据，进而可得出答案． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 解 ∴抛物线的解析式为． （2）∵点P的横坐标为m，点Q的横坐标为n， ∴，． 过点Q作，垂足为H，则，，． ∵， ∴， ∴． （3）过Q作于点H，交OA于点E． ∵轴，． ∴． ∴． ∴． ∴，． 连接，延长交延长线于点F，连接． 则． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 设BQ交OC于点M． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 延长交延长线于点G． ∵， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵，， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵为等边三角形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴． 在，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【典例6】．（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线的解析式为． (1)如图1，求a的值； (2)如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接交x轴于点D，连接，设点P横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数解析式； (3)如图3，在（2）的条件下，点E为第二象限内一点，且，连接、，若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得，即，推出，再利用待定系数法求解即可； （2）过P作轴于M，设与y轴交点为N，得到，证明，推出，利用三角形的面积公式求解即可； （3）连接，过C作交的延长线于点R，延长交的延长线于点T，设，求得，证明四边形是平行四边形，证明，得到，，推出，得到，求得，过P作轴于点H，则，，利用三角函数的定义求得，再计算得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ， 过， ， ， 当时，， ， ， 过， ， ； （2）解：过P作轴于M，设与y轴交点为N， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连接，过C作交的延长线于点R，延长交的延长线于点T， 设， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 或（舍去）， ，， 过P作轴于点H，则，，， ， ， ， ，， ， 在中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，二次函数的图象和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 命题点03 反比例函数与几何综合 【典例1】．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，可证明，则，，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【典例2】．（2025·浙江丽水·二模）如图，以菱形的顶点O为原点，边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，，，过C点的反比例函数部分图像交于点D，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，菱形的性质，三角函数，解一元二次方程． 作轴交轴于，作轴交轴于，根据菱形的性质得到，，根据三角函数求出，，即，代入可求出，设，根据三角函数可知，，则，可得，求出，即可求出的值． 【详解】解：如图，作轴交轴于，作轴交轴于， ∵菱形，， ∴，， ∵， ∴，， 即， ∵过C点的反比例函数部分图像交于点D， ∴， 即， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， 即， ∵过C点的反比例函数部分图像交于点D， ∴， 整理得： 解得，（舍去） ∴． 故答案为：． 【典例3】．（2025·浙江金华·模拟预测）如图，点，在轴正半轴上（点在点的右边），，分别以，为边作等边三角形，反比例函数的图象经过中点，与边交于点．作轴于点轴于点．若阴影部分的面积等于，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据等边三角形的性质求出点E的坐标为，运用勾股定理得出，则点F的坐标为，得出，解出，再代入，即可作答． 【详解】解：如图所示：过点E作轴 设，则 ∵以为边作等边三角形，且点E是中点 ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴点E的坐标为， ∵阴影部分的面积等于， ∴， ∵轴，轴，， ∴四边形为矩形， ∴ ∴， ∴， ∵以为边作等边三角形 ， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴ ∴点F的坐标为 ∵反比例函数的图象经过中点E，与边交于点F． ∴ 即 解得（负值已舍去） ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何综合，矩形的判定与性质，角直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【典例4】．（2025·浙江温州·二模）如图，点A，B在反比例函数的图象上，轴于点M，交线段于点C，连结．已知点A，B的横坐标分别为6，4．则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线．解题的关键． 延长交于N，得到，进而得到，证得，根据相似三角形的性质求得，，代入即可求出结果． 【详解】解：延长交于N， ∵轴，， ∴轴，， ∴ ， ∵A，B的横坐标分别为6，4， ∴， ∵点A，B在反比例函数（）的图象上， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 【典例5】．（2025·浙江绍兴·二模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边与反比例函数（为常数，的图象交于两点，且与轴正半轴交于点，点在反比例函数的图象上，若点是的中点，则的值为___________． 【答案】6 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质、平移的性质等知识，数形结合是解题的关键． 设点先利用中点坐标公式求出，，由点A到点B的平移规律得到点C的坐标，代入即可得到k的值． 【详解】解：设 ∵点D是中点， 当时，， ∴， ∵点D是中点，由中点坐标公式得到， 四边形是平行四边形， 平行且等于， ∵点A到点B相当于向左平移个单位，向上平移个单位， ∴点向左平移个单位，向上平移个单位得到点C， ∵点C在图象上， ∴． ∴ 故答案为：6 【典例6】．（2025·江苏盐城·中考真题）请根据小明的数学探究活动单，完成下列任务． “变换” 研究内容 提出概念 已知点．如果点满足，那么称点是点的“变换”点． 理解概念 已知点，，求点的“变换”点． 探究性质 如图（1），已知点和点，当时， ①请在图（1）中分别画出点、对应的“变换”点、； ②研究发现：线段可由线段通过一次图形变换得到，点是点的对应点．如果是平移，请写出平移的距离；如果是轴对称或旋转，请用无刻度的直尺和圆规在图（1）中作出对称轴或旋转中心（不写作法，保留作图痕迹） 运用性质 如图（2），在平面直角坐标系中，菱形的顶点、、的坐标分别为，，，曲线是反比例函数（）图像的“变换”线，，交边于点、，直线、分别交边于点、，记、、、的面积分别为、、、，求的值． 【答案】概念理解：；探究性质：①见解析；②线段可由线段通过旋转变换得到，画图见解析；运用性质： 【分析】概念理解：根据概念代入即可解答； 探究性质：①根据概念代入求得，画出图形即可； ②根据旋转的性质，画出旋转中心即可； 运用性质：设曲线上任意一点为，点的“变换”点，可得，再由在反比例函数图象上，求得，直线与曲线的交点为， ，则，求出的面积，设点到的距离为，利用等积法求出，再求的面积，求出的面积的面积，根据对称性可求． 【详解】解：概念理解： ， ； 探究性质：①根据概念理解可得， ， ， 故点、对应的“变换”点、如下图， ②线段经过一次平移或轴对称，不能得到， 线段可由线段通过旋转变换得到， 旋转中心如图所示， ，， 旋转中心为点， ， 为等边三角形， ， 线段可由线段以点为中心，逆时针旋转得到， ； 运用性质：设曲线上任意一点为，点的“变换”点， ， ， 在反比例函数图象上， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 当时，解得或， ， ， ， 四边形是菱形， ， ，， ，， 的面积， 的面积， 设点到的距离为， ， ， 解得， 的面积 的面积的面积， 的面积的面积，的面积的面积， ． 中考预测题 1.如图，抛物线经过点，与轴的正半轴交于点，点是线段上的动点，过点作轴于点，交抛物线于点，点是此抛物线上的一动点． (1)若． ①求该抛物线的解析式； ②当时，比较与的大小，并说明理由； ③当点不与，重合时，连接，，，求的值； (2)若，，求取何值时线段的长度最大（可用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②，理由见解析；③3 (2)当 时，；当 时，；当 时， 【分析】（1）①待定系数法求抛物线的解析式即可； ②先根据抛物线的解析式得出对称轴为轴，开口向下，再根据，可知点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，比较点关于轴的对称点的横坐标和点的横坐标大小，再根据抛物线的性质即可比较与的大小； ③根据待定系数法求出直线的解析式，设，则 ，，分别表示出，再化简即可； （2）设抛物线解析式为，根据待定系数法求出，即可求出，根据二次函数的性质分段讨论即可． 【详解】（1）解：① 由题意，抛物线经过，，且 ， 代入坐标得：， 解得：，， 该抛物线的解析式为：； ② ，理由如下： ∵抛物线，，， ∴抛物线的对称轴为轴，开口向下， ， 点在对称轴左侧，点的横坐标在区间内，即点在对称轴右侧， 点关于轴的对称点的横坐标为，且 ， ，且抛物线在时随增大而减小， ， 又， ； ③ 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得 ，， 直线的解析式为， 设，则 ，， ，， ， 点的横坐标为， 的高为 ， ， ． （2）解：设抛物线解析式为， 将，代入得：， 解得，， ， ， 该函数关于的对称轴为， ，抛物线开口向下， 当越接近时，越大， 当时， ①当时，在对称轴左侧，随增大而增大，当时最大； ②当时，包含对称轴，当时最大； ③当时，在对称轴右侧，随增大而减小，当时最大． 综上所述，当 时，；当 时，；当 时，． 2.如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点的坐标为，是抛物线上一点，是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的表达式及的值； (2)若点的坐标为，请判断四边形的形状，并说明理由； (3)①如图2，当时，直接写出点的坐标：__________； ②如图3，当，，分别是，，的中点时，连接，，直接写出的最小值为__________． 【答案】(1)抛物线的表达式为；； (2)四边形是平行四边形，证明见解析； (3)①点P的坐标为；②的最小值为． 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，设顶点式，代入点求解a，再展开为一般式；再将点代入表达式求n． （2）先求点B、C的坐标，计算四边形各边长度，通过对边相等判定平行四边形． （3）①设点，利用距离公式表示和，根据列方程求解m． ②利用中位线定理将转化为，作点C关于对称轴的对称点，当B、P、共线时，最小． 【详解】（1）设抛物线的顶点式为（因顶点为）． 将点代入得：； 化简得，解得． 因此，抛物线的表达式为，展开为． 点在抛物线上， 将代入得：． （2）由（1）知抛物线解析式为． 当时，，故； 当时，，故． ， ， ， ． 因为且， 所以四边形是平行四边形． （3）①设， 由得，即：； 解得． 因此，点P的坐标为． ②因为E，F，G分别是，，的中点， 所以，， 所以． 作点关于对称轴的对称点， 连接交对称轴于点P，如图， 此时最小，最小值为的长． 所以； 因此，的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式与一般式的转化、待定系数法求函数表达式、坐标与线段长度计算（两点间距离公式）、平行四边形及菱形的判定、中位线定理、轴对称求最短路径问题等知识点．解题关键在于利用函数性质求坐标、通过距离公式和方程求解动点坐标、借助中位线和轴对称转化最短路径问题． 3.如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点P为直线上的一动点，点是x轴上一点． (1)求点A和点B的坐标并判断的形状． (2)当点P的横坐标为3时，求的面积． (3)当的面积为10时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标是；点B的坐标是；等腰直角三角形 (2)6 (3)或 【分析】（1）因为求直线与坐标轴交点坐标，所以分别令直线方程中，计算对应y、x的值，得到A、B坐标．因为判断三角形形状，所以先计算的长度，再结合直线斜率或勾股定理，判断边的关系和角的度数． （2）因为已知点P横坐标，所以将其代入直线的方程，求出点P的纵坐标．因为求的面积，所以确定的长度作为底，点P的纵坐标绝对值作为高，再利用三角形面积公式计算． （3）因为已知的面积，所以设点P到x轴的距离为h，以为底，h为高，结合面积公式列方程．因为点P有在x轴上面下面两种情况，所以分情况求解x的值，进而得到点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴点A的坐标是， 把代入, 得， ∴点B的坐标是， ∴, ∵， ∴是等腰直角三角形． （2）解：把代入， 得， ∴点P的坐标是， ∵， ∴， ， ∴的面积是6． （3）解：或． 设点P到x轴的距离为h， 由，得， ∴， 把代入， 得， 解得， 把代入， 得， 解得， ∴点P的坐标为或． 好题速递 1.（2026·江苏扬州·一模）点，，在某个函数图象上，若，则满足条件的函数关系式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别比较三个点的函数值大小，判断是否符合即可，用到一次函数、反比例函数、二次函数的增减性与对称性． 【详解】解：选项A、， ∵，随增大而增大，且 ， ∴，不符合要求，A错误． 选项B、， ∵，反比例函数图象分布在一、三象限，A、B横坐标为负，在第三象限，C横坐标为正，在第一象限， ∴，，，又第三象限内随增大而减小，由得， ∴，不符合要求，B错误． 选项C、 ， ∵二次函数，开口向下，对称轴为，开口向下时，点到对称轴的距离越大，函数值越小， 计算各点到对称轴的距离：，， ， ∵ ， ∴，符合要求，C正确． 选项D、， ∵二次函数，开口向上，对称轴为，开口向上时，点到对称轴的距离越大，函数值越大， 计算各点到对称轴的距离：， ， ， ∵ ， ∴，不符合要求，D错误． 2.（2026·河北沧州·一模）跨学科  根据物理学知识，当压力不变时，压强p（Pa）与受力面积S（）成反比例函数关系，当某重物与地面的接触面积为时，测得地面所受压强为，要使地面所受压强减小，则该重物与地面的接触面积应调整为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据p与S的反比例关系设出表达式，先求出定值压力，再根据调整后的压强计算接触面积即可． 【详解】解：设压强与受力面积的反比例函数关系为，其中为不变的压力， ∵当 时，， ∴， 压强减小后，新的压强为：， 将和代入得： 3.（25-26七年级下·陕西渭南·期中）星座是一群位置相近的恒星的组合，人们用线条连接同一星座内的亮星，根据其形状以近似事物命名．如图是狮子座的示意图，建立平面直角坐标系，若恒星的坐标为，恒星的坐标为，则恒星的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给出点的坐标建立坐标系，即可得出点的坐标． 【详解】解：∵恒星的坐标为，恒星的坐标为， ∴建立平面直角坐标系如下： ∴恒星的坐标为． 4.（2026·山东潍坊·一模）给如图所示的无水泳池注水，泳池的前后侧面均为直角梯形，其余各面均为矩形．如果进水速度是均匀的，泳池内水（阴影区域）的高度h与时间t变化的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意可知，开始的一部分时间，随着t的增加，高度增加得逐渐平缓，之后随着t的增加，高度增速不变，所以符合题意的只有A选项． 5.（2026·北京海淀·一模）如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，长为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点之间的部分分别记为，．分别是，上的两个动点（均不与重合）．给出下面四个结论： ①当轴时，长的最大值为； ②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于的面积； ③可能是等边三角形； ④以为中点的线段恰有两条． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）． A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与性质，圆与函数的综合，等边三角形的性质与判定；当与轴重合时，的长取最大值，计算此时的的长即可判断①；，即可判断②；以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形，即可判断③；设，表示出在上，利用建立方程，求出，最后根据的取值范围，即可判断④． 【详解】解：①当与轴重合时，的长取最大值， ∵将代入，得，解得：， ∴， ∴， ∴当与轴重合时，，， ∴当与轴重合时，即为最大值， ∴①正确； ②如图1所示，对于轴上的任意一点， ∵轴， ∴， ∵四边形的名称为， ∴点在第一象限的抛物线上， 抛物线在第一象限曲线上的任意一点，都可以画出, 显然， ∴②错误； ③如图2所示，以为圆心，以为半径画圆与抛物线有交点，改变点位置使得，即可使得是等边三角形， ∴③正确； ④点分别是，上的点，设， ∵、，、在点、点之间，均不与重合， ∴， ∵为中点， ∴在上， ∴，即， （负值舍去）或， ∵， ∴， ∵，这与是矛盾的， ∴不存在以为中点的线段， ∴④错误； 综上：①③正确，选A． 6.（2026·江西抚州·二模）如图，点分别在反比例函数和反比例函数的图象上，的延长线交轴于点，连接，过点作，交反比例函数的图象于点，连接，已知点的纵坐标为轴且．    (1)求的值及点的坐标； (2)①求直线的解析式； ②求四边形的面积． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）先求出点B的坐标，再根据轴且求出点A的坐标即可； （2）①过点作交的延长线于点．设，证明，推出．则，解方程求出m的值，进而得到点D的坐标，再利用待定系数法求解即可；②求出得长，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ． ∵轴且， ∴，且 ， ∴， ； （2）解：①如图，过点作交的延长线于点．    由（1）知，，则反比例函数的解析式为 设， ， ， ， ∵轴， ∴， ， ， ， ，即． ． 解得（舍去），． ∴， ． 设直线的解析式为， 把代入得 解得， ∴直线的解析式为； ②， ， ． 7.（2026·陕西安康·一模）如图，工人师傅建造一座外轮廓为抛物线型的拱门，按照设计要求：门框横梁部分，拱门底部宽度，且满足，．以为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求出拱门所在抛物线的表达式． (2)工人师傅为了固定门框横梁，需要安装两个支架，支架，均与轴垂直，随着施工的进行，工人师傅还需增加支架，以此来维持拱门的稳定性，为了减少不必要的工作量，工人师傅将支架水平放置安装，且满足，轴，与此同时，还要使支架与拱门底部距离超过．结合题目已知，分析工人师傅的操作是否可行． 【答案】(1) (2)工人师傅的操作可行，分析见解析 【分析】（1）先设抛物线的表达式为，然后解求出点的坐标，再由待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称性求出点的横坐标，再代入抛物线的表达式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过 ∴设抛物线的表达式为． ，，． 根据抛物线的对称性可知点与点关于抛物线对称轴对称， ∴ ， ∴， 即点的坐标为， 将点的坐标代入所设抛物线表达式得， 解得， ； （2）解：根据题意可知，且抛物线对称轴为直线， 点的横坐标为 将其代入到抛物线中， 得． ， 到拱门底部的距离超过，故工人师傅的操作可行． 8.（2026·河北·二模）在某次无人机表演中，开场表演的两飞机的飞行图象如图所示，指挥机P从点处以的速度匀速向右飞行，表演机Q起飞后始终在指挥机P的正下方．表演机Q从点处起飞，以角沿直线飞行，段共用时，之后沿直线水平飞行，到点C后，在段做抛物线运动，其中C为抛物线顶点，其横坐标，D为表演机最终着陆点，段共用时． (1)求点B的坐标； (2)求段h关于s的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (3)直接写出表演机最终着陆点D的坐标，并求段h关于s的函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (4)当P，Q两飞机的距离不大于m时，两飞机会发出避障警报，求本次表演发出避障警报的总时长． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】（1）过点B作轴于点E，延长交指挥机的飞行路线于点F，过点A作于点G，证明为等腰直角三角形，得出，求出，即可得出答案； （2）待定系数法求出段h关于s的函数表达式即可； （3）先求出段的水平距离为：，然后求出点D的坐标即可，待定系数法求出抛物线的解析式即可； （4）把代入求出s的值，把代入得出s的值，根据速度、路程、时间的关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点B作轴于点E，延长交指挥机的飞行路线于点F，过点A作于点G，如图所示： 则，， 根据题意得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，把，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：∵段共用时， ∴段的水平距离为：， ∴点D的横坐标为，即点D的坐标为； 根据题意得：， 段h关于s的函数表达式为，把代入得： ， 解得：， ∴段h关于s的函数表达式为； （4）解：把代入得： ， 解得：， 把代入得： ， 解得：，（舍去）， ∴本次表演发出避障警报的总时长为： ． 中考闯关 1.如图1，将沿斜边上的中线CM裁开，使沿射线AB方向平移，记作，当它与重叠部分为五边形时，设平移距离为x，该五边形面积为y．时，图2为函数部分图象，抛物线经过原点，最高点为，且经过点，．下列说法正确的是（） A．点在函数图象上 B． C． D．自变量x的取值范围为 【答案】A 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，再利用求出解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，过点作于点，如图， 设， 为沿斜边上的中线， ， 平移距离为， ，， 由题意得：，， ，， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， , ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， , ， 最高点为， ， ， ， 抛物线的解析式为， 当时，， 点在函数图象上， A选项的结论正确； 抛物线的对称轴为直线，，， ， B选项的结论不正确， 又最高点为，， ，自变量的取值范围为， C，D选项的结论不正确． 2.抛物线与x轴交于A、B两点，且．将抛物线沿y轴平移m个单位后，与线段（不含端点）一定有交点，则抛物线平移方式及m的取值范围是（   ） A．向上平移， B．向下平移， C．向上平移， D．向下平移， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴交点、二次函数的图像平移问题，由求出值，得到抛物线解析式，再讨论平移后与线段有交点的情况，即可获得答案． 【详解】解：对于抛物线， 当时，可得， 解得，， ∵该抛物线与x轴交于A、B两点，且， ∴方程的两根之差， 即， ∴，解得， ∴该抛物线解析式为，， 即A，B两点的坐标分别为，， 将抛物线沿y轴平移m个单位，若向下平移，则平移后的解析式为， 令，得，整理可得， 由，且交点在线段（不含端点）内， 可知， ∴，解得， 此时交点在线段（不含端点）内； 若向上平移，则平移后的解析式为， 令，得， ∴或，即抛物线与线段无交点． 综上所述，抛物线向下平移，且． 故选：B． 3.如图1，在中，，E为边上一动点，作，交于点D，连接．记，的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（   ）      A．当时，的长最小 B．的面积最大为 C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象获取关键点坐标，确定的长度及函数解析式；利用三角形面积公式及三角函数求出的度数；构建长度关于的函数关系式，利用二次函数性质判断的最小值情况． 【详解】由图2可知，函数图象过点和， 当时，，即点与点重合， ， 故C选项说法正确； 由图象对称性可知，对称轴为直线， 当时，取得最大值， 设， 将点代入得：， 解得， ， 当时，， 故B选项说法正确； ， ， 在中，， ， ， 故D选项说法正确； 在中，， ，抛物线开口向上， 当时，最小， 即最小， ， 当时，的长不是最小， 故A选项说法错误． 4.如图，已知O为原点，点A的坐标为，在直线上找一点B，使，点C在双曲线上，，，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定与性质，反比例函数与几何综合等知识，过点作轴于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，设点，根据两点间的距离求出点的坐标，得到，通过解直角三角形得到，再得到，求出，证明，得到，再求出，得到，求出，再分别求出，，，的长，设点，求出，，得到点，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图： 设点， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 设点， ∴， ， ∴点， ∵点C在双曲线上， ∴， 故答案为：． 5.已知二次函数（b常数）的图像与x轴交于点 (1)求二次函数的顶点坐标． (2)当时，求y的取值范围． (3)平行于y轴的直线l分别与直线和抛物线交于M，N两点．若平移直线l，可以使点M，N都在x轴上方，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求出b的值，然后把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）分和两种情况讨论，数形结合构造关于m的不等式求解即可. 【详解】（1）解：二次函数经过， ∴， 解得， ∴， ∴二次函数的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵，， ∴当时，y有最大值为4， 当时，y有最小值为， ∴当时，y的取值范围为； （3）解：设二次函数与x轴另一交点为B， 当时，， 解得，， ∴， 设直线与y轴交于点C， 当时，， ∴， 观察图象知，当时，， ∵N在x轴上方， ∴， 当，即时， ∵M在x轴上方， ∴当时，， 解得， ∴； 当，即时， ∴当时，， 解得， ∴， 综上，m的取值范围为或. 6.已知一次函数（）经过、两点． (1)求该函数表达式． (2)求函数图象与坐标轴的交点坐标，并求出当时自变量的取值范围． (3)该一次函数图象上有不重合的两点，．若，化简求代数式． 【答案】(1) (2)一次函数与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为， (3)2 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）分别令和求出一次函数与坐标轴的交点坐标，然后根据增减性求解； （3）首先得到，，，然后代入判断出，然后化简即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得 ∴一次函数表达式为； （2）解：∵一次函数表达式为 ∴当时，， ∴一次函数与y轴的交点坐标为； 当时，， 解得 ∴一次函数与x轴的交点坐标为； ∵中 ∴y随x的增大而增大 ∴当时，自变量的取值范围为； （3）解：∵该一次函数图象上有不重合的两点， ∴ ∴， ∴ ∴． 7.在二次函数中． (1)已知该函数图象经过，求这个二次函数的表达式． (2)当时，该二次函数图象与轴有且只有一个交点，求的范围． (3)如果，在该二次函数图象上，且，求的范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得顶点坐标为，根据题意得到，结合图象得到保证在处不在x轴上方，保证在处在x轴上方，据此列出不等式即可求解； （3）由，，结合，求得，分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， 这个二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴顶点坐标为，恒在轴下方， ∵该二次函数图象与轴有且只有一个交点， ∴开口向上，即， 要满足时与x轴有且只有一个交点，需满足： 当时， (保证在处不在x轴上方)，解得； 当时，(保证在处在x轴上方)，解得； ∴； （3）解：将代入函数得， ∴， ∵， ∴，解得或， 将代入函数得， ∵， ∴， ∴， 当时，则， ∴，解得或， 当时，则； 当时，则或； 当时，则， ∴，解得， 当时，则； 当时，则； 综上，当时，或；当时，． 即． 8.图书馆和书店之间有一条笔直公路，小明从图书馆骑自行车沿公路匀速前往书店，同时小丽从书店步行沿公路匀速前往图书馆，小明到达书店后，逗留了分钟再原路原速返回到图书馆．设小明、小丽与书店的距离分别为，米，小明与小丽之间的距离为米，设小丽行走的时间为分钟．，与x之间的函数图象如图所示． (1)分别求出线段，所在直线的函数表达式． (2)求小明、小丽第二次相遇时的值． (3)当时，若，求的值． 【答案】(1)线段，所在直线的函数表达式分别为、 (2)小明、小丽第二次相遇时的值为 (3)的值为或 【分析】本题考查一次函数与行程问题，准确理解题意以及掌握一次函数与行程问题的联系是解题的关键． （1）根据图象即题干信息，可得出线段所在直线为正比例函数表达式，结合点的坐标，可求出其函数表达式；根据题意，可得出线段对应的速度，即为一次函数中的值，结合点的坐标，可求出线段所在直线的函数表达式； （2）根据题意，小明、小丽第二次相遇即为点时的状态，结合（1）中的函数表达式，可求出点的横坐标，得其所对应的值； （3）根据题意，可得出当时，恰在线段所在范围内，故，解出对应的值即可． 【详解】（1）解：观察图象，可得线段所在直线为正比例函数表达式，令其表达式为， ∵点， 将点代入， 得， 解得， 故线段所在直线的函数表达式为， 根据题意，可观察出段的速度为， 故段的速度也为， 根据题意可知，点， 故令线段所在直线的函数表达式为， 将代入， 解得， 故线段所在直线的函数表达式为， 综上，线段，所在直线的函数表达式分别为、． （2）解：小明、小丽第二次相遇时即为图中点所对应的值， 故， 得， 解得， 故小明、小丽第二次相遇时的值为． （3）解：当时，得 得此时， 故当时，恰在线段所在范围内， 若，即， ∴， 解得或， 故的值为或． 9.如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C在线段上运动，把线段绕点C沿顺时针方向旋转得线段，连接AD，作轴于点H． (1)当点C运动到时，求的长． (2)在（1）的条件下，求点D的坐标． (3)求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，求出点，，通过解直角三角形得到，证明为等边三角形，得到，证明四点共圆，求出，得到，，根据勾股定理求出，再求出，即可求解； （2）求出，，即可得出的坐标； （3）延长到，使，连接，则，证明，得到，得到，再证明，得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 对， 令，解得：， ∴ 令，解得：， ， ，， ， 又， 为等边三角形， ， 四点共圆， ， ， ， ，， 在中，， 由旋转可得：， ∵点， ∴， ∴， 在中，，即 解得：或(舍去)， ； （2）解：∵， ∴，， ； （3）解：如图，延长到，使，连接，则， ，， ， ， 又四点共圆， ， ，即， 又，， ， ， 在中，， ∴， ，即． 10.近年来，便携式加湿器因体积小、操作简单等优点迅速成为上班族的宠儿．某代理根据市场需求，销售一种便携式加湿器，每台进价为20元．供应商规定，每台售价不低于36元，且销售利润不高于进价的．经市场销售后发现：该产品月销售量（台）与售价（元/台）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 售价（元/台） 36 38 40 42 月销售量（台） 4000 3800 3600 3400 (1)求关于的函数表达式． (2)当每台售价定为多少元时，商场每月销售这种家用加湿器获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)当元时利润最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用、不等式组的应用等知识点，明确题意、正确列出函数解析式是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求关于的函数表达式即可； （2）先根据题意列不等式求得x的取值范围，再列出获得的利润与x的函数解析式，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设，分别把代入得：，解得：， ． （2）解：由题意得：， 由题意可得： ， 当时，元． 答：每台售价定为45元时利润最大，最大利润为元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $