专题05 四边形（7大考点）（河北专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 聚焦四边形7大核心考点，汇编河北多地2026年模考题，融合传统纹样、机器人等文化科技情境，梯度覆盖基础计算到综合实践探究 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择/填空|约30题|多边形内角和、平行四边形性质等|以龟背纹图案考正六边形内角，结合巡逻机器人考多边形外角| |解答题|约22题|矩形折叠、图形拼接等|矩形折叠问题结合对称性质探究（如第20题两次折叠），图形拼接题融入七巧板思想（如第48题地毯分割）|

专题05 四边形 7大考点概览 考点01多边形的内角和 考点02角形的中位线的性质 考点03行四边形的性质 考点04形的折叠问题 考点05形的性质的应用 考点06形的性质应用 考点07图形的拼接问题 多边形的内角和 考点01 1．（2026·河北唐山·一模）龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出该正六边形的一个外角的度数，即可求解． 【详解】解：该正六边形的一个外角的度数为， ∴它的一个内角的度数为． 2．如图，小明沿一个五边形的广场小道按的方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是（    ）    A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】B 【分析】根据多边形的外角和等于即可求解. 【详解】解：多边形的外角和等于， ∴他每跑完一圈，身体转过的角度之和是. 故选：B. 【点睛】本考查的是多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和等于是解决此题的关键. 3．（2026·河北石家庄·一模）如图，直线，正六边形的顶点A，C分别在直线a，b上，若，则下列错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出正六边形的内角，再根据对顶角相等和三角形的内角和定理可判断选项A、B；延长交直线b于H，由平行线的性质得到可判断选项C、D，进而可得答案． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∵， ∴，， 故选项A、B正确，不符合题意； 延长交直线b于H，如图， ∵，， ∴，故选项C错误，符合题意； ∴，故选项D正确，不符合题意． 4．（2026·河北邯郸·二模）某巡逻机器人沿正多边形赛道边缘行走，每次转弯时均向左转（如图为一个转弯处示意图），则该正多边形的内角和为________． 【答案】 【详解】解：根据多边形的内角和公式和外角和性质，可知这个正多边形的边数为，是正六边形； 内角和为：． 5．（2026·河北张家口·一模）如图，正五边形和正边形的两条邻边相交，若，则的值是________． 【答案】 【分析】由正多边形的内角公式求得正五边形每个内角都是，结合四边形的内角和以及对顶角相等，可计算出正边形的一个内角为，再利用正多边形内角公式构造方程，求解出的解． 【详解】解：如图， 由正多边形的内角公式可知，， ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 6．如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面密铺的问题．正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为， 故答案为：． 三角形的中位线的性质 考点02 7．如图, 在□ 中，对角线 相交于点 ，点 是边 的中 点．已知 ，则 （       ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得，根据点是边的中点，可得是的中位线，即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点是边的中点， ∴是的中位线，， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解题的关键． 8．（2026·河北石家庄·一模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，分别为，的中点，连接，，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据斜边上的中线以及三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵在平行四边形中，对角线交于点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴. 9．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，，为中点，过作于，连接交于点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理得，由平行线等分线段定理得，即得为的中位线，得到，即得到，又由得，进而由解答即可求解． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，即点是的中点， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，点、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是__________． 【答案】1 【分析】先求出，再证是的中位线，得出，，再根据角平分线与平行线，证得，从而得，即可由求解． 【详解】解：是的中点， ， 是的中点， 是的中位线， ，， ， 平分， ， ， ， ． 11．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． (1)求证：； (2)若，，求点，之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)点，之间的距离为 【分析】（1）根据题意得出为的中位线，，则，从而得，结合，即可证明． （2）连接，根据等腰三角形的性质得出，，在中，勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：，分别为边，的中点， 为的中位线，． ． ． ， ． （2）解：连接，如图， 为边的中点，， ，． 在中，， ， 点，之间的距离为． 12．（2026·河北秦皇岛·一模）综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线． 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等． 【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） 【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： 【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． 【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）；（4） 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接交于点，则是的中线，和的面积相等； （2）连接，则是的中位线，再证明即可得出结果； （3）连接，则是的中位线，再证明，从而可得，再证明，设，则，求出，由勾股定理可得，，最后由正弦的定义即可得出结果； （4）由直角三角形的性质可得，由（3）得，求出 ，由点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，得出点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：（1）如图：线段，点即为所求， （2），理由如下： 如图，连接， ∵为边上的中线，为边上的中线， ∴，， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴, ∴； （3）如图，连接， ∵点、分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）∵在中，，点为的中点，， ∴， 由（3）得：， ∴， ∵，， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 点在以点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图，由图形并结合切线的性质可得，当时，最大，此时，， ∴， 即当最大时，的长为． 平行四边形的性质 考点03 13．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　） A．四边形的周长不变 B．四边形的面积不变 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，由矩形的性质可得，，则可满足四边形是平行四边形，得到，随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，据此可得答案． 【详解】解：由矩形的性质可得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故D符合题意， 随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，故A、B、C不符合题意， 故选：D． 14．如图，将平行四边形绕点C顺时针旋转一定角度后，得到平行四边形，若与在同一条直线上，点D在上，则旋转的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、平行四边形的性质等，熟练掌握平行四边形的性质和旋转的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由旋转的性质得到，，可推出，再由平行四边形的性质推出，从而证出，结合三角形内角和定理即可得到，从而得到答案． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即旋转的角度为， 故选：D． 15．（2026·河北保定·一模）如图，在中，连接，，，点E在的上方，且，连接，，若，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题是一道典型的平行四边形几何综合题，主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及三角函数的应用． 过点作于点．利用，求出，过点作交延长线于点，证明，得出，．根据，证明，推导出，利用相似比建立方程求出．最后在中利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，过点A作于点M，过点D作交的延长线于点， ∵，∴设，则． ∵，∴． 在中，由勾股定理得， 解得（不合题意舍去）， ∴，，， ∵在中，， ∴， 又∵， ∴． ∵，， ∴≌， ∴，， 设，则， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴． ∵， ∴∽， ∴，即，解得， ∴． 在中，由勾股定理得． 【点睛】本题的核心在于通过构造辅助线，利用角度关系和勾股定理求出关键线段，进而通过相似三角形求解目标线段． 1．方程思想（设参法）：利用三角函数值设未知数，结合勾股定理列方程求解，是处理直角三角形边长问题的通法． 2．构造全等：通过作垂线构造直角三角形，将平行四边形的边角关系进行转移（将转移到），是解决线段转移的关键． 3．相似转化：本题难点在于处理倍角关系（），解题中通过角度推导转化为相似三角形的判定条件，从而将未知线段纳入比例关系中求解． 16．（2026·河北邢台·一模）如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分，若，，则的长为_____． 【答案】13 【分析】如图所示，延长交于点，连接，根据平行四边形的性质得到，，由角平分线的定义得到，，再证明，，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵是中点，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ ． 17．如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质；连接，由题意得O为的中点；由平行四边形的性质易证，则得；再利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵直线将的面积平分， 是的中点， ； ∵四边形为平行四边形， ， ， ， ； ， ， ， ， 即， ， 解得：， 故答案为：． 18．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由折叠得，，由四边形是平行四边形得，，即可得，，结合对顶角即可证明； （2）由得，由平行四边形的对角线与的交点为点得为中点，由等腰三角形三线合一可得为中边上的高，即可证明． 【详解】（1）证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为中点， ∴为中边上的高， ∴． 【点睛】折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形关于折痕成轴对称，因此对应边相等、对应角相等，这一性质是解决此类折叠问题的核心依据． 19．（2025·河北唐山·二模）如图，在平行四边形纸片中，点为边上一点（不与点重合），连接，作点关于的对称点，连接，． (1)当点恰好落在边上时， ①尺规作图：请在图中画出点和点的位置； ②直接写出四边形的形状； (2)当点恰好是边的中点时，连接，如图，若，，求线段的长． 【答案】(1)①画图见解析；②菱形 (2) 【分析】（）①以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再作的角平分线，交于点，则点和点即为所求；②根据菱形的判定即可求解； （）证明即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，点和点即为所求； ②四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点和点关于对称， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由轴对称得，，， ∵点恰好是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段，角平分线的画法，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，轴对称图形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，正确画出图形是解题的关键． 矩形的折叠问题 考点04 20．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 21．（2026·河北张家口·一模）如图，点O为矩形对角线的交点，，，点E是边上一点（不含端点及中点），连接并延长，交边于点F．将矩形沿折叠，点A，D的对应点分别是点，，直线和直线相交于点H，连接，，，嘉嘉得出一个正确的结论：，淇淇继续探究，发现了以下四个结论，其中不正确的是（   ） A． B．当点和点C不重合时， C． D．当在直线上方时，点到直线距离的最大值为 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，结合题意得出垂直平分，即可判断A；连接，先证明，得出，由折叠的性质可得，，从而可得，，即可判断B；连接，证明点、、、四点共圆，得出，从而可得，最后由正切的定义计算即可判断C；连接，则点在以点为圆心，为半径的圆弧上，求出，由图形并结合垂径定理可得，当时，此时点距离最远，即可判断D． 【详解】解：∵点O为矩形对角线的交点， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，故A选项正确，不符合题意； 如图：连接， ∵点O为矩形对角线的交点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，， ∵， ∴，故B选项正确，不符合题意； 如图，连接， ∵点O为矩形对角线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∴， ∴，故C选项正确，不符合题意； 如图，连接， 由折叠的性质可得：， ∴点在以点为圆心，为半径的圆弧上， ∵， ∴， 由图形并结合垂径定理可得，当时，此时点距离最远，此时最大距离为，故D选项错误，符合题意． 【点睛】矩形的对角线相等；同弧所对的圆周角相等；折叠的性质：对应边相等，对应角相等． 22．（2026·河北石家庄·一模）如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 【答案】或 【分析】分三种情况讨论，由折叠的性质和勾股定理可求的长． 【详解】解：①如图，若， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵将沿着翻折， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； ②如图，若， ∵将沿着翻折， ∴，，， ∵， ∴点，点，点三点共线， ∵， ∴． ③若， ∵， ∴点不可能落在直线上， ∴不存在， 综上所述：或． 23．（2026·河北保定·一模）综合与实践 【情境】我们知道，菱形和矩形是轴对称图形，而且它们至少都有两条对称轴．嘉嘉学习完相关知识后，提出问题：是否存在只有一条对称轴的四边形？ 【操作】如图1，在矩形中，E是的中点，在图中作出只有一条对称轴且对角线互相垂直的四边形（其余三个顶点分别在边上）． 嘉嘉和淇淇有不同的操作方法： 嘉嘉：①如图2，将矩形对折后展开，折痕为； ②在上取任意一点F，将矩形沿过点F的直线折叠，使点B落在上，展开，折痕为； ③连接． 淇淇：①如图3，在边上任取一点G，连接； ②…… 【探究】根据以上描述，解决下列问题： (1)证明：图2中； (2)在图3的基础上，用尺规作图作出四边形；（保留作图痕迹，不写作法） 【拓展】 (3)如图4，在四边形中，，． ①连接，若，，且，求的长； ②若，，M是边上一点，于点N，连接，若平分，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①4；②18 【分析】（1）由题意可知垂直平分，可得，，再根据等边对等角得，，然后求和得出答案； （2）分别以点E，G为圆心，以为半径画弧，两弧交于点M，N,作直线，交于点H，交于点F，则是的垂直平分线，可得直线是四边形的对称轴； （3）①连接，交于点O，作，由线段垂直平分线的性质得，由，根据勾股定理得，再说明∽，可得，然后设，则，，接下来表示出，再根据勾股定理得出，求出解即可得出答案； ②将沿折叠，点F的对应点为Q，由折叠的性质，得，，，再说明四边形是正方形，设，则，，可得，然后由勾股定理得，进而求出，进而求出，，，最后根据得出答案． 【详解】（1）证明：由折叠的性质，得垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：作四边形如图． （3）解：①如解图，连接，交于点O，过点H作于点P． ∵，， ∴垂直平分线段， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴由勾股定理得， 由题意可得直线是四边形的一条对称轴， 则． ∵， ∴． ∵， ∴∽， ∴， 即． 设，则，， 则， 在中，， 即， 解得（负值已舍去）， 则； ②四边形的面积为18． 如解图，将沿折叠，点F的对应点为Q， ∵平分， ∴点Q落在线段上， 由折叠的性质，得，，． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴设，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴，，， ∴ ． 24．（2026·河北廊坊·一模）综合与实践 【问题情境】在数学课上，老师给出矩形纸片（，），让同学们在纸片中作出一个的角． 【操作一】甲组同学利用折叠：如图1，把矩形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．再一次折叠纸片，使点A落在上的点E处． (1)的长为_____，的度数为_____； (2)连接．若，求的值； 【操作二】 (3)乙组同学利用尺规，根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”来得到的角：如图2，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，． 请你在图2中补全作图，并在矩形纸片中找出一点K，使，在图2的作图中，可画出_____（填“1”“2”或“无数”）个满足条件的； 【折叠拓展】 (4)甲组同学连接图1中的，并将剪下来，点G在边上，点H在边上，将沿直线折叠，使点A落在点处，如图3、图4所示．    在图3中，点H与点E重合，阴影部分的周长为_____． (5)如图4，点P，Q在边上，且，点落在线段上（包括端点）若，，直接写出y与m之间的关系式，并写出m的取值范围． 【答案】(1)2； (2) (3)见解析，无数 (4)6 (5)，m的取值范围是 【分析】（1）根据折叠的性质特殊角的三角函数值，即可求解； （2）作，垂足为，根据矩形的性质和折叠的性质，易求，再通过解直角三角形，求出，，从而求出，最后根据正切的定义，计算即可； （3）根据尺规作图的步骤，作图即可；再根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”，易得，最后根据K是弧上的点，可得出有无数个； （4）根据折叠的性质，即可求解； （5）根据题意，易求，，再根据折叠的性质，可得， ，利用“”得，从而，最后根据点分别与点、重合时，计算出的值，即可求出范围． 【详解】（1）解：由折叠可知，，，， 在中，，则； （2）解：如图1，作，垂足为， 由折叠可知，，，， 在中，，则， ， 矩形， ， ， 在中，，， ， ， 在中，； （3）解：如图2，即为所求， 以点为圆心，为半径作圆，在与矩形纸片相交弧上任选一点K，连接、即可； 由图可知，，即是等边三角形， ， ， 即点K可以是与矩形纸片相交弧上的任意一点， 故可以画出无数个满足条件的； （4）解：由折叠可知，，， 由（2）知，，即， ， 是等边三角形， ， 阴影部分的周长为：； （5）解：由折叠可知，，，， ，， ，， 则， ， 由（4）知，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，即， ，， ，， 当与点重合时，，则， 当与点重合时，，则， 点落在线段上（包括端点）， ， 综上可知：，其中． 25．（2026·河北石家庄·一模）如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，求的长； (3)通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大． 【分析】（1）连接，由三角形中位线定理得到，，由矩形的性质得到，则可证明，进而可证明四边形是菱形； （2）证明，得到，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案； （3）分别计算出两个四边形的面积，比较即可得到答案． 【详解】（1）证明：如图1所示，连接， ∵点E、F、G、H分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴， 同理可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； （3）解：图1中四边形的面积， 同理可求出， 图2中四边形的面积， ∵， ∴图2中四边形的面积比图1中四边形的面积大． 26．（2026·河北张家口·一模）综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，．点在边或边上运动，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，与交于点． 请完成以下闯关任务： (1)第一关·初试锋芒 如图2，当点在边上且点恰好落在边上时，完成基础探究： ①直接写出：________，________； ②此时与的位置关系是________． (2)第二关·解锁规律 ①当点为边上任意一点时，与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由． ②如图3，取的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据：，，） (3)第三关·终极挑战 当到的距离为时，直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)，；垂直 (2)存在，理由见解析； (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）由折叠可知，，，在中，利用勾股定理求得，进而得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可； 由折叠的性质即可得解； （2）由折叠的性质即可得解； 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，从而得到点的运动轨迹为以为圆心，半径为的一段圆弧，当点运动到点时，根据可求得的度数，然后根据外角的性质即可得到，最后根据弧长公式求解即可； （3）分4种情况讨论：当点在边上，在上方时；当点在边上，在下方时；当点在边上，在上方时；当点在边上，在下方时；过点构造矩形，通过勾股定理解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：四边形是矩形， ，，， 由折叠可知，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 即； 由折叠可知，是的对称轴，即垂直平分， ； （2）解：存在，仍然成立； 理由：由折叠可知，点与点关于直线对称， 根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线， 垂直平分， ； 由知，， ， 是的中点， ， ， ，是定值， 点的运动轨迹为以为圆心，半径为的一段圆弧， 当点在点时，点与点重合；当点运动到点时，如图所示， 此时， ， ， 点的运动路径长为； （3）解：当点在边上，在上方时，如图所示，过点作交于，交于，作于，则四边形、、是矩形， 当到的距离为时，即， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 即， ， ； 当点在边上，到下方时，如图所示，过点作交于，交于，作于，则四边形、、是矩形， 当到的距离为时，即， ， ， ， ， 设，则， 在中，， 即，解得， 即， ， ； 当点在边上，如图所示，过点作轴交轴于，作轴于，过点作于，则四边形、、是矩形， 如图，当点在第三象限时， 当到的距离为时，即， ， ， ， 设，则， ，， 在中，， 即，解得， ， ； 如图，当点在第二象限时， 当到的距离为时，即， ， ， ， 设，则， ，， 在中，， 即， 解得， ， ； 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 27．（2026·河北邯郸·二模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠与展开”为主题开展数学活动．如图1，矩形纸片中，，，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为点． (1)当落在上时，的长为 ；此时，四边形的面积为 ； (2)当点运动到边的中点时，在图2中用尺规作出折痕和点的对应点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，连接，交于点．当点在边上从点运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长（结果保留）．（参考数据：） 【答案】(1)； (2)图见解析 (3) 【分析】（1）结合矩形的性质和折叠的性质，容易证明四边形是矩形，则，进而求出四边形的面积； （2）作出的垂直平分线，与的交点即为中点，再分别以点、为圆心，、为半径作圆，两圆的另一个交点即为点； （3）由折叠的性质可得，因此点在以为直径的圆上．分析弧的起点和终点，当点在点处时，点与点重合；当点在点处时，点在上，作出此时的图，因此点的运动路径为．逆向利用三角函数可计算出，从而得到，，结合半径为，利用扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，落在上， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：折痕和点如图所示： 根据尺规作图可得，，， 又∵， ∴， ∴点与点关于对称； （3）解：由折叠的性质可得，， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 当点在点处时，点与点重合； 当点在点处时，如图，取的中点，连接， 此时，点在上， ∴点的运动路径为， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的长为， ∴点的运动路径长为． 28．（2026·河北邢台·一模）【问题情境】 在探究活动中，李老师发给每名同学一矩形纸片，宽为，长为，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 【操作与发现】 嘉嘉在边上取一点，连接，将这个纸片沿翻折，使点的对应点落在边上，如图1所示． 琪琪在边上取一点，连接，将这个纸片沿翻折，使点的对应点落在边上，如图2所示． 慧慧将这个纸片沿翻折，点的对应点落在矩形外，如图3所示，连接，． 发现1：嘉嘉发现，图1中的线段与图2中的线段相等； 发现2：慧慧发现，图3中，是直角． ．．．．．． 【问题提出与解决】 (1)嘉嘉发现的与相等的结论是否正确？请你用所学的知识进行说明； (2)如图3，①证明；②求出的长． 【拓展延伸】 小刚受到探究过程的启发，提出新问题： (3)尺规作图：在图4所示的正方形的边上找一点，边上找一点，连接，使得四边形是长与宽的比为的矩形．（作图要求：保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)嘉嘉的结论是正确的，理由见解析； (2)①见解析；②； (3)见解析 【分析】（1）由折叠的性质及勾股定理可得出答案； （2）①连接，与相交于点O，设与相交于点P，证明，由三角形内角和定理可得出； ②由三角形面积及勾股定理可得出答案； （3）分别以点、为圆心，对角线长的一半为半径画弧，分别交、边于点E和F，则可得出答案． 【详解】（1）解：嘉嘉发现的结论是正确的； 证明：由折叠知， ∴， 在图2中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 所以嘉嘉的结论是正确的； （2）解：①证明：如图，连接，与相交于点O，设与相交于点P， 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得：， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴是直角． ②在中，，， ∴， ∴， 由面积公式得：， ∴， 由折叠得， ∴ 在中，根据勾股定理：； （3）解：如图，即矩形为所求． 29．（2026·河北石家庄·一模）【情境】 在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助相应的数学知识予以解释．在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究性数学实践活动．每位同学选取相同的矩形纸片，其中，． 【操作】 (1)如图1，对折矩形纸片，使点与点重合，展开纸片，产生折痕；再过点所在直线折叠纸片，使点落在折痕上的点处，连接． ①的长为_____； ②求的度数； (2)如图2，沿过点的直线折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，折痕交边于点，请在图2中利用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； 【应用】 (3)沿过点的直线折叠矩形纸片，折痕为，交边于点．若点落在处，当的长度最小时，求的长； 【拓展】 (4)如图3，若点在边上，且．将矩形纸片沿折叠，使恰好落在直线上，点A，D的对应点分别为点，，嘉琪认为所在的直线恰好经过点，请通过计算判断嘉琪的说法是否正确． 【答案】(1)①8；② (2)见解析 (3) (4)嘉琪的说法不正确． 【分析】（1）①由折叠的性质解答即可；②由折叠的性质得：垂直平分，可证明为等边三角形，即可解答； （2）先以点B为圆心，长为半径画弧交于点F，再作的平分线，即可求解； （3）根据勾股定理可得，由折叠的性质得：，，可得点在以B为圆心，长为半径的圆上，连接，，点D， ，B三点共线时，最小，此时，在中，根据勾股定理解答即可； （4）求出，可得，连接，由折叠的性质得：，，再求出，，再由勾股定理可得，从而得到，再由，可得，，从而得到，，可得，即可解答． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，， ∴， 由折叠的性质得：； ②由折叠的性质得：垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴点在以B为圆心，长为半径的圆上， 如图，连接，， ∴点D， ，B三点共线时，最小，此时， 在中，， ∴， 解得：； （4）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 如图，连接， 由折叠的性质得：，， ∴，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴所在的直线不经过点，即嘉琪的说法不正确． 菱形的性质的应用 考点05 30．（2026·河北邢台·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．由菱形的性质和勾股定理，得出，证明四边形是矩形，得到，当时，有最小值，利用三角形面积公式，求出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，． ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值， ， ， 的最小值为2.4， 故选：A． 32．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，交于点，，现以点为旋转中心，将所在的直线绕点逆时针旋转，旋转之后的直线与边，所在的直线分别交于点，，连接、，要使四边形是矩形，则的大小可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形的对角线互相垂直知，由矩形的两条对角线互相平分且相等的性质、等边对等角推知，则，再由求解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线，交于点， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，即 33．（2026·河北邯郸·二模）如图，菱形中，，，点是边上的动点（），连接，将沿翻折得，射线与射线交于点．给出下列结论： ①当时，． ②当点落在上时，四边形是菱形． ③在点运动的过程中，线段的最小值为． ④连接，则的面积等于 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】对于①，由菱形的性质可得，则，由折叠的性质可得， 进而得到，因此，故①正确；对于②，容易判断当点落在上时，四边形与菱形重合，故②正确；对于③，由可知，，仅当点、、三点重合时取等号，因此的最小值为2，故③正确；对于④，设与的交点为，由可得，故④错误． 【详解】解：对于①：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴，故①正确； 对于②：由折叠的性质可得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∴当点落在上时，点与点重合， 又∵菱形关于直线对称， ∴此时点与点重合， ∴四边形即菱形，故②正确； 对于③：由①可知，， ∴为钝角， ∴，仅当点、、三点重合时取等号， ∴的最小值为2，故③正确； 对于④：如图，设与的交点为， 由折叠的性质可得，， ∴，故④错误； 综上，正确的结论有3个． 34．（2026·河北石家庄·一模）如图，菱形和菱形中，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点O，根据菱形的性质以及等边三角形的性质证明，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形和都是菱形，， ∴，， ∵， ∴为等边三角形，， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 35．（2026·河北保定·二模）如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 【答案】5（或填6或7） 【分析】由图可知，当时，取得最小值，当与重合时，取得最大值，先利用菱形的性质：对角线互相平分且垂直，通过勾股定理求出菱形的边长，再利用面积关系求出对应的高，即可求出的长的取值范围，在范围中选择一个整数即可． 【详解】解：如图，设与交于点O， 在菱形中，，，， ∴， ∵， ∴， 当时，即时，取得最小值， ∴， 当与重合时，取得最大值，， ∴，故长的整数值为5或6或7． 36．如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． (2)证明（1）中得到的四边形是菱形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）解：如图，   ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形． 37．（2026·河北唐山·一模）如图，点G在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． (1)求证：； (2)若，求“翼角”的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，可利用即可证明； （2）结合菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 38．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定定理即可得到四边形是菱形； （2）利用勾股定理求得，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是边上的高线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是边上的高线，即， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 39．（2026·河北石家庄·一模）阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； (2)请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． (3)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (4)若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)此矩形的内接菱形的面积最大值为60 【分析】（1）由矩形和菱形的面积公式计算即可； （2）先推导出四边形是平行四边形，进而证明，得到，则四边形是菱形，即可解答； （3）根据垂直平分线的尺规作图的方法，以线段的两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，连接两弧交点，即可画出垂直平分线； （4）方法一：根据（1）中结论，计算出的面积即可得菱形的面积；方法二：根据勾股定理求出菱形的边长，由底乘高计算菱形的面积即可；方法三：由方法二同理可求菱形的面积，比较三种方法菱形的面积即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴菱形的面积与矩形的面积之比为； （2）解：如图2 ∵矩形为两个大小一样的矩形纸片， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （3）解：先连接对角线，以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，以点C为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，连接M，N两点，所得直线与边交于点E，与边交于点F，则四边形即为所求： （4）解：方法一：如图 在矩形中，，， ∴， 由（1）可知，菱形的面积与矩形的面积之比为， ∴菱形的面积为； 方法二：如图 设菱形边长为x，即， ∵，， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴菱形边长为10， ∴菱形的面积为； 方法三：如图 由方法二可知，同理可得菱形的边长为10， ∴菱形的面积为； ∵， ∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60． 正方形的性质应用 考点06 40．（2026·河北唐山·一模）如图，两个边长为2的正方形中心重合，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意易得，然后可得，，，则有，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由两个边长为2的正方形中心重合，可知：， ∵， ∴都为等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 41．（2026·河北保定·二模）如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由面积公式得，代入相关数据可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由面积公式得， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 42．如图，由内到外依次为正方形，若的面积为2，的面积为5，则的边长可以是整数_________． 【答案】2 【分析】题目主要考查算术平方根的应用，理解题意得出B的边长的取值范围是解题关键． 根据题意得出的边长，即可求解． 【详解】解：∵的面积为2，的面积为5， ∴的边长为，的边长为， ∴的边长， ∴的边长可以是整数2， 故答案为：2． 43．（2026·河北石家庄·一模）如图，正方形中，点为上一动点，连接，过点作交边所在直线于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为_____． 【答案】 【分析】根据题意，画出运动后的点位置，再根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：连接，交于点，连接，过点作垂足分别为，延长，交于， ∵正方形， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ， ， 则四边形为正方形， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∵正方形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵正方形， 是中点， ， ， 在等腰三角形中， ， ， ∵是中点，是中点， ． 44．如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 【答案】 【分析】（1）如图所示，由三角形内角和定理得到，，结合对顶角相等、等腰三角形的判定与性质确定、、，代入得到关于的方程，求解即可得到，再由对称性质，在中，由两锐角互余求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由对称性得到,，，进而确定,，在中、中和中，由勾股定理列式求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图所示： 则，，， 由与关于对称，得到，则， 在正方形中，，则， ， ，即， 解得， 由与关于对称，得到， 在中，，，则； 故答案为：； （2）连接，如图所示： 由与关于对称，得到,，， 则,， 在中，由勾股定理可得, 点是中点， 设,则， 在中，由勾股定理可得,即， 解得， , 在等腰中，,,由勾股定理可得, 解得, 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，涉及三角形内角和定理、正方形性质、直角三角形两锐角互余、对顶角相等、等腰三角形的判定与性质、对称性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关几何性质，准确构造辅助线求解是解决问题的关键． 45．（2026·河北石家庄·一模）【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角． 【操作1】如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的点处．结论是：，请你说明理由． 【操作2】如图2，已知正方形的边长为4．按与【操作1】相同的步骤得到折痕，连接，将沿折叠，使点落在正方形内的点处． (1)尺规作图：在图2中画出点的位置，连接并延长交于点，连接，． (2)求的度数与的长． 【答案】(1) (2)，的长为 【分析】操作1：先推导出，得到，求出，则，即可解答；         操作2：（1）以点A为圆心，为半径作弧，再以点F为圆心，为半径作弧，两弧的交点即为点M，连接并延长交于点，连接，，即可解答；        （2）先推导出，得到，，进而求出，设，则，，根据勾股定理得到，代入求出，即的长为，即可解答． 【详解】（1）解：由折叠可知：，，． 中，， ， ． ． （2）解：（1）如图所示，点M即为所求；         （2）四边形是正方形， ，， 由折叠可知：，， ，． ，，， 又， ， ，． ， 设，则，， ∵， ， 解得：，即的长为． 46．数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析；点G在边、的垂直平分线上；理由见解析； (3)改变；的周长的最小值为； 【分析】本题考查了正方形的折叠问题． （1）作，的角平分线即可．根据三角形外角的性质得到，再根据角平分线的性质得到，即可得到； （2）延长，交于T，作的角平分线即可．证明得到点G是的中点即可； （3）作的角平分线交于E，连接，先根据折叠的性质求出，可知的最小值为，将向上平移使得M与A重合，证明，得到，即可得到． 【详解】（1）解：如图，作，的角平分线即可． ∵，， ∴． ∵，分别是，的角平分线， ∴ ∴ 故答案为：； （2）解：如图，延长，交于T，作的角平分线即可． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴点G是的中点， ∴点G在边、的垂直平分线上； （3）解：如图，作的角平分线交于E，连接， ∵是折痕， ∴且垂直平分 ∴， ∵为定值即， ∴当A、M、E三点共线时，最小，最小值即为的长， 故的最小值为， 此时E和B重合，将向上平移使得M与A重合，如下图： ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴ 即， ∵ ∴ 图形的拼接问题 考点07 47．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理、矩形的性质、求正弦等知识．设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为，根据正方形的边长求出,用勾股定理求出矩形的对角线长，根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为， 由题意可知，, ∴, ∴矩形的对角线长为， ∴， 故选：A 48．（2026·河北廊坊·一模）淇淇根据沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载的一则故事，编写了一道趣味数学题（如图1所示），其大意为：如图2，有一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），求和的值．下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意得，所拼成的三个小正方形（阴影部分）的面积分别为，则三个小正方形的边长为，进而得，在中，由勾股定理得，再由图形的拼接可知，进而即可求得的长． 【详解】解：如图， ∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵将正方形分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分）， ∴所拼成的三个小正方形的面积分别为， ∴三个小正方形的边长为， ∴， 在中，， 由图形的拼接可知，， ∴． 49．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质是解决问题的关键． 依题意得，所拼成的三个小正方形（阴影部分）的面积分别为，则三个小正方形的边长为，进而得，在中由勾股定理得，再由图形的拼接可知，进而求得得的长即可． 【详解】解：如图所示： ∵正方形的边长为1，即， ∴正方形的面积为1， ∵将正方形分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分）， ∴所拼成的三个小正方形的面积分别为， ∴三个小正方形的边长为， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， 由图形的拼接可知：， ∴． 故选：D． 50．（2026·河北保定·二模）综合与实践 【问题情境】在学习了平分矩形周长的方法后，嘉嘉和淇淇探究将如图1所示的一个五边形铁板余料（部分数据已标出）切割成面积相等的两部分． 【操作探究】 (1)嘉嘉认为利用尺规作边的垂直平分线，直线即可将五边形面积平分．请用尺规作图根据嘉嘉的想法作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，淇淇考虑到图形所具有的性质，认为利用直尺连接，交于点O，作直线，直线即为切割线，求的长； 【拓展探究】 (3)如图3，点P，Q分别在边，上，直线平分五边形的面积，当线段长最大时，过点作于点F，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）易得该五边形是轴对称图形，点A在线段的垂直平分线上，作图步骤：以点C为圆心，大于长为半径画弧，以点D为圆心，以同样长为半径画弧，分别交前弧于点M，N，直线即为线段的垂直平分线． （2）延长，交于点G，利用五边形内角和求得，得到，证明四边形是正方形，再通过求得答案； （3）连接，，先计算出的面积，判断出点P不能与点E重合，设，则，得到，根据，，判断当，即点Q与点B重合时，最大，接着证明，利用求得答案． 【详解】（1）解：直线如下图所示即为所求； （2）解：在五边形中，，， ∵五边形的内角和为， ∴， 如解图②，延长，交于点G， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； （3）解：的长为． 由（2）可得，五边形的面积为， ∵平分五边形的面积， ∴四边形的面积为28， 如图③，连接，， ∵的面积为， ∴点P不能与点E重合， 设，则， ∴， ∵，， ∴当，即点Q与点B重合时，最大，此时，如图④， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 51．（2026·河北石家庄·一模）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形， (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____． (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． (3)如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长． 【答案】(1)、； (2)13 (3)图见解析，，或， 【分析】（1）根据题意得出操作形成的折痕分别是线段；由折叠的性质得出的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积，得出，即可得出答案； （2）由矩形的性质和勾股定理求出，即可得出答案； （3）折法1中，由折叠的性质得：，，，，，由叠合正方形的性质得出，由勾股定理得出，得出，； 折法2中，由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，，求出，由叠合正方形的性质得出，正方形的面积，由勾股定理求出，设，则，由梯形的面积得出，求出，由得出方程，解方程求出，，进而得到、的长． 【详解】（1）解：根据题意得：操作形成的折痕分别是线段、； 由折叠的性质得：，四边形四边形， ∴的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴； （3）解：①折法1中，如图4所示： 由折叠的性质得：，，，，， ∵四边形是叠合正方形， ∴， ∴， ∴，； ②折法2中，如图5所示： 由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，， ∴， ∵四边形是叠合正方形， ∴，正方形的面积， ∵， ∴， 设，则， ∵梯形的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，． 52．（2026·河北石家庄·一模）矩形和正方形是特殊的平行四边形，我们可以通过如下方式获得矩形和正方形． 【操作1】有一张三角形纸片，顶点分别是，，．部分数据如图①所示．如图②，分别在，上取点，，再沿过点，分别与垂直的虚线剪开，得到①，②，③三块，若这三块能拼接成如图③所示的矩形． (1)的长为 ； (2)求点到的距离； 【操作2】 (3)如图④，将沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，，求的面积； 【操作3】 (4)如图，在四边形中，，点，，，分别为四条边的中点，与的和为与之间距离的2倍． 嘉嘉说：我可以将四边形分成三块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形； 淇淇说：我可以将四边形分成四块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形． 请你帮嘉嘉、淇淇设计裁剪方式，使裁剪后的图形能够拼成一个正方形．（用虚线在图中画出裁剪线，在剪出的每一部分图形上标注序号，并画出拼接后的正方形，在正方形相应位置标注对应的序号） 嘉嘉的做法： 淇淇的做法： 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】（1）由图形的变化可得点N为BC中点，可得BN的长度； （2）过点作于点，由勾股定理可得方程，解出AE的长度，证明，得，解出NQ即可； （3）由翻折的性质，根据线段关系求出BC、AE长度，结合平行四边形的面积为即可得出结果； （4）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，这三块能拼接成如图③所示的矩形， 即， ∴． （2）解：如解图，过点作于点， 在中，； 在中，， ∴， 即， 解得， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴点到的距离为． （3）解：由折叠的性质，得，，， ∴， ∵四边形为正方形，，， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． （4）解：嘉嘉的方法： 淇淇的方法： 试卷第2页，共83页 84/84 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 四边形 7大考点概览 考点01多边形的内角和 考点02角形的中位线的性质 考点03行四边形的性质 考点04形的折叠问题 考点05形的性质的应用 考点06形的性质应用 考点07图形的拼接问题 多边形的内角和 考点01 1．（2026·河北唐山·一模）龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，小明沿一个五边形的广场小道按的方向跑步健身，他每跑完一圈时，身体转过的角度之和是（    ）    A．180° B．360° C．540° D．720° 3．（2026·河北石家庄·一模）如图，直线，正六边形的顶点A，C分别在直线a，b上，若，则下列错误的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·二模）某巡逻机器人沿正多边形赛道边缘行走，每次转弯时均向左转（如图为一个转弯处示意图），则该正多边形的内角和为________． 5．（2026·河北张家口·一模）如图，正五边形和正边形的两条邻边相交，若，则的值是________． 6．如图所示，是工人师傅用边长均为a的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点O进行的铺设．若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是______． 三角形的中位线的性质 考点02 7．如图, 在□ 中，对角线 相交于点 ，点 是边 的中 点．已知 ，则 （       ） A．4 B．5 C．6 D． 8．（2026·河北石家庄·一模）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，分别为，的中点，连接，，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 9．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，，为中点，过作于，连接交于点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，点、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是__________． 11．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，点，分别为，的中点，点在上，满足． (1)求证：； (2)若，，求点，之间的距离． 12．（2026·河北秦皇岛·一模）综合与实践 【情境】要将任意三角形铁板切割成两个面积相同的三角形铁板，需找到合适的切割线． 【模型】如图1，在中，作边上的中线，切割线分成的两个三角形和的面积相等． 【操作】（1）请在图1中，用尺规作图作出切割线，使，切割线交于点．交于点（保留作图痕迹，不写作法） 【探究】（2）结合【操作】的作图，请判断与的数量关系，说明理由： 【拓展】（3）如图2，在中，，点，点分别为，的中点．若，垂足为点，求的值． 【应用】（4）如图3，在中，，点为的中点，点为的中点，与交于点，连接．已知，当最大时，直接写出的长． 平行四边形的性质 考点03 13．如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　） A．四边形的周长不变 B．四边形的面积不变 C． D． 14．如图，将平行四边形绕点C顺时针旋转一定角度后，得到平行四边形，若与在同一条直线上，点D在上，则旋转的度数为（    ） A． B． C． D． 15．（2026·河北保定·一模）如图，在中，连接，，，点E在的上方，且，连接，，若，则的长为（） A． B． C． D． 16．（2026·河北邢台·一模）如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分，若，，则的长为_____． 17．如图，在中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边，于点M，N．若直线将的面积平分，则线段的长为_______． 18．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 19．（2025·河北唐山·二模）如图，在平行四边形纸片中，点为边上一点（不与点重合），连接，作点关于的对称点，连接，． (1)当点恰好落在边上时， ①尺规作图：请在图中画出点和点的位置； ②直接写出四边形的形状； (2)当点恰好是边的中点时，连接，如图，若，，求线段的长． 矩形的折叠问题 考点04 20．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（2026·河北张家口·一模）如图，点O为矩形对角线的交点，，，点E是边上一点（不含端点及中点），连接并延长，交边于点F．将矩形沿折叠，点A，D的对应点分别是点，，直线和直线相交于点H，连接，，，嘉嘉得出一个正确的结论：，淇淇继续探究，发现了以下四个结论，其中不正确的是（   ） A． B．当点和点C不重合时， C． D．当在直线上方时，点到直线距离的最大值为 22．（2026·河北石家庄·一模）如图，四边形是一个矩形纸片，，．E是边上一点．将沿着翻折，A点的对应点为．在翻折的过程中，当是直角三角形时，的长为________． 23．（2026·河北保定·一模）综合与实践 【情境】我们知道，菱形和矩形是轴对称图形，而且它们至少都有两条对称轴．嘉嘉学习完相关知识后，提出问题：是否存在只有一条对称轴的四边形？ 【操作】如图1，在矩形中，E是的中点，在图中作出只有一条对称轴且对角线互相垂直的四边形（其余三个顶点分别在边上）． 嘉嘉和淇淇有不同的操作方法： 嘉嘉：①如图2，将矩形对折后展开，折痕为； ②在上取任意一点F，将矩形沿过点F的直线折叠，使点B落在上，展开，折痕为； ③连接． 淇淇：①如图3，在边上任取一点G，连接； ②…… 【探究】根据以上描述，解决下列问题： (1)证明：图2中； (2)在图3的基础上，用尺规作图作出四边形；（保留作图痕迹，不写作法） 【拓展】 (3)如图4，在四边形中，，． ①连接，若，，且，求的长； ②若，，M是边上一点，于点N，连接，若平分，，直接写出四边形的面积． 24．（2026·河北廊坊·一模）综合与实践 【问题情境】在数学课上，老师给出矩形纸片（，），让同学们在纸片中作出一个的角． 【操作一】甲组同学利用折叠：如图1，把矩形纸片对折，使边与重合，展开后得到折痕．再一次折叠纸片，使点A落在上的点E处． (1)的长为_____，的度数为_____； (2)连接．若，求的值； 【操作二】 (3)乙组同学利用尺规，根据“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”来得到的角：如图2，分别以点A，B为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点O，连接，． 请你在图2中补全作图，并在矩形纸片中找出一点K，使，在图2的作图中，可画出_____（填“1”“2”或“无数”）个满足条件的； 【折叠拓展】 (4)甲组同学连接图1中的，并将剪下来，点G在边上，点H在边上，将沿直线折叠，使点A落在点处，如图3、图4所示．    在图3中，点H与点E重合，阴影部分的周长为_____． (5)如图4，点P，Q在边上，且，点落在线段上（包括端点）若，，直接写出y与m之间的关系式，并写出m的取值范围． 25．（2026·河北石家庄·一模）如图1和图2，矩形纸片长为24，宽为10．嘉嘉和琪琪用折纸的方法分别得到了一个四边形． 嘉嘉的方法：如图1，两次对折矩形纸片，分别得到两组对边的中点，并顺次连接各边中点得到四边形； 琪琪的方法：如图2，沿分别折出，，点，分别在边上，得到四边形； 解答下列问题： (1)如图1，求证：四边形是菱形； (2)如图2，求的长； (3)通过计算，比较图1中四边形和图2中四边形的面积的大小． 26．（2026·河北张家口·一模）综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，．点在边或边上运动，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，与交于点． 请完成以下闯关任务： (1)第一关·初试锋芒 如图2，当点在边上且点恰好落在边上时，完成基础探究： ①直接写出：________，________； ②此时与的位置关系是________． (2)第二关·解锁规律 ①当点为边上任意一点时，与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由． ②如图3，取的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据：，，） (3)第三关·终极挑战 当到的距离为时，直接写出所有满足条件的点的坐标． 27．（2026·河北邯郸·二模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠与展开”为主题开展数学活动．如图1，矩形纸片中，，，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为点． (1)当落在上时，的长为 ；此时，四边形的面积为 ； (2)当点运动到边的中点时，在图2中用尺规作出折痕和点的对应点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，连接，交于点．当点在边上从点运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长（结果保留）．（参考数据：） 28．（2026·河北邢台·一模）【问题情境】 在探究活动中，李老师发给每名同学一矩形纸片，宽为，长为，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论． 【操作与发现】 嘉嘉在边上取一点，连接，将这个纸片沿翻折，使点的对应点落在边上，如图1所示． 琪琪在边上取一点，连接，将这个纸片沿翻折，使点的对应点落在边上，如图2所示． 慧慧将这个纸片沿翻折，点的对应点落在矩形外，如图3所示，连接，． 发现1：嘉嘉发现，图1中的线段与图2中的线段相等； 发现2：慧慧发现，图3中，是直角． ．．．．．． 【问题提出与解决】 (1)嘉嘉发现的与相等的结论是否正确？请你用所学的知识进行说明； (2)如图3，①证明；②求出的长． 【拓展延伸】 小刚受到探究过程的启发，提出新问题： (3)尺规作图：在图4所示的正方形的边上找一点，边上找一点，连接，使得四边形是长与宽的比为的矩形．（作图要求：保留作图痕迹，不写作法） 29．（2026·河北石家庄·一模）【情境】 在纸片折叠的过程中，我们可以发现很多有趣的结论，而这些结论均可借助相应的数学知识予以解释．在数学活动课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究性数学实践活动．每位同学选取相同的矩形纸片，其中，． 【操作】 (1)如图1，对折矩形纸片，使点与点重合，展开纸片，产生折痕；再过点所在直线折叠纸片，使点落在折痕上的点处，连接． ①的长为_____； ②求的度数； (2)如图2，沿过点的直线折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，折痕交边于点，请在图2中利用尺规作图作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； 【应用】 (3)沿过点的直线折叠矩形纸片，折痕为，交边于点．若点落在处，当的长度最小时，求的长； 【拓展】 (4)如图3，若点在边上，且．将矩形纸片沿折叠，使恰好落在直线上，点A，D的对应点分别为点，，嘉琪认为所在的直线恰好经过点，请通过计算判断嘉琪的说法是否正确． 菱形的性质的应用 考点05 30．（2026·河北邢台·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 31．如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 32．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，交于点，，现以点为旋转中心，将所在的直线绕点逆时针旋转，旋转之后的直线与边，所在的直线分别交于点，，连接、，要使四边形是矩形，则的大小可以是（ ） A． B． C． D． 33．（2026·河北邯郸·二模）如图，菱形中，，，点是边上的动点（），连接，将沿翻折得，射线与射线交于点．给出下列结论： ①当时，． ②当点落在上时，四边形是菱形． ③在点运动的过程中，线段的最小值为． ④连接，则的面积等于 其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 34．（2026·河北石家庄·一模）如图，菱形和菱形中，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 35．（2026·河北保定·二模）如图，菱形的对角线、的长分别为6、8，点P、Q分别在边、上（均不与边的端点重合），连接，请写出一个长的整数值为______． 36．如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E．    (1)请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． (2)证明（1）中得到的四边形是菱形 37．（2026·河北唐山·一模）如图，点G在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． (1)求证：； (2)若，求“翼角”的度数． 38．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 39．（2026·河北石家庄·一模）阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法． 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形． 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形． 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形． 任务： (1)图1菱形的面积与矩形的面积之比为 ； (2)请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形． (3)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法） (4)若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值． 正方形的性质应用 考点06 40．（2026·河北唐山·一模）如图，两个边长为2的正方形中心重合，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 41．（2026·河北保定·二模）如图，在正方形中，，E为边上一点，连接，过点C作于点F，记，．当x，y的值变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 42．如图，由内到外依次为正方形，若的面积为2，的面积为5，则的边长可以是整数_________． 43．（2026·河北石家庄·一模）如图，正方形中，点为上一动点，连接，过点作交边所在直线于点．点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为6，则的中点移动的路径长为_____． 44．如图，在正方形中，是上任意一点，连接与关于对称，延长线与延长线交于点，连接交于点． （1）度数为______； （2）若点是中点，，则的长为______． 45．（2026·河北石家庄·一模）【主题研究】利用正方形或矩形纸片折叠出特殊度数的角． 【操作1】如图1，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平．在上选一点，沿折叠，使点恰好落在折痕上的点处．结论是：，请你说明理由． 【操作2】如图2，已知正方形的边长为4．按与【操作1】相同的步骤得到折痕，连接，将沿折叠，使点落在正方形内的点处． (1)尺规作图：在图2中画出点的位置，连接并延长交于点，连接，． (2)求的度数与的长． 46．数学实验：折叠正方形纸片． 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，是将正方形纸片折叠后得到的一条折痕，其中点P，Q分别在边，上． (1)折叠正方形纸片，使得，依次落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图①中分别作出折痕，（不写作法，保留作图痕迹），其中点E，F分别在边，上．设，的交点为O，则_________； (2)在（1）的条件下，折叠正方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图②中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点M，N分别在边，上．设，的交点为G，则点G落在正方形纸片的哪一条对称轴上？请说明理由； (3)如图③，已知正方形纸片的边长为．在（2）的条件下，当点P为边的中点时，则随着点Q位置的改变，的周长是否会发生改变？如果不变，求出的周长；如果改变，求出的周长的最小值，并求出此时折痕的长． 图形的拼接问题 考点07 47．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 48．（2026·河北廊坊·一模）淇淇根据沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载的一则故事，编写了一道趣味数学题（如图1所示），其大意为：如图2，有一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），求和的值．下列正确的是（   ） A． B． C． D． 49．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成面积相等的三个小正方形（阴影部分），则图中的长是（   ） A． B． C． D． 50．（2026·河北保定·二模）综合与实践 【问题情境】在学习了平分矩形周长的方法后，嘉嘉和淇淇探究将如图1所示的一个五边形铁板余料（部分数据已标出）切割成面积相等的两部分． 【操作探究】 (1)嘉嘉认为利用尺规作边的垂直平分线，直线即可将五边形面积平分．请用尺规作图根据嘉嘉的想法作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)如图2，淇淇考虑到图形所具有的性质，认为利用直尺连接，交于点O，作直线，直线即为切割线，求的长； 【拓展探究】 (3)如图3，点P，Q分别在边，上，直线平分五边形的面积，当线段长最大时，过点作于点F，直接写出的长． 51．（2026·河北石家庄·一模）如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形， (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____． (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． (3)如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长． 52．（2026·河北石家庄·一模）矩形和正方形是特殊的平行四边形，我们可以通过如下方式获得矩形和正方形． 【操作1】有一张三角形纸片，顶点分别是，，．部分数据如图①所示．如图②，分别在，上取点，，再沿过点，分别与垂直的虚线剪开，得到①，②，③三块，若这三块能拼接成如图③所示的矩形． (1)的长为 ； (2)求点到的距离； 【操作2】 (3)如图④，将沿，折叠后，点和点在点处重合，点落在点处．若四边形为正方形，，，求的面积； 【操作3】 (4)如图，在四边形中，，点，，，分别为四条边的中点，与的和为与之间距离的2倍． 嘉嘉说：我可以将四边形分成三块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形； 淇淇说：我可以将四边形分成四块图形，重新拼接，无重叠、无缝隙地组成一个正方形． 请你帮嘉嘉、淇淇设计裁剪方式，使裁剪后的图形能够拼成一个正方形．（用虚线在图中画出裁剪线，在剪出的每一部分图形上标注序号，并画出拼接后的正方形，在正方形相应位置标注对应的序号） 嘉嘉的做法： 淇淇的做法： 试卷第2页，共83页 4/22 学科网（北京）股份有限公司 $