第十八章 等腰三角形（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材沪教版五四制七年级下册

**基本信息** 沪教版五四制八年级上等腰三角形单元培优卷，27题含选择（6题12分）、填空（12题36分）、解答（9题52分），立足几何直观与推理能力，适配单元复习巩固与综合应用提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|角平分线（第1题）、三线合一（第2题）、折叠性质（第4题）|结合生活情境（三角测平架），考查基础概念应用| |填空题|12/36|等边三角形性质（第9题）、网格等腰直角三角形（第10题）、动态等腰三角形分类（第13题）|融入民宿设计等真实场景，设置开放探究性问题| |解答题|9/52|全等证明（第19题）、尺规作图（第22题）、旋转综合（第27题）|注重逻辑推理与创新意识，整合多地期末真题素材|

第十八章 等腰三角形·培优卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级上·河南许昌·期末） 如图，在中，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，等边对等角，由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（   ） A．等角对等边 B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一” D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质即可求解，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，为的中点， ∴， 故这种做法依据的数学原理是等腰三角形的三线合一， 故选：． 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 【答案】B 【分析】本题考查基本尺规作图作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，得到是线段的垂直平分线是解答的关键． 先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线， ， ∵，， 的周长为， 故选：B． 4．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使得点C落在点E处，交于点F，若，则的面积是（    ） A．30 B． C．78 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，折叠的性质，证明是解题的关键． 由折叠的性质可得，再由长方形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，     ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：C 5．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，点是边上的动点，过点作交于点．将沿所在的直线向下翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了折叠变换的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握翻折变换和等边三角形的判定与性质是解题的关键． 利用平行线的性质得出，再利用翻折变换的性质得出，进而得出，即可得出结论． 【详解】解：，， ， 沿折叠，点对应点为点， ， ， ， 是等边三角形， ， 故选：A． 6．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在等腰中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与分别交于点E、F时，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确掌握相关知识是解题的关键． 连接，根据“”证明，得，，，再逐一判断即可求解． 【详解】解：如图，连接， 等腰中，，点O是边的中点， ，，， ， 旋转至， 旋转角， 在和中， ， ， ，，， ， ，故选项A正确； ， ，故选项B正确； 点O是边的中点， ；故选项D正确； ，， ， 不一定等于，故选项C正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知一个等腰三角形的顶角为，则该三角形的底角的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，通过内角和减去顶角度数后除以2即可求解底角度数． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，等腰三角形的两底角相等，三角形内角和为， ∴底角的度数为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 已知等腰中，是边的中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，平分顶角，因此只需将的度数除以即可得到的度数． 【详解】解：∵在等腰中，，是边的中点， ∴平分（等腰三角形三线合一）， ∵， ∴ ， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，随机选取另一个格点C （不与A，B重合） ， 得到的为等腰直角三角形的点C的个数为__________． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形．分类讨论思想是数学解题中很重要的解题思想． 分情况讨论：当是腰长时，当是底边时，根据等腰直角三角形的定义，结合图形找出符合条件的点C即可． 【详解】解：如图，分情况讨论： ①为等腰的底边时，符合条件的C点有2个； ②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个． 共有6个． 故答案为：6． 11．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形性质，三角形外角性质，利用等边三角形性质得到，结合题意进而得到，再根据三角形外角性质得到，即可解题． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，有一根长米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是______米． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质． 求出，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：由图可知，， ∵， ∴是等边三角形， ∴ 米． 故答案为：． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是_______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解决本题的关键在于根据等腰三角形的性质和已知条件求出的度数． 需分类讨论，当腰长的情况，结合等边对等角以及三角形内角和为求解角度即可． 【详解】解：， ，， ①当时，， ，此时不符合； ②当时，即， ， ； ③当时，， ， ； 综上所述，当是等腰三角形时， 的度数是或． 故答案为：或． 14．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，平分，若，则______． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质进行推理计算．先证明是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 【答案】1 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质．由平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，推出，进而得到，即可求解． 【详解】解： ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：1． 16．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 首先求出，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴． 故答案为：4． 17．（25-26八年级上·云南昆明·期末）数学活动课上，同学们将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，点E，F表示的刻度分别为2，6，则线段的长为______．    【答案】4 【分析】本题考查平行线的性质，三角形内角和，等边三角形的判定和性质，两点间的距离；由得，由三角形内角和得，证得是等边三角形，再根据两点间的距离即可解答． 【详解】解：由图可知， ∴， ∵直角三角板中， ∴， ∴是等边三角形， ∵点E，F表示的刻度分别为2，6， ∴， ∴， 故答案为4． 18．如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共9小题，满分52分） 19．（4分）（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，已知，，，垂足分别为．与交于点，连接．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，先证明，得到即可证明是等腰三角形． 【详解】证明：如图， ，， ， ，， ， ， 是等腰三角形． 20．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP． 【答案】见解析 【分析】由等边三角形的性质可得出∠CAP=∠CBQ=60°，求出∠BCP=30°，由三角形内角和定理得出∠BHC=90°，则可得出结论． 【详解】证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 21．（4分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点在边上，与交于点，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形外角的性质． （1）由得到，证明，即可得解； （2）利用全等三角形的性质，得到，利用等边对等角，求出，再利用三角形外角的性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在与中， ， ∴． ∴； （2）解：由（1）知，，则． ∵， ∴． ∴ ∴． 22．（4分）（25-26九年级上·广东清远·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质，属于基础题． （1）根据尺规作线段垂直平分线的方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质以及等边对等角可得，然后利用三角形外角的性质求出，进而利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线垂直平分，交于点， （2）解：由（1）得垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（6分）（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，是等边三角形，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质和全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，再利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得的度数，再由等边三角形的性质可得的度数，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 24．（6分）（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；对顶角相等；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， （在三角形中，大边对大角） （对顶角相等） （在三角形中，大角对大边） 25．（8分）（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点E，F分别在，上，，与相交于点P． (1)求证：； (2)请直接写出图中其他相等的线段． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定， 对于（1），先根据“等边对等角”得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据角的和差得，最后根据“等角对等边”得出答案； 对于（2），根据全等三角形的对应边相等得，再根据线段的和差说明另外两组即可． 【详解】（1）证明；∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （2）解：，，． ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴． 26．（8分）图①、图②是的正方形网格，、两点均在格点上.在图①、图②中各画一个顶点在格点、以为一边的等腰三角形，且所画两个三角形不全等. 图①图② 【答案】见解析 【分析】分两种情况，以AB为腰，或以AB为底边，分别以点B、点A为等腰三角形顶角顶点作三角形即可． 【详解】如图，△ABC即为所求作三角形， 说明：由于后两个图中三角形全等，故不能同时画最后两个图. 【点睛】本题考查作图-应用设计作图，, 全等三角形的判定, 等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 27．（8分）（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在和中，，，，连接、交于点F． (1)求证： (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． （1）先求出，再根据定理即可得证； （2）先证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴ ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 等腰三角形·培优卷 【新教材沪教版五四制】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共27题，单选6题，填空12题，解答9题，满分100分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分） 1．（25-26八年级上·河南许昌·期末） 如图，在中，，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在三角测平架中，，在的中点处挂一重锤，让它自然下垂．如果调整架身，使重锤线正好经过点，那么就能确认处于水平位置．这种做法依据的数学原理是（   ） A．等角对等边 B．垂线段最短 C．等腰三角形“三线合一” D．三角形两边之和大于第三边 3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．20 B．15 C．10 D．25 4．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使得点C落在点E处，交于点F，若，则的面积是（    ） A．30 B． C．78 D． 5．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，点是边上的动点，过点作交于点．将沿所在的直线向下翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（25-26八年级上·山东德州·期末）如图，在等腰中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与分别交于点E、F时，下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 7．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知一个等腰三角形的顶角为，则该三角形的底角的度数为________． 8．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）浏水月夜民宿用等腰形状设计窗台，为保证窗台两侧受力均匀，需使，并用连接和加固支架．已知是边的中点，且，则________． 9．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图， 在等边三角形中，，则的度数是_______． 10．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，随机选取另一个格点C （不与A，B重合） ， 得到的为等腰直角三角形的点C的个数为__________． 11．（24-25八年级下·山东枣庄·月考）如图，在等边中，是上一点，于点，若，则的度数为___________． 12．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，有一根长米的晾衣杆斜靠在阳台一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为．如果晾衣杆底端不动，顶端靠在阳台另一侧的墙上，此时晾衣杆的倾斜角为，那么的长是______米． 13．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，点在线段上运动（不与重合），连接，作，交线段于，在点的运动过程中，的形状也在改变，当是等腰三角形时，的度数是_______． 14．（25-26八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，平分，若，则______． 15．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，，的平分线交于点E，若，，则的长为______． 16．（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，点，过这两个点作直线，交于点，连接．若，，则的长为_____． 17．（25-26八年级上·云南昆明·期末）数学活动课上，同学们将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，点E，F表示的刻度分别为2，6，则线段的长为______．    18．如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共9小题，满分52分） 19．（4分）（25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，已知，，，垂足分别为．与交于点，连接．求证：是等腰三角形． 20．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP． 21．（4分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，点在边上，与交于点，且，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 22．（4分）（25-26九年级上·广东清远·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求的度数． 23．（6分）（25-26八年级上·北京密云·期末）已知，是等边三角形，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 24．（6分）（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知：与相交于点，求证：．把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （___________）， _____________________， ， ______________________， （___________） 25．（8分）（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，点E，F分别在，上，，与相交于点P． (1)求证：； (2)请直接写出图中其他相等的线段． 26．（8分）图①、图②是的正方形网格，、两点均在格点上.在图①、图②中各画一个顶点在格点、以为一边的等腰三角形，且所画两个三角形不全等. 图①图② 27．（8分）（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在和中，，，，连接、交于点F． (1)求证： (2)若，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $