专题06 复数运算与最值（压轴题专项训练）高一数学北师大版必修第二册

专题06复数运算与最值 目录 专题06复数运算与最值 1 2 类型一、复数设参计算 2 类型二、解复数方程 3 类型三、复数模的计算 4 类型四、复数点的轨迹 6 类型五、复数几何意义求范围最值 8 类型六、定义型应用：共轭复数与模的转换 10 类型七、复数最值：三角换元型 11 类型八、新定义应用：欧拉公式 13 类型九、新定义应用：欧拉公式范围最值 15 类型十、复数综合证明型大题 16 21 结束 27 类型一、复数设参计算 高考对复数的考察全部可以依托把复数设成实部加虚部的代数形式来展开，这也是解题最通用的核心思路。首先在基础概念层面，考题会区分复数的实部和虚部，实部就是不含虚数单位的实数部分，虚部是虚数单位前面的系数，特别需要注意虚部只看系数本身，不包含虚数单位。高考常考判断一个复数是不是实数、是不是纯虚数，判定规则十分固定，只要虚部对应的系数为零，这个复数就退化为普通实数；如果实部数值为零，同时虚部系数不等于零，那么这个复数就是纯虚数，这是选择题和填空题高频的考点设置方式。 例1．（湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题）若复数满足，则（    ） A．5 B． C． D． 变式1-1． （24-25高二下·上海静安·月考）若复数z 满足且，则（    ） A． B． C． D． 变式1-2． （25-26高一下·天津南开·阶段检测）若复数，满足，，其中为虚数单位，则（    ） A． B．2 C．3 D． 变式1-3． （2026·山东德州·二模）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 类型二、解复数方程 解复数方程的核心思路：把复数拆成实部 + 虚部，利用 “实数 = 实数、虚数 = 虚数” 列方程，或用复数模、共轭、几何意义转化， 若方程有 “实数根” ： 1若.题目说方程有实数根，直接设这个根是普通实数。不妨设z=a+bi形式。 2.把实数根代入方程，同样分离实部、虚部。 3.虚数单位 i 的系数必须等于 0，实部等于右边实数，联立求解。 4含实数根的复数方程，虚部必为 0，只用解实部等式即可。 例2.（2023·江苏常州·一模）设为复数，为虚数单位，关于的方程有实数根，则复数的模的范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-1． （23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数是关于x的方程的一个根，若复数z满足，复数z在复平面内对应的点Z的集合为图形M，则M围成的面积为（    ） A． B． C． D． 变式2-2． （2024·湖北荆州·模拟预测）复数是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 变式2-3． （25-26高一下·四川达州·期中）已知复数是关于的方程的一个复数根，则（    ） A． B． C．4 D．8 类型三、复数模的计算 一个复数的模只和它的实部、虚部两个实数有关，计算方式是把实部数值平方、虚部数值平方之后相加，再整体做开方处理，永远得到一个非负的实数，不会带有虚数部分的。 1. 基础型则直接求模，只要给出普通复数，不用复杂运算，直接提取实部和虚部，按平方求和再开方的思路就能算出模。 2. 共轭复数型，原复数和它的共轭复数模的大小完全相等，不会发生改变，这是常用的基础性质，做题时可以直接借用，不用重新计算。 3. 复数做四则运算后再求模，尽可能利用固定规律来简化计算，不一定先把复数完整化简再求模。以下是几个求模的乘除计算规律： （1） 两个复数相乘之后的模，等于两个复数各自模相乘的结果； （2） 两个复数相除之后的模，等于分子的模除以分母的模，只要分母模不为零就成立。 （3） 复数做加减法时没有这种简单拆分规律，不能分开求模再加减，只能先做加减运算合并成一个复数，再按基础方法求模。 4. 复数高次幂的模，一个复数多少次方后的模，就等于这个复数本身的模做对应次方运算，不用展开高次复数，直接先求基础模再乘方即可，大大简化计算步骤 例3．（25-26高一下·四川成都·期中）复数满足，且 ，则（    ） A． B． C． D． 变式3-1．2026·广东深圳·二模）设，互为共轭复数，如果，且为实数，那么（    ） A． B．2 C．3 D． 变式3-2． (多选）（25-26高一下·河南商丘·期中）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 变式3-3． （多选）（25-26高一下·江苏连云港·期中）已知复数，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 类型四、复数点的轨迹 复数轨迹题，处理方式有两个思路，第一个是几何意义，第二个是设点求轨迹方程进行解读。 设未知复数为标准代数形式，把它的实部和虚部分别当作动点的横纵坐标，再把题目里给出的模长等式、模长大小关系、复数加减后的模长条件，全部翻译成关于横纵坐标的实数关系式，再根据关系式的特征判断是什么曲线轨迹。 复数比较常见的几类轨迹： 1.一个复数与某个定点复数差值的模等于固定常数，对应的几何含义就是复平面内动点到一个定点的距离为定值，这种情况轨迹就是圆，定点是圆心，固定的模长数值是半径。 2.一个复数到两个不同定点的模长之和等于固定常数，只要这个固定常数大于两个定点之间的距离，轨迹就是高二要学习的椭圆； 3.刚好等于两定点间距，轨迹就是两点之间的线段； 4.若小于间距，则不存在轨迹。 5.一个复数到两个定点的模长之差的绝对值等于固定常数，只要这个常数小于两定点之间的距离，轨迹就是高二要学习的双曲线； 6.若等于两定点间距，就是两条射线； 7.若大于间距，则无轨迹。 8.模长相等型，一个复数到两个定点的模长始终相等，几何意义就是动点到两个定点距离相等，轨迹是这两个定点连线的垂直平分线。 9.若是带有线性约束的轨迹，给出复数实部虚部满足一次等式或不等式，对应出来就是直线、直线某一侧的平面区域； 10.若是二次关系式，就对应圆、椭圆、双曲线、抛物线这类圆锥曲线轨迹。 11.最常见考试形式轨迹，是通用运算规律，凡是含有复数模的等式，不需要复杂复数运算，只需把模的关系全部转化为坐标距离关系，利用模的运算性质，把复合的复数表达式拆解成两点距离描述，再依靠解析几何里常见曲线的定义直接判定轨迹类型，不用逐一化简方程也能快速判断。 例4．（22-23高一下·全国·课后作业）复数满足关系式：，则复数在复平面内对应点的轨迹是（    ） A．两条直线 B．一条直线和一个圆 C．两个圆 D．一个圆 变式4-1． （22-23高一·全国·课后作业）复平面上复数满足，则复数对应的点的轨迹是（    ）． A．抛物线 B．直线 C．线段 D．圆 变式4-2．（2025高三·湖北 模拟训练）设,，复数z满足.则表示复数z的点的轨迹是（   ）. A．双曲线 B．双曲线一支 C．一条直线 D．一条射线 变式4-3． （24-25高二下·宁夏银川·期末）若复数满足，则复数对应的点的轨迹围成图形的面积等于（    ） A． B． C． D． 类型五、复数几何意义求范围最值 复数几何意义求最值和范围，核心思路是把复数完全转化为复平面上的点，把模的关系全部理解成平面内的距离关系，不用复杂代数运算，依靠平面几何图形位置关系就能直接判断最大值、最小值和取值范围。整体通用解题规律可以概括为，遇到复数几何意义求最值和范围，一律先转成复平面点的距离问题，先确定动点所在轨迹是圆、直线、线段还是圆锥曲线，再找出相关定点，利用圆外点到圆上点距离的加减半径规律、垂线段最短规律、三角形边长大小关系、两点之间线段最短这些基础几何结论，不用设坐标列方程，就能直接看出最大值、最小值以及完整的取值区间，是高考复数最值题最省事也最通用的解题逻辑。 1.把未知复数对应成平面上一个动点，已知常数复数对应平面上定点，复数差的模就是动点到定点的距离，多个模组合的式子，都能翻译成动点到一个或多个定点的距离之和、距离之差、距离倍数关系。 2.动点在定圆上运动，求这个动点到另一个定点的距离最值。规律非常固定，定点和圆心连成一条直线，这条直线穿过圆周两个交点，离定点最近的点就是圆心朝向定点方向与圆的交点，距离最小值等于圆心到定点的距离减去圆的半径；最远的点是圆心背离定点方向与圆的交点，距离最大值等于圆心到定点的距离加上圆的半径，所有这类圆上动点到定点的距离范围，就在最小值到最大值之间连续取值。 3.两个模相加求最值，对应动点到两个定点距离之和，若动点有轨迹约束比如在圆或直线上，就利用几何图形里两点之间线段最短、同侧点连线对称转化等思路找最小和最大；若是无约束只给等式，就按椭圆定义判断取值边界。 4.复数本身模的最值，也就是动点到坐标原点的距离最值，同样看动点所在轨迹是圆、直线还是其他曲线，原点当作定点，套用定点到轨迹上点的距离最值方法即可。 5.在直线上的动点求距离最值，遵循点到直线垂线段最短的规律，最小值就是定点到直线的垂直距离，没有固定最大值，会向两端无限延伸；若是限定线段上的动点，最值就出现在线段两个端点位置。 例5．（25-26高一下·四川达州·期中）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式5-1． ．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 变式5-2．（2025·上海长宁·一模）在复平面上，复数2和所对应的点分别为，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为___________． 变式5-3． （25-26高一下·山东枣庄·期中）已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 类型六、定义型应用：共轭复数与模的转换 共轭复数的四则运算规律： 1. 两个复数相加之后再取共轭，等于各自先取共轭再相加； 2. 两个复数相减之后再取共轭，也等于各自先取共轭再相减，也就是说共轭运算可以和加减运算交换先后顺序。 3. 两个复数相乘之后再取共轭，等于各自先取共轭再相乘； 4. 两个复数做除法之后再取共轭，等于分子分母分别取共轭之后再做除法，乘除运算同样可以和共轭运算互换顺序。 5. 一个复数多次乘方后的共轭，等于这个复数先取共轭再做相同次数的乘方。 6. 如果一个复数本身等于自己的共轭复数，说明它的虚部为零，这个复数就是普通实数； 7. 如果一个复数和自身共轭互为相反数，说明实部为零，这个复数就是纯虚数，这是判断实数和纯虚数的一条隐藏常用规律。 例11．（2026·辽宁沈阳·三模）已知、为非零复数，则下列选项中一定正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 变式11-1． （25-26高三下·江西·月考）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 变式11-2．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知，其中，则（    ） A．存在a，使得 B．存在a，使得 C．存在a，使得 D．存在a，使得 变式11-3． （2026·湖南·模拟预测）已知是复数，为的共轭复数，则下列计算结果一定为实数的有（   ） A． B． C． D． 类型七、复数最值：三角换元型 复数三角换元的核心逻辑，是把有固定模长约束的复数，不再用普通代数形式设实部虚部，而是借助三角函数的周期性和有界性来替代坐标，把复数模的约束条件，直接转化为正弦余弦的取值范围，进而依靠三角函数最值规律，整体求解复数相关表达式的最值和范围。 1. 只要题目给出某个复数的模为定值，或是复数对应点在定圆上运动，都可以用三角换元。这时不再分开设实部虚部两个变量，而是统一用角度作为唯一变量，借助三角函数对应表示复数的实部与虚部，实际上是满足平方和为定值的圆方程约束，省去列方程整理的步骤。 2.换元的目的是把所有关于复数的线性组合、实部虚部构造的代数式，都会转化成只含同一个角度的三角函数式。而正弦和余弦本身有固定的上下界限，数值永远被限定在负一到正一之间，这就规定了整个式子的取值边界。再通过三角函数的合并变形，把零散的正余弦式子合成单一三角函数，利用单一三角函数的最值特性，就能直接读出整个表达式的最大值和最小值，从而确定取值范围。 3.如果是含有两个复数、且都有各自模长定值的最值问题，也可以分别对两个复数做独立三角换元，各自引入角度变量，再代入所求表达式，依托三角函数的有界性和角度独立变化的特点，判断整体能取到的最大、最小以及中间取值区间。 4.对于所求式子是复数的实部最值、虚部最值，或是实部虚部组合成的一次、二次代数式最值，三角换元都可以直接适配。一次形式最终化为单一三角函数，最值就是正负振幅本身；二次形式则借助正余弦的平方关系、倍角公式化简，同样转化为标准三角函数形式再求范围。 例6．（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 变式6-1． （25-26高一下·江苏南京·期中）任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 变式6-2． （2026·四川成都·二模）若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式6-3． （24-25高三上·吉林·期中）如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数__________. 类型八、新定义应用：欧拉公式 欧拉公式核心含义：虚数单位为底数的指数形式，可以直接等价写成余弦加上正弦与虚数单位相乘的形式。它把圆周运动、角度、三角函数和复数完美统一在了一起。 同一个辐角对应的余弦、正弦和指数形式可以随意互换；复数相乘等价于模相乘、辐角相加，复数相除等价于模相除、辐角相减，复数乘方等价于模乘方、辐角乘以次方，这些高考复数高频运算规则，根源都来自欧拉公式。 例8．（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式8-1．（23-24高三下·广东佛山·月考）欧拉公式是瑞士数学家欧拉发现的，若复数的共辄复数为，则（    ） A． B． C． D． 变式8-2． （24-25高三·江苏 · 专题练习）欧拉公式（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将复数和指数函数、三角函数紧密相联，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.当时，就有，根据上述背景知识，复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 变式8-3． （25-26高一下·湖北武汉·期中）欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 类型九、新定义应用：欧拉公式范围最值 例9．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式9-1． （24-25高一下·浙江杭州·月考）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为__________. 变式9-2． （23-24高一下·四川成都·期末）欧拉公式：（i是虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，可求出的最大值为______． 变式9-3． （23-24高一下·福建福州·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 D． 故选：D 类型十、复数综合证明型大题 复数综合证明题整体通用思维可以归纳为两种路径，一条是整体法，不设实部虚部，只用共轭、模、四则运算的性质做恒等变形，适合等式和性质证明；另一条是代数展开法，全部设为实部虚部，转化为普通实数代数式运算整理，适合复杂恒等式和参数类证明。所有证明都不需要额外超纲知识点，只牢牢抓住复数相等规则、共轭运算规律、模的运算性质、几何距离含义这四点，按逻辑逐步推导，就能完成所有复数综合证明大题。 例10．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值． 变式10-1． （24-25高一下·江西萍乡·期末）数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理． (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 变式10-2． （24-25高一下·山东青岛·期中）年，高斯建立了复数相关的某些运算，这使得复数某些运算开始代数化；在复平面内，高斯也将复数看作一种向量，并利用两者在复平面内的关系，解释了复数的几何加法与乘法，丰富了复数理论.记表示实数中的最大者.已知，. (1)若.求； (2)证明：； (3)求的最小值. 变式10-3． （24-25高一下·浙江·期中）将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 压轴专练 一、单选题 1．（25-26高一下·广东广州·期中）设复数的共轭复数为，且满足，i为虚数单位，则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知，，（为虚数单位），则（   ） A． B． C．1 D．3 3．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）对于个复数，如果存在个不全为零的实数，使得，就称线性相关．若复数线性相关，则满足题意的非零实数组可以为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·广东·月考）已知实数，与复数满足，，则构成的轨迹为（   ） A．圆心为，半径为1的圆 B．圆心为，半径为1的圆 C．过点且斜率为的直线 D．过点且斜率为的直线 6．（24-25高一下·上海宝山·期末）复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 二、填空题 7．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知的三条边长，复数，满足，，，则为________数. 8．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数对应的点分别为．若，则的取值范围是_____． 9．（2025高三·全国·专题练习）已知复数，满足，则的最大值为_____． 三、解答题 10．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知是的共轭复数． (1)求证： (2)若复数满足，求|z|的取值范围． 11．（25-26高三上·浙江杭州·期末）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)证明：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06复数运算与最值 目录 专题06复数运算与最值 1 2 类型一、复数设参计算 2 类型二、解复数方程 3 类型三、复数模的计算 4 类型四、复数点的轨迹 6 类型五、复数几何意义求范围最值 8 类型六、定义型应用：共轭复数与模的转换 10 类型七、复数最值：三角换元型 11 类型八、新定义应用：欧拉公式 13 类型九、新定义应用：欧拉公式范围最值 15 类型十、复数综合证明型大题 16 21 结束 27 类型一、复数设参计算 高考对复数的考察全部可以依托把复数设成实部加虚部的代数形式来展开，这也是解题最通用的核心思路。首先在基础概念层面，考题会区分复数的实部和虚部，实部就是不含虚数单位的实数部分，虚部是虚数单位前面的系数，特别需要注意虚部只看系数本身，不包含虚数单位。高考常考判断一个复数是不是实数、是不是纯虚数，判定规则十分固定，只要虚部对应的系数为零，这个复数就退化为普通实数；如果实部数值为零，同时虚部系数不等于零，那么这个复数就是纯虚数，这是选择题和填空题高频的考点设置方式。 例1．（湖北武汉市2026届高三年级五月供题数学试题）若复数满足，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【详解】设，. 由题意， 解得. 所以. 变式1-1． （24-25高二下·上海静安·月考）若复数z 满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则； 由可得， 又因为，所以； 即，解得或（舍）； 可得. 变式1-2． （25-26高一下·天津南开·阶段检测）若复数，满足，，其中为虚数单位，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】，，根据复数的相等可求得，，平方后与复数，的模长联立求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 【详解】设，， 则，即. 又，则，. 所以，， 即，所以. 又， 所以 . 变式1-3． （2026·山东德州·二模）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 设，则， 所以， 即， 所以. 类型二、解复数方程 解复数方程的核心思路：把复数拆成实部 + 虚部，利用 “实数 = 实数、虚数 = 虚数” 列方程，或用复数模、共轭、几何意义转化， 若方程有 “实数根” ： 1若.题目说方程有实数根，直接设这个根是普通实数。不妨设z=a+bi形式。 2.把实数根代入方程，同样分离实部、虚部。 3.虚数单位 i 的系数必须等于 0，实部等于右边实数，联立求解。 4含实数根的复数方程，虚部必为 0，只用解实部等式即可。 例2.（2023·江苏常州·一模）设为复数，为虚数单位，关于的方程有实数根，则复数的模的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设是方程的实数根，易知，则，根据复数的几何意义可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由题意知，设是方程的实数根，则，若，则，等式不成立， 所以，有，所以， 当且仅当即时等号成立.所以的取值范围为.故选：B. 变式2-1． （23-24高一下·浙江宁波·期末）已知复数是关于x的方程的一个根，若复数z满足，复数z在复平面内对应的点Z的集合为图形M，则M围成的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由是方程的根求出，，然后由复数减法的几何意义求解即可. 【详解】 ∵是关于的方程（，）的一个根， ∴（，），化简得， ∴，解得，∴，如图所示复平面内，复数和表示的点为和，表示的向量为和，则由复数减法的几何意义，复数表示的向量为， 若，则， ∴点的集合图形是以为圆心，半径为的圆， ∴围成的面积为. 故选：C. 变式2-2． （2024·湖北荆州·模拟预测）复数是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由方程解出,，代入所求式即得. 【详解】由方程得， 由求根公式可得， 不妨设，. 则， 故选：B 变式2-3． （25-26高一下·四川达州·期中）已知复数是关于的方程的一个复数根，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【详解】由题意可得，即，解得. 类型三、复数模的计算 一个复数的模只和它的实部、虚部两个实数有关，计算方式是把实部数值平方、虚部数值平方之后相加，再整体做开方处理，永远得到一个非负的实数，不会带有虚数部分的。 1. 基础型则直接求模，只要给出普通复数，不用复杂运算，直接提取实部和虚部，按平方求和再开方的思路就能算出模。 2. 共轭复数型，原复数和它的共轭复数模的大小完全相等，不会发生改变，这是常用的基础性质，做题时可以直接借用，不用重新计算。 3. 复数做四则运算后再求模，尽可能利用固定规律来简化计算，不一定先把复数完整化简再求模。以下是几个求模的乘除计算规律： （1） 两个复数相乘之后的模，等于两个复数各自模相乘的结果； （2） 两个复数相除之后的模，等于分子的模除以分母的模，只要分母模不为零就成立。 （3） 复数做加减法时没有这种简单拆分规律，不能分开求模再加减，只能先做加减运算合并成一个复数，再按基础方法求模。 4. 复数高次幂的模，一个复数多少次方后的模，就等于这个复数本身的模做对应次方运算，不用展开高次复数，直接先求基础模再乘方即可，大大简化计算步骤 例3．（25-26高一下·四川成都·期中）复数满足，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共轭复数的运算性质求解. 【详解】对于模为的复数，根据复数性质，因此可得 （表示的共轭复数）. 已知，代入上述性质得， 根据共轭复数的运算性质 即 ，因此， 对等式两边同时取共轭，得. 变式3-1．2026·广东深圳·二模）设，互为共轭复数，如果，且为实数，那么（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】首先设出复数和的代数形式，根据条件，转化为复数运算，利用待定系数法求解. 【详解】设，，， ，所以， 设，，即， 所以，且，解得：，. 变式3-2． (多选）（25-26高一下·河南商丘·期中）已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（    ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】BCD 【分析】根据复数和向量的对应关系，结合复数模的计算公式，判断选项. 【详解】取，，则，显然，不能比较大小，A错误； 在BCD中，设，，则，，， 所以，B正确； 由，得，得， 所以，C正确； ，， ， 又 ， 所以，D正确. 变式3-3． （多选）（25-26高一下·江苏连云港·期中）已知复数，，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】由复数的运算逐项判断可得. 【详解】设 ， 对于A，有 ，正确； 对于B，若 ，则有 ， 比如 ，则有 ，但 ，错误； 对于C，若 ，则有 ，不妨设 ，并且 ， 则 ， 代入①，整理得 ，故 ， ； 若 ，则 或 ，若 代入①得 ， 若 代入①得 ， 综上，C 正确； 对于D，若 ，表示 在复平面上对应的点到原点的距离相等，显然不能推出 ， 比如 ，则 ， ，错误； 类型四、复数点的轨迹 复数轨迹题，处理方式有两个思路，第一个是几何意义，第二个是设点求轨迹方程进行解读。 设未知复数为标准代数形式，把它的实部和虚部分别当作动点的横纵坐标，再把题目里给出的模长等式、模长大小关系、复数加减后的模长条件，全部翻译成关于横纵坐标的实数关系式，再根据关系式的特征判断是什么曲线轨迹。 复数比较常见的几类轨迹： 1.一个复数与某个定点复数差值的模等于固定常数，对应的几何含义就是复平面内动点到一个定点的距离为定值，这种情况轨迹就是圆，定点是圆心，固定的模长数值是半径。 2.一个复数到两个不同定点的模长之和等于固定常数，只要这个固定常数大于两个定点之间的距离，轨迹就是高二要学习的椭圆； 3.刚好等于两定点间距，轨迹就是两点之间的线段； 4.若小于间距，则不存在轨迹。 5.一个复数到两个定点的模长之差的绝对值等于固定常数，只要这个常数小于两定点之间的距离，轨迹就是高二要学习的双曲线； 6.若等于两定点间距，就是两条射线； 7.若大于间距，则无轨迹。 8.模长相等型，一个复数到两个定点的模长始终相等，几何意义就是动点到两个定点距离相等，轨迹是这两个定点连线的垂直平分线。 9.若是带有线性约束的轨迹，给出复数实部虚部满足一次等式或不等式，对应出来就是直线、直线某一侧的平面区域； 10.若是二次关系式，就对应圆、椭圆、双曲线、抛物线这类圆锥曲线轨迹。 11.最常见考试形式轨迹，是通用运算规律，凡是含有复数模的等式，不需要复杂复数运算，只需把模的关系全部转化为坐标距离关系，利用模的运算性质，把复合的复数表达式拆解成两点距离描述，再依靠解析几何里常见曲线的定义直接判定轨迹类型，不用逐一化简方程也能快速判断。 例4．（22-23高一下·全国·课后作业）复数满足关系式：，则复数在复平面内对应点的轨迹是（    ） A．两条直线 B．一条直线和一个圆 C．两个圆 D．一个圆 【答案】C 【分析】解方程得出或，再由复数的模得出表示的轨迹. 【详解】由，解得或. 当时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆. 当时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆. 故选：C 变式4-1． （22-23高一·全国·课后作业）复平面上复数满足，则复数对应的点的轨迹是（    ）． A．抛物线 B．直线 C．线段 D．圆 【答案】C 【分析】利用复数的模的运算与两点距离公式将问题转化为动点到两定点的距离之和，从而得解. 【详解】设， 因为，所以， 该式表示动点到定点的距离之和为（与两定点间的距离相等）， 所以复数对应的点的轨迹为以为端点的线段. 故选：C. 变式4-2．（2025高三·湖北 模拟训练）设,，复数z满足.则表示复数z的点的轨迹是（   ）. A．双曲线 B．双曲线一支 C．一条直线 D．一条射线 【答案】D 【详解】由题意可知,在复平面内对应的点的坐标为,在复平面内对应的点的坐标为, 相应两点之间的距离, 表示复数到对应的点的距离比到对应的点的距离大5， 据此可得：复数z的点的轨迹是一条射线. 故选D. 变式4-3． （24-25高二下·宁夏银川·期末）若复数满足，则复数对应的点的轨迹围成图形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义，即可判断轨迹图形，再求面积. 【详解】复数满足，表示复数对应的点的轨迹是以点为圆心，半径为3的圆，所以围成图形的面积等于. 故选：D 类型五、复数几何意义求范围最值 复数几何意义求最值和范围，核心思路是把复数完全转化为复平面上的点，把模的关系全部理解成平面内的距离关系，不用复杂代数运算，依靠平面几何图形位置关系就能直接判断最大值、最小值和取值范围。整体通用解题规律可以概括为，遇到复数几何意义求最值和范围，一律先转成复平面点的距离问题，先确定动点所在轨迹是圆、直线、线段还是圆锥曲线，再找出相关定点，利用圆外点到圆上点距离的加减半径规律、垂线段最短规律、三角形边长大小关系、两点之间线段最短这些基础几何结论，不用设坐标列方程，就能直接看出最大值、最小值以及完整的取值区间，是高考复数最值题最省事也最通用的解题逻辑。 1.把未知复数对应成平面上一个动点，已知常数复数对应平面上定点，复数差的模就是动点到定点的距离，多个模组合的式子，都能翻译成动点到一个或多个定点的距离之和、距离之差、距离倍数关系。 2.动点在定圆上运动，求这个动点到另一个定点的距离最值。规律非常固定，定点和圆心连成一条直线，这条直线穿过圆周两个交点，离定点最近的点就是圆心朝向定点方向与圆的交点，距离最小值等于圆心到定点的距离减去圆的半径；最远的点是圆心背离定点方向与圆的交点，距离最大值等于圆心到定点的距离加上圆的半径，所有这类圆上动点到定点的距离范围，就在最小值到最大值之间连续取值。 3.两个模相加求最值，对应动点到两个定点距离之和，若动点有轨迹约束比如在圆或直线上，就利用几何图形里两点之间线段最短、同侧点连线对称转化等思路找最小和最大；若是无约束只给等式，就按椭圆定义判断取值边界。 4.复数本身模的最值，也就是动点到坐标原点的距离最值，同样看动点所在轨迹是圆、直线还是其他曲线，原点当作定点，套用定点到轨迹上点的距离最值方法即可。 5.在直线上的动点求距离最值，遵循点到直线垂线段最短的规律，最小值就是定点到直线的垂直距离，没有固定最大值，会向两端无限延伸；若是限定线段上的动点，最值就出现在线段两个端点位置。 例5．（25-26高一下·四川达州·期中）18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，即复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆.已知复数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，满足的点的集合是以为圆心，2为半径的圆， 因为，所以. 变式5-1． ．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 【答案】 6 4 【分析】根据复数的几何意义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】令，则． 因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图， 易知，圆上的点A所对应的复数的模最大，为，圆上的点B所对应的复数的模最小，为， 所以复数的模的最大值和最小值分别为6和4． 故答案为：6；4 变式5-2．（2025·上海长宁·一模）在复平面上，复数2和所对应的点分别为，复数所对应的点在线段上移动，若，则复数对应点所构成图形的面积为___________． 【答案】 【分析】设复数所对应的点为，设复数所对应的点为，由得到点的轨迹为：以线段为中线，宽度为的矩形，加上两端为圆心，半径为的两个半圆，利用矩形和圆的面积公式求解即可. 【详解】 复数2和所对应的点分别为，， 设复数所对应的点为，设复数所对应的点为， ，，点轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 点在线段上移动，点的轨迹为：以线段上的点为圆心，半径为的圆的并集， 即点的轨迹为：以线段为中线，宽度为的矩形，加上两端为圆心，半径为的两个半圆， ，， 复数对应点所构成图形的面积为. 故答案为：. 变式5-3． （25-26高一下·山东枣庄·期中）已知复数，若复数满足，则的最大值为______. 【答案】 【分析】由题意可设，根据辅助角公式及正弦函数性质计算求解即可. 【详解】若复数满足，可设， 则， 所以 ，其中， 由正弦函数性质可知，当时，， 此时有最大值为. 类型六、定义型应用：共轭复数与模的转换 共轭复数的四则运算规律： 1. 两个复数相加之后再取共轭，等于各自先取共轭再相加； 2. 两个复数相减之后再取共轭，也等于各自先取共轭再相减，也就是说共轭运算可以和加减运算交换先后顺序。 3. 两个复数相乘之后再取共轭，等于各自先取共轭再相乘； 4. 两个复数做除法之后再取共轭，等于分子分母分别取共轭之后再做除法，乘除运算同样可以和共轭运算互换顺序。 5. 一个复数多次乘方后的共轭，等于这个复数先取共轭再做相同次数的乘方。 6. 如果一个复数本身等于自己的共轭复数，说明它的虚部为零，这个复数就是普通实数； 7. 如果一个复数和自身共轭互为相反数，说明实部为零，这个复数就是纯虚数，这是判断实数和纯虚数的一条隐藏常用规律。 例11．（2026·辽宁沈阳·三模）已知、为非零复数，则下列选项中一定正确的是（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BC 【分析】设，结合选项，利用复数的模和复数的运算法则，逐项计算判断，即可求解. 【详解】对于A，取，可得，满足，但，所以A错误； 对于B，设 可得，所以， 又由，可得， 所以，所以B正确； 对于C，由， 可得，又由，可得，所以，所以C正确； 对于D，由，可得， 则，， 可得不一定为，所以D不正确. 变式11-1． （25-26高三下·江西·月考）已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先求复数z的标准形式，再求共轭复数z，最后逐项验证选项即可. 【详解】因为， 所以， 所以共轭复数，选项A：，正确； 选项B：，错误； 选项C：，正确； 选项D：，错误; 变式11-2．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知，其中，则（    ） A．存在a，使得 B．存在a，使得 C．存在a，使得 D．存在a，使得 【答案】BC 【详解】对于A选项：由，则，解得且，无解，故不存在a，使得，故A不正确； 对于B选项：由，得，得，故存在a，使得，故B正确； 对于C选项：由，得，得，故存在a，使得，故C正确； 对于D选项：由，化简得，方程无解，故不存在a，使得，故D错误． 变式11-3． （2026·湖南·模拟预测）已知是复数，为的共轭复数，则下列计算结果一定为实数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由共轭复数的概念，由复数代数形式的加法、减法运算可判断AB，乘除运算可判断CD.. 【详解】设，所以而不一定为实数，故 A正确，B错误； 而而不一定为实数．C正确，D错误. 类型七、复数最值：三角换元型 复数三角换元的核心逻辑，是把有固定模长约束的复数，不再用普通代数形式设实部虚部，而是借助三角函数的周期性和有界性来替代坐标，把复数模的约束条件，直接转化为正弦余弦的取值范围，进而依靠三角函数最值规律，整体求解复数相关表达式的最值和范围。 1. 只要题目给出某个复数的模为定值，或是复数对应点在定圆上运动，都可以用三角换元。这时不再分开设实部虚部两个变量，而是统一用角度作为唯一变量，借助三角函数对应表示复数的实部与虚部，实际上是满足平方和为定值的圆方程约束，省去列方程整理的步骤。 2.换元的目的是把所有关于复数的线性组合、实部虚部构造的代数式，都会转化成只含同一个角度的三角函数式。而正弦和余弦本身有固定的上下界限，数值永远被限定在负一到正一之间，这就规定了整个式子的取值边界。再通过三角函数的合并变形，把零散的正余弦式子合成单一三角函数，利用单一三角函数的最值特性，就能直接读出整个表达式的最大值和最小值，从而确定取值范围。 3.如果是含有两个复数、且都有各自模长定值的最值问题，也可以分别对两个复数做独立三角换元，各自引入角度变量，再代入所求表达式，依托三角函数的有界性和角度独立变化的特点，判断整体能取到的最大、最小以及中间取值区间。 4.对于所求式子是复数的实部最值、虚部最值，或是实部虚部组合成的一次、二次代数式最值，三角换元都可以直接适配。一次形式最终化为单一三角函数，最值就是正负振幅本身；二次形式则借助正余弦的平方关系、倍角公式化简，同样转化为标准三角函数形式再求范围。 例6．（25-26高三上·湖北·期中）任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数，，则，已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将化为三角形式，根据棣莫弗定理可求得的值，即可求得答案. 【分析】由题意可得， 故， 所以，故选：C. 变式6-1． （25-26高一下·江苏南京·期中）任何一个复数（其中为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的三角形式表示，再应用复数的乘方计算结合诱导公式及特殊角三角函数求解. 【详解】由题意可得， 故 ，即的虚部为. 变式6-2． （2026·四川成都·二模）若，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 其中，当时，最大值为. 变式6-3． （24-25高三上·吉林·期中）如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数__________. 【答案】 【分析】设，先相继求出、、对应的复数，再求，由条件列方程求，由此可得结论； 【详解】设，设对应的复数为，对应的复数为，则， ， 设对应的复数为，所以，所以，由已知可得，所以，又，所以，所以， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，解决对于此类问题的关键是对新定义的透彻理解，解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 类型八、新定义应用：欧拉公式 欧拉公式核心含义：虚数单位为底数的指数形式，可以直接等价写成余弦加上正弦与虚数单位相乘的形式。它把圆周运动、角度、三角函数和复数完美统一在了一起。 同一个辐角对应的余弦、正弦和指数形式可以随意互换；复数相乘等价于模相乘、辐角相加，复数相除等价于模相除、辐角相减，复数乘方等价于模乘方、辐角乘以次方，这些高考复数高频运算规则，根源都来自欧拉公式。 例8．（2025高三·全国·专题练习）欧拉公式（其中i为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的．若复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据欧拉公式写出复数的代数形式，进而确定对应点，即可得答案. 【详解】由题可得， 所以在复平面内对应的点为，位于第二象限， 故选：B 变式8-1．（23-24高三下·广东佛山·月考）欧拉公式是瑞士数学家欧拉发现的，若复数的共辄复数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给定义求出，即可得到其共轭复数. 【详解】依题意可得， 所以. 故选：D 变式8-2． （24-25高三·江苏 · 专题练习）欧拉公式（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将复数和指数函数、三角函数紧密相联，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”.当时，就有，根据上述背景知识，复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用欧拉公式的定义，分别求解和，再利用复数相乘的运算法则求解. 【详解】 ，， ，所以的虚部是1.故选：A 变式8-3． （25-26高一下·湖北武汉·期中）欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意， 类型九、新定义应用：欧拉公式范围最值 例9．（23-24高一下·湖南岳阳·期末）欧拉公式把自然对数的底数､虚数单位､三角函数联系在一起，被誉为“数学中的天桥”.若复数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求得，然后结合复数模的公式以及三角函数性质即可得解. 【详解】由题意， ，因为的取值范围是， 所以的取值范围是，的取值范围为. 故选：B. 变式9-1． （24-25高一下·浙江杭州·月考）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求的最大值为__________. 【答案】2 【分析】根据新定义有，结合三角函数的性质求其最大值. 【详解】由题设， 当，即时，的最大值为2. 故答案为：2 变式9-2． （23-24高一下·四川成都·期末）欧拉公式：（i是虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式，可求出的最大值为______． 【答案】2 【分析】由复数模的计算公式结合三角函数性质即可求解. 【详解】，等号成立当且仅当， 所以的最大值为2.故答案为：2. 变式9-3． （23-24高一下·福建福州·期中）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．复数为实数 B．对应的点位于第二象限 C．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为 D． 【答案】D 【分析】由欧拉公式及复数的相关概念计算逐项计算判断即可. 【详解】对于A：，则复数为纯虚数，故A错误； 对于B：，因为，所以，， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限，故B错误； 对于C：，， ，， 因此的面积为， 因为，所以面积的最大值为，故C错误； 对于D：， 所以 ，故D正确. 故选：D 类型十、复数综合证明型大题 复数综合证明题整体通用思维可以归纳为两种路径，一条是整体法，不设实部虚部，只用共轭、模、四则运算的性质做恒等变形，适合等式和性质证明；另一条是代数展开法，全部设为实部虚部，转化为普通实数代数式运算整理，适合复杂恒等式和参数类证明。所有证明都不需要额外超纲知识点，只牢牢抓住复数相等规则、共轭运算规律、模的运算性质、几何距离含义这四点，按逻辑逐步推导，就能完成所有复数综合证明大题。 例10．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为． (1)设，，求复向量与的模； (2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号； ①求证：对任意实数a，b，c，d，不等式成立，并写出此不等式的取等条件； ②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立； (3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数z的值． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；②证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①实向量，，根据条件，即可得证； ②因为，由复数的三角不等式，分别计算即可得证； （3）②考虑①中等号成立的条件知，结合题意即可求出和的值． 【详解】（1）因为，所以， 所以的模为； 因为，所以， 可得的模为； （2）①设实向量，， 则，， 而， 根据已知，当且仅当与平行时取等号，即， 所以，当且仅当时等号成立； ②因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， （3）②考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式， 复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 根据题意，若复向量与平行， 则， 根据中等号成立的条件， 应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以． 变式10-1． （24-25高一下·江西萍乡·期末）数学家在解决判别式的二次方程时引入了虚数，例如解得：，．实际上高阶方程同样在复数域中有解，如解得：，，；解得：，，，．数学家高斯发现对于一元次多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算，如解得：），这就是著名的代数基本定理． (1)已知方程的复数根在复平面内对应的点必然均分单位圆．试求解方程在复数域中的所有解； (2)已知复数的乘方运算满足，试求在复数域中的所有解； (3)试证明：方程（，且为偶数）在复数域内的所有解的和为． 【答案】(1)答案见解析 (2)． (3)证明见解析 【分析】（1）根据代数基本定理可求得方程的个复数根； （2）化简得，令，利用代数基本定理求出方程的三个复数根据，进而可得出方程的三个复数根； （3）由题意可知方程（，且为偶数），方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为，求出这个复数解与轴正方向的夹角，可知与夹角相差，即，利用并项求和法可证得结论成立. 【详解】（1）有解， 又其余个根在复平面内对应的点与对应的点均分单位圆， 所以复向量与轴正方向夹角分别为、、、、、， 故解为，    ，，，， ． （2）化简得，令，即， 由题知，，则， 其余个解与复数对应点均分单位圆， 所以，， 即，，， 综上，在复数域中的所有解为，， ． （3）对于方程（，且为偶数），设该方程有解， 方程的个解对应的点均分单位圆，则相邻两个解夹角为， 故所有解与轴正方向的夹角分别为， 因为为偶数，所以，……， ， ， 所以与夹角相差，即， 所以当，且为偶数时，方程在复数域内的所有解的和为． 变式10-2． （24-25高一下·山东青岛·期中）年，高斯建立了复数相关的某些运算，这使得复数某些运算开始代数化；在复平面内，高斯也将复数看作一种向量，并利用两者在复平面内的关系，解释了复数的几何加法与乘法，丰富了复数理论.记表示实数中的最大者.已知，. (1)若.求； (2)证明：； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将两方程联立求得，再求其模长，即得； （2）设，，求得和，取平方作差后利用基本不等式，即可证明，同理证明，即可证明原命题； （3）将所求式进行配方，并理解为三个复数的模之和，依次运用（2）的结论进行转化化简，直至求得其最小值，并注意等号成立的条件. 【详解】（1），由，可得，即得 由，可得，即得， 所以，，故. （2）设， 则， 因为， 又因为， 所以 当且仅当时等号成立， 所以 用换，同理可得：， 故. （3）因为 ， 当且仅当时等号成立， 或时，原式的最小值为. 变式10-3． （24-25高一下·浙江·期中）将复数，表示成三角形式，其中，，，是复数的模，是复数的辐角. (1)求方程的复数根，并用复数的三角形式表示虚部大于零的根； (2)已知，，试推导复数的三角形式； (3)在单位圆的内接六边形中，，P，Q，R分别为，，的中点，判断的形状并证明. 【答案】(1)，，， (2) (3)为正三角形，证明见解析 【分析】（1）利用立方和公式因式分解可求解； （2）利用复数的乘法运算求解即可； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为，设，进而可得，，，进而计算可得为正三角形. 【详解】（1）由立方和公式得，， 可得或， 解得三个根为，，，； （2） ； （3）将六边形按逆时针顺序排列，六个顶点及P，Q，R对应的复数依次记为， 以单位圆的圆心为坐标原点，建立平面直角坐标系， 设，由题意，得， ，，， ，，， ，， ， 由（1）知， ， 由复数乘法的几何意义，逆时针旋转与重合，故为正三角形. 压轴专练 一、单选题 1．（25-26高一下·广东广州·期中）设复数的共轭复数为，且满足，i为虚数单位，则复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出复数的代数形式，通过已知等式可求出的虚部. 【详解】设，则， 由得，即， 所以，所以复数的虚部是. 2．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）已知，，（为虚数单位），则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【详解】. 3．（25-26高三上·上海浦东新·期中）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，复数在复平面内对应的点的坐标为.若复数满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义，，结合，可得，再由即可求解． 【详解】由题意知复数在复平面内对应的点的坐标为， 设复数在复平面内对应的点的坐标为，，， 则，又， 所以，即， ， ，当且仅当在线段上取等号， ，且， ，当时取等， 综上，当点在时等号同时成立，取得最小值3， 即的最小值为3． 故选：C 4．（2026·陕西咸阳·模拟预测）对于个复数，如果存在个不全为零的实数，使得，就称线性相关．若复数线性相关，则满足题意的非零实数组可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件中的线性相关，将代入求解即可. 【详解】由题意得，， 即，， 若为满足要求. 故选：D 5．（25-26高三上·广东·月考）已知实数，与复数满足，，则构成的轨迹为（   ） A．圆心为，半径为1的圆 B．圆心为，半径为1的圆 C．过点且斜率为的直线 D．过点且斜率为的直线 【答案】A 【分析】设，根据题意结合共轭复数和模长求，代入整理可得，即可判断动点的轨迹方程. 【详解】设，，，则，， 因为，即， 则 由实部与虚部对应相等得， 可得，解得，可得， 则，可得， 可得构成的轨迹为圆心为，半径为1的圆. 故选：A. 6．（24-25高一下·上海宝山·期末）复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 二、填空题 7．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知的三条边长，复数，满足，，，则为________数. 【答案】虚 【分析】利用，化简转化为实系数一元二次方程，根据根的判别式得到为虚数. 【详解】 ， 故， 方程两边同乘以得，， 这是一个关于的实系数一元二次方程， 又三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 且 ， 故为虚数（当且仅当，即为直角三角形时，为纯虚数） 故答案为：虚 【点睛】关键点点睛，将两边平方，转化为实系数一元二次方程，结合根的判别式进行求解 8．（2025高三·全国·专题练习）在复平面内，复数对应的点分别为．若，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由题意可得，利用，可求的取值范围. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 从而，所以． 故答案为：. 9．（2025高三·全国·专题练习）已知复数，满足，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】设，由题意可得，解得，即，将复数转化为三角形式代入到可得，结合三角恒等变换可得，易得当时的值最大. 【详解】设，则，即，，则． 设， 于是 ， 从而 当且仅当时取最大值， 所以的最大值为． 故答案为：. 三、解答题 10．（25-26高一下·浙江温州·期中）已知是的共轭复数． (1)求证： (2)若复数满足，求|z|的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）明确与形式，用平方差公式算，结合化简，根据模定义得，进一步证明. （2）由判断为实数，分为实数和虚数讨论求出的取值范围. 【详解】（1）设，则， 所以， 而，所以． （2）由知， 若，则，且， 由，解得或， 故或， 若为虚数，而，则， 整理得， 所以，此时，即， 此时，，矛盾， 故或． 11．（25-26高三上·浙江杭州·期末）一般地，我们将棣莫弗定理总结成下面的公式：，设． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)证明：． 【答案】(1)详见解析； (2)1 (3)详见解析. 【分析】（1）设，利用复数的运算和模公式求解； （2）由，求得，根据求解； （3）根据棣莫弗定理公式得到验证即可. 【详解】（1）设， 则 ，则，而， 所以； （2）已知， 则， 所以 ， 因为，所以，即，解得； （3）由棣莫弗定理公式， 得 ； ； ， 则，， 所以. 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $