精品解析：湖南省株洲市天元区建宁实验中学2025-2026学年九年级上学期数学综合素质评估

阶段性数学综合素养评估 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 若的相反数是2026，则的值是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，利用互为相反数的数的特征求解即可． 【详解】解：的相反数是2026， ， 故选：B． 2. 5月15日距离地球320000000千米之外，天问一号探测器成功着陆在火星乌托邦平原南部预选着陆区，标志着中国成为继苏联和美国之后世界上第三个探测器成功在火星着陆的国家．将320000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据几何体，确定其三视图，进行判断即可． 【详解】解：圆锥的主视图和左视图相同且均为三角形，俯视图为圆； 故选：A． 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、和不是同类项，无法合并，故本选项错误，不符合题意； 5. 对于一次函数，下列结论错误是（ ） A. 当x增加1时，y增加1 B. 函数值y随自变量x的增大而增大 C. 函数图象不经过第四象限 D. 函数图象与x轴交点坐标是 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，交点坐标的计算方法逐一判断选项即可． 【详解】解：A、当x增加1，为时，，即当x增加1时，y增加1，故本选项正确，不符合题意； B、因为，则函数值y随自变量x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； C、因为，则函数图象经过第一、二、三象限，即函数图象不经过第四象限，故本选项正确，不符合题意； D、当时，，即，则函数图象与x轴交点坐标是，故本选项错误，符合题意； 6. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是． 7. 在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度后，得到的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据“上加下减，左减右加”的平移规律得到平移后点的坐标，再根据坐标符号判断所在象限即可． 【详解】解：点坐标为，向下平移个单位长度，得到点的坐标为， 平移后得到的点在第三象限． 8. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，核心是根据每月销量的增长关系列出方程． 【详解】解：∵月增长率为x，5月份销售量为144个， ∴6月份销售量为个， ∴7月份销售量为个， 又∵7月份实际销售量为225个， ∴可列方程为. 9. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或 故选：B． 10. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点； ④若为“不动点函数”，则． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，求一次函数值，求反比例函数值，二次函数与一元二次方程， 根据“不动点函数”的定义，对每个结论通过解方程判断是否存在不动点，验证结论正确性后统计正确个数． 【详解】解：①∵令，则，化简得，矛盾，无实数解， ∴该函数不是“不动点函数”，①错误； ②∵令，则，两边乘得 又∵实数范围内 ∴方程无实数解，该函数没有不动点，②错误； ③∵令，则，整理得 解得或， ∴点是该函数的不动点，③正确； ④∵若是“不动点函数”，则， 整理得， 方程有实数解需判别式， 即，解得， 而结论中的范围不完整，④错误． 综上，正确的结论只有1个． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 在函数中，自变量取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先确定多项式各项的公因式，再提取公因式完成因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 方程的解为______． 【答案】3 【解析】 【详解】解： 分式两边同时乘以得： 移项，合并同类项：， 经检验当时，， 则分式方程的解为． 14. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了根据频率估计概率，根据概率求数量． 根据频率估计概率，摸到黑球的概率稳定在，求出总数，即可求出红球的个数． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在左右， ∴摸到黑球的概率稳定在左右， 则盒子中球的总个数为（个）， 所以盒子中红球的个数为（个）． 故答案为：20． 15. 若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离后比较大小即可得出结论． 【详解】解：由抛物线可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线． 对于开口向上的抛物线，点到对称轴的水平距离越远，函数值越大， 计算各点到对称轴的水平距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 16. 如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，再根据题意可得平分，从而得到，证明，得到，再利用三角形的外角性质可得，进而得到，根据即可求出答案． 【详解】解：，， ， 由题意得：平分， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍） 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图——基本作图，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值，零指数幂和辅助生殖，再计算算术平方根，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，运用相关公式、法则正确进行分式的化简是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ； 将代入，原式． 19. “清明”是二十四节气之一，二十四节气都有哪些？它们分别有哪些习俗？你对二十四节气知道多少？为了弘扬传统文化，校文学社联合校团委开展了“二十四节气传统文化知识竞赛”．现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分）进行整理和分析（分数用表示，总分分，共分成四组：A．；B．；C．；D．）相关数据统计、整理如下： 抽取的七年级学生竞赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，，，． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中， ， ， ； （2）通过以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有人，八年级有人，若测评成绩不低于分的记为优秀，请估计这名学生的成绩为优秀的人数共是多少？ 【答案】（1）；； （2）八年级学生测评成绩更好，理由见解析（答案不唯一，言之有理即可） （3）成绩为优秀的人数约有人 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得、的值；利用各部分所占百分比之和等于，可得的值； （2）根据中位数、众数和平均数的意义进行评价即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：八年级成绩在、组的人数为（人）， ∴八年级学生成绩从低到高排序，第个的数为，第个的数为， ∴八年级成绩的中位数； ∵七年级的成绩中，出现次，出现的次数最多， ∴七年级成绩的众数； ， ∴； 【小问2详解】 解：八年级学生测评成绩更好，理由如下： 两个年级学生测评成绩的平均数相同，但八年级学生成绩的中位数大于七年级，所以八年级学生测评成绩更好（答案不唯一，言之有理即可）； 【小问3详解】 （人）， 答：成绩为优秀的人数约有人． 20. 如图，内接于，D是弧BC上一点，经过点D的的切线，分别交的延长线于E，F． （1）求证：平分； （2）若的半径长为12，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理， （1）连接，由切线的性质得，，由垂径定理得，故可得结论； （2）连接，过点B作于点H，证明为等边三角形，得，求得，，在中，由勾股定理得，从而可得结论 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：连接，过点B作于点H， ∵，平分， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 则，， 在中，由勾股定理得，， ∴． 21. 据相关报道，2026年广西品牌大集于近期在南宁举办，组委会计划搭建，两类特色展位，展示广西优质品牌与助农产品． （1）若搭建2个类展位和3个类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个类展位和1个类展位，共需搭建费用1600元．求类展位和类展位的搭建费用单价各是多少？ （2）组委会计划搭建，两类展位共80个，其中类展位的数量不少于类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个类展位？ 【答案】（1）、两类展位搭建费用的单价分别为300元，400元； （2）组委会至少要搭建54个类展位 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的数量关系列出方程组和不等式组． （1）根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）根据题意列出一元一次不等式组即可求解． 【小问1详解】 解：设、两类展位搭建费用的单价分别为元，元， 根据题意得：， 解得． 答：、两类展位搭建费用的单价分别为300元，400元． 【小问2详解】 解：设搭建类展位个，则搭建类展位个，依题意得， ， 解得， ∵为展位数量，需取正整数， ∴的最小值为54． 答：组委会至少要搭建54个类展位． 22. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离； （2）若聪聪爸爸身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）车后盖最高点到地面l的距离为 （2）没有危险，见解析 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点E，在中，求出的长，即可得出结果； （2）过点作，垂足为点F，解中，求出的长，进而点到地面l的距离，进行判断即可． 【小问1详解】 解：如图，作，垂足为点E． 在中，，， ∴， ∴， ∴． ∵平行线间的距离处处相等， ∴车后盖最高点到地面l的距离为． 【小问2详解】 没有危险，理由如下： 如（1）图，过点作，垂足为点F． ∵，， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵平行线间的距离处处相等， ∴点到地面l距离为． ∵， ∴没有危险． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】（1） （2）①；②见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． 【小问2详解】 ①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 24. 在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点． （1）如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图1，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理及外角定理结合即可求解； （2）在上截取，连接，交于点H，连接，先证明，再证明四边形是平行四边形，可得，记与的交点为点N，则由轴对称可知：，，再解即可； （3）连接，记与的交点为点N，由轴对称知，，，，当点G在边上时，由于，当为等腰三角形时，只能是，同（1）方法得，，中，，解得，然后，解直角三角形，表示出，，即可求解；当点G在延长线上时，只能是， 设，在中，，解得，设，解直角三角形求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：， 在上截取，连接，交于点H， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 记与的交点为点N， 则由轴对称可知：，， ∴中，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，记与的交点为点N， ∵， ∴， 由轴对称知， 当点G在边上时，由于， ∴当为等腰三角形时，只能是， 同（1）方法得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴中，，解得， ∴，而， ∴为等边三角形， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点G在延长线上时，只能是，如图： 设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴在中，， 解得， ∴， 设，则，， 在中，，由勾股定理求得， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，外角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的分类讨论，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段性数学综合素养评估 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 若的相反数是2026，则的值是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 5月15日距离地球320000000千米之外，天问一号探测器成功着陆在火星乌托邦平原南部预选着陆区，标志着中国成为继苏联和美国之后世界上第三个探测器成功在火星着陆的国家．将320000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，生活中常见交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ） A. 当x增加1时，y增加1 B. 函数值y随自变量x的增大而增大 C. 函数图象不经过第四象限 D. 函数图象与x轴交点坐标是 6. 甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则这张卡片正面恰好是甲骨文“山”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将点向下平移个单位长度后，得到的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，某头盔经销商经统计发现某品牌头盔5月份销售量144个，7月份销售量225个，从5月份到7月份销售量的月增长率相同，设月增长率为x，根据题意可列方程（　　） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（ ） A 或 B. 或 C. D. 10. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．以下结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且有两个不动点； ③为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点； ④若为“不动点函数”，则． 其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是_____． 12. 因式分解：______． 13. 方程的解为______． 14. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球，这些球除颜色外均相同，经多次摸球试验后发现，摸到黑球的频率稳定在左右，则盒子中红球的个数约为________． 15. 若点，，在抛物线上，则，，从小到大的大小关系为___________．（用“”连接） 16. 如图，在中，，，，以点B圆心，为半径作弧交于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则长为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. “清明”是二十四节气之一，二十四节气都有哪些？它们分别有哪些习俗？你对二十四节气知道多少？为了弘扬传统文化，校文学社联合校团委开展了“二十四节气传统文化知识竞赛”．现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分）进行整理和分析（分数用表示，总分分，共分成四组：A．；B．；C．；D．）相关数据统计、整理如下： 抽取的七年级学生竞赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，，，． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中， ， ， ； （2）通过以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有人，八年级有人，若测评成绩不低于分的记为优秀，请估计这名学生的成绩为优秀的人数共是多少？ 20. 如图，内接于，D是弧BC上一点，经过点D的的切线，分别交的延长线于E，F． （1）求证：平分； （2）若的半径长为12，，，求线段的长． 21. 据相关报道，2026年广西品牌大集于近期在南宁举办，组委会计划搭建，两类特色展位，展示广西优质品牌与助农产品． （1）若搭建2个类展位和3个类展位，共需搭建费用1800元；搭建4个类展位和1个类展位，共需搭建费用1600元．求类展位和类展位的搭建费用单价各是多少？ （2）组委会计划搭建，两类展位共80个，其中类展位的数量不少于类展位数量的2倍．若总搭建预算资金不超过30000元，求组委会至少要搭建多少个类展位？ 22. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖ABC落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离； （2）若聪聪爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由（结果精确到，参考数据：，，，） 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． （1）求的值； （2）已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 24. 在中，，点是边上一点（点不与端点重合）．点关于直线的对称点为点，连接．在直线上取一点，使，直线与直线交于点． （1）如图1，若，求的度数（用含的代数式表示）； （2）如图1，若，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图2，若，点从点移动到点的过程中，连接，当为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $