精品解析：湖南株洲市第十九中学2026年九年级第一次模拟考试 数 学

株洲市第十九中学2026届九年级第一次模拟考试 数学 （本试题卷共6页，共26题，时量120分钟，满分120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项当中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 0 2. 若一个n边形的内角和为，则n的值是（　　） A. 9 B. 7 C. 6 D. 5 3. 关于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情况是（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的大小等于( ) A. 25° B. 20° C. 40° D. 50° 5. 如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 4π B. 3π C. 2π D. π 6. 有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论中，错误的是(　 　) A. 如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根 B. 如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C. 如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1 7. 已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①，②，③，④，正确的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 8. 若关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.） 11. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均成绩都是环，方差分别是则射击成绩最稳定的是________(填“甲”“乙”“丙”或“丁”)． 12. 若关于x方程的解是，则a的值为______． 13. 如图，将沿方向平移之后得到，若，则_____． 14. 小明用一块圆心角为270°，半径为6cm的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），那么这个圆锥的底面半径为______cm． 15. 如图，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点在轴上，点B，C在轴上，与轴交于点，连接．若，，则的值为__________． 16. 4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表： 阅读时间（x小时） x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数 12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____． 17. 从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是你认为适合参加决赛的选手是_____． 18. 如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P． （1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为：__________；（填“<”，“>”或“=”） （2）如图2所示，若，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算：． 20. 某校开展了“预防溺水、珍爱生命”的安全知识竞赛．先从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成四组，A．，B．，C．，D．）． 部分信息如下： 七年级10名学生竞赛成绩：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99； 八年级10名学生竞赛成绩在C组中的数据：94，94，91． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 b 92.5 d 49 八年级 92 c 100 46.8 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）__________，__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生安全知识竞赛成绩更好？请说明理由； （3）若该校七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得优秀成绩的学生有多少人． 21. 已知，求的值． 22. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．∵，∴当时，原式有最小值，最小值为．根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足求的周长． 23. 如图，已知，，将沿射线的方向平移至，使为的中点，连结，记与的交点为． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 24. 如图，以的直角边为直径作，交斜边于点D，点E是的中点，连接． （1）判断和的位置关系，并证明； （2）若，，求的长； （3）求证：． 25. 如图，在中，直径所在的直线垂直于弦，连接，过点作交于点，连接，过点作于，点在上，且． （1）求证：点为中点； （2）若，，求的半径． 26. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线与抛物线交于点是线段的中点． （1）求抛物线的解析式． （2）若点E的横坐标是，求点M的坐标． （3）若，求四边形的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市第十九中学2026届九年级第一次模拟考试 数学 （本试题卷共6页，共26题，时量120分钟，满分120分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只交答题卡. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项当中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 的绝对值是（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的概念，根据绝对值的定义直接求解． 【详解】解：的绝对值是2， 故选：A 2. 若一个n边形的内角和为，则n的值是（　　） A. 9 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据内角和定理求出边数即可得出结论． 【详解】解：根据题意得；， 解得：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和定理的应用，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 3. 关于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情况是（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题以考查一元二次方程根的判别式知识点，解题的关键是通过计算判别式的值来判断根的情况． 根据一元二次方程根的判别式公式，确定方程中a，b，的值，代入公式计算，再根据与0的大小关系判断根的情况． 【详解】对于一元二次方程，其根的判别式， 在方程中，， 将a，b，的值代入判别式中，可得： 因为任何数的平方都大于等于0，即，所以，也就是． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根．所以方程有两个不相等的实数根， 故答案选：A． 4. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心，若∠B＝25°，则∠C的大小等于( ) A. 25° B. 20° C. 40° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，根据切线的性质，即可求得∠C的度数． 【详解】如图，连接OA． ∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°． ∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠C＝40°． 故选C． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形的性质，已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点． 5. 如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是（　　） A. 4π B. 3π C. 2π D. π 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵AB⊥CD，CD⊥MN， ∴阴影部分的面积恰好为正方形MNEF外接圆面积的， ∵正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上， ∴S阴影=π×22=π． 故选D 6. 有两个一元二次方程M：ax2＋bx＋c＝0；N：cx2＋bx＋a＝0，其中a·c≠0，a≠c，下列四个结论中，错误的是(　 　) A. 如果方程M有两个相等的实数根，那么方程N也有两个相等的实数根 B. 如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C. 如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 D. 如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵M有两个不相等的实数根， ∴△＞0即而此时N的判别式△＝，故它也有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； B、M的两根符号相同：即，而N的两根之积＝也大于0，故N的两个根也是同号的，故此选项不符合题意； C、如果5是M的一个根，则有：①，我们只需要考虑将代入N方程看是否成立，代入得：②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立，故此选项不符合题意； D、比较方程M与N可得：， ∴， ∵a·c≠0，a≠c， ∴， 故可知，它们如果有根相同的根可是1或-1，故此选项符合题意； 7. 已知二次函数的图像如图所示，下列结论：①，②，③，④，正确的是（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像的对称轴为直线，， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； ∵二次函数的图像与轴有个不同的交点， ∴，故结论③错误； 由图像知：当时，， 即，故结论④错误； 综上所述，正确的是①②． 8. 若关于的一元一次不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组的整数解情况得到关于的不等式进而即可解答． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴不等式组的整数解为， ∴， 解得：， ∴符合条件的所有整数的和为， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解集及根据一元一次不等式组的整数解的情况求参数，熟练解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 9. 在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线的开口方向向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴对称轴为x＝＞0， ∵a＜0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故①错误； ②∵对称轴为x＝＝1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0， 故②错误； ③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0， ∴9a＋3b+c＜0， 故③错误； ④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac； 故④正确； ⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+c＜0， ∴， 故⑤正确． 综上所述，正确的结论是：④⑤． 故选：B． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键． 10. 如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，设，则，可证得，得出，即，求得，再运用勾股定理可得，故当时，． 【详解】设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，如图， 则，， ，，， 平分， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ， ，， ， 设的半径为r，则， ，， ， ，即， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 是的切线， ， ， 当时，． 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.） 11. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均成绩都是环，方差分别是则射击成绩最稳定的是________(填“甲”“乙”“丙”或“丁”)． 【答案】丁 【解析】 【分析】根据方差的意义可作出判断． 【详解】解：∵平均成绩都相同，， ∴射击成绩最稳定的是丁． 故答案为：丁． 【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 12. 若关于x方程的解是，则a的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】将x=3代入分式方程中求解a值即可． 【详解】解：∵关于x方程的解是， ∴， ∴a=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查分式方程的解，理解分式方程的解是解答的关键． 13. 如图，将沿方向平移之后得到，若，则_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 先利用平移的性质得，然后利用，即可求出答案． 【详解】解：沿方向平移得到， ， ． 故答案为：7． 14. 小明用一块圆心角为270°，半径为6cm的扇形纸板做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），那么这个圆锥的底面半径为______cm． 【答案】 【解析】 【分析】设这个圆锥的底面半径为，根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，建立方程解方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了根据弧长圆锥的底面半径，理解题意，牢记弧长公式是解题的关键． 15. 如图，平行四边形的顶点A在反比例函数的图象上，点在轴上，点B，C在轴上，与轴交于点，连接．若，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中k的几何意义、平行四边形的性质、面积的转化；熟练运用同高等底求两个三角形面积关系是解题的关键． 根据，，得，易得，所以，求出，继而得出矩形的面积，最后求出k值即可． 【详解】解：如图， 过点F作，垂足为F点 四边形为平行四边形 又图像过第三象限 故答案为： 16. 4月23日是世界读书日，这天某校为了解学生课外阅读情况，随机收集了30名学生每周课外阅读的时间，统计如表： 阅读时间（x小时） x≤3.5 3.5＜x≤5 5＜x≤6.5 x＞6.5 人数 12 8 6 4 若该校共有1200名学生，试估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为_____． 【答案】400 【解析】 【分析】用总人数×每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数所占的百分比即可得到结论． 【详解】解：1200×＝400（人）， 答：估计全校每周课外阅读时间在5小时以上的学生人数为400人． 故答案为：400． 【点睛】本题主要考查了用样本所占百分比估算总体的数量的知识．正确的理解题意是解题的关键． 17. 从甲、乙、丙三人中选一人参加环保知识抢答赛，经过两轮初赛，他们的平均成绩都是89.7，方差分别是你认为适合参加决赛的选手是_____． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解． 【详解】∵ 而， ∴乙的成绩最稳定， ∴派乙去参赛更好， 故答案为乙． 【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 18. 如图1和图2所示，点A，B，C在反比例函数的图象上，连接，分别过点A，B，C三点作x轴的垂线，垂足分别为M，N，P． （1）如图1所示，图中两块阴影部分面积的大小关系为：__________；（填“<”，“>”或“=”） （2）如图2所示，若，且图中三块阴影部分的面积之和为62，则k的值是__________． 【答案】 ①. = ②. 72 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数中k的几何意义： （1）根据“过双曲线上任意一点与原点所连接的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S是个定值，即”求解即可； （2）如图，设与，交于G，H，交于点K，则，设，则，，，由可得，，进而得出，，，可求得，再运用三角形和梯形面积即可求得答案 【详解】解：（1）如图， 根据题意得，， ∴， 即， 故答案为：=； （2）如图，设与，交于G，H，交于点K， 则， 设， 则，，， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴图中阴影部分面积， ∵图中三块阴影部分的面积之和为62， ∴ 解得， 故答案为：72 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 19. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用零指数幂，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 某校开展了“预防溺水、珍爱生命”的安全知识竞赛．先从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，共分成四组，A．，B．，C．，D．）． 部分信息如下： 七年级10名学生竞赛成绩：81，86，99，95，90，99，100，82，89，99； 八年级10名学生竞赛成绩在C组中的数据：94，94，91． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 b 92.5 d 49 八年级 92 c 100 46.8 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）__________，__________，__________，__________； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生安全知识竞赛成绩更好？请说明理由； （3）若该校七、八年级共2160人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动获得优秀成绩的学生有多少人． 【答案】（1），，， （2）八年级学生成绩更好，理由见解析 （3）864人 【解析】 【分析】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． （1）根据平均数、中位数和众数的定义即可得到结论； （2）根据八年级的中位数和众数均高于七年级，于是得到八年级学生掌握防溺水安全知识较好； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：， （分）， ∵八年级10名学生的竞赛成绩的中位数是第5和第6个数据的平均数， A、B两组共有（人）， （分）； ∵在七年级10名学生的竞赛成绩中99出现的次数最多， ； 故答案为：，，，． 【小问2详解】 解：八年级学生成绩更好，理由如下：八年级学生成绩的中位数、众数都比七年级的高，而方差比七年级的小，成绩比七年级稳定； 【小问3详解】 解： （人）， 答：估计参加此次竞赛活动获得优秀成绩的学生约有864人． 21. 已知，求的值． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键． 利用分式的混合运算法则将化简将，再根据题意得到，将代入化简后的式子求解． 【详解】解： ， ， ， 原式． 22. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．∵，∴当时，原式有最小值，最小值为．根据以上材料，解答下列问题： （1）利用配方法分解因式：； （2）求多项式的最小值； （3）已知，，是的三边长，且满足求的周长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是掌握完全平方差，平方差公式，平方的非负性，即可． （1）根据材料方法，对式子进行因式分解，即可； （2）根据材料下对式子进行因式分解，再根据平方的非负性，即可； （3）根据材料对进行化简，求出，，的值，即可． 【小问1详解】 ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ， ， ， ∵， ∴当时，原式有最小值，最小值为． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 23. 如图，已知，，将沿射线的方向平移至，使为的中点，连结，记与的交点为． （1）求证：； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平移的性质： （1）利用平移的性质得出四边形是平行四边形，得，再证明，进而利用证明即可； （2）根据角平分线的定义得出的度数，进而利用三角形的内角和定理解答即可． 【小问1详解】 证明：由平移可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在与中， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：平分，， ， ． 24. 如图，以的直角边为直径作，交斜边于点D，点E是的中点，连接． （1）判断和的位置关系，并证明； （2）若，，求的长； （3）求证：． 【答案】（1）相切，见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，从而证明，即可证明结论； （2）在中，利用锐角三角函数求出三边长，再证明，利用相似三角形的性质即可求解； （3）根据三角形中位线的定义可得，从而证明，再根据，可得到边之间的等量代换，即可证明． 【小问1详解】 解：相切； 证明：连接， 在中，， 是的直径， ，即， 在中，点是的中点， ， 又， ∴， ， 在上， 是的切线． 【小问2详解】 解：由（1）中结论，得， 在中，， ， ； ， ， ， ∴， ， ； 【小问3详解】 证明：， ， ， ， ， ， 由（1）中结论，得，， ， 即， ． 【点睛】本题考查圆的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理等知识，需要学生灵活运用所学知识． 25. 如图，在中，直径所在的直线垂直于弦，连接，过点作交于点，连接，过点作于，点在上，且． （1）求证：点为中点； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，证明推出是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出答案； （2）设与交于点，与交于点，证明得出，由，设，则，求出，作于，则，而，由勾股定理得出，证明，即可求出的长，从而得解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴， ∴点E为中点； 【小问2详解】 解：设与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由，设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于，则，而， ∴， ，， ， 得：，即， ∴， ∴的半径为． 26. 如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线与抛物线交于点是线段的中点． （1）求抛物线的解析式． （2）若点E的横坐标是，求点M的坐标． （3）若，求四边形的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式的确定、一次函数解析式的确定、中点坐标公式，三角形面积的计算．解题的关键是求出两个函数图像的交点坐标． （1）利用交点式求抛物线解析式即可． （2）先将代入抛物线解析式得出点E坐标，将点E得出直线解析式，联立抛物线解析式与直线解析式得出点F坐标，根据点M是线段的中点即可求出． （3）用题（2）的方法求出点的坐标（用含的式子表示），然后把四边形分割成几个三角形来求面积，再根据来求这个面积的最小值． 【小问1详解】 解：把点，代入， 得 解方程组，得 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 把代入，得， 点E的坐标是． 把点代入，得，， 直线的解析式是． 联立方程组得，， ，， 点M的坐标是． 【小问3详解】 把代入，得， 点C的坐标是，． ，点D的坐标是． 把与联立方程组，得， ，． 如图，连接． 四边形的面积为： ． ， 当时，四边形的面积有最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $