精品解析：甘肃武威市凉州区多校2025-2026学年八年级下学期期中质量检测数学试卷

2025−2026学年第二学期期中考试试卷 八年级 数学 总分：120分 时间：120分钟 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各命题是真命题的是（    ） A. 平行四边形对角线相等 B. 平行四边形相邻的两个角相等 C. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 3. 在平面直角坐标系中有一个点，则点到坐标原点的距离是（ ） A. B. 5 C. D. 4. 如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是 A. B. C. 5 D. 5. 下列四组数中，哪一组能构成直角三角形的三条边（ ） A. 3，4，6 B. 6，7，8 C. 5，12，13 D. 1，2，3 6. 下列计算不正确的是（ ） A. 3﹣＝2 B. ＋＝3 C. （1﹣）2＝3﹣2 D. ×＝ 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点A的坐标为，则菱形的周长为（ ） A. 6 B. C. D. 8. 如图，两把直尺的长分别为，，宽分别为，，纸上画有，将两把直尺的一边缘沿的边摆放，两直尺的另一边的边缘的交点在的平分线上，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在边长为1的的正方形网格中，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四边形中，，E是对角线的中点，F是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 二、填空题（共8小题，每题4分，共32分） 11. 三角形的两边长分别为和，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是______． 12. 已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝___． 13. 如图，数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为______． 14. 计算所得的结果是______． 15. 若的整数部分是a，小数部分是b，则的值是______． 16. 已知菱形的周长为40，对角线相交于点．如果，那么菱形的面积为_____________． 17. 正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为______． 18. 如图，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把纸片沿直线DE折叠，点B落在边AC上的点F处，若，，，则ABC的面积是________． 三、解答题（共8小题，共58分） 19. 计算： （1）； （2）； 20. 如图，直线l垂直数轴于原点在数轴上，用尺规作出表示的点E（不写作法，保留作图痕迹）． 21. 如图所示，在平行四边形中，，分别为，上的高，且．求平行四边形各内角的度数． 22. 如图，在中，，，． （1）的形状是___________三角形； （2）尺规作图；作出的角平分线，交于点P（保留作图痕迹，不要求写作法）； （3）在（2）的条件下，求的长． 23. 我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米． （1）教学楼墙面破损处距离地面的高度？ （2）为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？ 24. 已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求： （1）求的坐标； （2）求的坐标． 25. 如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）已知，若四边形是菱形，求的长． 26. 如图，已知在中，，，点在边上，以为边作正方形，连接，． （1）求证：； （2）如果，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年第二学期期中考试试卷 八年级 数学 总分：120分 时间：120分钟 一、单选题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式,根据这个定义判断即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意． B、，故B不符合题意． C、，故C不符合题意． D、符合最简二次根式的定义，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型． 2. 下列各命题是真命题的是（    ） A. 平行四边形对角线相等 B. 平行四边形相邻的两个角相等 C. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理． 利用平行四边形的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：．平行四边形的对角线互相平分但不相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ．平行四边形的相邻的两个角互补，故原命题错误，是假命题，不符合题意； ．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意； ．一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意； 故选：． 3. 在平面直角坐标系中有一个点，则点到坐标原点的距离是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：点， 点到坐标原点的距离， 故选：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中两点间的距离，解题关键是利用数形结合思想，根据勾股定理，准确进行计算． 4. 如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是 A. B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先将正方体展开，再根据两点之间线段最短求解． 【详解】当沿前面和右面爬行时，将正方体展开，连接M、D1， 根据两点之间线段最短， MD=MC+CD=1+2=3， MD1= ． 当沿前面和上面爬行时，MD1=， ， 故选：A． 【点睛】此题考查最短路径，将正方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理是解题关键． 5. 下列四组数中，哪一组能构成直角三角形的三条边（ ） A. 3，4，6 B. 6，7，8 C. 5，12，13 D. 1，2，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，不符合题意； B、，不能组成直角三角形，不符合题意； C、，能组成直角三角形，符合题意； D、，不能组成直角三角形，不符合题意． 故选：C． 6. 下列计算不正确的是（ ） A. 3﹣＝2 B. ＋＝3 C. （1﹣）2＝3﹣2 D. ×＝ 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式的加减运算法则、完全平方公式及二次根式的乘法法则逐项排查即可． 【详解】解：A．3﹣=2，此该选项正确； B．＋=3＋=4，此选项错误； C．（1﹣）2=3-2，此选项正确； D．×=，此选项正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算法则、完全平方公式及二次根式的乘法法则等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点A的坐标为，则菱形的周长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和菱形的性质，根据点A的坐标为，可以得到，根据，可以求出，根据勾股定理可以求出，最后由菱形的性质可以求出菱形的周长． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴， ∵菱形的四条边相等， ∴菱形的周长为． 故选：D． 8. 如图，两把直尺的长分别为，，宽分别为，，纸上画有，将两把直尺的一边缘沿的边摆放，两直尺的另一边的边缘的交点在的平分线上，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，平行线间距离；点分别作的垂线，垂足分别为，由角平分线的性质得到，由平行线间距离相等可知，，则，而和的长度未知，故二者不一定相等，据此可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵点在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知，，， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：． 9. 如图，在边长为1的的正方形网格中，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，先根据勾股定理分别求出，，的长，根据勾股定理逆定理判断出是直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且, ∴边上的高为， 故选：B． 10. 如图，在四边形中，，E是对角线的中点，F是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，等腰三角形的性质，直角三角形的特征，勾股定理；连接、，由直角三角形的特征得，由垂线段最短得当时，取得最小值，结合等腰三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接、， ， E是对角线的中点， ， 当时，取得最小值， ， ， 的最小值为； 故选：A． 二、填空题（共8小题，每题4分，共32分） 11. 三角形的两边长分别为和，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理进行分类讨论即可解出答案． 【详解】解：∵三角形的两边长分别为1cm和2cm， ∴可设第三边为x cm， ∵此三角形是直角三角形， ∴当x是斜边时，，解得x=； 当x是直角边时，，解得x=． 故答案为：或 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握是勾股定理是解题的关键． 12. 已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝___． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式的意义，结合题意，求出一个符合题意的值，即可． 【详解】解：∵当n=2时，=， ∴n=2符合题意， 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查二次根式，掌握二次根式的被开方数是非负数以及二次根式的意义，是解题的关键． 13. 如图，数学老师用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个图1所示的菱形教具，此时测得，对角线长为，改变教具的形状成为图2所示的正方形，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质并灵活运用，菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有 2 条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 连接，根据菱形的性质可知，可知是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，故正方形的边长为． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ，， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴ 正方形的边长是， 故答案为：． 14. 计算所得的结果是______． 【答案】2 【解析】 【分析】把除法变成乘法，再根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】＝==2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除，把运算统一到乘法上是解题的关键． 15. 若的整数部分是a，小数部分是b，则的值是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，二次根式混合运算，先估算的值，确定整数部分和小数部分，再代入表达式利用平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴的整数部分，小数部分， 则，， ∴． 故答案为：6． 16. 已知菱形的周长为40，对角线相交于点．如果，那么菱形的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理； 先求出菱形的边长，再根据题意设，，利用勾股定理求出x，进而得到，的长，再根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， ∵菱形的周长是40， ∴，， ∵， ∴设，则， ∵，即， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∴，， ∴菱形的面积为:， 故答案为：． 17. 