江苏南通市海安高级中学2025-2026学年高一下学期期中练习数学试题

高一年级练习 数学 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.已知复数z=2-i,则|z=(▲) A.1 B.2 C.5 D.5 2.已知a,b是两个不共线的向量，AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则（▲） A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 3.sin20°·cos10°+c0s20°·sin10°=（▲） A.-3 2 B.5 2 C. 2 D. 4.已知向量a=(-1,3),b=(2,1),若a+b与a垂直，则2=（▲） A.13 B青 C.11 D._1 2 5.已知△ABC中，a=3,b=V6,B=系则A=(▲) A.四 6 B.骨 C.g或 D.写或智 3 6.若cosa+cosB=2,cos(a-B)=-子其中a,Be(0,x,则sina+sinB=(▲) A.⑤ B.6 2 2 c D.2 7.点D是Rt△ABC斜边BC上一点，若AB=AD,AC=V3DC,则sin∠ABC的值（▲） B.⑤ C.② 3 D.3 2 8.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2,AC=1,D是BC边上靠近B点的三等分点，E是BC 高一数学（共2页） 第1 边上的动点，则AE.CD的取值范围为（▲） A【9劉 B.【9 c.【劉 D.周 二·选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列等式成立的是（▲） A.sin(a+B)-sin(a-B)=2cosasinB B.8 sin a cos a cos 2a cos 4a sin8a 1-cos2a C.=tan2 D. tan'a 1+cos2a 10.下列结论中正确的有（▲） A.若ā为非零向量，且a.b=ac,则b=c B.对向量非零向量a,b,若ā∥6，则存在唯一实数1使得a=2b C.在△ABC中，若2OA+3OB+4OC=0,则△A0C与△ABC的面积之比为1：3 D.若à=（山，2），b=(1,),且ā与a+5的夹角为锐角，则实数元的取值范围是(-3，+∞】 11.设△ABC中角A,B,C所对的边长度分别为a,b,c,满足sin2A:sin2B:sin2C=4:5:6, 则以下选项中正确的有（▲） A.△ABC为锐三角形 B.若a确定，则△ABC的面积确定 C.c0s2A=月 D.sin A:sin B:sin C=2v7:5:3v2 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若向量a,b的夹角为45°，且=4，d.(a-=0,则b在a上的投影向量为▲ 13.化简3 2an20-2c0s20°=▲ 14.在等边三角形ABC的三边上各取一点D,E,F,满足DE=3,DF=25,∠DEF=90°， 则三角形ABC的面积的最大值是▲ 页 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知复数z=(3m2-12)+(3m2-m-14)i,其中meR,i为虚数单位 (1)若z为纯虚数，求m的值： (2)若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围， 16.(15分) 如图，在4×3长方形网格中，每个小格都是边长为1的正方形，向量ā，6满足：=1， =2, 向量=ka+方，d=2a-6 ()在图中，以A为起点作向量ā，并求d: (2)若c与d共线，求实数k的值； (3)若c与d垂直，求实数k的值. (1)求函数f(x)的值域： 2)若=5，求r2x的。 高一数学（共2页） 第2 18.(17分) “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩 子，附近没有一个大人，我是说..除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将 自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD的麦 田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设△ABD中边BD所对 的角为A,△BCD中边BD所对的角为C,经测量知AB=BC=CD=2,AD=23. (1)若A=30°，求C; (2)霍尔顿发现无论BD多长，√3cosA-cosC为一个定值，请验证霍尔顿的结论， 并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记△ABD 与△BCD的面积分别为S,和S,为了更好地规划麦田，请你帮助霍 尔顿求出S2+S的最大值， 19.(17分) 已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx,称向量OM=(a,b)为函数f)的伴随 特征向量，同时称函数fx)为向量OM的伴随函数 ()设函数g)=sm+)-m竖-小试求8四的件随特征向量O: (2)记向量oN=的件随函数为，求当f-且x ππ -3'6 sinx的值； (3)已知A(-2,3),B(2,6),0T=(-√5，)为h(x)=nsinx- π 的伴随特征向量， 6 o(x)=h xπ 23 请问在y=p(x)的图象上是否存在一点P,使得AP⊥BP若存在，求 出P点坐标；若不存在，说明理由. 页 高一年级练习 数学答案 一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z=2-i,则|z=( A.1 B.2 c.5 D.5 【答案】C 2.已知a,b是两个不共线的向量，AB=a+5h,BC=-2a+8b,CD=3(a-b),则（▲ A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 【答案】B 3.sin20°.cos10°+cos20°.sin10°=（▲） A.-3 B.3 2 2 c D.Z 【答案】D 4.已知向量a=(-1,3),万=(2,1)，若a+6与a垂直，则元=（▲） B.3 1 A.13 C.11 D. 2 【答案】A 5.已知aMBC中，a=3,b=6,B=年则A=(▲) A君 B. π 3 D. 或 3 3 【答案】D 【解析】在△MBC中，由正弦定理，得a, b sin A sin B 所以n4=asn8.3x 2 =5，又B∈0，)，所以4=或A=2π b 6 2 高一数学（共7页） 故选：D 6.若cosa+cosB= cos(e-月)=子其中aAe(0动，则na+如B=（▲) 只 A. 2 B.VG 2 c 【答案】A 【第解】：a,月e0,则令a+血B=非>0j0又osu+camB=@, 由0+@得2+2cos(a-月=r+好又eosa-)=-子f产-手 2 7.D是Rt△ABC斜边BC上一点，若AB=AD,AC=V3DC,则si∠ABC的值（▲） A B. 5 3 D. 2 【答案】D 【详解】在Rt△ABC中，令∠ABC=O,由AB=AD,则∠ADB=∠ABD=O, ∠C=R-∠1D0=-0,∠CD-号∠B0--a-20=20-号 在a4CD中，4C=5DC,由正弦定理，sin(-0)=5sn(20-孕， 即sin0=-3cos20,整理得2√3sin20-sin0-√3=0， 即(2sin8-Bv5si血8+)=0，因sin0>0,则有sim0=5,甲s5in乙4BC的值是5 2 故选：D 8.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2,AC=1,D是BC边上靠近B点的三等分点，E是BC边上的动点， 则A正.CD的取值范围为（▲） A卜马别 B.【9到 c.【 D. 【答案】C 第1页 【解答过程】由co5LBAC=国+=-分解得 2ABAC C =7 设CE=1CB,0≤1≤1， 则AE.CD=(AC+c)·cD=(AC+CB·CB=AC.cB+C-AC.(A店-ACO+共λ =号ACAB-号AC2+普=-音+兰AE[ 故选：C B D E 二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分， 有选错的得0分 9.下列等式成立的是（▲） A.sin(a+B)-sin(a-B)=2cosasin B B.8sina cosa cos 2a cos4a sin8a C. cosa=tan a 1-cos2a D. =tan-a 1+sina 2 1+cos2a 【答案】ABD 【分析】利用和差角的正弦、二倍角公式逐项化简计算即得. 【解析】对于A, sin(a+β)-sin(a-β)=sina cos B+cosasin B-(sin a cos B-cosasin B)=2 cosa sin B,A正a确； 对于B,8 sin a cosa cos:2acos4a=4sin2acos2 a cos4a=2sin4 a cos4a=sin8a,B正确： 对于C,取a=元， 则cos -=0,tang-l,C错误； 1+sin 2 对于D, 1-cos2a 2sin2a =tan2a,D正确. 1+cos2a 2cos2a 故选：ABD 10.下列结论中正确的是（▲） A.若a为非零向量，且a.b=ac,则b=c 高一数学（共7页） 第2 B.对向量非零向量a,五，若ā∥6，则存在唯一实数元使得ā=6 C.在△ABC中，若2OA+3OB+4OC=0,则△A0C与△ABC的面积之比为1：3 D.已知a=(1,2),b=(1,1),且ā与a+2b的夹角为锐角，则实数1的取值范围是 30 【答案】BC 【知识点】平面向量基本定理的应用、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【详解】A若ab=ac,则a-(6-c)=0,则a1(6-c或6=c,故A错误 B此为共线定理，故B正确： C.令0A=20A,0B=30B,0C=40C,因20A+30B+40C=0, 则O4+0B+0C=0,则0为△4BC的重心，故S40G=S0G=S40%, 因Soc= o4 Oin∠4oc S.AOC 2o4 sin∠4oc8, 1 问用可得Sw名m行a:则-5有放C正确 8 1 S△ABC 8612 D.a+b=(1+元，2+)，当ā与ā+b共线时，有(1+)2=2+元，得=0， 因ā与a+5的夹角为锐角，则(a+)a=(1+)+2(2+)=3+5>0且ā与a+6不共线，则 5 2>-。且2≠0，故D错误； 3 故选：BC 11.设△ABC中角A,B,C所对应的边长度分别为a,b,c,满足sin2A:sin2B:sin2C=4:5:6, 则以下说法中正确的有（▲） A.△ABC为锐三角形 B.若a确定，则△ABC的面积确定 页 C.cos2A=月 D.sin 4:sin B:sinC=27:5:3v2 【答案】ABD 【知识点】己知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式二、三、四、用和、差角的正弦公式化简、求 值、二倍角的余弦公式 【分析】利用给定条件结合三角形内角和定理、诱导公式、和角的正弦公式求出sin2A,sin2B,sin2C, 再逐项分析即可作答。 【详解】在△ABC中，因sin2A:sin2B:sin2C=4:5:6,令sin2A=4t,则sin2B=5t,sin2C=6t, 显然10，若1<0，即如24<0，因0<4<，0<24<2，则x<21<2,有号<4<x,同理 至8<，至C<,矛盾， 2 于是得t>0,即角A,B,C都为锐角，A正确： sin 2C=sin[2-(24+2B)]=-sin(2A+2B)=-sin 24cos 2B-cos 2Asin 2B, 即有-41cos2B-5tcos2A=6t,亦即：4cos2B+5cos2A=-6,显然，cos2A,cos2B都小于0，否 则4cos2B+5c0s2A≥-5，矛盾， 期-41-27-516=6，甲41-2r451-6,面5-1-42- 解释1-}12-名于是得om2子28= 16'C不正确： 从而有sinA= 1-cos24 14 1-cos2B 52 2 4,sin B= 8 4,cosB=v14 snC=n4+剧=s血4csB+eos4如B-}因此，△48C的内角4，B,C是定位， 若a确定，即△ABC确定，其面积确定，B正确； n4:sinB:C=4:55:2=2w75:3W5,D正确 484 故选：ABD 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知向量d,的夹角为45°，且=4，d.(d-b=0,则b在d上的投影向量为▲ 【答案】a 高一数学（共7页） 第3 【解答过程】因为a.(a-b)=0,所以2-d.b=0,即d2=2=d.b=16, 所以a.万=同·c0s45°=4：×号=16，解得同=42， 从而，在位上的投影向量为cos45,高=立. 13.化简 5 2tan20° -2c0s20°=▲_ 【答案】；或0.5 【详解】 5 √5 -2cos20°=2sin20 -2c0s20° 2tan20° c0s20° √3cos20 -2cos2=3cos20-4sin 20cos20 2sin20° 2sin20° -V3c0s20°-2sim40°-V5cos20°-2sin(60°-209) 2sin20° 2sin20° v5cos20-2 2c0s20°-1 2sin 20) 2sin20° sin20°1 2sin20°-21 14.在等边三角形ABC的三边上各取一点D,E,F,满足DE=3,DF=2√5，∠DEF=90°， 则三角形ABC的面积的最大值是▲· 【答案】75 【知识点】求含six(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、 三角形面积公式及其应用 D 【详解】因为DE=3,DF=2√5，∠DEF=90°，所以 EF=VDF2-DE2=√5， B E 页 设∠BED=0,O∈0， 2π 3 则∠BDE=2-0,∠CEF=-9,∠CFE 2π 3 2 3 +0， 6 BE BE DE =2√5 在△BDE中由正弦定理 即 sin∠BDE sin B sin 3 -0 2 所以BE=2√5sin2r CE EF CE 5 在△CEF中由正弦定理 in∠CFE sinC,即 =2 n+0 5 6 2 所以CE=2sin工+0，所以BC=BE+CE=25si 6 (2m-0+2sin 3 -2 sin cos0-cossin+2 sin "cos0+cossino 3 3 6 6 =2W5sn8+4cos0=2V7sin0+9)(其中anp-2V5. 3 所以BCx=27,则S。=号BCin= -BC:s 2x(2√7)2=75， 3 即三角形ABC的面积的最大值是7√5. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知复数z=(3m2-12)+(3m2-m-14)i,其中m∈R,i为虚数单位. (1)若z为纯虚数，求m的值： (2)若z在复平面内对应的点在第一象限，求m的取值范围。 【知识点】已知复数的类型求参数、根据复数对应坐标的特点求参数 3m2-12=0 【详解】(1)z为纯虚数， 解得m=2 3m2-m-14≠0' 3m2-12>0 (2)由z在复平面内对应的点在第一象限，， 3m2-m-14>0'解得m<-2或m> 3 高一数学（共7页） 第 :实数m的取值范围为（®2U仔+ 16.(15分) 如图，在4×3长方形网格中，向量a,6满足：d=1,=2,向量=ka+方，d=2a- (1)在图中，以A为起点作向量ā，并求： (2)若c与d共线，求实数k的值； (3)若c与d垂直，求实数k的值. 【知识点】垂直关系的向量表示、已知数量积求模、由向量共线（平行）求参数 【详解】(1)如图所示： aa6--5 (2)因为c=ka+i,d=2a-)5,且c与a共线， k1 所以2工，解得k=-4: (3)因为c=ka+6,d=2a-3,且c与a垂直， 所以d-a*)a,=2+2-6-,=2k22-0, 解得k=1。 页 17.已知函数f(x)= (1)求函数f(x)的值域： 2x- 的值 6 【详解】 【分析】(1)利用切化弦与二倍角公式，以及辅助角公式，化∫(x)为正弦型函数， 范围求sin 6 的范围即得： (2)根据三角恒等变换和二倍角公式，利用同角的三角函数关系，求解即可. 【小问1详解】 +cos 、22 .cos 22 =3sin*cos+ 2 2 222 -sinx 2c0sx=sinx+】 6 即函数f(x)的值域为 13 Γ2'2 【小问2详解】 由+引5+ 高一数学（共7页） 所以个2r君引[+} -4]-29 根据x的取值 第5页 n2+-2sm+os+君 18.(17分) “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有 一个大人，我是说.…除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那 广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分 割麦田，他将BD连接，设△ABD中边BD所对的角为A,△BCD中边BD所对的角为C,经 测量知AB=BC=CD=2,AD=2√5， (1)若A=30°，求C: (2)霍尔顿发现无论BD多长，√3cosA-cosC为一个定值，请你验证霍尔 顿的结论，并求出这个定值； (3)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记△ABD与△BCD 的面积分别为S,和S2,为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出S2+S?的最大值。 【详解】 【分析】(1)在△ABD中，由余弦定理求得BD=2,结合BC=CD=2,得△BCD是等边三角 形，即可求出B: (2)在△ABD与△BCD中，分别用余弦定理表示BD2,即可证明√3cOsA-cosC=1; (3)分别表示出S,S,则S+S=16-(12cos2A+4cos2C),由(2)知：√5cosA=cosC+1, 代入消去角C,利用三角函数求最值即可. (1)在△ABD中，由AB=2,AD=25.∠A=30°， 由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADc0sA=22+(2V32-2×2×2V3x5=4, 所以BD=2. 又BC=CD=2,所以△BCD是等边三角形，所以∠C=60°； (2)在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD cos A=16-8V3cOSA, 在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD cos C=8-8cosC, .16-8V3cosA=8-8cosC,所以√3cosA-c0sC=1为定值： 高一数学（共7页） 第6页 (3)S1 =AB.AD sin A=2v3sin A,S2 =BC.DCsin C =2sinC, 则S2+S号=16-(12cos2A+4cos2C), 由(2)知：√5cosA=cosC+1,∴3cosA-1=cosC 代入上式得：S2+S号=16-12c0s2A-4(V3c0sA-1)2=-24cos2A+8V3cosA+12., 配方得：S经+s号=-24(cosA-9+14, .C∈(0，π)，∴.-1<cosC<1 又.√3cosA-1=cosC,.V5cosA=cosC+1>0 所以当cosA=时，S2+S号取到最大值14. 19.(17分) 已知O为坐标原点，对于函数f(x)=asinx+bcosx,称向量OM=(a,b)为函数f(x)的伴随特征向 量，同时称函数f(x)为向量OM的伴随函数， (1)设函数g(x)=sinx+ 5 6-sin/ 2 试求g(x)的伴随特征向量OM; (2)记向量O示=L,V)的伴随函数为，求当f=8且x ππ 3'6 sinx的值； (3)已知A(-2,3),B(2,6),07=(-√5,1)为h(x)=msin 的伴随特征向量，p(=A23月 xπ 6 请问在y=(x)的图象上是否存在一点P,使得A亚⊥BP若存在，求出P点坐标；若不存在，说 明理由 -sin.xeos 5 +cos xsin- 5π 6 6 +coSx √33 ∴g(x)=- 3 sinx+cosx·g(x)的伴随特征向量OM 2’2 (2)向量ON=L,V√3)的伴随函数为f(x)=sinx+√3cosx, 3 5 sinx=s 》})+-8 (3)由o7=(5,)为)=msinx-）= 6-2 msinx-2 ncosx的伴随特征向量知： m=-2 所以e-后引2n任引引-m传引-2m吃 设Px,2c0s24-2,3,B2,6, 4-x+2.2o2-38r-（-22c-6 又p1m,4.=0x+2x-22-32mr-6小0 高一数学（共7页） 第7 x2-4+4cos x x-18c0s。x+18=0, 2 2 2 又空草小当且仅当=0时 4 2.c0s ∴在y=h(x)图像上存在点P(O,2),使得AP⊥BP 到和 -x同时等于 ,这时()式成立 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 高一年级练习 数学答题卡 17. 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [o] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] 注意事项 [1] [1] [1] [I] [1] [1] [1] 答题前，请将姓名、班级、考 [1] 场、准考证号填写清楚。 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] 客观题答题必须使用2B铅笔填 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 修改时用橡皮擦干净。 [4] [4] [4] [4] [4] 3.主观题使用黑色笔书写 [4] [4] [4] 必须在题号对应的答题区内作 各超答数 [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [51 [6] [6] [6] [6] [6] 6] [6] 6] [7j [7] [7] [7] [7] [71 正确填涂■缺考标记□ [8] [ [8] 8 [8] [8 [8] [8J 16.(15分) [9] [9] [9] 9] [9 [9] [9] [9] 客观题(18为单选题9~11为多选题) I [A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C】[D] 7 [A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 填空题 12. 13. 14 解答题 15.(13分) 囚囚■ 囚ㄖ■ (15分) ■ ■ 18.(17分) 口 19.(17分) ■ 囚■囚 囚■囚 ■