精品解析：甘肃省武威市凉州区2024-2025学年八年级下学期期中检测数学试卷

2024—2025学年第二学期期中检测卷 八年级数学 （总分：120分， 时间：120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 下列各组数据中的三个数，是勾股数的是（　　） A. 4，5，6 B. ，， C. 1，1， D. 8，15，17 3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 化简二次根式结果是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，数轴上点所表示的数为，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，与相交于点O，延长至点E，使，连接．若，，，则四边形的周长为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 8. 如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 40 10. 如图，正方形中，E为对角线上一点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：①；②；③；其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数的值可以是__________．（写出一个即可） 12. 已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为______． 13. 在四边形中，，再从下列四个条件中：①；②；③；④任选一个，能使四边形为平行四边形的条件的序号是________． 14. 已知，菱形的面积为40，一条对角线长为10，则另一条对角线长为______． 15. 如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于______________． 16. 已知，，，，则_______． 17. 如图，中，，垂足为D，E为边的中点，，，，则_______． 18. 如图，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，若平分的周长，则的长为______． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）； （3） 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 21. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积； （2）求四边形的周长． 22. 怀仁民俗博物馆是一座集历史、人文、民俗、民风、书画艺术为一体的综合性博物馆．馆内收藏文物20000多件，其中近一万件为红色文物．该博物馆将一块四边形场地布置成展区，反映怀仁传统民俗、民间技艺，现测得，且．求四边形展区的面积． 23. 如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 24. 如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 25. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 26. 如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点． （1）求证：≌； （2）若，，求的长． 27. 在正方形中，点是对角线上一点，连接，． （1）如图1，求证； （2）如图2，延长交于点，交的延长线于点，取的中点，连接． ①求证：； ②若，正方形的边长为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期中检测卷 八年级数学 （总分：120分， 时间：120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 2. 下列各组数据中的三个数，是勾股数的是（　　） A. 4，5，6 B. ，， C. 1，1， D. 8，15，17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．要判断是否为勾股数，首先判断是否为整数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，据此逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项不是勾股数，不符合题意； B、，，不是整数，故此选项不是勾股数，不符合题意； C、1，1，不都是整数，故此选项不是勾股数，不符合题意； D、，故此选项是勾股数，符合题意； 故选：D． 3. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式“1、被开方数的因数是整数，字母因式是整式；2、被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟记最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，则此项符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 4. 化简二次根式结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键． 先判断a的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断B选项式子；根据小正方形面积得到小正方形的边长可判断A选项式子；根据大正方形的面积与小正方形的面积的差可判断D选项式子；根据完全平方公式特点即可判断C选项式子． 【详解】解：大正方形的面积是36， x、y表示直角三角形的两条直角边， ，B选项式子正确，不符合题意； 小正方形的面积是4， ，A选项式子正确，不符合题意； 大正方形的面积是36，小正方形的面积是4， 四个全等的直角三角形的面积和为， ， ，D选项式子正确，不符合题意； ， ，C选项式子错误，符合题意； 故选：C． 6. 如图，已知，数轴上点所表示的数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理应用，在直角三角形中根据勾股定理求得的值，即的值，进而求出数轴上点表示的数，熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号是解题的关键． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴点所表示的数为， 故选：． 7. 如图，在中，与相交于点O，延长至点E，使，连接．若，，，则四边形的周长为（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由平行四边形的性质得，，结合勾股定理可得的长，再根据平行四边形的性质和判定，可得四边形为平行四边形，进而可得四边形的周长． 【详解】解：在中，，， ∴，． ∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴四边形的周长为． 故选：B． 8. 如图，圆柱形容器高为，在其外壁距离下底面的处有一只蚂蚁，它想吃到正对面外壁距离上底面的B处的一滴蜂蜜，其中圆柱的底面周长为，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过点的一条母线剪开，得到长方形连接, 则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离， 故. 故选：B. 9. 如图，中，点O是对角线、的交点，过点O的直线分别交、于点M、N，若的面积为3，的面积为5，则的面积是（ ） A. 16 B. 24 C. 32 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据，计算出的面积，再根据的面积是的面积的4 倍计算出最后的答案． 【详解】 过点O做EF垂直于BC，交BC于点F，交AD于点E ∵在中，AO=OC， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的相关知识． 10. 如图，正方形中，E为对角线上一点，过点E作于点F，于点G，连接，，下列结论：①；②；③；其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】连接，交于点O，证明，得出，证明四边形为矩形，得出，即可判断①；根据矩形性质得出，证明为等腰直角三角形，得出，即可判断②；证明，得出，根据矩形性质证明，得出，即可判断③正确． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，，故①正确； ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，故②正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，故③正确； 综上分析可知，正确的有3个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质和矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，证明，． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数的值可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（答案为不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围，写出一个符合题意的即可． 【详解】解：有意义， 解得， 即的值可以是5（答案为不唯一）． 故答案为：（答案为不唯一）． 12. 已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键． 13. 在四边形中，，再从下列四个条件中：①；②；③；④任选一个，能使四边形为平行四边形的条件的序号是________． 【答案】①或③ 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义以及判定定理是解题的关键．用平行四边形的定义及判定答题即可． 【详解】解：添加①，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定为平行四边形； 添加②，不能判定为平行四边形； 添加③，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定为平行四边形； 添加④，不能判定为平行四边形； 故答案为：①或③． 14. 已知，菱形的面积为40，一条对角线长为10，则另一条对角线长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可得解． 【详解】解：∵菱形的面积为40，一条对角线长为10， ∴另一条对角线的长为， 故答案为：． 15. 如图，是台阶的模型图，已知每个台阶的宽度都是，每个台阶的高度都是，连接，则等于______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据图形求得，，然后再利用勾股定理求得斜边AB的长即可． 【详解】解：如图，由题意得：，， 所以． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键． 16. 已知，，，，则_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内两点之间的距离公式， 分别根据勾股定理求出，再求出结果即可． 【详解】解：根据题意，可得，， ∴． 故答案为：3． 17. 如图，中，，垂足为D，E为边的中点，，，，则_______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再利用勾股定理的逆定理得出，从而由三角形的面积求得，从而可证明是等边三角形，得，即可由求解． 【详解】解：∵，E为边的中点，， ∴，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，证明是直角三角形是解题的关键． 18. 如图，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，若平分的周长，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理，延长至点，使得，连接，证明为等边三角形，得出，证明得出为的中位线，由三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∵平分的周长， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）； （3） 【答案】（1）1 （2）8 （3）3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，立方根，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则，是解决问题的关键． （1）根据二次根式的除法和乘法法则运算即可； （2）先根据二次根式乘法法则，二次根式的性质和立方根的性质运算，然后合并即可； （3）先根据二次根式乘法法则，二次根式的性质和零指数幂和负整数指数幂性质运算，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 【小问3详解】 解： ． 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求分式的值，解题的关键是利用完全平方公式的变形求值． （1）可先根据题意求出，，再利用完全平方公式的变形求解即可； （2）将所求式子化为，再利用完全平方公式的变形求解即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ； 【小问2详解】 由（1）知，，， 21. 如图，每个小正方形的边长都为1． （1）求四边形的面积； （2）求四边形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，网格里求不规则图形的面积，熟练掌握利用分割法或补形法求不规则图形是解题关键． （1）利用补形法即可求解四边形的面积； （2）利用勾股定理求出、、、的值，即可求解． 【小问1详解】 解：四边形的面积． 【小问2详解】 解：根据勾股定理，得：，， ，， 四边形的周长． 22. 怀仁民俗博物馆是一座集历史、人文、民俗、民风、书画艺术为一体的综合性博物馆．馆内收藏文物20000多件，其中近一万件为红色文物．该博物馆将一块四边形场地布置成展区，反映怀仁传统民俗、民间技艺，现测得，且．求四边形展区的面积． 【答案】四边形展区的面积为． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键． 【详解】解：连接， 因为，所以是直角三角形． 所以 因为，所以是直角三角形，． 所以． 答：四边形展区的面积为 23. 如图所示，有两根直杆隔河相对，一杆高30m，另一杆高，两杆相距．现两杆上各有一只鱼鹰，他们同时看到两杆之间的河面上E处浮起一条小鱼，于是以同样的速度同时飞下来夺鱼，结果两只鱼鹰同时叼住小鱼．则两杆底部距小鱼E处的距离各是多少？ 【答案】和 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．由题意可得：，，那么，代入数据，解方程即可． 【详解】解：由题意可得：，， 则， 故， 解得：， 则（m）， 答：两杆底部距小鱼E处的距离分别是和． 24. 如图，在平行四边形中，E、F分别是、边上的点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明，证明，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质证明，得到，根据勾股定理求出，，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：平行四边形， ， ， ， ， ， 即， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形， ， 平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 25. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ． 平分， ， ∴， ． ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，菱形的判定，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟记判定方法是解本题的关键； （1）先证明，可得，再证明四边形是平行四边形，即可得到结论； （2）先证明，可得．证明，可得，可得，再进一步可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，且， ． ，， ， ． ， ， ∴， ， ， ． ． 26. 如图，将长方形沿对角线翻折，点落在点处，交于点． （1）求证：≌； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由翻折性质知：， ∵四边形为矩形， ∴， ∴. ∵在和， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，再由折叠的性质推出，则，由此即可证明结论； （2）由可以得到由折叠得，，设，在中，由勾股定理得计算进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴，， 设， 则, 在中， 即， 解得， ∴. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知矩形与折叠的性质是解题的关键． 27. 在正方形中，点是对角线上一点，连接，． （1）如图1，求证； （2）如图2，延长交于点，交的延长线于点，取的中点，连接． ①求证：； ②若，正方形的边长为，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）①证明：∵四边形是正方形， ， ， 是的中点， ， ， 又， ， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）根据证明即可得出； （2）①由平行线的性质得，证明得，从而可得，可证； ②证明，进而可求出，过点作于点，设，在中，求出，在中，求出，，根据求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作于点， ， 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 则， 解得， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线，等边对等角，以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质、勾股定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $