第4章 平面内的两条直线（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材湘教版七年级下册

第四章 平面内的两条直线 （高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图所示，点M 到直线l的距离是（  ） A．线段的长度 B．线段 的长度 C．线段 的长度 D．线段的长度 2．如图，，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从光源发出的光线经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴平行的方向射出．如果，则（   ） A． B． C． D． 4．如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，将沿方向平移2个单位长度得到，若四边形的周长为14，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 6．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 7．如图，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．如图，直线，被直线所截，交点分别为E，F，点G在上，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．将一块含有角的直角三角尺按如图所示方式放置．其中，含角的顶点落在直线a上，含角的顶点落在直线b上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，直线与、相交，，，要使直线与平行，直线绕点逆时针旋转的度数至少是 _______． 12．如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 13．一条两边互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知，且，则_____． 14．如图，直线、相交于O，于O，，平分．则的度数为___． 15．如图，，点在上，，平分，且平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_______．（填序号） 16．已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图方式放置，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______ 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，，是的平分线，和的度数满足方程． (1)求和的度数； (2)求证：； (3)求的度数． 18．已知：如图，，， (1)吗？如果相等，请说明理由； (2)与的角平分线的位置关系是 ． 19．完成下面推理过程，填写下列空格． 已知：如图，，，∠1=∠2．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴，（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（①　　　　）， ∴②　　　　（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴， ∴， ∴（③　　　　）， 20．如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 21．如图，直线，相交于点，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)试说明． 22．按要求完成问题 (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由 (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______________（直接写出答案）． 23．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺（，，）的不同方式摆放”为主题，开展数学探究活动． (1)【操作发现】如图1，三角尺的角的顶点G在上，，则度数为______°； (2)【探索证明】如图2，小智把三角尺的两个锐角顶点E，G分别放在和上，，试说明：； (3)【结论应用】如图3，小蕙把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E在上．若，，请直接写出与的数量关系：______（用含，的式子表示）． 24．根据条件，解答下列各题 (1)如图1，，顶点在直线上，边、分别与直线交于点、，且．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下分别作与的平分线、交于点，求的度数； (3)如图3，在（1）的条件下作的角平分线，过点作一条射线，交直线于点，当时，请直接写出与的关系式． 25．如图，已知，点，分别在直线，上，平分交于点，平分交于点． (1)如图，求的度数； (2)如图，已知点为直线上一点．若点位于点的左侧，且满足． 线段，有何位置关系？请说明理由； 如图，若，过作平分交于点，过作平分交于点．线段绕点以的速度顺时针旋转；线段绕点以的速度逆时针旋转，点的对应点为；线段绕点以的速度顺时针旋转，点的对应点为，当与射线重合时，立刻改变旋转方向，当与射线重合时，再次改变方向，速度始终保持不变，如此循环往复．已知三条线段同时开始旋转，且当线段回到原位置时，三条线段同时停止转动．设运动时间为，请问是否存在时间，使得且？若存在，请直接写出所有满足要求的的取值并给出其中一个值的求解过程；若不存在，请说明理由． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 平面内的两条直线 （高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图所示，点M 到直线l的距离是（  ） A．线段的长度 B．线段 的长度 C．线段 的长度 D．线段的长度 【答案】B 【分析】点到直线的距离为该点到该直线的垂线段的长度，据此可得答案． 【详解】解：∵与直线l垂直， ∴点M 到直线l的距离是线段 的长度． 2．如图，，，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平行线的性质可得，再根据垂直定义可得，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】， ， ， ， ， 3．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从光源发出的光线经抛物线反射后沿着与抛物线对称轴平行的方向射出．如果，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，， ∴． 4．如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； B、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； C、观察图形可知，该图形能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； D、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意． 5．如图，将沿方向平移2个单位长度得到，若四边形的周长为14，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据平移的性质得到，，结合四边形的周长解题即可． 【详解】解：由题意知，，， 又∵四边形的周长为14， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 6．如图是人民公园里一处牡丹花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（    ） A．84米 B．80米 C．62米 D．82米 【答案】D 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知， 从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）． 7．如图，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：对于A，，则（内错角相等，两直线平行）， 不能推出，故A错误； 对于B，，则（同位角相等，两直线平行）， 不能推出，故B错误； 对于C，，则（两直线平行，同旁内角互补）， 不能推出，故C错误； 对于D，，则（两直线平行，内错角相等），故D正确． 8．如图，直线，被直线所截，交点分别为E，F，点G在上，连接．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质求得，利用对顶角相等求得，据此计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9．将一块含有角的直角三角尺按如图所示方式放置．其中，含角的顶点落在直线a上，含角的顶点落在直线b上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质以及角的和差进行求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 10．如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，直线与、相交，，，要使直线与平行，直线绕点逆时针旋转的度数至少是 _______． 【答案】 【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后的同位角的度数，进而即可求解． 【详解】解：如图 ∵时，直线与平行， ∴要使直线与平行，直线绕点逆时针旋转的度数至少是． 12．如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽均为，则绿化的面积为 ____． 【答案】540 【分析】根据平移的性质将绿化部分转化为长为，宽为的长方形面积即可． 【详解】解：由平移可得到图，其中绿化部分的长为，宽为， 所以面积为． 13．一条两边互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知，且，则_____． 【答案】/200度 【分析】将围巾展开，根据折叠的性质得：则，，设，根据平行线的性质得，由平角的定义列式，可得x的值，从而得结论． 【详解】解：如图乙，将围巾展开，则，， 设，则， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．如图，直线、相交于O，于O，，平分．则的度数为___． 【答案】 【分析】根据垂线定义得出，根据角平分线定义得出，根据余角性质得出，设，则，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 15．如图，，点在上，，平分，且平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是_______．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】①根据角平分线的定义得出，，再根据，即可得出，于是推出；②由角平分线的定义结合已知推出，再根据内错角相等，两直线平行即可得出；③由两直线平行，内错角相等得出，结合角平分线的定义得出，结合①的结论即可得出；④先证，再根据平行线的性质即可得证． 【详解】解：平分， ， 平分， ， ， ， ， 即，故①正确； 平分， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ， ， ， 由①知， ，故③正确； 平分， ， ， ， ， ， ，故④正确； 其中正确的有：①②③④． 16．已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图方式放置，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______ 【答案】/48度 【分析】根据直角三角板得到，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵是直角三角板， ， ， ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，，是的平分线，和的度数满足方程． (1)求和的度数； (2)求证：； (3)求的度数． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组即可； （2）证明，根据即可证明； （3）根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：，得， ， 代入①得； （2）证明：∵，， ∴ ， ， ； （3）解：是的平分线， ， ∵， ， ． 18．已知：如图，，， (1)吗？如果相等，请说明理由； (2)与的角平分线的位置关系是 ． 【答案】(1)A=E．理由见解析 (2)平行或在同一条直线上 【分析】（1）由平行线的判定和性质，结合，可得，由平行线的性质，可得，即可求解； （2）作的角平分线，交延长线于点，作的角平分线，交于点，由角平分线的定义，结合平行线的判定，即可求解． 【详解】（1）解：，理由： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：作的角平分线，交延长线于点，作的角平分线，交于点， ∴，， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， 当时，点和点重合，点和点重合， 此时，和在同一条直线上， ∴与的角平分线的位置关系是平行或在同一条直线上． 19．完成下面推理过程，填写下列空格． 已知：如图，，，∠1=∠2．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴，（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（①　　　　）， ∴②　　　　（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴， ∴， ∴（③　　　　）， 【答案】①同位角相等，两直线平行；②；③两直线平行，同位角相等 【分析】根据平行线的判定和平行线的性质即可求解． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴，（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵（已知）， ∴，∴， ∴（两直线平行，同位角相等）， 20．如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 【答案】(1)平行，见解析 (2)8 【分析】本题考查平行线的判定和性质，等积法求平行线间的距离： （1），得到，角平分线推出，进而得到，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，设，所在的直线之间的距离为，等积法求出的值即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 设，所在的直线之间的距离为， ， 即， ， 即，所在的直线之间的距离为． 21．如图，直线，相交于点，，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由． (2)试说明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据可知，因为，等量代换可证，所以可得； （2）根据平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可知，根据两直线平行，同位角相等，可得，等量代换可证． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ． 22．按要求完成问题 (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由 (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为______________（直接写出答案）． 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）解:（1）①， ， ， ， ， ； ②，理由如下： 如图所示，过点F作， ， ， ， ； （2）解：如图所示，，，的顶点分别为C，B，F， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴， 即． 23．在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺（，，）的不同方式摆放”为主题，开展数学探究活动． (1)【操作发现】如图1，三角尺的角的顶点G在上，，则度数为______°； (2)【探索证明】如图2，小智把三角尺的两个锐角顶点E，G分别放在和上，，试说明：； (3)【结论应用】如图3，小蕙把三角尺的直角顶点F放在上，角的顶点E在上．若，，请直接写出与的数量关系：______（用含，的式子表示）． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角的和差得到，即可求解； （2）过点作，则，因此； （3）根据角的和差得到，根据平行线的性质得到，由即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图，过点作， ， ， ，， ． （3）解：∵，， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴． 24．根据条件，解答下列各题 (1)如图1，，顶点在直线上，边、分别与直线交于点、，且．求证：； (2)如图2，在（1）的条件下分别作与的平分线、交于点，求的度数； (3)如图3，在（1）的条件下作的角平分线，过点作一条射线，交直线于点，当时，请直接写出与的关系式． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据已知得出，即可证明； （2）设，得出，根据是的角平分线，得出，根据平行线的性质以及角平分线的定义表示出，再根据三角形的外角的性质即可求解； （3）分类讨论，①当在的上方时，②当在的下方时，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，顶点在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵是的角平分线， ∴， ∵是的一个外角， ∴； （3）解：①当在的上方时，如图所示，过点作， 设， ∵平分， ∴，则， ∵， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当在的下方时，如图所示， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，或． 25．如图，已知，点，分别在直线，上，平分交于点，平分交于点． (1)如图，求的度数； (2)如图，已知点为直线上一点．若点位于点的左侧，且满足． 线段，有何位置关系？请说明理由； 如图，若，过作平分交于点，过作平分交于点．线段绕点以的速度顺时针旋转；线段绕点以的速度逆时针旋转，点的对应点为；线段绕点以的速度顺时针旋转，点的对应点为，当与射线重合时，立刻改变旋转方向，当与射线重合时，再次改变方向，速度始终保持不变，如此循环往复．已知三条线段同时开始旋转，且当线段回到原位置时，三条线段同时停止转动．设运动时间为，请问是否存在时间，使得且？若存在，请直接写出所有满足要求的的取值并给出其中一个值的求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析；存在， 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，结合角平分线的性质得到的度数，再根据三角形内角和定理求得的度数； （2）根据平行线的性质得到，，，结合已知的等量代换得到，最后根据平行线的判定定理即可得证；根据线段的旋转规律，分情况讨论： ，，，，，根据且列等量关系，解方程即可得解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）解：，理由如下： ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； ，， ， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 线段绕点以的速度顺时针旋转，线段绕点以的速度逆时针旋转，点的对应点为，线段绕点以的速度顺时针旋转，点的对应点为，设运动时间为， 当与射线重合时，立刻改变旋转方向，此时； 当与射线重合时，再次改变旋转方向，此时； 当线段回到原位置时，三条线段同时停止转动，此时； 当时，，，， ， ，， ，， 即，解得，故此情况不存在， 当时，，，， ，， ，， 即，解得，故此情况不存在， 当时，即，，，， ，， ，， 即，解得，故此情况不存在， 当时，即，，，， ，此情况不存在， 当时，即，，，， ，此情况不存在， 当时，，，， ，此情况不存在， 综上，存在，满足要求的的取值为． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $