2026届高三数学模拟试卷

**基本信息** 2026届高三数学模拟卷（150分）以原创题（如集合、复数题）为引领，融合杨辉三角文化素材、农作物实验数据等真实情境，通过多题型梯度设计（基础到创新应用），考查数学抽象、逻辑推理与数据建模能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8题40分|集合真子集、复数虚部、圆锥外接球|原创题占比25%，注重概念辨析| |多选|3题18分|杨辉三角性质、三角函数图像|结合数学文化，考查批判性思维| |填空|3题15分|二项式系数、立体几何折叠|设置多空题（如函数零点），分层赋分| |解答|5题77分|回归分析（农作物实验）、解三角形、抛物线综合|以真实情境（如第15题农业数据）考查数学建模，压轴题（第19题）体现运算能力与创新意识|

题号 题型 分值 难度系数 核心考点 1 单选题 5分 0.95 交集的概念及运算 2 单选题 5分 0.85 共轭复数的概念及计算 3 单选题 5分 0.75 独立重复试验的概率问题 4 单选题 5分 0.65 数量积的运算，取值范围问题 5 单选题 5分 0.85 多面体与球体内切外接问题 6 单选题 5分 0.65 由导数求函数的最值（不含参） 7 单选题 5分 0.5 用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理解三角形 8 单选题 5分 0.5 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 9 多选题 6分 0.65 求等比数列前n项和；二项式的系数和；裂项相消法求和；杨辉三角 10 多选题 6分 0.5 由图象确定正（余）弦型函数解析式；根据函数零点的个数求参数范围；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求sinx型三角函数的单调性 11 多选题 6分 0.5 函数奇偶性的应用；函数周期性的应用；函数对称性的应用；导数的运算法则 12 填空题 5分 0.85 求指定项的系数 13 填空题 5分 0.65 求点面距离；锥体体积的有关计算 14 填空题 5分 0.5 函数与方程的综合应用；根据函数零点的个数求参数范围；求曲线切线的斜率（倾斜角） 15 解答题 13分 0.85 决定系数的计算及分析；根据回归方程求原数据中的值；根据样本中心点求参数 16 解答题 15分 0.65 求三角形中的边长或周长的最值或范围；正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；基本不等式求和的最小值 17 解答题 15分 0.65 利用导数求函数（含参）的单调区间；利用导数研究函数的零点 18 解答题 17分 0.45 证明面面垂直；多面体与球体内切外接问题；面面角的向量求法 19 解答题 17分 0.65 求直线与抛物线相交所得弦的弦长；由导数求函数的最值（不含参）；根据抛物线上的点求标准方程 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学模拟试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填在试卷和答题卡的制定位置； 2．回答选择题和非选择题时，请将答案涂在答题卡给定区域，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（原创）设集合，则A∩B的真子集的个数为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（原创）已知复数及其共轭复数满足，则的虚部是（    ） A．- B．-2 C． D．24 3．已知袋中有2个白球、1个红球，3个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸球3次，恰有1次摸到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 4．设O(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，点P是线段AB上的一个动点，=λ，若·≥·，则实数λ的取值范围是(　　) A. B . C. D. 5．已知圆锥的侧面积为，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆，则该圆锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知在△ABC中， ，设， 记的最大值为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 8．已知的顶点分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第n行从左到右的数字之和记为，如，，…，的前n项和记为，则下列说法正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字是120 B． C．在“杨辉三角”中，从第2行开始到第n行，每一行从左到右的第3个数字之和为 D．的前n项和为 10．已知函数的部分图象如图所示，若，，，则（   ）    A．在单调递增 B．若A，B，C为的内角，且，则或 C．若在恰有4个零点，则a的取值范围是 D．直线是曲线的切线 11．已知函数及其导函数的定义域均为R，，且为奇函数，记，其导函数为，则（   ） A．8是的一个周期 B． C． D．为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。 12．二项式的展开式中，含的项的系数是________. 13．如图，已知矩形中，，现将沿对角线折成二面角，使，则点到平面的距离为__________. 14．已知函数，若函数，则的所有零点之积为__________；方程有三个不同的解，则实数的范围为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，将海水稀释后对其进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度对亩产量的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表． 海水浓度 3 4 5 6 7 亩产量 0.57 0.53 0.44 0.36 0.30 残差 0.02 0 绘制散点图发现，可以用一元线性回归模型拟合与的相关关系，用最小二乘法计算得关于的经验回归方程为． (1)求，，的值； (2)请计算该回归模型的决定系数（精确到0.01），并评价其拟合效果．（若，就认为拟合效果好；若，就认为拟合效果一般；若，就认为拟合效果差） 附：决定系数，其中． 16．（15分）已知△ABC的内角、、的对边分别为、、，且． (1)求； (2)若△ABC的面积为，求的最小值． 17．（15分）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若在区间内存在零点，求的取值范围. 18．（17分）如图，在平行六面体中，底面为菱形且，与底面所成角为，. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正弦值； (3)若，求三棱锥外接球的体积. 19．（17分）已知抛物线E：的焦点为F，点在抛物线E上，且的面积为（O为坐标原点）. (1)求抛物线E的方程； (2)过焦点F的直线l与抛物线E交于A､B两点，过A､B分别作垂直于l的直线AC､BD，分别交抛物线于C､D两点，求的最小值. 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学模拟试卷 参考答案 1．C 【详解】， 其真子集的个数为23-1=7，故选：C． 2．B 【详解】设，则， ，即，=a-2i，故选:B. 3．B 【详解】每次摸到红球的概率都为， 则摸球3次，恰有1次摸到红球的概率是. 4．A 【详解】∵=λ=(-λ，λ)，∴=(1-λ=(λ-1，1-λ)，=+=(1-λ，λ)， 又∵·≥·，∴(1-λ，λ)·(-1，1)≥(λ，-λ)·(λ-1，1-λ)， ∴2λ2-4λ+1≤0，解得1-≤λ≤1+， 又∵点P是线段AB上的一个动点，∴0≤λ≤1， ∴满足条件的实数λ的取值范围是.故选:A. 5．D 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为， 则，解得，， 设圆锥外接球的半径为，则，解得， 则外接球的表面积为.故选：D. 6．A 【详解】根据题意，因为是单调递增函数，也是单调增函数， 且，故在整个定义域上都是单调增函数. 当且仅当时，满足题意， 否则不妨令，要满足题意，则有. 又因为，故可得，解得， 故， 令，则，令，解得， 故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 故，没有最大值.综上所述：故的取值范围为. 故选：A. 7．B 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由正弦定理得，则 而，则 ，由，得， 锐角由确定，又，则， 因此当时，取得最大值，即， 显然函数在上单调递增，所以. 故选：B 8．D 【详解】如下图所示： 可知， 双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线， 因为与渐近线垂直，所以直线的斜率为， 设，可得，所以； 由可得， 在中利用正弦定理可得， 可得， ； 再利用双曲线定义可得 整理可得， 因此可得. 故选：D 9．AD 【详解】对A，在“杨辉三角”第10行中，从左到右第8个数字为，故A正确； 对B，由题意可得，，则，故B错误； 对C，由杨辉三角，从第2行开始到第n行，每一行从左到右的第3个数字之和为 因为，， 所以上式，故C错误； 对D，因为， 所以数列的前n项和为，故D正确． 故选：AD 10．BCD 【详解】如图，过M作轴，垂足为点D，   易知，，由， 解得，则， 所以，则．又， 则有，，解得，，又， 则，故． 当时，，不单调，故A错误； 由可知，则或， 当时，； 当时，，则，故B正确； 由可知，由在恰有4个零点， 所以，解得，故C正确； 易知在上．又， 则切线斜率，故切线方程为，故D正确． 故选：BCD. 11．ABD 【详解】对于A，因为，所以， 又，即，则，可得关于点对称， 又的定义域为R，则； 又为奇函数，则，所以， 即，所以关于直线对称， 因为，所以，所以， 则，则8是的一个周期，故A正确； 对于B，由上述得，所以， 则关于点对称，且的定义域为R，则， 令，得，故B正确； 对于C，因为，所以， 则的周期也为8，则， 又的周期为8，则，所以，故C错误； 对于D，由上述知，则为奇函数，故D正确． 故选：ABD． 12． 【详解】展开式的通项公式为， 令，得，所以含的项的系数为. 故答案为：. 13．1 【详解】矩形中,,又因为，且平面，所以平面， 因为，，所以， 在中，又因为，所以，即， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得. 故答案为：1. 14． 1 【详解】由题，函数的零点即方程的根，作出函数的图象，如图， 与的图象共4个交点，从右到左依次是， 当时，，则，得，故，即，同理，可得， 所以，即的所有零点之积为1. 作出函数的图象如图， 方程有三个不同的解，即与的图象有三个不同的交点， 当时，，则，设切点为， 所以曲线过原点的切线斜率，解得， 所以曲线过原点的切线斜率， 要使得与的图象有三个不同的交点，则，即， 所以实数的取值范围为. 故答案为：1，. 15．【详解】（1）， ， ……2分 将 代入可得，即． ……4分 所以经验回归方程为 因，则 ……7分 又因，则 ……9分 （2） ……11分 所以决定系数，故该模型拟合效果良好. ……13分 16．【详解】（1）由已知及正弦定理得， 由，得，得， ……4分 由，得，得，得， 得，得； ……8分 （2）由，得， ……10分 由余弦定理得， 因为， ……13分 当且仅当时，等号成立， 所以，得．故的最小值为2． ……15分 17．【详解】（1），. ……2分 若，则，所以在上单调递增. 若，令，得. 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. ……5分 综上所述，当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减. ……7分 （2）当时，在上单调递增， 故有唯一的零点，不满足题意. ……9分 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为， ……13分 要使在区间内存在零点，须. ……15分 即解得， 故的取值范围是. ……17分 18．【详解】（1）连接，设，连接、、， 由底面为菱形，故，且，为中点， 由，，故与全等， 故，又为中点，故， ……2分 又，、平面， 故平面，又平面， 故平面平面； ……4分 （2）由，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则、， 由，则，故，则， 由平面平面，且平面平面， 故直线在平面上的投影为直线， ……6分 又与底面所成角为，则， ，即， 则，，， ……8分 设平面于平面的法向量分别为、， 则有，， 取，则，，，故、， 则， ……10分 故，即二面角的正弦值为； ……11分 （3）由，，， 则，，，， 由，则， 由，则与都为等边三角形，故，……13分 则点为外接圆圆心，设三棱锥外接球球心为点， 则必有平面，可设， 则有、， 则，即， ……15分 整理得，即，故， 即三棱锥外接球的半径为，故其体积.……17分 19．【详解】（1）由题意可得解得p=2. ……2分 故抛物线E的方程为. ……4分 （2）由题意直线l的斜率一定存在且不为0，设直线l的方程为，， 设，，， 由消去x得. 所以，. ……6分 由AC垂直于l，直线AC的方程为 由消去x得. 所以，. ……8分 ∴ . ……11分 同理可得， ……13分 所以， ……15分 令，，则， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以当x=2时，取得最小值，即当时，最小值为.……17分 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $