专题04 三角形（11大考点）（河北专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 三角形专题试题汇编，覆盖11大考点，精选2026年河北各地一模真题，注重情境应用与能力梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约30题|平行线性质、全等三角形判定等|结合滑雪运动、榫卯结构等真实情境| |填空|约10题|三角形三边关系、尺规作图应用|设置开放型问题，如第3题添加条件证平行| |解答|约20题|相似三角形性质、解直角三角形应用|设计跨考点综合题，如第30题油纸伞模型融合全等与几何计算|

专题04 三角形 11大考点概览 考点01平行线的判定 考点02行线的性质及应用 考点03角形的内角和的应用 考点04角形三边关系的应用 考点05规作图的应用 考点06等三角形的性质与判定 考点07腰三角形的性质与判定 考点08边三角形的性质与判定 考点09图形的位似 考点10相似三角形的性质与判定 考点11解直角三角形及其应用平行线的判定 考点01 1．如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点N可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据平移的性质即可求解． 【详解】∵，观察图形可知，点是点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的，点是由点先向右平移个单位，再向上平移个单位得到的， ∴， ∴点可能是点． 2．（2026·河北张家口·一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E在格点上，点C，D在网格线上．对于下列两个结论： ①平分；②． 下列说法正确的是（   ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对 【答案】A 【详解】解：由图可知： ， ∴， ∴平分，， 故①对②错． 3．（2026·河北廊坊·一模）如图，已知四边形，添加一个条件：______可使得．（写出一个即可） 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】根据内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，即可求解． 【详解】解：本题答案不唯一，只要能利用平行线的判定定理推出即可； 添加的条件可以是，理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 添加的条件也可以是，理由如下： ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 添加的条件也可以是，理由如下： ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 综上，可以添加的条件是，，（答案不唯一）． 平行线的性质及应用 考点02 4．（2026·河北张家口·一模）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图（实线部分），其中，，，则直线相交所夹锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等求出的度数，利用平行线的性质求出的度数，最后根据三角形内角和定理求出直线与的夹角． 【详解】解：与是对顶角，， ， ， ， ， 设直线与相交于点P， 在中，， ， ， 直线，相交所夹锐角的度数是． 5．（2026·河北唐山·一模）如图，，，与相交于点O，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 6．（2026·河北石家庄·一模）滑雪运动近年来备受青睐，成为大众喜爱的冬季休闲方式．图1为滑雪运动中的精彩瞬间，抽象为如图2所示的图形、已知滑雪杖和滑雪板平行，根据图中所示数据，可得的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点C作，得到，推导出，得到，则，即可解答． 【详解】解：过点C作，如图 ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·河北保定·一模）某款课桌的侧面简易示意图如图所示，其中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，利用内错角相等即可得出结果． 【详解】∵， ∴． 8．（2026·河北张家口·一模）如图，，直线分别交、于G、H，，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得出，利用邻补角定义求出，再根据角平分线定义求出的度数，即可求解． 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． 9．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 三角形的内角和的应用 考点03 10．（2026·河北邯郸·二模）如图，，，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，连接，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出．由作图可知，，则，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 由作图可知，， ∴． ∴． 11．（2026·河北保定·模拟预测）如图，是的外角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 【详解】解：是的外角， ． 12．（2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____． 【答案】75度/ 【详解】解：由题意得，， ∴， ． 三角形三边关系的应用 考点04 13．（2026·河北石家庄·一模）平面内，将长度分别为1，4，2，的线段，顺次首尾相接构成如图所示的凸四边形，则的值可能是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】B 【分析】设这个凸四边形为，连接，设，在中，根据三角形三边关系得，从而得出，，在中，根据三角形三边关系得，即可得出，从而解答即可． 【详解】解：如图，设这个凸四边形为，连接，设， 在中，，即， ∴，， 在中，， ∴， 观察四个选项可知，只有选项B符合． 14．（2026·河北保定·二模）将一根质地均匀的细铁丝，裁剪成三段或四段，不可以围成三角形或四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A选项：由图可知，分成三段的长分别为3，4，5，由三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得A选项能围成三角形； B选项：由图可知，分成三段的长分别为2，6，4，由三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”可得B选项无法围成三角形； C选项：由图可知，分成四段的长分别为3，3，3，3，可以围成菱形； D选项：由图可知，分成四段的长分别为2，4，2，4，可以围成平行四边形． 15．（2026·河北廊坊·一模）将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3，利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3， 由三角形的三边关系，得，解得， 观察四个选项可知，m的值不可能为6． 16．（2026·河北邯郸·二模）如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 【答案】C 【分析】根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边解答即可； 【详解】解：∵在中，米，米， 根据三边关系可得： ， 则，即， 对比选项，只有10米符合该范围． 17．（2026·河北邢台·一模）如图，中，是两条中线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中线把三角形的一条边分成相等的两段，可知、，根据等底同高的两个三角形的面积相等，可知、，从而可知． 【详解】解：是边上的中线， ， ， ， 是的中线， ， ， ， ， ． 18．（2026·河北秦皇岛·一模）现有两根长度分别为6厘米和10厘米的木棒，若再取一根木棒，使这三根木棒能围成三角形，则第三根木棒的长度可以是（   ） A．2厘米 B．4厘米 C．9厘米 D．18厘米 【答案】C 【分析】先求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：设第三根木棒长度为厘米， ∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，已知两根木棒长分别为6厘米和10厘米， ∴，即， 观察选项，只有9厘米满足该范围，因此选C． 19．（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 【答案】5 【分析】根据等腰三角形定义，构成三角形三边关系分情况讨论即可． 【详解】解：①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为5． 尺规作图的应用 考点05 20．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据，得，观察各选项中是否满足即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 选项A：图中所作为的角平分线， 故，满足； 选项B：图中所作为线段的垂直平分线， 得， ∴， ∴，满足； 选项C：图中所作为的垂线， ∴，故不满足； 选项D：图中所作为， ∴，满足； 综上，不满足的做法为选项C． 21．（2026·河北张家口·一模）如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（   ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线 【答案】A 【分析】根据三角形中线的定义和线段垂直平分线作图法判断即可． 【详解】由作图的痕迹可知：点是线段的中点， 线段是的中线． 22．（2026·河北石家庄·一模）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于C，D两点，连接； ②分别以点C，D为圆心，以适当长为半径作弧，两弧在内交于点E，连接，． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．垂直平分 【答案】B 【分析】由基本作图可知，为的平分线，从而得出；由，得出垂直平分；根据证明；根据直角三角形斜边大于直角边判断． 【详解】解：设交于点， 由作图步骤可得：是的角平分线，则，A正确； 根据作图可知：，， ∴点O、E在的垂直平分线上， ∴垂直平分，D正确； ∵， ∴，C正确； 在中，，且， 则，故B错误，符合题意． 23．（2026·河北唐山·一模）如图，在中，，，．在上分别截取，，使，分别以E，F为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线交于点M，点N是边上一点，则的长可能是________（写出满足条件的一个整数值）． 【答案】3或4或5或6（选择其中一个即可） 【分析】过点M作于H．根据角平分线性质得出，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，得出，求出x的值，再由勾股定理及图形确定，，得出，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于H． 由作图可知，平分， ∵，， ∴， ∵，，． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得， 即， ∴，， ∵，即， ∴， ∴当的长为整数值时可以是3或4或5或6． 24．（2026·河北廊坊·一模）已知题目：如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，，，，求证：．下面是小明的证明过程． 证明：∵，∴．第①步 在和中，∵∴，第②步 ∴．第③步 (1)老师批改时，告知小明在第________步中出现错误，请你写出正确的证明过程； (2)用无刻度直尺找到的中点O．（保留作图痕迹，不必写作法） 【答案】(1)②；见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：②； 证明：， ． ， ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：如图， 连接交于，即为中点， ∵， ∴， ∴． 25．（2026·河北邯郸·一模）如图，中，． (1)用尺规作图，作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； (2)在（1）条件下，连接，当，时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：在中，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴． 全等三角形的性质与判定 考点06 26．（2026·河北张家口·一模）如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴当时，可以判定； 当时，则，可以判定； 当时，可以判定； 当时，无法判定. 27．（2026·河北石家庄·一模）如图，，，点在边上，和相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得 ，从而得到答案； （2）先证明，，再利用可证得． 【详解】（1）解：在和中， ∵，， ∴ ， 又∵，， ∴ . （2）证明：∵， ∴， 由（1）知 ， 又∵， ∴ ， 即， 在和中， ， ∴． 28．（2026·河北保定·二模）如图，在中，点D，E分别在边，上，连接，相交于点O，，． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等角的补角相等，得到，再借助公共角和，即可利用证明两个三角形全等； （2）借助（1）中的全等关系，可以得到，，通过公共角和等边对等角，可以得到，由同位角相等，可以得到两直线平行． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 29．（2026·河北邯郸·二模）如图，在四边形中，，对角线平分，点是上一点，且． (1)求证：； (2)当时，把沿直线翻折得到，证明：． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）通过角平分线的性质得到，再根据已知条件证全等即可； （2）由翻折得到，根据全等得到，根据推出，即可得证； 【详解】（1）证明：平分， ， 又，， ∴． （2）证明：由翻折得， ， 由（1）得， ， ， ， ， ，即， ． 30．（2026·河北石家庄·一模）如图1，油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录．如图2，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且到点的距离满足． (1)求证：； (2)如图3，当油纸伞撑开时，伞的边缘与点在同一直线上，且伞圈到点的距离，伞面宽，若点恰好是的中点，求伞骨的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）根据题意可得，再根据“”证明，即可得出； （）由，，得，所以，通过勾股定理求得，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，点恰好是的中点， ∴， 答：伞骨的长为． 31．（2026·河北张家口·一模）【操作】在中，，D是边上一点（不含点B、C），将沿折叠，点C落在点E处，点F是点B关于的对称点，连接、． (1)【作图】如图1，当点E在上时，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法），并补全图形． 【发现】结论：经过“操作”后，可得点E、D、F在一条直线上，且． (2)【验证】请你利用图2，验证“发现”的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意可知，当点E在上时，，延长，在射线上取点，使得，点F即为点B关于的对称点，连接、； （2）根据折叠的性质证明，，从而推出，即可得出点E、D、F在一条直线上． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由折叠的性质可知，，，，， ， 在和中， ， ， ， ， 点 、D、F在一条直线上， 32．（2026·河北石家庄·一模）把两个等腰直角和按如图①所示的位置摆放，，将绕点A按逆时针方向旋转，如图②，连接，设旋转角为． (1)嘉嘉同学说在旋转过程中，．请帮他证明； (2)如图③，若，，当点D在线段上时， ① ； ②求CE的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；②10 【分析】（1）根据等腰三角形的定义，结合，即可得证； （2）①同（1）得到，得出，根据求出结果即可； ②设，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）证明：，都是等腰直角三角形， ，，， 则 ， ； （2）解：①是等腰直角三角形， ， ， 同（1）可得， ∴， ∴； ②设， 由（1）得， ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴ 解得（舍），． ∴的长是10． 等腰三角形的性质与判定 考点07 33．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，是线段上一点（不与端点重合），且，则（   ） A． B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了外角的性质以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识点并作出辅助线是解题的关键． 延长至点，使，得到等腰三角形，再由外角的性质得到等腰三角形，由等腰三角形三线合一的性质得到即可求解． 【详解】解：如图所示，延长至点，使， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴， ∴， ∴． 34．（2026·河北廊坊·一模）如图，为等腰直角三角形，，点在上，为直角三角形，，，若．将绕点逆时针旋转得到，则点（   ） A．在的内部 B．在的外部 C．在的边上 D．以上均有可能 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质得出，根据旋转的性质得出，，过点作交于点，根据直角三角形的性质得出，结合等边对等角和直角三角形的性质求出，推得点与点重合，即可求解． 【详解】∵为直角三角形，，， ∴； 将绕点逆时针旋转得到，则，； 过点作交于点，如图： 在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴点、、三点共线， ∵， 故点与点重合， 即点在上， 故在的边上． 35．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，，分别是边上的高线和中线． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，高线，中线的意义，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意，得，，结合解答即可． （2）根据是边上的中线，得到．于是，代换解答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴． （2）解：∵是边上的中线， ∴． ∴， ． 36．（2026·河北石家庄·一模）如图，和中，，（），，连接，． (1)求证：． (2)当点E落在上，且时，与的位置关系是_____，请说明理由． (3)将绕点A顺时针旋转，求当点E落在边上，且为锐角时，直接写出长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据题意得到，证明，从而得出结论； （2）根据题意易证明，进而得到，从而得出结论； （3）当点E落在上时，根据得到；当时，易得到是等腰直角三角形，根据勾股定理求出长，结合为锐角求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 如图： 点E落在上， 在和中， ， ， ； （3）解：当点E落在上时， 、， ，即； 当时， ， ， ， 在中，， ， 解得：或（舍去）， ， 为锐角， ， 的取值范围为：． 等边三角形的性质与判定 考点08 37．（2026·河北石家庄·一模）如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转的性质，可得，，，证明为等边三角形，可得，由角度之间的等量代换及计算即可得出，即可得出结果． 【详解】解：∵由绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 38．（2026·河北张家口·一模）如图，等边三角形中，，点D在上，，将点D绕点C顺时针旋转，得到点E，连接，交于点F，则_______． 【答案】 【分析】根据等边三角形和旋转的性质得出相关角相等，再利用三角形外角的性质证明，从而证得，利用相似三角形对应边成比例求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 将点D绕点C顺时针旋转得到点E， ，， 是等边三角形， ， 点F在$DE$上， ， 是的外角， ， 又 ， ， 在和中， ，， ， ， 即 ， ． 39．（2026·河北邢台·一模）如图，点，，，在同一直线上，和都是等边三角形，且． (1)求证：； (2)当时，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）分别证明，，再根据证明即可； （2）证明点C与点E重合，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴, 又， ∴， ∴， ∴， 在和中， , ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， 在中，，， ∴, ∴, ∴, ∵是等边三角形，， ∴, ∴, 即点C与点E重合， ∵和都是等边三角形，且， ∴, ∴． 40．（2026·河北·一模）如图，在等边的，上各取一点，，使，，相交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，，利用可证； （2）根据全等三角形的性质可得，，根据直角三角形的两个锐角互余，可得，根据含角的直角三角形的性质可知，根据勾股定理求出，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， ，， ， 又， ， ， ． ∴， ∴． 41．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，是中线，是等边三角形，点，分别在直线，的上方，（，且），是的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)若． ①判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，，求证：． (2)若，，直接写出点与点距离的最大值． 【答案】(1)①，且，理由见解析；②证明见解析 (2)． 【分析】（1）①容易证明，则，，进而证明； ②由直角三角形的性质可得，根据题意容易判断是等边三角形，则，．由①可知，则，．结合是等边三角形可得，，从而证明，因此； （2）连接，由和是等边三角形，容易证明也是等边三角形，则．由直角三角形的性质和三角函数计算得，由线段公理可知，，当、、三点共线时，取得最大值，因此的最大值为． 【详解】（1）解：①，且，理由如下： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； ②证明：∵，是中线， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由①可知，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 由（1）可知，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最大值，此时，符合题意， ∴的最大值为． 图形的位似 考点09 42．（2026·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用位似图形的性质以及锐角三角函数求解． 【详解】解：∵轴， ∴， ∵与关于原点O位似， ∴， ∵点D的坐标为， ∴， 由勾股定理得， ∴． 43．（2026·河北保定·二模）如图是的网格，其中每个小正方形的边长均为1．与是一对位似三角形，且点B和点是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（    ） A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外 C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的 【答案】C 【详解】解：画出如图， 由图可得C选项符合题意． 44．（2026·河北廊坊·一模）如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形执行了两步操作：先以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得到菱形．已知，，，若菱形内部一点F经过上述操作后得到的对应点与它本身重合，则点F的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由菱形的性质求出，由位似变换得，根据点得平移方式为先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，设菱形内任意一点，经过操作后对应点，由点与重合可得，，从而可求出点的坐标为． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴点是对角线的中点， ∵， ∴， ∵以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍， ∴点经过位似变换后，坐标变为， 又点平移后得到， ∴平移的方式为：先向左平移2个单位，再向下平移2个单位， 设菱形内任意一点，则经过操作后，对应点， ∵点与重合， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 相似三角形的性质与判定 考点10 45．（2026·河北保定·一模）如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像．如图2，灯光可看作点光源O，皮影经照射在幕布上形成影像．嘉淇测出O到，的距离以及的长度，就能求出的长度，其依据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．相似三角形对应边的比等于相似比 C．全等三角形的对应边相等 D．平行线间的距离处处相等 【答案】B 【分析】根据题意可得，利用相似三角形对应边的比等于相似比即可得出的长度． 【详解】设O到，的距离分别为， 由题意可得，， ∴， ∴依据是相似三角形对应边的比等于相似比． 46．（2026·河北石家庄·一模）如图，等腰周长为24，，是底边的三等分点，分别过点，，作，，的平行线，得到，则的周长为（   ） A．24 B．32 C．36 D．48 【答案】B 【分析】根据平行线的性质判定四边形和为平行四边形，得出对应边相等；利用平行线性质和对顶角性质证明，得出对应边成比例；最后将的三边用的三边表示，结合周长公式求解． 【详解】解：过点作的平行线，过点作的平行线， ， 四边形是平行四边形， ， 同理可得，四边形是平行四边形， ， 是底边的三等分点 ， ， ， ， ， 又， ， 同理可得， ， ， ， ， ， 的周长， 的周长为24， 的周长． 47．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，，为中点，过作于，连接交于点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理得，由平行线等分线段定理得，即得为的中位线，得到，即得到，又由得，进而由解答即可求解． 【详解】解：， ， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴，即点是的中点， ∴为的中位线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 48．（2026·河北邯郸·二模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中对该书进行了深入研究，并给出了“勾股容方”问题的一个经典例子：“勾六步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：在中，，步，步．四边形为正方形，点D在上，点E在上，点F在上（如图）．则正方形的边长为（   ） A．2步 B．3步 C．4步 D．5步 【答案】C 【分析】设正方形的边长为步，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为步， ∵四边形是正方形，步，步， ∴，，， ∴， ∴​， 即， 解得：， 因此正方形的边长为步． 49．（2026·河北衡水·模拟预测）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若，则的长为______． 【答案】12 【分析】由题意可得，，，从而得出，，再由相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，． 50．（2026·河北石家庄·一模）如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（   ） A．cm B．cm C．10cm D．cm 【答案】D 【分析】运用相似三角形的性质可得结论 【详解】如图，过点作，， 由题意可得：， ， ， ，，， ， ． 51．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，，进而得出，然后结合选项一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ．仅知道，只能说明D是中点但无法建立与的角或边的比例关系，无法判定相似．故该选项符合题意； ．∵，∴，∵，，又，∴，故该选项不符合题意； ．∵，，∴，故该选项不符合题意； ．，又，∴，又，∴故该选项不符合题意； 故选A． 52．（2026·河北保定·二模）如图，在中，是边上的中线，F是的中点，连接并延长交于点E，则的值为______． 【答案】 【分析】过点D作的平行线，得到中点G，再用平行线分线段成比例定理得到，然后求出的值． 【详解】解：如图，过点D作交于点G， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 53．（2026·河北唐山·一模）如图，在中，，，，点分别是边的中点，点是线段上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点到的距离是点到距离的倍，则的长是______． 【答案】 【分析】过点作于，过点作于，设与相交于点，则，由得，即得，再根据解答即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作于，设与相交于点，则， ∵点到的距离是点到距离的倍， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴ 解直角三角形及其应用 考点11 54．（2026·河北张家口·一模）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，坐标为，且与x轴正半轴夹角的正切值为2，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作轴于点，则有，，然后通过，再求出的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 根据点在第一象限内，其坐标是， ∴，， ∵与轴正半轴的夹角的正切值为2， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∴． 55．（2026·河北保定·一模）如图，嘉淇参加了某旅行社活动，从集结地A处出发，景点B在A的正东方向，景点C在集结地A的北偏东方向，在景点B的北偏西方向，集结地A与景点C之间的距离为40千米，则集结地A与景点B之间的距离为（    ） A．千米 B．千米 C．30千米 D．千米 【答案】D 【分析】过点C作于点H，先解求出，再解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点H，则． 在中，，千米， ∴千米，千米． 在中，， ∴千米， ∴千米． 56．（2026·河北石家庄·一模）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，，则①的大小为；②点E到的距离为；③若连接，则；④若连接，则．以上说法正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的性质和周角定义可判断①；连接，过点作，先求得和到的距离，利用三角形的面积公式可判断③；连接，延长交于P，证明，则可求得，，利用正切定义可判断④；根据平行线间的距离处处相等可判断②，进而可得答案． 【详解】解：由题意，，，，， ∵， ∴， ∴，故①错误； ∵，， ∴，， 连接，过点作， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 连接，延长交于P， ∵，， ∴， ∴，， ∴，故④正确， ∵， ∴点E到的距离，故②正确， 综上，说法正确的是②③④，共3个． 57．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理、矩形的性质、求正弦等知识．设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为，根据正方形的边长求出,用勾股定理求出矩形的对角线长，根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为， 由题意可知，, ∴, ∴矩形的对角线长为， ∴， 故选：A 58．（2026·河北张家口·一模）如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 【答案】 【分析】连接，设交格点于点，连接，由题意可得，为的中点，从而可得，设菱形的边长为，由题意可得，，再求得，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，设交格点于点，连接， 由题意可得为的中点， ∵网格由相同的小菱形组成的， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设小菱形的边长为，取格点，，连接交于点，则，， 由题意得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴． 59．在中，，，，则的值为________． 【答案】 【分析】由已知可知为斜边，可先由勾股定理求出直角边的长，再根据正切的定义计算即可得到的值． 【详解】解：， 为的斜边，，为直角边， 由勾股定理得： ， 根据锐角正切的定义可得． 60．（2026·河北秦皇岛·一模）如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即）大约为，夏至正午时太阳高度角（即）大约为．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为8，则表高（即的长）为( ) （参考数据：） 【答案】 【分析】设，解得到；求出，解得到，则可推出，根据，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， 如图2所示，在中，， ∴； 在中，，则， ∴，， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 61．（2026·河北衡水·模拟预测）一台笔记本电脑放置在水平的桌面上，其示意图如图1所示，，；使用时，为了加强笔记本散热，底板下面需垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，其示意图如图2所示．已知、、C三点在同一直线上，且，． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部的竖直高度比原来升高了多少？ （参考数据：取，取，取，取） 【答案】(1)24 (2) 【分析】（1）由，即可求出的长； （2）如图1，过B作交的延长线于H，由得到，求出，据此解答即可． 【详解】（1）解：如图2，在中， ， ； （2）解：如图1，过B作交的延长线于H， ， ， ， ， 如图2，， 垫入散热架后，显示屏顶部的竖直高度比原来升高了． 62．（2026·河北石家庄·一模）现代生活中，手机支架是解放双手的实用工具，用户无需手持即可固定手机．图1是一台手机支架，图2是其转到某一位置的侧面示意图，测得，，，． (1)在图2中，过点B作于点E．求的长；（结果保留根号） (2)求点C到的距离（结果保留小数点后一位）． （参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)点到的距离约为 【分析】（1）直接解即可； （2）过点作于点，过点作，垂足为，解求出，再由求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ； （2）解：过点作于点，过点作，垂足为， 则，， 在中，， ，， ， ， ∴点到的距离约为． 63．（2026·河北张家口·一模）如图，某旅游景点的游客中心AB垂直于地面，测得游客中心的高度AB为10米，该景点的后山上长有一棵松树EF，嘉嘉在游客中心楼顶A处测得树顶F的俯角α=22.62°，经询问当地导游，得知后山的坡比为3：4，从山脚C处沿着斜坡行走6米可到达E处，游客中心楼底B处到山脚C的距离BC=6米． (1)求游客中心AB与松树EF之间的水平距离； (2)求松树EF的高度．（参考数据：） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】根据坡度的定义求出，即可得到的长；作辅助线构造直角三角形，根据三角函数的定义求出，进而得出的长，根据已知条件求出，进而得到的长，计算即可得解． 【详解】（1）后山的坡比为3：4， 设，， ， 由题可得：（米）， ， ， （米），（米）， （米）， （米）． （2）过点作，过点作， ，，（米）， （米）， 在中，， ， （米）， （米）， （米）， （米）， （米）． 试卷第2页，共57页 2/58 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形 11大考点概览 考点01平行线的判定 考点02行线的性质及应用 考点03角形的内角和的应用 考点04角形三边关系的应用 考点05规作图的应用 考点06等三角形的性质与判定 考点07腰三角形的性质与判定 考点08边三角形的性质与判定 考点09图形的位似 考点10相似三角形的性质与判定 考点11解直角三角形及其应用平行线的判定 考点01 1．如图，点、、、、、、都为格点（方格纸中小正方形的顶点），若，则点N可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（2026·河北张家口·一模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，E在格点上，点C，D在网格线上．对于下列两个结论： ①平分；②． 下列说法正确的是（   ） A．①对，②错 B．①错，②对 C．①②都错 D．①②都对 3．（2026·河北廊坊·一模）如图，已知四边形，添加一个条件：______可使得．（写出一个即可） 平行线的性质及应用 考点02 4．（2026·河北张家口·一模）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图（实线部分），其中，，，则直线相交所夹锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北唐山·一模）如图，，，与相交于点O，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河北石家庄·一模）滑雪运动近年来备受青睐，成为大众喜爱的冬季休闲方式．图1为滑雪运动中的精彩瞬间，抽象为如图2所示的图形、已知滑雪杖和滑雪板平行，根据图中所示数据，可得的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北保定·一模）某款课桌的侧面简易示意图如图所示，其中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河北张家口·一模）如图，，直线分别交、于G、H，，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河北保定·二模）如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 三角形的内角和的应用 考点03 10．（2026·河北邯郸·二模）如图，，，以点C为圆心，为半径作弧，交于点E，连接，则等于（  ） A． B． C． D． 11．（2026·河北保定·模拟预测）如图，是的外角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．（2026·河北秦皇岛·一模）将一副三角尺按下图的位置摆放，已知，，则_____． 三角形三边关系的应用 考点04 13．（2026·河北石家庄·一模）平面内，将长度分别为1，4，2，的线段，顺次首尾相接构成如图所示的凸四边形，则的值可能是（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 14．（2026·河北保定·二模）将一根质地均匀的细铁丝，裁剪成三段或四段，不可以围成三角形或四边形的是（    ） A．B．C． D． 15．（2026·河北廊坊·一模）将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 16．（2026·河北邯郸·二模）如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（   ） A．2米 B．3米 C．10米 D．14米 17．（2026·河北邢台·一模）如图，中，是两条中线，则（   ） A． B． C． D． 18．（2026·河北秦皇岛·一模）现有两根长度分别为6厘米和10厘米的木棒，若再取一根木棒，使这三根木棒能围成三角形，则第三根木棒的长度可以是（   ） A．2厘米 B．4厘米 C．9厘米 D．18厘米 19．（2026·河北石家庄·一模）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为_____． 尺规作图的应用 考点05 20．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，．嘉嘉想用尺规作图法，在的边上找一点，使得．其中不能实现的是（   ） A．B．C．D． 21．（2026·河北张家口·一模）如图，根据尺规作图的痕迹，可以判断是的（   ） A．中线 B．角平分线 C．高线 D．中垂线 22．（2026·河北石家庄·一模）如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于C，D两点，连接； ②分别以点C，D为圆心，以适当长为半径作弧，两弧在内交于点E，连接，． 下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．垂直平分 23．（2026·河北唐山·一模）如图，在中，，，．在上分别截取，，使，分别以E，F为圆心，大于一半的长为半径画弧，两弧相交于点D，作射线交于点M，点N是边上一点，则的长可能是________（写出满足条件的一个整数值）． 24．（2026·河北廊坊·一模）已知题目：如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，，，，求证：．下面是小明的证明过程． 证明：∵，∴．第①步 在和中，∵∴，第②步 ∴．第③步 (1)老师批改时，告知小明在第________步中出现错误，请你写出正确的证明过程； (2)用无刻度直尺找到的中点O．（保留作图痕迹，不必写作法） 25．（2026·河北邯郸·一模）如图，中，． (1)用尺规作图，作边上的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； (2)在（1）条件下，连接，当，时，求的长． 全等三角形的性质与判定 考点06 26．（2026·河北张家口·一模）如图，已知，，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 27．（2026·河北石家庄·一模）如图，，，点在边上，和相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 28．（2026·河北保定·二模）如图，在中，点D，E分别在边，上，连接，相交于点O，，． (1)求证：； (2)连接，求证：． 29．（2026·河北邯郸·二模）如图，在四边形中，，对角线平分，点是上一点，且． (1)求证：； (2)当时，把沿直线翻折得到，证明：． 30．（2026·河北石家庄·一模）如图1，油纸伞有着逾千年的历史，被列入国家非物质文化遗产名录．如图2，伞圈沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的，点固定不动，且到点的距离满足． (1)求证：； (2)如图3，当油纸伞撑开时，伞的边缘与点在同一直线上，且伞圈到点的距离，伞面宽，若点恰好是的中点，求伞骨的长． 31．（2026·河北张家口·一模）【操作】在中，，D是边上一点（不含点B、C），将沿折叠，点C落在点E处，点F是点B关于的对称点，连接、． (1)【作图】如图1，当点E在上时，请用尺规作图作出点F（保留作图痕迹，不写作法），并补全图形． 【发现】结论：经过“操作”后，可得点E、D、F在一条直线上，且． (2)【验证】请你利用图2，验证“发现”的结论． 32．（2026·河北石家庄·一模）把两个等腰直角和按如图①所示的位置摆放，，将绕点A按逆时针方向旋转，如图②，连接，设旋转角为． (1)嘉嘉同学说在旋转过程中，．请帮他证明； (2)如图③，若，，当点D在线段上时， ① ； ②求CE的长． 等腰三角形的性质与判定 考点07 33．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，是线段上一点（不与端点重合），且，则（   ） A． B．8 C．10 D．12 34．（2026·河北廊坊·一模）如图，为等腰直角三角形，，点在上，为直角三角形，，，若．将绕点逆时针旋转得到，则点（   ） A．在的内部 B．在的外部 C．在的边上 D．以上均有可能 35．（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，，分别是边上的高线和中线． (1)若，求的度数． (2)求证：． 36．（2026·河北石家庄·一模）如图，和中，，（），，连接，． (1)求证：． (2)当点E落在上，且时，与的位置关系是_____，请说明理由． (3)将绕点A顺时针旋转，求当点E落在边上，且为锐角时，直接写出长的取值范围． 等边三角形的性质与判定 考点08 37．（2026·河北石家庄·一模）如图，在等边中，是边上一点，将绕点逆时针旋转得到，若，则为（   ） A． B． C． D． 38．（2026·河北张家口·一模）如图，等边三角形中，，点D在上，，将点D绕点C顺时针旋转，得到点E，连接，交于点F，则_______． 39．（2026·河北邢台·一模）如图，点，，，在同一直线上，和都是等边三角形，且． (1)求证：； (2)当时，连接，求的长． 40．（2026·河北·一模）如图，在等边的，上各取一点，，使，，相交于点，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 41．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，是中线，是等边三角形，点，分别在直线，的上方，（，且），是的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)若． ①判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，，求证：． (2)若，，直接写出点与点距离的最大值． 图形的位似 考点09 42．（2026·河北·一模）如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（   ） A． B．2 C． D． 43．（2026·河北保定·二模）如图是的网格，其中每个小正方形的边长均为1．与是一对位似三角形，且点B和点是对应点，现给出了点A和点C的位置，则点B的位置（    ） A．有2个，一个在网格中，一个在网格外 B．有且只有1个，在网格外 C．有2个，均在网格中 D．没有在网格中的 44．（2026·河北廊坊·一模）如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形执行了两步操作：先以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得到菱形．已知，，，若菱形内部一点F经过上述操作后得到的对应点与它本身重合，则点F的坐标是（   ） A． B． C． D． 相似三角形的性质与判定 考点10 45．（2026·河北保定·一模）如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像．如图2，灯光可看作点光源O，皮影经照射在幕布上形成影像．嘉淇测出O到，的距离以及的长度，就能求出的长度，其依据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．相似三角形对应边的比等于相似比 C．全等三角形的对应边相等 D．平行线间的距离处处相等 46．（2026·河北石家庄·一模）如图，等腰周长为24，，是底边的三等分点，分别过点，，作，，的平行线，得到，则的周长为（   ） A．24 B．32 C．36 D．48 47．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，，为中点，过作于，连接交于点，则的面积为（   ） A． B． C． D． 48．（2026·河北邯郸·二模）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中对该书进行了深入研究，并给出了“勾股容方”问题的一个经典例子：“勾六步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：在中，，步，步．四边形为正方形，点D在上，点E在上，点F在上（如图）．则正方形的边长为（   ） A．2步 B．3步 C．4步 D．5步 49．（2026·河北衡水·模拟预测）我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出，且边，与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接交于点H，若，则的长为______． 50．（2026·河北石家庄·一模）如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（   ） A．cm B．cm C．10cm D．cm 51．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，点、、分别在边、、上（都不与顶点重合），．添加下列一个条件，仍无法判定与相似，则这个条件是（   ） A． B． C． D． 52．（2026·河北保定·二模）如图，在中，是边上的中线，F是的中点，连接并延长交于点E，则的值为______． 53．（2026·河北唐山·一模）如图，在中，，，，点分别是边的中点，点是线段上任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点到的距离是点到距离的倍，则的长是______． 解直角三角形及其应用 考点11 54．（2026·河北张家口·一模）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限内，坐标为，且与x轴正半轴夹角的正切值为2，则的值为（   ） A． B． C． D． 55．（2026·河北保定·一模）如图，嘉淇参加了某旅行社活动，从集结地A处出发，景点B在A的正东方向，景点C在集结地A的北偏东方向，在景点B的北偏西方向，集结地A与景点C之间的距离为40千米，则集结地A与景点B之间的距离为（    ） A．千米 B．千米 C．30千米 D．千米 56．（2026·河北石家庄·一模）将一副三角尺平放在桌面上，如图所示．若，，则①的大小为；②点E到的距离为；③若连接，则；④若连接，则．以上说法正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 57．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 58．（2026·河北张家口·一模）如图是由16个相同的小菱形组成的网格，已知每个小菱形中的锐角为，且点A，B，C都在格点上，则的值为_______． 59．在中，，，，则的值为________． 60．（2026·河北秦皇岛·一模）如图1所示的圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知该地冬至正午时太阳高度角（即）大约为，夏至正午时太阳高度角（即）大约为．圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为8，则表高（即的长）为( ) （参考数据：） 61．（2026·河北衡水·模拟预测）一台笔记本电脑放置在水平的桌面上，其示意图如图1所示，，；使用时，为了加强笔记本散热，底板下面需垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，其示意图如图2所示．已知、、C三点在同一直线上，且，． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部的竖直高度比原来升高了多少？ （参考数据：取，取，取，取） 62．（2026·河北石家庄·一模）现代生活中，手机支架是解放双手的实用工具，用户无需手持即可固定手机．图1是一台手机支架，图2是其转到某一位置的侧面示意图，测得，，，． (1)在图2中，过点B作于点E．求的长；（结果保留根号） (2)求点C到的距离（结果保留小数点后一位）． （参考数据：，，，） 63．（2026·河北张家口·一模）如图，某旅游景点的游客中心AB垂直于地面，测得游客中心的高度AB为10米，该景点的后山上长有一棵松树EF，嘉嘉在游客中心楼顶A处测得树顶F的俯角α=22.62°，经询问当地导游，得知后山的坡比为3：4，从山脚C处沿着斜坡行走6米可到达E处，游客中心楼底B处到山脚C的距离BC=6米． (1)求游客中心AB与松树EF之间的水平距离； (2)求松树EF的高度．（参考数据：） 试卷第2页，共57页 2/20 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