专题15 实际问题与一次函数【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

**基本信息** 聚焦一次函数实际应用，通过“基础题型-综合应用-中考对接”三层设计，实现从单一模型到复杂情境的知识巩固，培养数学建模与问题解决能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用层|行程、工程等单一问题模型|例题+变式题组，强化解析式建立与图象分析| |综合提升层|方案选择、几何综合等多知识点融合|梯度计价、利润最值题型，培养逻辑推理与优化意识| |拓展冲刺层|新情境问题与中考真题|结合物理实验、生活场景，提升数学应用与创新思维|

专题15 实际问题与一次函数 （重难点题型专训） 【知识考点 实际问题与一次函数】 在运用一次函数解决实际问题时，一般先将实际问题抽象为一次函数问题，然后根据条件求 得一次函数的解析式，再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题。 1.一次函数应用问题的求解思路 （1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； （2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解；同时要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点； （3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案； （4）一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段。涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。 2.一次函数解决实际问题的一般解题步骤 （1）审题建模：分析题目中的变量关系，确定自变量和因变量；根据实际场景，建立一次函数模型（注意分段场景需分区间列解析式）；明确自变量的实际取值范围（如非负整数、区间限制）。 （2）求解分析：若为求特定值：将已知条件代入解析式，解方程求解；若为方案选择：列两函数解析式，解方程求临界点，再分区间解不等式比较大小；若为最值优化：根据约束条件列不等式，确定自变量的整数取值，再利用一次函数的单调性求最值。 （3）检验作答：结合实际意义检验结果是否合理（如人数、次数、费用不能为负数，需取整数）；完整回答题目问题，明确写出最终结论。 【重难点常考题型概览】 【题型01】行程问题 【题型02】工程问题 【题型03】分配问题 【题型04】调运问题 【题型05】方案选择问题 【题型06】利润最大问题 【题型07】费用最少问题 【题型08】梯度计价问题 【题型09】新情境新考法问题 【题型10】其他问题 【题型11】一次函数与几何综合 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】行程问题 【例1】（2025-2026八年级上·江苏盐城·期末）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； (2)图中_________，_________； (3)求线段的函数表达式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 【答案】(1)1200，80 (2)， (3) (4)分钟和7分钟 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图象分析出各个点对应的情况． （1）分析图象，出发前两人之间的距离即为两地之间的距离，为1200米，乙经过15分钟时到达地，据此即可求解； （2）由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，点表示此时甲到达地，则可求出，再经过3分钟乙到达地，此时两人相距米，利用甲乙的速度即可算出； （3）根据的坐标，设出的一般解析式，将的坐标代入即可求出； （4）设经过分钟两人相距60米，根据两人相遇前和相遇后都可相距60米分别列方程即可求出． 【解答】（1）解：由函数图象可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从地出发，乙从地出发，两人最开始时的距离就是两地之间的距离， 所以两地之间距离为1200米； 由图象可知乙经过15分时到达地， ∴乙的步行速度为（米／分）； 故答案为：1200，80； （2）解：由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，点表示此时甲到达地，乙未到达地，15分钟时乙到达地，此时两人相距米， 设甲的步行速度为米／分， 则， 解得：（米／分）， ∴（分）， 米， 故答案为：12；900； （3）解：设线段的解析式为， 则有， 解得：， ∴线段的函数解析式是； （4）解：设经过分钟两人相距60米，两人相遇前和相遇后都可相距60米， 相遇前：， 解得：； 相遇后：， 解得：， 所以经过7分钟和分钟时两人相距60米． 【变式1-1】（2025-2026八年级上·河南郑州·期末）李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业忘在家里了，便骑车追赶李华，图中，分别表示了李华和爸爸离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系． (1)李华步行的速度为___________米/分，爸爸骑车的速度为___________米/分，点A表示的实际意义是___________． (2)分别求出的函数表达式 (3)请通过计算说明爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 【答案】(1)60；180；李华出发10分钟时，李华离家600米 (2)：；： (3)能追上 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用． （1）根据速度等于路程除以时间可得答案，结合图象可得点A表示的实际意义． （2）利用待定系数法求解的函数表达式即可． （3）先求解的解，再进一步求解即可． 【解答】（1）解：李华步行的速度为米/分， 爸爸骑车的速度为米/分， 点A表示的实际意义是：李华出发10分钟时，李华离家600米． （2）解：由题意设的表达式为， 当时， ，解得：， 的表达式为， 由题意设的表达式为， 当时，， ，解得：， 的表达式为． （3）解：当时， 解得：， 把代入， 得：， ， 能追上． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在一条笔直的公路上依次有A，B，C三地，甲车从地出发匀速驶向地，到达地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向地，甲车从地出发后，乙车从地出发匀速驶向地，两车同时到达目的地．两车距地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是______，乙车行驶的速度是______． (2)求图中线段所表示的与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)乙车出发多少小时，两车距A地的距离的差是？请直接写出答案． 【答案】(1)120，80； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的实际应用-行程问题、一元一次方程的应用，解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． （1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度即可； （2）设与之间的函数解析式为，把，代入，解方程组求出、的值即可得答案； （3）先求出乙车出发时，两车的距离，然后分情况列方程求解即可． 【解答】（1）解：由图可得，即甲出发3时后与地相距， ∴甲车行驶速度为 ； 由题意可得，过，， ∴乙车出发，行驶， ∴乙车行驶速度为 ， 故答案为：， （2）解：设与之间的函数解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∵，， ∴， ∴与之间的函数解析式为， （3）解：设乙车出发时，两车之间的距离是， ∵， ∴乙车出发时，两车相距， 当两车相遇前相距时，， 解得：，即乙车出发时，两车相距， 当两车相遇后相距时，， 解得：，即乙车出发时，两车相距，此时甲车还没到达地， 当甲车从地出发时，乙车出发， ∴两车相距， 当两车相距时，， 解得：，此时，故不符合题意，舍去， 综上所述：乙车出发或时，两车相距． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·天津河北·期末）李磊骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起要买三角尺，于是又折回到刚经过的文具店，买到三角尺后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 李磊离开家的时间分钟 李磊离开家的距离米 ______ ______ (2)填空： 李磊家到学校的路程是______米； 李磊从文具店到学校的骑行速度是______米分钟； (3)当时，请直接写出关于的函数解析式； (4)若李磊离开家时，住在他家楼下的王淼同时出发匀速步行去学校已知王淼步行速度是，上学途中没有停留，那么她在途中遇到李磊时是离开家几分钟？请直接写出答案 【答案】(1)见解析 (2)①1500；②450 (3) (4)她在途中遇到李磊时是离开家或 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是弄清楚坐标轴表示的实际意义． （1）直接根据函数图象提供的信息填写即可； （2）根据图象可已看出， 李磊家到学校的距离为； 从文具店到学校用了，路程是，利用求出； （3）分三段，其中当，时的图象是线段，可知其是一次函数，可用待定系数法求其解析式，当时，其图象平行于轴，； （4）根据题意列方程解答即可． 【解答】（1）解：由图象可以看出，李磊离开家的时间分别是分钟，分钟时，距离家的距离分别是，． 填表： 李磊离开家的时间 李磊离开家的距离 800 600 （2）解：在图中，纵轴表示的是李磊离家的距离，横轴表示离家用的时间． 从图中可以看出，李磊到学校时离家的距离是，所以李磊家到学校的路程是． 从图中可以看出，从文具店到学校的路程为，所用的时间为， 所以从文具店到学校的速度为． （3）解：从图中可以看出，在时，图象分为三段， 当时，设函数解析式为， 由图得，， 解得， ， 当时， 图象为平行于轴的线段， ∴． 当时，设函数解析式为， 由图得，， 解得， ， 综上所述，； （4）解：设王淼在途中遇到李磊时是离开家分钟，根据题意得： 或， 解得或． 答：她在途中遇到李磊时是离开家或． 【题型02】工程问题 【例2】（2024-2025八年级下·广东云浮·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘南深高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间天之间的关系如图所示． (1)甲组比乙组多挖掘了______天． (2)求乙组停工后关于的函数解析式． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 【答案】(1) (2) (3)天 【分析】本题考查一次函数的应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，分别求出两组的挖掘速度是解题的关键． （1）观察图象即可； （2）求出甲组的挖掘速度，从而求出乙组停工后关于的函数解析式即可； （3）设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天，根据甲组挖掘的速度甲组挖掘的天数乙组挖掘的速度列方程列关于的方程并求解即可． 【解答】（1）解：甲组比乙组多挖掘了（天）． 故答案为：． （2）解：甲组的挖掘速度为（/天）， 则当时，， 乙组停工后关于的函数解析式为． （3）解：甲、乙两组合作的挖掘速度为（/天）， 则乙组的挖掘速度为（/天）， 设当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，甲组挖掘了天， 根据题意，得， 解得， （天）． 答：甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，乙组已停工天． 【变式2-1】（2022-2023八年级下·重庆九龙坡·期中）某地计划修建一条长36千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天． (1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？ 【答案】(1)甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米 (2)共有12种修路方案，最省钱的修路方案为：甲工程队修路9千米，乙工程队修路27千米． 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用． （1）设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米，根据乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天，列出方程，进行求解即可； （2）设甲工程队修路m千米，则乙工程队修路千米，根据题意可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，可得出共有12种修路方案，设修路的总费用为w万元，根据题意可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可找出最省钱的修路方案． 【解答】（1）解：设乙工程队每天修路千米，则甲工程队每天修路千米， 由题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ； 答：甲工程队每天修路千米，乙工程队每天修路千米； （2）解：设甲工程队修路m千米，则乙工程队修路千米， 根据题意得：， 解得：， ∵m为整数， ∴共有（种）修路方案． 设修路的总费用为w万元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， 又∵，且m为整数， ∴当时，w取得最小值，此时． 答：共有12种修路方案，最省钱的修路方案为：甲工程队修路9千米，乙工程队修路27千米． 【变式2-2】（2025·吉林四平·模拟预测）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，先由乙队先单独施工20天后甲队返回，两队又共同施工了60天，甲、乙两队共完成土方量108万立方，这时乙队因故暂时停止施工，由甲队单独完成剩余部分，甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系如图所示． (1)乙队每天完成土方量多少万立方； (2)若该公司预计工期100天，甲队能否按期完成剩余部分？ (3)当时，求甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系式； (4)当甲、乙两个工程队共同完成土方量100万立方时，甲、乙两个工程队哪个队完成的土方量多，多多少？ 【答案】(1)0.6万立方 (2)能按期完成，见解析 (3) (4)甲多，多10（万立方） 【分析】本题考查了函数图象的应用，涉及函数图象，求一次函数解析式，求函数值等知识，理解题意，正确求解是关键； （1）由函数图象知，乙队20天完成了12万立方，即可求得乙每天完成的土方量； （2）甲队单独完成剩余部分为12万立方，根据两队60天共完成108万立方土方量，即可求得甲队每天完成的土方量，完成剩余部分所需的时间，从而可判断剩余部分可否如期完成； （3）当时，函数过点，利用待定系数法即可求得线段的函数解析式； （4）求出当（3）中的函数值为100时的自变量的值，则可分别计算出两队完成的土方量，从而可求解． 【解答】（1）解：由图象知：乙队20天完成了12万立方，则乙队每天完成：（万方）； 答：乙队每天完成土方量万立方； （2）解：能按期完成；理由如下： 甲队单独完成剩余部分为（万立方）； 两队60天完成了（万立方）， 则甲队每天完成的土方量为：（万立方）， 甲完成剩余土方的时间为（天），而（天）（天）； 所以能按期完成剩余部分； （3）解：当时，函数图象为线段， 设函数解析式为； ∵函数过点， ∴，解得：， ∴函数解析式为； （4）解：对于，当时，解得； 甲完成土方量为：（万立方），乙完成土方量为：（万立方），（万立方）； 答：甲比乙完成的土方量多，多10万立方． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 【答案】(1)9；40 (2)第20天时整个工程已完成580米 (3)完成这次任务的工期范围是27天至35天 【分析】（1）根据图象信息得出甲、乙合作时，共施工的天数，再运用工作量除以时间，即可作答． （2）先求出直线的解析式，再令，则即可作答． （3）根据图象信息得甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），因为乙工程队的施工效率不超过甲工程队，得出解得，然后分类讨论，即当时或当时，再求出直线的解析式，当时，则，解得，即，进行作答即可． 本题考查了一次函数的工程问题，求一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【解答】（1）解：由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：（天） 每天挖隧道：（米）， 故答案为:9，40． （2）解：由题意，当时 ∴点的坐标A的坐标为，B的坐标为 ∴（米/天），（米/天）， 又设直线的解析式为 把点B坐标代入解析式得 解得 ∴直线的解析式为 令，则 ∴第20天时整个工程已完成580米； （3）解：由题意得，甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天）， ∵乙工程队的施工效率不超过甲工程队， ∴， 解得， ∵， ∴， 当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得； 当时， 依题意，则， ∴（米/天），（米/天）， 设直线的解析式为 把代入得 解得， ∴直线的解析式为 ∴当时， 由（2）得直线的解析式为 ∴当时，则， 解得， 即 ∴完成这次任务的工期范围是27天至35天． 【题型03】分配问题 【例3】（2024-2025八年级上·安徽合肥·期末）某校计划开展运动会预购进甲、乙两种跳绳，甲种跳绳的单价为每条15元，如果一次性购买甲种跳绳超过20条，超过部分的打八折；乙种跳绳的单价为每条18元，没有优惠． (1)若购进甲种跳绳条，付款元，求关于的函数表达式； (2)某校计划购买这两种跳绳共60条，且甲种跳绳不少于10条，且不超过40条，问如何分配甲、乙两种跳绳的购进量，才能使付款总金额（元）最少． 【答案】(1) (2)当购买甲种跳绳40条，乙种跳绳20条时，付款总金额最少 【分析】本题考查一次函数的实际应用． （1）分和两种情况，再根据题意分别列出关系式即可； （2）设购买甲种跳绳条，则购买乙种跳绳条，根据题意得到，再利用一次函数的性质解答即可． 【解答】（1）解：当时，， 当时，， ∴； （2）解：设购买甲种跳绳条，则购买乙种跳绳条， 由题意得：， 当时， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值1020元， 当时， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最小值900元， ∵， ∴当购买甲种跳绳40条，乙种跳绳20条时，付款总金额最少． 【变式3-1】（2025-2026八年级上·全国·专题练习）某水果经销商从水果种植户购进甲、乙两种水果进行销售，因长期合作的关系，水果种植户对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．经销商购进甲种水果所需支付金额（元）与质量（千克）之间的函数关系如图所示． (1)请写出当时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于20千克，但又不超过30千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商支付的总金额（元）最少？ 【答案】(1)； (2)购进甲种水果20千克，乙种水果80千克，才能使经销商支付的总金额最少． 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）结合函数图象，利用待定系数法即可得； （2）根据题意可得，购进乙种水果千克，表示出，然后利用一次函数的性质求解即可． 【解答】（1）解：当时，设与之间的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 所以当时，与之间的函数关系式为； （2）解：根据题意可得，购进乙种水果千克， 因为当时，， 所以当时，． 因为， 所以随的增大而增大， 所以当时，最小，此时． 答：购进甲种水果20千克，乙种水果80千克，才能使经销商支付的总金额最少． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·云南临沧·期末）在数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．为提升模型的训练效率，某实验室需采购甲、乙两种类型的卡．已知购买6块甲型卡和8块乙型卡共需170万元，购买5块甲型卡和4块乙型卡共需115万元． (1)每块甲型卡和乙型卡的价格各是多少万元？ (2)该实验室预计采购甲、乙两种类型的卡共40块，甲型卡的数量不少于乙型卡数量的4倍，如何分配两种卡的采购数量，才能使采购总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)甲型卡每块15万元，乙型卡每块10万元 (2)采购甲型卡32块，乙型卡8块，总费用最少，为560万元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设甲型卡每块x万元，乙型卡每块y万元，根据题意建立二元一次方程组求解即可； （2）设采购甲型卡a块，则乙型卡块，先得到关于的一元一次不等式，求出的取值范围，再设总费用为，得到关于的一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【解答】（1）解：设甲型卡每块x万元，乙型卡每块y万元， 根据题意，得， 解得， 答：每块甲型卡15万元，每块乙型卡10万元； （2）解：设采购甲型卡a块，则乙型卡块， 由题意得，， 解得， 设总费用为， 则， ∵， ∴C随a增大而增大， ∴当时，C最小， 此时， （万元）， ∴采购甲型卡32块，乙型卡8块，总费用最少，为560万元． 【变式3-3】（2024-2025八年级下·河北石家庄·期末）【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）； ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． （1）用含x的代数式表示y，则 ；并写出总收益 W（元）关于x的函数关系式； 【问题探究】（2）求满足所有条件的自变量x的取值范围； 【优化决策】（3）为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？此时最大收益是多少？ 【答案】（1）；；（2）；（3）处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨，最大收益750元． 【分析】本题考查列代数式，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和一次函数解析式是解题的关键． （1）根据区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨可得；然后根据处理可回收垃圾：每吨收益50元，处理厨余垃圾：每吨收益30元可表示出W； （2）根据可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍，厨余垃圾每天至少处理4吨列不等式组求解即可； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【解答】（1）∵区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨， ∴； ∵处理可回收垃圾：每吨收益50元，处理厨余垃圾：每吨收益30元 ∴； （2）∵可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍，厨余垃圾每天至少处理4吨 ∴ 解得； （3）∵， ∴W随x的增大而增大 ∴当时，W有最大值，最大值为 ∴ ∴处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨，最大收益750元． 【题型04】调运问题 【例4】（2024-2025八年级下·全国·假期作业）某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋600千克．该超市负责人决定从甲、乙两个大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出400千克，乙养殖场每天最多可调出450千克，从甲、乙两个养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费见下表： 养殖场 到超市的路程/千米 运费/（元/千克·千米） 甲 90 0.05 乙 40 0.03 设从甲养殖场调运鸡蛋x千克，总运费为W元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________元；从乙养殖场调运鸡蛋的质量，用代数式表示为__________千克； (2)试写出W与x之间的函数表达式； (3)请求出自变量x的取值范围，并说明怎样的调运方案才能使每天的总运费最少． 【答案】(1)； (2) (3)当从甲养殖场调运150千克鸡蛋，从乙养殖场调运450千克鸡蛋时，才能使每天的总运费最少 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式组，利用一次函数的性质解答． （1）根据题意直接得出结论； （2）根据题意和表格中的数据，可以得到与的函数关系式； （3）根据（2）中的函数关系式和的取值范围，利用一次函数的性质，即可得到怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省． 【解答】（1）解：从甲养殖场调运鸡蛋千克，则从乙养殖场调运鸡蛋千克， 则从甲养殖场调运鸡蛋的运费为：， 故答案为：元，千克； （2）解：根据题意得：， 与的函数关系式为：； （3）解：由（2）知，， ， 随的增大而增大， ，， ， 当时，取得最小值， 此时， 答：当从甲养殖场调运斤鸡蛋，从乙养殖场调运斤鸡蛋时，每天的总运费最省． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·甘肃兰州·期末）现从A村，B村向甲、乙两地运送蔬菜，A村，B村两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A村到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B村到甲地运费60元/吨，到乙地45元/吨．设A村往甲地运送蔬菜x吨． (1)设A村运费为元，请写出与的函数关系式，并说明x为何值时，最小？ (2)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．并求出当时，怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【答案】(1)，当时，最小 (2)A村往甲地运送蔬菜1吨、往乙地运送蔬菜13吨，B村将14吨蔬菜全部运往甲地可使运费最少 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总运费等于从A村到甲地的总运费加上从A村到乙地的总运费之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质，进行求解即可； （2）根据总运费等于两村的运费之和，列出函数关系式，根据一次函数的性质，进行求解即可． 【解答】（1）根据题意，A村往乙地运送蔬菜吨， 则， ∵， ∴随x的减小而减小， ∵， ∴当时，最小． （2）根据题意，B村往甲地运送蔬菜吨，B村往乙地运送蔬菜吨， 则， ∵， ∴W随x的减小而减小， ∵， ∴当时，W的值最小， ∴A村往甲地运送蔬菜1吨、往乙地运送蔬菜13吨，B村将14吨蔬菜全部运往甲地可使运费最少． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·重庆秀山·期末）某物资配送中心在北京和上海两个站点同时储备应急物资若干吨，北京站点可支援外地10吨，上海站点可支援外地4吨，现在决定给重庆调运8吨应急物资，武汉调运6吨应急物资。已知从北京、上海两个站点运往重庆和武汉的运费如下表： 出发地目的地 北京站点（元/吨） 上海站点（元/吨） 重庆 800 500 武汉 400 300 (1)若总运费为8400元，则上海站点运往武汉多少吨？ (2)若要求总运费不超过8200元，则共有几种调运方案？ (3)总运费最低的调运方案是哪种？总运费最低是多少元？ 【答案】(1)上海站点运往武汉吨 (2)共有种调运方案 (3)总运费最低的调运方案为：上海站点运往武汉吨，上海运往重庆吨，北京运往武汉吨，北京运往重庆吨，总运费最低是元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的性质，解一元一次不等式，解题的关键是准确把握题意，找准隐含的数量关系，列出函数或方程来分析、判断或解答． （1）设上海站点运往武汉吨，上海站点运往重庆吨，北京站点运往武汉吨，北京站点运往重庆吨，根据总运费从上海运往武汉的运费从上海运往重庆的运费从北京运往武汉的运费从北京运往重庆的运费，列出一元一次方程即可得解； （2）结合（1），求出总运费关于的函数关系式，列出不等式即可解决问题； （3）根据一次函数的性质即可解决问题． 【解答】（1）解：设上海站点运往武汉吨，上海站点运往重庆吨，北京站点运往武汉吨，北京站点运往重庆吨， 根据题意得， 解得， 答：上海站点运往武汉吨； （2）解：设上海站点运往武汉吨， 由（1）知，总费用： ，即时， 解得，而， 或或或， 即共有种调运方案； （3）解：，， 随的增大而增大， 故当时，取最小值，即上海站点运往武汉吨，上海运往重庆吨，北京运往武汉吨，北京运往重庆吨， 此时， 即最低总运费是元． 【变式4-3】（2023-2024八年级下·山东日照·期中）A校和B校分别有库存电脑14台和8台，现决定支援给C校12台和D校10台．已知从A校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为40元和10元；从B校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为30元和20元． (1)设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为____台；B校运往C校的电脑为______台，B校运往D校的电脑为______台； (2)求总运费W（元）关于x的函数关系式； (3)求出总运费W最低的调运方案，最低运费是多少? 【答案】(1)，， (2)（，且为整数） (3)A校运4台电脑到C校，运10台电脑到D校；B校运8台电脑到C校，运0台电脑到D校，最低费用为500元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）根据表格即可填空； （2）利用总费用等于A校运往学校的费用加上B校运往学校的费用即可求解函数关系式； （3）利用一次函数的性质求解． 【解答】（1）解：设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为台；B校运往C校的电脑为台，B校运往D校的电脑为台， 故答案为：；；； （2）解：由题意得， （，且为整数） （3）解：∵，， ∴随着的增大而增大， ∴当时，最小， ∴最低运费是（元）， 总运费最低的调运方案为：A校运往4台电脑到C校，运往10台电脑到D校；B校运往8台电脑到C校，运往0台电脑到D校． 答：最低运费为元，总运费最低的调运方案为：A校运4台电脑到C校，运10台电脑到D校；B校运8台电脑到C校，运0台电脑到D校． 【题型05】方案选择问题 【例5】（2024-2025八年级下·全国·假期作业）某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，为方案一的函数图像，为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元．根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）： (1)求对应的函数表达式． (2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？ (3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？ 【答案】(1) (2)方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元 (3)当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多 【分析】（1）设对应的函数表达式为，由待定系数法就可以求出解析式； （2）由题意得方案二中每件商品的销售提成为元，设对应的函数表达式为，利用待定系数法求得，因此方案二中每月付给销售人员的底薪为3600元； （3）由建立方程，先求出两种工资方案所得到的工资数额相等时x的值，再观察图像即可得出销售方案． 【解答】（1）解：设对应的函数表达式为． 由题图，得， 解得， 对应的函数表达式为． （2）（2）方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元， 设对应的函数表达式为． 把代入，得， 解得， 方案二中每月付给销售人员的底薪是3600元． （3）（3）由（1）知，．由（2）知，． 令，解得． 当销售数量为120件时，两种方案所得到的月工资相等． 由题图可得，当销售件数少于120时，选择方案二才能使月工资更多；当销售件数等于120时，选择两种方案所得到的月工资一样；当销售件数多于120时，选择方案一才能使月工资更多． 【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，设计方案的运用，解答时认真分析，弄清函数图像的意义是关键． 【变式5-1】（2025-2026八年级上·山东济南·期末）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位组织10人以上去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【答案】(1)；（，为正整数） (2)当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠，当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以，当人数在 20人以上时，选择方案二优惠 【分析】本题考查了函数的表达式，方程或不等式的应用． （1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并． （2）分三种情况：当时， 当 时， 当 时，再建立方程或不等式求解可得出结论． 【解答】（1）解：由题意，； ； ；（，为正整数）； （2）解：当时，则， 解得：， 当 时，则， 解得：， 当 时，则， 解得：， 所以，当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠， 当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以， 当人数在 20人以上时，选择方案二优惠． 【变式5-2】（2025-2026八年级上·山西晋中·期中）家门口的“暖心食堂”正成为越来越多社区的风景线．许多长者在此不仅能享用营养餐食，还能参与棋牌、手工等康乐活动，让社区成为兼具膳食与陪伴功能的温暖港湾． 为使老年人就餐更实惠，春风社区食堂针对敬老套餐推出两种优惠方案，具体如下： 方案1：不办理服务卡，每份套餐原价出售； 方案2：办理服务卡，则每份套餐在原价的基础上打七五折； 方案1所需费用（单位：元），方案2所需费用（单位：元）与每月购买敬老套餐数量x（单位：份）之间的函数关系如图所示． (1)办理服务卡的费用为______元，办理服务卡后每份敬老套餐的费用为______元． (2)请直接写出方案1和方案2的函数关系式； (3)若张奶奶每个月在食堂的花费为600元，则选择哪种方案更划算？说明理由． 【答案】(1)， (2)，； (3)选择方案更划算. 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用. （1）直接根据图象可得答案. （2）直接利用待定系数法求解一次函数解析式即可. （3）把代入函数解析式求解的值，再计算即可. 【解答】（1）解：办理服务卡的费用为元，办理服务卡后每份敬老套餐的费用为（元）. （2）解：设与x的函数关系式为， ∵过点， ∴， 解得：， ∴， 设与x的函数关系式为， ∵过点， ∴，解得：， ∴. （3）解：当时， ∴， 解得：， 当， 解得：， ∵， ∴选择方案更划算. 【变式5-3】（2025-2026八年级上·安徽淮北·期末）某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别写出与，与的函数关系式； (2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 【答案】(1)， 、． (2)当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 【分析】见解析 【解答】（1）利润等于总售价减去总进价，总售价等于． 方案A：每本进价元，总进价等于， ． 方案B：分两种情况讨论： 1、当时，总进价为， ． 2、当，前100本进价10元，超过部分进价6元， 总进价， ． 综上，方案B的函数关系式： 、． （2）已知，分两段分析： 当时： ，显然，此时方案A利润更大． 当时： 比较和： 令，解得； 令，解得； 即时，； 时，． 综上所述，当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 【题型06】利润最大问题 【例6】（2024-2025八年级下·湖北襄阳·期末）综合与实践 在一次综合与实践活动中，兴趣小组对某公司销售的，两种型号的电脑的销售情况进行了调研，获得了以下素材． 素材一：型电脑每台利润为400元，型电脑每台利润为500元． 素材二：公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍． 设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，请根据以上素材，解决下列问题 (1)求与的函数解析式； (2)该公司购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)公司实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，该公司保持这两种型号电脑的售价不变，若无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求的值． 【答案】(1) (2)公司购进A型电脑34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元． (3)100 【分析】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用． （1）根据总利润等于A、B两种型号电脑的利润之和，即可求出函数解析式； （2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍”列出不等式，即可求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质即可求出答案； （3）根据题意列出y关于x的函数关系式，可得当时，恒成立，即可求解． 【解答】（1）解：根据题意可知， ． 所以与的函数解析式为． （2）解：根据题意，得． 解得 ． 因为为自然数，所以34． 因为，， 所以随的增大而减小． 所以当时，的值最大， 此时，． 答：公司购进A型电脑34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元． （3）解：根据题意可知， 因为的值与的取值无关， 所以． 解得100． 【变式6-1】（2024-2025八年级下·广东惠州·期末）为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元． (1)求种植A，B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ (2)村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍，问应如何种植A，B两种蔬菜，总收入最大，最大总收入是多少？ 【答案】(1)种植A种蔬菜每亩收入万元，B种蔬菜每亩收入万元 (2)A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元，由题意列出二元一次方程组，解方程组可得出答案； （2）设A种蔬菜种植m亩，总收入为w万元，根据题意得出，根据一次函数的性质可得出答案． 【解答】解：（1）设种植A种蔬菜每亩收入x万元，B种蔬菜每亩收入y万元， 根据题意得：， 解得：， 答：种植A种蔬菜每亩收入万元，B种蔬菜每亩收入万元． （2）设A种蔬菜种植m亩，总收入为w万元， 根据题意得：， ∵要求A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍， ∴， 解得：， 又，， ∴w随m的增大而减小， ∴当，w取得最大值，（万元）， ∴A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元． 答：A种蔬菜种植150亩时，B种蔬菜种植100亩时，收入最大，最大收入为120万元． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 【答案】(1)方案1：；方案2： (2)工厂采用方案1时利润最大，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用和方案设计问题． （1）每件产品出厂价为50，共x件，则总收入为：，成本费为，产生的污水总量为，按方案一处理污水应花费：，按方案二处理应花费：．根据利润=总收入-总支出即可得到y与x的关系； （2）根据（1）中得到的x与y的关系，将代入，比较y的大小即可得采用哪种方案工厂利润最多． （3）根据（1）中得到的x与y的关系，列不等式即可求解. 【解答】（1）按方案1处理污水时，． 按方案2处理污水时，； （2）当时，； ． 因为， 所以工厂采用方案1时所获利润更大． （3）当时，解得，即当每月生产量超过5000件时，工厂采用方案1时利润更多； 当时，解得，即当每月生产量等于5000件时，工厂采用任意一种方案的利润相同； 当时，解得，即当每月生产量小于5000件时，工厂采用方案2时利润更多． 【变式6-3】（2024-2025八年级下·四川成都·期末）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图像，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系．已知线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件． (1)第24天的日销售量是__________件，日销售利润是__________元； (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)试销售期间，日销售最大利润是多少元？ 【答案】(1)330，660 (2) (3)720 【分析】（1）先确定第24天处于段，利用段“时间每增加1天，日销售量减少5件”的规律计算日销售量，再结合“利润（售价成本价）日销售量”求日销售利润； （2）分段和段分别求函数关系式：段为正比例函数，通过图像上已知点求解析式；段为一次函数，利用待定系数法求解析式，再确定两段的取值范围； （3）根据“利润（售价成本价）日销售量”，结合日销售量的最大值（由段函数性质确定）计算最大利润． 【解答】（1）解：由线段中时间每增加1天，日销售量减少5件，观察图像，当时，（即第22天日销售量为340件）， 第24天与第22天间隔天，因此日销售量减少件， 所以第24天的日销售量为件； 已知产品成本价为6元/件，售价为8元/件，每件利润为元， 日销售利润 每件利润 日销售量，即元． 故答案为：330，660； （2）解：段为过原点的正比例函数，设其解析式为， 由图像可知，当时，，代入得，解得， 段的函数关系式为； 段为一次函数，设其解析式为， 由（1）知，当时，， 将代入，得， 解得，， 段的函数关系式为， 解方程组得，， 综上，； （3）解：日销售利润 每件利润 日销售量，其中售价成本价 元（定值），因此日销售量最大时，利润最大， 段函数中，，随增大而增大；段函数中，，随增大而减小， 因此，日销售量的最大值出现在段的终点（即时）， 当时，代入段函数，得件， 日销售最大利润 元， 【点评】本题考查了函数的概念及应用，一次函数和正比例函数，函数图像的理解，函数的最大值和最小值，数学建模思想，关键在于理解分段函数的分界点及各段函数的变化规律，通过函数性质确定最值． 【题型07】费用最少问题 【例7】（2024-2025八年级下·河南安阳·期末）安阳殷墟作为中国商朝后期都城遗址，是甲骨文的故乡，青铜器的宝库，承载着厚重的历史文化．某校准备组织八年级师生共570人前往殷墟参加研学活动，计划租用12辆大客车，现有甲，乙两种型号的大客车，它们的载客量和租车费用如下表： 甲型号大客车 乙型号大客车 载客量（座/辆） 55 35 租车费用（元/辆） 1000 600 (1)设租用甲型号大客车辆，租车总费用为元．求出(元)与(辆)的函数表达式； (2)如何租车能保证八年级所有师生能参加研学活动且租车总费用最少，最少费用是多少？ 【答案】(1) (2)租用甲型号大客车8辆，乙型号大客车4辆时，能保证八年级所有师生参加研学活动且租车总费用最少，最少费用为10400元 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意，建立函数解析式是解题的关键． （1）租用甲型号大客车辆，则租用乙型号大客车辆，再乘以每辆租车费用，即可建立函数解析式； （2）从总载客人数大于等于550，建立一元一次不等式，求出的取值范围，再由一次函数的性质求解． 【解答】（1）解：由题意，得 即（元）与（辆）的函数表达式是； （2）解：由题意，得 解得 为整数 随着的增大而增大 当时，取得最小值，最小值为 此时， 答：租用甲型号大客车8辆，乙型号大客车4辆时，能保证八年级所有师生参加研学活动且租车总费用最少，最少费用为10400元． 【变式7-1】（2024-2025八年级下·河北邯郸·期末）随着天气越来越热，便携式静音小风扇得到了学生们的青睐，家委会组织有意买小风扇的同学一起团购，经过市场调查：某型号的小风扇有两种（A型带喷雾、B型不带喷雾）可供选择，如果买两个A型和一个B型共需要140元，如果买一个A型和两个B型共需要130元． (1)求A型和B型的单价各是多少元？ (2)经统计全班有50名同学购买（每名同学只能买一个），而且购买A型数量不少于B型的数量，设购买A型的数量为a个，请你帮助家委会设计一种使总费用最少的方案，并求出最少费用． 【答案】(1)购买一个型风扇需要元，购买一个型风扇需要元 (2)家委会购进的型风扇为个，型风扇为个，总费用最少为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组，不等式，灵活运用一次函数的性质是解题的关键． （1）设购买一个型风扇需要元，购买一个型风扇需要元，根据题意,列出方程组求解即可． （2）设购进的型风扇为个，则购进的型风扇为个，由题意，得，结合不等式，利用一次函数的性质判断计算即可． 【解答】（1）解：设购买一个型风扇需要元，购买一个型风扇需要元， 由题意，得：， 解得：， 答：购买一个型风扇需要元，购买一个型风扇需要元． （2）解：设购进的型风扇为个，则购进的型风扇为个， 由题意，得总费用：， 购买型数量不少于型的数量， ∴， 解得：， ， ∴W随的增大而增大，且a是正整数， 当时，有最小值，（元）， 家委会购进的型风扇为个，型风扇为个，总费用最少为元． 【变式7-2】（2024-2025八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）1988年4月12日“丁香花”被定为哈尔滨市的市花．今年春季，哈市某小区为绿化环境分别购买两种规格的丁香树苗，已知购买1株种丁香树苗与1株种丁香树苗的总费用为180元，3株种树苗与2株种树苗的总费用为420元． (1)求购买1株种树苗、1株种树苗的费用分别是多少元？ (2)若该小区计划购买这两种丁香树苗共60株，并且种树苗的数量大于种树苗数量的2倍，设购买株种树苗，购买的总费用为元，求关于的函数解析式，并求出购买多少株种树苗，使购买的总费用最少，总费用最少是多少元？ 【答案】(1)购买1株A种树苗的费用是60元，购买1株B种树苗的费用是120元 (2)，购买60株A种树苗，使购买的总费用最少，总费用最少是3600元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用． （1）设购买1株A种树苗的费用是a元，购买1株B种树苗的费用是b元，根据题意列并求解即可； （2）根据题意列关于m的一元一次不等式得到m的取值范围，根据总费用种树苗的总费用种树苗的总费用写出w关于m的函数解析式，然后利用一次函数的性质求解即可． 【解答】（1）设购买1株A种树苗的费用是a元，购买1株B种树苗的费用是b元． 根据题意，得， 解得． 答：购买1株A种树苗的费用是60元，购买1株B种树苗的费用是120元． （2）设购买株种树苗，购买株B种树苗， 根据题意，得， 解得， ∵且m为非负整数， ∴， ， ∴w关于m的函数解析式为， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∵， ∴当时w值最小，． 答：购买60株A种树苗，使购买的总费用最少，总费用最少是3600元． 【变式7-3】（2024-2025八年级下·天津·期末）某学校计划租用汽车外出参加集体活动，现有甲、乙两种大客车租供选择．公司报价为：每辆甲种大客车载客量为45人，每辆乙种大客车的载客量为30人，每辆甲种大客车比乙种大客车贵120元，3辆甲种大客车和2辆乙种大客车共计 1760元． (1)甲种大客车和乙种大客车每辆的租金分别为多少元？ (2)学校计划在总费用2300元的限额内，送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有一名教师，设共租用了汽车m辆，其中租用甲种客车x辆，租车费用为y元． ①其中m的值为 ； ②求y关于x的函数解析式及x的取值范围； ③运用上述关系，求花费最少的租车方案及最少费用，并说明理由． 【答案】(1)甲种大客车每辆车的租金为400元，则乙种大客车每辆的租金为280元 (2)①6；②（或）；③租甲种客车4辆，乙种客车2辆时，最节省费用，最小费用为2160元，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，一次函数与一次不等式组的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与总租金用y的函数关系是解决问题的关键． （1）甲种大客车每辆车的租金为x元，则乙种大客车每辆的租金为元，根据题意，列出方程进行计算即可； （2）①根据租用5辆车不能将学生和老师运送完，且每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6辆得出结果； ②根据题意可列出y与x的等式关系，再化简整理得出x，y的表达式；再根据共有师生240人，费用不超过2300元，列不等式组求解出x的取值范围； ③由②中结论计算比较即可解答． 【解答】（1）解：设甲种大客车每辆车的租金为x元，则乙种大客车每辆的租金为元， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：甲种大客车每辆车的租金为400元，则乙种大客车每辆的租金为280元； （2）①需要运送的总人数为（人）， ， 则租用5辆车不能将学生和老师运送完，且每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6辆，即， 故答案为：6； ②设租甲种客车x（辆）、学校租车所需的总费用y（元），依题意， 得 整理，得． 所以y与x的函数关系式为：； 由题意得， 解得， 为整数， 的值为4或5， （或）； ③则有两种租车方案： 甲种客车4辆，乙种客车2辆，租车需花费：（元）； 甲种客车5辆，乙种客车1辆，租车需花费：（元）． ， ∴最少租车费用是2160元， 则租甲种客车4辆，乙种客车2辆时，最节省费用，最小费用为2160元． 【题型08】梯度计价问题 【例8】（2025-2026八年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元． (1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？ (2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式． (3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？ (4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量． 【答案】(1)第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/ (2) (3)元 (4) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出方程组和对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元建立方程组求解即可； （2）分，和三种情况，根据所给收费标准列式求解即可； （3）把代入中求出y的值即可得到答案； （4）可推出该户的用气量超过，把代入中求出x的值即可得到答案． 【解答】（1）解：由题意得， 解得． 答：第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/； （2）解：由（1）可得，当时，， 当时，； 当时，, 综上所述，； （3）解：在中，当时，， 答：应交燃气费为元； （4）解：在中，当时，， ∵， ∴该户的用气量超过， 在中，当时，则 解得． 答：该户6月份的用气量为． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·黑龙江佳木斯·期末）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含）收费10元，超过3千米的部分每千米加收2元． (1)写出收费y（元）与行驶路程x（千米）（）之间的函数关系式； (2)若某人乘坐出租车付费22元，求其行驶的路程； (3)在坐标系中画出收费y（元）与行驶路程x（千米）的函数的图象（要求标出关键点）． 【答案】(1) (2)行驶的路程为 (3)见解析 【分析】本题主要考查一次函数的应用，画函数图象； （1）根据分段函数的计算方法列函数关系式即可； （2）把代入，求出x值即可； （3）根据函数的解析式画函数图象即可． 【解答】（1）解：当时，， 当时，， 综上； （2）解：∵， ∴， 解得； ∴行驶的路程为； （3）解：函数图象为： 【变式8-2】（2024-2025八年级下·湖北宜昌·期末）按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式； (2)求用电量为180度时的应付费用． 【答案】(1)时；时 (2)142元 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数，即可作答． （2）直接把代入进行计算，即可作答． 【解答】（1）解：设当时，， 把代入，得 解得 ∴； 设当时，， 把，分别代入， 得 解得 ∴； （2）解：依题意，由（1）得时 依题意，当时，(元) 【变式8-3】（2024-2025八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量（） 价格（元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【答案】(1) (2)小米家应缴2024年水费元 (3)小乐家2024年全年用水量为 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． （1）分，及三种情况，利用含的代数式表示出这户居民的水费即可； （2）由于小米家2024年全年用水量为120，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可； （3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可． 【解答】（1）解：由题意知， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）解：（元）， 小米家应缴2024年水费元； （3）解：设小乐家2024年全年用水量为， ，， ， ， 解得， 小乐家2024年全年用水量为． 【题型09】新情境新考法问题 【例9】（2025-2026八年级上·安徽安庆·期末）在探究“圆柱体浸入水中时拉力与下降高度的关系”实验中（即图1测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示），相关数据记录如下： 1．弹簧测力计的读数F（单位：，牛顿，只需当作数值单位即可）代表拉力大小； 2．当圆柱体下底面刚接触水面时（对应下降高度），拉力为； 3．当圆柱体完全浸入水中时（对应下降高度），拉力为； 4．下降高度在到之间时，拉力随下降高度的增加呈线性减少（即拉力F与下降高度h成一次函数关系）． 请根据以上信息解答下列问题： (1)分析题意，若图2中下降高度对应拉力a，对应拉力b，则_______，_______； (2)求段与之间的一次函数表达式： (3)若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 【答案】(1)14，8 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）根据已知直接可得，； （2）利用待定系数法即可得出段与之间的函数表达式； （3）令时，，求出h的值即可得出答案． 【解答】（1）解：根据已知可得：，， 故答案为：14，8； （2）解：设段与之间的函数表达式为， ∴，解得：， ∴； （3）解：在中，令时，， 解得， ∵， ∴圆柱体浸入水中的高度为． 【变式9-1】（2023-2024八年级下·江西景德镇·期中）在物理课上，老师为了更好的让学生感受光的反射规律并激发学生探索物理的兴趣，他设计了一个正方体的魔法盒子，如图是老师在平面直角坐标系中的设计图．已知为平面镜，其中点C，点D的坐标分别为，，点处放置一支激光笔，激光笔发射光线对应函数解析式为． (1)点F为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点F，求所在直线的解析式； (2)已知在魔法盒子的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），上方显示屏就会显示出“我爱物理”的字样．若要让同学们看到“我爱物理”字样，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题关键是关键反射的规律确定直线经过的点坐标． （1）根据点F为平面镜的中点，得，再利用待定系数法求解析式即可； （2）根据平面镜反射的规律，反射的光线一定经过点关于的对称点，再根据点、点求出反射光线的解析式即可解答． 【解答】（1）解：∵F为平面镜的中点，点C，点D的坐标分别为，， ∴点F的坐标分别为， 将点，代入得： ，解得：， 故所在直线的解析式为， （2）取点关于的对称点， ∵点、点， ∴直线的解析式为， 直线的解析式为， 故b的取值范围为． 【变式9-2】（2025-2026八年级上·广东深圳·期末）综合与实践 素材一 某网红餐厅为提升顾客体验，用一种特制沙漏来把控上菜节奏． 素材二 在漏沙过程中，假定沙子匀速漏下，沙子的高度随时间均匀下降．已知沙漏上半部分沙子初始高度为，10分钟后上半部分沙子剩余高度为． 任务一 设漏沙时间为x分钟，上半部分沙子剩余高度为，求y与x的函数解析式： 任务二 餐厅推出福利：若顾客下单后，沙漏上半部分沙子漏完时还没上菜，即可享受该菜品免单优惠．求触发免单优惠的最短等待时间； 任务三 小锦和朋友一起就餐，点餐后沙漏开始计时．餐厅规定：从点餐到离店总时间不超过30分钟可享受8折优惠．小锦发现，当菜品上齐时，沙漏上半部分沙子剩余高度为．他预计自己的用餐时间为t分钟．为了享受8折优惠，小锦的用餐时间t最多为多少分钟（用含h的式子表示）？ 【答案】任务一：；任务二：触发免单优惠的最短等待时间为 25 分钟；任务三：小锦的用餐时间最多为分钟 【分析】本题考查一次函数的应用，解一元一次不等式，正确理解题意是解题的关键： 任务一：设解析式为：，初始时，，代入得 ，10 分钟后 ，，代入得：，进而可得出答案； 任务二：免单条件是 “上半部分沙子漏完”，即 ．将 代入解析式：，即可得出答案 任务三：当沙子剩余高度为 h 时，已漏沙的时间 ：，得出，总时间不超过 30 分钟可享 8 折优惠，设用餐时间为 t，则：， 代入得出：，进而可得出答案 【解答】任务一：沙子高度随时间均匀下降，说明y与x是一次函数关系， 设解析式为：， 初始时，，代入得 ， 10 分钟后 ，，代入得：， 解得 ． 所以函数解析式为： 任务二：免单条件是 “上半部分沙子漏完”，即 ． 将 代入解析式：， 解得：， 所以触发免单优惠的最短等待时间为 25 分钟． 任务三：当沙子剩余高度为 h 时，已漏沙的时间 ： ， 所以 总时间不超过 30 分钟可享 8 折优惠，设用餐时间为 t，则：， 代入得出： 解得： 所以，小锦的用餐时间最多为分钟． 【变式9-3】（2025-2026八年级上·山西太原·期末）学科实践 新能源汽车的发展正从电动化迈向智能化与能源低碳化的融合新阶段．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对甲品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y（单位：）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象，其中折线表示该品牌汽车用快速充电桩充电时与x的函数关系；线段表示其用普通充电桩充电时与x的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： (1)求关于x的函数表达式． (2)该品牌汽车电池电量从充到，快速充电桩比普通充电桩少用多少h． (3)某天李明与王强下班后决定给电动汽车充电，充电情况如下表． 品牌 充电方式 充电前电量 李明 甲 快速充电 王强 乙 普通充电 已知乙品牌电动汽车使用普通充电桩充电1小时，能充，且充电速度始终保持不变，两人同时充电，在两辆车充电过程中，电池电量相差时，充电时间为多久？（直接写出答案）（说明：充至即充满，停止充电） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设一次函数解析式为，再将两点坐标代入即可； （2）当时，，即用普通充电桩充电时，汽车电池电量从充到需，根据图象得用快速充电桩充电时，汽车电池电量从充到需，即可； （3）分两种情况讨论即可． 【解答】（1）解：设一次函数解析式为， 将代入中得， ， 解得：， ∴关于的函数解析式：； （2）解：对于， 当时，， 解得：， 即用普通充电桩充电时，汽车电池电量从充到需， 根据图象得用快速充电桩充电时，汽车电池电量从充到需， ∵， 即快速充电桩比普通充电桩少用； （3）解：当时，使用快速充电桩充电1小时，能充， 当时，使用快速充电桩充电1小时，能充， 根据题意得：乙品牌电动车使用普通充电桩充电1小时，能充， ∵电池电量相差， 当时，或， 解得：或， 当时，使用快速充电桩，电池电量从充到，此时使用普通充电桩，电池电量从充到， ∵， ∴当时，在两辆车充电过程中，电池电量之差大于； 综上所述，电池电量相差时，充电时间为或． 【题型10】其他问题 【例10】（2023-2024八年级下·海南海口·期末）在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间之间的关系如图所示．已知．请根据所提供的信息，解答下列问题： (1)求乙蜡烛燃烧时，与之间的函数关系式； (2)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样（不考虑都燃尽时的情况）？ (3)甲蜡烛燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差？ 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（待定系数法求解析式、函数交点、函数值差的问题），熟练掌握一次函数的图象与性质及方程思想的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法，根据乙蜡烛图象经过的两个点的坐标，设出一次函数解析式，代入求解． （2）联立甲、乙蜡烛的函数关系式，求解方程得到燃烧时间． （3）分两种情况讨论，即甲蜡烛剩余高度比乙蜡烛高和乙蜡烛剩余高度比甲蜡烛高，分别列方程求解． 【解答】（1）解：设乙蜡烛的函数关系式为：． ∵ 乙蜡烛图象过和， ∴ ， 解得， ∴． （2）解：联立，得， ， ， ∴燃烧时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样； （3）解：分两种情况： 情况一：，即， ， ， ； 情况二：，即， ， ， ． ∴甲蜡烛燃烧或时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差． 【变式10-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放在其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽地面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（cm），（cm）与注水时间（min）之间的关系如图②所示．根据图象提供的信息，解答下列问题． (1)当时，分别求出和与之间的关系式； (2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？ 【答案】(1)， (2)当注水2min时两个水槽中水面一样高 【分析】（1）设线段，的关系式分别为，，将点和代入中，可求得；将点和点代入中，可求得； （2）令，即，解方程即可． 【解答】（1）解：设线段，的关系式分别为，， ∵经过点和， ∴将点和代入中， 得，解得， ∴； ∵经过点和， ∴将点和点代入中， 得，解得， ∴， ∴当时，和与之间的关系式分别为，． （2）解：当时，即，解得， ∴当注水时两个水槽中水面一样高． 【变式10-2】（2024-2025八年级下·山东日照·期末）某高铁候车厅的饮水机上有温水、开水两个按钮．小明打算接的水，先接温水再接开水，设接温水的时间为，水杯中水的温度为，期间不计热损失．根据物理学知识：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．利用下列图表中的信息解决问题： (1)若接温水的时间为，求水杯中水的温度； (2)求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； (3)若水杯中水的温度为饮水适宜温度时，求所接温水体积的取值范围． 【答案】(1)72度； (2)关于的函数表达式为，自变量的取值范围是； (3)当水杯中水的温度为饮水适宜温度时，所接温水体积应不少于，不超过． 【分析】本题主要考查一元一次方程，一次函数，一元一次不等式组的运用，理解数量关系是关键． （1）设接温水的时间为，水杯中水的温度为，根据开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度，列式求解即可； （2）温水体积为，开水体积为，由此列式得，即可求解； （3）根据题意列不等式组求解即可． 【解答】（1）解：设接温水的时间为，水杯中水的温度为， ∴温水的体积为：，则开水体积为， ∴温水升高的温度为，开水降低温度为, 根据开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度，可列式： ， 解得； （2）解：由题意得，温水体积为，开水体积为， ∴， 化简，得， 当都是温水时，，则， 解得，， 当都是开水时，，则， 解得，， ∴关于的函数表达式为，自变量的取值范围是； （3）解：由题意可知，， ∴， 解得， ，， ∴当水杯中水的温度为饮水适宜温度时，所接温水体积应不少于，不超过． 【变式10-3】（2025-2026八年级上·福建三明·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表，的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第_________次数据是不准确的． (2)当记录时间为分钟时，漏刻水位是多少？ (3)求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 【答案】(1) (2)当记录时间为分钟时，漏刻水位是 (3)与的函数关系式为，当水位为时，对应时间是 【分析】本题主要考查一次函数的应用，审清题意，列出正确的函数关系式是做题的关键． （1）由表格中数据可知，时间每增加分钟，增加，据此可知错误的值； （2）由表格中数据可知，每分钟漏刻水位升高，列式计算即可解答； （3）设水位与时间的一次函数关系式为（、为常数，且），再用待定系数法求解析式，然后把代入解析式求解即可． 【解答】（1）解：由表格中数据可知，时间每增加分钟，增加， 当时，． 第次数据是不准确的． 故答案为： （2）解：由表格中数据可知，每分钟漏刻水位升高， ． 答：当记录时间为分钟时，漏刻水位是． （3）解：设与的函数关系式为（、为常数，且）． 将和分别代入， 得， 解得， 与的函数关系式为， 当时，得， 解得， 即当水位为时，对应时间是． 答：与的函数关系式为，当水位为时，对应时间是． 【题型11】一次函数与几何综合 【例11】（2025-2026八年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，经过点的一次函数，其图象与直线交于点，点是线段上的一个动点（不与点、点重合），过点作平行于轴的直线l分别交直线于点．设点的横坐标为． (1)求点的坐标和一次函数的表达式； (2)如图，当时： ①线段的长为___________；（用含n的代数式表示） ②过点，分别向轴作垂线，垂足分别为，若得到四边形的面积为，直接写出此时四边形的周长___________． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）把点代入，可得到点C的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①求出点M，N的坐标即可；②根据四边形的面积为，可得，从而得到或3，即可求解． 【解答】（1）解：把点代入得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：①根据题意得：，， ∴； ②如图， 根据题意得：轴，轴，轴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， 解得：或3， 当时，， 此时四边形的周长为； 当时，， 此时四边形的周长为； 综上所述，四边形的周长为或． 【变式11-1】（2025-2026八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)点的坐标是__________，点的坐标是__________． (2)若点是直线上一点，求直线的解析式． (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了一次函数的几何综合，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分别令，即可求解； （2）先求出的值，再利用待定系数法即可求解； （3）先求出，设点的坐标为，根据的面积等于面积的2倍，列出方程，即可求解； 【解答】（1）解：令， 令， ∴点的坐标是．点的坐标是； 故答案为：． （2）解：∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是， 故答案为：． （3）解：存在， 由（1）得：点的坐标是，点的坐标是， ， 设点的坐标为， ∵的面积等于面积的2倍， ， 整理得， 或， 解得：或， ∴点的坐标为或． 【变式11-2】（2024-2025八年级下·辽宁沈阳·期末）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“阶界点”．例如：直线上的点到轴的距离为，到轴的距离为，，所以点是它的“3阶界点”． (1)若三点的坐标分别为，则三点中，是直线的“1阶界点”的有点 （直接填空）； (2)如图，直线与直线相交于点． ①求点的坐标； ②已知直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，连接．设的面积为，求与之间的函数表达式，并写出的取值范围． 【答案】(1)A，C (2)①（2，2）；②当2＜a＜6时；当a≥6时 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及新定义“阶界点”，通过联立方程求交点坐标，利用坐标求三角形面积，关键是理解新定义并准确计算． （1）根据“a阶界点”的定义，分别计算点A、B、C到坐标轴的距离并判断； （2）①联立直线方程求解交点坐标；②结合图形，先根据“a阶界点”定义确定的坐标，再根据三角形面积公式求解； 【解答】（1）解：，‘ 点A到x，y轴的距离都等于于，满足“1阶界点”定义； 点B到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，，不满足“1阶界点”定义； 点C到x轴距离是1，到y轴的距离是0，，满足“1阶界点”定义； 故答案为：； （2）①直线与直线相交于点， 解方程组， 解得，， 点E的坐标为； ②直线上有两个“阶界点”， ， 如图， 对于，若到轴距离为，则或， 当时，即， ， 此时过作轴交于点，则， ， ； 当时， 当时，解得； 当时，解得， ，， 对于，若到轴距离为，则或， ，； 以为底，高为，的长度为， ， 综上，． 【变式11-3】（2025-2026八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在长方形电子屏中，，，动态效果设计如下：动点从点出发沿长方形的边，以的速度向点运动，随着的移动，逐渐展开主体广告画面．设点的运动时间为（单位：），展开的画面面积为（单位：） (1)当时，． (2)写出展开的画面面积关于点的运动时间的函数表达式； (3)当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时未展开的画面面积． 【答案】(1)32 (2) (3) 【分析】本题主要考查了动点问题的函数关系、三角形面积公式以及长方形面积公式，熟练掌握分段讨论动点位置并正确应用面积公式是解题的关键． （1）先判断时点的位置，再利用的面积和公式计算展开的画面面积 （2）分点在上运动和在上运动两种情况，分别用和的面积公式建立与的函数关系． （3）先求出电子屏总面积，再根据展开面积达到总面积的条件，分情况求出开始播放的时间，计算时的展开面积，最后用总面积减去该值得到未展开面积． 【解答】（1）解：如图，连接， ，在上运动的时间为， ， 点在上，， ， 故答案为：； （2）解：如图，当时，点在上，， ， 如图，当时，点在上，，连接， ， ∴； （3）解：电子屏总面积：展开面积达到时，， ， 解得， 播放结束时， ∴ ∴未展开面积： 【特训01】拓展培优强化 1．（2025-2026八年级下·江苏连云港·开学考试）如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论：①a的值为120；②m的值1.3；③m小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：；④乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过时行驶时间x的取值范围为．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先求出甲的速度，利用路程速度时间，可求的值，的值，的距离，利用待定系数法可求解析式，分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解． 【解答】解：由题意可得：甲的速度为：， ∴的距离，故①正确； ∴， ∴乙车的速度为， ∴，故②错误； 设小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系为， 把和代入可得：， 解得：， ∴小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：，故③正确； 当时，甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，由题意可得：， 解得：， ∴； 当时，甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，由题意可得：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④错误； 故其中正确的有①③，共个． 2．（2025-2026八年级上·四川巴中·期末）2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（   ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键． 对于①，根据图中甲乙两直线的倾斜角度，即可判断； 对于②，用路程差除以时间差，即可求出甲队的速度； 对于③，根据相遇时甲乙两对行驶的距离相等列方程求解即可； 对于④，分别求出甲乙两队行驶距离s（千米）与时间t（小时）的函数解析式，并针对和，分别列方程求解即可． 【解答】解：对于①， 由图可知， 当时，甲的速度比乙的速度快，当时，甲的速度比乙的速度慢， 所以①错误； 对于②， 甲减速后的速度为（千米小时）， 所以②正确； 对于③， 乙的速度为（千米小时）， 根据题意，得 解得 所以当时，甲、乙两队相遇， 所以③正确； 对于④， 设减速前甲队的函数关系式为， 把代入，得， ， 减速前甲队的函数关系式为， 设减速后甲队的函数关系式为， 把，代入，得， 解得， 所以减速后甲队的函数关系式为， 设乙队的函数解析式为， 把代入，得， ， 所以乙队的函数解析式为， 当时，令 解得（舍去）； 当时，令， ， 或， 解得或， 所以④正确； 综上所述，说法正确的有②③④． 故选：D． 3．（2025-2026八年级下·全国·专题练习）如图①，在正方形中，E是边的中点，点P从顶点A出发，沿A→B→C以的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，的面积y（）随时间x（）变化的图象，则______． 【答案】2 【分析】本题考查了正方形的性质，一次函数的应用；由图②得当时，，此时与重合时，，可得，当时，当时，分别求出函数解析式，即可求解． 【解答】解：由图②得，当时，， 与重合时，， ， 四边形是正方形， （）， E是边的中点， ， 当时， 由运动过程得，， ； 当时， 由运动过程得， ； ， 当时， ， 故答案为：． 4．（2025-2026八年级下·安徽安庆·开学考试）某游泳馆普通票价为元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价元张，每次凭卡不再收费 ②银卡售价元张，每次凭卡另收元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数设游泳次时，所需总费用为元． (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，所需总费用，与之间的函数关系式 (2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点，，，的坐标 (3)请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更划算． 【答案】(1)银卡消费：，普通票消费： (2)，，， (3)当时，普通票消费更划算；当时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当时，银卡消费更划算；当时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当时，金卡消费更划算 【分析】（1）根据银卡售价元/张，每次凭卡另收元，以及游泳馆普通票价元/张，设游泳次时，分别得出所需总费用即为与的关系式； （2）利用函数交点坐标求法分别求解即可； （3）利用（2）的各点的坐标并结合函数图像得出答案． 【解答】（1）解：由题意可得： 选择银卡消费时，所需总费用与之间的函数关系式为， 选择普通票消费时，所需总费用与之间的函数关系式； （2）解：由题意可得： 当，时，得：， ∴； 当时，解得：， ∴； 当时，解得：， ∴； 当时，得：， ∴； （3）解：如图所示：由，，的坐标可得： 当时，普通票消费更划算； 当时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当时，银卡消费更划算； 当时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算； 当时，金卡消费更划算． 5．（2024-2025八年级下·广东揭阳·竞赛）某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简：       总计/    ______ ______ 200    ______ 300 总计/ 240 260 500 (2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】(1)，，； (2)，总运费最小的调运方案：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨； (3)见详解 【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，具有较强的综合性与较大的难度． （1）根据题意，用240减可得需要从处运往处的数量；用200减去可得从处运往处的数量；300减去即为从处运往处的数量； （2）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得与的函数关系，列不等式组可解； （3）本题根据的取值范围不同而有不同的解，分情况讨论：当时；当时；当时． 【解答】（1）解：由题意得：调往地吨，调往地吨，调往地吨，       总计/    200    300 总计/ 240 260 500 故答案为：，，； （2）解：与之间的函数关系式为， 由题意，得， ， 在中， ， 随的增大而增大， 当时，总运费最小， 此时调运方案为：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨； （3）解：由题意得， 当时，（2）中调运方案总费用最小； 当时，在的前提下调运方案的总费用不变，为9200元； 当时，，随的增大而减小，所以时总费用最小， 其调运方案如下：调往地0吨，调往地200吨，调往地240吨，调往地60吨． 6．（2025-2026八年级上·安徽合肥·期末）临近2026年春节，合肥长丰草莓，迎来草莓产销旺季，某农产品运输公司通过多轮竞标获得60吨长丰草莓的节日转运权，负责从长丰县运往合肥市区各大农贸市场．该公司转运草莓的转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运草莓，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨/辆） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 要求所有草莓一次性同时发货，且每辆车均需满载（冷藏车满载可保证草莓新鲜度），应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为元，请求出的值． 【答案】(1)（，且为整数） (2)（，且为整数），当使用型车辆、型车辆、型车辆时，获得最大利润元 (3) 【分析】（1）根据总车辆数为辆，以及总装载量为吨，列出关于、的方程组，消元后得到与的函数关系式． （2）先根据利润转运初始总费用运输总费用列出利润关于的函数表达式，再根据题目中的车辆数量限制条件，求出的取值范围，最后根据一次函数的性质求出最大利润及对应的车辆安排方案． （3）在第(2)问的基础上，将型车的运输费用增加元，重新列出利润关于的函数表达式，根据一次函数的单调性及最大利润为元的条件，列方程求解的值． 【解答】（1）解：∵总车辆数为20辆， ∴C型车数量为， ∵总装载量为60吨， ∴， ， ， ∴； （2）解：∵转运初始总费用为元，运输总费用为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， ∵B型车装载量不超过A型车和C型车装载量总和， ∴即， 解得， ∵为整数， ∴， ∵，， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， 此时，， 最大利润元， ∴（，且为整数），当使用A型车6辆、B型车2辆、C型车12辆时，获得最大利润23400元； （3）解：∵每辆A型车运输费用增加元，， ∴ ， ∴，， ∵最大利润为17400元，且， ∴随的增大而减小， ∴，即， ∴当时，取得最大值17400， ∴， 解得． 【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用、二元一次方程组的解法、一元一次不等式组的解法以及一次函数的最值问题，熟练掌握根据实际问题建立函数模型，并利用函数性质求解最值是解题的关键． 7．（2025-2026八年级下·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)当在轴上时，此时点坐标为___________； (2)①下面关于点的四个判断中，只有一个正确，正确的是___________； A．点可能是原点 B．线段有最大值 C．点可能出现在第三象限 D．随着的变化，点在直线上运动 ②如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积． (3)如图2，在平面直角坐标系中，，轴上方有一点使得边上的高为，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2)①D②5 (3)点C的坐标为或 【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论； （2）①A、假设点P是原点，则，求得，得到点P不可能是原点；故不符合题意；B、根据勾股定理得到，根据二次函数的性质得到有最小值，故不符合题意；C、根据题意列不等式得到点P不可能出现在第三象限，故不符合题意；D、当时，，得到随着a的变化，点P在直线上运动，故符合题意； ②根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）解：当在轴上时， ∴， ∴， ∴P点坐标为； （2）解：①A、假设点是原点，则， ∴ ∴点P不可能是原点；故不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴有最小值， ∴有最小值，故不符合题意； C、假设点P可能出现在第三象限，则， ∴ ∴， ∴点P不可能出现在第三象限，故不符合题意； D、当时，，得到随着a的变化，点P在直线上运动，故符合题意； ②不变，为5， 对于直线，当时，， 当时，，解得， ∴，， ∵， ∴点在直线上， 当点在第二象限时，如图， ∴ ； 当点在第一象限时，如图， ∴ ； 当点在第四象限时，如图， ∴ ； 同理可得，当点在坐标轴上时，的面积为5； 综上，的面积不变，为5； （3）解：∵, ∴点C在直线上运动， 过点O作于点H，则， ∵， ∴． 在中， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理得直线的另一个解析式为， 联立方程组得或， 解得，， ∴点C的坐标为或． 8．（2025-2026八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点D为y轴负半轴上一点，连接、，，． (1)如图1，求点D的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接、，设的面积为S，求用含t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在第一象限，轴于点E，连接交y轴于点G，，连接，使得，点H在第四象限，于点G，，连接交x轴于点I，若平分，，求点I的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明出，得到，即可得到； （2）首先表示出，然后利用三角形面积公式求解； （3）如图所示，过点F作轴于点Q，过点F作交的延长线于点P，过点H作轴于点M，设，证明出，得到，然后推出，证明出，得到，，推出，求出，得到，证明出，得到，，求出，然后求出，求出所在直线表达式为，进而求解即可． 【解答】（1）解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴； （2）解：∵， ∴ ∴； （3）解：如图所示，过点F作轴于点Q，过点F作交的延长线于点P，过点H作轴于点M， ∵平分， ∴设 ∵轴， ∴ ∵轴 ∴轴 ∴ ∵ ∴ ∵轴， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵平分，轴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵于点G，， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 设所在直线表达式为 将，代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 当时， 解得 ∴． 9．（2025-2026八年级下·江苏连云港·开学考试）函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 【答案】(1)①；2；2；②点P坐标为或或； (2)； (3)或 【分析】（1）把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标； ②先求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可； （2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围即可； （3）先求出点E、A的坐标，分为斜边和为斜边两种情况，根据勾股定理列出方程即可求解． 【解答】（1）解：①当时，令，得， 解得， ∴； 当时，令，得， 解得， ∴； 当时，， ∴． ②∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，且时，令，即， 解得， 此时与点C重合，故舍去； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 综上所述，点P坐标为或或． （2）解：∵关于m的对称函数的解析式为， ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内， ∴； ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内． ∴； ∴， ∴直线分别与直线和各有一个交点， 对于直线与直线， 联立得， 解得， 对于直线与直线， 联立得，     解得， ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线与直线有交点， ∴， 又∵，， ∴， ∴m的取值范围是； （3）解：∵点E的横坐标为m， ∴点E在的图象上， 把代入得， ∴， 把代入得， 解得， ∴， ∵点A、E、F组成直角三角形，为直角边时，分两种情况讨论： 情况一：为斜边时，则， ∵点F的坐标为， ∴， 解得， 情况二：为斜边时，则， ∴， 解得：m， 综上所述，是以为直角边的直角三角形时，m的值为或． 【特训02】直通中考真题 1.（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出不等式，是解题的关键： （1）求出时的函数值，根据总利润等于单件利润乘以销量，列式计算； （2）根据每天的销售量不少于300箱，列出不等式求出的范围，结合芒果的售价不低于86元/箱，求出范围即可． 【解答】（1）解：∵， ∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：， 解得：， 又∵， ∴． 故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 2．（2025·陕西·中考真题）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … (1)求与的函数关系式； (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，求解即可． 【解答】（1）解：设与的函数关系式为， 则，解得， 故与的函数关系式为． （2）解：令， 则，解得：， 答：停止加热时的气体温度为． 3.（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【解答】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 4.（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【解答】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 5.（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【解答】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 6．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【解答】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 7．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元 (2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【解答】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元 （2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得， 解得： 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴当取得最大值时，取得最小值， ∴时，（盏）， 即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少， 答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少． 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2) (3)7分或11分或13分 【分析】本题主要考查一次函数的应用和从函数图象获取信息，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）根据图象可直接进行求解A、C两区之间的距离，然后再结合甲的行进情况可求解a； （2）求出，由图象可得，设直线的解析式为，进而问题可求解； （3）由题意可分三种情况分别进行求解即可． 【解答】（1）解：由题意可得，A，C两区相距为（米）， 由题意可知，表示甲到达B区的时间，则， 故答案为： （2）由题意可知，点E表示机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速到达了B区， ∴点E的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； （3）机器人乙行进的时间为x分时，甲和乙都未到达B区，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为t分时，从B点返回，且甲仍在B区停留期间，相距30米， 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 机器人乙行进的时间为n分时，从B点返回途中，且甲离开B区向C区前进时，相距30米， 当时，甲机器人距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系为，把，代入得到， ，解得：， ∴线段所在直线的函数解析式为：； 则， 解得， 即机器人乙行进的时间为分时，机器人甲、乙相距30米； 综上可知，机器人乙行进的时间7分或11分或13分时，机器人甲、乙相距30米． 9．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元． 【答案】 55 1260 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个，先求出的取值范围，再设该网店所获利润为元，建立关于的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可得． 【解答】解：设大号“龙辰辰”的单价为元，则小号“龙辰辰”的单价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元． 设购进小号“龙辰辰”的数量为个，则购进大号“龙辰辰”的数量为个， 由题意得：， 解得， 设该网店所获利润为元， 则， 由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小， 则当时，取得最大值，最大值为， 即该网店所获最大利润为1260元， 故答案为：55；1260． 10．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； (2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【解答】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 11．（2023·内蒙古·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同． (1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价； (2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售． 厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒盒，设去A厂家购买应付元，去厂家购买应付元，其函数图象如图所示： ①分别求出，与之间的函数关系； ②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？ 【答案】(1)每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元 (2)①（且为整数）；；②购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去厂家购买划算 【分析】（1）设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元，列分式方程求解即可； （2）①根据售价与数量、单价间的关系即可列一次函数得解；②由得，解得，结合图象即可得解． 【解答】（1）解：设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元 方程两边乘，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解 答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元． （2）解：①（且为整数） 当且为整数时， 当且为整数时， ∴ ②当且为整数， 时 由图象可知：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去厂家购买划算． 【点评】本题考查了求一次函数得解析式，分式方程的应用以及一次函数的图像及性质，正确找出等量关系列分式方程是解题的关键． 12．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示 甲型客车 乙型客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 (1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？ (2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆； (3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 【答案】(1)参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名 (2)6 (3)学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元 【分析】（1）设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求解即可； （2）根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超过6辆，根据要保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于辆，即可解答； （3）设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆，列出不等式组，解得，设租车费用为y元，得出，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可解答． 【解答】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名， ， 解得：， ∴， 答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名； （2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名， ∴汽车总数不超过6辆， ∵要保证所有师生都有车坐， ∴汽车总数不少于（辆），则汽车总数最少为6辆， ∴共需租车6辆， 故答案为：6． （3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆， ， 解得：， ∵a为整数， ∴或， 方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆； 方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆； 设租车费用为y元， ， ∵， ∴y随a的增大而增大， ∴当时，y最小，， 综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、一次函数表达式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 实际问题与一次函数 （重难点题型专训） 【知识考点 实际问题与一次函数】 在运用一次函数解决实际问题时，一般先将实际问题抽象为一次函数问题，然后根据条件求 得一次函数的解析式，再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题。 1.一次函数应用问题的求解思路 （1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解； （2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解；同时要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点； （3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案； （4）一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段。涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值。 2.一次函数解决实际问题的一般解题步骤 （1）审题建模：分析题目中的变量关系，确定自变量和因变量；根据实际场景，建立一次函数模型（注意分段场景需分区间列解析式）；明确自变量的实际取值范围（如非负整数、区间限制）。 （2）求解分析：若为求特定值：将已知条件代入解析式，解方程求解；若为方案选择：列两函数解析式，解方程求临界点，再分区间解不等式比较大小；若为最值优化：根据约束条件列不等式，确定自变量的整数取值，再利用一次函数的单调性求最值。 （3）检验作答：结合实际意义检验结果是否合理（如人数、次数、费用不能为负数，需取整数）；完整回答题目问题，明确写出最终结论。 【重难点常考题型概览】 【题型01】行程问题 【题型02】工程问题 【题型03】分配问题 【题型04】调运问题 【题型05】方案选择问题 【题型06】利润最大问题 【题型07】费用最少问题 【题型08】梯度计价问题 【题型09】新情境新考法问题 【题型10】其他问题 【题型11】一次函数与几何综合 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】行程问题 【例1】（2025-2026八年级上·江苏盐城·期末）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； (2)图中_________，_________； (3)求线段的函数表达式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 【变式1-1】（2025-2026八年级上·河南郑州·期末）李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业忘在家里了，便骑车追赶李华，图中，分别表示了李华和爸爸离家的路程y（米）与李华出发时间t（分钟）之间的关系． (1)李华步行的速度为___________米/分，爸爸骑车的速度为___________米/分，点A表示的实际意义是___________． (2)分别求出的函数表达式 (3)请通过计算说明爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 【变式1-2】（2024-2025八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在一条笔直的公路上依次有A，B，C三地，甲车从地出发匀速驶向地，到达地休息后调头（调头时间忽略不计）按原路原速驶向地，甲车从地出发后，乙车从地出发匀速驶向地，两车同时到达目的地．两车距地路程与甲车行驶时间之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： (1)甲车行驶的速度是______，乙车行驶的速度是______． (2)求图中线段所表示的与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)乙车出发多少小时，两车距A地的距离的差是？请直接写出答案． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·天津河北·期末）李磊骑自行车上学，当他骑了一段路时，想起要买三角尺，于是又折回到刚经过的文具店，买到三角尺后继续去学校，以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图，根据图中提供的信息回答下列问题： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： 李磊离开家的时间分钟 李磊离开家的距离米 ______ ______ (2)填空： 李磊家到学校的路程是______米； 李磊从文具店到学校的骑行速度是______米分钟； (3)当时，请直接写出关于的函数解析式； (4)若李磊离开家时，住在他家楼下的王淼同时出发匀速步行去学校已知王淼步行速度是，上学途中没有停留，那么她在途中遇到李磊时是离开家几分钟？请直接写出答案 【题型02】工程问题 【例2】（2024-2025八年级下·广东云浮·期末）甲、乙两个工程组同时挖掘南深高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间天之间的关系如图所示． (1)甲组比乙组多挖掘了______天． (2)求乙组停工后关于的函数解析式． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，求乙组已停工的天数． 【变式2-1】（2022-2023八年级下·重庆九龙坡·期中）某地计划修建一条长36千米的乡村公路，已知甲工程队修路的速度是乙工程队修路速度的倍，乙工程队单独完成本次修路任务比甲工程队单独完成多20天． (1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？ (2)已知甲工程队修路费用为25万元/千米，乙工程队修路费用为20万元/千米．甲工程队先单独修路若干天后，接到其它任务需要离开，剩下的工程由乙工程队单独完成．若要使修路总时间不超过55天，总费用不超过820万元，且甲工程队所修路程需为整数，请问共有几种修路方案？哪种方案最省钱？ 【变式2-2】（2025·吉林四平·模拟预测）某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方，原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工．由于特殊情况，公司抽调甲队外援施工，先由乙队先单独施工20天后甲队返回，两队又共同施工了60天，甲、乙两队共完成土方量108万立方，这时乙队因故暂时停止施工，由甲队单独完成剩余部分，甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系如图所示． (1)乙队每天完成土方量多少万立方； (2)若该公司预计工期100天，甲队能否按期完成剩余部分？ (3)当时，求甲、乙两队共同完成的土方量y万立方与工作的时间x天的函数关系式； (4)当甲、乙两个工程队共同完成土方量100万立方时，甲、乙两个工程队哪个队完成的土方量多，多多少？ 【变式2-3】（2024-2025八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示． (1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米； (2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米； (3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围． 【题型03】分配问题 【例3】（2024-2025八年级上·安徽合肥·期末）某校计划开展运动会预购进甲、乙两种跳绳，甲种跳绳的单价为每条15元，如果一次性购买甲种跳绳超过20条，超过部分的打八折；乙种跳绳的单价为每条18元，没有优惠． (1)若购进甲种跳绳条，付款元，求关于的函数表达式； (2)某校计划购买这两种跳绳共60条，且甲种跳绳不少于10条，且不超过40条，问如何分配甲、乙两种跳绳的购进量，才能使付款总金额（元）最少． 【变式3-1】（2025-2026八年级上·全国·专题练习）某水果经销商从水果种植户购进甲、乙两种水果进行销售，因长期合作的关系，水果种植户对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．经销商购进甲种水果所需支付金额（元）与质量（千克）之间的函数关系如图所示． (1)请写出当时，与之间的函数关系式； (2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于20千克，但又不超过30千克．如何分配甲、乙两种水果的购进量，才能使经销商支付的总金额（元）最少？ 【变式3-2】（2024-2025八年级下·云南临沧·期末）在数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．为提升模型的训练效率，某实验室需采购甲、乙两种类型的卡．已知购买6块甲型卡和8块乙型卡共需170万元，购买5块甲型卡和4块乙型卡共需115万元． (1)每块甲型卡和乙型卡的价格各是多少万元？ (2)该实验室预计采购甲、乙两种类型的卡共40块，甲型卡的数量不少于乙型卡数量的4倍，如何分配两种卡的采购数量，才能使采购总费用最少？最少费用是多少万元？ 【变式3-3】（2024-2025八年级下·河北石家庄·期末）【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）； ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． （1）用含x的代数式表示y，则 ；并写出总收益 W（元）关于x的函数关系式； 【问题探究】（2）求满足所有条件的自变量x的取值范围； 【优化决策】（3）为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？此时最大收益是多少？ 【题型04】调运问题 【例4】（2024-2025八年级下·全国·假期作业）某超市鸡蛋供应紧张，需每天从外地调运鸡蛋600千克．该超市负责人决定从甲、乙两个大型养殖场调运鸡蛋，已知甲养殖场每天最多可调出400千克，乙养殖场每天最多可调出450千克，从甲、乙两个养殖场调运鸡蛋到超市的路程和运费见下表： 养殖场 到超市的路程/千米 运费/（元/千克·千米） 甲 90 0.05 乙 40 0.03 设从甲养殖场调运鸡蛋x千克，总运费为W元． (1)从甲养殖场调运鸡蛋的运费，用代数式表示为__________元；从乙养殖场调运鸡蛋的质量，用代数式表示为__________千克； (2)试写出W与x之间的函数表达式； (3)请求出自变量x的取值范围，并说明怎样的调运方案才能使每天的总运费最少． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·甘肃兰州·期末）现从A村，B村向甲、乙两地运送蔬菜，A村，B村两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A村到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B村到甲地运费60元/吨，到乙地45元/吨．设A村往甲地运送蔬菜x吨． (1)设A村运费为元，请写出与的函数关系式，并说明x为何值时，最小？ (2)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．并求出当时，怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【变式4-2】（2024-2025八年级下·重庆秀山·期末）某物资配送中心在北京和上海两个站点同时储备应急物资若干吨，北京站点可支援外地10吨，上海站点可支援外地4吨，现在决定给重庆调运8吨应急物资，武汉调运6吨应急物资。已知从北京、上海两个站点运往重庆和武汉的运费如下表： 出发地目的地 北京站点（元/吨） 上海站点（元/吨） 重庆 800 500 武汉 400 300 (1)若总运费为8400元，则上海站点运往武汉多少吨？ (2)若要求总运费不超过8200元，则共有几种调运方案？ (3)总运费最低的调运方案是哪种？总运费最低是多少元？ 【变式4-3】（2023-2024八年级下·山东日照·期中）A校和B校分别有库存电脑14台和8台，现决定支援给C校12台和D校10台．已知从A校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为40元和10元；从B校调运一台电脑到C校和D校的运费分别为30元和20元． (1)设A校运往C校的电脑为x台，则A校运往D校的电脑为____台；B校运往C校的电脑为______台，B校运往D校的电脑为______台； (2)求总运费W（元）关于x的函数关系式； (3)求出总运费W最低的调运方案，最低运费是多少? 【题型05】方案选择问题 【例5】（2024-2025八年级下·全国·假期作业）某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方案．方案一：没有底薪，只拿销售提成；方案二：底薪加销售提成．设x（件）是销售商品的数量，y（元）是销售人员的月工资．如图，为方案一的函数图像，为方案二的函数图像．已知方案二中每件商品的销售提成比方案一少30元．根据图中信息解答下列问题（注：销售提成是指从销售每件商品得到的销售额中提取一定数量的费用）： (1)求对应的函数表达式． (2)方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元？ (3)小李是该化妆品公司的销售人员，他选择哪种方案才能使月工资更多？ 【变式5-1】（2025-2026八年级上·山东济南·期末）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案； 方案一：每人票价打九折； 方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折． 设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元． (1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式； (2)某单位组织10人以上去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由． 【变式5-2】（2025-2026八年级上·山西晋中·期中）家门口的“暖心食堂”正成为越来越多社区的风景线．许多长者在此不仅能享用营养餐食，还能参与棋牌、手工等康乐活动，让社区成为兼具膳食与陪伴功能的温暖港湾． 为使老年人就餐更实惠，春风社区食堂针对敬老套餐推出两种优惠方案，具体如下： 方案1：不办理服务卡，每份套餐原价出售； 方案2：办理服务卡，则每份套餐在原价的基础上打七五折； 方案1所需费用（单位：元），方案2所需费用（单位：元）与每月购买敬老套餐数量x（单位：份）之间的函数关系如图所示． (1)办理服务卡的费用为______元，办理服务卡后每份敬老套餐的费用为______元． (2)请直接写出方案1和方案2的函数关系式； (3)若张奶奶每个月在食堂的花费为600元，则选择哪种方案更划算？说明理由． 【变式5-3】（2025-2026八年级上·安徽淮北·期末）某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别写出与，与的函数关系式； (2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 【题型06】利润最大问题 【例6】（2024-2025八年级下·湖北襄阳·期末）综合与实践 在一次综合与实践活动中，兴趣小组对某公司销售的，两种型号的电脑的销售情况进行了调研，获得了以下素材． 素材一：型电脑每台利润为400元，型电脑每台利润为500元． 素材二：公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍． 设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，请根据以上素材，解决下列问题 (1)求与的函数解析式； (2)该公司购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)公司实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，该公司保持这两种型号电脑的售价不变，若无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求的值． 【变式6-1】（2024-2025八年级下·广东惠州·期末）为进一步落实“乡村振兴”工程，某村在政府的扶持下建起了大棚基地，准备种植A，B两种蔬菜．若种植30亩A种蔬菜和50亩B种蔬菜，总收入为42万元；若种植50亩A种蔬菜和30亩B种蔬菜，总收入为38万元． (1)求种植A，B两种蔬菜，平均每亩收入各是多少万元？ (2)村里规划种植这两种蔬菜共250亩，且A种蔬菜的种植面积不少于B种蔬菜种植面积的倍，问应如何种植A，B两种蔬菜，总收入最大，最大总收入是多少？ 【变式6-2】（2024-2025八年级下·上海长宁·月考）某工厂生产某种产品，每件产品成本价25元，出厂价为50元．在生产过程中，每件产品产生立方米污水，工厂有两种方案对污水进行处理． 方案1：自行处理，达标排放．每处理1立方米所用原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30000元． 方案2：污水纳入污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费． 问： (1)设工厂每月生产x件产品，每月利润为y元，分别求出依方案1和方案2处理污水时，y与x的函数关系式． (2)设工厂每月生产量为6000件产品时，你采用何种方案才能使企业利润最大，请通过计算加以说明． (3)随着工厂生产量的不同，启用何种方案才能使企业的利润最大． 【变式6-3】（2024-2025八年级下·四川成都·期末）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试销售，售价为8元件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图像，图中的折线表示日销售量（件）与销售时间（天）之间的函数关系．已知线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件． (1)第24天的日销售量是__________件，日销售利润是__________元； (2)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)试销售期间，日销售最大利润是多少元？ 【题型07】费用最少问题 【例7】（2024-2025八年级下·河南安阳·期末）安阳殷墟作为中国商朝后期都城遗址，是甲骨文的故乡，青铜器的宝库，承载着厚重的历史文化．某校准备组织八年级师生共570人前往殷墟参加研学活动，计划租用12辆大客车，现有甲，乙两种型号的大客车，它们的载客量和租车费用如下表： 甲型号大客车 乙型号大客车 载客量（座/辆） 55 35 租车费用（元/辆） 1000 600 (1)设租用甲型号大客车辆，租车总费用为元．求出(元)与(辆)的函数表达式； (2)如何租车能保证八年级所有师生能参加研学活动且租车总费用最少，最少费用是多少？ 【变式7-1】（2024-2025八年级下·河北邯郸·期末）随着天气越来越热，便携式静音小风扇得到了学生们的青睐，家委会组织有意买小风扇的同学一起团购，经过市场调查：某型号的小风扇有两种（A型带喷雾、B型不带喷雾）可供选择，如果买两个A型和一个B型共需要140元，如果买一个A型和两个B型共需要130元． (1)求A型和B型的单价各是多少元？ (2)经统计全班有50名同学购买（每名同学只能买一个），而且购买A型数量不少于B型的数量，设购买A型的数量为a个，请你帮助家委会设计一种使总费用最少的方案，并求出最少费用． 【变式7-2】（2024-2025八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）1988年4月12日“丁香花”被定为哈尔滨市的市花．今年春季，哈市某小区为绿化环境分别购买两种规格的丁香树苗，已知购买1株种丁香树苗与1株种丁香树苗的总费用为180元，3株种树苗与2株种树苗的总费用为420元． (1)求购买1株种树苗、1株种树苗的费用分别是多少元？ (2)若该小区计划购买这两种丁香树苗共60株，并且种树苗的数量大于种树苗数量的2倍，设购买株种树苗，购买的总费用为元，求关于的函数解析式，并求出购买多少株种树苗，使购买的总费用最少，总费用最少是多少元？ 【变式7-3】（2024-2025八年级下·天津·期末）某学校计划租用汽车外出参加集体活动，现有甲、乙两种大客车租供选择．公司报价为：每辆甲种大客车载客量为45人，每辆乙种大客车的载客量为30人，每辆甲种大客车比乙种大客车贵120元，3辆甲种大客车和2辆乙种大客车共计 1760元． (1)甲种大客车和乙种大客车每辆的租金分别为多少元？ (2)学校计划在总费用2300元的限额内，送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有一名教师，设共租用了汽车m辆，其中租用甲种客车x辆，租车费用为y元． ①其中m的值为 ； ②求y关于x的函数解析式及x的取值范围； ③运用上述关系，求花费最少的租车方案及最少费用，并说明理由． 【题型08】梯度计价问题 【例8】（2025-2026八年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元． (1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？ (2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式． (3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？ (4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·黑龙江佳木斯·期末）某市出租车收费标准如下：3千米以内（含）收费10元，超过3千米的部分每千米加收2元． (1)写出收费y（元）与行驶路程x（千米）（）之间的函数关系式； (2)若某人乘坐出租车付费22元，求其行驶的路程； (3)在坐标系中画出收费y（元）与行驶路程x（千米）的函数的图象（要求标出关键点）． 【变式8-2】（2024-2025八年级下·湖北宜昌·期末）按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式； (2)求用电量为180度时的应付费用． 【变式8-3】（2024-2025八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量（） 价格（元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【题型09】新情境新考法问题 【例9】（2025-2026八年级上·安徽安庆·期末）在探究“圆柱体浸入水中时拉力与下降高度的关系”实验中（即图1测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示），相关数据记录如下： 1．弹簧测力计的读数F（单位：，牛顿，只需当作数值单位即可）代表拉力大小； 2．当圆柱体下底面刚接触水面时（对应下降高度），拉力为； 3．当圆柱体完全浸入水中时（对应下降高度），拉力为； 4．下降高度在到之间时，拉力随下降高度的增加呈线性减少（即拉力F与下降高度h成一次函数关系）． 请根据以上信息解答下列问题： (1)分析题意，若图2中下降高度对应拉力a，对应拉力b，则_______，_______； (2)求段与之间的一次函数表达式： (3)若弹簧测力计的读数为，求圆柱体浸入水中的高度． 【变式9-1】（2023-2024八年级下·江西景德镇·期中）在物理课上，老师为了更好的让学生感受光的反射规律并激发学生探索物理的兴趣，他设计了一个正方体的魔法盒子，如图是老师在平面直角坐标系中的设计图．已知为平面镜，其中点C，点D的坐标分别为，，点处放置一支激光笔，激光笔发射光线对应函数解析式为． (1)点F为平面镜的中点，若激光笔发射的光线恰好经过点F，求所在直线的解析式； (2)已知在魔法盒子的上方有一个感光元件，当经过反射的光线照射到点与点之间时（包含端点），上方显示屏就会显示出“我爱物理”的字样．若要让同学们看到“我爱物理”字样，求b的取值范围． 【变式9-2】（2025-2026八年级上·广东深圳·期末）综合与实践 素材一 某网红餐厅为提升顾客体验，用一种特制沙漏来把控上菜节奏． 素材二 在漏沙过程中，假定沙子匀速漏下，沙子的高度随时间均匀下降．已知沙漏上半部分沙子初始高度为，10分钟后上半部分沙子剩余高度为． 任务一 设漏沙时间为x分钟，上半部分沙子剩余高度为，求y与x的函数解析式： 任务二 餐厅推出福利：若顾客下单后，沙漏上半部分沙子漏完时还没上菜，即可享受该菜品免单优惠．求触发免单优惠的最短等待时间； 任务三 小锦和朋友一起就餐，点餐后沙漏开始计时．餐厅规定：从点餐到离店总时间不超过30分钟可享受8折优惠．小锦发现，当菜品上齐时，沙漏上半部分沙子剩余高度为．他预计自己的用餐时间为t分钟．为了享受8折优惠，小锦的用餐时间t最多为多少分钟（用含h的式子表示）？ 【变式9-3】（2025-2026八年级上·山西太原·期末）学科实践 新能源汽车的发展正从电动化迈向智能化与能源低碳化的融合新阶段．某校数学兴趣小组为了解新能源汽车的充电情况，对甲品牌汽车进行了调查研究，绘制了如图所示的汽车电池电量y（单位：）与充电时间x（单位：h）之间的函数图象，其中折线表示该品牌汽车用快速充电桩充电时与x的函数关系；线段表示其用普通充电桩充电时与x的函数关系．根据相关信息，回答下列问题： (1)求关于x的函数表达式． (2)该品牌汽车电池电量从充到，快速充电桩比普通充电桩少用多少h． (3)某天李明与王强下班后决定给电动汽车充电，充电情况如下表． 品牌 充电方式 充电前电量 李明 甲 快速充电 王强 乙 普通充电 已知乙品牌电动汽车使用普通充电桩充电1小时，能充，且充电速度始终保持不变，两人同时充电，在两辆车充电过程中，电池电量相差时，充电时间为多久？（直接写出答案）（说明：充至即充满，停止充电） 【题型10】其他问题 【例10】（2023-2024八年级下·海南海口·期末）在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间之间的关系如图所示．已知．请根据所提供的信息，解答下列问题： (1)求乙蜡烛燃烧时，与之间的函数关系式； (2)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样（不考虑都燃尽时的情况）？ (3)甲蜡烛燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差？ 【变式10-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放在其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽地面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（cm），（cm）与注水时间（min）之间的关系如图②所示．根据图象提供的信息，解答下列问题． (1)当时，分别求出和与之间的关系式； (2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？ 【变式10-2】（2024-2025八年级下·山东日照·期末）某高铁候车厅的饮水机上有温水、开水两个按钮．小明打算接的水，先接温水再接开水，设接温水的时间为，水杯中水的温度为，期间不计热损失．根据物理学知识：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．利用下列图表中的信息解决问题： (1)若接温水的时间为，求水杯中水的温度； (2)求关于的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围； (3)若水杯中水的温度为饮水适宜温度时，求所接温水体积的取值范围． 【变式10-3】（2025-2026八年级上·福建三明·期中）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … (1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表，的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第_________次数据是不准确的． (2)当记录时间为分钟时，漏刻水位是多少？ (3)求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 【题型11】一次函数与几何综合 【例11】（2025-2026八年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，经过点的一次函数，其图象与直线交于点，点是线段上的一个动点（不与点、点重合），过点作平行于轴的直线l分别交直线于点．设点的横坐标为． (1)求点的坐标和一次函数的表达式； (2)如图，当时： ①线段的长为___________；（用含n的代数式表示） ②过点，分别向轴作垂线，垂足分别为，若得到四边形的面积为，直接写出此时四边形的周长___________． 【变式11-1】（2025-2026八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)点的坐标是__________，点的坐标是__________． (2)若点是直线上一点，求直线的解析式． (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式11-2】（2024-2025八年级下·辽宁沈阳·期末）定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到一条坐标轴的距离等于，到另一条坐标轴的距离不大于的点叫做该函数图象的“阶界点”．例如：直线上的点到轴的距离为，到轴的距离为，，所以点是它的“3阶界点”． (1)若三点的坐标分别为，则三点中，是直线的“1阶界点”的有点 （直接填空）； (2)如图，直线与直线相交于点． ①求点的坐标； ②已知直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，直线上有两个“阶界点”和，点在点的下方，连接．设的面积为，求与之间的函数表达式，并写出的取值范围． 【变式11-3】（2025-2026八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在长方形电子屏中，，，动态效果设计如下：动点从点出发沿长方形的边，以的速度向点运动，随着的移动，逐渐展开主体广告画面．设点的运动时间为（单位：），展开的画面面积为（单位：） (1)当时，． (2)写出展开的画面面积关于点的运动时间的函数表达式； (3)当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语，播放时间持续，求播放结束时未展开的画面面积． 【特训01】拓展培优强化 1．（2025-2026八年级下·江苏连云港·开学考试）如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论：①a的值为120；②m的值1.3；③m小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：；④乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过时行驶时间x的取值范围为．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025-2026八年级上·四川巴中·期末）2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（   ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 3．（2025-2026八年级下·全国·专题练习）如图①，在正方形中，E是边的中点，点P从顶点A出发，沿A→B→C以的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，的面积y（）随时间x（）变化的图象，则______． 4．（2025-2026八年级下·安徽安庆·开学考试）某游泳馆普通票价为元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价元张，每次凭卡不再收费 ②银卡售价元张，每次凭卡另收元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数设游泳次时，所需总费用为元． (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，所需总费用，与之间的函数关系式 (2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点，，，的坐标 (3)请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更划算． 5．（2024-2025八年级下·广东揭阳·竞赛）某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨． (1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简：       总计/    ______ ______ 200    ______ 300 总计/ 240 260 500 (2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 6．（2025-2026八年级上·安徽合肥·期末）临近2026年春节，合肥长丰草莓，迎来草莓产销旺季，某农产品运输公司通过多轮竞标获得60吨长丰草莓的节日转运权，负责从长丰县运往合肥市区各大农贸市场．该公司转运草莓的转运初始费用为800元/吨．已知该公司安排了、、型货车20辆用于装运草莓，已知三种车型每辆车的最大装载量、运输费用如表所示： 车型 A B C 最大装载量（吨/辆） 5吨 3吨 2吨 运输费用（元/辆） 2000 1500 800 要求所有草莓一次性同时发货，且每辆车均需满载（冷藏车满载可保证草莓新鲜度），应公司要求，运输货物时型车的装载量不超过型车和型车的装载量总和，同时型车的数量不超过辆，设这次运输使用型车辆，型车辆，根据以上信息回答下列问题： (1)求与之间的函数关系式； (2)设此次转运的利润为（元），求与之间的函数关系式，并求出怎样装运才能获得最大利润：（利润转运初始总费用运输总费用） (3)由于车辆紧缺，这次运输过程中每辆型车的运输费用要增加元，该公司在本次转运中获得的最大利润为元，请求出的值． 7．（2025-2026八年级下·广东深圳·开学考试）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)当在轴上时，此时点坐标为___________； (2)①下面关于点的四个判断中，只有一个正确，正确的是___________； A．点可能是原点 B．线段有最大值 C．点可能出现在第三象限 D．随着的变化，点在直线上运动 ②如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，的面积是否发生变化？若不变，求出的面积． (3)如图2，在平面直角坐标系中，，轴上方有一点使得边上的高为，求此时点的坐标． 8．（2025-2026八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴负半轴上一点，点D为y轴负半轴上一点，连接、，，． (1)如图1，求点D的坐标； (2)如图2，点在线段上，连接、，设的面积为S，求用含t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点F在第一象限，轴于点E，连接交y轴于点G，，连接，使得，点H在第四象限，于点G，，连接交x轴于点I，若平分，，求点I的坐标． 9．（2025-2026八年级下·江苏连云港·开学考试）函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 【特训02】直通中考真题 1.（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 2．（2025·陕西·中考真题）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … (1)求与的函数关系式； (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 3.（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 4.（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 5.（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 6．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 7．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）2025年春晚舞台上的机器人表演，充分演绎了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5分钟（与师生热情互动）后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，机器人乙沿“勤学路”以10米／分的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y（米）与机器人乙行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： (1)A，C两区相距__________米，__________； (2)求线段所在直线的函数解析式； (3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30米？（直接写出答案即可） 9．（2024·内蒙古·中考真题）2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 元． 10．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 11．（2023·内蒙古·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同． (1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价； (2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售． 厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒盒，设去A厂家购买应付元，去厂家购买应付元，其函数图象如图所示： ①分别求出，与之间的函数关系； ②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？ 12．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示 甲型客车 乙型客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 (1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？ (2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆； (3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $