吉林省友好学校2025-2026学年高三上学期1月期末联考（第80届）数学试题

友好学校第八十届期末联考 高三数学 本试卷共19题，共150分，共4页。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在贴条形码区内。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡对应的答题区域，超出答题区域书写的答案无 效，写在本试题卷上无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知复数二满足(1-)z=3+i,则三在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在等差数列{an}中，4=3,4=25，则公差d= A.-12 B.12 C.-11 D.11 3.已知，是两条不同的直线，a,B,y是三个不同的平面，下面命题中正确的是 A.若m∥n,n∥，则m∥o B.若nca,n∥B,则o∥B C.若a⊥Y,B⊥y,则∥B D.若m⊥a,mCB,则u⊥B 4.已知e0,2 若c0sa=3 ，则sina- 3/ A. 4-3W3 B. 3V3-4 c.43-3 43+3 10 10 D. 10 10 5.已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是 A.2-√2 B.2-1 C.√2+1 D.2+√2 高三数学试题第1页（共4页） 6.已知平面向量ā与b的夹角为60，(2,0)，=1，则-2b的值为 A.√2 B.2 C.4 D.3 7.已知f(x+1)是偶函数，f(x)在[1，+∞)上单调递增，f(0)=0,则不等式(x+1)f(x)>0的解集为 A.(1,+0) B.(2,+0) C.(-2,0)U(0,2) D.(-1,0)U(2,+∞) 8已知双曲线C答芹-1a>06>0的左、右供点分别为只，风，过点3作直线与C的新近线在 第一象限内交于点A,记点A关于x轴的对称点为点B,若AF·AF=0,∠AFB=60,则双曲线C 的离心率为 A.5 B.2 C.3+1 D.3+1 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 .1 9.下列选项中，与“二>1”互为充要条件的是 A.x<1 B.logosx2>logosx C.3°<3 D.x(x-1=x(1-x) 10.已知点P(x,y)在抛物线C:y2=4x上，点F为抛物线C的焦点，则 A.焦点F的坐标为(1,0) B.抛物线C的准线方程为x=-2 C.若y。=2,则P=2 D.PF 21 11.已知函数f(x)=2sim(2x+p)(0<p<),若将函数f(x)的图象向右平移云个单位长度后，所 得图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是 A.p=5π 6 (50是图象的一个对称中心 C.f(p)=-2 D.x=-严是f(x)图象的一条对称轴 高三数学试题 第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知集合A=0,1,2,3},B={a,2-1},若AUB=A,则实数a的值为 13.已知实数x,y满足x2+2y2-2xy=4,则xy的最大值为 14.已知球O是正三棱锥P-ABC的外接球，若正三棱锥P-ABC的高为√2，底边AB=√3，则球 心O到平面ABC的距离为 四.解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C,己知bsin Acos C+asin Ccos B=√3 acosA· (1)求tanA的值： (2)若b=1,c=2,AD⊥BC,D为垂足，求AD的长. 16.(15分) 已知数列{a}的前n项和为Sn,且2Sn=3a。-3(n∈N). (1)求数列{a,}的通项公式： (2)若b,=loga,+ ,求数列，}的前n项和工，. a 17.(15分) 己知函数f(x)=x2+-hx,a∈R. (1)若函数y=f(x)-2x2在(0,2]上单调递减，求α的取值范围： (2)若直线y=r与f(x)的图象相切，求a的值. 高三数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,PA=AB,M为线段PD 上的动点 D (1)若直线PB//平面ACM,求证：M为PD的中点： 3,求u (2)若平面PAC与平面MAC夹角的余弦值为5， 的值 MD A 19.(17分) 已知椭圆c:+y 示+=1a>b>0)的左，右焦点分别为R,乃，离心率为 ,M为椭圆C上的一 2 个动点，且点M到右焦点F,距离的最大值为2+√. (1)求椭圆C的方程； (2)己知过点F2的直线1交椭圆C于A,B两点，当△FAB的面积最大时，求此时直线1的方程. 高三数学试题 第4页（共4页） 友好学校第八十届期末联考 高三数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D D A A B D B BC ACD ABD 1．D 【分析】由题意求出，进而解出，判断在复平面内对应的点所在象限即可. 【详解】由题意知：， 所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 2．D 【分析】由等差数列的项之间的关系即可求得公差. 【详解】等差数列中，公差 故选：D. 3．D 【分析】根据线面平行，面面平行和面面垂直的判定定理，判断选项的正误. 【详解】若，则或，故A不正确； 若，则或与相交，故B不正确； 若，则或与相交，故C不正确； 若，则由面面垂直的判定定理可知，故D正确. 故选：D. 4．A 【分析】由条件结合公式求，再利用两角差正弦公式求结论. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 故选：A. 5．A 【分析】设圆锥的底面半径，确定母线长，求出侧面积和表面积即可求得答案. 【详解】由题意可得轴截面是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为，则其母线长为，从而该圆锥的侧面积. 表面积， 故. 故选：A.    6．B 【分析】先求出，由平面向量的数量积可求得，计算的值，再开方即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以 ， 所以， 故选：B. 7．D 【分析】由条件结合图象平移得到的图象，结合图象即可求解. 【详解】函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到， 因为是偶函数，则其图象关于轴对称， 所以的图象关于直线对称， 又在上单调递增，则在上单调递减， 又，则有， 当，即时，需， 解得或； 当，即时，需，无解； 综上，不等式的解集为. 故选：D 8．B 【分析】画出图形，由已知条件和几何关系确定，进而确定点，又点在直线上，代入即可求出，最终算出离心率. 【详解】 设，连接，与轴交于点， 由对称性可知， 又，所以是正三角形，且. 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 又点在直线上， 故， 所以， 所以. 故选：B. 9．BC 【分析】求解各不等式判断即可. 【详解】对A，则，即，，解得，故A错误； 对B，则，故，解得，故B正确； 对C，则，解得，故C正确； 对D，，则，解得，故D错误. 故选：BC 10．ACD 【分析】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程，然后再由抛物线的焦半径公式判断C，由抛物线的性质判断D.. 【详解】抛物线的方程是，则，焦点坐标是，准线方程是，A对B错； 点在抛物线上，，，则,,C对； 抛物线上点到焦点的距离在点为顶点时取得最小值，这个最小值是1，因此，D对， 故选：ACD. 11．ABD 【解析】根据题意，先得到向右平移的解析式为，再得到，可得，可得的解析式，根据正弦函数的性质可知A,B,D正确. 【详解】由题意，向右平移， 得 的图象关于轴对称，所以， ，又 即 则是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴 而，则C错，A,B,D正确 故选：ABD 【点睛】本题考查利用三角函数平移变换求参数，考查正弦函数的性质，属于基础题. 12．1或2 【分析】由题意可得，由此可求出的值，代入检验即可得出答案. 【详解】因为集合，若， 所以，所以或或或，或或或或， 解得：或或或或或或或， 当时，，不满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 综上：实数的值为1或2. 故答案为：1或2. 13．/ 【分析】利用重要不等式，转化为不等式，求的最大值. 【详解】因为，所以， 即，当时，等号成立， 所以的最大值是. 故答案为： 14．/ 【分析】根据球心与平面所截圆的圆心连线与该平面垂直定位球心，进而求解. 【详解】如图，设点在底面的投影为， 则，设， 所以，， 由得，，解得. 故答案为：. 15．（1）（2） 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（2）先根据余弦定理求，再利用三角形面积公式求AD. 【详解】（1）因为， 所以 因为，所以,即. 因为，所以，所以. 则. （2）因为，所以,. 在中，由余弦定理可得 ，即. 由，得. 所以. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 16．（1）；（2）． 【分析】（1）利用的关系可得，即可知为等比数列，写出等比数列通项公式即可. （2）由（1）得，利用分组求和，并结合错位相减法及等差、等比前n项和公式求. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，则，即， 又，则， ∴（常数），故是以为首项，以3为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． （2）由（1）可得：， ∴， 设，则 ∴， ∴，又， ∴ 17．(1) (2) 【分析】（1）利用函数的单调性与导数的正负，得出导函数的恒成立关系，利用分离参数和基本不等式即可求解； （2）利用导数的几何意义及切点的位置关系，建立方程组即可求解. 【详解】（1）记在上单调递减， 对恒成立， ，而， 当且仅当即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为. 所以a的取值范围为 （2）设直线与的图象相切于， ， 由题意可知， 代入， ，左边式子关于单调递减且时，左边 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的性质得出，再由中位线定理得出为的中点； （2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合平面与平面夹角的余弦值得出的值. 【详解】（1）连接交于点，再连接， 由直线平面，平面，平面平面，，又为的中点，为的中点； （2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系 设，则 设，， 设平面的法向量为，则，即 取，则. 设平面的法向量，则，即， 可得平面的法向量， 设平面与平面夹角为 ，整理得， 19．(1) (2)或． 【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得、，结合求出a、b即可求解； （2）设直线l的方程为，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，根据弦长公式表示，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）椭圆C的离心率为， 又点M到右焦点距离的最大值为，即， 解得，． 又由，可得． ∴椭圆C的方程为：． （2）由题意，设直线l的方程为， 联立得， 设，， 则，， ， 当且仅当即时取等号． ∴所求直线l的方程为或． 答案第8页，共11页 高三数学参考答案 第10页，总10页 学科网（北京）股份有限公司 $