专题12 一次函数的概念【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

**基本信息** 聚焦一次函数概念，通过“基础概念-应用计算-综合拓展”三层设计，以例+变式巩固核心要素，结合实际情境与中考真题，培养数学思维与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念层|一次函数与正比例函数的概念辨析、参数求解|例+变式题组，强化对k≠0、次数为1等核心要素的理解（数学思维）| |应用计算层|函数关系表示、自变量与函数值计算|结合温度、行程等实际情境，培养用数学眼光观察现实问题的能力| |综合拓展层|实际问题综合运用、拓展提升与中考衔接|含方案设计、几何综合题及中考真题，提升数学语言表达与建模能力|

专题12 一次函数的概念 （重难点题型专训） 【知识考点 一次函数的概念】 1.一次函数的概念 （1）定义：一般地，形如的函数叫作一次函数，其中x是自变量，k叫作比例系数，y是x的函数． （2）注意：一次函数的结构中，k ≠ 0，自变量x的次数为1；b为任意实数。当b的值等于0时，一次函数就变成正比例函数。 2.正比例函数的概念 （1）定义：一般地，形如的函数叫作正比例函数，其中x是自变量，k叫作比例系数，y是x的函数. 正比例函数是特殊的一次函数。 （2）注意： ① 自变量系数（比例系数）k不能为0 ； ② 自变量x的次数一定是1 ； ③ 正比例函数解析式中，自变量后面的常数项为0 。 ④ 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 【重难点常考题型概览】 【题型01】一次函数的概念辨析 【题型02】正比例函数的概念辨析 【题型03】根据一次函数的定义求参数 【题型04】根据正比例函数的定义求参数 【题型05】用函数解析式表示问题中两变量的关系 【题型06】求一次函数自变量或函数值 【题型07】列一次函数解析式并综合运用 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】一次函数的概念辨析 【例1】（2024-2025八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据一次函数的定义进行解答即可，一次函数的定义：一般地，形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数． 【解答】解：A、，自变量x的最高次数为2，不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，是一次函数，故该选项符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、，不是一次函数，故该选项不符合题意． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·云南红河·期末）常数项是的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据常数项是函数中不含变量的常数部分，对于一次函数形式 中为常数项，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：、中常数项为，原选项不符合题意； 、中常数项为，原选项符合题意； 、中常数项为，原选项不符合题意； 、中常数项为，原选项不符合题意； 故选：． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，判断每个选项是否符合（、为常数，，自变量次数为 ）的形式． 本题主要考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数（、为常数，，自变量次数为 ）的形式是解题的关键． 【解答】解：，自变量的次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故A项不符合题意； ，符合一次函数（，，自变量次数为 ）的形式，故B项符合题意； 可写成，自变量的次数是，不是，不符合一次函数定义，故C项不符合题意； ，自变量的最高次数是，不符合一次函数自变量次数为的要求，故D项不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·河北廊坊·月考）下列函数为一次函数的有（   ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如（是常数，且）的函数是一次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【解答】解：①是一次函数，符合题意； ②，即，则是一次函数，符合题意； ③不是一次函数，不符合题意； ④是一次函数，符合题意； ∴一次函数的有①②④， 故选：A． 【题型02】正比例函数的概念辨析 【例2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）下列关系中，是正比例函数关系的是（   ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义（两种相关联的量，相对应的两个数的比值为定值且不为，即形如，是不为的常数），逐一分析各选项的变量关系． 【解答】解：、已看页数与剩下页数的和为定值，比值不是定值，不符合正比例函数关系，不符合题意； 、数量单价总价（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、一边长该边上的高三角形面积（定值），二者乘积为定值，是反比例关系，不是正比例函数关系，不符合题意； 、路程时间速度（定值且不为），符合正比例函数的形式，是正比例函数关系，符合题意． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·福建厦门·期中）下列函数中是正比例函数的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义：形如（是常数，）的函数为正比例函数，逐一判断各选项即可． 【解答】解：根据正比例函数的定义进行判断， 选项A：，符合正比例函数的定义，是正比例函数； 选项B：不符合定义，不是正比例函数； 选项C：不符合定义，不是正比例函数； 选项D：不符合定义，不是正比例函数． 【变式2-2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，掌握一次函数的形式为，正比例函数是一次函数中的特殊情况是解题的关键． 一次函数的形式为，正比例函数是的特殊情况，需要找出是一次函数但的选项． 【解答】解：A、，符合形式，且，，是一次函数但不是正比例函数，符合题意； B、，x的最高次数为2，不是一次函数，不符合题意； C、，符合形式，，是正比例函数，不符合题意； D、，x在分母上，不是一次函数，不符合题意． 故选：A． 【变式2-3】（2025-2026八年级上·辽宁锦州·月考）下列说法正确的是________（填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查一次函数和正比例函数的定义，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断． 【解答】解：正比例函数的形式为 ，它是一次函数当时的特殊情况，因此①正确； 一次函数中，当时不是正比例函数，因此②错误； 若与成正比例，则 ，即，符合一次函数的形式，因此③正确； 若，当时，为常数函数，不是一次函数，因此④错误， 故答案为：①③． 【题型03】根据一次函数的定义求参数 【例3】（2025-2026八年级上·江苏盐城·期末）若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一次函数的定义，列出关于m的方程与不等式，求解即可得到m的值． 【解答】解：∵函数是一次函数， ∴， 由得，或， 又∵，即， ∴， 故选：A． 【变式3-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）若函数是关于x的一次函数，则常数k必须满足________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数中，自变量的系数是解题的关键． 根据一次函数的定义，的系数不能为零，因此令，求解的条件． 【解答】解：函数是关于的一次函数，则的系数必须不等于零， 即， 所以， 解得：， 故答案为：． 【变式3-2】（2023-2024八年级下·吉林长春·月考）已知函数是一次函数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次项系数不为零，最高次项的次数为次是解题的关键．根据一次函数的定义求解即可． 【解答】解：函数是一次函数， ， 解得：． 【变式3-3】（2024-2025八年级下·四川绵阳·期中）若函数是关于x的一次函数，试确定m的值，并求当时，y的值． 【答案】； 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的函数值，先根据定义可得，求解，可得，再进一步求解即可． 【解答】解：由函数是关于x的一次函数得， ， ∴， ∴； ∴， 把代入， ． 【题型04】根据正比例函数的定义求参数 【例4】（2025-2026八年级下·北京·开学考试）若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】正比例函数要求自变量的次数为1，且比例系数不为0，据此列关系计算即可． 【解答】∵是关于的正比例函数， ∴根据正比例函数的定义可得， 解，得，即， 由，得， ∴． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·福建福州·期中）如果是正比例函数，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做正比例函数，其中叫做比例系数．据此可推出，求解即可． 【解答】解：∵是正比例函数， ∴， 解得：， 即的值是． 故选：D． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·河北衡水·月考）若函数是正比例函数，则关于m，n的值，下列正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得，，再计算即可． 【解答】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， 故选：A． 【变式4-3】（2025-2026八年级下·江苏南通·月考）若函数是正比例函数，则的值是_____________ . 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：，为常数且，自变量的次数为1，即；． 【解答】解：由题意得：， ,而， , 故答案为： ． 【题型05】用函数解析式表示问题中的两变量的关系 【例5】（2024-2025八年级下·全国·单元测试）一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧，那么电阻欧表示为温度t℃的函数关系为（   ） A．. B． C． D． 【答案】B 【分析】温度每增加1℃，电阻增加欧，那么温度从℃到t℃，电阻增加欧，进而可得答案. 【解答】解：∵一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧， ∴电阻欧表示为温度t℃的函数关系为； 故选：B. 【点评】本题考查了列出实际问题中的一次函数关系式，正确理解题意、弄清函数关系是解题的关键. 【变式5-1】（2024-2025八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，找准等量关系是解题关键．先求出钢笔为支，再根据总费用跳绳的单价跳绳的个数钢笔的单价钢笔的个数，由此即可得． 【解答】解：由题意得：购买钢笔的支数为支， 则， 故答案为：． 【变式5-2】（2024-2025八年级上·贵州贵阳·期中）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． 写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数（不用写出自变量x的取值范围） 【答案】（1），y是x的一次函数；（2） 【分析】根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； 【解答】解：根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ y是x的一次函数； 【变式5-3】（2024-2025八年级上·全国·课后作业）写出下列各题中与之间的关系式，并判断：是否为的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以的速度匀速行驶，行驶路程与行驶时间之间的关系； （2）圆的面积与它的半径之间的关系； （3）某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，后这个水池内有水． 【答案】（1），是的一次函数，也是的正比例函数；（2），不是的正比例函数，也不是的一次函数；（3），是的一次函数，但不是的正比例函数 【分析】（1）由路程=速度×时间即可得出函数解析式，然后与一次函数与正比例函数的标准式比较即可； （2）由圆的面积公式可得出函数解析式，然后与一次函数与正比例函数的标准式比较即可； （3）这个水池每时增加水，xh增加水，可得函数解析式，然后与一次函数与正比例函数的标准式比较即可． 【解答】解：（1）由路程=速度×时间，得，是的一次函数，也是的正比例函数； （2）由圆的面积公式，得，不是的正比例函数，也不是的一次函数； （3）这个水池每时增加水，xh增加水，因而，是的一次函数，但不是的正比例函数． 【点评】题目主要考查一次函数与正比例函数的应用及对标准形式的判断，熟练掌握一次函数与正比例函数的标准式是解题关键． 【题型06】求一次函数自变量或函数值 【例6】（2024-2025八年级上·全国·课后作业）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶． 设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【答案】（1），是的一次函数；（2）140 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【解答】解：（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距100km ∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km ∴y=100+80x ∴y是x的一次函数； （2）当时，得：y=100+80×0.5=140． 【点评】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 【变式6-1】（2025-2026八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，，点P是上一点，设的长为，的面积为S． （1）S与x之间的函数表达式为_______． （2）当的面积为18时，则的长为_______． 【答案】 2 【分析】本题考查求函数表达式，已知函数值求自变量的值，求出函数表达式是解题的关键． （1）由题意得，由三角形面积公式即可求解； （2）由（1）中所得，解方程即可求解． 【解答】解：（1）， 则， 故答案为：； （2）当时，即， 解得：， ∴， 故答案为：2． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【答案】(1)当时，函数的表达式为 (2) (3)应输入的x值为或7 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值； （1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可； （2）当时， ，当时， ，再比较大小即可； （3）当时，则，当时，则，再解方程即可. 【解答】（1）解：∵为一次函数， ∴，， 解得：， ∴当时，函数的表达式为； （2）解：当时，的值记为， ∴， 当时，的值记为， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：. 【变式6-3】（2025-2026八年级上·江苏徐州·月考）已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义、求函数解析式，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． （1）根据正比例的定义可设，，再将当时，，当时，代入计算即可得； （2）将直接代入（1）中的结果即可得； （3）将直接代入（1）中的结果即可得． 【解答】（1）解：由题意可设，， ， ， 当时，，当时，， ，解得， ， 即与之间的函数关系式为； （2）解：将代入得：； （3）解：将代入得：， 解得． 【题型07】列一次函数解析式并综合运用 【例7】（2024-2025八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【答案】(1)甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据题意即可得出甲、乙旅行社收取组团两日游的总费用与人数之间的函数关系式； （2）将人数代入对应的函数关系式，可分别得出两个旅行社收取组团两日游的总费用，比较大小即可． 【解答】（1）解：根据题意可得， 甲旅行社收取组团两日游的总费用 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， 当时，乙旅行社收取组团两日游的总费用， ∴乙旅行社收取组团两日游的总费用， 答：甲旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为，乙旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式为． （2）解：当时， 甲旅行社收取总费用（元） 乙旅行社收取总费用（元） ∵， ∴乙旅行社收取总费用较少， 答：若王老师组团参加两日游的共有人，选择乙旅行社． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·安徽六安·期中）已知与x成正比例关系，当时，． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)若x的取值范围为，求y的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，． 【分析】本题主要考查了正比例函数的概念，求一次函数值的取值范围： （1）设 ，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质得到y随x增大而减小，再分别求出当和时的函数值即可得到答案． 【解答】（1）解：设 ， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵在中，， ∴y随x增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，． 【变式7-2】（2024-2025八年级下·辽宁大连·月考）“绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元． （1）写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式： （2）应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元． 【答案】（1）；（2）应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间 【分析】（1）设派x人去清扫大房间，则人清扫小房间，根据题意列出y（元）与x（人）之间的函数关系式即可； （2）把，代入求解即可． 【解答】解：（1）有x人清扫大房间，则有人清扫小房间 ∴ （2）解得：， 答：应该安排这10名清洁工清扫大房间，6名清扫小房间． 【点评】本题考查了列一次函数解析式，已知函数值求自变量x的值，属于基础题，第（1）问要写出自变量的取值范围是易错点． 【变式7-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 【答案】(1)表格见解析 (2)，是 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）根据题意，每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，计算即可得出答案； （2）根据（1）中的结论每增加张白纸，黏合部分宽为，会减少，那么张长方形白纸黏合后会减少，由此可得到解析式，再判断是不是的一次函数即可； （3）把代入（2）中的关系式，若为整数，即可达到总长度为，反之则不能． 【解答】（1）解：由题意，得张长方形白纸黏合后的长度为， 张长方形白纸黏合后的长度为． 补充表格： 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … （2）解：由题意可得． 故关于的函数解析式为，是的一次函数． （3）解：不可能．理由如下： 令，得， 解得． 为正整数， 长方形白纸黏合起来的总长度不可能为． 【点评】本题主要考查了函数关系式，规律型图形变化类，根据题意找出图形变化的规律列出函数关系式是解决本题的关键． 【特训01】拓展培优强化 1.（2025-2026八年级下·全国·周测）如果y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不是函数关系 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义和正比例函数的定义，理解以上知识点是解题的关键． 根据正比例函数和一次函数的定义，通过代入推导与的关系. 【解答】解：∵是的正比例函数， ∴ . ∵是的一次函数， ∴ . 将代入，得 . 其中和为常数，且， ∴是的一次函数. 故选：B. 2．（2025-2026八年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义，正比例函数的定义是解题的关键． 一般地，形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数，当时， 叫正比例函数；根据定义进行判断即可． 【解答】解：A、中，，，∴ 是正比例函数，也是一次函数，说法正确，不符合题意； B、无变量，即，不满足，∴ 不是一次函数或正比例函数，说法错误，符合题意； C、总金额=单价×数量，单价一定时，关系为（为单价），∴ 总金额与商品数量成正比，说法正确，不符合题意； D、是一次函数时，需，即，∴ 说法正确，不符合题意； 故选：B． 3.（2025-2026八年级下·全国·周测）定义为一次函数的“特征数”．若“特征数”为的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是________． 【答案】第二象限或第三象限 【分析】首先，根据“特征数”的定义，写出对应的一次函数表达式；再根据正比例函数的定义，求出的值；最后代入点的坐标，判断其所在象限． 【解答】解：由“特征数”的定义，对应的一次函数为：． 正比例函数要求常数项为，且一次项系数不为： 且， 解得：． ①当时，点的坐标为： ， 横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限． ②当时，点的坐标为： ， 横坐标为负，纵坐标为负，位于第三象限． 综上，点所在的象限是第二象限或第三象限． 故答案为：第二象限或第三象限． 【点评】本题考查了正比例函数的定义、特征数的概念和平面直角坐标系中点的坐标特征，解题关键是根据正比例函数的定义求出的所有可能值，并分情况讨论点的位置，避免漏解． 4．（2025-2026八年级下·全国·课后作业）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 【答案】(1)，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数 (2)，y是x的一次函数，也是x的正比例函数 (3)，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数 【分析】见解析 【解答】（1）解：由正方形的面积是边长的平方得，，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数． （2）解：由应缴电费y（元）是收费标准0.53元/（）与用电量x（）的乘积得，，y是x的一次函数，也是x的正比例函数． （3）解：由剩余的费用y（元）是总钱数减去用去的钱得，，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 5．（2025-2026八年级上·安徽安庆·期末）若是关于的正比例函数，求的值． 【答案】 【分析】由正比例函数定义得到，分别解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式得到，代入代数式计算即可得到答案． 【解答】解： 是关于的正比例函数， ， 解得或； 解得； 解得 ， ． 【点评】本题考查代数式求值，涉及正比例函数的定义、解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式等知识，熟记正比例函数定义得到相应方程及不等式求解是解决问题的关键． 6．（2025-2026七年级上·山东淄博·月考）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1) (2)、 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的知识, （1）根据一次函数的定义可得且，求解即可获得答案； （2）根据正比例函数的定义可得且，且，求解即可获得答案． 【解答】（1）解：由题意得且， 解，可得， ∴或， 解，可得， ∴当时函数是一次函数； （2）由题意得且，且， 解，可得， ∴或， 解，可得， 解，可得， 综上所述，当、时，函数是正比例函数． 7.（2024-2025八年级上·浙江宁波·期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． （1）写出（元）关于 （件）的函数关系式； （2）若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 【答案】（1）；（2）方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 【分析】本题主要考查了列函数解析式、不等式组的应用等知识点，根据题意列出函数解析式、不等式组成为解题的关键． （1）设购进A商品件，则购进B商品件，然后根据总利润为A、B两种商品的利润之和列出函数解析式即可； （2）根据不等关系“A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元”列不等式组求得x的范围，然后确定进货方案即可． 【解答】解：（1）解：设购进A商品件，则购进B商品件， 由题意可得：总利润，即． （2）解：由题意可得：， 解得：， ∵x为整数， ∴，， 所以，所有的进货方案如下：方案一：A商品60件，B商品40件；方案二：A商品61件，B商品39件；方案三：A商品 62件，B商品38件． 8.（2024-2025八年级下·吉林长春·月考）如图，在长方形中，，点P从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为和，同时点Q从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为，连结．设点P的运动时间为t秒，四边形的面积为． (1)当点P到达的中点时，则 ； (2)连接，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则 秒； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，掌握矩形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据题意用表示出，然后求出t的值，再根据勾股定理即可求解即可； （2）分点在边上、点在边上两种情况，根据题意列出方程求解即可； （3）分点在边上、点在边上两种情况，根据矩形面积公式、三角形的面积公式计算即可． 【解答】（1）解：由题意得，当点P在线段上时，， 当点P到达边的中点时，，即，解得∶， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：当点P在边上时，由题意得，， 即，解得， 当点P在边上时，， ∴， 由题意得，， 即，解得：． 综上，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则或． 故答案为：或． （3）解：当点P在边上时，即时， ， 当点P在边上时，即时，， ∴， ∴． 综上所述，． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【解答】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 2．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 3.（2024·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（   ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】B 【分析】根据矩形周长找出关于x和y的等量关系即可解答． 【解答】解：根据题意得： ， ∴， ∴y与x满足的函数关系是一次函数； 故选：B． 【点评】本题通过矩形的周长考查一次函数的定义，解题的关键是理清实际问题中的等量关系准确地列式． 4．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察可知，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是，再根据长桌的长等于小桌的长加上2倍的小桌的宽列出对应的函数关系式即可． 【解答】解：由题意可得，小桌的长是小桌宽的两倍，则小桌的长是， ∴， 故选：B． 5.（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为______． 【答案】79 【分析】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量与体积成正比例，列式计算即可求解． 【解答】解：∵铁的质量与体积成正比例， ∴m关于V的函数解析式为， 当时，， 故答案为：79． 6．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查列函数解析式，根据三角形的周长等于三边之和，等腰三角形的两腰相等，列出函数关系式，即可． 【解答】解：由题意，得：； 故答案为：． 7．（2024·甘肃·中考真题）已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以 是 （写出一个合理的值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，选择，此时，解答即可．本题考查了函数值的计算，正确选择自变量进行计算是解题的关键． 【解答】根据，选择，此时， 故答案为：． 8．（2023·宁夏·中考真题）如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表： /克 0 2 4 6 10 /毫米 10 14 18 22 30 由表中数据的规律可知，当克时， 毫米．    【答案】50 【分析】根据表格可得y与x的函数关系式，再将代入求解即可． 【解答】解：由表格可得，物品每增加2克，秤砣所挂位置与提纽的距离增加4毫米，则物品每增加1克，秤砣所挂位置与提纽的距离增加2毫米， 当不挂重物时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10毫米， ∴y与x的函数关系式为， 当时，， 故答案为：50． 【点评】本题考查由表格得函数关系式以及求函数值，通过表格得出函数关系式是解题的关键． 9．（2022·上海·中考真题）已知f（x）=3x，则f（1）= ． 【答案】3 【分析】直接代入求值即可． 【解答】解：∵f（x）=3x， ∴f（1）=3×1=3， 故答案为：3 【点评】本题主要考查了求函数值，直接把自变量的值代入即可． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 一次函数的概念 （重难点题型专训） 【知识考点 一次函数的概念】 1.一次函数的概念 （1）定义：一般地，形如的函数叫作一次函数，其中x是自变量，k叫作比例系数，y是x的函数． （2）注意：一次函数的结构中，k ≠ 0，自变量x的次数为1；b为任意实数。当b的值等于0时，一次函数就变成正比例函数。 2.正比例函数的概念 （1）定义：一般地，形如的函数叫作正比例函数，其中x是自变量，k叫作比例系数，y是x的函数. 正比例函数是特殊的一次函数。 （2）注意： ① 自变量系数（比例系数）k不能为0 ； ② 自变量x的次数一定是1 ； ③ 正比例函数解析式中，自变量后面的常数项为0 。 ④ 正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 【重难点常考题型概览】 【题型01】一次函数的概念辨析 【题型02】正比例函数的概念辨析 【题型03】根据一次函数的定义求参数 【题型04】根据正比例函数的定义求参数 【题型05】用函数解析式表示问题中两变量的关系 【题型06】求一次函数自变量或函数值 【题型07】列一次函数解析式并综合运用 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】一次函数的概念辨析 【例1】（2024-2025八年级下·上海·期末）下列四个函数中，一次函数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·云南红河·期末）常数项是的函数是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·湖南长沙·期末）下列各表达式中，表示y是x的一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·河北廊坊·月考）下列函数为一次函数的有（   ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 【题型02】正比例函数的概念辨析 【例2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）下列关系中，是正比例函数关系的是（   ） A．淘气看一本书，已看的页数和剩下的页数 B．总价一定时，数量和单价 C．三角形的面积一定时，一边长和该边上的高之间的关系 D．匀速运动中，速度一定时，路程和时间之间的关系 【变式2-1】（2024-2025八年级下·福建厦门·期中）下列函数中是正比例函数的是（ ）． A． B． C． D． 【变式2-2】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025-2026八年级上·辽宁锦州·月考）下列说法正确的是________（填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 【题型03】根据一次函数的定义求参数 【例3】（2025-2026八年级上·江苏盐城·期末）若函数是一次函数，则m的值为（   ） A． B．1 C． D．任意实数 【变式3-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）若函数是关于x的一次函数，则常数k必须满足________________． 【变式3-2】（2023-2024八年级下·吉林长春·月考）已知函数是一次函数，求的值． 【变式3-3】（2024-2025八年级下·四川绵阳·期中）若函数是关于x的一次函数，试确定m的值，并求当时，y的值． 【题型04】根据正比例函数的定义求参数 【例4】（2025-2026八年级下·北京·开学考试）若函数是关于的正比例函数，则常数的值等于（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·福建福州·期中）如果是正比例函数，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·河北衡水·月考）若函数是正比例函数，则关于m，n的值，下列正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】（2025-2026八年级下·江苏南通·月考）若函数是正比例函数，则的值是_____________ . 【题型05】用函数解析式表示问题中的两变量的关系 【例5】（2024-2025八年级下·全国·单元测试）一段导线，在℃时的电阻为欧，温度每增加1℃，电阻增加欧，那么电阻欧表示为温度t℃的函数关系为（   ） A．. B． C． D． 【变式5-1】（2024-2025八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）体育节学校购买跳绳和钢笔共100个奖品，跳绳每个4元，钢笔每支5元，若跳绳购买x个，总费用y（元）与x（个）之间的函数关系式为________．（不用写出自变量x的取值范围） 【变式5-2】（2024-2025八年级上·贵州贵阳·期中）甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． 写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数（不用写出自变量x的取值范围） 【变式5-3】（2024-2025八年级上·全国·课后作业）写出下列各题中与之间的关系式，并判断：是否为的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以的速度匀速行驶，行驶路程与行驶时间之间的关系； （2）圆的面积与它的半径之间的关系； （3）某水池有水，现打开进水管进水，进水速度为，后这个水池内有水． 【题型06】求一次函数自变量或函数值 【例6】（2024-2025八年级上·全国·课后作业）如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶． 设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【变式6-1】（2025-2026八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，，点P是上一点，设的长为，的面积为S． （1）S与x之间的函数表达式为_______． （2）当的面积为18时，则的长为_______． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·河北唐山·期中）如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【变式6-3】（2025-2026八年级上·江苏徐州·月考）已知，且与x成正比例，与成正比例，当时，，当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)计算时，y的值； (3)当时，求的值． 【题型07】列一次函数解析式并综合运用 【例7】（2024-2025八年级下·河北石家庄·期中）王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过人，每人都按九折收费，超过人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为人． (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用与之间的函数关系式； (2)若王老师组团参加两日游的共有人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家． 【变式7-1】（2024-2025八年级上·安徽六安·期中）已知与x成正比例关系，当时，． (1)写出y与x之间的函数解析式； (2)若x的取值范围为，求y的取值范围． 【变式7-2】（2024-2025八年级下·辽宁大连·月考）“绿叶”家政服务公司选派16名清洁工去打扫新装修的“海天”宾馆的房间，房间有大、小两种规格，每名清洁工一天能打扫4个大房间或5个小房间．设派x人去清扫大房间，其余人清扫小房间，清扫一个大房间工钱为80元，清扫一个小房间工钱为60元． （1）写出家政服务公司每天的收入y（元）与x（人）之间的函数关系式： （2）应该怎样安排这16名清洁工清扫？才能一天为“绿叶”家政服务公司创收5000元． 【变式7-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）将长为、宽为的长方形白纸按下图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为． (1)根据上图将表格补充完整． 白纸张数 1 2 3 4 5 … 纸张长度/ 40 110 145 … (2)设张长方形白纸黏合后的总长度为，求关于的函数解析式，并判断是不是的一次函数． (3)你认为长方形白纸黏合起来的总长度可能为吗？请说明理由． 【特训01】拓展培优强化 1.（2025-2026八年级下·全国·周测）如果y是z的正比例函数，z是x的一次函数，则y是x的（   ） A．正比例函数 B．一次函数 C．其他函数 D．不是函数关系 2．（2025-2026八年级下·全国·课后作业）下列说法错误的是（   ） A．是正比例函数，也是一次函数 B．是一次函数，也是正比例函数 C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比 D．如果是一次函数，那么 3.（2025-2026八年级下·全国·周测）定义为一次函数的“特征数”．若“特征数”为的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是________． 4．（2025-2026八年级下·全国·课后作业）写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 5．（2025-2026八年级上·安徽安庆·期末）若是关于的正比例函数，求的值． 6．（2025-2026七年级上·山东淄博·月考）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 7.（2024-2025八年级上·浙江宁波·期末）某商场准备购进 两种商品进行销售，A商品的进价为每件 30 元，售价为 40 元，商品的进价为每件 40 元，售价为 60 元，现计划购进 两种商品共 100 件，设购进A商品件，总利润为元． （1）写出（元）关于 （件）的函数关系式； （2）若 A 商品不少于 60 件，总利润不低于 1380 元，求出所有的进货方案． 8.（2024-2025八年级下·吉林长春·月考）如图，在长方形中，，点P从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为和，同时点Q从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为，连结．设点P的运动时间为t秒，四边形的面积为． (1)当点P到达的中点时，则 ； (2)连接，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则 秒； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 3.（2024·山东济南·中考真题）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（   ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 4．（2024·甘肃·中考真题）如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为（ ） A． B． C． D． 5.（2024·湖北·中考真题）铁的密度约为，铁的质量与体积成正比例．一个体积为的铁块，它的质量为______． 6．（2024·江苏常州·中考真题）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ． 7．（2024·甘肃·中考真题）已知一次函数，当自变量时，函数y的值可以 是 （写出一个合理的值即可）． 8．（2023·宁夏·中考真题）如图是某种杆秤．在秤杆的点处固定提纽，点处挂秤盘，点为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点，秤杆处于平衡．秤盘放入克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为毫米时秤杆处于平衡．测得与的几组对应数据如下表： /克 0 2 4 6 10 /毫米 10 14 18 22 30 由表中数据的规律可知，当克时， 毫米．    9．（2022·上海·中考真题）已知f（x）=3x，则f（1）= ． 学科网（北京）股份有限公司 $