精品解析：江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年度第二学期高一年级期中考试 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确选项. 1 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 3 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知轮船和轮船同时离开岛，船沿北偏东的方向航行，船沿着正北方向航行．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 在长方体中，，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在锐角△ABC中，，，则BC的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，，则（ ） A. 16 B. 14 C. 12 D. 10 8. 已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．每小题有多个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列关于向量的说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若单位向量夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 若与不共线，且，那么 D. 若且，则 10. 对于有如下命题，其中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 若，，且有两解，则的取值范围是 C. 锐角中，不等式恒成立 D. 在中，若，，则必是等边三角形 11. 如图，在长方体中，，，分别为棱的中点，则下列说法中正确的有（ ） A. 直线与为相交直线 B. 异面直线与所成角为 C. 若是棱上一点，且，则四点共面 D. 平面截该长方体所得的截面可能为六边形 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆台下底面半径为，高为，母线长为，则圆台的体积为______． 13. 计算：______. 14. 设都是单位向量，且，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5个小题，第15题13分，第16，17题各15分，18，19每题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角对边分别为，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 16. 如图，在正方体中，若为棱的中点， （1）判断平面与平面是否相交．如果相交，在图1作出这两个平面的交线，并说明理由； （2）如图2，求证：平面． 17. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及最小值； （2）若，求的值． 18. 已知的两个顶点分别为原点和，且，． （1）求点的坐标； （2）若点落在第二象限，，点是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标，并求的值． 19. 在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，． （1）当时，求四边形的面积； （2）求灯柱的高（用表示）； （3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期高一年级期中考试 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个正确选项. 1. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标公式运算即可. 【详解】因为，所以，得. 故选:D 2. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的乘法运算和除法运算可得答案. 【详解】. 故选：C. 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系，求得，再利用余弦的差角公式，即可求得结果. 【详解】由，得，则， ． 故选：． 4. 已知轮船和轮船同时离开岛，船沿北偏东的方向航行，船沿着正北方向航行．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理进行求解即可. 【详解】由图所示：由题意可知：，， 由正弦定理可知： ， 故选：A 5. 在长方体中，，，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为，所以与所成角等于与所成的角，在三角形中，利用余弦定理求解． 【详解】如图，连接，． 在长方体中，因为，所以与所成角等于与所成的角； 在三角形中，， 由余弦定理得． 故选：． 6