专题02 函数的概念、一次函数与反比例函数（8大题型解题攻略精讲精练+中考练场）-2025年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）

专题02 函数的概念、一次函数与反比例函数 目录 热点题型归纳 题型01 函数基础知识 2 题型02 正比例函数的性质 4 题型03 一次函数的性质 5 题型04 一次函数图象上点的坐标特征 6 题型05 一次函数的应用 8 题型06 反比例函数的性质 18 题型07 反比例函数图象上点的坐标特征 19 题型08 待定系数法求反比例函数解析式 24 中考练场 29 1.考查分值：18-22分。 2.考查题型：常以填空或计算题形式出现。 3.能力要求： 一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用其中，图象的性质经常以选择、填空题形式出现，而简单应用题型的考察较为灵活，单独考察一次函数的题目占比并不是很多，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合 反比例函数是上海中考最新考查趋势。主要考察其图象与性质，常和一次函数的图象结合考察。对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。解答题中考查反比例函数的解析式的确定，常和一次函数结合。 题型01 函数基础知识 【提分秘籍】 1.函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 类型 自变量x的取值范围. 整式型 全体实数； 分式型 分母不能为零 偶次根式型 使被开方数为非负数的实数 零指数幂、负整数指数幂 使底数不为零的实数 混合型 各个代数式中自变量取值范围的公共部分 实际问题 使实际问题有意义的实数 2.函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 3.函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 4.函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 【典例分析】 例1．（2025·上海杨浦·一模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（   ） A．该函数的图象关于轴对称 B．该函数的图象没有最低点也没有最高点 C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D．沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 例2．（2024·上海·三模）函数的取值范围为 ． 例3．（2025·上海杨浦·一模）已知函数，那么 ． 例4．（2025·上海奉贤·一模）函数的定义域是 ． 例5．（2025·上海闵行·一模）圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 函数． 例6．（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 例7．（2025·上海宝山·模拟预测）最近我校要召学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为 【变式演练】 1．（2024·上海奉贤·三模）函数中，自变量x的取值范围是   ． 2．（2025·上海闵行·一模）已知，那么 ． 3．（2024·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 4．（2024·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 5．（2023·上海·模拟预测）试着画函数的大致图像，可知其图像有最 点（填“高”或“低”），该点的坐标为 ． 6．（2024·上海嘉定·模拟预测）正方形与等边按如图所示方式叠放，顶点重合，点在边上，直线垂直，与直线和折线分别交于、两点，从点出发，运动至点停止，设移动的距离为，，运动过程中与的函数如图所示，则的长为 ． 题型02 正比例函数的性质 【解题策略】 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数； 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称． 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 【典例分析】 例．（2024·上海普陀·二模）已知正比例函数(k是常数，)的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是(    ) A． B． C． D． 【变式演练】 1．（2024·上海普陀·一模）已知正比例函数y的值随着自变量x的值增大而增大，那么这个正比例函数的解析式可以是 ．（只需写一个） 2．（2025·上海普陀·一模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 3．（2025·上海徐汇·模拟预测）若正比例函数过点，则 题型03 一次函数的图象与性质 【解题策略】 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 一次函数的平移： (1)-次函数y=kx+b的图象向左平移m(m>0)个单位得y=k(x+m)+b的图象; (2)-次丽数y=kx+b的图象向右平移m(m>0)个单位得y=k(x-m)+b的图象; (3)一次函数y=kx+b的图象向上平移n(n>0)个单位得y=kx+b+n 的图象; (4)一次函数y=kx+b的图象向下平移n(n>0)个单位得y=kx+b-n的图象. 平移口诀：左加右减，上加下减 【典例分析】 例1．（2024·上海青浦·二模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·上海黄浦·三模）下列函数中，满足的值随的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·上海·二模）将直线向左平移3个单位后的解析式为 ． 例4．（2024·上海黄浦·二模）将直线向上平移2个单位，所得直线与x轴、y轴所围成的三角形面积是 ． 【变式演练】 1．（2024·上海浦东新·三模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海静安·三模）下列函数中，当时，随增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·上海杨浦·模拟预测）将直线向下平移3个单位截距为，则 ． 4．（2024·上海·三模）把直线向左平移3个单位后，在y轴上的截距为5，那么原来的直线解析式为 5．（2024·上海·模拟预测）将正比例函数向左平移个单位，就是向下平移 个单位． 题型04 一次函数图象上点的坐标特征 【解题策略】 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 【典例分析】 例1．（2024·上海·三模）已知一次函数的图象经过点和点，如果，那么x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．（2025·上海奉贤·一模）已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例3．（2024·上海·三模）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（ ） A． B．5或 C． D．或3 例4．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是 ． 【变式演练】 1．（2024·上海静安·二模）一次函数中，如果，那么该函数的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·上海·模拟预测）无论实数m为何值，直线与的交点不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·上海静安·三模）已知直线不经过第四象限，则的取值范围是 ． 4．（2024·上海徐汇·三模）如果一次函数的图像一定经过第二、三象限，那么常数m的取值范围为 ． 5．（2024·上海·模拟预测）一次函数与x轴夹角的余切值为 ． 6．（2024·上海·模拟预测）一次函数与坐标轴围成三角形的面积为 ． 7．（2024·上海宝山·一模）一次函数不经过第三象限，关于x的方程的解的个数为 ． 8．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交x负半轴于点A，直线与x正半轴交于点，那么点A的坐标是 ． 题型05 一次函数的应用 【解题策略】 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【典例分析】 例1．（2024·上海·模拟预测）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，F拉力与之间的函数表达式为 C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 例2．（2024·上海虹口·二模）一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为 （不写定义域）． 例3．（2024·上海浦东新·三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分． 例4．（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 例5．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 例6．（2024·上海黄浦·二模）网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零． (1)在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？ (2)在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x元的消费与实际总支付y元间存在着依赖关系，当时，写出y关于x的函数关系式； (3)广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由． 例7．（2024·上海嘉定·二模）某企业在2022年1至3月的利润情况见表． 月份数（） 1 2 3 利润数（）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2022年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润； (2)这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 例8．（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 例9．（2024·上海·模拟预测）中国石化推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，单价优惠0.3元，假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完，且油价一直不变． (1)某人购买一张加油卡，他实际支付了多少元？ (2)设油的原价为x元/升，优惠后油的单价为y元/升，求y关于x的函数解析式 (3)油的原价是元/升，求：优惠后油的单价比原价少多少元（保留2位有效数字）． 例10．（2024·上海·模拟预测）新定义：无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，在平面直角坐标系中建立点为的青一坐标，同理可得的青一区间为，为的青一坐标，两坐标的距离，叫做的青一距． (1)的青一坐标与的青一坐标关于_________对称； (2)的青一区间为_______，的青一区间为_________，的青一距为_______； (3)实数x，y满足关系式：，若直线过的青一坐标和的青一坐标，求：的青一距和直线与x轴夹角的正弦值． 【变式演练】 1．（2023·上海宝山·二模）某地长途汽车客运公司规定：旅客可免费随身携带一定重量的行李，如果行李超过规定重量，则需要购买行李票．行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图像如图所示，那么旅客最多可免费携带行李 千克． 2．（2023·上海徐汇·二模）某公司产品的销售收入元与销售量x吨的函数关系记为，销售成本与销售量x的函数关系记为，两个函数的图像如图所示．当销售收入与销售成本相等时，销售量x为 吨． 3．（2023·上海奉贤·二模）如图，某电信公司提供了A、B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系．如果通讯费用为60元，那么A方案与B方案的通话时间相差 分钟． 4．（2023·上海金山·二模）小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离（米）、（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是 分钟． 5．（2023·上海浦东新·二模）某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表： 分档 户年用水量 （立方米） 自来水单价 （元/立方米） 污水处理单价 （元/立方米） 第一阶梯 0~220（含220） 2.25 1.8 第二阶梯 220~300（含300） 4 第三阶梯 300以上 6.99 注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价） 仔细阅读上述材料，请解答下面的问题： (1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？ (2)居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段）的表达式； (3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？ 6．（2023·上海崇明·二模）在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x（瓶）之间的函数关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）； (2)该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量． 7．（2023·上海普陀·二模）购物节期间，、两家网店分别推出了促销活动，店活动：当购买的商品总金额在元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过元，超过元的金额打折，店购物的实付总金额(元)与商品总金额(元)之间的函数关系如图所示；店活动：所有商品直接打七折．    (1)当A店购买的商品总金额超过元时，求出与之间的函数解析式； (2)A店推出的促销活动中：________； (3)某公司计划购买某种型号的优盘，采购员发现店的单价要比店的单价贵元，如果购买相同数量的优盘，在店的实付总金额是元，而在店的实付总金额是元．请求出店这种型号优盘的单价． 8．（2023·上海静安·二模）已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，小明家与街心公园相距900米，小明家与超市相距1200米．小明和妈妈从家里出发，匀速步行了20分钟到达街心公园；两人在公园停留20分钟后，妈妈按原来相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行5分钟到达超市购买文具用品，停留10分钟后，匀速骑自行车返回家，发现妈妈比他早到家10分钟．如图反映了这个过程中小明离开家的距离（米）与离开家的时间（分钟）的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题： (1)小明从家到街心公园的速度为______（米/分）； (2)小明从街心公园到超市的速度为______（米/分）； (3)小明从超市骑车返回家时，求他离开家的距离（米）与离开家的时间（分钟）的函数解析式，并写出的取值范围． 9．（2024·上海杨浦·一模）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图像． 根据图像提供的信息回答下列问题： (1)图中的_______，______； (2)求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； (3)她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由． 10．（2024·上海黄浦·三模）在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像．请根据图像回答下列问题： (1)求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式； (2)若两人间的距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 题型06 反比例函数的性质 【解题策略】 反比例函数的性质 （1）反比例函数（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 【典例分析】 例1．（2024·上海黄浦·二模）反比例函数的图像有下述特征：图像与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（    ） A．自变量且x的值可以无限接近0 B．自变量且函数值y可以无限接近0 C．函数值且x的值可以无限接近0 D．函数值且函数值y可以无限接近0 例2．（2024·上海·模拟预测）若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而 （选填“增大”或“减小”） 【变式演练】 1．（2024·上海奉贤·二模）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（    ） ①函数图像经过点；②图像经过第二象限；③当时，随的增大而增大． A． B． C． D．． 2．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·上海·三模）反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而 ．（选填“增大”或“减小”） 4．（2024·上海·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则当时，的取值范围是 ． 题型07反比例函数图象上点的坐标特征 【解题策略】 反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【典例分析】 例1．（2024·上海·模拟预测）已知点在反比例函数（k为常数）图象上，，若，则的值为（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 例2．（2024·上海浦东新·二模）如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，轴，那么的面积等于 ． 例3．（2024·上海杨浦·三模）已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数解析式； (2)设点关于轴的对称点为点，求的面积． 【变式演练】 1．（2024·上海徐汇·二模）如果反比例函数的图像经过点，那么的值是 ． 2．（2024·上海·模拟预测）已知正比例函数和反比例函数交于，则 ． 3．（2024·上海静安·三模）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，，，与轴交于点，若与四边形的面积比为，则的值为 ．    4．（2024·上海普陀·三模）构造函数，建系法是解决数学问题的常用方法，不等式：的解集为 5．（2024·上海徐汇·二模）如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是 ．   6．（2024·上海青浦·模拟预测）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为 ． 7．（2024·上海普陀·模拟预测）如图，为直角三角形，，点A为斜边的中点，反比例函数图象经过A、C点（A、C点在第一象限），点D在反比例函数上（点D在第二象限），过点D作x轴的垂线交的图象于点，过点C作x轴的垂线交的图象于点E，连接，，已知的面积为16．若A，两点关于原点中心对称，则四边形的面积为 ． 8．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图），点在反比例函数位于第一象限的图像上，点的横坐标大于点的横坐标，．如果的重心恰好也在这个反比例函数的图像上，那么点的横坐标为 ．    9．（2024·上海·三模）如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设． (1)求的正切值； (2)已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，连接，若轴，求m的值． 10．（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 题型08 待定系数法求反比例函数解析式 【解题策略】 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 【典例分析】 例1．（2024·上海静安·三模）已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 例2．（2024·上海虹口·二模）如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点和点，与轴交于点．点在反比例函数图像上，过点作轴的垂线交一次函数图像于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． 【变式演练】 1．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 2．（2024·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上，过点B作轴，垂足为点H．如果，求点B的坐标． 3．（2024·上海奉贤·二模）如图，已知一次函数图像与反比例函数图像交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点在点右侧的反比例函数图像上，过点作轴的垂线，垂足为，如果，求点的坐标． 4．（2024·上海·模拟预测）已知一次函数与反比例函数的图象交于，B两点 (1)求反比例函数解析式 (2)将在平面内沿某个方向平移得到其中点、、的对应点分别是、、，若、同时在反比例函数的图象上，求点的坐标． 5．（2024·上海宝山·三模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点两点，与x轴、y轴分别交于两点，且点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求的面积． 6．（2024·上海·模拟预测）如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 一、单选题 1．（2024·上海·中考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·上海·中考真题）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ） A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0） 3．（2023·上海·中考真题）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2022·上海·中考真题）已知f（x）=3x，则f（1）= ． 5．（2021·上海·中考真题）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式 ． 6．（2024·上海·中考真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而 ．（选填“增大”或“减小”） 7．（2021·上海·中考真题）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚 元． 8．（2022·上海·中考真题）已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线： ． 9．（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 三、解答题 10．（2022·上海·中考真题）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）． (1)求这个一次函数的解析式； (2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值． 11．（2023·上海·中考真题）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． (1)他实际花了多少钱购买会员卡？ (2)减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域） (3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 12．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数的概念、一次函数与反比例函数 目录 热点题型归纳 题型01 函数基础知识 2 题型02 正比例函数的性质 9 题型03 一次函数的性质 11 题型04 一次函数图象上点的坐标特征 16 题型05 一次函数的应用 24 题型06 反比例函数的性质 50 题型07 反比例函数图象上点的坐标特征 54 题型08 待定系数法求反比例函数解析式 74 中考练场 91 1.考查分值：18-22分。 2.考查题型：常以填空或计算题形式出现。 3.能力要求： 一次函数在中考数学中主要考察其图象、性质以及其简单应用其中，图象的性质经常以选择、填空题形式出现，而简单应用题型的考察较为灵活，单独考察一次函数的题目占比并不是很多，更多的是考察一次函数与其他几何知识的结合 反比例函数是上海中考最新考查趋势。主要考察其图象与性质，常和一次函数的图象结合考察。对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐增大，考题常结合其他规则几何图形的性质一起出题，多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意。解答题中考查反比例函数的解析式的确定，常和一次函数结合。 题型01 函数基础知识 【提分秘籍】 1.函数的取值范围：使函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围. 类型 自变量x的取值范围. 整式型 全体实数； 分式型 分母不能为零 偶次根式型 使被开方数为非负数的实数 零指数幂、负整数指数幂 使底数不为零的实数 混合型 各个代数式中自变量取值范围的公共部分 实际问题 使实际问题有意义的实数 2.函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 3.函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式. 4.函数图像上点的坐标与解析式之间的关系： 1）将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在. 2）两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解. 【典例分析】 例1．（2025·上海杨浦·一模）在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小华用“描点法”画它的图象，列出了如下表格： 那么下列说法中正确的是（   ） A．该函数的图象关于轴对称 B．该函数的图象没有最低点也没有最高点 C．该函数的图象经过第一、二、三、四象限 D．沿轴的正方向看，该函数的图象在对称轴左侧的部分是下降的 【答案】D 【分析】本题考查了由表格法判断函数的图象，根据时，；时，，可得对称轴为直线，可判断；由当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值，可判断；由可知，可判断；由函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小，可判断，据此即可求解，看懂表格中的数值是解题的关键． 【详解】解：、∵时，；时，， ∴对称轴为直线，故选项错误； 、由表可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，当时，取最小值， ∴该函数的图象有最低点没有最高点，故选项错误； 、∵， ∴， ∴该函数的图像经过三、四象限，不经过第一、二象限，故选项错误； 、∵函数图象的对称轴为直线，当时，随着的增大而减小， ∴沿轴的正方向看，该函数的图像在对称轴左侧的部分是下降的，故选项正确； 故选：． 例2．（2024·上海·三模）函数的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求自变量取值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件可知，求出解集即可． 【详解】根据题意可知， 解得． 故答案为：． 例3．（2025·上海杨浦·一模）已知函数，那么 ． 【答案】9 【分析】本题考查了求函数值，熟练掌握函数的相关知识是解题的关键． 将直接代入函数解析式求值即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 例4．（2025·上海奉贤·一模）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件、求函数的定义域，根据分式有意义的条件得出，求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则分母， 即， ∴函数的定义域是， 故答案为：． 例5．（2025·上海闵行·一模）圆柱的体积的计算公式是，其中是圆柱底面的半径，是圆柱的高，当是常量时，是的 函数． 【答案】正比例 【分析】本题考查函数的概念，常量与变量．由正比例函数的定义，即可得到答案． 【详解】解：，其中r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高，当r是常量时，V是h的正比例函数． 故答案为：正比例． 例6．（2025·上海闵行·一模）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 【答案】 【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 例7．（2025·上海宝山·模拟预测）最近我校要召学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为 【答案】y= 【分析】本题考查了函数关系的应用，理解当余数是时，要增选一名，即人数最小应该增加3，掌握函数关系的应用是解题的关键． 根据题意，人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可得当余数是时，要增选一名，即人数最小应该增加3，由此列式即可求解． 【详解】解：每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表， ∴当余数是时，要增选一名，即人数最小应该增加3， 该班人数x， ∴推选代表人数， 故答案为： ． 【变式演练】 1．（2024·上海奉贤·三模）函数中，自变量x的取值范围是   ． 【答案】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式与分式有意义的条件，从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分． 【详解】解：根据题意得到：， 解得． 故答案为：． 2．（2025·上海闵行·一模）已知，那么 ． 【答案】5 【分析】本题考查求函数值．将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：5． 3．（2024·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求出函数的定义域，根据分式有意义的条件即可求解，掌握据分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】由题意可得，， ∴， ∴， ∴函数的定义域为： 故答案为：． 4．（2024·上海·模拟预测）函数的定义域为 ． 【答案】且 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据，二次根式有意义以及分式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，解得：且； 故答案为：且． 5．（2023·上海·模拟预测）试着画函数的大致图像，可知其图像有最 点（填“高”或“低”），该点的坐标为 ． 【答案】 高 【分析】本题主要考查函数的图象，找到隐含条件是解题的关键． 先画出函数的图象，再根据函数的图象的性质即可求解． 【详解】解：如图，函数的大致图像如图， 由函数可知， 随着的增大而减小， 因为， 当时，有最大值为1， 所以函数图象有最高点且该点的坐标为． 故答案为：高；． 6．（2024·上海嘉定·模拟预测）正方形与等边按如图所示方式叠放，顶点重合，点在边上，直线垂直，与直线和折线分别交于、两点，从点出发，运动至点停止，设移动的距离为，，运动过程中与的函数如图所示，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】根据函数图像可知，当从点出发，运动至点时，取得最大值，即，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得即可求解． 【详解】解：根据函数图像可知，当从点出发，运动至点时，取得最大值，即， 等边 是正方形， ，， ，则， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，正方形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，从函数图像上获取信息是解题的关键． 题型02 正比例函数的性质 【解题策略】 单调性 当k＞0时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y随x的增大而增大（单调递增），为增函数； 当k＜0时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y随x的增大而减小（单调递减），为减函数． 对称性 对称点：关于原点成中心对称． 对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线． 【典例分析】 例．（2024·上海普陀·二模）已知正比例函数(k是常数，)的图象经过点，那么下列坐标所表示的点在这个正比例函数图象上的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值，进而可得出正比例函数解析式为再分别代入各选项中点的横坐标，求出值，将其与纵坐标比较后即可得出结论． 【详解】解：正比例函数是常数，的图象经过点， ， 解得：， 正比例函数解析式为； A．当时，， 点在这个正比例函数图象上，选项A符合题意； B．当时，，， 点不在这个正比例函数图象上，选项B不符合题意； C．当时，，， 点不在这个正比例函数图象上，选项C不符合题意； D．当时，，， 点不在这个正比例函数图象上，选项D不符合题意． 故选：A． 【变式演练】 1．（2024·上海普陀·一模）已知正比例函数y的值随着自变量x的值增大而增大，那么这个正比例函数的解析式可以是 ．（只需写一个） 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答． 根据正比例函数的性质可知，从而可以写出一个符合要求的函数解析式． 【详解】解：∵正比例函数y的值随着自变量x的值增大而增大， ∴， ∴这个正比例函数的解析式可以是， 故答案为：. 2．（2025·上海普陀·一模）已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解题的关键． 根据“，当时，该函数的图象经过第二、四象限；当时，该函数的图象经过第一、三象限”解题即可． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为： ． 3．（2025·上海徐汇·模拟预测）若正比例函数过点，则 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了求正比例函数的比例系数，将点代入即可求解； 【详解】解：将点代入得：， 解得：， 故答案为： 题型03 一次函数的图象与性质 【解题策略】 一次函数的性质： k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降． 由于y＝kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴． 一次函数的平移： (1)-次函数y=kx+b的图象向左平移m(m>0)个单位得y=k(x+m)+b的图象; (2)-次丽数y=kx+b的图象向右平移m(m>0)个单位得y=k(x-m)+b的图象; (3)一次函数y=kx+b的图象向上平移n(n>0)个单位得y=kx+b+n 的图象; (4)一次函数y=kx+b的图象向下平移n(n>0)个单位得y=kx+b-n的图象. 平移口诀：左加右减，上加下减 【典例分析】 例1．（2024·上海青浦·二模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断一次函数的增减性 【分析】本题主要考查了一次函数图像与反比例函数图像的性质，熟练掌握函数图象的增减性是解题关键． 【详解】A：为一次函数，x取所有实数，∵，∴函数值随自变量的值增大而增大，故选项正确； B：为一次函数，x取所有实数，∵，∴函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误； C：为反比例函数，，在内，函数值随自变量的值增大而减小，并且在内，函数值随自变量的值增大而减小，故选项错误； D：为反比例函数，，在内，函数值随自变量的值增大而增大，并且在内，函数值随自变量的值增大而增大，但在从左侧到右侧时不满足条件“函数值随自变量的值增大而增大”，故选项错误； 故选：A． 例2．（2024·上海黄浦·三模）下列函数中，满足的值随的值增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、y=ax²的图象和性质、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了函数的性质，根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质逐一判断即可求解，掌握一次函数、反比例函数及二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴的值随的值增大而增大，该选项不合题意； 、∵， ∴在同一个象限内，的值随的值增大而减小，该选项不合题意； 、∵， ∴的值随的值增大而减小，该选项符合题意； 、∵， ∴当时，的值随的值增大而增大；当时，的值随的值增大而减小，该选项不合题意； 故选：． 例3．（2024·上海·二模）将直线向左平移3个单位后的解析式为 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将直线向左平移3个单位后的解析式为； 故答案为：． 例4．（2024·上海黄浦·二模）将直线向上平移2个单位，所得直线与x轴、y轴所围成的三角形面积是 ． 【答案】1 【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】根据函数图象“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案．本题考查了一次函数的几何变换，以及图象与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”． 【详解】解：直线向上平移2个单位长度得到：， 令，即， 解得， 令，得， 所以直线与轴和轴的交点坐标分别为：与， 所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为． 故答案为：1． 【变式演练】 1．（2024·上海浦东新·三模）下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，正比例函数的性质．根据反比例函数的性质及正比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、中，， 函数值随自变量的值增大而增大，符合题意； B、中，， 函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每一象限内函数值随自变量的值增大而增大，不符合题意； C、中，， 函数图象的两个分支分别位于一、三象限，在每一象限内函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意； D、中，， 函数值随自变量的值增大而减小，不符合题意． 故选：A． 2．（2024·上海静安·三模）下列函数中，当时，随增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断反比例函数的增减性、y=ax²+bx+c的图象与性质、判断一次函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数、一次函数、二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据反比例函数，一次函数，二次函数的图象与性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，A中，当时，随增大而增大，故符合要求； B中，当时，随增大而减小，故不符合要求； C中，当时，随增大而增大，故不符合要求； D中是一条平行于轴的直线，故不符合要求； 故选：A． 3．（2024·上海杨浦·模拟预测）将直线向下平移3个单位截距为，则 ． 【答案】2 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】此题考查了一次函数的平移，根据平移规律得到，即可得到答案． 【详解】解：∵直线向下平移3个单位截距为， ∴， ∴ 故答案为：2 4．（2024·上海·三模）把直线向左平移3个单位后，在y轴上的截距为5，那么原来的直线解析式为 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题 【分析】本题考查一次函数图象及性质．根据题意利用图象平移性质及截距定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵直线向左平移3个单位后， ∴，即： ∵在y轴上的截距为5， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·上海·模拟预测）将正比例函数向左平移个单位，就是向下平移 个单位． 【答案】 【知识点】一次函数图象平移问题 【分析】本题考查正比例函数图象的平移，由将正比例函数向左平移个单位，得到平移后的解析式为，即，从而确定正比例函数图象的另一种平移方式，熟练掌握函数图象的平移法则是解决问题的关键． 【详解】解：将正比例函数向左平移个单位，则平移后的解析式为，即， 将正比例函数向左平移个单位，就是向下平移个单位， 故答案为：． 题型04 一次函数图象上点的坐标特征 【解题策略】 一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）． 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b． 【典例分析】 例1．（2024·上海·三模）已知一次函数的图象经过点和点，如果，那么x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断一次函数的增减性、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数与不等式的关系，先判断出y随x增大而减小，再根据一次函数图象在x轴上方时自变量的取值范围为可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和点，， ∴y随x增大而减小， ∴当一次函数图象在x轴上方时自变量的取值范围为，即时，x的取值范围为， 故选：A． 例2．（2025·上海奉贤·一模）已知函数，其中常数、，那么这个函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的解析式得出其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，从而得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数，其中常数、， ∴其图象经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 例3．（2024·上海·三模）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（ ） A． B．5或 C． D．或3 【答案】D 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数与轴交点问题、一次函数与轴交点问题，读懂轴点函数的定义是解题的关键．根据题意，用表示出点、的坐标，代入，解出即可得到答案． 【详解】解：函数（为常数，）的图象与轴交于点 其轴点函数与轴的两个交点为、 或 解得：或 故选：D． 例4．（2024·上海普陀·二模）已知直线与直线相交于点A，那么点A的横坐标是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代入，求出x的值即可． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴点A的横坐标是． 故答案为：． 【变式演练】 1．（2024·上海静安·二模）一次函数中，如果，那么该函数的图像一定不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：当一次函数中，，该函数的图象一定不经过第三象限， 故选：C． 2．（2024·上海·模拟预测）无论实数m为何值，直线与的交点不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】∵直线中，，， ∴直线过第一、三、四象限， ∴无论为何实数，直线与的交点不可能在第二象限， 故选：B． 3．（2024·上海静安·三模）已知直线不经过第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了函数的图象，分和两种情况解答即可求解，掌握一次函数的图象是解题的关键． 【详解】解：当，即时，直线， 此时直线经过一、二象限，与轴平行； 当，直线为一次函数， ∵直线不经过第四象限， ∴直线经过一、二、三象限， ∴， ∴； 综上，的取值范围为， 故答案为：． 4．（2024·上海徐汇·三模）如果一次函数的图像一定经过第二、三象限，那么常数m的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】约分、已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，运用数形结合思想解题是解题的关键，根据“一次函数的图像一定经过第二、三象限”可知，此图像与x轴的交点在原点的左边，即与x轴交点的横坐标小于0，从而得解． 【详解】解：∵一次函数的图像一定经过第二、三象限， ∴此图像与x轴的交点在原点的左边，且，即， ∴此图像与与x轴交点的横坐标小于0， 令，解得：， 解得：， ∴常数m的取值范围为且， 故答案为：且． 5．（2024·上海·模拟预测）一次函数与x轴夹角的余切值为 ． 【答案】/ 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，三角函数的定义，熟练掌握一次函数与坐标轴的交点求法及余切值的定义是解题的关键．先求出与轴和轴的交点坐标，再利用余切值的定义求解即可． 【详解】解：设一次函数与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 即， 则， 当时，解得：， 即， 则， 则， 则一次函数与x轴夹角的余切值为． 故答案为： 6．（2024·上海·模拟预测）一次函数与坐标轴围成三角形的面积为 ． 【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查的是一次函数的图象和性质，先求出一次函数与轴交点为，与轴交点为，再利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】当时，， 当时，，解得 ∴一次函数与轴交点为，与轴交点为， 根据三角形的面积公式得到与坐标轴围成三角形的面积为 故答案为：． 7．（2024·上海宝山·一模）一次函数不经过第三象限，关于x的方程的解的个数为 ． 【答案】或 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题考查了一次函数图象的分布，一元二次方程的根的判别式，准确判断图象不过第三象限的条件，直线不经过第三象限，则或，分这两种情形判断方程的根，灵活运用根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴或， 或 当时，原方程为是一元一次方程，故有一个实数根； 当时，方程是一元二次方程， ∴方程有两个不相等的实数根， 综上，方程有1个或2个解， 故选：D． 8．（2024·上海静安·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点，它们的夹角为．直线交x负半轴于点A，直线与x正半轴交于点，那么点A的坐标是 ． 【答案】/ 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形 【分析】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标，相似三角形的判定与性质．根据已知条件证得，再根据相似三角形的性质即可求出的长，从而得出点的坐标． 【详解】解：， ， 轴轴， ， ， ， ， ， 点，点， ，， ， ， 点在轴的负半轴， 点的坐标是， 故答案为：． 题型05 一次函数的应用 【解题策略】 1、分段函数问题 分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际． 2、函数的多变量问题 解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数． 3、概括整合 （1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用． （2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 【典例分析】 例1．（2024·上海·模拟预测）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力与石块下降的高度之间的关系如图所示，则以下说法正确的是（   ） A．当石块下降时，此时石块在水里 B．当时，F拉力与之间的函数表达式为 C．石块下降高度时，此时石块所受浮力是 D．当弹簧测力计的示数为时，此时石块距离水底 【答案】D 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了函数图象读取相关信息，一次函数的应用，求函数解析式，观察图象，解出的函数关系式，利用关系式判断出相关结论即可解题． 【详解】解：A、由图得，当石块下降时，拉力不变，此时石块不在水里，故A不符题意； B、设，代入，得，故B不符合题意； C、将，代入，，，故C不符合题意； D、将时，代入，得，，故D符合题意， 故选：D． 例2．（2024·上海虹口·二模）一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为 （不写定义域）． 【答案】 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意先求出蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），即可直接进行求解． 【详解】解：由题意可得：蜡烛长30厘米，经过50分钟其长度恰为原长的一半， 经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米， 蜡烛燃烧的速度为（厘米/分）， 蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度， ， 故答案为：． 例3．（2024·上海浦东新·三模）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分． 【答案】12或 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用．小明离家时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家，利用路程速度可得此时间，第二个时间利用段解析式可求得． 【详解】解：小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为， 当小明离从家出发时，所用时间为：（分钟）； 如图，，， 设的解析式为：， 则， 解得， 的解析式为：， 当时，，解得， 即小明返回离家时，他离开家所用的时间是． 综上所述，当小明离家时，他离开家所用的时间是或． 故答案为：12或． 例4．（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 【答案】4500 【知识点】求一次函数自变量或函数值、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 例5．（2024·上海青浦·二模）某学校计划租用7辆客车送275名师生去参加课外实践活动．现有甲、乙两种型号的客车可供选择，它们的载客量（指的是每辆客车最多可载该校师生的人数）和租金如下表．设租用甲种型号的客车x辆，租车总费用为y元． 型号 载客量（人/辆） 租金（元/辆） 甲 45 1500 乙 33 1200 (1)求y与x的函数解析式（不需要写定义域）； (2)如果使租车总费用不超过10200元，一共有几种租车方案？ (3)在（2）的条件下，选择哪种租车方案最省钱？此时租车的总费用是多少元？ 【答案】(1) (2)共有种租车方案 (3)租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查一元一次不等式组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆；根据题意列函数关系式即可； （2）根据租车总费用不超过元，师生共有人可得 ，又为整数,解不等式组即可得到租车方案； （3）结合（1）（2），利用一次函数性质租金最少的方案即可解题． 【详解】（1）租用甲种型号的客车辆，则租用乙种型号的客车辆， ； （2）∵租车总费用不超过元，师生共有人, ， 解得 ， ∵为整数, ∴可取, ∴一共有种租车方案； （3）在中，随的增大而增大, 又可取, ∴当时，取最小值，最小值为(元), ∴租用甲种型号的客车辆，租用乙种型号的客辆，租车最省钱，租车的总费用是元． 例6．（2024·上海黄浦·二模）网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零． (1)在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？ (2)在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x元的消费与实际总支付y元间存在着依赖关系，当时，写出y关于x的函数关系式； (3)广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由． 【答案】(1)355 (2) (3)不是，理由见详解 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用，有理数混合运算的实际应用． （1）根据题意列式计算即可算得答案； （2）当时，可使用4张代金券，故根据题意列出一次函数即可． （3）当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元，同理消费在75到80之间，团1张代金券都比不团要划算，即可得到理由． 【详解】（1）解：根据题意有： 故在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了355元． （2）当时，可使用4张代金券， 故． （3）如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”，理由如下∶ 当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元； 同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算； 故如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”． 例7．（2024·上海嘉定·二模）某企业在2022年1至3月的利润情况见表． 月份数（） 1 2 3 利润数（）（万元） 96 ？ 100 (1)如果这个企业在2022年1至3月的利润数是月份数的一次函数，求2月份的利润； (2)这个企业从3月份起，通过技术改革，经过两个月后的5月份获得利润为121万元，如果这个企业3月至5月中每月利润数的增长率相等，求这个企业3月至5月中利润数的月平均增长率． 【答案】(1)2月份的利润为98万元 (2)这个企业利润数的月平均增长率为 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数解析式，根据等量关系，列出方程． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式，然后将代入求值即可； （2）设这个企业利润数的月平均增长率为x．根据经过两个月后的5月份获得利润为121万元，列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意设利润数y与月份数x一次函数关系式为，根据题意得： ， 解此方程组得：， ∴利润数y与月份数x一次函数关系式为：， 当时，， 答：2月份的利润为98万元； （2）解：设这个企业利润数的月平均增长率为x．根据题意得： ， 解得，（不合题意，舍去）， ∴． 答：这个企业利润数的月平均增长率为． 例8．（2024·上海闵行·二模）某条东西方向道路双向共有三条车道，在早晚高峰经常会拥堵，数学研究小组希望改善道路拥堵情况，他们对该路段的交通量（辆分钟）和时间进行了统计和分析，得到下列表格，并发现时间和交通量的变化规律符合一次函数的特征． 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自西向东交通量（辆分钟） 10 16 22 28 34 自东向西交通量（辆分钟） 25 22 19 16 13 (1)请用一次函数分别表示与、与之间的函数关系．（不写定义域） (2)如图，同学们希望设置可变车道来改善拥堵状况，根据车流量情况改变可变车道的行车方向．单位时间内双向交通总量为，车流量大的方向交通量为，经查阅资料得：当，需要使可变车道行车方向与拥堵方向相同，以改善交通情况．该路段从8时至20时，如何设置可变车道行车方向以缓解交通拥堵，并说明理由． 【答案】(1)， (2)8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东，理由见解析 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次不等式的应用.待定系数法求一次函数解析式是解题的关键. （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据，求出关于的函数关系式，分，两种情况讨论，求出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解： 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． 设、为常数，且． 将，和，代入， 得， 解得， ． （2）． 当时，即，解得； 当时，即，解得． 8时到9时，可变车道的方向设置为自东向西；18时到20时，可变车道的方向设置为自西向东． 例9．（2024·上海·模拟预测）中国石化推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，单价优惠0.3元，假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完，且油价一直不变． (1)某人购买一张加油卡，他实际支付了多少元？ (2)设油的原价为x元/升，优惠后油的单价为y元/升，求y关于x的函数解析式 (3)油的原价是元/升，求：优惠后油的单价比原价少多少元（保留2位有效数字）． 【答案】(1)900元 (2) (3)元 【知识点】有理数乘法的实际应用、列一次函数解析式并求值、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了有理数乘法应用、一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，理解题意、正确的列出算式和一次函数解析式是解题的关键． （1）根据打九折列出算式计算即可； （2）根据每一升油，油的单价降低元,然后根据题意列出函数关系式即可； （3）当可得，根据优惠后油的单价比原价便宜元，据此计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意知，（元）， 答：实际花了900元购买会员卡． （2）解：由题意知，，整理得． ∴y关于x的函数解析式为． （3）解：当时，， ∵． ∴优惠后油的单价比原价便宜元． 例10．（2024·上海·模拟预测）新定义：无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，在平面直角坐标系中建立点为的青一坐标，同理可得的青一区间为，为的青一坐标，两坐标的距离，叫做的青一距． (1)的青一坐标与的青一坐标关于_________对称； (2)的青一区间为_______，的青一区间为_________，的青一距为_______； (3)实数x，y满足关系式：，若直线过的青一坐标和的青一坐标，求：的青一距和直线与x轴夹角的正弦值． 【答案】(1)原点 (2)，， (3)， 【知识点】无理数的大小估算、其他问题(一次函数的实际应用)、判断两个点是否关于原点对称、求角的正弦值 【分析】本题考查坐标与中心对称，无理数的估算，求一次函数的解析式，求正弦值： （1）根据点的坐标特征，进行判断即可； （2）根据青一区间和青一距的定义，进行求解即可； （3）非负性求出的值，进而求出青一区间和青一距，待定系数法求出函数解析式，数形结合求出角的正弦值即可． 【详解】（1）解：和的横纵坐标均为相反数， 故的青一坐标与的青一坐标关于原点对称； 故答案为：原点； （2）∵， ∴的青一区间为； ∵ ∴的青一区间为； ∵， ∴的青一区间为，的青一区间为； ∴的青一距为； 故答案为：，，； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的青一区间为：，的青一区间为：， ∴的青一距为； ∵直线过的青一坐标和的青一坐标，即直线过和， ∴，解得：， ∴， 如图：不妨设，过点作轴，则：， ∴， ∴． 【变式演练】 1．（2023·上海宝山·二模）某地长途汽车客运公司规定：旅客可免费随身携带一定重量的行李，如果行李超过规定重量，则需要购买行李票．行李票费用y（元）是行李重量x（千克）的一次函数，其图像如图所示，那么旅客最多可免费携带行李 千克． 【答案】30 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】根据待定系数法求函数关系式，旅客可免费携带行李，即，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少． 【详解】解：设一次函数关系式为， ∵当时，，当时，， ∴，解得， ∴所求函数关系式为； 当时，， 所以， 故旅客最多可免费携带30千克行李． 故选：30． 【点睛】本题考查函数的图象和用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏． 2．（2023·上海徐汇·二模）某公司产品的销售收入元与销售量x吨的函数关系记为，销售成本与销售量x的函数关系记为，两个函数的图像如图所示．当销售收入与销售成本相等时，销售量x为 吨． 【答案】4 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】分别求出，的函数关系式，然后联立两关系式即可求出答案． 【详解】解：设， ∴，， ∴， ∴， 联立，解得， ∴当销售收入与销售成本相等时，销售量x为4吨， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． 3．（2023·上海奉贤·二模）如图，某电信公司提供了A、B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系．如果通讯费用为60元，那么A方案与B方案的通话时间相差 分钟． 【答案】30 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】用待定系数法分别求出A、B方案的函数解析式，把代入解析式求得A、B方案所用的时间，即可求出结果． 【详解】解：A方案：把、代入得： ，解得：， ∴， ∴A方案移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）函数关系式为：， ∴时，，解得：， ∴A方案通话195分钟， B方案：把、代入得： ，解得：， ∴， ∴B方案移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）函数关系式为： ， ∴时，，解得：， ∴B方案通话225分钟， ∴（分）， 故答案为：30． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，明确题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 4．（2023·上海金山·二模）小明和小亮的家分别位于新华书店东、西两边，他们相约同时从家出发到新华书店购书，小明骑车、小亮步行，小明、小亮离新华书店的距离（米）、（米）与时间（分钟）之间的关系如图所示，在途中，当小明、小亮离书店的距离相同时，那么他们所用的时间是 分钟． 【答案】5 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】分别求出函数的函数解析式，然后求出它们的交点坐标即可得到答案． 【详解】解：设函数， ∴， ∴， ∴， 联立， 解得， ∴经过5分钟，他们途中到书店的距离相等， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． 5．（2023·上海浦东新·二模）某市全面实施居民“阶梯水价”．当累计水量超过年度阶梯水量分档基数临界点后，即开始实施阶梯价格计价，分档水量和单价见下表： 分档 户年用水量 （立方米） 自来水单价 （元/立方米） 污水处理单价 （元/立方米） 第一阶梯 0~220（含220） 2.25 1.8 第二阶梯 220~300（含300） 4 第三阶梯 300以上 6.99 注：应缴的水费＝户年用水量×（自来水单价＋污水处理单价） 仔细阅读上述材料，请解答下面的问题： (1)如果小叶家全年用水量是220立方米，那么她家全年应缴纳水费多少元？ (2)居民应缴纳水费y（元）关于户年用水量x（立方米）的函数关系如图所示，求第二阶梯（线段）的表达式； (3)如果小明家全年缴纳的水费共计1181元，那么他家全年用水量是多少立方米？ 【答案】(1)她家全年应缴纳水费891元 (2) (3)他家全年用水量是270立方米 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意列出算式计算即可； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据缴纳的水费1181元得出用水量在第二阶梯范围内，然后将代入（2）中求出的函数解析式进行解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）， 答：她家全年应缴纳水费891元． （2）解：设线段的表达式为，把，代入得： ， 解得：， ∴线段的表达式为． （3）解：∵， ∴小明家全年用水量处于第二阶梯， 把代入得：， 解得：， 答：他家全年用水量是270立方米． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法，数形结合． 6．（2023·上海崇明·二模）在疫情防控常态化的背景下，某学校为了定期做好专用教室的消毒工作，计划购买甲、乙两种类型的消毒剂，预计购进乙种类型消毒剂的数量y（瓶）与甲种类型消毒剂的数量x（瓶）之间的函数关系如图所示． (1)求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）； (2)该学校用2100元选购了甲种类型的消毒剂，用2400元选购了乙种类型的消毒剂，甲种消毒剂的单价比乙种消毒剂的单价贵30元，求选购的甲、乙消毒剂的数量． 【答案】(1) (2)选购的甲、乙消毒剂的数量分别为30瓶，60瓶 【知识点】因式分解法解一元二次方程、分式方程的实际应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）设出函数解析式，根据图象，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设乙种消毒剂的单价为元，甲种消毒剂的单价为元，根据两种消毒剂的数量关系，列出分式方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 由图象可知，图象过点， ∴，解得：， ∴； （2）解：设乙种消毒剂的单价为元，甲种消毒剂的单价为元，由题意，得：， 整理，得： 解得：（负值已舍掉）， 经检验，是原方程的解， ∴乙种消毒剂的单价为元，甲种消毒剂的单价为元， ∴甲消毒剂的数量为瓶，乙消毒剂的数量为瓶． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，分式方程的应用．解题的关键是正确的求出函数解析式，列出分式方程． 7．（2023·上海普陀·二模）购物节期间，、两家网店分别推出了促销活动，店活动：当购买的商品总金额在元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过元，超过元的金额打折，店购物的实付总金额(元)与商品总金额(元)之间的函数关系如图所示；店活动：所有商品直接打七折．    (1)当A店购买的商品总金额超过元时，求出与之间的函数解析式； (2)A店推出的促销活动中：________； (3)某公司计划购买某种型号的优盘，采购员发现店的单价要比店的单价贵元，如果购买相同数量的优盘，在店的实付总金额是元，而在店的实付总金额是元．请求出店这种型号优盘的单价． 【答案】(1) (2) (3)元 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据图象，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据图象可以求出的值； （3）先求出两个商店的商店金额，再作差，根据店的单价要比店的单价贵元，购买优盘的数量相同，得出两个商店商店总金额的差额即为购买的优盘数，再求出商店优盘单价即可． 【详解】（1）据图象设当时，与之间的函数解析式为， 把，代入解析式得： ， 解得， ∴； （2）根据题意得：， 解得， 故答案为：； （3）在店购买：当时，， 解得， 商品总金额为元； 在店购买商品总金额为：元， 两个商店商品总金额的差为元， 店的单价要比店的单价贵元，购买优盘的数量相同， 店的单价为元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式． 8．（2023·上海静安·二模）已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，小明家与街心公园相距900米，小明家与超市相距1200米．小明和妈妈从家里出发，匀速步行了20分钟到达街心公园；两人在公园停留20分钟后，妈妈按原来相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行5分钟到达超市购买文具用品，停留10分钟后，匀速骑自行车返回家，发现妈妈比他早到家10分钟．如图反映了这个过程中小明离开家的距离（米）与离开家的时间（分钟）的对应关系，请根据相关信息，解答下列问题： (1)小明从家到街心公园的速度为______（米/分）； (2)小明从街心公园到超市的速度为______（米/分）； (3)小明从超市骑车返回家时，求他离开家的距离（米）与离开家的时间（分钟）的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题图信息即可求解； （2）根据题图信息即可求解； （3）由题可知，妈妈回家所用时间为；妈妈比小明早到家10分钟，小明骑自行车返回家的时间为：；小明到家时途中所对应的坐标为；；将相关点代入函数解析式中即可求解； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）由题可知，妈妈回家所用时间为；妈妈比小明早到家10分钟， ∴小明骑自行车返回家的时间为：； ∴小明到家时途中所对应的坐标为；； 设小明从超市骑车返回家时，他离开家的距离（米）与离开家的时间（分钟）的函数解析式为 将、代入得，； 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，根据题图信息得到相关点的坐标是解本题的关键． 9．（2024·上海杨浦·一模）寒假期间，小华一家驾车去某地旅游，早上6∶00点出发，以80千米/小时的速度匀速行驶一段时间后，途经一个服务区休息了1小时，再次出发时提高了车速．如图，这是她们离目的地的路程y（千米）与所用时间x（小时）的函数图像． 根据图像提供的信息回答下列问题： (1)图中的_______，______； (2)求提速后y关于x的函数解析式（不用写出定义域）； (3)她们能否在中午12∶30之前到达目的地？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)提速后y关于x的函数解析式为． (3)能．理由见解析 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据图象求出a的值，根据“离目的地的路程=家与目的地之间的距离-行驶的路程”可计算b的数值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）当时求出对应x的值，计算出到达目的地的时间，从而作出判断即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ． （2）设提速后y关于x的函数解析式为（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标和代入， 得 ， 解得 ， ∴提速后y关于x的函数解析式为． （3）能．理由如下： 当她们到达目的地时，， 得， 解得， 小时=6时12分， ∴她们于12：12分到达目的地． 10．（2024·上海黄浦·三模）在一条笔直的公路上有两地，小明骑自行车从地去地，小刚骑电动车从地去地，然后立即原路返回到地，如图是两人离地的距离（千米）和行驶时间（小时）之间的函数图像．请根据图像回答下列问题： (1)求小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式； (2)若两人间的距离不超过千米时，能够用无线对讲机保持联系，求两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间是多少小时？ 【答案】(1)； (2)小时． 【知识点】行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息 【分析】（）根据题意列出函数解析式即可； （）求出两人途中相遇的时间，可求出小刚此时距地的距离，再算出相遇后两人相距千米的时间，求出此时小刚距的距离，进而求出小刚到达地的时间，然后求出小刚从地返回地与小明相距的时间，把两个时间相加即为两人无法用无线对讲机保持联系的总时间； 本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，小明骑自行车的速度为千米小时， ∴小明离地的距离关于行驶时间之间的函数解析式为； （2）解：由图可得，小刚骑电动车的速度为千米小时， 当两人在途中相遇时，有， ∴， 此时，小刚距地千米， 相遇后设小时两人相距千米，则， ∴， 此时，小刚距地千米，到达需要的时间为， 设小刚从地返回地小时与小明相距千米， 则， 解得， ∴两人从途中相遇后到地的过程中，无法用无线对讲机保持联系的总时间为小时． 题型06 反比例函数的性质 【解题策略】 反比例函数的性质 （1）反比例函数（k≠0）的图象是双曲线； （2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小； （3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点． 【典例分析】 例1．（2024·上海黄浦·二模）反比例函数的图像有下述特征：图像与x轴没有公共点且与x轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（    ） A．自变量且x的值可以无限接近0 B．自变量且函数值y可以无限接近0 C．函数值且x的值可以无限接近0 D．函数值且函数值y可以无限接近0 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的性质和题目条件，逐项分析判断即可 【详解】解：A．自变量且x的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意； B．自变量且函数值y可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意； C．函数值且x的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意； D．函数值且函数值y可以无限接近0，与题目条件相符，正确，故该选项符合题意； 故选：D． 例2．（2024·上海·模拟预测）若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而 （选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【知识点】正比例函数的性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质，由题意得出，从而推出，最后由反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数过第二象限， ∴， ∴， ∴则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而减小， 故答案为：减小． 【变式演练】 1．（2024·上海奉贤·二模）下列函数中，能同时满足以下三个特征的是（    ） ①函数图像经过点；②图像经过第二象限；③当时，随的增大而增大． A． B． C． D．． 【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数、正比例函数、一次函数及反比例函数的图像和性质进行判断即可． 【详解】解：A. ，①函数图像经过点；②图像经过第二、四象限；③当时，随的增大而减小，故此选项不符合题意； B. ，①函数图像经过点；②图像经过第一、三、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意； C. ，①函数图像经过点；②图像经过第二、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项符合题意； D. ，①函数图像经过点；②图像经过第一、二、三、四象限；③当时，随的增大而增大，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．（2024·上海·模拟预测）下列关于函数说法错误的个数为（    ） （1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且； （2）单曲线不是反比例函数 （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数 （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定 （5）直线是常值函数，常值函数不是函数 （6）直线不是函数 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据定义判断是否是反比例函数、函数的概念 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质等知识点，理解相关定义成为解题的关键． 根据反比例函数的定义、函数的定义、二次函数图像的性质逐个判断即可． 【详解】解：（1）已知反比例函数的图像在第一象限，则k的取值范围是且，说法正确； （2）单曲线不是反比例函数，说法错误； （3）只要满足且自变量k为不为0的常数的函数，就是反比例函数，说法正确； （4）抛物线的解析式由顶点坐标和开口方向决定，说法错误； （5）直线是常值函数，常值函数是函数，说法错误； （6）直线不是函数，说法错误． 综上，错误的有4个． 故选：D． 3．（2024·上海·三模）反比例函数，，则在第三象限，y随x增大而 ．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】此题考查反比例函数的性质．由，根据反比例函数的性质即可得出结论． 【详解】解：反比例函数，， 反比例函数在一、三象限，每个象限内y随x增大而减小， 在第三象限，y随x增大而减小， 故答案为：减小． 4．（2024·上海·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上，则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】判断反比例函数的增减性 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由点在反比例函数的图象上，可知反比例函数在第一象限，随着的增大而减小，然后作答即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴反比例函数在第一象限，随着的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 题型07反比例函数图象上点的坐标特征 【解题策略】 反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线， ①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k； ②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称； ③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【典例分析】 例1．（2024·上海·模拟预测）已知点在反比例函数（k为常数）图象上，，若，则的值为（    ） A．0 B．负数 C．正数 D．非负数 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．根据反比例函数可知反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵ ∴反比例函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵ ∴或， 假设且，则， ∴，， ∴， 同理：当且时，， ∴的值为负数． 故选：B． 例2．（2024·上海浦东新·二模）如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且轴，轴，那么的面积等于 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题关键．设点，根据轴，且点B在反比例函数的图象上，得出，进而得到，根据轴，点C在反比例函数的图象上，得到，进而得到，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：点A在反比例函数的图象上， 设点， 轴， 点的纵坐标为， 点B在反比例函数的图象上， ， ， 轴， 点的横坐标为， 点C在反比例函数的图象上， ， ， ， 故答案为： 例3．（2024·上海杨浦·三模）已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数解析式； (2)设点关于轴的对称点为点，求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为15 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，关于轴对称的点的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）由反比例函数的解析式求出点A、B两点坐标，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）利用一次函数的解析式求出点C坐标，根据对称的性质得出点D 坐标，利用即可求得结论． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点， ∴，， ∴， 将和代入得 ，解得 ∴一次函数的解析式为：； （2）如图，当时，， ∴， ∵，关于轴的对称， ∴， ∴， ∴ 【变式演练】 1．（2024·上海徐汇·二模）如果反比例函数的图像经过点，那么的值是 ． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数图像上的点，将点代入函数解析式，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 2．（2024·上海·模拟预测）已知正比例函数和反比例函数交于，则 ． 【答案】4 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，把分别代入正比例和反比例函数中，求出的值，进一步求出代数式的值即可． 【详解】解：把代入正比例函数和反比例函数中，得：， ∴； 故答案为：4． 3．（2024·上海静安·三模）如图，平行四边形的顶点在双曲线上，，，与轴交于点，若与四边形的面积比为，则的值为 ．    【答案】12 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，作轴，垂足为G，轴，垂足为F，，垂足为Q，可证明得到，，利用可得点D的横坐标为3，设，则根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程求出m值，即可得到点D坐标，从而得到k值． 【详解】解：如图，作轴，垂足为G，轴，垂足为F，，垂足为Q，    ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵与四边形的面积比为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵D、C在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴． 故答案为：12． 4．（2024·上海普陀·三模）构造函数，建系法是解决数学问题的常用方法，不等式：的解集为 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．令，，画出函数图象，根据函数图象在函数图象上方部分的自变量取值范围，即可解不等式． 【详解】解：令，， 函数图象如下： 当或时，函数图象在函数图象上方， 即不等式的解集为或， 故答案为：或 5．（2024·上海徐汇·二模）如图，点是函数图象上一点，连接交函数图象于点，点是轴负半轴上一点，且，连接，那么的面积是 ．   【答案】/ 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、等腰三角形的性质和判定 【分析】过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，反比例函数比例系数的几何意义得，，证得，由此得，证得 ，然后根据等腰三角形的性质得，则，由此得得，进而可得的面积． 【详解】解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如下图所示： 点是函数图象上一点，点是反比例函数图象上的点， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：，， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，轴， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键． 6．（2024·上海青浦·模拟预测）如图，四边形为矩形，点A在第二象限，点A关于的对称点为点D，点B，D都在函数的图象上，轴于点E．若的延长线交x轴于点F，当矩形的面积为时，点F的坐标为 ． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、相似三角形的判定与性质综合、反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图象性质，分解因式等知识，解决问题的关键是变形等式，进行分解因式． 作轴于G，连接，设和交于I，设点，根据矩形的面积得出三角形的面积，将三角形的面积转化为梯形的面积，从而得出a，b的等式，将其分解因式，从而得出a，b的关系，进而在直角三角形中，根据勾股定理列出方程，进而求得B，D的坐标，进一步可求得结果． 【详解】解：如图， 作轴于G，连接，设和交于I， 设点， 由对称性可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴，即：， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 设直线的解析式为，将点B代入得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理得：直线的解析式为：， 当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·上海普陀·模拟预测）如图，为直角三角形，，点A为斜边的中点，反比例函数图象经过A、C点（A、C点在第一象限），点D在反比例函数上（点D在第二象限），过点D作x轴的垂线交的图象于点，过点C作x轴的垂线交的图象于点E，连接，，已知的面积为16．若A，两点关于原点中心对称，则四边形的面积为 ． 【答案】12 【知识点】坐标与图形、反比例函数与几何综合、加减消元法 【分析】本题为反比例函数与几何的综合．考查关于原点成中心对称的点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，二元一次方程组的应用，矩形的性质，综合性强，为压轴题．正确的作出辅助线，并利用数形结合的思想是解题关键． 设，与轴交于点，与轴交于点，过点作于点，可得，求得，再将三角形与梯形相关的线段用t的代数式表示出来，再利用三角形、梯形面积公式即可求得答案． 【详解】解：设，与轴交于点，与轴交于点，过点作于点，如图， ，两点关于原点中心对称， ． 轴，且点在反比例函数上， ． 点A是的中点， 点的坐标为． 点在反比例函数图象上， ， 整理，得：①， ，． ， ，即， ②， 联立①②，得， 解得：， ，，， ，，，，，． ； 故答案为：12． 8．（2025·上海普陀·一模）在平面直角坐标系中（如图），点在反比例函数位于第一象限的图像上，点的横坐标大于点的横坐标，．如果的重心恰好也在这个反比例函数的图像上，那么点的横坐标为 ．    【答案】/ 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、重心的有关性质、三线合一、中点坐标 【分析】由题意得点关于直线对称，由可得的重心在直线：上，联立函数解析式求出点坐标，即得，再根据三角形重心的性质可得，得到，设点，则，最后利用中点坐标公式解答即可求解． 【详解】解：由题意得，点关于直线对称， ∵， ∴的重心在直线：上，即为点， 由，解得或， ∵点在第一象限， ∴， ∴， ∵点为的重心， ∴， ∴， ∴， 设（），则， ∴， ∴， 设点，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 解得或， ∵点的横坐标大于点的横坐标， ∴点的横坐标为， 故答案为：．    【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，等腰三角形性质，三角形的重心，勾股定理，中点坐标公式，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 9．（2024·上海·三模）如图，已知直线与轴交于点A，与y轴交于点C，矩形的顶点B在第一象限的反比例函数图像上，过点B作，垂足为F，设． (1)求的正切值； (2)已知直线与反比例函数图像都经过第一象限的点D，连接，若轴，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求角的正切值、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数与反比例函数与四边形的综合题目，难度中等，与全等综合转化相关的线段与角度是解题关键． （1）根据一次函数解析式算出点的坐标即可求算； （2）作轴，根据矩形的性质得出，从而表示出的坐标，再根据条件表示的坐标，再根据均在反比例图象上从而算出． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点A，与轴交于点C， ∴， ∴； （2）解：如图，作轴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 又∵轴，在上， ∴， ∵,均在反比例上： ∴， 解得：， ∵四边形是矩形， ∴舍去， ∴， ∴． 10．（2025·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为． (1)求直线的表达式； (2)如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标． 根据点在双曲线上，可以求出，把点的坐标代入正比例函数中求出的值即可得到直线的表达式； 因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：点在双曲线上， 把代入， 可得：， 点的坐标为， 设直线的表达式为（）， 把，代入， 可得：， 直线的表达式为； （2）解：如下图所示，过点作轴，垂足为点， 设点的坐标为， 可得：，， 在中，， ， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ， 可得点的坐标为． 题型08 待定系数法求反比例函数解析式 【解题策略】 用待定系数法求反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数的反比例函数解析式（k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式． 【典例分析】 例1．（2024·上海静安·三模）已知：如图，第一象限内的点在反比例函数的图像上，点在轴上，轴，点的坐标为，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点的坐标； (3)的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、解直角三角形的相关计算、坐标与图形、求反比例函数解析式 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的应用，涉及待定系数法求函数解析式、图形与坐标、锐角三角函数，数形结合思想的运用是解答的关键． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）过A作于D，则，设，根据坐标与图形性质得到，，进而列方程求解t值即可； （3）先求得，再根据勾股定理求解，再根据余弦定义求解即可． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵第一象限内的点在反比例函数的图像上，点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：过A作于D，则， 设， ∵轴， ∴，， ∴， 解得，经检验，符合所列方程， 故点C坐标为； （3）解：∵轴， ∴点B的纵坐标为1， 将代入中，得，则， ∴， 又，， ∴， ∴． 例2．（2024·上海虹口·二模）如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点和点，与轴交于点．点在反比例函数图像上，过点作轴的垂线交一次函数图像于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数为，一次函数解析式 (2) 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式，三角形面积． （）利用待定系数法求解即可； （）先分别求出、、的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可． 【详解】（1）解：设反比例函数为， 把点代入得，， ∴反比例函数为， 把点，点代入，得 ，， ∴，， ∴点，点， 设一次函数解析式， 把点，点代入得 ， 解得， ∴一次函数解析式； （2）∵一次函数解析式， ∴ 把点代入，得， ∴， ∴点， ∵轴， ∴点的横坐标为， 把代入得， ∴ ∴， ∴ 【变式演练】 1．（2025·上海奉贤·一模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，那么称这个点为三倍点．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过点A及反比例函数图象上的三倍点，求二次函数的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．先求出反比例函数解析式为，然后再求出反比例函数图象上的三倍点，然后用待定系数法求出二次函数解析式即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ， ∵经过点， ∴， ∴反比例函数为， 设三倍点坐标为，代入反比例函数得 ， 解得：或， 则三倍点为或， 把，，代入二次函数得： 解得， ∴二次函数解析式为：． 2．（2024·上海普陀·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上，过点B作轴，垂足为点H．如果，求点B的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、求角的正切值、已知正切值求边长、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，锐角三角函数，反比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将点的坐标代入一次函数求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式； （2）由锐角三角函数可求，代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点， ， ， 将代入得， 反比例函数的解析式为； （2）解：过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 点B在这个反比例函数位于第一象限的图像上， ， ， 点B的坐标为． 3．（2024·上海奉贤·二模）如图，已知一次函数图像与反比例函数图像交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)已知点在点右侧的反比例函数图像上，过点作轴的垂线，垂足为，如果，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（）求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （）设，则，根据三角形面积公式可得分式方程，解方程即可求解； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵一次函数图象 与反比例函数图象交于点， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：如图， 设，则 ∴， ∴， 整理得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴． 4．（2024·上海·模拟预测）已知一次函数与反比例函数的图象交于，B两点 (1)求反比例函数解析式 (2)将在平面内沿某个方向平移得到其中点、、的对应点分别是、、，若、同时在反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、利用平移的性质求解、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，平移的性质，数形结合是解题的关键． 将点代入，可得点的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数，从而得出答案； 由平行四边形和反比例函数的对称性可知与，A与关于原点对称，即可求得，根据、的坐标得到平移的距离，从而求得点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得， ， 反比例函数的图象经过点A， ， 反比例函数解析式； （2）列方程组， 解得或， ， 由题意可知，， 四边形是平行四边形， 由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知，与，A与关于原点对称， ， 点向右平移个单位，向下平移个单位得到点， 点的坐标为． 5．（2024·上海宝山·三模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点两点，与x轴、y轴分别交于两点，且点A的坐标为． (1)求一次函数和反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求表达式，以及一次函数与反比例函数的综合运用． （1）将点A坐标代入一次函数，即可求出b，将点A代入反比例函数，即可求出表达式了． （2）两个函数表达式建立方程，即可求出点A、B的坐标，在根据一次函数求出点C的坐标，即可求解的面积． 【详解】（1）解：（1）把代入得：． 解得：． ∴一次函数的表达式为． 把代入得：． 解得：． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：连接，如图所示． 由， 解得：． ∴． 在上，当时， 解得：． ∴． ∴． ∴． ∴． 6．（2024·上海·模拟预测）如图1，已知点，，直线与反比例函数的图象与第一象限交于． (1)求k的值； (2)如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，，试问在轴上是否存在一点，使的面积与的面积相等，若存在，请求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)新定义：如图2，在平面内，若三角形的一边等于另一边的3倍，则两边较长的那一边叫做麒麟边，两边夹角叫做麒麟角，三角形叫做麒麟三角形，若为麒麟三角形，为麒麟边，为麒麟角，A，B在反比例函数上，且点A横坐标为，直线交y轴于C，与y轴的截距为2，求n的值． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为：或 (3) 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，即可得点，则待定系数法即可求的反比例函数； （2）当点在点右侧时，过点作直线，交轴于点，则点为所求点，即可求解；当点在点的左侧时，根据点的对称性即可求解； （3）由题意可知，因此当为直角三角形时，不可能为斜边，有或两种情况讨论．作辅助线构造三垂直模型，证得相似三角形，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为：， 由点，点得 ，解得 则直线的表达式为：， 当时，即，则， 即点， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 即反比例函数的表达式为：； （2）解：存在，理由： 点是反比例函数图象上一点，则点， 当点在点右侧时， 过点作直线，交轴于点，则点为所求点， 直线的表达式为：，， 则直线的表达式为：， 令，则， 解得：，则点， 则， 当点在点的左侧时，由对称性可得点的坐标为：， 即点， 综上，点的坐标为：或； （3）解：为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”， ， 是直角三角形， 不可能为斜边，即， 或， 如图1，当时，过作轴于，过作轴于， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点坐标为， ， 此时，点不可能在反比例函数上，故该情况不存在； ②如图2，当时，过作轴于，过作轴交于， ， ， ， ， ， ， ，， 设，， ， ， 点坐标，点坐标． ，在上， ， 解得：； 综上，， 则点的坐标为：， 将点的坐标代入函数表达式得：． 【点睛】本题为反比例函数综合题，主要考查了求一次函数解析式、反比例函数的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质，以及对称性，解题的关键是构造直角三角形和相似三角形，以及分类讨论思想的应用． 一、单选题 1．（2024·上海·中考真题）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求函数定义域，涉及分式有意义的条件：分式分母不为0，解不等式即可得到答案，熟练掌握求函数定义域的方法是解决问题的关键． 【详解】解：函数的定义域是，解得， 故选：D． 2．（2022·上海·中考真题）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（   ） A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0） 【答案】B 【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，, ∴k=xy<0， A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3．（2023·上海·中考真题）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意； B、 ，，y随x的增大而减小，符合题意； C、 ，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意； D、 ，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键． 二、填空题 4．（2022·上海·中考真题）已知f（x）=3x，则f（1）= ． 【答案】3 【分析】直接代入求值即可． 【详解】解：∵f（x）=3x， ∴f（1）=3×1=3， 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了求函数值，直接把自变量的值代入即可． 5．（2021·上海·中考真题）已知函数经过二、四象限，且函数不经过，请写出一个符合条件的函数解析式 ． 【答案】（且即可） 【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0，又不经过(-1,1)，得到k≠-1，由此即可求解． 【详解】解：∵正比例函数经过二、四象限， ∴k<0， 当经过时，k=-1， 由题意函数不经过，说明k≠-1， 故可以写的函数解析式为：(本题答案不唯一，只要且即可)． 【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题，(k≠0)当时经过第二、四象限；当时经过第一、三象限． 6．（2024·上海·中考真题）若正比例函数的图像经过点，则y的值随x的增大而 ．（选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，牢记“当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出，结合正比例函数的性质，即可得出的值随的增大而减小． 【详解】解：正比例函数的图象经过点， ， 解得：， 又， 的值随的增大而减小． 故答案为：减小． 7．（2021·上海·中考真题）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚 元． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出函数关系式，求出当售价为8元/千克时的卖出的苹果数量．再利用利润=（售价-进价）×销售量，求出利润． 【详解】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为，将（5，4k），（10，k）代入关系式： ，解得 ∴ 令，则 ∴利润= 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式和利润求解问题．利润=（售价-进价）×销售量． 8．（2022·上海·中考真题）已知直线y=kx+b过第一象限且函数值随着x的增大而减小，请列举出来这样的一条直线： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】∵直线过第一象限且函数值随着x的增大而减小， ∴，， ∴符合条件的一条直线可以为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数（），当，时，函数图象过第一象限且函数值随着x的增大而减小． 9．（2024·上海·中考真题）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 万元． 【答案】4500 【分析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设，根据题意找出点代入求出解析式，然后把代入求解即可． 【详解】解：设， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 即投入80万元时，销售量为4500万元， 故答案为：4500． 三、解答题 10．（2022·上海·中考真题）一个一次函数的截距为1，且经过点A（2，3）． (1)求这个一次函数的解析式； (2)点A，B在某个反比例函数上，点B横坐标为6，将点B向上平移2个单位得到点C，求cos∠ABC的值． 【答案】(1)y=x+1 (2) 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式y=kx+1， 把A（2，3）代入，得3=2k+1， 解得：k=1， ∴这个一次函数的解析式为y=x+1； （2）解：如图， 设反比例函数解析式为y=， 把A（2，3）代入，得3=， 解得：m=6， ∴反比例函数解析式为y=， 当x=6时，则y==1， ∴B（6，1）， ∴AB=， ∵将点B向上平移2个单位得到点C， ∴C（6，3），BC=2， ∵A（2，3），C（6，3）， ∴ACx轴， ∵B（6，1），C（6，3）， ∴BC⊥x轴， ∴AC⊥BC， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形， ∴cos∠ABC=． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，点的平移，解三角形，坐标与图形，求得AC⊥BC是解题的关键． 11．（2023·上海·中考真题）“中国石化”推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售．使用这张加油卡加油，每一升油，油的单价降低0.30元．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． (1)他实际花了多少钱购买会员卡？ (2)减价后每升油的单价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数解析式（不用写出定义域） (3)油的原价是7.30元/升，求优惠后油的单价比原价便宜多少元？ 【答案】(1)900 (2) (3) 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）由题意知，，整理求解即可； （3）当，则，根据优惠后油的单价比原价便宜元，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，（元）， 答：实际花了900元购买会员卡； （2）解：由题意知，，整理得， ∴y关于x的函数解析式为； （3）解：当，则， ∵， ∴优惠后油的单价比原价便宜元． 【点睛】本题考查了有理数乘法应用，一次函数解析式，一次函数的应用．解题的关键在于理解题意，正确的列出算式和一次函数解析式． 12．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可； （2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， 把代入， 得； （2）解：由（1）知： 设l与y轴相交于D，    ∵轴，轴轴， ∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$