正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长，它们的面积相差，则这两个正方形的边长之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 设正方形I的边长为，正方形Ⅱ的边长为，根据题意得和，利用平方差公式求解． 【详解】解：设正方形I的边长为，正方形Ⅱ的边长为，则． 由面积差得． 根据平方差公式，． 代入，得． 所以． 故这两个正方形的边长之和为 故答案为：10． 18. 如图，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把纸片沿直线DE折叠，点B落在边AC上的点F处，若，，，则ABC的面积是________． 【答案】36 【解析】 【分析】先根据折叠的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，利用线段的和差、勾股定理可得，最后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ，即， ， 又， ， 则的面积是， 故答案为：36． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质和折叠的性质是解题关键． 三、解答题（共8小题，共58分） 19. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的乘除计算即可； （2）先计算乘方，绝对值，算术平方根，立方根，再加减即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，直线l垂直数轴于原点在数轴上，用尺规作出表示的点E（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】如图所示，见解析；点E是表示． 【解析】 【分析】由，根据勾股定理可知：作一个直角边分别为2、3的直角三角形，斜边即为，然后以原点为圆心，以为半径作圆，与原点左侧交点即为所求. 【详解】由，根据勾股定理可知：作一个直角边分别为2、3的直角三角形，斜边即为，然后以原点为圆心，以为半径作圆，与原点左侧交点即为所求. 如图所示，点E是表示． 【点睛】此题考查的是在数轴上找到表示无理数的点，利用勾股定理画出长度为的线段是解决此题的关键. 21. 如图所示，在平行四边形中，，分别为，上的高，且．求平行四边形各内角的度数． 【答案】140°，40°，140°，40° 【解析】 【分析】由AE、AF分别为BC、CD上的高，且∠EAF=40°，即可求得∠C的度数，又由平行四边形的性质，即可求得答案． 【详解】解：∵AE、AF分别为BC、CD上的高， ∴∠AEC=∠AFC=90°， ∵∠EAF=40°， ∴∠C=360°-∠EAF-∠AEC-∠AFC=140°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD=∠C=140°，∠B=∠D=180°-∠C=40°． ∴平行四边形ABCD各内角的度数分别为：140°，40°，140°，40°． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 22. 如图，在中，，，． （1）的形状是___________三角形； （2）尺规作图；作出的角平分线，交于点P（保留作图痕迹，不要求写作法）； （3）在（2）的条件下，求的长． 【答案】（1）直角 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）根据尺规作角平分线的方法求解即可； （3）首先根据角平分线的性质得到，然后利用代入求解即可． 【小问1详解】 ∵中，，， ∴， ∴ ∴ ∴的形状是直角三角形； 【小问2详解】 如图所示． 【小问3详解】 如图所示，过点P作于点E， ∵平分，， ∴ ∵ ∴ ∴ 解得． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，尺规作角平分线和角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 23. 我校在对校园进行完善建设的过程中发现，教学楼墙面上有一处破损点，维修师傅找来梯子来帮助完成维修工作．已知，梯子长为，将其斜靠在墙上，测得梯子底部离墙角处，此时在梯子顶端测得顶部与破损点相距米． （1）教学楼墙面破损处距离地面的高度？ （2）为了方便施工，需要使梯子顶端上升至距破损点距离为米处，则梯子底部需要向左移动多少米？ 【答案】（1）教学楼墙面破损处距离地面的高度为； （2）梯子底部需要向左移动． 【解析】 【分析】（）利用勾股定理求出的长度，则即可求解； （）由题意得梯子顶端离地面，利用勾股定理求出梯子底部离墙角处的距离，再相减即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， 由勾股定理得：， ∴教学楼墙面破损处距离地面的高度， 答：教学楼墙面破损处距离地面的高度为； 【小问2详解】 解：由题意得，梯子顶端离地面， ∴梯子底部离墙角处为， ∴梯子底部需要向左移动， 答：梯子底部需要向左移动． 24. 已知，如图所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，求： （1）求的坐标； （2）求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题． （1）根据折叠性质得，，由勾股定理得，可得点坐标； （2）在中，根据勾股定理即可求点坐标． 【小问1详解】 解：由折叠可知：， ， ，， 在中，由勾股定理得， 点坐标为； 【小问2详解】 ，， 由折叠可知：， 设，则， 在中，由勾股定理得：，解得：， 点坐标为． 25. 如图，将两块完全相同的含有角的直角三角尺在同一平面内按如图方式摆放，其中点A、E、B、D在同一直线上，连接． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）已知，若四边形是菱形，求的长． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的证明，菱形的性质等知识点，熟记相关结论即可求解． （1）由题意得：，推出，得，即可求证； （2）由题意得，推出，得到，，推出，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 如图，已知在中，，，点在边上，以为边作正方形，连接，． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质利用可证得和全等； （2）先利用证得，得出，再根据勾股定理求出的长，即可求出的长，从而得出的长． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，， 由（1）知， ， ， ， ， ， 即， ， ， ，， 又， ， 由勾股定理得，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $