精品解析：河南开封市立洋外国语学校2026年七年级上学期期末数学试题

2026年七年级上学期期末数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，点，，在同一直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若是方程的解，则k的值是（ ） A. B. 3 C. 1 D. 5. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 6. 下列各组数中都是无理数的为（ ） A. ，，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小明家位于学校（ ） A. 北偏西 B. 北偏西 C. 北偏东 D. 北偏东 9. 本场考试中，王老师送给大家一个正方体礼品盒，它的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，则与“你”相对的字是（ ） A. 考 B. 试 C. 顺 D. 利 10. 如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第（是正整数）个图案由______________个基础图形组成． 12. 对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 13. 已知、互为相反数且，、互为倒数，是最小的正整数，求的值________． 14. 对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为________． 15. 若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 已知，． （1）化简：，将结果用含有、的式子表示； （2）若（1）中式子的值与字母的取值无关，求的值． 18. 计算及解方程： （1）计算： （2）解方程： 19. 已知：如图，，是内部一条射线． （1）请你用直尺和圆规在外部作，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若平分，且，求的度数． 20. 年月日我国正式启动海南封关，将海南岛全岛建成一个自由化便利化政策制度的特殊区域，意义重大．某商场嗅到商机搞促销活动，活动方案如下表： 一次性购物(原价) 优惠方案 不超过元 不给优惠 超过元，不超过元 超过元的部分按9折优惠 超过元 所购商品全部给予8折优惠 （1）按照商场的活动方案，小石在该超市购买原价元的商品，应付款________元；小天在该超市购买原价元的商品，应付款________元； （2）小石在该超市购买了某种商品，实际付款元，请求出该商品的原价是多少元？ （3）若小石、小天在该超市共购买原价元的商品，其中小石顾客购买商品的原价超过元且不足元，实际两人各自付款共元，请求出小石、小天购买的商品的原价各为多少元？若两人拼单购买，与各自付款相比，小石、小天两人之中谁更省钱？省多少元钱？ 21. 如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 如图，已知数轴上点A表示的数为30，点B表示的数为，点P从点B出发，以每秒10个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为t秒． （1）A，B两点间的距离为______； （2）当点P追上点Q时，求运动时间t的值； （3）若点M为的中点，，求此时点M表示的数． 23. 如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，即，直角三角尺可绕顶点转动，在转动的过程中，直角三角尺的所有部分始终保持在直线上或下方． （1）如图1，若直角三角尺的一边放在射线上，则___________________： （2）如图2，在（1）的条件下，将直角三角尺绕点以秒转动后，使其一边在的内部，若恰好平分，求的度数及此时直角三角尺转动几秒． （3）如图3，在直角三角尺绕点转动的过程中，与之间存在一个固定的数量关系，请画出图形并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年七年级上学期期末数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数的化简与大小比较，涉及相反数的定义、绝对值的性质以及有理数大小比较的法则先利用相反数和绝对值的性质将每个选项中的数化简为最简形式，再根据“正数都大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”的规律，比较所有化简后的数，找出最小的数对应的选项． 【详解】解：，，，； 正数大于负数，且两个负数比较时，绝对值大的数更小，，，，， ∴， ∴最小的数是，对应选项C． 故选：C． 2. 如图，，，点，，在同一直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是互余的含义，互补的含义，熟记互余互补的含义是解本题的关键．先求解，再求解即可得到答案． 【详解】解：，， ． ． 故选∶C． 3. 一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了含图案的正方体的展开图．根据正方体展开图的特征依次分析即可，也可动手操作． 【详解】解：观察一个正方体的平面展开图，结合正方体的表面图形的圆图形，和×图形，空白面，三角形图形的分布情况，得原正方体可能是， 故选：A． 4. 若是方程的解，则k的值是（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了已知方程的解求参数，解一元一次方程，根据方程的解的定义，将代入原方程，得到关于的一元一次方程，解此方程即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入方程，得， ∵， ∴， ∴合并同类项得， ∴系数化为1得， 故选：D． 5. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对角线分成的三角形个数问题，利用n边形从一个顶点出发的所有对角线可将多边形分成个三角形的规律，列方程求解多边形的边数即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， ∵该多边形被分成4个三角形 ∴， 解得， ∴这个多边形是六边形， 故选：B． 6. 下列各组数中都是无理数的为（ ） A. ，，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，解此题需掌握无理数的定义． 无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，据此判断即可． 【详解】解：∵是无理数，是无理数， ∴A中所有数都是无理数，符合题意； B中是有理数，不符合题意； C中和是有理数，不符合题意； D中是有理数，不符合题意． 故选A． 7. 有理数在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴，有理数的加法，乘法，先根据数轴得出a，b的范围，再逐个判断即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，，，． 故选：D． 8. 如图，小明家位于学校（ ） A. 北偏西 B. 北偏西 C. 北偏东 D. 北偏东 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查方位角，地球南北方向与观测者观测物体的视线方向的夹角称为方位角，据此根据图形直接求解即可． 【详解】解：学校所在位置为观测者所在位置，小明家为被观测物体，所以小明家位于学校北偏东方向上． 故选：D 9. 本场考试中，王老师送给大家一个正方体礼品盒，它的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，则与“你”相对的字是（ ） A. 考 B. 试 C. 顺 D. 利 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方体展开图相对面上的字，解题的关键是掌握正方体侧面展开图的对应规律，根据展开图的相对面一定隔着一个小正方形，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，与“你”相对的字是“试”． 故选：． 10. 如图，将一个直角三角形沿着直角边所在的直线向右平移得到直角三角形，已知，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质． 由，可得，由平移的性质可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：，即，， ， 由平移可得， ． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，第（是正整数）个图案由______________个基础图形组成． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分析图形变化规律，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，第1个图案中基础图形个数为个， 第2个图案中基础图形个数为个， 第3个图案中基础图形个数为个， ……， 所以，第n个图案中基础图形个数为个． 12. 对于任意的有理数，，如果满足，那么我们称这一对数，为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等式的性质以及代数式整体代入求值，关键是根据“特殊数对”的定义列出等式，化简得到与的关系式，再通过整体代入法计算所求代数式的值．首先将代入“特殊数对”的等式中，得到；再将变形为含的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是“特殊数对”， ∴， 去分母化简得：， 则； 故答案为：． 13. 已知、互为相反数且，、互为倒数，是最小的正整数，求的值________． 【答案】1或 【解析】 【分析】本题考查相反数、倒数、绝对值的定义及代数式求值，关键是根据相关定义求出、、的取值，再分情况代入计算．首先根据相反数的定义得到，倒数的定义得到，绝对值的性质结合最小正整数的概念得到，然后分和两种情况代入代数式计算即可． 【详解】解：∵、互为相反数且， ∴； ∵、互为倒数， ∴； ∵是最小的正整数， ∴，即或． 当时，； 当时，； 故答案为：1或． 14. 对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与一元一次方程的求解，核心是准确理解新运算规则，将新定义运算转化为常规的整式运算，进而构建一元一次方程求解． 【详解】解：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 解得：； 故答案为：． 15. 若关于的多项式有三项且次数是3，则的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项的定义，根据多项式的次数的定义可得，根据多项式的项数的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的多项式有三项且次数是3， ∴， ∴， 故答案为：1． 三、解答题（8小题，共75分） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为3 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值以及非负数的性质，考查的知识点包括整式的去括号、合并同类项法则，以及平方数和绝对值的非负性．首先利用整式的运算法则将原式化简为最简形式，然后根据“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”求出、的值，最后将、代入化简后的式子计算得出结果． 【详解】解： ； ∵，，且， ∴，，解得，； 当，时，原式． 17. 已知，． （1）化简：，将结果用含有、的式子表示； （2）若（1）中式子的值与字母的取值无关，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、去括号法则、合并同类项法则以及代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则，以及代数式的值与某字母取值无关时，该字母的系数为0这一性质是解题的关键． （1）先对进行去括号、合并同类项化简，再将、的表达式代入，整理得到含、的式子． （2）根据（1）中化简结果与取值无关的条件，求出的值，再将所求式子变形为与相关的形式，代入计算． 【小问1详解】 解：，， ． ； 【小问2详解】 解：由（1）可知：， （）中式子的值与字母的取值无关， ， 解得， ， ． 18. 计算及解方程： （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程； （1）先算乘方、绝对值、除法运算，再进行加减运算，即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 19. 已知：如图，，是内部一条射线． （1）请你用直尺和圆规在外部作，使得（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若平分，且，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，尺规作图—作与已知角相等的角，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的定义可得的度数，则可求出的度数，进而得到的度数，再由角的和差关系可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：∵平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 年月日我国正式启动海南封关，将海南岛全岛建成一个自由化便利化政策制度的特殊区域，意义重大．某商场嗅到商机搞促销活动，活动方案如下表： 一次性购物(原价) 优惠方案 不超过元 不给优惠 超过元，不超过元 超过元的部分按9折优惠 超过元 所购商品全部给予8折优惠 （1）按照商场的活动方案，小石在该超市购买原价元的商品，应付款________元；小天在该超市购买原价元的商品，应付款________元； （2）小石在该超市购买了某种商品，实际付款元，请求出该商品的原价是多少元？ （3）若小石、小天在该超市共购买原价元的商品，其中小石顾客购买商品的原价超过元且不足元，实际两人各自付款共元，请求出小石、小天购买的商品的原价各为多少元？若两人拼单购买，与各自付款相比，小石、小天两人之中谁更省钱？省多少元钱？ 【答案】（1）；； （2）元或元； （3）小石购买的商品原价为元，小天购买的商品原价为元；小石更省钱，省元． 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，属于分段计费问题，核心是根据不同价格区间的优惠规则，分情况构建等式求解，关键是准确判断计费区间． （1）先判断商品原价所属的优惠区间，再代入对应公式计算应付款金额； （2）实际付款元需分两种情况讨论：原价在元之间、原价超过元，设原价为元，根据对应优惠规则列方程求解； （3）设小石的商品原价为元，根据的范围确定小天原价的区间，结合总付款金额列方程求解原价；再分别计算拼单前后两人的付款额，对比得出省钱情况． 【小问1详解】 解：∵， ∴应付款(元)； ∵， ∴应付款(元)； 故答案为：；． 【小问2详解】 解：设该商品的原价为元． ①当时， 根据优惠方案，列方程得：， 解得，符合； ②当时，列方程得：， 解得，符合； 故该商品的原价是元或元． 【小问3详解】 解：设小石购买的商品原价为元，则小天购买的商品原价为元， ∵， ∴，即小天的商品原价超过元． 根据题意列方程：， 解得， 则小天的商品原价为(元)； ∵独自购买时，小石享受的优惠方案是超过元的部分按9折优惠，小天享受的优惠方案是所购商品全部给予8折优惠， 两人拼单购买，享受的优惠方案是所购商品全部给予8折优惠， ∴小石更省钱． 小石原来的付款金额：(元)， 拼单后小石的付款金额：(元)， ∴小石节省的金额为(元)； 答：小石购买的商品原价为元，小天购买的商品原价为元．小石更省钱，省元． 21. 如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，已知数轴上点A表示的数为30，点B表示的数为，点P从点B出发，以每秒10个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若运动时间为t秒． （1）A，B两点间的距离为______； （2）当点P追上点Q时，求运动时间t的值； （3）若点M为的中点，，求此时点M表示的数． 【答案】（1）40 （2）8 （3）25或40 【解析】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式及一元一次方程的应用． （1）根据数轴上两点间的距离公式（其中a，b分别为两点所表示的数），可直接求出A、B两点间的距离； （2）设运动时间为，分别表示出点P，Q，再令，求解方程即可得出结果； （3）先分情况讨论，根据列出方程，求出运动时间t，再求出点P表示的数，最后根据中点坐标公式求出点M表示的数即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 故答案为：40． 【小问2详解】 解：设运动时间为，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 令， 解得， ∴运动时间t的值为8． 【小问3详解】 解：由题意知，分以下两种情况： ①当点P在点A的左侧时，则，， 由题意得，，解得； ②当点P在点A的右侧时，则，， 由题意得，，解得， 经检验，均满足题意， 当时，点P对应的数为，故此时点M所代表的数为， 当时，点P对应的数为，故此时点M所代表的数为， 综上所述，点M表示的数为25或40． 23. 如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点处，即，直角三角尺可绕顶点转动，在转动的过程中，直角三角尺的所有部分始终保持在直线上或下方． （1）如图1，若直角三角尺的一边放在射线上，则___________________： （2）如图2，在（1）的条件下，将直角三角尺绕点以秒转动后，使其一边在的内部，若恰好平分，求的度数及此时直角三角尺转动几秒． （3）如图3，在直角三角尺绕点转动的过程中，与之间存在一个固定的数量关系，请画出图形并证明． 【答案】（1） （2），11秒 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算，角平分线的定义等知识的综合运用，运用分类讨论的思想进行分析是解题的关键． （1）根据角度的和差关系直接计算即可． （2）根据角度的和差关系求出，然后根据角平分线的定义得出，再根据角的和差关系即可得出，进而可求出是时间． （3）根据角度的和差关系求出，然后分两种情况，画出图形然后计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ． 【小问2详解】 解：， ， ∵恰好平分， ， ， 秒． 【小问3详解】 证明：， ， 假设直角三角尺以秒的速度转动秒， 则， 当直角三角尺在直线的下方时，如图所示： ， ， 即； 当直角三角尺在直线的上方时，如图所示： ， 即 综上所述：当直角三角尺在直线的下方时，； 当直角三角尺在直线的上方时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $