精品解析：广东省中山市西区初级中学2025-2026学年上学期九年级数学期末练习卷

2025−2026学年广东省中山市西区中学初三上数学期末练习卷 一、选择题（共10小题） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：中心对称图形是图形绕某个点旋转能完全重合的图形，轴对称图形是图形沿某条直线翻折，直线两侧的图形能完全重合的图形， 选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形， 选项不合题意； 选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； 选项图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意； 选项图形是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意， 2. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何题的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可． 【详解】从物体左面看，左边2个正方形，右边1个正方形， 形状如图所示： 故选A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，明确左视图是从物体左面看所得到的图形是解题的关键，切记将三种视图混淆而错误的选其它选项． 3. 抛物线的对称轴是　　 A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴． 【详解】解：抛物线， 该抛物线的对称轴是直线， 故选：． 【点睛】本题考查二次函数的对称轴，根据二次函数解析式分特点，利用配方法把二次函数解析式化为顶点式是解题重点． 4. 若反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，得出答案． 【详解】解：，， ∴图象一定经过的点是， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征；掌握反比例函数图象上点的坐标特征，即纵横坐标的积等于k（定值）是解决问题的关键． 5. 如图，在中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，可得再建立方程即可． 【详解】解： ，， ， 解得：经检验符合题意 故选C 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例，证明“”是解本题的关键． 6. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行求解即可． 【详解】解：列表如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的情况有4种， ∴， 故选B． 7. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的开口方向和对称性是解题的关键． 根据二次函数可得函数图象开口向上且对称轴为直线，从而可知越靠近对称轴，函数值越小，即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数，， ∴二次函数图象开口向上且对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小， ∵，，是二次函数上的点， ∴． 故选：C． 8. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可． 【详解】解：， ， ∵四边形内接于， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 9. 一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而求得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面圆半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，则， 解得：， ∴圆锥侧面展开图的弧长为： ∴圆锥的底面圆半径是， ∴圆锥的高为 故选C． 10. 如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线，为切点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接根据勾股定理知可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案．本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，注意掌握辅助线的作法，注意得到当时，线段最短是关键． 【详解】解：连接如图： ∵是的切线， 根据勾股定理知 ∴当时， 线段最短， ∵在中， 故选：C． 二、填空题（共6小题） 11. 在平面直角坐标系中，点（3，4）关于原点对称的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】点（3，4）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，﹣4）． 故答案为（﹣3，﹣4）． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 12. 如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则，利用垂径定理得到，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设⊙O的半径为r，则， ∵， ∴， 由勾股定理，得：，即：， 解得， ∴圆拱形门所在圆的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 13. 如图，P是外一点，分别和相切于点A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于点D、E，若，则的周长为_________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，以及线段的加减运算．解题的关键在于利用切线长定理将三角形的周长转化为已知线段的和．利用切线长定理，将的周长转化为已知线段的和来求解． 【详解】解：分别和相切于点A、B，且， ， ∵过C作的切线分别交于点D、E， ， ， 的周长为24， 故答案为：24． 14. 如图，点点是的图象上关于原点对称的两点，且轴，轴，面积为，则的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标是，则；由函数的对称性可得；进而得出，；然后根据三角形的面积公式计算即可； 【详解】解：设点的坐标是； 由反比例函数的对称性得：； 则：， ∵点在的图象上 ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质；熟练掌握反比例函数图像与表达式之间的关系是解题的关键． 15. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得， 将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】作于，由勾股定理可得，由旋转的性质可得：，，，，，证明，得出，再由，进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：作于， 在中，，，， ， 由旋转的性质可得：，，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 16. 如图，直线交坐标轴于点，．点C在反比例函数的图像上，且，连接交反比例函数图像于点．若恰好为的中点．则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，根据直线解析式得出，，根据角的和差关系得出，即可证明，可得，设，可得，根据恰好为的中点得出，根据点、在反比例函数图像上，列方程求出，即可求出，进而求出值即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵直线交坐标轴于点，， ∴当时，，当时，， ∴，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 设，则，， ∴， ∵点恰好为的中点， ∴， ∵点、都在反比例函数的图象上， ∴， 解得：（舍），， ∴， ∴． 三、解答题（共7小题） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，再进行四则混合运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，绝对值和二次根式的运算法则是解题的关键． 18. 学校在课后托管时间里开展了“．音乐、．体育、．演讲、．绘画”，四项社团活动． （1）某同学随机选择一项社团活动恰好是“演讲”，该事件的概率为________； （2）甲、乙两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法．求他们参加同一项活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）先列表，得出总情况数和参加同一项活动的情况数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵学校在课后托管时间里开展了“．音乐、．体育、．演讲、．绘画”四项社团活动． ∴某同学随机选择一项社团活动恰好是“演讲”，该事件的概率为． 【小问2详解】 解：列表如下， 甲 乙 由表格可知，共有种等可能的情况，其中，甲、乙两位同学参加同一项活动的情况有种， ∴甲、乙两位同学参加同一项活动的概率为． 19. 如图，点O在的边上，以为半径作的平分线交于点D． （1）过点D作于点E(尺规作图， 不写作法， 保留作图痕迹)； （2）判断直线与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） 直线即为所求： （2） 解：直线与相切，理由如下： ， ， 平分， ， ∴， ， ， ，且点在上， 直线是的切线． 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，切线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． （1）根据要求，利用尺规作出图形即可． （2）证明直线是的切线，即证明可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2是其平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高．上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ，， ， ． ， 在中，， 答：下折臂的长约为； 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ，， ， 由题意可得四边形是矩形， ，， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 21. 如图，在中，为的直径，C为上一点，为的平分线交于点D，连接交于点E，过点A作的切线交延长线于点F，过点D作，交于点G． （1）求证：； （2）连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论； （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵在中，为的直径，点D是圆上一点， ∴， ∴， 又∵为的平分线， ∴， ∴， ∴； （2） 解：四边形为菱形， 证明：∵，为的平分线， ∴， 又∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形； （3）4 【解析】 【分析】（1）因为为的平分线，所以；又因为，所以，进而可得，根据内错角相等两直线平行，可证． （2）根据，得为的平分线，得，根据直径证明，可得，得，得四边形为平行四边形，由，得平行四边形为菱形； （3）设的半径长为r，根据切线性质得，可得，，证明，得，由勾股定理得，得，解得，即得的长为4． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设的半径长为r， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， （舍）或， ∴． 答：的长为4． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图像上，为等边三角形，延长与反比例函数的图像在第三象限交于点，连接并延长与反比例函数的图像在第一象限交于点． （1）求反比例函数的表达式以及点的坐标； （2）连接，求的面积； （3）在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）作轴于点，根据等边三角形的性质可得，，再根据勾股定理求出，得出，即可求出反比例函数的解析式，根据中心对称的特征可得点，进而求出直线的解析式为，和反比例函数联立，即可求解； （2）连接，并延长交轴于点，求出直线的解析式为，得到，最后根据，即可求解； （3）根据为等边三角形，点与点关于原点对称，可推出，由以，，为顶点的三角形与相似，可分两种情况：当轴时，当时，结合图形求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，作轴于点， 是等边三角形，， ，， 在中，由勾股定理得， ， 将点代入得：， 解得， 反比例函数的表达式为； 延长与反比例函数的图像在第三象限交于点， 点与点关于原点对称， 点， ， 点， 设直线的解析式为，将点，点代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， 点； 【小问2详解】 解：如图2，连接，并延长交轴于点， 设所在直线的解析式为，将点，点代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ； 【小问3详解】 解：存在， 为等边三角形，点与点关于原点对称， ，， ， ， 当轴时，如图3， ，， ， ， 点； 当时，如图4， ，， ， 点，点， ， ， ， 点； 综上所述，点的坐标为或． 23. 将两块全等的三角板如图①摆放，其中，． （1）将图①中的顺时针旋转后得到图②，点是与的交点，点是与的交点．若，请判断的形状，并说明理由； （2）将图①中的顺时针旋转45°得图③，点是与的交点，点是与的交点，求证：； （3）在（2）的条件下，如图④，在上取一点，连接、，设，当时，求的面积． 【答案】 （1）证明：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形． （2）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等，进行角之间的等量转换，结合直角三角形两锐角互余以及两直线平行内错角相等，即可推出三角形是等边三角形． （2）证明，就可以证明对应线段相等，即． （3）过点P作于点，根据,，求得长度，在中，求得AB的长度，从而知道BP长度，证明，求得BM的长度，然后根据三角形面积计算公式代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）如下图：过点作于点 设，则，，， ∵， ∴，解得：， ∴， 又∵, ∴,， ∴， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查了解直角三角形的计算、等边三角形的证明、全等三角形的证明、相似三角形的判定和性质等相关知识点，根据题意数形结合是解题的关键所在． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年广东省中山市西区中学初三上数学期末练习卷 一、选择题（共10小题） 1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，该几何题的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的对称轴是　　 A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 4. 若反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，的半径为1，点是边上的动点，过点作的一条切线，为切点，则线段长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 11. 在平面直角坐标系中，点（3，4）关于原点对称的点的坐标是_____． 12. 如图是某风景区的一个圆拱形门，路面宽为，净高，则圆形拱门所在圆的半径为_____． 13. 如图，P是外一点，分别和相切于点A、B，C是弧上任意一点，过C作的切线分别交、于点D、E，若，则的周长为_________． 14. 如图，点点是的图象上关于原点对称的两点，且轴，轴，面积为，则的值为 __． 15. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得， 将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以为圆心，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分的面积是_____． 16. 如图，直线交坐标轴于点，．点C在反比例函数的图像上，且，连接交反比例函数图像于点．若恰好为的中点．则的值为_____． 三、解答题（共7小题） 17. 计算：． 18. 学校在课后托管时间里开展了“．音乐、．体育、．演讲、．绘画”，四项社团活动． （1）某同学随机选择一项社团活动恰好是“演讲”，该事件的概率为________； （2）甲、乙两位同学参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法．求他们参加同一项活动的概率． 19. 如图，点O在的边上，以为半径作的平分线交于点D． （1）过点D作于点E(尺规作图， 不写作法， 保留作图痕迹)； （2）判断直线与的位置关系，并说明理由． 20. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，可抽象为如图2是其平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高．上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点到地面距离是．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． 21. 如图，在中，为的直径，C为上一点，为的平分线交于点D，连接交于点E，过点A作的切线交延长线于点F，过点D作，交于点G． （1）求证：； （2）连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论； （3）若，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图像上，为等边三角形，延长与反比例函数的图像在第三象限交于点，连接并延长与反比例函数的图像在第一象限交于点． （1）求反比例函数的表达式以及点的坐标； （2）连接，求的面积； （3）在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 23. 将两块全等的三角板如图①摆放，其中，． （1）将图①中的顺时针旋转后得到图②，点是与的交点，点是与的交点．若，请判断的形状，并说明理由； （2）将图①中的顺时针旋转45°得图③，点是与的交点，点是与的交点，求证：； （3）在（2）的条件下，如图④，在上取一点，连接、，设，当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $