第4章 阶段小测(五)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

阶段小测(五) (时间：120分钟　满分：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1. 函数y＝2sin x cos x＋sin x－cos x＋2的最大值为 (　　) A． B．3 C． D．4 解析：选C.根据题意，设t＝sin x－cos x＝2sin ∈[－2，2]， 又2sin x cos x＝1－， 则原函数可化为y＝1－＋t＋2＝－＋t＋3＝－(t－1)2＋，t∈[－2，2]， 所以当t＝1时，函数取最大值.故选C. 2．函数f(x)＝sin 的最大值为 (　　) A． B．2 C． D．3 解析：选A.因为f(x)＝sin x(sin x＋2cos x)＝sin 2x＋sin 2x＝＋sin 2x＝＋sin 2x－cos 2x＝＋·sin ＝＋sin ，其中tan φ＝－，sin (2x＋φ)∈[－1，1]，所以f(x)的最大值为.故选A. 3．设f(x)＝cos 2x＋cos 2＋sin x，则f(x)的最小值为 (　　) A.1 B． C．－1 D． 解析：选C.f(x)＝cos 2x＋cos 2＋sin x＝cos 2x＋sin 2x＋sin x＝1－2sin 2x＋sin 2x＋sin x＝－sin 2x＋sin x＋1，令t＝sin x∈，则原函数转化为g＝－t2＋t＋1＝－2＋，t∈，则由二次函数的性质可知，当t＝－1时，g(t)取得最小值，最小值为－1.即f(x)的最小值为－1.故选C. 4．函数y＝的值域是 (　　) A．∪ B． C． D．∪ 解析：选A.由y＝，可得cos x＝，由于－1≤cos x≤1且cos x≠－，故≤1且≠－，即(1－y)(3y－1)≤0，解得y≥1或y≤，则所求函数的值域为∪.故选A. 5．已知函数f(x)＝，则f(x)的最小值为 (　　) A．1 B．2 C． D．5 解析：选B.f(x)＝ ＝＝， 令t＝sin x＋1∈(0，2]， 则y＝＝＝4t＋－2， 因此函数f(x)＝的最小值与函数y＝4t＋－2在区间(0，2]上的最小值相同， 又因为y＝4t＋－2≥2－2＝2，当且仅当t＝，即sin x＝－时等号成立， 所以函数f(x)＝的最小值为2.故选B. 6．已知函数f(x)＝cos cos ＋2a sin x＋的最大值为4，则正实数a的值为 (　　) A． B．2 C．－2或2 D．2或 解析：选B.f(x)＝cos cos ＋2a sin x＋＝·＋2a sin x＋ ＝＋2a sin x＋ ＝＋2a sin x＋ ＝－sin 2x＋2a sin x＋1. 令t＝sin x，t∈，则二次函数y＝－t2＋2at＋1(t∈)的图象开口向下，对称轴为直线x＝a. 当0<a≤1时，则ymax＝－a2＋2a×a＋1＝a2＋1＝4，a2＝3，因为a的值为正实数，故无解． 当a>1时，则ymax＝－12＋2a×1＋1＝2a＝4，解得a＝2. 综上所述，a的值为2.故选B. 二、多项选择题(本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 7．若函数f(x)＝cos 2x＋2sin x在区间的最大值为2，则θ的可能取值为 (　　) A．0 B． C． D．π 解析：选CD.因为f(x)＝cos 2x＋2sin x＝－sin 2x＋2sin x＋1＝2－2，所以当sin x＝1， 即x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)max＝2.又因为x∈，所以2kπ＋∈，k∈Z，所以θ的可能取值为，π.故选CD. 8．设函数f(x)＝，则 (　　) A．f(x)的一个周期为π B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上有最大值 D．f(x)图象的一条对称轴为直线x＝ 解析：选BD.对于A，f(x＋π)＝＝＝－＝－f(x)，故π不是f(x)的周期，故A错误；对于B，令t＝sin x＋cos x＝sin ，则sin 2x＝2sin x cos x＝t2－1，则y＝＝t－，因为x∈，则x＋∈，sin ∈，所以t＝sin 在上单调递增，且t＝sin ∈，又因为y＝t－在上单调递增，故f(x)在上单调递增，故B正确； 对于C，因为x∈，则x＋∈(0，π)，所以sin ∈(0，1]，则t＝sin ∈(0，]， 又因为y＝t－在上单调递增，且y|t＝＝－＝，所以y＝t－在上最大值为，即f(x)在上有最大值，故C错误；对于D，f＝＝＝＝f(x)，故f(x)图象的一条对称轴为直线x＝，故D正确．故选BD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中横线上．) 9．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x在区间上的最大值是________． 解析：f(x)＝sin 2x－cos 2x ＝2sin ，当x∈时，2x－∈，故当2x－＝，即x＝时，f(x)有最大值，且最大值为2. 答案：2 10．当0<x<时，函数f(x)＝的最小值是________． 解析：f(x)＝＝，当0<x<时，tan x∈，所以0<tan x－tan 2x≤－＝，所以f(x)≥4，即f(x)＝的最小值为4. 答案：4 11．函数f(x)＝sin 2x＋3sin 的值域为_____________． 解析：f(x)＝sin 2x＋3sin ＝2sin x cos x＋3sin x＋3cos x， 令sin x＋cos x＝t，则2sin x cos x＝t2－1， 于是函数化为y＝t2－1＋3t＝2－，而t＝sin x＋cos x＝sin ∈[－，]，因为函数y＝t2－1＋3t在t∈[－，]上单调递增，所以当t＝－时，函数y取最小值1－3；当t＝时，函数y取最大值1＋3，故函数f(x)的值域为. 答案： 四、解答题(本题共3小题，共43分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．) 12．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝cos x sin (x＋)－cos2x＋，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期；(5分) (2)求f(x)在上的最小值和最大值．(8分) 解：(1)由已知，有f(x) ＝cosx－cos2x＋ ＝sinx cos x－cos2x＋ ＝sin2x－(1＋cos 2x)＋ ＝sin 2x－cos 2x＝sin ， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因为f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增， f＝－，f＝－，f＝， 所以函数f(x)在上的最大值为，最小值为－. 13．(本小题满分15分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin A sin B． (1)求角C的大小；(6分) (2)求sin A＋sin B＋sin C的取值范围．(9分)　 解：(1)因为cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin2A＋1－2sin2B－(1－2sin2C)＝1－2sinA sin B， 整理得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA sin B，由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理得cos C＝＝，因为C∈(0，π)，所以C＝. (2)sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋sin ＋＝sin A＋sin cos A－cos sin A＋＝sin A＋cos A＋＝sin ＋. 在△ABC中，因为C＝，所以0＜A＜，所以＜A＋＜，所以＜sin ≤1， 所以＜sin ＋≤， 所以sin A＋sin B＋sin C的取值范围为.　 14．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝2－2. (1)当x∈时，求函数f(x)的单调递增区间；(7分) (2)若x∈，求函数g＝f2－f－1的值域．(8分) 解：(1)函数f(x)＝2－2 ＝2－2＝4sin 2－2 ＝2－2 ＝－2cos ， 令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z， 得kπ－≤x≤＋kπ，k∈Z，因为x∈， 所以函数f(x)的单调递增区间为 ，. (2)g＝f2－f－1 ＝×4cos 2＋2cos －1 ＝2cos 2＋2cos －1 ＝2cos 2－2sin －1 ＝2－2sin 2－2sin －1 ＝－2sin 2－2sin ＋1. 令sin ＝t， 因为x∈，所以≤2x＋≤， 所以t＝sin ∈， 所以y＝－2t2－2t＋1＝－22＋，t∈， 所以当t＝－时，y取最大值为；当t＝1时，y取最小值为－3， 所以g的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $