精品解析：广东省中山市坦洲中学2025-2026学年九年级上学期数学期末模拟卷

2025-2026年广东省中山市坦洲中学初三上数学期末模拟卷 一、单选题（3分一题） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：．是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； ．是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不符合题意； ．既是中心对称图形，又是轴对称图形，该选项符合题意． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数，，为常数，，顶点坐标是，可得答案． 【详解】抛物线的顶点坐标是, 故选：D． 3. 将一元二次方程通过配方后所得的方程是（      ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】移项后，两边同时加上一次项系数一半的平方即可. 【详解】解：x2-2x-2=0 移项得，x2-2x=2 两边加1得，x2-2x+1=1+2 ∴（x-1）2=3， 故选C． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟悉掌握配方法的步骤是解决本题的关键． 4. 如图，是的直径，是的弦，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角，三角形内角和定理，掌握圆的相关性质是解题关键．由直径可得，由同弧所对的圆周角相等，得到，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：C． 5. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得到的新抛物线的解析式为：； 故选A． 6. 如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，根据三角形内角和求出，可知，即可求出． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故选：A． 8. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球标号之和等于5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况， ∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：. 故选C. 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比． 9. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 10. 如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则劣弧的长和图中阴影部分的面积分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠可知，根据勾股定理可知的长度，即可求弧长和面积． 【详解】解：连接，且直线与交于点，如图所示， ∵扇形中，， ∴， ∵点与圆心重合， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 则 , ∵ ，， ∴． 二、填空题 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是 故答案为： 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）． 12. 关于的一元二次方程有一个根是，则的值是___________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得：； 故答案为：2024 13. 如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的实际应用及勾股定理．利用垂径定理和勾股定理求出的长度，再用求出的长度． 【详解】解：如图，连接， 由垂径定理得，半径， 在中，由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 14. 如图，，，分别与相切于，，三点，且，，，则___ ． 【答案】 【解析】 【分析】先根据切线长定理得到平分， 平分 ，再证明，然后利用勾股定理计算出即可． 【详解】解：分别与相切于点 三点 平分， 平分 ， ， 在中， ， 故答案为： 【点睛】本题考查切线长定理，切线的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 15. 如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆的性质与角平分线的性质，掌握“直径所对圆周角为直角、三角形内角和及角平分线的定义”是解题的关键．由是外接圆直径得，故；又是内切圆，平分，则，因此． 【详解】是的直径， ， ， 是的内切圆， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 三、解答题 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，先利用因式分解法把原方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：， ， ∴或， ∴，． 17. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，求和的度数． 【答案】，． 【解析】 【分析】为切点，由切线的性质，可想到连接，通过等边对等角，和余角的计算，即可得求解，本题考查了切线的性质，圆的性质，以及圆相关角度的计算，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：连接， ，， ， 又是直径， ， ， ， ， ，是的切线， ，，即， ， ， 故，． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点顺时针旋转后的； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转作图，中心对称作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：所作如图所示： 【小问2详解】 解：所作如图所示： 19. 根据材料，解决下列问题： 信息一 美的风扇灯，风扇和灯一体的双功能家用电器，既可照明又可降温，物美价廉深受民众的喜爱． 信息二 该电器风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档风是转分，三档风为转分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同． 信息三 一家网上电器商店，进货这种商品，进购价为元件，售价元件，每天可以售件，当每降价元时，多售件． （1）求一档至三档转速的平均增长率． （2）要使该电器每天的利润达到元，应降价多少元？ 【答案】（1）一档至三档转速的平均增长率为； （2）使该电器每天的利润达到元，应降价元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设一档至三档转速的平均增长率为，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设应降价元，根据题意得，然后解方程即可． 【小问1详解】 解：设一档至三档转速的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去）， 答：一档至三档转速的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设应降价元， 根据题意得，， 整理得：， 解得：， 答：使该电器每天的利润达到元，应降价元． 20. 如图，是的直径，点C，D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点F． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线判定、角平分线性质、勾股定理及三角形面积法的应用，解题的关键是连接利用平行关系证切线，通过构造直角三角形、结合面积法与勾股定理计算的长． （1）连接，利用角平分线与等腰三角形的性质证，结合得，从而证切线； （2）由直径得，用勾股定理求，通过角平分线性质与面积法得，再用勾股定理求． 【小问1详解】 证明：连接， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ 是的半径， ∴ 与相切． 【小问2详解】 解：连接，过作于， ∵ 是的直径， ∴ ， 在中，， ∵ 平分，， ∴ ， 由， 得，即， 在中， 故答案为：． 21. 综合与实践：消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度y（单位：m）与离高楼的水平距离x（单位：m）之间具有二次函数关系．从地面离高楼水平距离的点A处，水枪喷出的水流在与高楼的水平距离为处达到最高，高度为，水流落到高楼的点B处． （1）求水流抛物线的解析式； （2）已知高楼的点C处，离地面的高度是．若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直升高的高度； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）先设出平移后的解析式，然后代入点坐标进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为，， ∴设抛物线的解析式为：， ∵抛物线经过点， ， 解得：， ∴水流抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设水枪竖直升高的高度为， ∴向上平移后抛物线的解析式为：， ∵过点， ， 解得：， 答：水枪竖直升高的高度为． 22. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）． 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由“”可证，可得，从而求得，即可得出结论； （3）连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，由（1）知，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，所以当时，最小，此时的周长最小，由等边三角形性质求得，由勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 解：， 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵将线段绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 【小问3详解】 解：连接，如图， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴ 由（1）知 ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，等边， ∴， 由勾股定理，得 ∴的周长最小值． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的最大面积为，此时点； （3）点的坐标为：或或或 【解析】 【分析】本题为二次函数的综合应用，面积问题，特殊三角形问题； （1）由待定系数法即可求解； （2）由的面积，即可求解； （3）当，，为斜边时，勾股定理建立方程解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为：， 则，则， 则抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式，当时，，则， 过点作轴交于点， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则的面积， 即的最大面积为，此时点； 【小问3详解】 解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点、、的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； ∴点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026年广东省中山市坦洲中学初三上数学期末模拟卷 一、单选题（3分一题） 1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将一元二次方程通过配方后所得的方程是（      ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，是的弦，，则为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把绕点顺时针旋转，得到，交边于点．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 8. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图．将扇形翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与交于点C，连接．若，则劣弧的长和图中阴影部分的面积分别是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 二、填空题 11. 点关于原点的对称点的坐标为________． 12. 关于的一元二次方程有一个根是，则的值是___________． 13. 如图（1），是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧．随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图（2）是月亮门的示意图，弦长，拱门的半径为，则该拱门的高为______． 14. 如图，，，分别与相切于，，三点，且，，，则___ ． 15. 如图，是的外接圆，是直径，是的内切圆，连接，则的度数为________． 三、解答题 16. 解方程：． 17. 如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，求和的度数． 18. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点坐标分别为． （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点顺时针旋转后的； 19. 根据材料，解决下列问题： 信息一 美的风扇灯，风扇和灯一体的双功能家用电器，既可照明又可降温，物美价廉深受民众的喜爱． 信息二 该电器风扇功能：风速分三级：一档，二档，三档，风速与风扇转速有关，其中一档风是转分，三档风为转分，后一档转速与前一档转速相比增长率均相同． 信息三 一家网上电器商店，进货这种商品，进购价为元件，售价元件，每天可以售件，当每降价元时，多售件． （1）求一档至三档转速的平均增长率． （2）要使该电器每天的利润达到元，应降价多少元？ 20. 如图，是的直径，点C，D在上，且平分，过点D作的垂线，与的延长线相交于点E，与的延长线相交于点F． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 21. 综合与实践：消防演练中，水枪喷出的水流是如图的一条抛物线，水流的高度y（单位：m）与离高楼的水平距离x（单位：m）之间具有二次函数关系．从地面离高楼水平距离的点A处，水枪喷出的水流在与高楼的水平距离为处达到最高，高度为，水流落到高楼的点B处． （1）求水流抛物线的解析式； （2）已知高楼的点C处，离地面的高度是．若在地面点A处竖直升高水枪的高度，使水枪喷出的水流恰好落到高楼的点C处，求水枪竖直升高的高度； 22. 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边的边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． （1）【猜想证明】试猜想与CE的数量关系，并加以证明； （2）【探究应用】如图2，点 D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，若B、D、E三点共线，求证：平分； （3）【拓展提升】如图3，若是边长为4的等边三角形，点D是线段上的动点（不与B、C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接．点D 在运动过程中， 的周长最小值_____（直接写出答案）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）当动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积． （3）如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，请求出所有Q点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $