专题03 函数（12大考点）（河北专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 聚焦函数专题，覆盖12个核心考点，精选2026年河北各地一模试题，情境融合科技与生活，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空/解答|约73题|一次函数图象性质与应用、二次函数综合、反比例函数几何意义等|以新能源材料成本计算、无人机飞行高度等真实情境命题，综合题如二次函数与菱形、动点问题结合几何图形，体现跨学科应用|

专题03 函数 12点概览 考点01动点问题的函数图象 考点02一次函数的图象和性质 考点03一次函数与简单几何图形的综合 考点04一次函数实际应用问题 考点05二次函数的实际应用问题 考点06二次函数与简单几何图形的综合 考点07次函数的图象和性质的综合运用 考点08比例函数的图象和性质 考点09例函数比例系数k的几何意义 考点10例函数与简单几何图形的综合 考点11例函数的实际应用问题 考点12函数的综合 动点问题的函数图象 考点01 1．如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 2．如图1，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 一次函数的图象和性质 考点02 3．（2026·河北石家庄·一模）如图，一次函数经过点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解是 C．P为的中点 D．当时， 4．当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 5．若一次函数y＝2x+b（b是常数）向上平移5个单位后，图象经过第一、二、三象限，则b的取值范围是_____． 6．（2026·河北张家口·一模）平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0该点向下平移1个单位，若余数为1向右平移1个单位，若余数为2向上平移1个单位，若余数为3向左平移1个单位，若余数为4不动．已知整点满足，连续平移6次后恰好落在直线上，则点P平移前的横坐标为________． 一次函数与简单几何图形的综合 考点03 7．（2026·河北张家口·一模）如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 8．（2026·河北邢台·一模）如图，正方形的顶点，分别在轴负半轴，轴正半轴上，点在直线上，直线分别交轴，轴于点，将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（2026·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，直线：经过点．将正方形沿轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有（   ） ①直线l的解析式为； ②正方形的边长为： ③平移距离； ④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 10．（2026·河北衡水·模拟预测）如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为，． (1)当直线将矩形分成周长相等的两部分时， ①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②求此时直线的解析式； (2)当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 11．（2026·河北保定·二模）如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，已知点． (1)如图，过点C作直线：． ①用含k的代数式表示b； ②若直线与线段有交点（不包含A，B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，若，且k，m均为整数，求m的值． 12．在平面直角坐标系xOy中，已知点，对于点给出如下定义：将点向右（）或向左平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点关于点的“联络点”． (1)若点，点，则点关于点的“联络点”的坐标为______； (2)如图，若点与点关于原点对称，点关于点的“联络点”为点， ①求作：点和点（尺规作图，保留作图痕迹）； ②连接，在上取点，使轴，连接OT，求证：； (3)已知点是直线上的动点，点是直线上的定点，点关于点的“联络点”为点，若线段CE长的取值范围是，直接写出所有符合题意的点的横坐标的取值范围． 一次函数实际应用问题 考点04 13．（2026·河北廊坊·一模）某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库、甲平均每小时扫描200件快递入库．乙平均每小时送150件快递出库．某天仓库里原有若干件快递，甲工作2小时后，乙开始工作．又过了3小时后，甲离开，乙按原速工作．当天仓库里的快递数量y（件）与时间x（小时）之间的部分关系图象如图所示． (1)该天仓库里原有 件快递，点A的坐标为 ； (2)分别求和时，y与x之间的函数解析式； (3)已知仓库里的快递数量不少于a件称作仓库“半饱和”，该天“半饱和”状态持续了小时，求a的值． 14．区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小明爸爸驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为50千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即加速以另一速度匀速行驶（加速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时，汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为___________． (2)求加速后与之间的函数关系式； (3)在此区间测速路段内，该辆汽车加速后是否超速，请说明理由．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 15．（2026·河北张家口·一模）保定高新区某新能源材料公司生产锂电池电解液，需将甲、乙两种原料液按一定比例混合配制．已知每毫升甲、乙两种原料液的生产成本之比为．若使用20毫升甲原料液和30毫升乙原料液进行配制，总成本为360元． (1)设每毫升甲原料液的成本为a元，用含a的代数式表示：①每毫升乙原料液的成本为________；②取用x毫升甲原料液、y毫升乙原料液时的总生产成本为________． (2)求甲、乙两种原料液每毫升的成本各是多少元． (3)按照生产标准配制电解液150毫升时，要求甲原料液用量不少于40毫升，且乙原料液用量y满足．设甲原料液用量为x毫升，总成本为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当甲、乙两种原料液各取用多少毫升时，总成本最低？最低总成本是多少元？ 16．（2026·河北石家庄·一模）动物园内的一条公路如图1所示，园内有观光班车，每隔10分钟有一辆班车从入口处发车，沿该公路开往熊猫馆，途中停靠海洋馆（上下车时间忽略不计）．张明假期到动物园游玩，到达入口处，发现班车发车时间还没到，于是沿该公路步行30分钟后到达海洋馆，张明与班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示．（每一班车速度均相同，张明步行速度不变） (1)求张明步行的速度． (2)求第一辆班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式． (3)张明在海洋馆游玩35分钟后，步行前往熊猫馆，则途中从他后方开来的班车追上他时，他距离熊猫馆还有多少米？ 17．（2026·河北石家庄·一模）有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知与满足一次函数关系．解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)当探针浸入液面以下的长度为12时，求装置内液体的体积； (3)当探针与液面刚接触时，求装置内液面的高度． 18．（2026·河北保定·一模）如图1，在一个虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器，实验开始的短时间内，水流速度v与时间t的关系成线性关系，其变化如图2所示．在实验开始的6s后，通过持续向高位容器补水，使高位容器的液面高度维持恒定，此时水流速度保持恒定． (1)求时，水流速度v与时间t的函数解析式； (2)求第6s的水流速度； (3)若虹吸管水流方向的横截面面积为，当每秒出水量为时，求此时对应的时间． 19．（2026·河北廊坊·一模）【学科融合】生物科研人员正在研究人体对酒精（乙醇）的代谢过程（饮酒量相同）． 素材1：在酒精代谢阶段，每血液中的酒精浓度与饮酒后时间成一次函数关系； 素材2：代谢较快的甲类人群每血液中的酒精浓度与饮酒后时间满足； 素材3：代谢较慢的乙类人群每血液中的酒精浓度为，数据显示，当饮酒后时，，当饮酒后时，． 【问题解决】 (1)乙类人群饮酒后． ①求乙类人群每血液中的酒精浓度与饮酒后时间之间的函数关系式；（不必写自变量的取值范围） ②当饮酒后时，求每血液中的酒精浓度； (2)在两类人同时饮酒的情况下，是否存在一个x的值，使得比大？若存在，求出x的值；若不存在，请你通过计算说明理由． 20．（2026·河北秦皇岛·一模）某水果种植基地计划租若干辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）送往外地，要求每辆货车只能装运一种水果，且必须装满．设装运苹果的货车有辆，总利润为元． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)若装运苹果的货车有3辆，则装运橘子的货车有_____辆； (2)求与之间的函数关系式（不写的取值范围）； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，要想获得最大利润，求安排装运苹果的货车的辆数，并将最大利润的结果用科学记数法表示． 21．（2026·河北石家庄·一模）四月份是草莓上市的旺季，某超市在四月份（30天）每天均以5元千克的进价购进草莓千克；按15元千克的价格在日场销售，没有售出的草莓在夜场都按一定价格降价销售． 已知四月份草莓夜场销售的总利润（元）是每天草莓购进量（千克）的一次函数，并且当时，；当时，．销售部门统计了整个四月份草莓的日场销售情况如下表所示： 日场销售量千克 30 40 50 天数天 6 15 9 (1)求与的函数关系式（不写的取值范围）； (2)设四月份销售草莓的总利润为元（总利润日场利润夜场利润）． ①求四月份草莓日场销售的日平均利润； ②直接写出与的函数关系式（不写的取值范围）． (3)超市通过总利润的大小对销售部门进行业绩考核，考核等级为： 当万元时，业绩不合格； 当万元万元时，业绩合格； 当万元时，业绩优良． 请通过计算判断该销售部门的业绩考核等级． 二次函数的实际应用问题 考点05 22．从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是______． 23．如图①，小明和小亮分别站在平地上的两地先后竖直向上抛小球（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面．两球到地面的距离和与小球A离开小明手掌后运动的时间之间的函数图像分别是图②中的抛物线．已知抛物线经过点，顶点是，抛物线经过和两点，两抛物线的开口大小相同． （1）分别求出与x之间的函数表达式． （2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中． ①当x的值为__________时，两小球到地面的距离相等； ②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？ 24．中国女排队员平时刻苦训练，掌握了纯熟的技能，在赛场上敢拼敢打，是国民的骄傲，为备战杭州亚运会，女排队员克服重重困难，进行封闭集训．已知排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．    (1)若某队员第一次在O处正上方2米发球，当排球运行至离O的水平距离为6米时，到达最大高度2.8米． ①求排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式； ②这次所发的球能否过网________（填“能”或“否”）． (2)若该队员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问：该队员此次发球有没有出界？并说明理由． 25．（2026·河北衡水·模拟预测）某城市广场的一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状在如图所示的平面直角坐标系中，喷水头到水面轴的距离为，抛物线、是从喷水头处喷出的两股水流．经测量得，抛物线的最高点距离水面，且与喷水头的水平距离为，设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距水面的高度． (1)求抛物线的表达式； (2)若抛物线可以看作是向左平移个单位长度得到的． ①求的值； ②求抛物线与轴的交点的横坐标； (3)在（2）的条件下，管理人员操控无人机在抛物线，之间阴影区域飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围大于（不得接触水面和水柱）．设无人机与喷水头的水平距离为，直接写出的取值范围． 26．有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．              图1                                                     图2 (1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． (2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． (3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 27．（2026·河北石家庄·一模）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行跳台跳水训练，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳台长为6米，距离水面的高为5米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)直接写出起跳点A的坐标； (2)当时． ①求这条抛物线的表达式； ②求运动员落水点与起跳点的水平距离； (3)如图，米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 28．（2026·河北张家口·一模）在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图像经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． (1)求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式； (2)在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度． (3)在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； (4)在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 二次函数与简单几何图形的综合 考点06 29．（2026·河北石家庄·一模）如图，在正六边形中，，点，，为正六边形边上任意三点，且，当______时，的面积最大． 30．（2026·河北保定·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，顶点为P，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线的对称轴及顶点P的坐标； (2)若抛物线与关于直线对称，求m的值； (3)若抛物线与直线交于点C和D（点C在点D的左侧），当线段的长度在时，求a的取值范围； (4)连接，过点A作交抛物线于点E，连接．当时，直接写出此时点E的坐标． 31．（2026·河北廊坊·一模）抛物线：（m为常数，）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． (1)如图1，若点C的坐标为． ①求抛物线的函数解析式及点P的坐标； ②过点P作x轴的垂线，垂足为Q，与直线交于点M，求的长； (2)设点B到直线的距离为，点P到直线的距离为，，判断h是否为定值，如果是，求出h的值；如果不是，说明理由； (3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线与y轴交于点F，抛物线，相交于D，E两点，若四边形的面积为，直接写出m的值． 32．（2023·山西太原·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，点在点点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上一动点． (1)求点，和的坐标； (2)如图，当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴于点交直线于点，作于点，当的周长最大，求点的坐标； (3)作直线交直线于点，当点关于轴的对称点落在抛物线上时，在备用图中进行探究，并直接写出点的坐标． 33．（2026·河北邯郸·一模）已知二次函数的最大值是5，其图象记为抛物线． (1)直接写出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线：先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的坐标． 34．（2026·河北秦皇岛·一模）已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． (1)求出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 35．（2026·河北石家庄·一模）已知抛物线过和． (1)与之间的数量关系是_____； (2)若该抛物线开口向下，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标； (3)对于该抛物线上的两点，，设，当时，均有，请直接写出的取值范围； (4)在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴的平行线交直线于点，过点分别作轴的平行线交抛物线的对称轴于点．过点作的平行线交轴于点，当四边形在直线，直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，请直接写出点的横坐标的值． 36．如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． (1)求a的值及顶点D的坐标； (2)点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为G，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 二次函数的图象和性质的综合运用 考点07 37．（2026·河北石家庄·一模）如图，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点为直线上一点，且横坐标为7，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 38．（2026·河北石家庄·一模）如图，点，在直线上，，拋物线经过点，，顶点为． (1)若点横坐标为3， ①直接写出点，的坐标； ②求的函数表达式及点的坐标； (2)设点横坐标为， ①用含的代数式表示和，并求当为何值时，点到轴和轴的距离相等？ ②将向左平移后得到的抛物线记作，若恰好经过点，直接写出与的另一个交点的坐标． 39．（2026·河北邯郸·二模）如图1，图2，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．      (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是抛物线上位于点和点之间的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点．设点的横坐标为； ①用含的代数式表示线段的长； ②求的最大值及此时点的坐标； (3)现定义横、纵坐标都为整数的点称为“整点”．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，如图3．抛物线交线段于点、交抛物线于点．若图中阴影部分（不含边界）恰有5个整点，直接写出的取值范围．（注：阴影部分为线段，抛物线上点到点部分和抛物线上点到点部分围成的图形，不包含图形的边界） 40．（2026·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点，，与y轴交于点C，抛物线：（）经过A，B两点，与y轴交于点D． (1)求m与n的值； (2)若抛物线的顶点为E，连接，当直线恰好经过点C时，求b的值； (3)点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作垂直于x轴的直线，分别交抛物线，于点M，N，且M是的中点． ①求的最大值； ②设，，若实数d满足关于t的方程在内有实数根，求d的取值范围． 41．（2026·河北邢台·一模）已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； (2)若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； (3)如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 42．（2026·河北·一模）如图1，二次函数与轴交于点，二次函数经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)直线与函数，的图象有两个交点，求的值； (3)如图2，将函数的图象向右平移8个单位得到函数的图象，且函数的图象与函数交于，两点，直线与交于点． ①连接，，，求的面积； ②若点位于，两点之间的封闭曲线内（不包括边界），请直接写出的取值范围． 43．如图，抛物线（，为常数）经过点和点，已知点，，线段MN上方有两个台阶，每个台阶的高、宽都是1． (1)求抛物线的解析式，并直接写出其对称轴和顶点坐标． (2)判断抛物线是否经过点M，并说明理由． (3)若线段MN带动台阶以每秒2个单位长度的速度沿某一方向平移，设平移的时间为t秒． ①若平移后，台阶上的拐点（即点C，D，E，F）中有一个恰好与抛物线的顶点重合，请直接写出哪个拐点与抛物线的顶点重合时对应的t值最小，并求出该最小值． ②若台阶从初始位置竖直向下平移，当台阶与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． 44．（2026·河北唐山·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线P：（b是常数）经过点，抛物线Q：． (1)求P的解析式及对称轴； (2)将P向上平移，使每次平移后的图象与x轴的左、右交点分别向左、右平移1个单位长度，设平移后抛物线的最高点与x轴的距离为d． ①当时，求平移的次数； ②当平移第n次后，求d（用含n的式子表示）． (3)将P按照（2）中的平移方式向上平移一次得到抛物线，Q恰好经过与x轴的左交点，与组成新函数L，当时，L的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 45．（2026·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． (1)若点和都是相反点，则_____，_____． (2)小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式； (3)小芳在研究抛物线：时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”．请你帮她求出a，b的值． (4)在（3）的条件下将抛物线向上平移个单位得到抛物线，若上有两个“相反点”分别是，（其中，且） ①求m的值； ②当时，直接写出中y的最大值与最小值的差． 46．（2026·河北张家口·一模）如图，抛物线经过点，顶点为．抛物线的顶点在上，与轴交于点，与交于点．    (1)求的解析式，并用含的式子表示； (2)嘉嘉说：若，总经过一个定点．嘉嘉说得正确吗？若正确，求出这个点的坐标；若不正确，请说明理由； (3)若，与两个交点的对称中心在轴上，求的值； (4)若点和都在上，且，直接写出的取值范围． 反比例函数的图象和性质 考点08 47．（2026·河北保定·二模）已知点和在反比例函数（）的图象上，直线（）与该反比例函数的图象交于A，C两点，则下列结论正确的是（    ） A．点A在点B的下方 B．点C在点A的上方 C．点B在点C的上方 D．点A，B均在x轴的下方 48．若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 49．（2026·河北石家庄·一模）反比例函数在每一象限内y随x的增大而增大，则m的取值范围是_____． 50．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（–5，2），N（–1，2），已知点M在反比例函数的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段． （1）k的值为________； （2）若在线段上总有在反比例函数图象上的点，则n的最大值为________； 反比例函数比例系数k的几何意义 考点09 51．（2026·河北邯郸·二模）如图，点在反比例函数的图象上， 轴于点，轴于点，，，连接，．若四边形的面积为3，则k的值为（   ）． A．6 B．9 C．10 D．12 52．（2026·河北·一模）如图，把两个三角板放在平面直角坐标系中，过点的曲线为的图象，过点的曲线为的图象，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 53．（2026·河北张家口·一模）如图，的边在x轴上，连接，点D是的中点，反比例函数的图象经过A和D两点．若的面积为24，则k的值为_______． 反比例函数与简单几何图形的综合 考点10 54．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，，点和点都在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点．的值为（   ） A． B． C． D． 55．（2026·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 56．（2026·河北唐山·一模）如图，点C是第一象限内一点，过点C分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M、N不重合）．（   ） 甲、乙两位同学给出了下面的结论： 甲：与的面积一定相等； 乙：若，则． A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 57．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BCD＝60°，则的值是（    ） A．－ B．－ C．－ D．－ 58．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，点B、C在x轴上，点D在y轴上，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若点也在反比例函数的图象上，则的面积为______． 59．（2026·河北石家庄·一模）如图的顶点，，，若反比例函数的图象与的边（含顶点）有公共点，则的整数值共有__________个． 60．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，以为位似中心，在第一象限作矩形的位似图形，使矩形与矩形的位似比为，反比例函数的图象恰好经过点，且与边交于点．若点的坐标为，则点的坐标为_____． 反比例函数的实际应用问题 考点11 61．（2026·河北张家口·一模）一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（   ） A．函数解析式为： B．当体积为5升时，压强为80千帕 C．体积越大，对应的压强越大 D．当压强为200千帕时，体积为2升 62．（2026·河北邢台·一模）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间成反比例函数关系，图象如图所示，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 63．（2026·河北张家口·一模）如图，四边形是正方形，点E，G分别是边上的动点，且，分别作，，与交于点F，设，，则下列图象能反映y与x函数关系的是（   ） A． B． C． D． 64．（2026·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点A，C，E，G均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高_________． 65．综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 66．（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 67．（2026·河北邯郸·二模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站（如图）距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站进行测试，发现信号强度（单位：相对值）与手机到基站距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数．测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． (1)求常数k的值，并写出P关于x的函数解析式； (2)网络工程师将信号强度划分为以下等级： 信号强度 等级 优秀 良好 一般 弱覆盖 用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线 若测试人员从基站出发，沿直线匀速步行，速度．设出发后的时间为秒，他与基站的距离为米．当秒时，测试人员所处位置的信号强度等级是什么？请通过计算说明； (3)该基站的信号覆盖边缘定义为信号强度降至单位的位置．若该基站周围为平坦开阔地形，信号向各个方向均匀传播，求该基站的信号覆盖面积（即信号强度不低于单位的区域面积），结果保留． 多种函数的综合 考点12 68．（2026·河北邢台·一模）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式可以是___________（只写出符合条件的一个即可）． 69．（2026·河北保定·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 70．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 71．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．    (1)求点的坐标； (2)用的代数式表示； (3)当的面积为9时，求一次函数的表达式． 72．（2026·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比它的横坐标的2倍还大1个单位长度，那么我们把这样的点叫做“好点”，如点和都是“好点”．如图，抛物线的顶点是“好点”，并且抛物线的开口方向和大小都不变．已知当顶点为时，与轴的交点为，直线与轴轴分别交于点，，设顶点的横坐标为． (1)当时，求与轴交点的坐标； (2)下面是关于的两个结论： 甲：与轴的交点有最高点． 乙：与轴的交点会沿轴的正半轴无限延伸． 请你判断哪个结论是正确的？并通过计算或推理说明理由． (3)若点在内部（不含边界），则对于上的点和点，比较与的大小； (4)当与线段只有一个公共点（含端点）时，直接写出的取值范围． 73．【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 试卷第2页，共127页 2/33 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 12大考点概览 考点01动点问题的函数图象 考点02一次函数的图象和性质 考点03一次函数与简单几何图形的综合 考点04一次函数实际应用问题 考点05二次函数的实际应用问题 考点06二次函数与简单几何图形的综合 考点07次函数的图象和性质的综合运用 考点08比例函数的图象和性质 考点09例函数比例系数k的几何意义 考点10例函数与简单几何图形的综合 考点11例函数的实际应用问题 考点12函数的综合 动点问题的函数图象 考点01 1．如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 2．如图1，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】首先推导出，利用三角形相似求出关于的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键． 【详解】解：，， ． ， ． ， ． ， ， ， 设，则， 整理得， 由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 抛物线过点， ， 解得， ， ， ． 故选：C． 一次函数的图象和性质 考点02 3．（2026·河北石家庄·一模）如图，一次函数经过点，与x轴交于点B，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解是 C．P为的中点 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：A、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； B、方程的解是，原选项不符合题意； C、∵一次函数经过点，点， 解得： ∴一次函数解析式为，当时，， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； D、当时，，原选项不符合题意． 4．当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】A 【分析】根据一次项系数的正负判断函数在上的增减性，再结合最大值为，求解的值． 【详解】解：一次函数的斜率为，分两种情况讨论： ①当时： 函数在上随着的增大而增大，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得． ②当时： 函数在上随着的增大而减小，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得，但不满足，舍去． ③当时： 函数为常函数，最大值为，不符合最大值为，舍去． 综上所述，． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数的单调性与最值，解题关键是分斜率正负讨论函数的增减性，再结合区间端点求最值． 5．若一次函数y＝2x+b（b是常数）向上平移5个单位后，图象经过第一、二、三象限，则b的取值范围是_____． 【答案】b >﹣5 【分析】先由“上加下减”的平移规律求出y=2x+b的图象向上平移5个单位后的解析式，再根据一次函数图象与系数的关系即可求解． 【详解】解：将一次函数y＝2x+b（b是常数）向上平移5个单位后，得到的函数解析式为y=2x+b+5， 又平移后的函数图象经过第一、二、三象限，， ， 解得， 故b的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，正确得出函数图象平移后的解析式是解题的关键． 6．（2026·河北张家口·一模）平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为“整点”．整点每次平移的规则：横纵坐标之和除以5，若余数为0该点向下平移1个单位，若余数为1向右平移1个单位，若余数为2向上平移1个单位，若余数为3向左平移1个单位，若余数为4不动．已知整点满足，连续平移6次后恰好落在直线上，则点P平移前的横坐标为________． 【答案】8 【分析】根据平移规则依次推导次平移后点的坐标表达式，再结合平移后点在已知直线上，联立方程求解即可得到平移前的横坐标． 【详解】解：由题意得，记第次平移后点的坐标为，为横纵坐标之和， 则，， ∴余数为， ∴第次向右平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向上平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向左平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向上平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向左平移个单位， ∴； ∴，余数为， ∴第次向上平移个单位， ∴， ∵平移次后点落在直线上， ∴满足， ∴代入得： ， 联立得， ∴两式相加得 解得． 一次函数与简单几何图形的综合 考点03 7．（2026·河北张家口·一模）如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式为，则可得到，根据矩形的性质可得直线经过矩形的中心，即经过的中点，根据中点坐标公式得到的中点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得： ， ∴， ∴直线的解析式为， ∵直线， ∴； ∵直线将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过矩形的中心，即经过的中点， ∵，， ∴的中点的坐标为， ∴， ∴． 8．（2026·河北邢台·一模）如图，正方形的顶点，分别在轴负半轴，轴正半轴上，点在直线上，直线分别交轴，轴于点，将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】首先将点的坐标代入直线的解析式求出的值，确定直线的方程；然后过点作轴的垂线，利用正方形的性质和全等三角形的判定与性质求出点的坐标；最后根据平移规律表示出平移后点的坐标，代入直线的解析式即可求出的值． 【详解】解：将点代入，得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴于点， ∵， ∴， ∵四边形正方形 ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵A在轴负半轴 ∴， ∴， ∴， ∴， 将正方形沿轴向左平移个单位长度后，点的对应点的坐标为， ∵点落在直线上， ∴， 解得． 9．（2026·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，直线：经过点．将正方形沿轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有（   ） ①直线l的解析式为； ②正方形的边长为： ③平移距离； ④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由待定系数法求解函数表达式，判断结论①；过点作轴交于点，过作轴交于点，证明，可得、长度，求出长度，判断结论②；由得出点坐标以及移动后的坐标，代入直线表达式，求出，判断结论③；由中点坐标得出正方形对角线的交点坐标，再得出平移后坐标，即可求其到原点的距离，判断结论④． 【详解】解：∵点在直线：上， ∴， 解得， ∴直线：，故结论①正确； 过点作轴交于点，过作轴交于点，如下图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 由勾股定理得，故结论②错误； 同理可证， ∴，， ∴点，平移后点坐标为， 点在直线：上， 代入得， 解得，故结论③正确； 平移前，对角线交点为中点， ∵、, 其坐标为, 平移后坐标为， 到原点距离为，故结论④正确； 综上，正确的结论有①③④，故选C． 10．（2026·河北衡水·模拟预测）如图1，矩形的边在平面直角坐标系的轴上，的中点与坐标原点重合，已知，，点的坐标是，点是轴上一点，作直线．设点的坐标为，． (1)当直线将矩形分成周长相等的两部分时， ①请在图2中作出直线（无需尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； ②求此时直线的解析式； (2)当直线与线段有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①作图见解析；② (2) 【分析】①连接，交于点，作直线，即可求解； ②根据题意得出，直线的解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）分别求得直线经过点的解析式，的值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：①连接，交于点， 四边形是矩形，的中点与坐标原点重合， 轴是矩形的对称轴， 点在轴上， 直线将矩形分成周长相等的两部分； ②， ， ， 设直线的解析式为，代入，得， ， ， 直线的解析式为； （2）设直线对应一次函数为：， 经过点时，即经过和两点， ， 解得：，， 当直线经过点和点 解得：， 综上所述，当时，直线与线段有公共点． 11．（2026·河北保定·二模）如图，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，已知点． (1)如图，过点C作直线：． ①用含k的代数式表示b； ②若直线与线段有交点（不包含A，B两点），求k的取值范围； (2)平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，若，且k，m均为整数，求m的值． 【答案】(1)①；②； (2)2或4或16或 【分析】（1）①代入点C的坐标，即可得到k与b的关系； ②先根据函数解析得到点A和点B的坐标，观察题目图象，可知当直线经过点A和点B时，k分别取得最大值和最小值，代入坐标求解即可； （2）由轴，可知的横坐标为，代入D和E的横坐标到对应的直线解析式，得到对应的纵坐标，令纵坐标相等求出m与k的关系，再根据k和m都为整数的条件，求整数解即可． 【详解】（1）解：①∵点在直线：上， ∴， ∴； ②∵直线：交x轴于点A，交y轴于点B， ∴，， 由①得， ∴直线：， 当直线：经过点时，，解得， 当直线：经过点时，，解得， ∴直线与线段有交点（不包含A，B两点）时，k的取值范围为； （2）解：∵平行于x轴的直线分别交，于D，E两点，点E在点D的右侧，点E的横坐标为m，， ∴设，， 又∵点D在直线上，点E在直线上， ∴，， ∴， ∴， ∵k，m均为整数， ∴， ∴m的值为2或4或16或． 12．在平面直角坐标系xOy中，已知点，对于点给出如下定义：将点向右（）或向左平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点关于点的“联络点”． (1)若点，点，则点关于点的“联络点”的坐标为______； (2)如图，若点与点关于原点对称，点关于点的“联络点”为点， ①求作：点和点（尺规作图，保留作图痕迹）； ②连接，在上取点，使轴，连接OT，求证：； (3)已知点是直线上的动点，点是直线上的定点，点关于点的“联络点”为点，若线段CE长的取值范围是，直接写出所有符合题意的点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意得出点向右平移一个单位得到，再得出点关于点对称点 即可求解； （2）①根据新定义画出图形，即可求解； ②连接，以为圆心，为半径作，延长线与交于点 ．设 交轴于点，得出，，，则，证明四边形为平行四边形即可得证； （3）设，，根据新定义可得，即始终在直线上运动，根据题意可得直线与直线之间的距离大于或等于，直线与轴交于点直线与轴交于点，进而列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，点向右平移一个单位得到， 点关于点对称点 ∴点关于点的“联络点”的坐标为， 故答案为：． （2）①以为圆心，为半径，作弧交轴于点，分别以、为圆心，为半径作弧交于点，连接 ，交轴于点 即为所求， ②连接，以为圆心，为半径作，延长线与交于点 ． 设 交轴于点， ，，， 为中点，即． ， 为中点，轴， ， ∴, ∴T是的中点, ∴， 四边形为平行四边形， ． （3）设，， ，点关于点对称点 始终在直线上运动 直线与直线之间的距离大于或等于 设直线与轴交于点，则，过点作于点，则是等腰直角三角形， 直线与轴交于点，则， ∴， 解得或 即或 【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，平移与轴对称的性质，平行四边形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握基本几何变换是解题的关键． 一次函数实际应用问题 考点04 13．（2026·河北廊坊·一模）某小区的菜鸟驿站由揽收员甲负责扫描快递入库，派送员乙负责运送快递出库、甲平均每小时扫描200件快递入库．乙平均每小时送150件快递出库．某天仓库里原有若干件快递，甲工作2小时后，乙开始工作．又过了3小时后，甲离开，乙按原速工作．当天仓库里的快递数量y（件）与时间x（小时）之间的部分关系图象如图所示． (1)该天仓库里原有 件快递，点A的坐标为 ； (2)分别求和时，y与x之间的函数解析式； (3)已知仓库里的快递数量不少于a件称作仓库“半饱和”，该天“半饱和”状态持续了小时，求a的值． 【答案】(1)200，(2，600) (2) (3) 【分析】（1）根据图像即可求解； （2）分时间段根据数量变化规律求函数解析式； （3）结合“半饱和”状态的持续时间列方程求解． 【详解】（1）解：根据题意，该天仓库里原有件快递， 点A的坐标为； （2）当时，设y关于x的函数解析式为． 将坐标和代入得： 解得 ． 而派送员乙送750件需要的时间是（小时）， 函数图象与x轴的交点坐标是． 当时，设y关于x的函数解析式为 将坐标和代入得： 解得 ， y关于x的函数解析式为． （3） 当时，．解得 当时，．解得． 解得． 14．区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度，小明爸爸驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为50千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即加速以另一速度匀速行驶（加速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时，汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． (1)的值为___________． (2)求加速后与之间的函数关系式； (3)在此区间测速路段内，该辆汽车加速后是否超速，请说明理由．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】(1) (2) (3)没有超速，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据平均速度总路程总时间计算即可得出结果； （2）先求出加速前的速度为千米/时，从而可得匀速行驶小时，所走的路程为千米，设加速后与之间的函数关系式，将，代入解析式计算即可得出结果； （3）由（2）可得在此区间测速路段内，该辆汽车加速后速度为千米/时，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：∵该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时， ∴； （2）解：加速前的速度为：（千米/时）， ∴匀速行驶小时，所走的路程为（千米）， 设加速后与之间的函数关系式， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴加速后与之间的函数关系式； （3）解：没有超速，理由如下： 由（2）可得在此区间测速路段内，该辆汽车加速后速度为千米/时， ∵， ∴没有超速． 15．（2026·河北张家口·一模）保定高新区某新能源材料公司生产锂电池电解液，需将甲、乙两种原料液按一定比例混合配制．已知每毫升甲、乙两种原料液的生产成本之比为．若使用20毫升甲原料液和30毫升乙原料液进行配制，总成本为360元． (1)设每毫升甲原料液的成本为a元，用含a的代数式表示：①每毫升乙原料液的成本为________；②取用x毫升甲原料液、y毫升乙原料液时的总生产成本为________． (2)求甲、乙两种原料液每毫升的成本各是多少元． (3)按照生产标准配制电解液150毫升时，要求甲原料液用量不少于40毫升，且乙原料液用量y满足．设甲原料液用量为x毫升，总成本为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当甲、乙两种原料液各取用多少毫升时，总成本最低？最低总成本是多少元？ 【答案】(1)①元；②元 (2)甲原料液成本：元毫升；乙原料液成本：8元毫升 (3)①；②甲取75毫升，乙取毫升时，总成本最低，为元 【分析】（1）根据甲乙每毫升成本比为，甲成本为元毫升，由比例得乙成本为元毫升；取毫升甲、毫升乙，即可得到总成本； （2）根据20毫升甲、30毫升乙总成本360元，列方程，进行求解即可； （3）①根据题意得，甲用量毫升，乙用量毫升，则可得到总成本为，结合、，求出范围即可；②先判断出随增大而减小，再进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵甲、乙每毫升成本比为，甲为元毫升， ∴乙的成本为元毫升； ②∵取用毫升甲、毫升乙， ∴总成本为； （2）解：由题意得， 解得， ∴甲原料液成本：元毫升；乙原料液成本：元毫升； （3）解：①∵甲用量为毫升， ∴乙用量毫升， ∴总成本 ， ∵甲用量不少于40毫升，即；，即， ∴ 解得， 解得， ∴的取值范围：，函数关系式为； ②∵在函数中，， ∴随的增大而减小， ∵要使总成本最低， ∴取的最大值， 此时，甲用量：75毫升；乙用量：毫升， 最低总成本：元． 【点睛】本题核心是比例转化、一次函数最值与不等式约束，先通过比例表示乙成本，列方程求单价，再结合用量约束求函数定义域，利用一次函数单调性求最低成本． 16．（2026·河北石家庄·一模）动物园内的一条公路如图1所示，园内有观光班车，每隔10分钟有一辆班车从入口处发车，沿该公路开往熊猫馆，途中停靠海洋馆（上下车时间忽略不计）．张明假期到动物园游玩，到达入口处，发现班车发车时间还没到，于是沿该公路步行30分钟后到达海洋馆，张明与班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数关系如图2所示．（每一班车速度均相同，张明步行速度不变） (1)求张明步行的速度． (2)求第一辆班车离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式． (3)张明在海洋馆游玩35分钟后，步行前往熊猫馆，则途中从他后方开来的班车追上他时，他距离熊猫馆还有多少米？ 【答案】(1)米每分钟 (2) (3)米 【分析】（1）用路程除以时间可得速度； （2）用待定系数法即可求解； （3）分析当张明在海洋馆游玩35分钟后，步行前往熊猫馆，考虑哪辆班车在他后面即可求解． 【详解】（1）解：由题可知，张明步行的速度为：（米每分钟） （2）解：设离入口处的路程（米）与时间（分）的函数表达式为：， 将和代入得：， 解得：， 则函数表达式为：， （3）解：由题可知，班车的速度为：（米每分钟） ∵每隔10分钟有一辆班车从入口处发车，则35，45，55，65分钟都有班车出发， 班车从入口到海洋馆的时间为：（分钟） ∴当张明在海洋馆游玩35分钟后，步行前往熊猫馆时，55分的时候班车出发10分钟， 则距离张明：（米） 设张明与班车的相遇时间为分钟， ∴， 解得：， 则张明距离熊猫馆为：（米） 17．（2026·河北石家庄·一模）有一个内壁为圆柱形的实验装置，如图，其顶部竖直悬置的探针可监测装置内液面的高度，当液面与探针接触时开始记录实验数据．设探针浸入液面以下的长度为（单位：），装置内液体体积为（单位：）．下表为两次实验所记录的相关数据： 液面以下探针长度（单位：） 装置内液体体积（单位：） 第1次实验 5 100 第2次实验 10 150 若探针粗细忽略不计，已知与满足一次函数关系．解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)当探针浸入液面以下的长度为12时，求装置内液体的体积； (3)当探针与液面刚接触时，求装置内液面的高度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）根据题目给出的两组对应数值，利用待定系数法设出一次函数解析式，列方程组求解和； （2）将的值代入求得的函数解析式中，计算对应的值； （3）理解“探针与液面刚接触”意味着浸入长度，此时对应的体积即为初始体积，结合圆柱体积公式，利用体积的变化量与高度的变化量成正比来求解液面高度 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 根据题意，将和代入得， ， 解得：， 与之间的函数表达式为． （2）解：当时， ． （3）解：当探针与液面刚接触时，． 将代入， 得：， 由题意知，当从变为时， 从50变为100． ∵装置为圆柱形，体积与高度成正比， ∴体积增加时， 高度增加． ∴当体积为时，液面的高度为． 18．（2026·河北保定·一模）如图1，在一个虹吸实验中，水从高位容器通过虹吸管流入低位容器，实验开始的短时间内，水流速度v与时间t的关系成线性关系，其变化如图2所示．在实验开始的6s后，通过持续向高位容器补水，使高位容器的液面高度维持恒定，此时水流速度保持恒定． (1)求时，水流速度v与时间t的函数解析式； (2)求第6s的水流速度； (3)若虹吸管水流方向的横截面面积为，当每秒出水量为时，求此时对应的时间． 【答案】(1) (2) (3)此时的时间为第 【分析】（1）因为时，与成一次函数关系，所以可设一次函数解析式，利用图2中和时的值代入求解． （2）先求出当时，水流速度v与时间t的函数解析式为，再将代入计算对应的值． （3）因为每秒出水量等于横截面积乘以水流速度，所以先根据出水量求出对应的值，再水流速度判断的时间范围，代入对应区间的函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时，设水流速度v与时间t的函数解析式为， 将和分别代入，得，解得， ∴当时，水流速度v与时间t的函数解析式为． （2）解：当时，设水流速度v与时间t的函数解析式为， 将和分别代入，得，解得， ∴当时，水流速度v与时间t的函数解析式为， 当时，， ∴第6s的水流速度为． （3）解：∵每秒出水量为， ∴水流速度为， 由（2）得在范围内，水流速度最小为， ∴将代入中，得，解得， ∴当每秒出水量为时，此时的时间为第． 19．（2026·河北廊坊·一模）【学科融合】生物科研人员正在研究人体对酒精（乙醇）的代谢过程（饮酒量相同）． 素材1：在酒精代谢阶段，每血液中的酒精浓度与饮酒后时间成一次函数关系； 素材2：代谢较快的甲类人群每血液中的酒精浓度与饮酒后时间满足； 素材3：代谢较慢的乙类人群每血液中的酒精浓度为，数据显示，当饮酒后时，，当饮酒后时，． 【问题解决】 (1)乙类人群饮酒后． ①求乙类人群每血液中的酒精浓度与饮酒后时间之间的函数关系式；（不必写自变量的取值范围） ②当饮酒后时，求每血液中的酒精浓度； (2)在两类人同时饮酒的情况下，是否存在一个x的值，使得比大？若存在，求出x的值；若不存在，请你通过计算说明理由． 【答案】(1)①；② (2)不存在，见解析 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①理解题意，设，运用待定系数法求解，即可作答； ②理解题意，将代入计算，即可作答． （2）理解题意，建立，得，再代入，得出，又因为，故不存在一个x的值，使比大． 【详解】（1）解：①依题意，设， 将，代入表达式， 得， 解得， ∴与x的函数关系式为； ②依题意，将代入中， 得； （2）解：不存在；过程如下： 由（1）中的①得， ∵， 依题意，得， 解得， 当时，， 由题意得， ∴不存在一个x的值，使比大． 20．（2026·河北秦皇岛·一模）某水果种植基地计划租若干辆货车装运苹果和橘子共60吨（苹果和橘子都有）送往外地，要求每辆货车只能装运一种水果，且必须装满．设装运苹果的货车有辆，总利润为元． 苹果 橘子 每辆车装载量（吨） 4 6 每吨获利（元） 1200 1500 (1)若装运苹果的货车有3辆，则装运橘子的货车有_____辆； (2)求与之间的函数关系式（不写的取值范围）； (3)若装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数，要想获得最大利润，求安排装运苹果的货车的辆数，并将最大利润的结果用科学记数法表示． 【答案】(1)8 (2) (3)安排装运苹果的货车6辆，最大利润为元 【分析】根据题意列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意先算出橘子的总吨数，再结合每辆车橘子装载量，进行计算，即可解题； （2）分别表示出苹果的利润和橘子的利润，再求和，即可解题； （3）根据“装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数”建立不等式求出的取值范围，再结合一次函数性质求解，即可解题． 【详解】（1）解：（辆）， （2）解：由题知，； （3）解：装运苹果的货车的辆数不得少于装运橘子的货车的辆数， ，且为正整数， ∴， ， 随的增大而减小， 当时，利润最大， 即安排装运苹果的货车的辆数为时，利润最大为（元）． 21．（2026·河北石家庄·一模）四月份是草莓上市的旺季，某超市在四月份（30天）每天均以5元千克的进价购进草莓千克；按15元千克的价格在日场销售，没有售出的草莓在夜场都按一定价格降价销售． 已知四月份草莓夜场销售的总利润（元）是每天草莓购进量（千克）的一次函数，并且当时，；当时，．销售部门统计了整个四月份草莓的日场销售情况如下表所示： 日场销售量千克 30 40 50 天数天 6 15 9 (1)求与的函数关系式（不写的取值范围）； (2)设四月份销售草莓的总利润为元（总利润日场利润夜场利润）． ①求四月份草莓日场销售的日平均利润； ②直接写出与的函数关系式（不写的取值范围）． (3)超市通过总利润的大小对销售部门进行业绩考核，考核等级为： 当万元时，业绩不合格； 当万元万元时，业绩合格； 当万元时，业绩优良． 请通过计算判断该销售部门的业绩考核等级． 【答案】(1) (2)①410元；② (3)销售部门的业绩考核等级为合格 【分析】（1）设，根据题意可知当时，，当时，，将其代入求解即可； （2）①结合表格进行计算即可；②将日场和夜场利润结和起来计算即可； （3）分别计算当时和当时的利润，进而判断即可． 【详解】（1）解：设， 由题意得，当时，，当时，， ， 解得， ； （2）解：①由题意得，四月份草莓日场销售的日平均利润为 元； ②由题意得， ； （3）解：， 当时，随的增大而增大， 当时，； 当时，， ，即万元万元， 销售部门的业绩考核等级为合格． 二次函数的实际应用问题 考点05 22．从地面竖直向上抛出一小球，根据物理学规律，小球的高度h（单位：）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是，则小球运动中的最大高度是______． 【答案】45 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用知识点，解题的关键是将二次函数解析式化为顶点式来求最值． 已知小球高度与运动时间的关系式为二次函数，通过将其化为顶点式，根据二次函数性质求出最大值． 【详解】对于二次函数，先对其进行配方： 因为二次项系数，所以该二次函数图象开口向下，在顶点处取得最大值， 当时，取得最大值45，又因为3在这个取值范围内， 所以小球运动中的最大高度是45m． 故答案为：45． 23．如图①，小明和小亮分别站在平地上的两地先后竖直向上抛小球（抛出前两小球在同一水平面上），小球到达最高点后会自由竖直下落到地面．两球到地面的距离和与小球A离开小明手掌后运动的时间之间的函数图像分别是图②中的抛物线．已知抛物线经过点，顶点是，抛物线经过和两点，两抛物线的开口大小相同． （1）分别求出与x之间的函数表达式． （2）在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面的过程中． ①当x的值为__________时，两小球到地面的距离相等； ②当x为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？ 【答案】（1），；（2）①，②当x的值为1时，两球到地面的距离之差最大，最大是． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①令y1＝y2，即可求解；②在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，1≤x≤1+．当1≤x≤时，两球到地面的距离之差y1﹣y2＝﹣8x+13，进而求解；当＜x≤1+时，同理可得；进而求解． 【详解】解：（1）设与x之间的函数表达式为． ∵顶点Q的坐标是， ． 因为点在抛物线上， 所以点的坐标满足，即． 解得． ． ∵两抛物线的开口方向和大小相同， ∴设与x之间的函数表达式为． 因为点和都在抛物线上， 所以点和的坐标满足，即 解得 ． （2）①令y1＝y2，则﹣5（x﹣1）2+7＝﹣5x2+18x﹣11，解得x＝， 故答案为：； ②令，则． 解这个方程，得（不合题意，舍去）． 在小球B离开小亮手掌到小球A落到地面这个过程中，． 当时，两球到地面的距离之差． ， 随x的增大而减小． ∴当时，有最大值，最大值是5． 当时，两球到地面的距离之差． ， 随x的增大而增大． ∴当时，有最大值，最大值是． ． ∴当x的值为1时，两球到地面的距离之差最大，最大是． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的性质，分类求解和熟悉函数的性质是本题解题的关键． 24．中国女排队员平时刻苦训练，掌握了纯熟的技能，在赛场上敢拼敢打，是国民的骄傲，为备战杭州亚运会，女排队员克服重重困难，进行封闭集训．已知排球场的长度为18m，球网在场地中央且高度为2.24m．排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系．    (1)若某队员第一次在O处正上方2米发球，当排球运行至离O的水平距离为6米时，到达最大高度2.8米． ①求排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）的函数关系式； ②这次所发的球能否过网________（填“能”或“否”）． (2)若该队员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系，请问：该队员此次发球有没有出界？并说明理由． 【答案】(1)；能 (2)没有出界．理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线的图像性质解题． （1）根据顶点式列出抛物线方程，然后代入点求得a，即可得到函数关系式． （2）根据抛物线图像性质求解即可． 【详解】（1）解：（1）①由题意可得抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 把代入，得， 所求函数关系为． ②当时，则， 故能过网． （2）令，则， 解得（舍），． ， 没有出界． 25．（2026·河北衡水·模拟预测）某城市广场的一处喷泉景观，喷出的水柱呈抛物线形状在如图所示的平面直角坐标系中，喷水头到水面轴的距离为，抛物线、是从喷水头处喷出的两股水流．经测量得，抛物线的最高点距离水面，且与喷水头的水平距离为，设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距水面的高度． (1)求抛物线的表达式； (2)若抛物线可以看作是向左平移个单位长度得到的． ①求的值； ②求抛物线与轴的交点的横坐标； (3)在（2）的条件下，管理人员操控无人机在抛物线，之间阴影区域飞行，为了无人机的安全，要求无人机在竖直方向上的活动范围大于（不得接触水面和水柱）．设无人机与喷水头的水平距离为，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）设抛物线的表达式为代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）①根据平移的性质，设抛物线的解析式为：代入，即可求解； ②由①可知抛物线解析式为：令，解方程，即可求解； （3）根据题意且解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意抛物线的顶点为， 则抛物线的表达式为 将点代入得：， 解得 所以抛物线的解析式为： （2）解：①根据平移的性质，设抛物线的解析式为： 由于抛物线经过点，则 解得： ②由①可知抛物线解析式为： 令，则 解得：或（舍去） 点B的横坐标为 （3）解：根据题意且解 即且 解得： 26．有一种玩具叫“不倒翁”，图1所示的不倒翁自上而下由糖果盒、装饰盒、底座三层构成．这个不倒翁造型的底部纵截面边缘形成一条抛物线．若将不倒翁放在矩形桌面上，当其相对桌面静止时，最低点A距桌边线的水平距离为，此时，粘在玩具上的标边线签距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．已知不倒翁的底部最高点距桌面的垂直距离为．如图2，建立平面直角坐标系，其中点的横坐标表示这点与桌的边线的水平距离，纵坐标表示这点与桌面的垂直距离．              图1                                                     图2 (1)求这个不倒翁底座所在抛物线的函数表达式． (2)这个不倒翁糖果盒、装饰盒两部分纵截面边缘也恰好形成一条抛物线，且装饰盒上点距桌面的垂直距离为，距桌的边线的水平距离为．求这个不倒翁的总高度． (3)当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，它有越过左边线的部分吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解题时要能读懂题意，灵并能活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意知，底座抛物线的顶点坐标为，从而可设该二次函数解析式为，又过点，进而求出，可得解析式； （2）依据题意，由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、，故可设该二次函数解析式为，代入得建立方程组进而计算可以得解析式，再令从而可以得解； （3）依据题意，令，从而可得或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意知，底座抛物线的顶点坐标为， 故可设该二次函数解析式为， 又过点， ． ． ． （2）解：由题意知不倒翁果盒、装饰盒的抛物线过点、、， 故可设该二次函数解析式为，代入得 ， ，，． ． 当时，． 答：这个不倒翁的总高度为． （3）解：由题意，令， 或20，这说明，在静止时，点刚好在桌边得正上方． 当不倒翁向左摇摆恰好点在桌面上时，有一部分会偏离边线． 27．（2026·河北石家庄·一模）2024年巴黎奥运会跳水比赛项目中，中国“梦之队”以8金2银1铜完美收官．如图，某跳水运动员进行跳台跳水训练，身体（看成一点）在空中运动的路线是如图所示的一条抛物线，已知跳台长为6米，距离水面的高为5米，跳水曲线在离起跳点A水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)直接写出起跳点A的坐标； (2)当时． ①求这条抛物线的表达式； ②求运动员落水点与起跳点的水平距离； (3)如图，米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②运动员落水点与起跳点的水平距离为米 (3) 【分析】（1）根据跳台长为6米，高为5米，求解点A的坐标即可； （2）①根据，可得到抛物线的顶点坐标，设出顶点式，再将点A的坐标代入求解即可； ②令，求解x的值，取大的那个值，再作差求解即可； （3）分别求解当时与时的对应的函数值，由此求解即可． 【详解】（1）解：∵跳台长为6米，高为5米， ∴起跳点A的坐标为； （2）解：①根据题意，可得抛物线顶点坐标，， 又∵， ∴可设抛物线表达式为：， ∵点， 则，解得：， 故抛物线表达式为：； ②根据题意，抛物线表达式为：， 令，则，解得：，（舍去）． ∴， ∴运动员落水点与起跳点的水平距离为米； （3）解：根据题意，抛物线表达式为：， 将点代入可得：，即， 若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水， 则当时，，即，解得：， 当时，，即，解得：， 故． 28．（2026·河北张家口·一模）在科技节无人机编队表演中，其中两架无人机同时从地面起飞．设飞行时间为x（单位：秒），飞行高度为y（单位：米）．如图，无人机甲的飞行高度是x的二次函数，其图像经过点和点，且最高点M的坐标为；无人机乙起飞秒后上升至最高点A，此时高度为米，然后开始下降，最后与无人机甲同时落地． (1)求无人机甲高度关于飞行时间x的函数解析式； (2)在无人机乙下降过程中，两架无人机何时达到相同高度（不含落地时）？并求出此时飞行的高度． (3)在飞机整个飞行过程中，求两架无人机的最大垂直距离（垂直距离为同一时刻两机纵坐标之差的绝对值）； (4)在无人机乙下降的过程中，我们定义：最优垂直距离为“使得两架无人机的最大垂直距离尽可能小的那个距离值”．调整抛物线参数，使其经过点和，且最高点纵坐标不变，t满足，在两无人机首次与第二次处于同一高度的时段内，直接写出t为何值时，两架无人机达到最优垂直距离，并写出该最优垂直距离的值． 【答案】(1) (2)在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米． (3) (4)当秒时，最优垂直距离为米． 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）联立相应函数解析式求解即可； （3）先运用待定系数法求得无人机乙下降过程中的函数解析式，然后列绝对值方程并分类讨论求解即可； （4）由抛物线过和，最高点纵坐标不变20，设，利用待定系数法可得，然后根据两架无人机的最大垂直距离，利用二次函数的性质可得，再利用二次函数的性质结合求得的最小值，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：无人机甲的飞行高度为二次函数，已知顶点， 设顶点式． 代入点得：，解得：． 所以，即． （2）解：由题意可知：无人机乙下降过程是一次函数，且经过顶点， 设无人机乙下降过程的函数解析式为：， ，解得：， ∴无人机乙下降过程的函数解析式为：， 联立，解得：或（不合题意，舍去）； ∴在无人机乙下降过程中，两架无人机在5秒时达到相同高度，相同高度为15米． （3）解：垂直距离，分两段讨论： ① 乙起飞段：时，易得：， ， ∴对称轴为， 令，解得：或， 如图，当时，随的增大而增大， ∴时，； ∴的最大值为． ② 乙下降段：时， 令，解得：或， ∴对称轴为， 如图：当时，； 当时，； 当时，； 则当时，时，； 综上，两架无人机的最大垂直距离． （4）解：由抛物线过和，最高点纵坐标不变20， 设，顶点横坐标，代入顶点： ，解得：， ∴． 令， ，解得： ∵“最优垂直距离”指在时间x的取值范围为，最大垂直距离的最小值，且， ∴， ∵， ∴两架无人机的最大垂直距离， ∴抛物线开口方向向上，对称轴为，即当时，随t的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值， ∴当秒时，最优垂直距离为米． 二次函数与简单几何图形的综合 考点06 29．（2026·河北石家庄·一模）如图，在正六边形中，，点，，为正六边形边上任意三点，且，当______时，的面积最大． 【答案】9 【分析】过点作于，交于点，过、分别作于，于，连接，过点作于点，设，用含的代数式表示，进而列出与的函数关系式，并求出最大时，的长度． 【详解】解：如图，过点作于，交于点，过作于，连接交于点，过点作于点W， ∵正六边形， ，，， ， ， 同理可得，， ， ， ， ， ∴， ， ， 设， ， ， ， ， ∴四边形为矩形， ， 同理可得，，， 又∵， ∴， ， ∴， ∴ ， ， 当时，；， 即：当P，Q分别在，的中点时，最大． 【点睛】本题核心是将几何最值问题转化为二次函数问题，通过设高为变量，利用正六边形的角度与对称性表示底边长，再借助二次函数的顶点性质求解最大值． 30．（2026·河北保定·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正半轴交于点A，顶点为P，抛物线的顶点为Q． (1)求抛物线的对称轴及顶点P的坐标； (2)若抛物线与关于直线对称，求m的值； (3)若抛物线与直线交于点C和D（点C在点D的左侧），当线段的长度在时，求a的取值范围； (4)连接，过点A作交抛物线于点E，连接．当时，直接写出此时点E的坐标． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点P的坐标为 (2) (3) (4) 【分析】（1）直接利用二次函数 的顶点坐标公式得出对称轴方程及顶点 的坐标． （2）先求出原抛物线的顶点坐标，求出变换后抛物线的顶点坐标，再根据两点关于直线 对称，得出结论． （3）先利用抛物线与直线交点的横坐标差来表示线段长度．根据 的长度范围，建立关于 的不等式． （4）过点 作垂线，构造矩形．结合 及角度关系，推导出边角关系（）．再设 点坐标，利用几何关系表示相关线段．将 点坐标代入抛物线解析式，解一元二次方程，舍去不符合题意的解，得出最终坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，顶点P的坐标为． （2）解：∵抛物线与关于直线对称，且抛物线， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， ∵点与点是关于的对称点， ∴． （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线与直线交于点C和D，且点C在点D的左侧， ∴当时，，， ∴，， 将点代入中，解得， 当时，，， ∴，． 将点代入中，解得， ∴． （4）解：点E的坐标为． 如解图，连接交x轴于点F， 过点E分别作于点G，轴于点H， ∴． ∵抛物线，的对称轴均为直线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵抛物线， ∴． ∵当时，，解得，， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 设，则，， ∴， ∴， ∴点E的坐标是． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点E在抛物线上， ∴， 整理可得． ∵， ∴， ∴， 整理可得，解得（不符合题意，舍去），， ∴，， ∴点E的坐标是． 【点睛】解题关键：1．数形结合：第(2)、(3)问将几何变换（对称）和几何量（线段长）转化为代数运算（中点公式、解方程/不等式）． 2．方程思想（设参法）：第(4)问是典型难点，核心在于“设点求线”．通过设点 的坐标，利用（垂直、相似）转化线段关系，将线段用参数表示，最后代回解析式建立方程求解． 31．（2026·河北廊坊·一模）抛物线：（m为常数，）交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，顶点为点P． (1)如图1，若点C的坐标为． ①求抛物线的函数解析式及点P的坐标； ②过点P作x轴的垂线，垂足为Q，与直线交于点M，求的长； (2)设点B到直线的距离为，点P到直线的距离为，，判断h是否为定值，如果是，求出h的值；如果不是，说明理由； (3)如图2，将抛物线绕点旋转，得到抛物线，抛物线与y轴交于点F，抛物线，相交于D，E两点，若四边形的面积为，直接写出m的值． 【答案】(1)①，；② (2)h为定值，2 (3)m的值为3 【分析】（1）①将代入求出，即可得到抛物线的解析式；然后配方成顶点式即可求出点P的坐标； ②首先求出，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式为，然后求出，进而求解即可； （2）首先求出，，，，直线的函数解析式为，然后求出，然后得到，分别过点P，B作的垂线，垂足为G，H，则，，解直角三角形表示出，，然后代入求解即可； （3）作直线，得到抛物线和抛物线关于原点对称，推出，，四边形为平行四边形，设点，则点，联立求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：①∵点C的坐标为， ∴代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； ∴， ∴点； ②∵抛物线的解析式为 ∴当时， 解得，， ∴． 设直线的函数解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴， ∴； （2）解：h为定值2； ∵抛物线： ∴当时，， 解得，， ∴，． ∴，， 又∵， ∴ ∴直线的函数解析式为． 在中，，， ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，， ∴． 如图1，分别过点P，B作的垂线，垂足为G，H，则，． 在和中，， ∴． 在中，， 在中，， ∴，为定值； （3）解：如图2，作直线， ∵将抛物线绕点旋转，得到抛物线 ∴抛物线和抛物线关于原点对称 ∴，， ∴四边形为平行四边形． 设点，则点， ∴可得直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式，得， 解得（负值舍去）． ∴， ∴四边形的面积为，即， 解得． 32．（2023·山西太原·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，点在点点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上一动点． (1)求点，和的坐标； (2)如图，当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴于点交直线于点，作于点，当的周长最大，求点的坐标； (3)作直线交直线于点，当点关于轴的对称点落在抛物线上时，在备用图中进行探究，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是 (2)点的坐标是 (3)，， 【分析】（1）分别令，，即可求解； （2）可求直线的解析式为，设点的坐标为，由于当的周长最大时，斜边最大，从而可求； （3）进行分类讨论：①当直线与轴重合时，此时与重合；当直线与轴不重合时，设直线的解析式为：，从而可求出用表示的的坐标，将对称点的坐标代入抛物线，可求具体的值，从而可求解． 【详解】（1）解：把代入中， 得， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是， 把代入中， 得， 点的坐标是． （2）解：设直线的函数表达式为， 点，点， ， 解得， 直线的解析式为， ， 点，点， ， ， 设点的坐标为， 轴于点交直线于点， 轴，点的坐标为， ， ， 是等腰直角三角形， 当的周长最大时，斜边最大， ， ， 当时，取得最大值， 当时， ， 点的坐标是． （3）解：如图： ①当直线与轴重合时， 此时与重合， ， ②当直线与轴不重合时， 设直线的解析式为：， ， 解得：， ， ， 关于轴的对称点坐标为， ， 解得：， 直线的解析式为：， ， 解得：， ， ，， 的坐标为：或， 综合①②得：的坐标为，， ． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点求法，动点产生的最值问题，关于点的对称问题，掌握具体求法是解题的关键． 33．（2026·河北邯郸·一模）已知二次函数的最大值是5，其图象记为抛物线． (1)直接写出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线：先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②已知直线与轴交于点，与直线：交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)对称轴为直线， (2) (3)；或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可得到对称轴，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式；根据题意得到点，，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的最大值是5， ∴当时，， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； （3）解：， 则， 解：由题意点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的坐标为或． 34．（2026·河北秦皇岛·一模）已知二次函数的最大值是，其图象记为抛物线． (1)求出的对称轴及的值； (2)当时，函数的最大值是，最小值是，若，求的值； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到抛物线． ①直接写出抛物线的解析式； ②点在轴的负半轴上，过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线，分别交于点，．当时，直接写出点的横坐标． 【答案】(1)对称轴为直线， (2) (3)；或 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线计算即可，再根据当时，，列式即可得出的值； （2）先得到当和对应的的值，再得到二次函数图象在时的增减性，即可得到、的值，最后根据列式计算即可； （3）先将抛物线的解析式表示为顶点式，再根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，得到平移后的抛物线的解析式；设点，即可得到点，，的坐标，进而可表示出，的长，最后根据列式计算即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，， 解得； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为：， 当时，， 当时，， 对称轴为直线，抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， 当时，函数的最大值是，最小值是， 当时，取最大值，当时，取最小值， 即，， ， ， 解得，（负值舍去）， ； （3）解：， 则， 设点，则点，，， ， ， 当时，即， 解得或或（不合题意，舍去）， 当时，点的横坐标为或． 35．（2026·河北石家庄·一模）已知抛物线过和． (1)与之间的数量关系是_____； (2)若该抛物线开口向下，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标； (3)对于该抛物线上的两点，，设，当时，均有，请直接写出的取值范围； (4)在（2）的条件下，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是抛物线上对称轴右侧的一点，过点作轴的平行线交直线于点，过点分别作轴的平行线交抛物线的对称轴于点．过点作的平行线交轴于点，当四边形在直线，直线之间的部分的面积恰好是四边形面积的一半时，请直接写出点的横坐标的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)的取值范围为 (4)的值为或 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一次函数函数的结合，函数与几何图形的结合，方程与不等式，矩形的判定和性质等知识点． （1）根据抛物线的对称性得到与之间的数量关系． （2）根据抛物线的图象和性质，得到点和点所在的位置，进而得到两点的坐标． （3）根据抛物线的图象和性质，判断当时，均有时的取值范围，进而得到的取值范围． （4）根据抛物线与坐标轴的交点坐标，得到直线和直线的表达式，由题意得四边形为矩形，根据当点位于第一象限时和当位于第四象限时，分两种情况讨论，得到对应的或，列出关于的一元二次方程，解得的值． 【详解】（1）解：∵抛物线过和， ∴和的纵坐标相同， ∴和是关于抛物线对称轴对称的两点， ∴抛物线的对称轴为：，即； （2）解：∵抛物线的对称轴为：，由抛物线图象可知， ∴当时，抛物线的最高点的横坐标为，最低点的横坐标为， ∵点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 由（1）知抛物线的表达式为：， ∴代入点的坐标，得：，解得：， ∴抛物线的表达式为：，即， ∴抛物线的顶点坐标为：，即点的坐标为； （3）解：由（1）知抛物线的表达式为：， ∵抛物线上的两点，，当时，均有， ∴当时，， 根据抛物线的对称性可知，当时，也有， ∵，当时，有， ∴当，且，解得：时，满足要求，有， ∴的取值范围为； （4）解：由（2）知， ∴点，点，点， ∴设直线的表达式为：， 代入点，点，得直线的表达式为：， 设直线的表达式为：， 代入点，得直线的表达式为：， 点在抛物线上， ， 点均在对称轴所在直线上， ， 由题意得四边形为矩形， 如图，当点位于第一象限时，当与共线时，满足在直线之间的部分的面积恰好是矩形面积的一半， 此时四边形为正方形，， ， 即， 解得：， ∵点是对称轴右侧的一点， ∴，取， 如图，当位于第四象限时，对角线不在上时，令交对称轴于， 交于，根据矩形对称性，当时，则， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去）或， 综上，的值为或． 36．如图，抛物线C：与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），已知点B的横坐标是2，抛物线C的顶点为D． (1)求a的值及顶点D的坐标； (2)点P是x轴正半轴上一点，将抛物线C绕点P旋转后得到抛物线，记抛物线的顶点为E，抛物线与x轴的交点为G，G（点F在点G的右侧）．当点P与点B重合时（如图1），求抛物线的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，从A，B，D中任取一点，E，F，G中任取两点，若以取出的三点为顶点能构成直角三角形，我们就称抛物线为抛物线C的“勾股伴随同类函数”．当抛物线是抛物线C的勾股伴随同类函数时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或 【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可得出顶点坐标；将点代入，即可求出a的值； （2）连接，作轴于，作轴于M，证明，可得，，故抛物线的顶点E的坐标为，即可得出抛物线的函数表达式； （3）设点，作轴于，轴于M，于N，根据旋转可得，进而可得点的坐标为，点N的坐标为，再分类讨论即可得出答案．①当是直角三角形时，显然只能有；②当是直角三角形时，显然只能有；③当是直角三角形时，i）当时，ii）当时，根据勾股定理列方程求出m的值，即可求出P点的坐标． 【详解】（1）解：由，可得， ∴顶点的坐标为， ∵点在抛物线上， ∴可得， 解得； （2）解：对于抛物线：，由（1）可知，， 令，可得， 整理可得， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴，； 如下图，连接，作轴于，作轴于M， ∵， ∴， 根据题意，点，E关于点成中心对称， ∴过点B，且， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴抛物线的顶点E的坐标为， ∵抛物线由绕点P旋转后得到， ∴抛物线的函数表达式为； （3）解：∵抛物线由绕x轴上的点P旋转后得到， ∴顶点，E关于点P成中心对称，由（2）知，点E的纵坐标为8， 设点，如下图，作轴于，轴于M，于N， ∵旋转中心P在x轴上， ∴， ∴点的坐标为，点N的坐标为， 根据勾股定理得，， 显然，、和不可能是直角三角形， 分情况讨论： ①当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得，， ， ∴，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ②当是直角三角形时，显然只能有， 根据勾股定理得： ， ， ∴，解得：， ∴， ∴点P的坐标为， ③当是直角三角形时， ， ， i）当时，， 即，解得， ∴， ∴点P的坐标为； ii）当时，， 即， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； iii）∵， ∴． 综上所述，当抛物线是抛物线的勾股伴随同类函数时， 点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了图形的变换—中心对称变换、二次函数综合应用、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，根据旋转中心是对应点连线的中点确定点的坐标和分情况讨论是解答本题的关键． 二次函数的图象和性质的综合运用 考点07 37．（2026·河北石家庄·一模）如图，抛物线与轴交于点A，B，与轴交于点，点为直线上一点，且横坐标为7，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设点的纵坐标为，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出，，则直线的解析式为，进而得到，设向上平移个单位长度时，落在抛物线上，此时平移后，求解，可得平移后，则的取值范围为，当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设直线向下平移个单位，则平移后直线为，直线与抛物线有唯一交点，可得，即方程有两个相等的实数解，再进一步求解即可． 【详解】解：在中，当时，， 解得或， ，， 当时，， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 设向上平移个单位长度时，落在抛物线上， ∴此时， ∴， 解得， ∴平移后， ∴当线段沿轴向上平移，且当线段与抛物线有唯一交点时，的取值范围为； 当线段沿轴向下平移，当线段与抛物线有唯一交点时， 设直线向下平移个单位，则平移后直线为， ∴直线与抛物线有唯一交点， ∴，即方程有两个相等的实数解， ∴， 解得， 此时， 综上：当线段与抛物线有唯一交点时，点的纵坐标为的取值范围为或． 38．（2026·河北石家庄·一模）如图，点，在直线上，，拋物线经过点，，顶点为． (1)若点横坐标为3， ①直接写出点，的坐标； ②求的函数表达式及点的坐标； (2)设点横坐标为， ①用含的代数式表示和，并求当为何值时，点到轴和轴的距离相等？ ②将向左平移后得到的抛物线记作，若恰好经过点，直接写出与的另一个交点的坐标． 【答案】(1)①，；②， (2)①，，当时，点到轴和轴的距离相等；② 【分析】（1）①点A在直线上，横坐标为3，代入得；由知A是OB中点，故；②将A、B代入抛物线解析式，解得，配方得顶点式，故顶点； （2）①根据题意求出；则可由得到．将A、B代入抛物线解析式，解得，．利用顶点坐标公式，得顶点M的横坐标为，纵坐标为；进而根据由顶点到两轴距离相等进行列方程求解即可；②设抛物线L向左平移个单位得到，将A点代入，解得平移距离．联立与直线的方程，利用根与系数的关系得两交点横坐标之和为，已知一个交点横坐标为，故另一个交点横坐标为，代入直线方程得纵坐标为，即可得到交点坐标． 【详解】（1）解：①点A在直线上，横坐标为3， ∴纵坐标为， ∴， ∵， ∴A是的中点， ∴B点坐标为； ②将、代入抛物线得， 解得， ∴抛物线L的表达式为：， ∴顶点； （2）解：①∵点A在直线上，且横坐标为， ∴， ∵， ∴， 将、代入抛物线中， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线顶点的坐标为， ∴顶点横坐标为；顶点纵坐标为 ， ∵点M到x轴和y轴的距离相等，即， ∵， ∴，， ∴， ∴ 解得（舍去）或， ∴当时，点M到两轴距离相等； ②∵抛物线L向左平移个单位得到， ∴的表达式为：， ∵过点， ∴代入得， ， ∵， ∴， 联立与直线得， ， 由题意得，设抛物线与l的另一交点为C， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴ 解得， 将代入直线l得，， ∴与l的另一个交点坐标为． 【点睛】本题核心是利用中点坐标确定B点，通过待定系数法求抛物线系数，结合顶点坐标公式与韦达定理解决平移后的交点问题，体现了函数与方程、数形结合的思想． 39．（2026·河北邯郸·二模）如图1，图2，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点．      (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点是抛物线上位于点和点之间的一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点．设点的横坐标为； ①用含的代数式表示线段的长； ②求的最大值及此时点的坐标； (3)现定义横、纵坐标都为整数的点称为“整点”．将抛物线沿轴向右平移个单位长度，得到抛物线，如图3．抛物线交线段于点、交抛物线于点．若图中阴影部分（不含边界）恰有5个整点，直接写出的取值范围．（注：阴影部分为线段，抛物线上点到点部分和抛物线上点到点部分围成的图形，不包含图形的边界） 【答案】(1)，顶点D的坐标为 (2)①；②PQ取得最大值， (3) 【分析】（1）使用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可； （2）①先求出点的坐标，再求出直线的解析式，根据题意表示出点和点的坐标，进而得到的代数式；②利用配方法求出的最大值，并写出此时点的坐标； （3）根据题意，阴影部分包含在抛物线的、两点之间，区域内所有整点（不含边界），一共7个，结合图象可知，当点在抛物线的下方，且点在抛物线的上方或者在抛物线上时，满足5个整点的要求．利用平移规律写出抛物线的解析式，求出和时的函数值，并与和作比较，从而求出的取值范围． 【详解】（1）解：将点，代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ， ∴顶点的坐标为； （2）解：①将代入，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点， 代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ②， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）解：根据题意可知，阴影部分被包含在抛物线的、两点之间， ∵，，，， 又∵抛物线关于直线对称 ∴抛物线的、两点之间的所有整点（不含边界）为，，，，，，，一共7个， 如图， 根据题意，若恰有5个整点，则点在抛物线的下方，且点在抛物线的上方或者在抛物线上， 根据平移规律可得，抛物线的解析式为， 将代入，得， ∵点在抛物线的下方， ∴，即， 解得或（不符题意，舍去）； 将代入，得， ∵点在抛物线的上方或者在抛物线上， ∴，即， 解得， 综上所述，的取值范围为． 40．（2026·河北保定·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与x轴交于点，，与y轴交于点C，抛物线：（）经过A，B两点，与y轴交于点D． (1)求m与n的值； (2)若抛物线的顶点为E，连接，当直线恰好经过点C时，求b的值； (3)点P在线段上（不与点A，B重合），过点P作垂直于x轴的直线，分别交抛物线，于点M，N，且M是的中点． ①求的最大值； ②设，，若实数d满足关于t的方程在内有实数根，求d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①的最大值是2；② 【分析】（1）将，代入求解； （2）首先求出，得到直线的解析式为，求出，然后利用待定系数法求解； （3）①首先求出抛物线的顶点坐标为，得到的最大值是2，然后结合M是的中点求解即可； ②根据题意得到点，点，点，然后根据点M是的中点求出，得到，然后表示出d，得到当时，，然后利用判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：与x轴交于点，， ∴ 解得； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， ∵抛物线：与y轴交于点C，当时， ∴， 设直线的解析式为：， ∴，解得 ∴直线的解析式为， ∵抛物线：（）经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点， ∵点E在直线上， ∴， ∴ ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴； （3）解：①∵抛物线：， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴的最大值是2， ∵点M是的中点， ∴的最大值是2； ②∵设，， ∴点，点， ∵抛物线：（）经过点，， ∴抛物线的解析式为， ∴点， ∵点M是的中点， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当或时，， ∴当时，， ∵关于t的方程，即，在内有实数根， ∴， 解得， ∴d的取值范围为． 41．（2026·河北邢台·一模）已知，抛物线（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点． (1)抛物线的对称轴为直线_____（用含有的式子表示）； (2)若，函数值随着的增大而减小，求的取值范围； (3)如图，当时． ①将抛物线向左平移个单位长度后，当时，若抛物线对应的函数最大值与最小值的差为6，请求出的值； ②点为第四象限内抛物线上的一点，过点作轴与抛物线另外一个交点为点．以所在直线为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，若翻折后所得部分与轴有交点，且交点都位于轴正半轴，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围为或 (3)①的值为或；② 【分析】（1）直接根据抛物线对称轴公式求解即可； （2）分两种情况：若，若，运用二次函数的性质分别求得a的取值范围即可； （３）①求出平移后抛物线解析式，得对称轴为，再分、和三种情况讨论求解即可； ②根据图象折叠的对称性，得点，根据翻折后所得部分与x轴有交点，且交点都位于x轴的正半轴，可得且，即可求得答案． 【详解】（1）解：的对称轴为：， 所以，对称轴为直线； （2）解：抛物线的对称轴为，开口方向由决定： 当时，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即； 当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧y随增大而减小； 要使时，y随增大而减小，需满足，即． 综上，的取值范围为或． （3）解：当时，抛物线的解析式为． ①抛物线向左平移个单位后，解析式为，对称轴为； 情况1：对称轴在区间左侧：时，即，在上随的增大而增大， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 情况2：对称轴在区间内， 当时，即，函数在顶点处取得最小值为，最大值为时的较大值， 此时，时，值较大，为， 所以，， 解得：或（不合题意，舍去）； 当时，即，函数在顶点处取得最小值为，最大值为时的较大值， 此时，时，值较大，为， 所以，， 解得：或（不合题意，舍去）； 情况3：对称轴在区间右侧：时，即，在上，随的增大而减小， 当时，取最大值； 当时，取最小值， 差值为：， 解得：（不合题意，舍去）； 综上，的值为或； ②∵， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线, ∵点为第四象限内抛物线上的一点，且轴， ∴、关于对称轴对称，且, 以直线（即直线）为对称轴将抛物线位于下方的部分翻折，原顶点关于直线的对称点即为翻折后图象的顶点．则， 设翻折后函数解析式为， 令，得： ∴ ∴，且， ∴，且， 设两个交点的横坐标为，则或， ∵， ∴，则恒为正数； 要使交点都位于轴上正半轴上，则， ∴ 解得， ∴． 42．（2026·河北·一模）如图1，二次函数与轴交于点，二次函数经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)直线与函数，的图象有两个交点，求的值； (3)如图2，将函数的图象向右平移8个单位得到函数的图象，且函数的图象与函数交于，两点，直线与交于点． ①连接，，，求的面积； ②若点位于，两点之间的封闭曲线内（不包括边界），请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3)①，② 【分析】（1）先求出点的坐标，再将点代入求出的值，即可求解； （2）先求出二次函数，二次函数的顶点坐标，结合图象，即可求解； （3）①根据平移求出二次函数的解析式，列方程求出二次函数与二次函数的交点、的坐标，结合点的坐标即可求解； ②先求出点在直线上，列方程求出直线与二次函数、二次函数的交点横坐标，注意判断点的横坐标是否在，两点之间，再求出交点的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数与轴交于点， 故令，则， 即点的坐标为； ∵二次函数经过点， 故将点的坐标代入，得， 解得， 故． （2）解：∵， 故二次函数的顶点坐标为； 又∵二次函数的顶点坐标为， 故当直线经过二次函数的图象的顶点或二次函数的图象的顶点时，与函数，的图象有两个交点， 即直线与函数，的图象有两个交点时，的值为或． （3）解：①∵二次函数的图象向右平移个单位得到二次函数的图象， 故二次函数的解析式为； 令，得， 解得，， 把代入， 把代入， 即二次函数与二次函数的交点的坐标为，交点的坐标为． ∵点的坐标为，点的坐标为， 故点和点在直线上，且， 则点到直线的距离为， 故的面积为． ②∵直线与交于点， 故点的坐标为， ∴点在直线上， 即点在直线上； 由， 解得，， ∵， 故，， 即，， 此时点的横坐标不在，两点之间，故不符合题意，舍去． 由， 解得，， ∵， ∴，， 故，， 即，， 此时点的横坐标在，两点之间， 当时，代入，得， 当，时，代入，得， ∴点位于，两点之间的封闭曲线内（不包括边界）时，的取值范围为． 43．如图，抛物线（，为常数）经过点和点，已知点，，线段MN上方有两个台阶，每个台阶的高、宽都是1． (1)求抛物线的解析式，并直接写出其对称轴和顶点坐标． (2)判断抛物线是否经过点M，并说明理由． (3)若线段MN带动台阶以每秒2个单位长度的速度沿某一方向平移，设平移的时间为t秒． ①若平移后，台阶上的拐点（即点C，D，E，F）中有一个恰好与抛物线的顶点重合，请直接写出哪个拐点与抛物线的顶点重合时对应的t值最小，并求出该最小值． ②若台阶从初始位置竖直向下平移，当台阶与抛物线有公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)解析式为；对称轴为直线；顶点坐标为 (2)抛物线不过点M；理由见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）把点M坐标代入所求解析式中，即可验证； （3）①当点E与抛物线L的顶点重合时，对应的t值最小；设抛物线L的顶点为P，由（1）知，P点坐标为，连接；易得点E的坐标，由勾股定理即可求得，从而求得最短时间； ②由（2）知，抛物线与x轴的另一个交点为；台阶向下平移时，抛物线最先经过点M，即点M与重合，从而求得此时t的值最小；抛物线经过点F时，此时t的值最大；分别求出t的最小与最大值，即可求得t的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴， 解得：， ∴； ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：抛物线不过点M； 理由：当时，， ∴抛物线不过点M； （3）解：①如图，当点E与抛物线L的顶点重合时，对应的t值最小； 设抛物线L的顶点为P，由（1）知，P点坐标为，连接； ∵， ∴， ∴t的最小值为． ②由（2）知，抛物线与x轴的另一个交点为， 而， ∴台阶从初始位置竖直向下平移，当台阶与抛物线有公共点时，抛物线最先经过点M，即M点与重合，此时运动时间最短；抛物线最后经过点F，此时运动时间最长； 由题意知，点F的坐标为； ∴当台阶竖直向下平移t秒时，点F的坐标为； 抛物线经过点M时，此时台阶向下平移了2个单位长度，即， 解得：； 把F点代入中，得， 解得：； ∴台阶从初始位置竖直向下平移过程中，当台阶与抛物线有公共点时，t的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理，图形的平移等知识；熟练掌握这些知识是解题的关键． 44．（2026·河北唐山·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线P：（b是常数）经过点，抛物线Q：． (1)求P的解析式及对称轴； (2)将P向上平移，使每次平移后的图象与x轴的左、右交点分别向左、右平移1个单位长度，设平移后抛物线的最高点与x轴的距离为d． ①当时，求平移的次数； ②当平移第n次后，求d（用含n的式子表示）． (3)将P按照（2）中的平移方式向上平移一次得到抛物线，Q恰好经过与x轴的左交点，与组成新函数L，当时，L的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①平移次数为3；② (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出b，进而可求解； （2）①由题意，设平移后的抛物线的解析式为，当时，平移后的抛物线的顶点坐标为，进而可求得，求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标即可求解； ②根据题意，平移后的抛物线与x轴的左交点坐标为，右交点坐标为，则平移后的抛物线的解析式为，求出时的函数值即可求解； （3）先求出抛物线的解析式，抛物线Q的解析式，进而得到新函数L，可画出草图，然后利用二次函数的性质，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得， 解得， ∴ ∴P的解析式为，对称轴为直线； （2）解：①由题意，设平移后的抛物线的解析式为， 当时，平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴将代入中，得， 解得， ∴， 当时，由得，， ∴平移后的图象与x轴的交点坐标为和，又， 故平移的次数为3； ②由得，，则抛物线P与坐标轴的交点为和 根据题意，当平移第n次后，平移后的抛物线与x轴的左交点坐标为，右交点坐标为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，， 故； （3）解：由题意，平移一次后的抛物线与x轴的左、右交点坐标为，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线Q恰好经过抛物线与x轴的左交点， ∴，解得， ∴抛物线Q的解析式为， ∴抛物线Q的开口向上，对称轴为直线， 对于抛物线与抛物线组成新函数L，如图， 当时，，此时L取得最小值， ∵对于当时，L的最小值为，最大值为， ∴，解得，则最大值为， 由得， ∴，（不合题意，舍去）， ∴，解得． 45．（2026·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“相反点”，如点，都是“相反点”． (1)若点和都是相反点，则_____，_____． (2)小清认为所有的“相反点”都在同一条直线L上，请直接写出直线L的解析式； (3)小芳在研究抛物线：时，发现它的图象上有且只有一个“相反点”．请你帮她求出a，b的值． (4)在（3）的条件下将抛物线向上平移个单位得到抛物线，若上有两个“相反点”分别是，（其中，且） ①求m的值； ②当时，直接写出中y的最大值与最小值的差． 【答案】(1)； (2) (3)， (4)①；② 【分析】（1）根据相反点的定义求解即可； （2）根据相反点的定义得到所有相反点都满足，据此解答即可； （3）由（2）知，相反点在上，与抛物线解析式联立得到，根据抛物线的图象上有且只有一个“相反点”得到判别式为0，将代入得到，据此求解即可； （4）①由（3）可知，抛物线：，则平移后抛物线的解析式为，与直线L的解析式联立得，由韦达定理得：、，利用求解即可； ②由①知，抛物线的解析式为，则对称轴为，求出点、的坐标，最后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：点是相反点， ， ， 点是相反点， ； （2）解：设是“相反点”， ， ， 所有相反点都满足， 直线L的解析式为； （3）解：由（2）知，相反点在上， ， 整理得：， 抛物线的图象上有且只有一个“相反点”， 判别式， 将代入得：，即， 将代入得： ， 解得：， ； （4）解：①由（3）可知，抛物线：， 平移后抛物线的解析式为， 根据题意得：， 整理得：， 抛物线上有两个“相反点”， 设方程有两个不等实根、， 由韦达定理得：、， ，是相反点， 、， ， ， ， ， ， 解得：； ②由①知，，则抛物线的解析式为， 该抛物线对称轴为， 将代入得： ， 解得：，， 当时， 在对称轴处有最大值，最大值为：， 将代入的解析式得：， 将代入的解析式得：， 中y的最大值与最小值的差为：． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合，根与系数关系、“相反点”的定义、两点间距离公式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 46．（2026·河北张家口·一模）如图，抛物线经过点，顶点为．抛物线的顶点在上，与轴交于点，与交于点．    (1)求的解析式，并用含的式子表示； (2)嘉嘉说：若，总经过一个定点．嘉嘉说得正确吗？若正确，求出这个点的坐标；若不正确，请说明理由； (3)若，与两个交点的对称中心在轴上，求的值； (4)若点和都在上，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)嘉嘉说得正确，定点坐标为 (3) (4) 【分析】（1）将点代入求得，根据的解析式可得点，代入可得； （2）将和代入，可得，观察可知，当时，为定值，因此过定点； （3）联立抛物线与，求得交点坐标为，，则两个点的对称中心的坐标为，由该点在轴可知，，解得； （4）根据可得，在抛物线中，点离对称轴直线越近，对应的函数值越大，结合可知，，解得． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 解得， ∴的解析式为， 抛物线的顶点的坐标为， 将点代入，得； （2）解：当时，， ∵， ∴， 当时，为定值， ∴嘉嘉说得正确，定点坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线为， 联立抛物线与，得， ， 解得或， ∴抛物线与的两个交点的坐标为，，对称中心的坐标为， ∵两个交点的对称中心在轴上， ∴，解得； （4）解：∵， ∴抛物线的开口向下， ∴在抛物线中，抛物线上的点离对称轴越近，对应的函数值越大， ∵的对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， ∵， ∴， 平方，得， 整理，得， 解得． 反比例函数的图象和性质 考点08 47．（2026·河北保定·二模）已知点和在反比例函数（）的图象上，直线（）与该反比例函数的图象交于A，C两点，则下列结论正确的是（    ） A．点A在点B的下方 B．点C在点A的上方 C．点B在点C的上方 D．点A，B均在x轴的下方 【答案】C 【分析】正比例函数的图象与反比例函数的图象的交点关于原点中心对称，根据题意画出对应图象，结合图象判断选项即可． 【详解】解：根据题意，画出大致图象如图，由图可得C选项正确． 48．若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，则当时，，则可求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当时，反比例函数中有最大值， ∴， ∴， 当时，则y的最大值为，最小值为 故选： D． 49．（2026·河北石家庄·一模）反比例函数在每一象限内y随x的增大而增大，则m的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：反比例函数在每一象限内随的增大而增大， ∴比例系数小于0，即． 50．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M（–5，2），N（–1，2），已知点M在反比例函数的图象上，以点O为位似中心，在MN的上方将线段MN放大为原来的n倍得到线段． （1）k的值为________； （2）若在线段上总有在反比例函数图象上的点，则n的最大值为________； 【答案】 –10 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）作射线ON，交y=-于点N′，求得点N′（–，2），据此即可求解． 【详解】解：（1）∵点M（–5，2）反比例函数的图象上， ∴k=–5×2=-10， 故答案为：-10； （2）∵k=-10， ∴反比例函数的解析式为y=-， 如图，作射线ON，交y=-于点N′， 设ON的解析式为y=mx， 把N（–1，2）代入得：2=-m， 解得m=-2， ∴ON的解析式为y=-2x， 解方程-2x=-得x=， 由于点N′在第二象限， ∴点N′（–，2）， ∴n==， 又∵n>1， ∴1<n≤， ∴n的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，位似图形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度和利用线段的长度表示相应的坐标是解题的关键． 反比例函数比例系数k的几何意义 考点09 51．（2026·河北邯郸·二模）如图，点在反比例函数的图象上， 轴于点，轴于点，，，连接，．若四边形的面积为3，则k的值为（   ）． A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义设点坐标为，得到，，，，可求得四边形、三角形、三角形的面积，可求出四边形的面积表达式，根据四边形的面积为3，可求k的值． 【详解】解：设点坐标为，得到，， 又轴于点，轴于点，则四边形为矩形， 四边形的面积为，，， 根据题意有，，则，， ，， 四边形的面积为， 根据题意有，解得． 52．（2026·河北·一模）如图，把两个三角板放在平面直角坐标系中，过点的曲线为的图象，过点的曲线为的图象，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点C作于点D，设，可求出，，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，结合点B和点C所在的象限得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作于点D， 设， 在中，， ∴； 在中，， ∵， ∴， ∵过点的曲线为的图象，过点的曲线为的图象， ∴， 又∵点B在第二象限，点C在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∴． 53．（2026·河北张家口·一模）如图，的边在x轴上，连接，点D是的中点，反比例函数的图象经过A和D两点．若的面积为24，则k的值为_______． 【答案】8 【分析】设点、，由平行四边形的性质得，再由是中点，得．将代入反比例函数，化简得．结合平行四边形面积，代入后，进而求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴点的坐标为． ∵点是的中点， ∴点的坐标为，即， ∵点在反比例函数上， ∴ ∵， ∴ 解得， ∵平行四边形的面积底高（A点的纵坐标）， ∴， 将代入得， 解得． 【点睛】本题以平行四边形与反比例函数为载体，通过设点坐标，利用平行四边形性质、中点坐标公式建立点D的坐标，再结合反比例函数解析式与平行四边形面积公式，将几何问题转化为代数方程求解． 反比例函数与简单几何图形的综合 考点10 54．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，，点和点都在反比例函数图象上，过点作轴于点，过点作轴于点．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于点，作于点，设点的坐标为，点的坐标为，证明，得到，，表示出值，建立等式，得到，据此计算即可解题． 【详解】解：作于点，作于点， 设点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ，， ， ，， ，，，， ，整理得， ，整理得， ，整理得，解得或， ， ，即， ． 55．（2026·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与菱形，正切值的计算，掌握待定系数法求反比例函数解析式，菱形的性质，正切值的计算是关键，根据正切值的计算得到，由勾股定理，菱形的性质得到，再证明，结合题意得到，运用待定系数法即可求解． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点，过点B作轴于点， ∵， ∴设， ∴， ∵点落在反比例函数上， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点落在反比例函数上， ∴， 故选：C ． 56．（2026·河北唐山·一模）如图，点C是第一象限内一点，过点C分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点A、B，函数的图象与边交于点M，与边交于点N（M、N不重合）．（   ） 甲、乙两位同学给出了下面的结论： 甲：与的面积一定相等； 乙：若，则． A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】C 【分析】由题意易得，四边形是矩形，然后根据等积法可得甲，由可设，则有，进而根据割补法可进行求解． 【详解】解：根据反比例函数k的几何意义可得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，故甲说法正确； 由可设， ∴， ∴， ∴ ； ∴乙的说法也正确； 综上所述：甲乙的结论都是正确的． 57．如图，菱形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝和y＝的图象上，若∠BCD＝60°，则的值是（    ） A．－ B．－ C．－ D．－ 【答案】A 【分析】连接AC、BD，根据菱形的性质和反比例函数的对称性，即可得出∠BOC=90°，∠BCO=∠BCD=30°，解直角三角形求得，作 BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，证得△OMB∽△CNO，得到，根据反比例函数系数 k的几何意义即可求得结果． 【详解】解：连接、， ∵四边形是菱形， ∴． ∵菱形的顶点分别在反比例函数和的图象上， ∴与、与关于原点对称， ∴、经过点， ∴． ∵， ∴． 作轴于，轴于， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质与菱形的性质． 58．在平面直角坐标系中，的位置如图所示，点B、C在x轴上，点D在y轴上，反比例函数（k为常数，且，）的图象经过点A，若点也在反比例函数的图象上，则的面积为______． 【答案】3 【分析】过点作轴于点，证明，得出四边形的面积等于的面积，然后根据几何意义即可解答． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵四边形为平行四边形， ， ， 又 ∵， ， ， ∵点在反比例函数的图象上， ， ∴的面积． 59．（2026·河北石家庄·一模）如图的顶点，，，若反比例函数的图象与的边（含顶点）有公共点，则的整数值共有__________个． 【答案】9 【分析】分别计算出当反比例函数经过点A，B，C时相应的k值，进而通过勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可得到反比例函数经过点C时k的值最大，经过点B时k的值最小，进而即可求解． 【详解】解：当反比例函数经过点A时， 解得； 当反比例函数经过点B时， 解得； 当反比例函数经过点C时， 解得； 由题意得，，，， ∴, ∴是直角三角形， ∴反比例函数经过点C时k的值最大，经过点B时k的值最小， ∴， ∴的整数值为，共9个． 60．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，以为位似中心，在第一象限作矩形的位似图形，使矩形与矩形的位似比为，反比例函数的图象恰好经过点，且与边交于点．若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据位似变换的性质，由矩形与矩形的位似比及点B的坐标，求出点E的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数的解析式，最后根据点G在边上且位于反比例函数图象上，求出点G的坐标． 【详解】解：矩形的顶点B的坐标为， 、， 矩形与矩形的位似比为， 点E的横坐标为，纵坐标为， 点E的坐标为， 反比例函数的图象经过点E， ， 反比例函数的解析式为， 点G在边上，且点B的坐标为，点C在轴上， 点G的纵坐标为4， 又点G在反比例函数的图象上， ， 解得， 点G的坐标为． 反比例函数的实际应用问题 考点11 61．（2026·河北张家口·一模）一定质量的氧气在密闭容器中，温度保持不变，压强p（千帕）与体积V（升）成反比例函数关系．当体积为4升时，压强为100千帕．下列结论错误的是（   ） A．函数解析式为： B．当体积为5升时，压强为80千帕 C．体积越大，对应的压强越大 D．当压强为200千帕时，体积为2升 【答案】C 【分析】先根据已知条件求出p与V的函数解析式，再结合反比例函数性质逐一判断选项即可. 【详解】解：∵p与V成反比例函数关系 ∴设 将，代入得 ，解得， ∴函数解析式为； 当时，千帕， ∵，且体积 ∴p随V的增大而减小，即体积越大，压强越小； 当时，，解得； 综上，只有选项C错误. 62．（2026·河北邢台·一模）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间成反比例函数关系，图象如图所示，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象上的点坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据列出不等式求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，函数图象经过点 ， ∴， ∴反比例函数解析式为 ， ∵配制一副度数小于200度的近视眼镜， ∴，即 ， ∵， ∴． 63．（2026·河北张家口·一模）如图，四边形是正方形，点E，G分别是边上的动点，且，分别作，，与交于点F，设，，则下列图象能反映y与x函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明四边形是正方形，则四边形的周长为，则可得到，根据点E在上，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴四边形的周长为， ∵， ∴， ∵点E在上， ∴， ∴， ∴只有B选项中的函数图象符合题意． 64．（2026·河北石家庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线阶梯的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点A，C，E，G均在双曲线的一支上．若点的坐标为，则第三级阶梯的高_________． 【答案】6 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的解析式，再依次求出点的坐标，最后根据线段的长度等于点与点的纵坐标之差来求解． 【详解】解：∵点在双曲线上， ∴，即双曲线解析式为． ∵，且线段与坐标轴平行， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵， ∴点的横坐标为，代入得，即． ∵的长度等于点与点的纵坐标之差， ∴． 65．综合与实践 如本题图1，在左边托盘中放置一个固定的重物，在右边托盘中放置一定质量的砝码（可左右移动），可使得仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表： 托盘与点的距离 10 15 20 25 30 托盘中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)依据实验得出，与的对应点，请您在本题图2中画出函数图像，并求出函数表达式； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图像见解析， (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用、描点法画函数图像，正确得出反比例函数解析式是解题的关键． （1）根据表格中的数据，描点，连线即可得函数图像．根据图象可得是关于的反比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）当时，，求解即可； （3）设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离，利用反比例函数的性质建立方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：描点并连线，函数图像如图所示． 由图像可得y与x之间是反比例函数关系， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得，， 解得， ∴当砝码质量为时，托盘B与点O的距离是． （3）解：设移动前托盘B中的砝码质量为，托盘B与点O的距离， 由题意得：， 解得． ∴在移动前托盘B中的砝码质量为． 66．（2026·河北石家庄·一模）某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图①，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为40容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围； (3)如图②，现将一个密度均匀的实心正方体金属块浸没在水中（水不溢出），容器内水与容器底面接触面积变为原来的，此时水对容器底部的压强比原来增加了．求原来容器的底面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； （3）根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴k＝60000， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． （3）解：由已知得， ∴， ∴． 答：容器原来的底面积为75． 67．（2026·河北邯郸·二模）在移动通信中，手机接收到的信号强度会随着与信号基站（如图）距离的增加而减弱．某通信实验室在郊区空旷地带对一座信号基站进行测试，发现信号强度（单位：相对值）与手机到基站距离（单位：米）的平方成反比．为便于分析，工程师引入中间变量，则与满足函数关系，其中为与基站发射功率有关的常数．测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． (1)求常数k的值，并写出P关于x的函数解析式； (2)网络工程师将信号强度划分为以下等级： 信号强度 等级 优秀 良好 一般 弱覆盖 用户体验 高速上网 正常上网 可上网，速率慢 容易掉线 若测试人员从基站出发，沿直线匀速步行，速度．设出发后的时间为秒，他与基站的距离为米．当秒时，测试人员所处位置的信号强度等级是什么？请通过计算说明； (3)该基站的信号覆盖边缘定义为信号强度降至单位的位置．若该基站周围为平坦开阔地形，信号向各个方向均匀传播，求该基站的信号覆盖面积（即信号强度不低于单位的区域面积），结果保留． 【答案】(1)， (2)等级为良好，理由见解析 (3)（平方米） 【分析】（1）将，，代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）将，，代入得出，求得，的值，即可求解； （3）令，得出的值，进而求得，再根据圆的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵测试人员在距离基站米处测得信号强度为个单位． ∴ ，， ∴ ， ∴P关于x的函数解析式为． （2）解：当时，，， ∴． ∵， ∴测试人员所处位置的信号强度等级为良好． （3）解：令，则，解得， ∴， 覆盖面积：（平方米）． 多种函数的综合 考点12 68．（2026·河北邢台·一模）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式可以是___________（只写出符合条件的一个即可）． 【答案】（满足即可） 【分析】设这个反比例函数的表达式是，联立反比例函数解析式，根据这个反比例函数与一次函数的图象无公共点，可得关于的方程无实数解，即可求解． 【详解】解：设这个反比例函数的表达式是． 由得． 因为这个反比例函数与一次函数的图象无公共点，所以方程无解． 所以，解得 ∴这个反比例函数的表达式可以是 69．（2026·河北保定·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将点A代入一次函数和反比例函数中求得a和k的值，从而得到一次函数和反比例函数的解析式，由平移的性质可得新直线的解析式为，由轴和点A的坐标可得点D的纵坐标，可设点D的坐标为，点B的坐标为，当D为的中点时，点C的坐标为，由于点C在反比例函数上，从而可求出b的值，结合函数图象可得到b的取值范围． 【详解】将点分别代入一次函数与反比例函数中， 得，，解得，， ∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∴将直线向上平移b个单位长度后得到的新直线的解析式为． ∵轴，， ∴点D的纵坐标为4，易得点D的坐标为，点B的坐标为， 当D为的中点时，点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴，解得， 结合函数图象可得，当时，b的取值范围为． 70．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 71．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点．    (1)求点的坐标； (2)用的代数式表示； (3)当的面积为9时，求一次函数的表达式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入，从而可得答案； （2）把点代入，从而可得答案； （3）利用三角形的面积先求解，可得的坐标，可得，代入再解决的值即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． （2）∵点在一次函数的图象上， ∴， 即． （3）如图，连接．    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为：． 【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，坐标与图形面积，熟练的利用待定系数法求解函数解析式是解本题的关键． 72．（2026·河北石家庄·一模）在平面直角坐标系中，若某点的纵坐标比它的横坐标的2倍还大1个单位长度，那么我们把这样的点叫做“好点”，如点和都是“好点”．如图，抛物线的顶点是“好点”，并且抛物线的开口方向和大小都不变．已知当顶点为时，与轴的交点为，直线与轴轴分别交于点，，设顶点的横坐标为． (1)当时，求与轴交点的坐标； (2)下面是关于的两个结论： 甲：与轴的交点有最高点． 乙：与轴的交点会沿轴的正半轴无限延伸． 请你判断哪个结论是正确的？并通过计算或推理说明理由． (3)若点在内部（不含边界），则对于上的点和点，比较与的大小； (4)当与线段只有一个公共点（含端点）时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)或 (2)甲正确，乙的说法不正确，见解析 (3) (4)或 【分析】（1）由已知顶点、过，求得抛物线．时，为“好点”，故．令，解得，则可得到与轴的交点； （2）抛物线顶点，，故．令，得，由二次函数性质，，故轴交点有最高点，进而即可判断； （3）联立与，得交点，在内，故．抛物线开口向下，对称轴，在对称轴右侧，随增大而减小，进而即可得解； （4）分两种情况：①与相切，联立方程得，解得；②过，代入得，仅时仅一个交点，进而即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，当抛物线的顶点为时， 设的函数表达式为，其中． 又此时与轴的交点为， ， 解得． 当时，根据“好点”定义可得的顶点是， 则此时的函数表达式为． 当时，有， 解得． 与轴交点的坐标为或； （2）解：甲正确，乙的说法不正确，理由如下： ∵点和都是“好点”， ∴当顶点的横坐标为时，且为好点时， 其纵坐标为， ∴抛物线的顶点的坐标为． 设的函数表达式为， 当时， ， ，且当时，取得最大值2， 即抛物线与轴的交点有最高点． （3）解：由（2）得，顶点的坐标为， 设，，则可得顶点所在函数图象的表达式为． ， 解得， 则该直线与的交点为， 又与轴的交点为，抛物线的对称轴为． 点在内部（不含边界）， ． 对于上的点和点，有， ∴点和点均在的对称轴右侧的图象上． 抛物线开口向下，在对称轴右侧的图象随的增大而减小， ； （4）解：由（2）得，的函数表达式为， 在线段中，当时，； 当时， 解得， ∴，， ①当与相切时，与线段只有一个公共点， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得； ②当经过点时，代入得 解得或． 当时，对称轴右侧的图象经过点，此时与线段有两个公共点； 当时，对称轴左侧的图象经过点，此时与线段只有一个公共点． 当时，与线段只有一个公共点． 综上所述，所求为或． 【点睛】本题以“好点”新定义为载体，融合二次函数解析式、最值、单调性、线段交点等核心考点，通过分类讨论、数形结合思想求解，全面考查二次函数的综合应用能力． 73．【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 【答案】（1）；4；2；（2）时，不能围出面积为的矩形；图见解析，理由见解析；（3），交点坐标为． 【分析】（1）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． （2）仿照（1），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． （3）仿照（2），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【详解】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）时，不能围出面积为的矩形；理由如下： 由题意得，即直线：， 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图象无交点； 的图象， 当时，；当时，； 如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴时，不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个实数解， ∴， 解得：或（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图象的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 试卷第2页，共127页 2/129 学科网（北京）股份有限公司 $